3.认识无理数

9:30初二数学5 3.认识无理数

1．无理数

(1)无理数的概念

无限不循环小数叫做无理数．

学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．

(2)有理数与无理数的区别

事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也

都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31

这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750

. 有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．

【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227，－5.23·，－π2

. 解：有理数有：______________________________________________

无理数有：__________________________________________________

【例2】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题．

(1)x 的整数部分是多少？

(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？

(3)x 是有理数吗？请简要说明理由．

解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，6.76＜x 2＜7.29； 当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；

当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316；

…

则有：

(1)x 的整数部分为2.

(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65.

(3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方

等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数．

3．无理数的常见类型

判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：

(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．

看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．

(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． (3)开方开不尽的数(下一节学到)．

【例3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？

0，π2，－4,0.12··，－117

，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141 592 7. 解：有理数为______________________________；无理数为_______________________________． 辨误区 π与3.141 592 7的区别:3．141 592 7属于有限小数，不是π，要注意区分．

4．无理数的应用

无理数的估算用的是“夹逼法”，要注意掌握其应用特征．估算无理数的近似值，应先确定被估算无理数的整数取值范围；再以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数开始逐步减0.1)，并求其平方确定被估

算数的十分位；…；如此继续下去，可以求估算无理数的近似值．

注：误差小于0.1与精确到0.1是不同的两个概念．在处理有关问题时要看清要求，再着手处理．

【例4】 如图所示，要从离地面5 m 的电线杆上的B 处向地面C 处拉一条钢丝绳来固定电线杆，要固定点C 到A 处的距离为3 m ，求钢丝绳BC 的长度(精确到十分位)．

解：

练习:

1.在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段.

2.在数轴上表示满足()220x x =>的x

解：

点P 表示x.

仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x