假设检验习题及答案

第三章 假设检验

3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差

100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。

{}01001:1000, H :1000

X 950 100 n=25 10002.5

V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得：拒绝域：

本题中：0.950.950

u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。

3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24

设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为

010110

2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5

0.3419

H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512

0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t

H ααα-

⎧⎫-⎨⎬

⎩⎭

==<∴本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。

3.5确定某种溶液中的水分，它的10个测定值0.452%,0.035%,X S ==

2N(,),μσ设总体为正态分布试在水平5%检验假设：

0101() H :0.5% H :0.5%() H :0.04% H :0.0.4%

i ii μμσσ≥<≥<

{}0.95()0.452% S=0.035%-4.1143

(1)0.05 n=10 t (9) 1.833i t X n ασα==-==1-构造统计量：本文中未知，可用检验。取检验统计量为X 本题中，代入上式得： 0.452%-0.5%

拒绝域为：

V=t >t 本题中，0

1 4.1143H <=∴t 拒绝

{}2

2

2

002

2

2212210.95

2()nS S 0.035% n=10 0.04%100.035%7.65630.04% V=(1)(1)(9)16.919

ii n n αα

μχσσχχχχ

χ

χ--=

==*==>--==2

构造统计量：未知，可选择统计量本题中，代入上式得：

（）

（）

否定域为：

本题中， 210(1)n H αχ-<-∴接受

3.9设总体116(,4),,

,X

N X X μ为样本，考虑如下检验问题：

{}

{}01123

:0 H :1

() =0.05 V ={2X -1.645}

V = 1.502X 2.125

V =2X 1.962X 1.96

(ii)

H i μμα==-≤≤≤≤-≥试证下述三个检验（否定域）犯第一类错误的概率同为或通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好？

解：

{}{}

{}

{

}

00.97512012()

0.05

0.05

:0

2*1.960.052 1.645

02 1.645 1.645( 1.645)1(1.645)

=1-0.95=0.05

V 1.502 2.i P x V H X U U H X V X X P X P X ααμσμσ-=∈=⎧⎫-⎪⎪=>==⎨⎬⎪⎪⎩⎭

=∴>==≤-⎧⎫⎪⎪-⎪⎪

≤-=≤-=Φ-=-Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭

=≤≤即，P U 这里P {

}

{}{

}{

}

{}

{}

203301110125 1.50 2.120(2.215)(1.50)0.980.930.05

2 1.962 1.962 1.96 1.96P(V H )=1-P 2 1.962(1(1.96))0.05ii :2 1.645X P V H V X X X X H V X σββ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪

=≤≤⎨⎬

⎪⎪

⎪⎪⎩⎭

=Φ-Φ=-=⎫⎪⎪

=≤-≥=≥=≥⎬

⎪⎪⎭

<=-Φ=X ≥-或（）

犯第二类错误的概率 =P -V =P {}

1

μ=-

{

}

{

}

223310.3551(0.355)0.36

:1 1.502 2.12511 4.125:2 1.961

10.04 3.96V P X V P X σβμσβμσ⎧⎫⎪⎪+⎪⎪

≥=-Φ=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=-≤≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪

≤≤⎨⎬

⎪⎪

⎪⎪⎩⎭ΦΦ=≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪

≤≤⎨⎬

⎪⎪

⎪⎩⎭

X =P X =1-P 3.50 =1-(4.125)+(3.50)

=1

X =P ⎪ΦΦ∴11 =(3.96)-(0.04)

=0.99996092-0.516=0.48396092V 出现第二类错误的概率最小，即V 最好。

3.10 一骰子投掷了120次，得到下列结果：

问这个骰子是否均匀？(0.05)α= 解：

2

2

i 1

22

i 1

1

:6

20

()()20i k

i i i k

i i i P n np np n np np χχχ====-=-++

+==

∑

∑0i 222

2

本题原假设为： H i=1,2,,6这里n=120,nP 本题采用的统计量为Pearson 统计量即， 代入数据为：

（23-20）（26-20）（15-20）

=4.8