专题10 四边形-备战2017年中考2014-2016年辽宁省中考数学试卷分类汇编(解析版)

2017版【中考3年】辽宁省2014-2016年中考数学分类解析专题10四边形一、选择题1.【2014辽宁省本溪市3分】如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=30°，则此平行四边形的面积是（）A． 6 B． 12 C． 18 D． 24【考点】1.平行四边形的性质；2.含30度角的直角三角形．2.【2014辽宁省沈阳市3分】正方形是轴对称图形，它的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条3.【2015辽宁省丹东市3分】过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF，若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为( ).3A. 2B. 3C.D. 32【答案】A.考点：1.矩形及菱形性质；2.解直角三角形.4.【2015辽宁省本溪市3分】如图，▱ABCD 的周长为20cm ，AE 平分∠BAD ，若CE=2cm ，则AB 的长度是（ ）A ． 10cmB ． 8cmC ． 6cmD ．4cm【答案】D.考点：平行四边形的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质.5.【2015辽宁省沈阳市】顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形【答案】B ．第7题图考点：中点四边形．6.【2015辽宁省营口市3分】□ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠DAC=42º，∠CBD=23º，则∠COD 是( ).A ．61ºB ．63ºC ．65ºD ．67º【答案】C.考点：1.平行四边形的性质；2.三角形外角性质.5.【2015辽宁省本溪市3分】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE= ．【答案】512．考点：菱形的性质；勾股定理.6.【2015辽宁省抚顺市3分】如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=13a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=13A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B nC nD n 的面积为 ．【答案】25()9n a ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．7.【2015辽宁省阜新市3分】如图，点E 是▱ABCD 的边AD 的中点，连接CE 交BD 于点F ，如果S △DEF =a ，那么S △BCF = ．【答案】4a ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．8.【2015辽宁省葫芦岛市3分】如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是．【答案】96．考点：菱形的性质．9.【2015辽宁省盘锦市3分】如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC 上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．【答案】3．【解析】考点：1．轴对称-最短路线问题；2．菱形的性质；3．最值问题．10.【2015辽宁省沈阳市】如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD，则AK= ．．【答案】3考点：旋转的性质．11.【2016辽宁省大连市3分】如图，在菱形ABCD 中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是 ．【答案】24．【解析】试题分析：连接BD ，交AC 于点O ，根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO=CO=4，由勾股定理可得BO=3，所以BD=6，即可得菱形的面积是21×6×8=24．考点：菱形的性质；勾股定理.12.【2016辽宁省丹东市3分】如图，正方形ABCD 边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，FA ⊥AE ，交CB 延长线于点F ，则EF 的长为 ．【答案】62【解析】试题分析：利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=32，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=32，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=32，∴EF=CF+CE=32+32=62考点： (1)、相似三角形的判定与性质；(2)、正方形的性质．13.【2016辽宁葫芦岛市3分】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为．【答案】（0，4 3）．【解析】试题分析：过D作DE⊥AC于E，∵四边形ABCO是矩形，B（4，3），∴OC=AB=3，OA=BC=4，∠CCOA=90°，∵AD平分∠OAC，∴OD=DE，考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.【2014辽宁省沈阳市8分】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE=CF ，连接OE ，OF ．求证：OE=OF ．【答案】证明见解析【解析】试题分析：欲证明OE=OF ，只需证得△ODE≌△OCF 即可试题解析：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AC=BD ，OD=21BD ，OC=21AC ， ∴OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD，即∠EDO=∠FCO，又∵DE=CF ，∴△ODE≌△OCF（SAS ），∴OE=OF．考点：1、全等三角形的判定与性质；2、矩形的性质．2.【2014辽宁省大连市11分】如图，矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B 落在AD 上，落点为B ′．点B ′从点A 开始沿AD 移动，折痕所在直线l 的位置也随之改变，当直线l 经过点A 时，点B ′停止移动，连接BB ′．设直线l 与AB 相交于点E ，与CD 所在直线相交于点F ，点B ′的移动距离为x ，点F 与点C 的距离为y ．（1）求证：∠BEF=∠AB ′B ；（2）求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）y=220886143(123143(123x x x x x x ≤≤⎧-+⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜﹣﹣）． 【解析】∴在等腰△BEB ′中，EF 是角平分线，∴EF ⊥BB ′，∠BOE=90°，∴∠ABB ′+∠BEF=90°，∵∠ABB ′+∠AB ′B=90°，∴∠BEF=∠AB ′B ；∵由（1）知∠BEF=∠AB ′B ， ∴26836612x x y =---，化简，得y=112x 2-x+3，（0＜x≤8） ②当点F 在点C 下方时，如图2所示．设直线EF 与BC 交于点K设∠ABB ′=∠BKE=∠CKF=θ，则tan θ=AB AB '=6x ． BK=tan BE θ，CK=BC-BK=8-tan BE θ． ∴CF=CK•tan θ=（8-tan BE θ）•tan θ=8tan θ-BE=x-BE ．【考点】1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质．3.【2015辽宁省丹东市12分】在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ；在Rt △PMN 中，∠MPN =90°.（1）如图1，若点P 与点O 重合且PM ⊥AD 、PN ⊥AB ，分别交AD 、AB 于点E 、F ，请直接写出PE 与PF 的数量关系；（2）将图1中的Rt △PMN 绕点O 顺时针旋转角度α（0°<α<45°）.○1如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ○2如图2，在旋转过程中，当∠DOM =15°时，连接EF ，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF 的长； ○3如图3，旋转后，若Rt △PMN 的顶点P 在线段OB 上移动（不与点O 、B 重合），当BD =3BP 时，猜想此时PE 与PF 的数量关系，并给出证明；当BD =m ·BP 时，请直接写出PE 与PF 的数量关系.【答案】（1）PE=PF；（2；③PE=2PF，理由参见解析；PE=(m-1)·PF.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAF=∠OAE=45º，又∵PM⊥AD、PN⊥AB，∴PE=PF；（2）①成立，PE仍等于PF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAF=∠ODE=45º，OA=OD,又∵∠AOF和∠DOE都是∠AOE的余角，∴∠AOF=∠DOE，∴△AOF≌△DOE（ASA），∴OE=OF,即PE=PF；②作OH⊥AD于H，由∠DOM 15°可得∠AEO=45＋15=60º，∠HOE=30°,若正方形的边长为2，则OH=1，在Rt △HEO 中，可算出,∴,∵△EOF 是等腰直角三角形，∴EF=2OE=2；③构建相似三角形，过P 点作PH ⊥AB ，PK ⊥AD ，垂足为H 、K ，则四边形AHPK 为矩形，∵∠PHB=∠PKD=90°∠PBH=∠PDK=45°，∴△PHB∽△PKD ，∴DP BP PK PH =,∵BD=3BP,∴DP BP PK PH ==21,∵∠HPF+∠FPK=90°∠KPE+∠FPK=90°,∴∠HPF=∠KPE,又∵∠PHF=∠PKE=90°,∴△PHF ∽△PKE,∴PK PH PE PF ==21,即PE=2PF ；当BD=m ·BP 时，BD:PD=(m-1)：1，△PHF ∽△PKE ，PE:PF=BD:PD=(m-1)：1，∴PE=(m-1)·PF.考点：1.正方形性质；2.三角形相似的判定；3.旋转性质；4.探索线段的数量关系规律.4.【2015辽宁省阜新市10分】如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CQ ，连接BP ，DQ ．（1）如图a ，求证：△BCP ≌△DCQ ；（2）如图，延长BP 交直线DQ 于点E ．①如图b ，求证：BE ⊥DQ ；②如图c ，若△BCP 为等边三角形，判断△DEP 的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）①证明见试题解析；②△DEP 为等腰直角三角形．【解析】考点：1．四边形综合题；2．正方形的性质；3．旋转的性质；4．全等三角形的判定与性质；5．综合题．5.【2015辽宁省锦州市10分】如图，△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，AD ，点F 在BA 的延长线上，且AF=21AB ，连接EF ，判断四边形ADEF 的形状，并加以证明．【答案】四边形ADEF 是平行四边形，证明过程见解析.考点：三角形中位线定理 ；平行四边形的判定．6.【2015辽宁省辽阳市12分】菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON +∠BCD =180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交边BC 于点E ，射线ON 交边DC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当∠ABC =90°时，△OEF 的形状是 ；（2）如图2，当∠ABC =60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON 的顶点移到AO 的中点O ′处，∠MO ′N 绕点O ′旋转，仍满足∠MO ′N +∠BCD =180°，射线O ′M 交直线BC 于点E ，射线O ′N 交直线CD 于点F ，当BC =4，且ΔO'EF98ABCD S S =四边形时，直接写出线段CE 的长．【答案】（1）△OEF 是等腰直角三角形；（2）△OEF 是等边三角形；（3）3+3-．考点：1．四边形综合题；2．正方形的判定与性质；3．等边三角形的判定；4．等腰直角三角形；5．分类讨论；6．综合题.7.【2015辽宁省铁岭市12分】如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）25．考点：1．矩形的性质；2．平行四边形的判定；3．菱形的性质．8.【2015辽宁省沈阳市】如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．（1）当点H与点C重合时．①填空：点E到CD的距离是；②求证：△BCE≌△GCF；③求△CEF的面积；（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．【答案】（1）①（2或．考点：四边形综合题．9.【2016辽宁省大连市9分】如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF．【答案】详见解析.，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定及性质.10.【2016辽宁省大连市11分】如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【答案】(1)3；（2）S=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤+--)3316()3(56)3161(1363)10(3434395222x x x x x x x ．（2）①如图1中，当0≤x ≤1时，作DM ⊥AB 于M ，由题意BC=3，AC=2，∠C=90°，∴AB=1322=+BC AC ，∵∠B=∠B ，∠DMB=∠C=90°，∴△BMD ∽△BCA ， ∴ABBD BC BM AC DM ==， ∴DM=132x ，BM=133x ， ∵BD=DF ，DM ⊥BF ，∴BM=MF ，∴S △BDF =136x 2， ∵EG ∥AC ，∴BCBE AC EG =， ∴322+=x EG ， ∴EG=32（x+2）， ∴S 四边形ECAG =21 [2+32（x+2）]•（1﹣x ）， ∴S=S △ABC ﹣S △BDF ﹣S 四边形ECAG =3﹣136x 2﹣21 [2+32（x+2）]•（1﹣x ）=﹣395x 2+34x+34． ②如图②中，作AN ∥DF 交BC 于N ，设BN=AN=x ，∴CM=512（3﹣x ）， ∴S=21CD •CM=56（3﹣x ）2， 综上所述S=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤+--)3316()3(56)3161(1363)10(3434395222x x x x x x x ．考点：四边形综合题．10.【2016辽宁省抚顺市】如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【答案】（1）90°；（2）证明见解析．【解析】试题解析：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA=180°，∴∠BAC+∠ABD=12（∠DAB+∠ABC）=12×180°=90°，∴∠AOD=90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．考点：菱形的判定．11.【2016辽宁沈阳市】如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD，即可得∠CEB=∠CBE；（2）易证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD判定四边形CEDB是菱形即可．试题解析：证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．12.【2016辽宁沈阳市】 如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点O 为坐标原点，点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，1），点C 为边AB 的中点，正方形OBDE 的顶点E 在x 轴的正半轴上，连接CO ，CD ，CE ．（1）线段OC 的长为 ；（2）求证：△CBD ≌△COE ；（3）将正方形OBDE 沿x 轴正方向平移得到正方形O 1B 1D 1E 1，其中点O ， B ，D ，E 的对应点分别为点O 1，B 1，D 1，E 1，连接CD ，CE ，设点E 的坐标为（a ，0），其中a ≠2，△CD 1E 1的面积为S ． ①当1＜a ＜2时，请直接写出S 与a 之间的函数表达式；②在平移过程中，当S=41时，请直接写出a 的值．【答案】(1)217；(2)详见解析；（3）①S=﹣21a+1；②当S=41时，a=23或25．试题解析：（1）∵点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，1），∴OA=4，OB=1，∵∠AOB=90°，∴AB=1722=+OB OA ，∵点C 为边AB 的中点，∴OC=21AB=217； （2）证明：∵∠AOB=90°，点C 是AB 的中点， ∴OC=BC=21AB ， ∴∠CBO=∠COB ，∴点C 的坐标为：（2，21） ∵点E 的坐标为（a ，0），1＜a ＜2， ∴CH=2﹣a ，∴S=21D 1E 1•CH=21×1×（2﹣a ）=﹣21a+1； ②当1＜a ＜2时，S=﹣21a+1=41， 解得：a=23； 当a ＞2时，同理：CH=a ﹣2，∴S=21D 1E 1•CH=21×1×（a ﹣2）=21a ﹣1， ∴S=21a ﹣1=41， 解得：a=25， 综上可得：当S=41时，a=23或25．考点：四边形综合题．。