上海高考数学知识点极限

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高考数学中的极限与连续性知识点

高考数学中的极限与连续性知识点高考数学作为考试中的一门重要科目，其中的极限与连续性是必考知识点之一。

本文将对这两个知识点进行详细介绍。

一、极限1. 定义极限是数列或函数自变量趋近于某一值时，因变量相应的取值趋近于一个确定的值或趋于无穷大或无穷小的现象。

数列或函数在自变量趋近于某一值时，与所趋近的值的相差越来越小，但却始终无法达到这一值。

2. 常见极限（1）$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$（2）$\lim _{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^x=e$（3）$\lim _{x \rightarrow a} (x-a)^n f(x)=0 (n>0)$3. 求极限的方法（1）代入法：将趋近的值代入函数后直接计算。

（2）夹逼法：利用函数大小的矛盾（左右夹逼）进行推断。

（3）变形法：将式子化简后，使其成为已知极限的形式。

4. 连续性函数的连续性是指函数在定义域内任何一个点的函数值与极限值相等的状态。

也就是说，如果函数f(x)在x=a处极限存在且等于f(a)，则称函数f(x)在x=a处连续。

如果函数在其定义域的任一点都连续，则称函数在其定义域内连续。

连续性是一个函数的基本属性。

5. 连续函数（1）定义：若一个函数在其定义域内的每个点都连续，则称这个函数为连续函数。

（2）充分必要条件：若函数f(x)在其定义域内各点均可导，则该函数连续，反之不一定成立。

（3）连续函数的性质：连续函数在其定义域内有以下几个性质：①有界性：有界函数的定义是指其在任意一个区间中都有界。

连续函数在有限区间内一定有界。

②最值性：有界函数在其定义域内一定存在最大值和最小值。

③介值性：连续函数在其定义域内根据介值定理，一个值介于函数值的最大值和最小值之间。

总之，在高考数学中，极限与连续性是非常重要的知识点。

理解和掌握好这两个知识点，有助于我们更深入地理解和掌握相关知识，为高考数学的考试打下较好的基础。

高考数学《极限》考纲要求

第十三章极限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．基本方法和数学思想数列、极限、数学归纳法中，主要注意如下的基本思想方法：1.分类讨论思想。

如等比数列的求和分公比等于1和不等于1两种情形；已知数列前n项和求通项分n=1和n≥2两种情形；求极限时对两个参数进行大小比较的讨论等。

2.函数思想。

将数列视为定义域为自然数或其子集的函数。

3.数形结合思想。

如等差数列的通项公式和前n项和公式分别视为直线、二次曲线的方程。

4.转化思想。

如将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列。

5.基本量思想。

如把首项及公差、公比视为等差数列、等比数列的基本量。

6.构造思想。

如由旧数列构造新数列。

7.特殊化思想。

为研究一般问题可先退化到特殊问题的研究。

在这部分内容中，处处充满了由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证法，这就要求我们在思考问题时要用辩证的观点，由具体认识抽象，由特殊窥见一般，由有限逼近无限。

其中，我们常用的“归纳——猜想——证明”法就体现了这一点。

8.一般化思想。

为研究一个特殊问题，我们先研究一般的情形。

我们采用的数学归纳法，就主要体现一般化思想，先证命题对一般值成立，然后再证对每一个特殊的n值也成立。

有关极限知识点总结

有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。

如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。

这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。

1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。

当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。

这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。

1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。

一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。

我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。

二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。

这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。

2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。

当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。

这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。

2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。

这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。

高考数学中的极限及相关概念

高考数学中的极限及相关概念在高考数学中，极限是一项非常重要的概念。

极限的定义是指当自变量无限接近某一固定值时，函数的取值趋近于某一固定值，这个固定值即为极限。

为了更好地理解极限及其相关概念，本文将从以下几个方面进行分析。

一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋近于某一特定值。

例如，当x趋近于1时，y趋近于2。

在高考数学中，函数的极限是非常重要的，因为它可以帮助我们确定函数的性质，从而更好地处理一些复杂的问题。

二、左极限和右极限左极限和右极限是指在函数存在极限的情况下，自变量趋近于这个极限时，函数的取值分别从左侧和右侧趋近于极限。

例如，当x趋近于2时，y趋近于3，此时左极限为3，右极限也为3。

在实际问题中，左极限和右极限的概念经常被用来描述物理或经济现象中的变化规律。

三、连续性连续性是指当自变量在某一固定点上发生微小变化时，函数的取值也随之发生微小变化。

具体来说，如果函数在某一固定点上的极限存在，并且等于函数在这一点上的取值，那么这个函数就是连续的。

连续性是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地研究函数的变化规律。

四、无穷大与无穷小无穷大与无穷小是指当自变量趋近于某一固定值时，函数的取值趋近于无穷大或无穷小。

在实际问题中，我们经常需要讨论物理或经济现象中的最大值或最小值，因此无穷大与无穷小的概念也是非常重要的。

结语本文从四个方面论述了高考数学中的极限及其相关概念。

在实际应用中，极限与微积分、微分方程等数学学科密切相关，掌握极限及其相关概念是现代数学研究的基础。

希望读者在阅读本文后能够更好地理解极限及其相关概念，从而更好地应对高考数学考试。

2023上海高考数学知识点分布

2023上海高考数学知识点分布
2023年上海高考数学的知识点分布主要涉及以下几个方面：
1. 函数与代数：这一部分涉及的知识点主要有函数、解析式、定义域、值域、反函数、函数的奇偶性、周期性和单调性等。

此外，还包括多项式函数、分式函数、根式函数和初等函数等知识点。

2. 三角函数与三角比：这一部分涉及的知识点主要有三角函数的定义、性质、图像和诱导公式，以及和差角公式、倍角公式和半角公式等。

此外，还包括正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等知识点。

3. 立体几何：这一部分涉及的知识点主要有平面和直线的基本性质，平行和垂直的判定定理，角度和距离的计算，柱体、锥体和球体的基本性质和面积与体积的计算等。

4. 平面解析几何：这一部分涉及的知识点主要有直线的方程，一次函数和二次函数的图像和性质，圆的方程和性质，圆锥曲线的方程和性质等。

5. 概率与统计：这一部分涉及的知识点主要有概率的基本概念、随机变量及其分布、期望和方差等概念，以及统计的基本概念和方法，如样本、总体、平均数、中位数、众数、方差和标准差等。

6. 数列与极限：这一部分涉及的知识点主要有数列的定义、通项公式和前n项和公式等概念，以及数列的递推关系式。

此外，还包括极限的基本概念、运算方法和性质等知识点。

7. 复数：这一部分涉及的知识点主要有复数的定义、表示方法和运算性质等。

总体来说，2023年上海高考数学的知识点分布比较广泛，涵盖了高中数学的主要内容。

考生在备考时需要全面掌握各个知识点，同时注重理解和运用，加强练习和巩固。

极限总结知识点

极限总结知识点极限的概念最早起源于17世纪的数学家牛顿和莱布尼茨，并在此后的数学发展中被不断完善和深化。

极限的概念是微积分中的基础，也是分析数学和实变函数理论中的核心内容之一。

在学习极限的过程中，我们需要掌握一些基本概念和相关定理，下面就是对极限相关知识点的总结：一、极限的定义1. 函数极限的定义设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意小的正实数ε，总存在一个正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么就称limf(x)=A，即称A是当x趋于a时函数f(x)的极限，记作limf(x)=A，或者limx→af(x)=A。

2. 数列极限的定义数列{an}的极限是指当n趋于无穷大时，数列的通项an的极限趋向于一个确定的常数A，即limn→∞an=A。

二、极限的性质1. 唯一性如果f(x)的极限存在，那么极限是唯一的。

2. 有界性如果f(x)在某一点a的邻域内有界，那么f(x)在a处的极限也有界。

3. 保号性如果函数f(x)的极限存在并且大于（或小于）一个常数A，那么函数f(x)在a附近的某个去心邻域内也大于（或小于）A。

4. 夹逼性如果函数f(x)在点a的某个领域内与另外两个函数g(x)和h(x)夹在一起，并且当x趋于a 时，g(x)和h(x)的极限相等且等于A，那么函数f(x)的极限也等于A。

5. 收敛性与发散性如果函数f(x)的极限存在，那么称f(x)是收敛的，否则称f(x)是发散的。

6. 局部有界性如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么f(x)在a的某个去心邻域内有界。

7. 局部半连续性如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么函数f(x)在a的左、右邻域内至少有一个是半连续的。

三、极限的计算方法1. 用极限的定义计算极限利用极限的定义，可以求出一些函数在特定点处的极限。

2. 用夹逼准则计算极限当函数f(x)所在的区间内有另外两个函数g(x)和h(x)，并且g(x)≤f(x)≤h(x)在区间内成立，且limx→ag(x)=limx→ah(x)=A，那么可以利用夹逼准则求出函数f(x)的极限。

上海高考数学考哪些知识点

上海高考数学考哪些知识点高考对于每一个参加的考生来说都是一个至关重要的时刻，而数学作为一门必考科目，在高考中占据着相当重要的地位。

针对上海高考数学考试，本文将从几个重要的知识点来进行分析和讨论。

一、函数与方程函数与方程是高中数学中最重要的概念之一，也是数学高考的重点内容。

在上海高考数学中，常见的函数与方程知识点包括：一次函数、二次函数、指数函数和对数函数、三角函数等。

考生需要熟练掌握这些函数的性质、图像与变化趋势，以及解方程和求解函数相关题目的方法。

二、数列与数列极限数列与数列极限也是上海高考数学中的重点知识点。

在此部分，考生需要掌握数列的概念、通项公式、递推关系、数列的收敛性等。

同时，还需要掌握数列极限的定义、性质和判定方法，并能够运用数列极限解答相关题目。

三、几何与向量几何与向量是数学高考中最直观的内容之一。

在上海高考数学中，考生需要熟练掌握几何中的图形性质、相似与全等、三角形、圆锥曲线等知识点。

在向量方面，需要掌握向量的运算、向量的共线与垂直、平面向量的坐标表示等。

四、概率与统计概率与统计是上海高考数学中的必考内容。

考生需要掌握基本的概率计算方法、条件概率、贝叶斯定理等知识点。

在统计方面，需要熟悉数据的收集和整理、频数分布表、统计指标等。

五、数学建模数学建模是高考数学的一大特点，在上海高考中占据一定的比重。

数学建模考题通常会结合实际问题，要求考生能够运用所学的数学知识，解决实际问题。

这部分考题需要考生灵活运用所学知识，进行分析和解答。

综上所述，上海高考数学考试主要涉及函数与方程、数列与数列极限、几何与向量、概率与统计以及数学建模等几个重要的知识点。

考生需要通过深入学习和练习，对这些知识进行充分的掌握和理解。

只有在真正掌握了这些知识点之后，才能够在高考中取得优异的成绩。

因此，考生应该制定科学的复习计划，注重理论与实践相结合，提高解题思维能力和运算技巧，为高考数学取得好成绩做好充分准备。

高考数学大学知识点

高考数学大学知识点一、函数与极限1. 函数的概念与性质2. 极限的定义与基本性质3. 极限的运算法则4. 函数的连续性与间断点5. 无穷大与无穷小6. 参数方程与极坐标方程二、导数与微分1. 导数的定义与求导法则2. 高阶导数与隐函数求导3. 反函数与相关变化率4. 微分的概念与应用5. 泰勒公式与近似计算三、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与基本积分法2. 分部积分与换元积分法3. 定积分的概念与性质4. 牛顿—莱布尼茨公式与定积分应用5. 参数方程与极坐标下的积分计算四、常微分方程1. 常微分方程的基本概念2. 一阶线性常微分方程及解法3. 高阶线性常微分方程及解法4. 常系数线性齐次微分方程5. 常系数线性非齐次微分方程五、概率论与数理统计1. 随机变量与概率分布2. 期望与方差3. 大数定律与中心极限定理4. 参数估计与假设检验5. 相关性与回归分析六、线性代数1. 行列式与矩阵2. 线性方程组与矩阵的秩3. 向量空间与线性变换4. 特征值与特征向量5. 正交性与对称性矩阵七、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质2. 偏导数与全微分3. 隐函数与参数方程4. 最值与条件极值问题5. 二重积分与三重积分八、多元函数微分学1. 多元函数的极值与条件极值2. 梯度与方向导数3. 多元函数的泰勒公式4. 多元函数的隐函数与参数方程求导5. 二重积分与三重积分的计算九、空间解析几何1. 空间直线与平面2. 空间曲线与曲面3. 空间曲线与曲面的切线与法线4. 球坐标系与柱坐标系5. 空间曲线与曲面的参数方程十、数学建模1. 建模的基本概念与步骤2. 常用的数学建模方法与技巧3. 数学建模中的优化问题与约束条件4. 数学建模在实际问题中的应用5. 模型的建立与验证以上是高考数学大学知识点的大致范围，希望对你有所帮助。

在备考过程中，建议深入理解每个知识点，并通过大量的练习题来巩固掌握。

祝你取得优异的成绩！。

上海高中数学知识点全总结

上海高中数学知识点全总结一、代数与函数1. 集合与函数的概念集合的基本概念、表示法和运算；函数的定义、性质和运算；特殊函数（如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的图像和性质。

2. 代数式的运算整式的加减乘除、因式分解；分式的约分和通分；多项式的根的求解；复数的基本概念和运算。

3. 不等式一元一次不等式和一元二次不等式的解法；不等式的证明；绝对值不等式的解集求解。

4. 函数的极限与连续性数列极限的概念和性质；函数极限的定义、性质和计算；无穷小量和无穷大量的概念；函数的连续性。

5. 导数与微分导数的定义、几何意义和物理意义；常见函数的导数；高阶导数；隐函数的求导；微分的概念和应用。

6. 函数的极值与最值问题极值存在的条件；最值的求解方法；实际问题中的最大值和最小值问题。

7. 函数的图像与性质函数的单调性、奇偶性、周期性；三角函数的图像和性质；指数函数和对数函数的图像；反函数的概念。

二、几何1. 平面几何点、线、面的基本性质；直线和圆的方程；圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程和性质；多边形的面积和几何变换。

2. 空间几何空间直线和平面的方程；空间向量的基本概念和运算；立体几何图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球）的体积和表面积计算；空间几何体的外接和内切问题。

3. 解析几何坐标系的建立和应用；曲线的参数方程；极坐标系和直角坐标系的转换；曲线的对称性。

三、概率与统计1. 概率论基础随机事件的概率；条件概率和独立事件；贝叶斯定理；随机变量及其分布；离散型和连续型随机变量的概率密度函数。

2. 统计学基础数据的收集和整理；平均数、中位数、众数、方差、标准差的概念和计算；数据的图形表示（如直方图、箱线图）；线性回归分析。

四、数学分析1. 数列的极限数列极限的概念；数列极限的性质；无穷等比数列的极限；级数的概念和收敛性。

2. 函数的极限与连续性函数极限的ε-δ定义；连续函数的性质和分类；闭区间上连续函数的性质。

高中数学知识点：极限

高中数学知识点：极限1. 什么是极限？答：极限是一个变量趋近于某一值时（通常是无穷大或无穷小）的过程。

2. 举例说明什么是极限。

答：比如当x趋近于无穷大时，1/x的极限为0。

3. 什么是单侧极限？答：当变量趋近于某一点时，如果左右两侧的极限不相等，那么就存在单侧极限。

4. 什么是无穷小？答：当变量趋近于某一值时，如果该变量趋近于0，那么该变量被称为无穷小。

5. 无穷小与极限有何关系？答：无穷小是用来描述极限过程中变量的行为，也就是当变量趋近于某一值时的表现。

6. 极限存在的条件是什么？答：当左右两侧的极限相等时，极限才存在。

7. 极限不存在的情况有哪些？答：1）当左右两侧的极限不相等时；2）当左右两侧的极限均不存在时。

8. 极限的运算规则有哪些？答：1）极限的加减法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b，则lim[f(x)±g(x)]=a±b；2）极限的乘法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b，则lim [f(x)g(x)]=ab；3）极限的除法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b（b≠0），则lim [f(x)/g(x)]=a/b。

以上规则仅在极限存在的情况下成立。

9. 什么是函数的连续性？答：函数在某一点处连续，当且仅当该点左右两侧的极限相等，且该点处的函数值等于其极限值。

10. 极限的应用有哪些？答：极限在微积分中有广泛的应用，如求导、积分等。

练习题：1. 求limx→1 (x^2-1)/(x-1)。

答：limx→1 (x^2-1)/(x-1) = limx→1 (x+1) = 2。

2. 求limx→∞ (2x+1)/(4x-2)。

答：limx→∞ (2x+1)/(4x-2) = limx→∞ (2+1/x)/(4-2/x) = 1/2。

3. 求极限limx→2 (2x+5)/|x-2|。

答：左极限：limx→2^- (2x+5)/|x-2| = -7/0^- = 无穷大；右极限：limx→2^+ (2x+5)/|x-2| = 9/0^+ = 无穷大。

上海高考数学知识点列数

上海高考数学知识点列数数学是高考的一门重要科目，也是很多学生头疼的科目之一。

对于上海高考来说，数学占据了相当大的比重。

为了帮助大家更好地备考数学，下面将列举一些上海高考数学中的重点知识点。

1. 函数与方程函数与方程是数学的基础，也是高考数学的重点之一。

包括一元一次方程、一元二次方程的求解，函数的定义与性质，函数图像的绘制与分析等等。

其中，一元一次方程和一元二次方程的应用尤为重要，往往涉及到实际问题的求解。

2. 平面向量平面向量是高中数学的重要内容，也是上海高考数学考试的重点之一。

平面向量的定义与运算，平面向量的数量积与叉积，平面向量与几何的应用等等。

平面向量的学习需要理解和熟练掌握向量的基本概念和运算法则，同时还要能够将向量和几何相结合，解决实际问题。

3. 三角函数三角函数是数学中的重要分支，也是上海高考数学考试的必考内容。

包括三角函数的定义、性质与图像，三角函数的基本关系式，三角函数的应用等等。

三角函数是解决三角形相关问题的重要工具，掌握好三角函数的概念和运算法则，对于解题至关重要。

4. 排列组合与概率排列组合与概率是概率论的基础内容，也是上海高考数学考试的常见考点。

涉及到排列、组合、排列组合的计算、概率的概念与性质、概率的计算等等。

在解题中，需要灵活运用排列组合与概率的知识，理解问题中的条件与要求，进行适当的计算和推理。

5. 导数与微分导数与微分是微积分的基本概念，也是上海高考数学考试中的重点。

包括导数与微分的定义、性质与应用，常见函数的导数与微分等等。

导数与微分是研究函数变化的重要工具，对于解题能力和数学思维的培养都有着重要的作用。

6. 数列与数列极限数列与数列极限是高中数学的重要内容，也是上海高考数学考试的常见考点。

包括数列的概念与性质，等差数列与等比数列的求和与通项，数列极限的定义与计算等等。

数列与数列极限的学习需要掌握数列的基本概念和运算法则，同时还要能够运用极限的概念解决数列极限问题。

2019年上海高考数学第一轮复习第25讲数列的极限

第25讲数列的极限[基础篇]一、数列极限的概念：（1）有穷数列一定不存在极限，无穷数列不一定有极限（2）数列是否有极限与数列前面的有限项无关（3）如果一个数列有极限，那么它的极限是一个确定的常数二、数列极限的运算：（1）3个常见的数列极限是：lim n c c →∞=；1lim 0n n →∞=；lim 0nn q →∞=，1q <（2）只有当数列极限都存在时才能对数列极限之间进行运算（3）仅限定在有限个极限间的四则运算，不能推广到无限个极限间做运算三、无穷等比数列的各项和：（1）使用的条件：若公比为q ，则q 的范围是01q << （2）常见的应用：循环小数化分数，几何应用[技能篇]例题1 下列命题正确的是（） A ．若0)(lim =∞→n n n b a ，则0lim =∞→n n a 且0lim =∞→n n b ；B ．无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim +∞→∞→=n n n n a a ；C ．若n n a ∞→lim 存在，n n b ∞→lim 不存在，则)(lim n n n b a ∞→不存在；D. 若两个无穷数列的极限都存在，且n n b a ≠，则≠∞→n n a lim n n b ∞→lim 。

例题2 若()131lim331nnn n a +→∞=++，则a 的取值范围______例题3 求下列极限：（1）∞→n lim757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n n -+2）; （3）∞→n lim （22n +24n +…+22n n ）．例题4 若12122lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+∞→bn n an n n ，则b a 的值为例题5 数列{}n a 中，22211100010012n n na n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限为例题6 若131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是例题7 若nn a a ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→21lim 存在，则a 的取值范围是________例题8 若21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，则a =_______，b = _______例题9 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是4，则首项1a 的取值范围是________例题10 若数列{}n a 的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，1,2n =，…，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=.A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 2524例题11 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x=>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞=例题12 设无穷等比数列{}n a 满足135218lim(...)3n n a a a a -→∞++++=，求首项1a 的取值范围．例题13 以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长a 为半径，在正方形内画弧，得四个交点1111,,,A B C D ，再在正方形1111A B C D 内用同样的方法得到又一个正方形2222A B C D ，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和（包括正方形ABCD ）A M NEFC B H GS1S 2例题14 如图，在等腰直角三角形ABC 中，已知∠A 90=°，斜边BC 长为a ，途中排列着的内接正方形的面积分别为123,,S S S ⋯求：（1）无穷个正方形的周长之和；（2）无穷个正方形的面积之积[竞技篇]一、填空题：1、若lim n n a A →+∞=，数列{}n b 是由{}n a 中123,,,......()k k k a a a k N *+++∈按照原来的顺序排列而成，则lim n n b →+∞=2、数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限 3、32211lim()334n n n n n n →∞-+-=++ 4、1111lim(...)1447710(32)(31)n n n →∞++++=⨯⨯⨯-+ 5、若321lim()03n n an b n n →∞---=+，则a ，b 的值为 6、1lim()1nnn a a →∞-=+ （a ≠－1） 7、若131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是8、设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则22lim n n na n S →∞-=9、在数列{}n a 中，542n a n =-，2123...n a a a a an bn ++++=+，n ∈N*，其中a ，b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-=+ 10、16248...(2)lim 43927 (3)n n n +→∞-+-++-=+++++ 11、248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++= 12、1111lim(...)123n m n n n n n m→∞-----=++++ （m ∈N*，m 为常数）二、选择题：13、无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n a 有极限是数列{}n S 有极限的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件12、若数列{}n a 的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，1,2n =，…，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=.A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 252415、一个无穷等比数列公比为q ，满足01q <<，前n 项和为n S ，且它的第四项和第八项之和等于178，第五项与第七项之积等于14，则lim n n S →∞等于（）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）816、设(),n n n P x y 是直线()*21n x y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n x ny x →∞-=-A. 1-B. 12-C. 1D. 2三、解答题：17、已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为x （x ＞0），其前n 项和为n S ，求函数1()lim nn n S f x S →∞+=的解析式：18、已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差为d ，前n 项和为n A ；等比数列{}n b 的首项为1，公比为q ，1q <，前n 项和为n B ，记12...n n S B B B =+++，若lim()1nn n A S n→∞-=，求{}n a 、{}n b 的通项公式19、设{}n a 是首项为a ，公比为q （q ＞0）的等比数列，前n 项和为n S ，若22212...()n n G a a a n N *=+++∈，求lim nn nS G →+∞20、函数2()12f x x =+-n 为正整数），设()f x 在(0,)+∞上取最小值时，自变量x 的取值为n a（1）求数列{}n a 的通项公式（2）已知数列{}n b ，对任意正整数n ，都有2(45)1n n b a ⋅-=成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →∞（3）在点列112233(1,),(2,),(3,),...,(,),...n n A a A a A a A n a 中是否存在两点,i j A A （,i j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（,i j ）；若不存在，说明理由21、已知数列{}n a 的前n 项和n S 可表示为(3)(2)(1)(2)(1)166n n n n n n nS +++++=-+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()f n 为关于n 的多项式，且满足lim ()2n n n S f n a →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，求()f n 的表达式。

高考数学数列极限知识点汇总

高考数学数列极限知识点汇总在高考数学中，数列极限是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的部分。

为了帮助大家更好地掌握这一知识点，下面就为大家详细汇总一下数列极限的相关内容。

一、数列极限的定义如果当项数n 无限增大时，数列的通项an 无限接近于某个常数A，那么就称 A 是数列{an}的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A 。

这里要注意“无限接近”的含义，并不是说数列的项最终等于这个常数，而是它们之间的距离可以任意小。

二、数列极限的性质1、唯一性：如果数列{an}有极限，那么这个极限是唯一的。

2、有界性：如果数列{an}有极限，那么数列{an}一定是有界的。

3、保号性：如果lim(n→∞） an ＝ A，且 A ＞ 0（或 A ＜ 0），那么存在正整数 N，当 n ＞ N 时，an ＞ 0（或 an ＜ 0）。

三、常见数列的极限1、常数列：若{an}为常数列，即 an ＝ C（C 为常数），则lim(n→∞） an ＝ C 。

2、等差数列：若{an}为等差数列，首项为 a1，公差为 d 。

当 d ＝0 时，lim(n→∞） an ＝ a1 ；当d ≠ 0 时，数列{an}没有极限。

3、等比数列：若{an}为等比数列，首项为 a1，公比为 q 。

当｜q| ＜ 1 时，lim(n→∞） an ＝ 0 ；当 q ＝ 1 时，lim(n→∞） an ＝ a1 ；当｜q| ＞ 1 时，数列{an}没有极限。

四、数列极限的运算1、四则运算：如果lim(n→∞） an ＝ A，lim(n→∞） bn ＝ B ，那么（1）lim(n→∞）（an ± bn) ＝ A ± B ；（2）lim(n→∞）（an · bn) ＝ A · B ；（3）当B ≠ 0 时，lim(n→∞）（an ／ bn) ＝ A ／ B 。

2、指数运算：若lim(n→∞） an ＝ A ，则lim(n→∞） an^k ＝ A^k （k 为正整数）。

极限高数知识点总结

极限高数知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数趋于某个趋势或者某个值时的性质的一种方法。

极限的研究对于理解函数的性质、求解微积分的各种问题具有非常重要的意义。

在高等数学中，极限被广泛应用于各个领域，是数学分析的基础和核心之一。

下面我们来系统地总结一下极限的相关知识点。

一、极限概念1.1 函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一值时，因变量的值趋于某一值。

设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义时，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，对应的f(x)都满足|f(x)-A|<ε。

那么称当x趋于a时，f(x)的极限为A，记作lim(f(x))=A，或者x→a时f(x)趋于A。

1.2 无穷大与无穷小当x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷大，记作lim(f(x))=∞。

当x趋于无穷小时，函数f(x)的极限称为无穷小，记作lim(f(x))=0。

1.3 极限运算法则函数极限的运算法则包括加减乘除四则运算法则、乘积的极限法则、商的极限法则等。

二、极限存在性2.1 极限的必要条件与充分条件函数极限存在的充分必要条件是明确的，但是对于不同类型的函数，其极限存在的条件也有所不同。

比如对于无穷大级数，其收敛的充分必要条件为级数通项趋于0。

2.2 极限存在的判定方法判定极限是否存在的方法包括夹逼准则、单调有界法、变量代换法、洛必达法则、泰勒展开法等。

三、极限计算3.1 无穷小量的性质无穷小量有许多性质，包括有限个无穷小的和、积仍是无穷小，无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小，无穷小的高阶无穷小、低阶无穷小、等阶无穷小等。

3.2 无穷大量的性质无穷大量也有一些性质，包括有限个无穷大的和、积仍是无穷大，无穷大的倒数为无穷小等。

3.3 极限的计算方法极限的计算方法包括利用极限的基本性质和极限的等价无穷小、等价无穷大的性质，还有利用洛必达法则或者泰勒展开法则进行计算。

高等数学极限知识点总结

高等数学极限知识点总结
以下是高等数学极限知识点总结：
1. 极限的定义：极限是描述函数在某一点的行为的数学工具。

它包括数列的极限和函数的极限。

2. 极限的性质：包括唯一性，有界性，和收敛性。

3. 极限的四则运算法则：如果lim f(x)，lim g(x)存在，那么对于加减乘除四种运算，极限都存在。

4. 极限的夹逼定理：如果一个数列被两个已知极限的数列夹在中间，那么这个数列的极限就是这两个数列的极限。

5. 函数极限的运算法则：如果lim f(x)存在，那么lim [f(x) + c] = lim f(x) + lim c，lim [f(x) c] = lim f(x) lim c，其中c是一个常数。

6. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是一个趋于0的变量，无穷大是一个趋于无穷的变量。

7. 洛必达法则：当分子和分母的极限都存在时，可以求出函数的极限。

8. 泰勒级数：将一个函数表示为其各阶导数的无限和的方法。

9. 单侧极限和双侧极限：函数在某一点的单侧极限是指函数在该点的左侧或右侧的极限；双侧极限是指函数在这一点左侧和右侧的极限。

10. 连续性和可微性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续；如果一个函数在某一点的导数存在，则称该函数在该点可微。

以上就是高等数学极限的基本知识点，希望对你有所帮助。

极限重要知识点总结

极限重要知识点总结一、极限的定义1.1 函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于的某一确切值。

数学上用符号“lim”表示函数的极限，具体定义如下：对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个确定的常数L，使得对于任意小的正数ε，总存在着另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

1.2 数列的极限除了函数的极限，数列的极限也是极限的一种特殊情况。

对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个确定的常数a，使得对于任意小的正数ε，总存在着自然数N，使得当n>N时，就有|an-a|<ε成立，那么就称数列{an}在n趋于无穷大时的极限为a，记作lim(n→∞)an=a。

1.3 极限的重要性极限对于微积分的发展具有非常重要的意义，它为导数和积分的定义提供了理论基础。

在实际问题中，极限也具有很高的应用价值，它可以帮助我们研究和描述诸如速度、加速度、概率等问题，因此对于学习微积分和实际问题的解决都具有非常重要的意义。

二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x=a的极限存在，那么这个极限是唯一的。

这意味着在某一点的极限值是确定的，不会有多个不同的极限值。

2.2 极限的有界性如果函数f(x)在x=a的极限存在且有限，那么函数f(x)在x=a的某个邻域内是有界的。

在实际应用中，有界性可以帮助我们判断函数在某个点附近的变化规律。

2.3 极限的保号性如果函数f(x)在x=a的某个邻域内恒大于（或小于）一个有限数L，则函数f(x)在x=a的极限也恒大于（或小于）L。

这个性质在实际问题中也具有很高的应用价值，可以帮助我们快速判断函数在某一点附近的变化规律。

2.4 极限的四则运算法则如果函数f(x)和g(x)在x=a的极限分别存在，那么它们的和、差、积、商的极限也分别存在，并且有如下关系：lim(x→a)(f(x)±g(x))=lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)×g(x))=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)÷g(x))=lim(x→a)f(x)÷lim(x→a)g(x)（其中lim(x→a)g(x)≠0）。

极限知识点高三数学

极限知识点高三数学在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。

它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。

本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

一、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。

一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。

例如lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。

二、常见的极限运算法则1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。

2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则：(1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)(2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)(3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x)(4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0)3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有lim(x→a)f[g(x)]=L。

4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。

例如，如果lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。

三、例题分析为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题：例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。

解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰勒级数展开来计算该极限。

上海高中数学数列的极限

上海高中数学数列的极限第一篇：上海高中数学数列的极限7.6数列的极限课标解读：1、理解数列极限的意义；2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列限地趋近于某个常数注：{an}的项an无a(即|ann-a|无限地接近于0)，那么就说数列{an}以a为极限。

a不一定是{a}中的项。

1lim=0limC=Cn→∞n2、几个常用的极限：①n→∞(C为常数)；②；③limqn=0(|q|<1)n→∞；3、数列极限的四则运算法则：设数列{an}、{bn}，当liman=an→∞，limbn=bn→∞时，n→∞limlim(an±bn)=a±b；lim(an⋅bn)=a⋅bn→∞ana=(b≠0)n→∞bbn；4、两个重要极限：①c>0⎧01⎪limc=⎨1c=0n→∞n⎪不存在c<0⎩|r|<1⎧0⎪nlimr=1r=1 ②n→∞⎨⎪不存在|r|>1或r=-1⎩问题解析：一、求极限：例1：求下列极限：2(1)lim4n+n+1lim3n3+nn→∞2n2+3(2)n→∞2n4-n(3)nlim→∞(n2+n-n)例2：求下列极限：(1)nlim→∞(1n2+4n2+73n-2n2+Λ+n2)；(2)lim1n→∞[2⨯5+15⨯8+18⨯11+Λ+1(3n-1)⨯(3n+2)]例3：求下式的极限：limcosnθ-sinnθn→∞cosnθ+sinnθ,θ∈(0,π2)二、极限中的分数讨论：例4：已知数列{an}是由正数构成的数列，a1=3，lgan=lgan-1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数。

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；且满足2n-1-an(2)求lim的值。

n→∞2n+an+1三、极限的应用：1(1+)p-1n例5：已知p、q是两个不相等的正整数，且q≥2，求lim的值。