2011湘潭高三五模数学(理)试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷,含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，含答案）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+答案：B4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”答案：C5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C 6. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12 B ．1 CD答案：D7. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 答案：A8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12 C答案：D二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
湖南省湘潭市2011届高三第五次模拟考试试卷--数学理(Word版)
湘潭市2011届高三第五次模拟考试试卷理科数学一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={1，2，3，4}，M N={2，3}，则集合N 可以为（ ）. A.｛1，2，3｝ B.｛1，3，4｝ C.｛1，2，4｝ D.｛2，3，5｝2.抛物线24y x =上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离||4MF =，则点M 的横坐标x =（ ）. A.2 B. 3 C. 4 D. 5 3．“a =1”是函数()a x x f -=在区间[)+∞,1上为增函数的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）.A.π6B.π7C.π8D.π95.已知方程7.8585.0ˆ-=x y是根据女大学生的身高预报她体重的回归方程，其中yx ˆ,的单位分别是kg cm ,，则该方程在样本（165，57）处的残差是（ ）.A.54.55B.2.45C.-2.45D.111.556.在△ABC 中，)23sin ,23(cos =，)22cos 2,22sin 2( =，则△ABC 的面积为（ ）.A.22B.2C.22 D.327.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤---=)20(cos )01(1πx x x x x f 的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为（ ）.8.定义在R上的函数)(x f y =，在（-∞，a ）上是增函数，且函数)(a x f y +=是偶函数，当a x a x ><21,，（正视图） （侧视图）（俯视图）（第4题图）且a x a x -<-21时，有（ ）.A.)2()2(21x a f x a f ->-B.)2()2(21x a f x a f -=-C.)2()2(21x a f x a f -<-D.)2()2(21a x f x a f -<--二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填写在答题卡中对应题号后的横线上.A ）必做题：9.执行右图所示的程序框图，输出结果y 的值是_________. 10.若二项式(12)nx +展开式中3x 项的系数等于x 项的系数的8倍，则n 等于 .11.已知两定点M （-2，0），N （2，0），若直线上存在点P ，使得2||||=-PN PM ，则该称直线为“A 型直线”.给出下列直线：①1y x =+， ②23+=x y ， ③3y x =-+，④x y 2-=，其中是“A 型直线”的序号是 .12.若不等式组0,0,4x y y kx k ≥⎧⎪≥⎨⎪≤-+⎩表示的区域面积为S ，则（1）当S=2时，=k ； （2）当1>k 时，1-k kS的最小值为 . 13.把正整数排列成三角形数阵（如图甲），如果擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到新的三角形数阵（如图乙），再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，则2011a =.B ）选做题：（从下列三道题中，任选两道题作答，三道题都答的，按前两道题答案给分） 14.（几何证明选讲）如图，半径为2的⊙O 中，90AOB ∠=︒，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ， 则线段DE 的长为 .（第14题图）（第9题图）15.(不等式选讲)已知函数)|2||12(|log )(2m x x x f -+++=.若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，则m 的取值范围是 .三．解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知平面上三点)0,2(A ，)2,0(B ，)sin ,(cos ααC .（1）若2()7OA OC +=（O 为坐标原点），求向量与夹角的大小；（2）若BC AC ⊥，求α2sin 的值.18.（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，设复数z a bi =+. （1）设事件A ：“3z i -为实数”，求事件A 的概率；（2）当“23z -≤”成立时，令b a +=ξ，求ξ的分布列和期望.19.（本小题满分12分）已知正方形ABCD 的边长为1，ACBD O =．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使1AC =，得到三棱锥A —BCD ，如图所示. （1）求证：AO BCD ⊥平面；（2）求二面角A BC D --的余弦值.20.（本小题满分13分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生李霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.李霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元.（1）若李霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值； （2）当50x =时，李霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？ （参考数据：181920211.05 2.406,1.05 2.526,1.05 2.653,1.05 2.786====）21.（本小题满分13分）若圆C 过点(0,1)M 且与直线1:-=y l 相切，设圆心C 的轨迹为曲线E ，A 、B 为曲线E 上的两点，点)0)(,0(>t t P ，且满足(1)AP PB λλ=>. （1）求曲线E 的方程； （2）若6=t ，直线AB 的斜率为21，过A 、B 两点的圆N 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆N 的方程；（3）分别过A 、B 作曲线E 的切线，两条切线交于点Q ，若点Q 恰好在直线l 上，求证：t 与QA QB ⋅均为定值.22.（本小题满分13分）己知函数1()(1)ln(1)f x x x =++.（1）求函数()f x 的增区间； （2）是否存在实数m ，使不等式112(1)m x x +>+在10x -<<时恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.湘潭市2011届高三第五次模拟考试试卷理科数学参考答案一．选择题：1~8 DBABBCCA二．填空题：9. 1 10.5 11. ①③ 12.41;32 13. 395914．553 15.21-≤m 16. ⎪⎭⎫⎝⎛3,2π 三．解答题：17.解：（1）∵)sin ,cos 2(αα+=+，2()7OA OC +=，∴7sin )cos 2(22=++αα，∴21cos =α， …………………………………… 4分 又)2,0(B ，)sin ,(cos ααC ，设与的夹角为θ，则23sin 2sin 2cos ±====ααθOC OB ， ∴OB 与OC 的夹角为6π或π65； ………………………………………………… 7分 （2）(cos 2,sin )AC αα=-，)2sin ,(cos -=αα，… 9分由AC BC ⊥，∴0AC BC ⋅=， 可得21sin cos =+αα，① ………………… 11分 ∴41)sin (cos 2=+αα，∴43cos sin 2-=αα，432sin -=α. …………………12分18.解：（1）3z i -为实数，即3(3)a bi i a b i +-=+-为实数，∴b ＝3， --------3分 又依题意，b 可取1，2，3，4，5，6，故出现b ＝3的概率为16， 即事件“3z i -为实数”的概率为16； ---------------------------------6分（2）由已知，2|2|3z a bi -=-+=≤， ---------------------------------8分 可知，b 的值只能取1、2、3， ---------------------------------9分 当b ＝1时， 2(2)8a -≤，即a 可取1，2，3，4 当b ＝2时， 2(2)5a -≤，即a 可取1，2，3，4 当b ＝3时， 2(2)0a -≤，即a 可取2， 由上可知，ξ=2、3、4、5，6ξ的分布列为96915989692++++=ξE =937. ---------------------------------12分 19.解：（1）证明：在AOC ∆中，1AC =，AO CO ==， ∴222AC AO CO =+，∴AO CO ⊥，又 AC BD 、是正方形ABCD 的对角线，∴AO BD ⊥， 又BD CO O =∴AO BCD ⊥平面； …………………………………………4分（2）由（1）知AO BCD ⊥平面，则OC ，OA ，OD 两两互相垂直，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(0,O A C B D ，(0,0,2OA =是平面BCD 的一个法向量，………………7分2(22AC =-，2(22BC =，设平面ABC 的法向量(,,)x y z =n ,则0BC ⋅=n ，0AC ⋅=n ，即(,,)0(,,)0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， …………………….10分 所以,y x =-且,z x =令1,x =则1y =-，1z =，解得(1,1,1)=-n…………………11分从而3cos ,||||OA OA OA ⋅〈〉==n n n A BC D --……………12分 20.解：（1）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为n a 构成等差数列，其中1500a x =+，公差为x .从而，到第36个月，李霄共还款124(241)12500242a x ⨯-⨯++⋅令24(241)12500(500)24240002x x ⨯-⨯++⨯+⋅=，解之得20x =（元）， 据题意，验证可行。
2011年湖南高考数学理工试题 有详解 word
2011年湖南高考数学（理工农医类）试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中A ,B 为两个事件，且P (A )>0.（2）柱体体积公式V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高.（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若a ,b ∈R ，i 为虚数单位，且(a +i )i=b+i ，则( )A ．a =1,b =1B ．a =-1,b =1C ．a =-1,b =-1D ．a =1,b =-1 2．设M ={1,2}，N ={a 2}，则“a =1”是“N ⊆M ”则( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．9122π+B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”5．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为3x ±2y =0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．16．由直线,,033x x y ππ=-==与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1CD 正视图 侧视图7．设m>1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,+∞) 8．设直线x=t 与函数f (x )=x 2, g (x )=ln x 的图像分别交于点M ,N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12 C．2 D．2二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
2011年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
2011年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷时间：120分钟 总分：100分 姓名： 得分： 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合{,}M a b =，{,}N b c =，则M N 等于（ ）A ．{,}a bB ．{,}b cC ．{,}a cD ．{}b2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱 3．函数()sin ,f x x x R =∈的最小正周期是（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．2π 4．已知向量(2,1),(1,).x ==a b 若⊥a b ，则实数x 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 5．在区间(0,)+∞为增函数的是（ ） A ．()f x x =- B ．1()f x x = C ．()lg f x x = D ．1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6．某检测箱中有10袋食品，其中由8袋符合国际卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ） A ．18B ．45C ．110D ．157．在平面直角坐标系中，O 为原点，点P 是线段AB 的中点，向量(3,3),(1,5),OA OB ==- 则向量OP =（ ）A ．(1,2)B ．(2,4)C ．(1,4)D ．(2,8)8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11B D 与平面1BC D 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．直线11B D 在平面1BC D 内9．函数()23x f x =-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60,45,A B ==6b =，则a =（ ） A ．3B ．2C ．3D ．6 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．样本数据3，9，5，2，6的中位数是 .．12．已知某程序框图如图所示，若输入的x 的值为3，则输出的值为 . 13．已知0,x >则函数1y x x=+的最小值是 ． 14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是 .．15．已知点(,)x y 在如图所示的阴影部分内运动，且3z x y m =-+的最大值为2，则实数m = ． 三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1sin ,(0,)22παα=∈（1）求cos α的值；（2）求sin2cos2αα+的值.17．（本小题满分8分）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.(1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数； (2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.正视图 侧视图 俯视图 O 500.030.0250.020.0150.010.0054060708090100成绩频率组距开始x输入0?x >x 输出x 输出-结束 是否第12题图P C BD A 第14题图 第15题图A BC D1A 1B 1C 1D18．（本小题满分8分）已知二次函数2()f x x ax b =++，满足(0)6f =，(1)5f =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当[2,2]x ∈-，求函数()y f x =的最小值与最大值. 19．（本小题满分8分）在数列{}n a 中，已知*112,2(2,)n n a a a n n N -==≥∈. （1）试写出23,a a ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．（本小题满分10分）已知关于,x y 的二元二次方程22240()x y x y k k R ++-+=∈表示圆.C（1）求圆心C 的坐标； （2）求实数k 的取值范围（3）是否存在实数k 使直线:240l x y -+=与圆C 相交于,M N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）？若存在，请求出k 的值；若不存在，说明理由.2011年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题二、填空题11、 5 ； 12、 3 ； 13、 2 ； 14、45 ； 15、 2三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而cos α= （2）2sin 2cos22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人） 18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩ （2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)1232n n n S n +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒< （3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒< 112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足。
2011年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011?湖南）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣1 【考点】复数相等的充要条件．【专题】计算题．【分析】利用复数的乘法运算将等式化简；利用复数相等实部、虚部分别相等；列出方程求出a，b的值．【解答】解：（a+i）i=b+i即﹣1+ai=b+i∴a=1，b=﹣1故选D【点评】本题考查两个复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等．2．（5分）（2011?湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N?M”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】先由a=1判断是否能推出“N?M”；再由“N?M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N?M当N?M时，a 2=1或a2=2有所以“a=1”是“N?M”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题．3．（5分）（2011?湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2=18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选D．【点评】本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题．4．（5分）（2011?湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，．参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】独立性检验的应用．【专题】常规题型．【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．【解答】解：由题意算得，．∵7.8＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C．【点评】本题考查独立性检验的应用，这种问题一般运算量比较大，通常是为考查运算能力设计的，本题有创新的地方就是给出了观测值，只要进行比较就可以，本题是一个基础题．5．（5分）（2011?湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值．【解答】解：的渐近线为y=，∵y=与3x±2y=0重合，∴a=2．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．6．（5分）（2011?湖南）由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选D．【点评】本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题．7．（5分）（2011?湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，3）D．（3，+∞）【考点】简单线性规划的应用．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．【解答】解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于m的不等式组是解答本题的关键．8．（5分）（2011?湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx 恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2011?湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为 2 ．【考点】简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程．【专题】计算题．【分析】先根据sin2α+cos2α=1，求出曲线C1的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，求出曲线C2的直角坐标方程，然后判定交点个数即可．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为（α为参数），sin2α+cos2α=1∴曲线C1的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，p（cosθ﹣sinθ）+1=0∴曲线C2的方程为x﹣y+1=0而圆心到直线的距离d=0＜r，故C1与C2的交点个数为2故答案为：2【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，属于基础题．10．（5分）（2011?湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为9 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】对展开，利用基本不等式即可求得其最小值．【解答】解：∵x，y∈R，且xy≠0，∴=1+4+≥5+2=9 当且仅当时等号成立，∴的最小值为9．故答案为9．【点评】此题是个基础题．考查利用基本不等式求最值，注意正、定、等，考查学生利用知识分析解决问题的能力和计算能力．11．（2011?湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题．【分析】根据半圆的三等分点，得到三个弧对应的角度是60°，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形的有关长度，做出要求的线段的长度．【解答】解：∵A，E是半圆周上的两个三等分点∴弧EC是一个60°的弧，∴∠EBC=30°，则CE=2，连接BA，则BA=2，∴在含有30°角的直角三角形中，BD=1，DF=，AD=∴AF=，故答案为：【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆周角定理，考查含有30°角的直角三角形的有关运算，本题是一个基础题．12．（5分）（2011?湖南）设S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n 项和，且a1=1，a4=7，则S9= 81 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先根据数列{a n}为等差数列，求出公差d，然后根据等差数列的前n项和公式求得S9．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，S n=na1+∵a1=1，a4=7∴a4=1+（4﹣1）d=7∴d=2∴S9=9×1+×2=81故答案为：81【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式．13．（5分）（2011?湖南）若执行如图所示的框图，输入x1=1，x 2=2，x3=3，=2，则输出的数等于．【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】先弄清该算法功能，S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，依此类推，当i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出所求即可．【解答】解：S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，i=2S=1+（2﹣2）2=1，i=2，满足条件i＜3，执行循环体，i=3S=1+（3﹣2）2=2，i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，则S=×2=故答案为：【点评】本题主要考查了方差的计算，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．14．（5分）（2011?湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设，，则= ﹣．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D为BC的中点，∴，∵，∴，∴=）==﹣，故答案为：﹣．【点评】此题是个中档题，考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合的思想．15．（5分）（2011?湖南）如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）= ；（2）P（B|A）= ．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题是个几何概型．用面积法求出事件A“豆子落在正方形EFGH内”的概率p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P （A）==，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，P（AB）==，∴P（B|A）=．故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．16．（5分）（2011?湖南）对于n∈N+，将n表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，当i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a1为0或1．记I（n）为上述表示中a i为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则（1）I（12）= 2 ；（2）= 1093 ．【考点】带余除法．【专题】计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）根据题意，分析可得，将n表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×23+1×22+0×21+0×20，由I（n）的意义，可得答案；（2）将n分为n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，12=1×23+1×22+0×21+0×20，则I （12）=2；（2）127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，设64≤n≤126，且n为整数；则n=1×26+a1×25+a2×24+a3×23+a4×22+a5×21+a6×20，a1，a2，a3，a4，a5，a6中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C60种情况，即有C60个I（n）=6；其中有一个为1时，有C61种情况，即有C61个I（n）=5；其中有2个为1时，有C62种情况，即有C62个I（n）=4；…2I（n）=C6026+C61×25+C62×24+C63×23+C64×22+C65×2+1=（2+1）n=36，同理可得：=35，…=31，2I（1）=1；则=1+3+32+…+36==1093；故答案为：（1）2；（2）1093．【点评】解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）（2011?湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（1）求角C的大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．（2）B=﹣A ，化简sinA﹣cos（B+）=2sin（A+）．因为0＜A ＜，推出求出2sin（A+）取得最大值2．得到A=，B=【解答】解：（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，又cosC≠0，所以tanC=1，C=．（2）有（1）知，B=﹣A，于是=sinA+cosA=2sin（A+）．因为0＜A ＜，所以从而当A+，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述，cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=【点评】本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．18．（12分）（2011?湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题．【分析】（I）“当天商品不进货”包含两个事件的和事件，利用古典概型概率公式求出两个事件的概率；再利用互斥事件的和事件概率公式求出当天商品不进货的概率．（II）求出x可取的值，利用古典概型概率公式及互斥事件和事件的概率公式求出x取每一个值的概率值；列出分布列；利用随机变量的期望公式求出x的期望．【解答】解：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+（“当天的商品销售量为1件”）=（II）由题意知，X的可能取值为2，3P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）=P（X=3）=（“当天的销售量为0”）+P（“当天的销售量为2件”）+P（“当天的销售量为3件”）=故x的分布列X的数学期望为EX=【点评】本题考查古典概型的概率公式、互斥随机的概率公式、随机变量的数学期望公式、求随机变量的分布列的步骤．19．（12分）（2011?湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）连接OC，先根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PO⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）过O分别作OH⊥PD于H，OG⊥PA于G，再连接GH，根据三垂线定理证明∠OGH为二面角B﹣PA﹣C的平面角，最后分别在Rt△ODA、Rt△ODP、Rt△OGH中计算出OH、OG和sin∠OGH，最后求出所求二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵OA=OC，D是AC的中点∴AC⊥OD又∵PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O∴AC⊥PO∵OD、PO是平面POD内的两条相交直线∴AC⊥平面POD，而AC?平面PAC∴平面POD⊥平面PAC（Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC所以OH⊥平面PAC，又∵PA?平面PAC∴PA⊥HO在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接GH，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG．故∠OGH为二面角B﹣PA﹣C的平面角在Rt△ODA中，OD=OA?sin45°=在Rt△ODP中，OH=在Rt△OPA中，OG=在Rt△OGH中，sin∠OGH=所以cos∠OGH=故二面角B﹣PA﹣C的余弦值为【点评】直线与平面垂直是证明空间垂直的关键，立体几何常常利用三垂线定理作辅助线，来求与二面角的平面角有关的问题．20．（13分）（2011?湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面P （面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由c的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0＜v≤c时，当c≤v≤10时，故（1）当0＜c＜时，y是关于v的减函数，故当v=10时，；（2）当时，在（0，c]上y是关于v的减函数，在（c，10]上，y是关于v的增函数，故当v=c时，答：（Ⅰ）函数y的表达式为（Ⅱ）（1）在0＜c的情况下，当v=10时，总淋雨量y最少；（2）在的情况下，当v=c时，总淋雨量y最少．【点评】本题着重考查函数应用能力，所建立的函数式为含有绝对值的式子．解决问题的关键一是要能根据v的范围将式子化简为分段函数，二是要将常数c进行讨论得出函数的单调性，从而得出不同情形下的最小值点．21．（13分）（2011?湖南）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题；综合题；压轴题；转化思想．【分析】（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B 坐标的等量关系，再代入求出k MA?k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．【解答】解：（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），所以k MA?k MB=====﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．|MA|?|MB|=?|k1|??|﹣|=．于是s由得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．解得或，，则点D的坐标为（，）．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．于是s22=|MD|?|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．【点评】本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．22．（13分）（2011?湖南）已知函数f（x）=x3，g（x）=x+．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．【考点】数列与不等式的综合；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=﹣1＜0，h（2）=6﹣，再研究函数在（0，+∞）上的单调性，以确定零点个数即可（Ⅱ）记h（x）的正零点为x 0，即，当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0，而，a2＜x0．由此猜测a n＜x0．当a≥x0时，由（Ⅰ）知，当x∈（x1，+∞）时，h（x）单调递增，h（a）＞h （x0）=0，从而a2＜a，由此猜测a n＜a．然后用数学归纳法证明．【解答】解：（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h （0）=0，且h（1）=﹣1＜0，h（2）=6﹣，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，∴h（x）至少有两个零点．由h（x）=，记，则，当x∈（0，+∞）时，g（x）单调递增，故可判断出h（x）在（0，+∞）仅有一个零点，综上所述，h（x）有且只有两个零点．（Ⅱ）记h（x）的正零点为x 0，即，（1）当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0，而x0．，∴a由此猜测a n＜x0．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1＜x0，成立．②假设当n=k时a k＜x0成立，则当n=k+1时，由x0．，知a因此当n=k+1时，a k+1＜x0成立．故对任意的n∈N*，a n≤x0成立．（2）当a≥x0时，由（Ⅰ）知，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，∴h（a）＞h（x0）=0，从而a2≤a，由此猜测a n≤a．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1≤a，成立．②假设当n=k时a k＜a成立，则当n=k+1时，由a．，知a因此当n=k+1时，a k+1＜a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．【点评】本题考查数列的性质和运用，解题时要注意不等式性质的合理运用和数学归纳法的证明过程．。
4-1等差、等比数列的基本问题
专题4 第1讲等差、等比数列的基本问题一、选择题1．(2011·江西文，5)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24[答案] B[解析] S 11－S 10＝a 11＝0，a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋10×(－2)＝0，所以a 1＝20.2．(2011·天津理，4)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110[答案] D[解析] 由条件：a 27＝a 3·a 9， 即(a 1＋6d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋8d )∴a 1＝20，S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.故选D.3．(2011·安徽文，7)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15[答案] A[解析] 设a 1＋a 2＋…＋a 10＝S ，则S ＝－1×(3×1－2)＋(－1)2×(3×2－2)＋…＋(－1)10(3×10－2) ① －S ＝(－1)2×(3×1－2)＋…＋(－1)10(3×9－2)＋(－1)11(3×10－2) ②①－②得2S ＝－1＋(－1)2×3＋…＋(－1)10×3－(－1)11×28＝－1＋3×(1－(－1))91＋1＋28.∴2S ＝30，∴S ＝15.4．(2011·辽宁文，5)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16[答案] B[解析] ∵a n ·a n ＋1＝16n ，∴a n －1·a n ＝16n －1∴a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2＝16n 16n －1＝16 ∴q ＝4.5．(2011·东北四市联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n ，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[答案] A[解析] 依题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ，则有a 2－a 1＝ln 21，a 3－a 2＝ln 32，a 4－a 3＝ln 43，…，a n －a n －1＝lnn n －1，叠加得a n －a 1＝ln(21·32·43·…·nn －1)＝ln n ，故a n ＝2＋ln n ，选A. 6．(2011·辽宁抚顺)在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84[答案] C[解析] 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60，故选C.7．(2011·安徽安庆)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标是( )A ．(2，12)B ．(－12，－2)C ．(－12，－1)D ．(－1，－1) [答案] B[解析] 由S 2＝10，S 5＝55得a 1＝3，d ＝4，∴a n ＝4n －1，∴PQ →＝(2,8)，故选B. 8．(2011·长沙二模)设S n 是各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和，若S n ＋S n ＋22S n ＋1，则公比q 的取值范围是( )A ．q >0B ．0<q ≤1C ．0<q <1D ．0<q <1或q >1 [答案] B[解析] 当等比数列{a n }的公比q ＝1时， ∵S n ＋S n ＋22＝na 1＋(n ＋2)a 12＝(n ＋1)a 1＝S n ＋1， ∴q ＝1符合题意．当q ≠1时(q >0)，∵S n ＋S n ＋2≤2S n ＋1， ∴a 1(q n－1)q －1＋a 1(q n ＋2－1)q －1－2a 1(q n ＋1－1)q －1≤0，即a 1q －1(q n＋q n ＋2－2q n ＋1)≤0， 化简得a 1q n q －1q －1)2≤0，即a 1q n(q －1)≤0，∴q －1<0，∴0<q <1.综上可知0<q ≤1.故选B. 二、填空题9．(文)(2011·北京文，12)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.[答案] 2,2n －1－12[解析]a 4a 1＝q 3＝412＝8，所以q ＝2， 所以 a 1＋a 2＋……＋a n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12(理)(2011·北京理，11)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.[答案] －2；2n －1－12[解析] 依题意：a 1＝12，a 4＝－4，则12q 3＝－4，∴q 3＝－8，∴q ＝－2. ∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－1210．(2011·重庆理，11)在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. [答案] 74[解析] a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝2×37＝74.11．等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a m ＋2＋a m ＋1＝6a m ，则{a n }的前4项和是______． [答案]152[解析] 由已知条件a m ＋2＋a m ＋1＝6a m 可得a 2q m ＋a 2q m －1＝6a 2q m －2，即得q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，则数列{a n }的前四项的和为12＋1＋2＋4＝152.12．(文)(2011·襄阳一调)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列{(12)a n }为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝3；③S n ＝na n －n (n －1)2d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①②③[解析] 对于①，注意到(12)a n ＋1(12)a n ＝(12)a n ＋1－a n ＝(12d 是一个非零常数，因此数列{(12)a n }是等比数列，①正确．对于②，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 2＋a 12)2＝13，因此②正确．对于③，注意到S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n [a n －(n －1)d ]＋n (n －1)2d ＝na n －n (n －1)2d ，因此③正确．对于④，当a n >0，d >0时，S n 不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.(理)(2011·湘潭五模)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.[答案] 4[解析] 由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n (c 1＋c n )2，前2n 项和为S 2n ＝2n (c 1＋c 2n )2，所以S 2n S n ＝2n (c 1＋c 2n )2n (c 1＋c n )2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－dnd ，所以当d ＝4时，S2n S n 为非零常数．三、解答题13．(文)(2011·大纲全国卷理，20)设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝∑k ＝1n b k ，证明：S n <1.[解析] (1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即{11－a n是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n＝n . 所以a n ＝1－1n.(2)由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－nn ＋1·n＝1n －1n ＋1，S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝1n(1k －1k ＋1)＝1－1n ＋1<1. (理)(2011·江西理，18)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．[解析] (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2， b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2， 由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2) 即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2 所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*) 由a >0得Δ＝4a 2＋4a >0，故方程(*)有两个不同的实根 由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13.14．(2011·潍坊二模)已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }，a 1＝b 1＝1，a 3＋a 5＋a 7＝9，a 7是b 3和b 7的等比中项．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)若c n ＝2a n ·b 2n ，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由题设知a 3＋a 5＋a 7＝9，∴3a 5＝9，∴a 5＝3. 则d ＝a 5－a 14＝12，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋12. ∴a 7＝4.又∵a 27＝b 3·b 7＝16， ∴b 25＝b 3·b 7＝16，又b 5>0，∴b 5＝4， ∴q 4＝b5b 1＝4，又q >0.∴q ＝2，∴b n ＝b 1·q n －1＝2n －12.(2)c n ＝2a n ·b 2n ＝(n ＋1)·2 n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝2＋3·2＋4·22＋…＋(n ＋1)·2n －1 ① 2T n ＝2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n ② ①－②得－T n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1－(n ＋1)·2n＝2＋2(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＝－n ·2n∴T n ＝n ·2n.15．(2011·北京石景山区模拟)已知等差数列{a n }中，公差d >0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)通过公式b n ＝Sn n ＋c 构造一个新的数列{b n }．若{b n }也是等差数列，并求非零常数c ；(3)求f (n )＝b n(n ＋25)·b n ＋1(n ∈N *)的最大值．[解析] (1)∵数列{a n }是等差数列． ∴a 2＋a 3＝a 1＋a 4＝14.又a 2a 3＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9a 3＝5. ∵公差d >0，∴a 2＝5，a 3＝9. ∴d ＝a 3－a 2＝4，a 1＝a 2－d ＝1. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3.(2)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∵数列{b n }是等差数列， ∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2·6c ＋2＝1c ＋1＋15c ＋3，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－n n －12＝2n .(3)f (n )＝2n (n ＋25)·2(n ＋1)＝nn 2＋26n ＋25＝1n ＋25n＋26≤136.即f (n )的最大值为136.。
2011年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011?湖南）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣1 【考点】复数相等的充要条件．【专题】计算题．【分析】利用复数的乘法运算将等式化简；利用复数相等实部、虚部分别相等；列出方程求出a，b的值．【解答】解：（a+i）i=b+i即﹣1+ai=b+i∴a=1，b=﹣1故选D【点评】本题考查两个复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等．2．（5分）（2011?湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N?M”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】先由a=1判断是否能推出“N?M”；再由“N?M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N?M当N?M时，a 2=1或a2=2有所以“a=1”是“N?M”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题．3．（5分）（2011?湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2=18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选D．【点评】本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题．4．（5分）（2011?湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，．参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】独立性检验的应用．【专题】常规题型．【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．【解答】解：由题意算得，．∵7.8＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C．【点评】本题考查独立性检验的应用，这种问题一般运算量比较大，通常是为考查运算能力设计的，本题有创新的地方就是给出了观测值，只要进行比较就可以，本题是一个基础题．5．（5分）（2011?湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值．【解答】解：的渐近线为y=，∵y=与3x±2y=0重合，∴a=2．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．6．（5分）（2011?湖南）由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选D．【点评】本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题．7．（5分）（2011?湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，3）D．（3，+∞）【考点】简单线性规划的应用．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．【解答】解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于m的不等式组是解答本题的关键．8．（5分）（2011?湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx 恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2011?湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为 2 ．【考点】简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程．【专题】计算题．【分析】先根据sin2α+cos2α=1，求出曲线C1的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，求出曲线C2的直角坐标方程，然后判定交点个数即可．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为（α为参数），sin2α+cos2α=1∴曲线C1的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，p（cosθ﹣sinθ）+1=0∴曲线C2的方程为x﹣y+1=0而圆心到直线的距离d=0＜r，故C1与C2的交点个数为2故答案为：2【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，属于基础题．10．（5分）（2011?湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为9 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】对展开，利用基本不等式即可求得其最小值．【解答】解：∵x，y∈R，且xy≠0，∴=1+4+≥5+2=9 当且仅当时等号成立，∴的最小值为9．故答案为9．【点评】此题是个基础题．考查利用基本不等式求最值，注意正、定、等，考查学生利用知识分析解决问题的能力和计算能力．11．（2011?湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题．【分析】根据半圆的三等分点，得到三个弧对应的角度是60°，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形的有关长度，做出要求的线段的长度．【解答】解：∵A，E是半圆周上的两个三等分点∴弧EC是一个60°的弧，∴∠EBC=30°，则CE=2，连接BA，则BA=2，∴在含有30°角的直角三角形中，BD=1，DF=，AD=∴AF=，故答案为：【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆周角定理，考查含有30°角的直角三角形的有关运算，本题是一个基础题．12．（5分）（2011?湖南）设S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n 项和，且a1=1，a4=7，则S9= 81 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先根据数列{a n}为等差数列，求出公差d，然后根据等差数列的前n项和公式求得S9．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，S n=na1+∵a1=1，a4=7∴a4=1+（4﹣1）d=7∴d=2∴S9=9×1+×2=81故答案为：81【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式．13．（5分）（2011?湖南）若执行如图所示的框图，输入x1=1，x 2=2，x3=3，=2，则输出的数等于．【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】先弄清该算法功能，S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，依此类推，当i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出所求即可．【解答】解：S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，i=2S=1+（2﹣2）2=1，i=2，满足条件i＜3，执行循环体，i=3S=1+（3﹣2）2=2，i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，则S=×2=故答案为：【点评】本题主要考查了方差的计算，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．14．（5分）（2011?湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设，，则= ﹣．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D为BC的中点，∴，∵，∴，∴=）==﹣，故答案为：﹣．【点评】此题是个中档题，考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合的思想．15．（5分）（2011?湖南）如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）= ；（2）P（B|A）= ．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题是个几何概型．用面积法求出事件A“豆子落在正方形EFGH内”的概率p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P （A）==，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，P（AB）==，∴P（B|A）=．故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．16．（5分）（2011?湖南）对于n∈N+，将n表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，当i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a1为0或1．记I（n）为上述表示中a i为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则（1）I（12）= 2 ；（2）= 1093 ．【考点】带余除法．【专题】计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）根据题意，分析可得，将n表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×23+1×22+0×21+0×20，由I（n）的意义，可得答案；（2）将n分为n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，12=1×23+1×22+0×21+0×20，则I （12）=2；（2）127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，设64≤n≤126，且n为整数；则n=1×26+a1×25+a2×24+a3×23+a4×22+a5×21+a6×20，a1，a2，a3，a4，a5，a6中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C60种情况，即有C60个I（n）=6；其中有一个为1时，有C61种情况，即有C61个I（n）=5；其中有2个为1时，有C62种情况，即有C62个I（n）=4；…2I（n）=C6026+C61×25+C62×24+C63×23+C64×22+C65×2+1=（2+1）n=36，同理可得：=35，…=31，2I（1）=1；则=1+3+32+…+36==1093；故答案为：（1）2；（2）1093．【点评】解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）（2011?湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（1）求角C的大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．（2）B=﹣A ，化简sinA﹣cos（B+）=2sin（A+）．因为0＜A ＜，推出求出2sin（A+）取得最大值2．得到A=，B=【解答】解：（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，又cosC≠0，所以tanC=1，C=．（2）有（1）知，B=﹣A，于是=sinA+cosA=2sin（A+）．因为0＜A ＜，所以从而当A+，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述，cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=【点评】本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．18．（12分）（2011?湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题．【分析】（I）“当天商品不进货”包含两个事件的和事件，利用古典概型概率公式求出两个事件的概率；再利用互斥事件的和事件概率公式求出当天商品不进货的概率．（II）求出x可取的值，利用古典概型概率公式及互斥事件和事件的概率公式求出x取每一个值的概率值；列出分布列；利用随机变量的期望公式求出x的期望．【解答】解：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+（“当天的商品销售量为1件”）=（II）由题意知，X的可能取值为2，3P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）=P（X=3）=（“当天的销售量为0”）+P（“当天的销售量为2件”）+P（“当天的销售量为3件”）=故x的分布列X的数学期望为EX=【点评】本题考查古典概型的概率公式、互斥随机的概率公式、随机变量的数学期望公式、求随机变量的分布列的步骤．19．（12分）（2011?湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）连接OC，先根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PO⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）过O分别作OH⊥PD于H，OG⊥PA于G，再连接GH，根据三垂线定理证明∠OGH为二面角B﹣PA﹣C的平面角，最后分别在Rt△ODA、Rt△ODP、Rt△OGH中计算出OH、OG和sin∠OGH，最后求出所求二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵OA=OC，D是AC的中点∴AC⊥OD又∵PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O∴AC⊥PO∵OD、PO是平面POD内的两条相交直线∴AC⊥平面POD，而AC?平面PAC∴平面POD⊥平面PAC（Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC所以OH⊥平面PAC，又∵PA?平面PAC∴PA⊥HO在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接GH，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG．故∠OGH为二面角B﹣PA﹣C的平面角在Rt△ODA中，OD=OA?sin45°=在Rt△ODP中，OH=在Rt△OPA中，OG=在Rt△OGH中，sin∠OGH=所以cos∠OGH=故二面角B﹣PA﹣C的余弦值为【点评】直线与平面垂直是证明空间垂直的关键，立体几何常常利用三垂线定理作辅助线，来求与二面角的平面角有关的问题．20．（13分）（2011?湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面P （面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由c的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0＜v≤c时，当c≤v≤10时，故（1）当0＜c＜时，y是关于v的减函数，故当v=10时，；（2）当时，在（0，c]上y是关于v的减函数，在（c，10]上，y是关于v的增函数，故当v=c时，答：（Ⅰ）函数y的表达式为（Ⅱ）（1）在0＜c的情况下，当v=10时，总淋雨量y最少；（2）在的情况下，当v=c时，总淋雨量y最少．【点评】本题着重考查函数应用能力，所建立的函数式为含有绝对值的式子．解决问题的关键一是要能根据v的范围将式子化简为分段函数，二是要将常数c进行讨论得出函数的单调性，从而得出不同情形下的最小值点．21．（13分）（2011?湖南）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题；综合题；压轴题；转化思想．【分析】（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B 坐标的等量关系，再代入求出k MA?k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．【解答】解：（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），所以k MA?k MB=====﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．|MA|?|MB|=?|k1|??|﹣|=．于是s由得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．解得或，，则点D的坐标为（，）．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．于是s22=|MD|?|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．【点评】本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．22．（13分）（2011?湖南）已知函数f（x）=x3，g（x）=x+．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．【考点】数列与不等式的综合；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=﹣1＜0，h（2）=6﹣，再研究函数在（0，+∞）上的单调性，以确定零点个数即可（Ⅱ）记h（x）的正零点为x 0，即，当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0，而，a2＜x0．由此猜测a n＜x0．当a≥x0时，由（Ⅰ）知，当x∈（x1，+∞）时，h（x）单调递增，h（a）＞h （x0）=0，从而a2＜a，由此猜测a n＜a．然后用数学归纳法证明．【解答】解：（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h （0）=0，且h（1）=﹣1＜0，h（2）=6﹣，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，∴h（x）至少有两个零点．由h（x）=，记，则，当x∈（0，+∞）时，g（x）单调递增，故可判断出h（x）在（0，+∞）仅有一个零点，综上所述，h（x）有且只有两个零点．（Ⅱ）记h（x）的正零点为x 0，即，（1）当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0，而x0．，∴a由此猜测a n＜x0．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1＜x0，成立．②假设当n=k时a k＜x0成立，则当n=k+1时，由x0．，知a因此当n=k+1时，a k+1＜x0成立．故对任意的n∈N*，a n≤x0成立．（2）当a≥x0时，由（Ⅰ）知，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，∴h（a）＞h（x0）=0，从而a2≤a，由此猜测a n≤a．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1≤a，成立．②假设当n=k时a k＜a成立，则当n=k+1时，由a．，知a因此当n=k+1时，a k+1＜a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．【点评】本题考查数列的性质和运用，解题时要注意不等式性质的合理运用和数学归纳法的证明过程．。
2011年湖南高考数学理科试卷(带详解)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则 （ ） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==-【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】利用复数相等的条件直接求值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】因(i)i 1i i a a b +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-. 2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【测量目标】集合间的关系,充分必要条件. 【考查方式】给出两个集合直接考查. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”.3.如图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）第3题图A ．9π122+ B ．9π182+ C ．9π42+ D ．36π18+【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，通过判断直接求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体， 其体积3439π()332π+18322V =+⨯⨯=. 4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计爱好40 20 60 不爱好20 30 50 总计60 50 110由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：2()P K k … 0.0500.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是 （ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 【测量目标】独立性检验.【考查方式】给出统计图表直接考查. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由27.8 6.635,K ≈>而2( 6.635)0.010P K =…，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】由双曲线方程直接求出渐近线方程，再结合给出的渐近线方程比较求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =. 6. 由直线ππ,,033x x y =-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．12 B ．1 C．2D【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】直接给出曲线和直线方程求面积. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由定积分知识可得ππ33ππ33cosd sin |(22S x x --===-=⎰7. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为 （ ） A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【测量目标】线性规划求最值.【考查方式】给出约束条件和目标函数的范围求目标函数y 轴系数的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】可知z x my =+在点1(,)11m m m++取最大值，由 21211m m m+<++解得11m <<. 8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为 （ ）A ．1B ．12C ．2D ．2【测量目标】利用导数判断单调性求最值.【考查方式】利用直线与曲线相交，求相交直线方程再运用导数性质求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1()2h x x x'=-，令()0h x '=解得2x =，因(0,)2x ∈时，()0h x '<，当()2x ∈+∞时，()0h x '>，所以当2x =时，||MN 达到最小，即2t =.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 . 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出极坐标方程与参数方程，将其转化为普通方程后解不等式求解. 【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】曲线221:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离01d ==<，故1C 与2C 的交点个数为2. 10.设,x y ∈R ,则222211()(4)x y y x++的最小值为 . 【测量目标】不等式选讲.【考查方式】给出两个乘式直接考查. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x+++=…. 11.如图，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥,垂足为D , BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 .第11题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】通过线段和圆的位置关系考查. 【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】由题可知，60AOB EOC ∠=∠=，2OA OB ==,得1OD BD ==,3DF =，又23AD BD CD ==，所以3AF AD DF =-=. 二、必做题（12~16题）12．设n S 是等差数列*{}()n a n ∈N 的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 【测量目标】等差数列的前n 项和.【考查方式】给出等差数列某两项的值求出通项再求和. 【难易程度】容易 【参考答案】25【试题解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==. 13．若执行如图所示的框图，输入1231,2,3,2x x x x ====， 则输出的数等于 .第13 题图【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】直接给出程序框图考查. 【难易程度】中等 【参考答案】23【试题解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则222(12)(22)(32)233S -+-+-==. 14．在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则________AD BE =.【测量目标】平面向量在平面几何中的运用. 【考查方式】给出向量间的关系求解. 【难易程度】容易 【参考答案】14-【试题解析】由题12AD CD CA CB CA =-=- ，13BE CE CB CA CB =-=-，所以111171()()232364AD BE CB CA CA CB CB CA =--=--+=-. 15．如图， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）=______P A （）；（2）=______P B A （|）第15题图【测量目标】几何概型.【考查方式】利用两个图形面积的比值求解. 【难易程度】容易 【参考答案】（1）2π；（2）1=4PB A （|） 【试题解析】（1）由几何概型概率计算公式可得2==πS P A S 正圆（）； （2）由条件概率的计算公式可得21×1π4===24πP AB P B A P A （）（|）（）.16.对于*n ∈N ，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ，当0i =时，1i a =，当1i k 剟时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0112=⨯，2104120202=⨯+⨯+⨯：故(1)0,(4)2I I ==）则（1）(12)_____I = （2）127()12______I n n ==∑【测量目标】排列组合及其应用. 【考查方式】利用特定的条件求解. 【难易程度】较难 【参考答案】（1）2；（2）1093【试题解析】（1）因3211212+120202=⨯⨯+⨯+⨯，故(12)2I =；（2）在2进制的(2)k k …位数中，没有0的有1个，有1个0的有11C k -个，有2个0的有21C k -个，……有m 个0的有1C m k -个，……有1k -个0的有11C 1k k --=个.故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：0112211111112C 2C 2C 23k k k k k k ------⨯++++=. 又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =.（I ）求角C 的大小；（II πcos()4A B -+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 【测量目标】正弦定理，三角函数的最值. 【考查方式】给出边角之间的关系求解. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C = 因为0π,A <<所以sin 0.A >πsin cos .cos 0,tan 1,4C C C C C =≠==从而又所以则.(步骤1) （II ）由（I ）知3π.4B A =-于是 πcos()cos(π)4A B A A -+=--πcos 2sin().6A A A =+=+3πππ11ππππ0,<+<,=,,46612623A A A A <<∴+= 从而当即时π2sin()6A +取最大值2．（步骤2）πcos()4A B -+的最大值为2，此时π5π,.312A B ==（步骤3） 18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率.(Ⅰ）求当天商品不进货．．．的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望. 【测量目标】对立事件的概率，离散型随机变量的期望. 【考查方式】运用实际生活背景考查.【难易程度】容易 【试题解析】（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量1件”）=153202010+=.（步骤1） （II ）由题意知，X 的可能取值为2，3.51(2)()204P X P ====“当天商品销售量为1件”； (3)()+()+(1953)++32020204P X P P P ====“当天商品销售量为0件”“当天商品销售量为2件”“当天商品销售量为3件”（步骤）故X 的分布列为X2 3 P 14 34 X 的数学期望为13112+3=444EX =⨯⨯.（步骤4）19.（本题满分12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO O = 的直径2,,A B C A B D A C=是的中点,为的中点． （I ）证明：;POD PAC ⊥平面平面 （II ）求二面角B PA C --的余弦值．第18题图【测量目标】面面垂直，二面角.【考查方式】在圆锥中考查. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）连接OC ， 因为OA OC =,D 为AC 中点，所以AC OD ⊥. 又,,.PO O AC O AC PO ⊥⊂⊥ 底面底面所以因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC POD ⊥平面而AC PAC ⊂平面，所以POD PAC ⊥平面平面.（步骤1）（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，POD PAC ⊥平面平面,所以,OH PAC ⊥平面又,PA PAC ⊂平面所以PA OH ⊥.在平面PAO 中，过O 作OG PA G ⊥于,连接HG ,则有PA OGH ⊥平面， 从而PA HG ⊥，所以OGH ∠是二面角B PA C --的平面角．（步骤2）在Rt ,sin 452ODA OD OA ==△中在Rt ,POD OH ===△中在Rt ,POA OG ===△中在Rt ,sin OH OHG OGH OG ∠===△中所以cos 5OGH ∠=. 故二面角B PA C --的余弦值为5.（步骤3）第19题图20. 如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c ∈R .E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d =100，面积S =32时. （Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v …10,0＜c …5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.第19题图【测量目标】分段函数模型，利用函数单调性及最值. 【考查方式】利用将立体几何与函数综合考查. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+， 故100315(||)(3||10)202y v c v c v v=-+=-+.（步骤1） （II ）由(I)知，当0v c <…时，55(310)(3310)15c y c v v v+=-+=-； 当10c v <…时，55(103)(3310)15c y v c v v-=-+=+. 故5(310)15,05(103)15,10c v c vy c c v v +⎧-<⎪⎪=⎨-⎪+<⎪⎩…….（步骤2）(1)当1003c <…时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202cy =-.（步骤3） (2) 当1053c <…时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c=.（步骤4） 21.(本小题满分13分） 如图，椭圆221221(0)x y C a b a b +=>>：，x轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长.（Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ,直线MA ,MB 分别与1C 相交于D ,E .（i ）证明：MD ME ⊥；(ii)记△MAB ,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =? 请说明理由.第21题图【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】利用直线与椭圆相交的位置关系和条件考查. 【难易程度】较难【试题解析】（I）由题意知c e a ==2a b =，又a =，解得2,1a b ==.故1C ，2C 的方程分别为2221,14x y y x +==-. （步骤1） （II ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=，（步骤2） 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212,1x x k x x +==-. 又点M 的坐标为(0,1)-，所以2221212121212121211(1)(1)()1111MA MBy y kx kx k x x k x x k k k k x x x x x x +++++++-++=====--故MA MB ⊥，即MD ME ⊥.（步骤3）（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-，由1211y kx y x =-⎧⎨=-⎩解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为211(,1)k k -（步骤4） 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111(,1)k k --.于是211111111||||||||.22||k S MA MB k k k +==-= （步骤5）由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2211(14)80k x k x +-=，解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++；（步骤6） 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标211221184(,)44k k k k --++ 于是2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +==++ 因此21122111(417)64S k S k =++（步骤7） 由题意知，21211117(417)6432k k ++=,解得214k = 或2114k =. 又由点,A B 的坐标可知，21211111111k k k k k k k -==-+，所以3.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和32y x =-.（步骤8） 22.（本小题满分13分）已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列*{}()n a n ∈N 满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M ,使得对于任意的*n ∈N ，都有n a …M . 【测量目标】利用导数求单调性，不等式恒成立问题.【考查方式】给出两个函数式，利用导数及不等式求解.【难易程度】较难【试题解析】（I）由3()h x x x =-知，[0,)x ∈+∞，而(0)0h =，且(1)10,(2)60h h =-<=，则0x =为()h x 的一个零点，且()h x 在12（，）内有零点，因此()h x 至少有两个零点（步骤1） 122()(1)h x x x x -=--，记122()1x x x ϕ-=--，则321()22x x x ϕ-'=+. 当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，因此()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()x ϕ在(0,)+∞内至多只有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞内也至多只有一个零点，综上所述，()h x 有且只有两个零点.（步骤2） （II ）记()h x 的正零点为0x，即300x x =（1）当0a x <时，由1a a =，即10a x <.而332100a a x x ==，因此20a x <，由此猜测：0n a x <.下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，10a x <显然成立；（步骤3） ②假设当(1)n k k =…时，有0k a x <成立，则当1n k =+时，由13300k k a a x x +=+<知，10k a x +<，因此，当1n k =+时，10k a x +<成立. 故对任意的*n ∈N ，0n a x <成立.（步骤4）（2）当0a x …时，由（1）知，()h x 在0(,)x +∞上单调递增.则0()()0h a h x =…，即3a a +….从而2331a a a a ==，即2a a …，由此猜测：n a a ….下面用数学归纳法证明：①当1n =时，1a a …显然成立；（步骤5） ②假设当(1)n k k =…时，有k a a …成立，则当1n k =+时，由133k k a a a a +=+知，1k a a +…，因此，当1n k =+时，1k a a +…成立.故对任意的*n ∈N ，n a a …成立. 综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的*n ∈N ，都有n a M ….（步骤6）。
2011年高考湖南省数学试卷_理科[含详细答案]
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==-2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3.右图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：2()P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12B ．1 CD7. 设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)++∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ．12CD．2二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
2011年湖南省高考数学试卷(理科)及答案
2011年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣12．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C． D．4．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C．D．7．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3） D．（3，+∞）8．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为．10．（5分）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为．11．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．12．（5分）设S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S9=．13．（5分）若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数等于．14．（5分）在边长为1的正三角形ABC中，设，，则=．15．（5分）如图，EFGH 是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）=；（2）P（B|A）=．16．（5分）对于n∈N+，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，当i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a1为0或1．记I（n）为上述表示中a i为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则（1）I（12）=；（2）=．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC 1）求角C大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．18．（12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．20．（13分）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．21．（13分）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．22．（13分）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+．（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．2011年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•湖南）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣1【分析】利用复数的乘法运算将等式化简；利用复数相等实部、虚部分别相等；列出方程求出a，b的值．【解答】解：（a+i）i=b+i即﹣1+ai=b+i∴a=1，b=﹣1故选D2．（5分）（2011•湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】先由a=1判断是否能推出“N⊆M”；再由“N⊆M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M当N⊆M时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选A．3．（5分）（2011•湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C． D．【分析】由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2=18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选D．4．（5分）（2011•湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．【解答】解：由题意算得，．∵7.8＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C．5．（5分）（2011•湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由题意，，即可求出a的值．【解答】解：由题意，，∴a=2，故选：C．6．（5分）（2011•湖南）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C．D．【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选D．7．（5分）（2011•湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3） D．（3，+∞）【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围．【解答】解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．8．（5分）（2011•湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2011•湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为2．【分析】先根据sin2α+cos2α=1，求出曲线C1的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，求出曲线C2的直角坐标方程，然后判定交点个数即可．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为（α为参数），sin2α+cos2α=1∴曲线C1的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，p（cosθ﹣sinθ）+1=0∴曲线C2的方程为x﹣y+1=0而圆心到直线的距离d=0＜r，故C1与C2的交点个数为2故答案为：210．（5分）（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为9．【分析】对展开，利用基本不等式即可求得其最小值．【解答】解：∵x，y∈R，且xy≠0，∴=1+4+≥5+2=9当且仅当时等号成立，∴的最小值为9．故答案为9．11．（2011•湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．【分析】根据半圆的三等分点，得到三个弧对应的角度是60°，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形的有关长度，做出要求的线段的长度．【解答】解：∵A，E是半圆周上的两个三等分点∴弧EC是一个60°的弧，∴∠EBC=30°，则CE=2，连接BA，则BA=2，∴在含有30°角的直角三角形中，BD=1，DF=，AD=∴AF=，故答案为：12．（5分）（2011•湖南）设S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S9=81．【分析】先根据数列{a n}为等差数列，求出公差d，然后根据等差数列的前n项和公式求得S9．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，S n=na1+∵a1=1，a4=7∴a4=1+（4﹣1）d=7∴d=2∴S9=9×1+×2=81故答案为：8113．（5分）（2011•湖南）若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数等于．【分析】先弄清该算法功能，S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，依此类推，当i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出所求即可．【解答】解：S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，i=2S=1+（2﹣2）2=1，i=2，满足条件i＜3，执行循环体，i=3S=1+（3﹣2）2=2，i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，则S=×2=故答案为：14．（5分）（2011•湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设，，则=﹣．【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D为BC的中点，∴，∵，∴，∴=）==﹣，故答案为：﹣．15．（5分）（2011•湖南）如图，EFGH 是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）=；（2）P（B|A）=．【分析】此题是个几何概型．用面积法求出事件A“豆子落在正方形EFGH内”的概率p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P（A）==，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，P（AB）==，∴P（B|A）=．故答案为：．16．（5分）（2011•湖南）对于n∈N+，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k ×21+a k×20，当i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a1为0或1．记I（n）为上述表﹣1示中a i为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则（1）I（12）=2；（2）=1093．【分析】（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k×21+a k×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×23+1×22+0﹣1×21+0×20，由I（n）的意义，可得答案；（2）将n分为n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，12=1×23+1×22+0×21+0×20，则I（12）=2；（2）127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，设64≤n≤126，且n为整数；则n=1×26+a1×25+a2×24+a3×23+a4×22+a5×21+a6×20，a1，a2，a3，a4，a5，a6中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C60种情况，即有C60个I（n）=6；其中有一个为1时，有C61种情况，即有C61个I（n）=5；其中有2个为1时，有C62种情况，即有C62个I（n）=4；…2I（n）=C6026+C61×25+C62×24+C63×23+C64×22+C65×2+1=（2+1）n=36，同理可得：=35，…=31，2I（1）=1；则=1+3+32+…+36==1093；故答案为：（1）2；（2）1093．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）（2011•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC1）求角C大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．（2）B=﹣A，化简sinA﹣cos（B+），通过0＜A＜，推出＜A+＜，求出2sin（A+）取得最大值2．得到A，B．【解答】解：（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，又cosC≠0，所以tanC=1，C=．（2）有（1）知，B=﹣A，于是sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA=2sin（A+）．因为0＜A＜，所以＜A+＜，从而当A+=，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述sinA﹣cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=．18．（12分）（2011•湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量（件）0 1 2 3 频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． （Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望． 【分析】（I ）“当天商品不进货”包含两个事件的和事件，利用古典概型概率公式求出两个事件的概率；再利用互斥事件的和事件概率公式求出当天商品不进货的概率．（II ）求出x 可取的值，利用古典概型概率公式及互斥事件和事件的概率公式求出x 取每一个值的概率值；列出分布列；利用随机变量的期望公式求出x 的期望． 【解答】解：（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+（“当天的商品销售量为1件”） =（II ）由题意知，X 的可能取值为2，3 P （X=2）=P （“当天商品销售量为1件”）=P （X=3）=（“当天的销售量为0”）+P （“当天的销售量为2件”）+P （“当天的销售量为3件”）=故x 的分布列 x 2 3 pX 的数学期望为EX=19．（12分）（2011•湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接OC，先根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PO⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD ⊥平面PAC；（Ⅱ）过O分别作OH⊥PD于H，OG⊥PA于G，再连接GH，根据三垂线定理证明∠OGH为二面角B﹣PA﹣C的平面角，最后分别在Rt△ODA、Rt△ODP、Rt△OGH中计算出OH、OG和sin∠OGH，最后求出所求二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵OA=OC，D是AC的中点∴AC⊥OD又∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O∴AC⊥PO∵OD、PO是平面POD内的两条相交直线∴AC⊥平面POD，而AC⊂平面PAC∴平面POD⊥平面PAC（Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC 所以OH⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC∴PA⊥HO在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接GH，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG．故∠OGH为二面角B﹣PA﹣C的平面角在Rt△ODA中，OD=OA•sin45°=在Rt△ODP中，OH=在Rt△OPA中，OG=在Rt△OGH中，sin∠OGH=所以cos∠OGH=故二面角B﹣PA﹣C的余弦值为20．（13分）（2011•湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．【分析】（Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由c的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0＜v≤c时，当c≤v≤10时，故（1）当0＜c＜时，y是关于v的减函数，故当v=10时，；（2）当时，在（0，c]上y是关于v的减函数，在（c，10]上，y是关于v的增函数，故当v=c时，答：（Ⅰ）函数y的表达式为（Ⅱ）（1）在0＜c的情况下，当v=10时，总淋雨量y最少；（2）在的情况下，当v=c时，总淋雨量y最少．21．（13分）（2011•湖南）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．【分析】（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出k MA•k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．【解答】解：（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），所以k MA•k MB=====﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．于是s1=|MA|•|MB|=•|k1|••|﹣|=．由得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．解得或，，则点D的坐标为（，）．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．于是s2=|MD|•|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．22．（13分）（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+．（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．【分析】（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=﹣1＜0，h（2）=6﹣，再研究函数在（0，+∞）上的单调性，以确定零点个数即可（Ⅱ）记h（x）的正零点为x0，即，当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0，而，a2＜x0．由此猜测a n＜x0．当a≥x0时，由（Ⅰ）知，当x∈（x1，+∞）时，h（x）单调递增，h（a）＞h（x0）=0，从而a2＜a，由此猜测a n＜a．然后用数学归纳法证明．【解答】解：（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h （1）=﹣1＜0，h（2）=6﹣，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，∴h（x）至少有两个零点．由h（x）=，记，则，当x∈（0，+∞）时，g（x）单调递增，故可判断出h（x）在（0，+∞）仅有一个零点，综上所述，h（x）有且只有两个零点．（Ⅱ）记h（x）的正零点为x0，即，（1）当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0，而，∴a2＜x0．由此猜测a n＜x0．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1＜x0，成立．②假设当n=k时a k＜x0成立，则当n=k+1时，由，知a k＜x0．+1＜x0成立．因此当n=k+1时，a k+1故对任意的n∈N*，a n≤x0成立．（2）当a≥x0时，由（Ⅰ）知，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，∴h（a）＞h（x0）=0，从而a2≤a，由此猜测a n≤a．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1≤a，成立．②假设当n=k时a k＜a成立，则当n=k+1时，由，知a k+1＜a．＜a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．因此当n=k+1时，a k+1综上所述，存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．。
2011年湖南高考理科数学试题及答案
2011年湖南高考理科数学试题及答案2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+ 答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 2030 50 总计 6050110由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯附表：2()P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A ．(1,12)B ．(12,)++∞ C ．(1,3)D ．(3,)+∞ 答案：A解析：画出可行域，可知5z x y =+在点1(,)11mm m++取最大值，由21211m m m+<++解得121m <<。
湖南省2011年高考模拟试题(1)
湖南省2011年高考模拟试题（1）理科数学一．选择题（本大题8小题，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）． 1．复数212ii+-的虚部是 A ．0B ．iC ．1D ．-12．设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，，在某项测量中，已知()196P .ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975 3．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 A ．63 B ．31 C ．15 D ．74．在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02的形状是A ．∠C 为钝角的三角形B ．∠B 为直角的直角三角形C ．锐角三角形D ．∠A 为直角的直角三角形5．函数x x x f 3log )1(sin )(--=π的零点个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．46．己知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，2)(+=x x f ，那么不等式01)(2<-x f 的解集是A ．5{|0}2x x <<B ．3{|2x x <-或50}2x ≤< C ．}023|{≤<-x xD ．3{|02x x -<<或50}2x << 7．已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F ，点B （0，b ），-=+，则该双曲线离心率e 的值为A ．213+B ．215+C ．215-D ．2二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．9．一个总体分为A 、B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为30的样本，已知B 层中每个个体被抽到的概率都是112，则总体中的个体数为 ． 10．已知)22cos(sin 2sin 2,0παααπα-=<<，则等于 ．11．已知实数x 、y 满足三个不等式：,623,44,1243≥+≥+≤+y x y x y x 则xy 的最大值是 ． 12．定义等积数列：在一个数列中，若每一项与它的后一项的积是同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个数叫做公积．已知等积数列}{n a 中，,21=a 公积为5，当n 为奇数时,这个数列的前n 项和n S = ．13．已知集合A={(x,y)|0≤y ≤sinx, 0≤x ≤π},集合B={(x,y)|(x-2)2+(y-2)2≤ 8},在集合B 中任意取一点P ,则P ∈A 的概率是 ．（二）选做题：在下面3道小题中选做2题，3题都选只计算前2题的得分． 14．(坐标系与参数方程) 在极坐标系中，点()20P ，与点Q 关于直线22)4cos(=-πθρ对称，PQ = ．15．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长为 ．16．（柯西不等式）已知：x+2y+3z=1,则222x y z ++的最小值是 ．三．解答题（有6大道题，共75分，要求写出推理和运算的过程）． 16．（本小题满分12分）已知函数21)122cos()122sin(3)122(sin )(2-++++=πππx x x x f ． （Ⅰ）求()f x 的值域；（Ⅱ）若()f x （x>0）的图象与直线12y =交点的横坐标由小到大依次是1x ，2x ，…，n x ，求数列{}n x 的前2n 项的和．17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC//平面ADE ．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角A DE P --为直二面角时，求多面体ABCED 与PAED 的体积比． 18．（本小题满分12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响． 已知学生小张只选甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；（Ⅱ）记“函数ξ+=2)(x x f x 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望．19．(本题满分13分)已知椭圆)(112222１ >=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ，抛物线C ：px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点M ，直线F 1M 与抛物线C 相切． （Ⅰ）求抛物线C 的方程和点M 的坐标；（Ⅱ）过F 2作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB 、DE ，设弦AB 、DE 的中点分别为F 、N ，求证直线FN 恒过定点； 20．(本题满分13分)如图，两个工厂B A ,相距km 2，点O 为AB 的中点，现要在以O 为圆心，km 2为半径的圆弧MN 上的某一点P 处建一幢办公楼，其中AB NB AB MA ⊥⊥,．据测算此办公楼受工厂A 的“噪音影响度”与距离AP 的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B 的“噪音影响度” 与距离BP 的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受B A ,两厂的“总噪音影响度”y 是受B A ,两厂“噪音影响度”的和，设AP 为xkm ． （Ⅰ）求“总噪音影响度” y 关于x 的函数关系，并求出该函数的定义域； （Ⅱ）当AP 为多少时，“总噪音影响度”最小？ 21．（本小题满分13分）已知数列{}n x 的前n 项和为n S 满足nn n x S S ++=+111,*1,21N n S ∈=（Ⅰ）猜想数列{}2n x 的单调性，并证明你的结论； （Ⅱ）对于数列{}nu 若存在常数M ＞0,对任意的n N '∈，恒有1121...n n n n u u u u u u M +--+-++-≤，则称数列{}nu 为B-数列．问数列{}n x 是B-数列吗？并证明你的结论．参考答案一．选择题二．填空题 9．360； 10．815； 11．3； 12．419-n ； 13．π41； 14．22； 15．548；16．114三．解答题17．解：（Ⅰ）21)6sin(232)6cos(1)(-+++-=ππx x x f )6cos(21)6sin(23ππ+-+=x x x x sin )66sin(=-+=ππ，所以f(x) 的值域为[-1,1]．（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知2221π=+x x ，22243ππ+=+x x 2)1(22,212ππ+-=+-n x x n n ．ππππ)34(9521221-++++=++++∴-n x x x x n n πππ)2(4)1(212n n n n n -=⋅-+=18．解：（Ⅰ） BC//平面ADE, BC ⊂平面PBC, 平面PBC ⋂平面ADE=DE ，∴BC//ED ．∵PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ， ∴PA ⊥BC ．又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC ．∵PA ⋂AC=A ， ∴BC ⊥平面PAC ．∴DE ⊥平面PAC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角，∴90AEP ︒∠=，即AE ⊥PC ， ∵AP=AC, ∴E 是PC 的中点，ED 是∆PBC 的中位线．13==∴--PED BCED PDE A BCED A S S V V19．解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ．依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--5.06.04.0,88.0)1)(1)(1(1,12.0)1(,08.0)1)(1(z y x z y x z xy z y x 解得 ，所以学生小张选修甲的概率为0.4．（Ⅱ）若函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则ξ=0．当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选．)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ24.0)6.01)(5.01)(4.01(6.05.04.0=---+⨯⨯=∴事件A 的概率为24.0．（Ⅲ）依题意知20，=ξ，则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为52.176.0224.00=⨯+⨯=ξE ．20．解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝，所以椭圆焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p px y C 42=∴：． 设),(11y x M 则1214x y =，直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得 212121221)1(4)1(4,)1(4)1(+=++=+x x x x x x x y 即M F x x x x x 112121,0)1( =++-∴与抛物线C 相切， 04)121221=-+∆∴x x ＝（，)2,1(,11±=∴M x ．（Ⅱ）设AB 的方程为1+=ty x 代入x y 42=，得0442=--ty y ，设),(),(2211y x B y x A ，则t y y t y y 2242121=+=+，242)(22121+=++=+t y y t x x ，122221+=+t x x ，所以)2 12(2t t F ， +，将t 换成)212( 12t tN t -+-，得 由两点式得FN 的方程为3)1(=--y tt x ．当3 0==x y 时，所以直线FN 恒过定点)0, 3( ． 21．解：（Ⅰ）连接OP ，设,AOP α∠=则323παπ≤≤．在△AOP 中，由余弦定理得22212212cos 54cos x αα=+-⨯⨯=-， 在△BOP 中，由余弦定理得22212212cos()54cos BP παα=+-⨯⨯-=+， ∴2210BP x =-．则2222141410y AP BP x x =+=+-．∵323παπ≤≤，则11cos 22α-≤≤，∴354cos 7α≤-≤x ≤≤221410y x x x=+≤≤- （Ⅱ）令2,t x =14(37)10y t t t =+≤≤-．∴222214(10)(310)(10)(10)t t y t t t t -+-'=+=--． 由0y '=，得103t =，或10t =-（舍去）；当103,03t y '<<<，函数在10(3,)3上单调递减；当107,03t y '<<>，函数在10(,7)3上单调递增． ∴当103t =时，即x =APkm ）时，“总噪音影响度”最小． 22．解：（Ⅰ）由已知得112x =及111n nx x +=+，求得23456235813,,,,3581321x x x x x =====．由246x x x >>猜想：数列{}2n x 是递减数列．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立；（2）假设当n=k 时命题成立，即222k k x x +>，易知20k x >，那么23212224212321231111(1)(1)k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++--=-=++++=22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++->++++即2(1)2(1)2k k x x +++>，也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立． （Ⅱ） 数列{}n x 是B-数列． 当n=1时，12116n n x x x x +-=-=， 当2n ≥时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<∴+<=>+，111115(1)(1)(1)(1)212n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+11111111(1)(1)n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=++++ 2n-111221n-12225551265n n n n x x x x x x ---≤-≤-≤≤-= （）（）（）1121...n n n n x x x x x x +--+-++-185521)52(161<--⋅≤n ， 所以数列{}n x 是B-数列．。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (理科)(解析版)
正视图 侧视图俯视图 图12011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理）试题解析本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．)若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则 ( )A ．1a =，1b =B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 1. 解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,a =2．设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（。
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计爱好40 20 60 不爱好20 30 50 总计60 50 110 由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．2()P K k ≥0．050 0．010 0．001 k3．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是( )A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C5．设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
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湘潭市2011届高三第五次模拟考试试卷
理科数学
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合M={1，2，3，4}，M?N={2，3}，则集合N可以为（）.
A.｛1，2，3｝
B.｛1，3，4｝
C.｛1，2，4｝
D.｛2，3，5｝
2.抛物线y?4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|?4，则点M的横坐标x=（）.
A.2
B. 3
C. 4
D. 5
3．“a=1”是函数f?x??x?a在区间?1,???上为增函数的（）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几
何体的表面积是（）.
A.6?
B.7?
C.8?
D.9? 2??0.85x?85.7是根据女大学生的身高预报
5.已知方程y
（正视图）（侧视图）
?的单位分别是cm,kg，则该她体重的回归方程，其中x,y
方程在样本（165，57）处的残差是（）.
A.54.55
B.2.45 （俯视图）
（第4题图）
C.-2.45
D.111.55
6.在△ABC中，?(cos23?,sin23?)，?(2sin22?,2cos22?)，则△ABC的面积为（）. A.22
B.2
C.22
D. 23
?x?1(?1?x?0)???的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为7.若函数
f?x???cosx(0?x?)?2?
a，则a的值为（）
.。