控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析

时，系统闭环后稳定。
2
Nyquist 稳定性判据2
1、若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化
时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1, j0)，则系统稳定。
如果Nyquist曲线包围临界点(-1, j0)，则系统不稳定。
❖ 系统稳定性定义：
❖
控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了 原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡 状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则， 该系统就是不稳定的。
❖
稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的 结构和参数，而与初始状态和外作用无关。
m
F
F
单摆系统稳定
p(s)
p(s) DK (s)
系统稳定的充要条件:特征方程的根全部具有负实部
（闭环极点均在s平面的左半平面）。
即系统稳定的充要条件为：F(s)的零点都位于s平面 的左半平面。
GB(s)
F(s)
Gk(s)
零点
极点
零点
极点
极点
零点
1、若开环极点均在s平面左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[
DK
两种特殊情况
1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不 等于零或不全为零 处理方法：
用一个很小的正数 代替该行第一列的零，并据此计算出
阵列中的其余各项。然后令 0 ，按第一列系数进行
判别。
如果零上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临 界稳定状态：如果零上下两项的符号不同，则表明有一个符 号变化，系统不稳定。
0
1
c1
1
b1
a1 b1
a3 110 (7)5 6.43
b2
7
c2
1 b1
a1 b1
0 0
b3
d1
1
c1
b1 c1
b2 (7) 0 10 6.43 10
c2
6.43
劳斯表为
s4 2 3 10 s3 1 5 0 s2 7 10 0 符号改变 s1 6.43 0 0 符号改变 s0 10 0 0
劳斯阵列第一列零上下两项的符号相同，表明系统有一对虚 根。系统临界稳定。
2、劳斯阵列表某一行全为零：
劳斯阵列出现全零行表明系统在S平面有对称分布的根，即存在大小相 等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于实轴的两对共轭 复根；或存在更多这种大小相等，但在S平面位置径向相反的根。
处理方法： 利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，用辅助多项式导数的系数代
全部具有负实部。也可说成是闭环传递函数的极点全 部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在[s]平 面的左半平面。
设线性控制系统的闭环传递函数为
Gb
(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
b2 s m 2 a2 s n 2
bm1s bm an1s an
闭环系统的特征方程为
a b
倒摆系统不稳定
e d
c
5.2 系统稳定的充要条件
如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，零输入响应
应趋近于零。即 x0 (t ) 0
t
k
r
x0 (t) Cie pit Aieit sin(it i )
i 1
i 1
pi 0 ， i 0
❖ 控制系统另一充分必要条件是：系统特征方程的根
5 控制系统稳定性分析
5.1系统稳定性的基本概念 5.2系统稳定的充要条件 5.3代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz 判据） 5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据） 5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性
5.6由伯德图判断系统的稳定性 5.7控制系统的相对稳定性
5.1 系统稳定性的基本概念
表格第一列元素的符号改变两次，因此方程有两个根 在复平面的右半部分。求解特征方程-7s2+10=0，可以得到2 个正根，分别为：
s3,4 0.755 j1.444
显然，有一对复根在复平面右半平面，因而系统不稳定。
对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯判据 可简化为简单形式：
二阶系统特征式为 a0s2 a1s a2 ，劳斯阵列表为：
控制系统稳定性分析51系统稳定性的基本概念52系统稳定的充要条件53代数稳定性判据routh判据hurwitz判据54乃奎斯特稳定性判据nyquist判据55应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性56由伯德图判断系统的稳定性57控制系统的相对稳定性51控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了原来的平衡状态在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡状态或者回到原平衡点附近则称该系统是稳定的否则该系统就是不稳定的
Nyquist 稳定性判据1
R(s) G(s)
C(s)
Gk (s)
G(s)H (s)
q(s) p(s) DK (s)
H(s)
设辅助函数F(s),令
G(s)
G(s)
GB (s) 1 G(s)H (s) 1 Gk (s)
p(s)G(s) =
p(s) q(s) DB (s)
F (s) 1+G(s)H (s) 1+ q(s) = p(s) q(s) DB (s)
2
2
p q
2
: 0
若开环 G( j)H ( j)奈氏图相对于(-1,j0)点的角变化量为
p
q
2
，闭环系统稳定。
Nyquist 稳定性判据1
设开环特征多项式有p个根位于s右半平面，有q
个根在原点上，其余ｎ－ｐ－ｑ个根位于s左半
平面，对于系统开环乃氏图，当 从0变化到∞
时，其相对于（-1, j0）点的角变化量p为 q
用劳斯判据判断稳定性。
劳斯阵列表
s6 1 8 20 16
s5 2 12 16 0
s4 1 6 8 s3 0 0 0
4 12 s2 3 8
As s4 6s2 8 dA s 4s3 12s
ds
s1 4 3
s0 8
第一列无符号改变，有 虚根。系统临界稳定。
5.3.2 Hurwitz稳定性判据
❖ 设系统特征方程为 a0 s n a1s n1 an1s an 0 , a0 0
闭环系统稳定。
2、若开环极点有p个根在s右半平面，q个根在原点，其余 （n-p-q)个根在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[DK
(
j)]
(n
p
q)(
2
)
,
: 0
如果闭环系统稳定，即 DB (s) 所有极点均在左半平面。
arg[
DB
(
j)]
n(
2
)
,
: 0
则
arg[F ( j)] arg[1+G( j)H ( j)] n( ) (n p q)( )
(
j
)]
n(
2
),
: 0
如果闭环系统稳定，即 DB (s)所有极点均在左半平面。
arg[
DB
(
j)]
n(
2
),
: 0
则 arg[F( j)] arg[1+G( j)H ( j)] n( ) n( ) 0
22
: 0
若开环 G( j)H ( j) 奈氏图相对于(-1,j0)点的角变化量为0，
（2）特征方程的各项系数的符号都相同。
ai 一般取正值，则上述两条件简化为 ai 0
——系统稳定必要条件 劳斯判据给出系统稳定的充分条件。
充分条件：如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为 正，则系统稳定。
a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
劳斯阵列：
sn a0 a2 a4 a6 sn1 a1 a3 a5 a7 sn2 b1 b2 b3 b4 sn3 c1 c2 c3 c4
替该全零行，继续计算劳斯阵列中其余各项。辅助多项式等于零得到辅助 方程，解此方程可得这些成对的特征根。显然，辅助多项式的阶次总是偶 数。
例：D(s) s7 3s6 7s5 4s3 12s2 28s 20 0
例: 设控制系统的闭环特征方程式为
s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
n 4, a0 2, a1 1, a2 3, a3 5, a4 10
劳斯表为
s4 a0 a2 a4 s3 a1 a3 0 s2 b1 b2 0 s1 c1 c2 0 s0 d1 0 0
b1
1 a1
a0 a1
a2 25 13 7
a3
1
b2
1 a1
a0 a1
a4 2 0 110 10
例: 设控制系统的闭环特征方程式为
s4 2s3 s2 2s 1 0
用劳斯判据判断稳定性。
劳斯阵列表
s4 1 1 1 s3 2 2
s2 0( ) 1
s1 2 2
s0 1
符号改变2次，有2个 正实根。系统不稳定
s3 2s2 s 2 0
s3 1 1 s2 2 2
s1 0
s0 2
无正实根，有 虚根。
5.3.1 劳斯判据（Routh判据）
1、基于方程式的根与系数的关系
设系统特征方程为
a0sn a1sn1 an1s an 0
a0
s
n
Hale Waihona Puke a1 a0s n 1
an 1 a0
s
an a0
0
a0 s s1 s s2 s sn 0
s1, s2, , sn 为系统的特征根
根与系数的关系：
a1
a0
s1
s2
sn ;
a2
a0
s1s2
s1s3
sn1sn ;
a3 a0
s1s2s3 s1s2s4
sn2sn1sn ;
an
a0
1n s1s2s3
sn 2 sn 1sn
要使全部特征根均具有负实部，必须满足：
（1）特(征i=0方，程1，的2各，项…系，数n)a。i 0
利用劳斯判据分析系统稳定的步骤：
❖ 列出系统特征方程式； ❖ 稳定必要性鉴别； ❖ 稳定充分性检验； ❖ 根据阵列第一列各项符号判断稳定性。
例: 设控制系统的特征方程式为
s4 8s3 17s2 16s 5 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：s4 8s3 17s2 16s 5 0
5.4 乃奎斯特稳定性判据
闭环系统稳定的充要条件：闭环系统特征方程的特征根全部 具有负的实部。
Routh 判据：利用闭环特征方程根与系数之间的关系来判定闭环系统的
稳定性。
——是一种代数判据
Nyquist判据：利用开环频率特性的Nyquist图，分析闭环系统的稳定性。
——是一种几何判据
Nyquist判据能如Routh判据那样，指出系统不稳定的闭环 极点的个数，即具有正实部的特征根的个数。还能指出系统 的稳定性储备——相对稳定性。指出进一步提高和改善系统 动态性能的途径。
米哈伊洛夫定理
❖ 设ｎ次多项式Ｄ(s)有p个根位于复平面的右半平面，有 q
个根在原点上，其余ｎ－ｐ－ｑ个根位于左半平面，则当
以 s j 代入Ｄ(s)并命 从0连续增大到 时，复
数 D( j)的角增量应为
n
i1 arg(s si ) (n p q) 2 p( 2 ) (n 2 p q)( 2 )
s2
a0
a2
s1
a1
s0
a2
故二阶系统稳定的充要条件是： a0 0, a1 0, a2 0
三阶系统特征式为 a0s3 a1s2 a2s a3
劳斯阵列表
s3
a0
a2
s2
a1
a3
s1 a1a2 a0a3 a1
s0
a3
故三阶系统稳定的充要条件是
a0, a1, a2, a3 0, a1a2 a0a3
首先由方程系数可知满足稳定的必要条件。 其次，排劳斯阵列
s4 1 17 5
s3 8 16
s2 15 5 s1 40
3 s0 5
劳斯阵列第一列中 系数符号全为正， 所以控制系统稳定。
例2 系统的特征方程为
2s4 s3 3s2 5s 10 0
用劳斯判据判断系统是否稳定。
解：因为方程各项系数非零且符号一致，满足方 程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需 要检验它是否满足充分条件。计算其劳斯表中各 个参数如下
a3 0 a2
a1 a3 a5 3 a0 a2 a4 0
0 a1 a3
……
❖ 代数稳定性判据使用的多项式是系统闭环特征多项 式。 代数判据的局限性：
• 必须知道系统的闭环传递函数 • 定性——较难从量上判断系统的稳定程度 • 对含有延迟环节的系统无效
Nyquist 稳定性判据 （几何判据） 根据开环频率特性判断闭环稳定性
s2 u1 u2 s1 v1 s0 w1
其中
b1
a1a2
a0a3 a1
b2
a1a4
a0a5 a1
b3
a1a6
a0a7 a1
c1
b1a3
b1
a1b2
c2
b1a5 a1b3 b1
c3
b1a7
a1b4 b1
d1
c1b2
b1c2 c1
实部为正的特征根数＝劳斯阵列中第一列的系数符号
改变的次数。
各系数排成如下的 n n 阶行列式：
a1 a3 a5 0
a0 a2 a4 0
0 a1 a3 0
0
0
a0 0
a2
0
0 0
0 an1 0 0 an2 an
系统稳定的充分必要条件是：主行列式 n
及其对角线上各子行列式 1 ， 2 ，…， n1
均为正。即
1 a1 0
2
a1 a0
a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
特征方程式的根就是系统闭环传递函数的极点。
j
稳 不 s平面 定稳 区定
区
稳 不
定稳 区定
区 临界 稳定
系统稳定，则闭环系统 的极点全部分布在s平面 的左半平面；
系统不稳定，至少有一 个极点分布在s平面的右 半平面；
系统临界稳定，在s平 面上的右半平面无极点， 至少有一个极点在虚轴上。