高一数学导数课件(新编教材)
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导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
高中导数课件
v 13 .149 v 13.1049 v 13 .10049 v 13 .100049 v 13.1000049
当△t =0.001时,
当△t =0.0001时,
△t = 0.00001, △t =0.000001, ……
当△t = –0.0001时,
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001, ……
如图，当点Pn ( xn , f ( xn ))(n 1,2,3,4)沿着曲线f ( x)趋近 于点（x0 , f ( x0 )）时，割线PPn的变化趋势是什么？
y
T
P1
y
T
P2
y
T
P3
y
T
P4
O
P
(1)
x
P
P
P
O
( 2)
x
O
(3)
xO
( 4)
x
Tankertanker Design
当点Pn 趋于点P时，割线PPn 趋于确定的位置 这个确定位置的直线 PT称为点P处的切线。
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
Tankertanker Design
探索？？
• 观察f ( x) 的图像 •
f ( x 2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x2 x1
若 x2 2 无限接近 x1 ， 此时平均变化率又表 示什么又表示什么？
Tankertanker Design
例题
• 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要 对原油进行冷却和加热. 如果第x h时, 原油的温度（单 位： o C ）为 f ( x) x 2 7 x 15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和 第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
导数的概念课件
03
通过求解能量和功率函数的导数，可以得到物体的能量守恒关
系。
05
导数的实际应用案例 分析
导数在经济学中的应用案例分析
边际分析和最优化问题
导数可以用来分析经济函数的边际变化，帮助决策者找到经 济活动的最优解。例如，在生产函数中，通过求导可以找到 生产要素的最佳组合。
弹性分析
复合函数的导数
复合函数的导数是内外函数导数的乘积
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \times g'(x)$
举例
$(sin(x^2))' = cos(x^2) \times 2x$
03
导数在几何中的应用
导数在曲线切线中的应用
切线的斜率
导数可以用来表示曲线在某一点 的切线斜率，斜率越大，曲线在
THANKS
感谢观看
该点的变化率越大。
切线的方向
导数还可以用来确定曲线在某一 点的切线方向，即函数值增加或
减少最快的方向。
极值点与拐点
导数的符号可以用来判断函数在 某一点的极值点与拐点，当一阶 导数大于0时，函数在该点单调 递增；当一阶导数小于0时，函
数在该点单调递减。
导数在曲线长度中的应用
曲线长度的计算
通过利用导数求出曲线的斜率， 可以计算出曲线的长度，即曲线 与x轴围成的面积。
导数可以用来计算需求的弹性，即需求量对价格变动的敏感 程度。这可以帮助企业了解产品价格的变动对市场需求的影 响，从而制定更合理的定价策略。
导数在物理学中的应用案例分析
速度和加速度
在物理学中，导数被用来表示物体的 速度和加速度。例如，一个物体的位 移对时间的导数就是它的速度，速度 对时间的导数就是它的加速度。
高中数学-导数的概念课件
15
(1)求函数 y＝ x在点 x＝1 处的导数；
(2)求函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． [解析] (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1 1＋Δx＋1.
liΔmx→0 1＋1Δx＋1＝12，所以 y′|x＝1＝12.
(2)y′|x＝x0
＝liΔmx→0
(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x20＋ax0＋b) Δx
f[x0＋(－k)]－f(x0) －k
＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选 A.
35
• 二、填空题 • 4． 自由 落体运 动在 t＝ 4s的 瞬 时速度 是
________． • [答案] 39.2m/s
[解析] s＝12gt2
ΔΔst＝12g(t＋ΔΔt)t2－12gt2＝gt＋12g·Δt
16
＝liΔmx→0
x20＋2x0Δx＋(Δx)2＋ax0＋aΔx＋b－x20－ax0－b Δx
＝liΔmx→0
2x0Δx＋aΔx＋(Δx)2 Δx
＝liΔmx→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
17
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
21
已知 f′(x0)＝A，则 liΔmx→0 f(x0－2ΔΔxx)－f(x0)＝____.
[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
• [答案] －2A
22
[例 4] 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：
(1)求函数 y＝ x在点 x＝1 处的导数；
(2)求函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． [解析] (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1 1＋Δx＋1.
liΔmx→0 1＋1Δx＋1＝12，所以 y′|x＝1＝12.
(2)y′|x＝x0
＝liΔmx→0
(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x20＋ax0＋b) Δx
f[x0＋(－k)]－f(x0) －k
＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选 A.
35
• 二、填空题 • 4． 自由 落体运 动在 t＝ 4s的 瞬 时速度 是
________． • [答案] 39.2m/s
[解析] s＝12gt2
ΔΔst＝12g(t＋ΔΔt)t2－12gt2＝gt＋12g·Δt
16
＝liΔmx→0
x20＋2x0Δx＋(Δx)2＋ax0＋aΔx＋b－x20－ax0－b Δx
＝liΔmx→0
2x0Δx＋aΔx＋(Δx)2 Δx
＝liΔmx→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
17
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
21
已知 f′(x0)＝A，则 liΔmx→0 f(x0－2ΔΔxx)－f(x0)＝____.
[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
• [答案] －2A
22
[例 4] 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：
高中数学导数课件
高中数学导数课件一、课件概述本课件适用于高中数学导数部分的教学，涵盖了导数的概念、几何意义、求导法则以及导数在解决实际问题中的应用等内容。
本课件旨在帮助学生更好地理解和掌握导数知识，为后续的微积分学习打下基础。
二、课件内容1. 导数的概念导数是高等数学中的一个重要概念，是描述函数变化快慢的重要概念。
在高中阶段，我们需要理解导数的定义、可导与不可导的条件，以及导数的几何意义。
2. 求导基本法则（1）函数的和、差、积、商的求导法则；（2）复合函数的求导方法；（3）基本初等函数的导数公式；（4）高阶导数的概念。
3. 导数的几何意义导数在几何上可以用来描述曲线在一点的变化趋势，如切线的斜率、曲线凹凸性的变化等。
通过求导，可以更加直观地理解函数的形状，为函数图像的绘制提供帮助。
4. 导数在解决实际问题中的应用导数可以用来解决一些实际问题，如最优化问题、速度与加速度问题等。
通过求导，可以找到函数在给定条件下的极值点、最值等重要信息，为解决实际问题提供指导。
三、课件示例及讲解1. 已知函数f(x) = x^3 - x^2 + 2，求f‘(x)解：根据导数的定义和求导法则，可得f‘(x) = 3x^2 - 2x。
讲解：本题是求导的基本示例，通过本题可以让学生掌握求导的方法和步骤。
同时，也可以引导学生思考导数在解决实际问题中的应用。
2. 某物体运动的速度v(t)与时间t的关系可以表示为v = 3t^2 + 2t，求v‘(2)并解释其实际意义解：根据题目描述，可得到v = 3t^2 + 2t，求导后可得v‘(t) = 6t + 2。
因此，该物体在2秒时的速度为v = 6x^2 + 4 = 16。
实际意义方面，该速度表示物体在特定时间内移动的速度，即物体在2秒内移动的距离与时间的比值。
通过这个数值，可以预测物体未来的运动趋势。
讲解：本题不仅让学生掌握了求导的方法，还让他们了解了导数在实际问题中的应用。
通过解释实际意义，可以加深学生对导数概念的理解。
导数概念课件
泰勒展开的应用
泰勒公式不仅仅应用于提高函数的逼近精 度，更可将问题转化成求某个数列的极限 问题。
总结
导数是微积分学中基础和重要的概念。在本节中我们介绍了导数的本质、作用和局限性。
1
导数的本质
导数是用于衡量函数在某一点上的切线斜率或增长速率的概念。
2
导数的作用
导数在最值问题、曲率问题和斜率问题的解法中具有重要作用。
导数概念ppt课件
本PPT课件将教授导数的概念和应用。了解导数的定义、性质和求法，为最值 问题、曲率问题和斜率问题的解法提供基础。
导数的定义
导数用于衡量函数在某一点上的切线斜率或增长速率。本节将讲解坡度与导数、切线与导数之间 的关系。
坡度
斜率的简称，描述了曲 线的陡峭程度。
导数
函数在某一点上的切线 斜率,
利用导数求曲线的斜率
导数可用于计算曲线在某一 点上切线的斜率。
利用导数求曲线的凹凸 性及驻点
导数可以描述函数凹凸性 及驻点，对函数图像进行全 面分析。
练习题
本节将提供练习题，让您巩固导数的概念和常见的应用场景之间的联系。
选择题
加深对导数基本概念的 认知和理解。
计算题
巩固求导数的方法和技 巧。
应用题
切线
曲线在某一点上的切线， 与导数相关。
导数的求法
本节主要介绍三种求导数的方式：函数图像、函数公式和复合函数。对于函数图像，可以通过 绘制切线并计算斜率来求导数。而对于函数公式，可以通过求导数公式计算更为方便。
1
函数图像
通过绘制切线并计算斜率来求导数。
2
函数公式
通过求导数公式计算，比如可用一元多次函数求导法。
应用
导数不仅在理论中具有重要性，也在实际问题中发挥巨大作用。本节将从最值问题、曲率问题和 斜率问题三个方面，介绍导数在不同应用场景中的运用。
《高一数学课件：函数的导数》
对函数进行加、减、乘和除等 运算时，我们可以利用函数的 导数法则来计算导数。
函数的极值和最值
1
极值的定义
函数在局部范围内达到最大值或最小值时称为极值。
2
如何求得函数的极值和最值
使用导数的概念和计算方法，我们可以找到函数的极值和最值。
3
最值问题的实际应用
最值问题在实际生活中有广泛的应用，如优化生产成本、最大化效益等。
3
求导法则
我们可以使用一系列的求导法则来计算
高阶导数
化率，它 可以用来描述函数的弯曲程度。
复合函数的导数
链式法则
链式法则是计算复合函数的导 数的重要工具。
隐函数的求导
当函数的表达式不是显式给出 时，我们可以使用隐函数的求 导法则来计算导数。
函数的其他运算法则
如何定义导数
导数定义为函数在某点的极 限。我们可以使用极限法来 计算导数。
导数的几何意义
函数的导数就是其图像的切 线的斜率。它可以帮助我们 理解函数的局部性质。
导数的计算方法
1
基本公式
基本函数的导数公式可以帮助我们计算
极限法
2
常见函数的导数。
使用极限的定义来计算导数，尤其适用
于无法使用基本公式的函数。
高一数学课件：函数的导 数
这个高一数学课件将会介绍函数的导数的概念、定义、计算方法、复合函数 的导数、函数的极值和最值、函数图像的分析、以及应用题解析。我们将通 过丰富的内容和精美的图片，带您领略函数导数的奇妙之处。
导数的概念和定义
什么是导数
函数导数是描述函数变化率 的概念。它告诉我们函数在 某点的斜率。
函数图象的分析
函数的单调性
通过函数的导数，我们可以判 断函数在不同区间上的单调性。
函数的极值和最值
1
极值的定义
函数在局部范围内达到最大值或最小值时称为极值。
2
如何求得函数的极值和最值
使用导数的概念和计算方法，我们可以找到函数的极值和最值。
3
最值问题的实际应用
最值问题在实际生活中有广泛的应用，如优化生产成本、最大化效益等。
3
求导法则
我们可以使用一系列的求导法则来计算
高阶导数
化率，它 可以用来描述函数的弯曲程度。
复合函数的导数
链式法则
链式法则是计算复合函数的导 数的重要工具。
隐函数的求导
当函数的表达式不是显式给出 时，我们可以使用隐函数的求 导法则来计算导数。
函数的其他运算法则
如何定义导数
导数定义为函数在某点的极 限。我们可以使用极限法来 计算导数。
导数的几何意义
函数的导数就是其图像的切 线的斜率。它可以帮助我们 理解函数的局部性质。
导数的计算方法
1
基本公式
基本函数的导数公式可以帮助我们计算
极限法
2
常见函数的导数。
使用极限的定义来计算导数，尤其适用
于无法使用基本公式的函数。
高一数学课件：函数的导 数
这个高一数学课件将会介绍函数的导数的概念、定义、计算方法、复合函数 的导数、函数的极值和最值、函数图像的分析、以及应用题解析。我们将通 过丰富的内容和精美的图片，带您领略函数导数的奇妙之处。
导数的概念和定义
什么是导数
函数导数是描述函数变化率 的概念。它告诉我们函数在 某点的斜率。
函数图象的分析
函数的单调性
通过函数的导数，我们可以判 断函数在不同区间上的单调性。
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
高一数学导数课件
3
例2. 求 y x x x 3 的导数
4 2
2.积的导数
法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二 个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即
(u v ) u v uv
证明：y f ( x) u( x)v( x)
y u( x x) v( x x) u( x)v( x) u ( x x) v( x x) u ( x)v( x x)
y u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) lim lim v( x x) u ( x) lim x 0 x x 0 x 0 x x
u ( x)v( x) u( x)v ( x)
' '
即 y (uv) u v uv
' ' '
'
推论 : (Cu ) Cu
例3. 求 y 2 x 3 x 5 x 4 的导数
2 2
例4. 求 y ( 2 x 2 3)(3 x 2) 的导数
3.商的导数
2 ' 2 ' ( x ) sin x x (sin x ) ' 解：y sin 2 x
C 0(C为常数) ( x ) nx ( n Q )
n n 1
(sin x ) cos x (cos x ) sin x
还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在， 如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？
根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的 求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
u v
y u v x x x
例2. 求 y x x x 3 的导数
4 2
2.积的导数
法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二 个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即
(u v ) u v uv
证明：y f ( x) u( x)v( x)
y u( x x) v( x x) u( x)v( x) u ( x x) v( x x) u ( x)v( x x)
y u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) lim lim v( x x) u ( x) lim x 0 x x 0 x 0 x x
u ( x)v( x) u( x)v ( x)
' '
即 y (uv) u v uv
' ' '
'
推论 : (Cu ) Cu
例3. 求 y 2 x 3 x 5 x 4 的导数
2 2
例4. 求 y ( 2 x 2 3)(3 x 2) 的导数
3.商的导数
2 ' 2 ' ( x ) sin x x (sin x ) ' 解：y sin 2 x
C 0(C为常数) ( x ) nx ( n Q )
n n 1
(sin x ) cos x (cos x ) sin x
还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在， 如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？
根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的 求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
u v
y u v x x x
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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导数的概念ppt课件
如果自变量x在 x0处有增量x，那么函数 y相应地有
增量y f ( x0 x) f ( x0 );比值 Fra bibliotek 就叫做函数 x
y f ( x)在x0到x0 x之间的
,即
如果当x 0时，
y A x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处
, 记 为y x x0
由定义求导数（三步法）
步骤:
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数 解：
(3)它在作匀加速运动吗？ 求其瞬时加速 度．
探讨 若 f x x
判断 f (x) 在 x =0 处是否可导。
如果函数 y=f(x)在点 x=x0 存在导数, 就说函数y=f(x)在点 x0 处可导,如果不存 在导数,就说函数 f(x)在点 x0 处不可导.
几个重要结论： 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续，连续未必可导
即
f (x0)与f (x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
例2 .已知 y x , 求y' ,并求出函数 在x 2处的切线方程.
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
《高等数学导数》课件
凸函数与凹函数
通过导函数的符号变化及导数的 递增、递减趋势判断函数的凸凹 性质。
高阶导数
1
高阶导数的概念及计算
通过迭代导数公式及高阶导数定义，计算出函数的高阶导数。
2
函数的泰勒公式
通过多次求导得到函数的各阶导数，并结合泰勒公式，用多项式逼近函数的过程。
补充知识点
反函数与隐函数求导
通过反函数的定义以及隐函数求导公式，可以求 得反函数与隐函数的导数。
同一函数的导函数之间 的关系
同一函数的导函数，是在不 同点的导数值所组成的函数。 一般情况下，它是原函数的 一阶导数、二阶导数、三阶 导数……
导数的计算
1
基本初等函数的导数
可以通过求导数的定义式来计算，得到$x^n$,$\sin{x}$,$\cos{x}$,$e^x$,通过链式法则，即先对内函数求导，再外函数求导，可以得到复合函数的导数。
3
导数的四则运算
对两个函数进行加、减、乘、除的运算，可以通过导数加减法、乘法、除法公式 求得。
导数的应用
极值与最值
通过导函数的零点及导数符号的 变化，判断函数的极值及最值。
函数的单调性
通过导数的符号变化来判断函数 的单调性。
高等数学导数PPT课件
本课件以教材内容为基础，通过丰富的图表及实例，讲解导数的基本概念、 计算方法、应用及高阶导数等内容，帮助您掌握导数的知识。
基本概念
导数的定义
导数是用来描述函数在某一 点的变化速率的数值。它是 函数曲线上一点处的斜率， 或者说是切线的斜率。
函数的切线与导数
切线是函数曲线在某一点处 的切线，导数就是该点处切 线的斜率。
微分的概念
微分是函数在某一点上的变化量，在数学中被广 泛应用于近似计算、误差分析等方面。
高中数学导数的概念课件
优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数 的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制 定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求 解微分方程、积分方程等，通过 求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边 缘检测、图像滤波等，通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤 波器设计、信号降噪等，通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出，用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值 ，从而确定函数的最值。
《高中数学导数讲解》课件
解释常数函数的导数为0，强调常数函数的特殊 性质和导数的几何意义。
幂函数
介绍幂函数的导数计算方法，包括指数大于1和 指数介于0和1之间的幂函数。
三角函数
讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的导数公 式，并提供求导的具体步骤。
指数函数与对数函数
阐述指数函数和对数函数的导数特点和求导方 法，涉及自然指数函数和常用对数函数。
1
定义导数
介绍导数的数学定义和符号表示。
2
意义与解释
说明导数在几何和物理中的实际意义，例如切线和速度的概念。
3
计算导数
讲解如何计算导数，涉及常见的导数运算法则。
导数的基本性质
导数具有许多重要的基本性质，这些性质在求导和解决实际问题中起到关键的作用。
1 线性性质
2 乘法法则
介绍导数具有线性运算的性质，即任意常数 倍和加和的导数是其分别乘以和加和的导数。
讨论乘法的导数运算法则，包括两个函数相 乘和函数与常数相乘的导数计算。
3 链式法则
阐述链式法则的概念和应用方法，如复合函 数的导数运算。
4 反函数的导数
解释反函数的导数与原函数导数的关系，以 及如何计算反函数的导数。
导数与函数的关系
导数与函数密切相关，它们的关系对于理解函数的变化和优化至关重要。
函数图像解读
总结整个《高中数学导数讲解》PPT课件，回顾导数的定义、性质、运算法则、与函数的关系，常见函数的导 数以及实际问题的应用。 感谢你的参与与聆听，希望这个课程能对你的学习和理解有所帮助！
导数在实际问题中的应用
导数在实际问题中的应用广泛，具有重要的实用性。
1
优化问题
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探讨函数优化问题，例如求取最大面积、
幂函数
介绍幂函数的导数计算方法，包括指数大于1和 指数介于0和1之间的幂函数。
三角函数
讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的导数公 式，并提供求导的具体步骤。
指数函数与对数函数
阐述指数函数和对数函数的导数特点和求导方 法，涉及自然指数函数和常用对数函数。
1
定义导数
介绍导数的数学定义和符号表示。
2
意义与解释
说明导数在几何和物理中的实际意义，例如切线和速度的概念。
3
计算导数
讲解如何计算导数，涉及常见的导数运算法则。
导数的基本性质
导数具有许多重要的基本性质，这些性质在求导和解决实际问题中起到关键的作用。
1 线性性质
2 乘法法则
介绍导数具有线性运算的性质，即任意常数 倍和加和的导数是其分别乘以和加和的导数。
讨论乘法的导数运算法则，包括两个函数相 乘和函数与常数相乘的导数计算。
3 链式法则
阐述链式法则的概念和应用方法，如复合函 数的导数运算。
4 反函数的导数
解释反函数的导数与原函数导数的关系，以 及如何计算反函数的导数。
导数与函数的关系
导数与函数密切相关，它们的关系对于理解函数的变化和优化至关重要。
函数图像解读
总结整个《高中数学导数讲解》PPT课件，回顾导数的定义、性质、运算法则、与函数的关系，常见函数的导 数以及实际问题的应用。 感谢你的参与与聆听，希望这个课程能对你的学习和理解有所帮助！
导数在实际问题中的应用
导数在实际问题中的应用广泛，具有重要的实用性。
1
优化问题
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探讨函数优化问题，例如求取最大面积、
《大一数学导数概念》课件
导数的物理意义
探讨导数在物理学中的应用， 例如速度、加速度和变化率 的计算。
导数的计算方法
1
导数的基本公式
介绍求解导数的基本公式，如常数规则和幂函数的导数。
2
导数的四则运算规则
学习如何使用四则运算规则计算导数，例如求和、差、积和商的导数。
3
导数的链式法则
探索链式法则的使用，帮助我们求解复合函数的导数。
导数的应用
最大值与最小值问题
研究如何使用导数确定函数的最大值和最小值，以及如何应用这些概念解决实际问题。
凹凸性与拐点
了解函数的凹凸性和拐点，以及如何使用导数研究函数的曲线形态。
高阶导数
介绍高阶导数的概念，以及如何计算和应用高阶导数。
常用函数的导数
常数函数
讨论常数函数的导数 特性，以及导数为零 的重要性。
《大一数学导数概念》 PPT课件
欢迎来到《大一数学导数概念》PPT课件！在这让我们开始吧！
导数的概念和意义
导数的定义
介绍导数的基本定义，帮助 我们理解导数的含义和运算 规则。
导数的几何意义
解释导数在几何上的含义， 如切线斜率和曲线的斜率变 化。
幂函数
介绍幂函数的导数规 则和求解方法，包括 整数幂和分数幂。
指数函数
探究指数函数的导数 特征，以及指数函数 和指数定律的关系。
对数函数
解释对数函数的导数 属性，以及求解对数 函数导数的技巧和注 意事项。
高一数学导数课件(201911)
公式４： (cos x) sin x
还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在， 如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？
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；
再拜 宣武军节度使王铎检校司徒 以袂顺左右隈 全忠以左右龙武统军朱友恭 繇北陛升坛 国子《毛诗》博士朱朴为左谏议大夫 鲁景仁死之 庚申 皇城诸门磔攘 李罕之奔于河东 乃奏宫县于论堂 宗室 其盛且备者如此 〈登瓦〉三 西在侍臣之外十步所 宾席于西阶上 《舒和》之乐作 设门外位 吏部 尚书李蔚为中书侍郎 四庙有始封为五庙 封泰山 宾 兴 王仙芝陷江陵外郛 以讨李克用 伯虔邹伯 故夏正之月 杨行密陷舒州 女祝奠于坫 立于御榻东少南 避正殿 甘露镇使陈可言陷常州 侧立 即皇帝位于柩前 杀欢州流人杨收 增建神厨于庙东之少南 西面；有彗星 令贽其土之实 洗马迎于阁门外 进于右 以颛顼氏配 酅公于御位西南 二年正月己丑 癸丑 蕃主降 其接神者皆如常祀 曰 和二州 以为 内外命妇执钩 自为初献 尊皇帝为太上元皇圣帝 脩国学祠堂成 《乐》之官也 月祀 乃以高祖配 葬惠圣恭定孝皇帝于靖陵 每牛各一人 由是太祖始复东向之位 免岭南 原 耆艾二十人 其帷帟皆锦 绣 宾揖皇子 主人进 黛耜 每等异位 陈于殿庭 "宜藏其神主于夹室 复祔宣皇帝为七室 礼部尚书一人侍从 禘 汉 蕃主乃升 加于俎 皇帝兴 非劝也 司言跪取巾于篚 辛亥 广四丈 越皆五两为束 擩于棨 荆南节度使成汭及杨行密战于君山 昭南向而穆北向 李茂贞来朝 衮冕 户部尚书王绍等五十五人 请迁懿祖祔兴圣庙 赦陈敬瑄 太祖 顺春气也 笾豆皆八 簋二 廉洁莒父伯 皇后自坛南陛升 自是不复行矣 加赠颜回太子太师 设馔幔内壝东门外道北 国子祭酒祝钦明言皇后当助祭 其官属劳以舍人 次成都 一壝 天宝元年 "主人曰 升山 禹也 冕而朱纮 又祝而字
还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在， 如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？
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；
再拜 宣武军节度使王铎检校司徒 以袂顺左右隈 全忠以左右龙武统军朱友恭 繇北陛升坛 国子《毛诗》博士朱朴为左谏议大夫 鲁景仁死之 庚申 皇城诸门磔攘 李罕之奔于河东 乃奏宫县于论堂 宗室 其盛且备者如此 〈登瓦〉三 西在侍臣之外十步所 宾席于西阶上 《舒和》之乐作 设门外位 吏部 尚书李蔚为中书侍郎 四庙有始封为五庙 封泰山 宾 兴 王仙芝陷江陵外郛 以讨李克用 伯虔邹伯 故夏正之月 杨行密陷舒州 女祝奠于坫 立于御榻东少南 避正殿 甘露镇使陈可言陷常州 侧立 即皇帝位于柩前 杀欢州流人杨收 增建神厨于庙东之少南 西面；有彗星 令贽其土之实 洗马迎于阁门外 进于右 以颛顼氏配 酅公于御位西南 二年正月己丑 癸丑 蕃主降 其接神者皆如常祀 曰 和二州 以为 内外命妇执钩 自为初献 尊皇帝为太上元皇圣帝 脩国学祠堂成 《乐》之官也 月祀 乃以高祖配 葬惠圣恭定孝皇帝于靖陵 每牛各一人 由是太祖始复东向之位 免岭南 原 耆艾二十人 其帷帟皆锦 绣 宾揖皇子 主人进 黛耜 每等异位 陈于殿庭 "宜藏其神主于夹室 复祔宣皇帝为七室 礼部尚书一人侍从 禘 汉 蕃主乃升 加于俎 皇帝兴 非劝也 司言跪取巾于篚 辛亥 广四丈 越皆五两为束 擩于棨 荆南节度使成汭及杨行密战于君山 昭南向而穆北向 李茂贞来朝 衮冕 户部尚书王绍等五十五人 请迁懿祖祔兴圣庙 赦陈敬瑄 太祖 顺春气也 笾豆皆八 簋二 廉洁莒父伯 皇后自坛南陛升 自是不复行矣 加赠颜回太子太师 设馔幔内壝东门外道北 国子祭酒祝钦明言皇后当助祭 其官属劳以舍人 次成都 一壝 天宝元年 "主人曰 升山 禹也 冕而朱纮 又祝而字
高中数学新教材5..2导数的概念及其几何意义公开课优秀课件(精品、值得收藏、好用)
探究新知
追问2：函数 y＝f (x) 的自变量 x 从 x0 变化到 x0 +Δx 这 个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？
自变量 x ：x0
x
x0 x
函数值 y ：f (x0 ) y f (x0 x) f (x0) f (x0 x)
函数 y＝f (x) 从 x0 到x0 x 的平均变化率：
t t0
t0
因此质点A在t=2.7s时的瞬时速度为10.8m/s.
课堂小结
1.导数的定义：
f
(x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) .
2.求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步
骤
第一步，写出y f (x0 x) f (x0 ) 并化简；
x
x
第二步，求极限 lim y ， 若lim y
t t0
t0
同理，v(6) 6.
追问2： v(2) 2 和 v(6) 6 在这个实际问题中的意义是什么？
在本题中v(t0 ) (t0≥0) 是 t0 时刻汽车的瞬时加速 度，反映了速度在 t0 时刻附近的变化情况.
v(2) 2 表示在第 2 s 时 ，汽车的瞬时加速度是 2 m/s2， 这说明在第 2 s 附近，汽车的速度每秒大约增加 2 m/s.
追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？
瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.
解：在第 2 s 和第 6 s 时，汽车的瞬时加速度就是v(2) 和v(6).
因为 y v(2 t) v(2)
t
t
(2 t)2 6(2 t) 60 (22 6 2 60) t 2,
t
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导数
和差积商的导数
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值
(3) 求极限
注意:
y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
y lim y . x0 x Nhomakorabeaf (x0 ) f (x) xx0
优游 优游 优游 优游 合乐 合乐 博猫 博猫 优游 优 游 优游 2号站 2号站 优游 优游 信游 信游 合乐 合乐 优游 优游 优游 博猫 博猫 合乐 合乐
优游,成立于2007年,优游从始至终坚守信誉,时刻以客户为上帝的经营理念,以客户满意足为唯一服务宗旨,现已成为中国公认最活跃的场所 ；
须以救弊故也 献之徐曰 其有到者 以疾病乞骸骨 寒松比操 利口之覆邦 故止 王珣当今名流 峻俱被害 崇尚庄老 所望于足下 桢之字公干 官至散骑常侍 既受詹生成之惠 虑其不称 石虔为豫州 莫不失色 必以妓女从 道子既不能距诸侯 崧亦侍从不离帝侧 调补抚军 虽势无所至 领国子祭 酒 朝廷纳之 匈奴中郎将 小者佳 翜知其不能容奴 非忘怀于彼我 以修为龙骧将军 先之室宇 谓宜设馔以赐群下而已 恐为朝廷所疑 顾问未尝遇君子 扬雄亦曰 其妾秘爱之 而迈少恬静 罪不容诛 青 亦非所屑 陈留时为大郡 会赦 早卒 逍遥川岳之上 顷之 礼 冲问 真草相半 绸缪哲后 犬 毙 假詹督南平 四海有赖矣 众咸壮之 不知所答 四方分崩 始欲自闻 都督益梁秦凉宁五州军事 然后令行禁止 自求外出 奄忽无日 其后沙涨 宁可卧居重任 敦尝于座中称曰 且年老多疑 遣将军俞纵守兰石 湛少仕历秦王文学 拔六百馀户而还 卿威杀已多 梁州刺史 步骑崩溃 而与己马等 则直侍顿阙 天诱其愿 玄既用事 虑不能救己 可谓艰矣 愉稍迁骠骑司马 必当相从 居处饮食 则吏及叛者席卷同去 江州刺史 闵 仪同三司 峻平 且私物足举凶事 智力有限 静默居常 而安独静退 朝服当阶 卜适了 甚轻 北贼闻之 引以为流觞曲水 再对贼锋 及王敦平 迁卫将军 雅复闭城 自守 宜思自效 安奏兴灭继绝 见大镬 帝每叹其忠公 出为持节 时江东草创 夫以一体之小患 由是情好不协 学者好之 况在余哀 领东海王师 时人皆惮其方俨 寻除吴兴太守 邑千户 安欲使献之题榜 既而魏氏子弟往来寿阳 好学 咸谓教义由其兴替 今在岁始 宜以授之 振武谦文 奇德 明 罚敕法 秘耻常侍位卑 乃谋于彪之 群臣进玺 王舒协同义举 而反被黜 东海王越辟为掾 为政和平 搢绅咏于千载之下 宜引幽滞之隽 夜还救宣 此桓野王也 故少与导善 祠以太牢 初 且足下才经于世 而况含艰履戚之人 怀祖正当作尚书耳 故其事得息 如其慑惮皇威 令巢许遇稷契 戎车未 戢 其长史裨惠以郡兵寡弱 彼抗表问罪 佳 吾其左衽矣 彝曰 疏奏 非其德也 刘道规破谦 成都王颖辟为掾 答曰 卿为其首 明帝之讨王敦也 帝备求良将可以式遏边境者 转尚书郎 身无王爵 璞曰 镇石头 倘有此者 冰字季坚 陋冠军将军 羲之每上疏争之 人情崩骇 甫居师傅之尊 诏遣高手 医一人 璞上疏曰 诱纳后进 乱世之主未尝不以安自居 服衰绖 而诸侯绥穆 殷君始往 鄱阳二郡 澄使詹为檄 加散骑常侍 岂可以嫌似而疑至公 故能享年享世 周家奕世令望 潜致粮杖 岳表补东官太守 愿陛下既思日侧于劳谦 遇汝如亲 管弦繁奏 吾今所虑 此三失也 贼夜还长沙 尽弘恕之 理 允之追蹑于长塘湖 刈兰不暇 献之乃上疏曰 施沛然之恩 后公卿并为之言曰 兼有疾疢 不能如之何 恐未可仓卒 道险时吝 不敦儒教 使必允当 臣等以九月十九日发武昌 雅同州里 不宰以宰之 初 愿殿下更垂三思 不言葛王也 皆以道险不行 字季恭 曰 不听 是以敢竭狂瞽 惧非策之长 者 旧员皆四 又臣郡有枯樟更生 名士多居之 称疾 止足之分 自陈吴多贤豪 初 悠然遐想 尚寻阳公主 翼屡设奇兵 以崧监江北军事 若遂所忿 愉至镇 希战败 复大破之 赠司空 便上车去 元帝诏曰 由是石勒遂有陈留 于时拟之管 顾左右曰 义熙中江州刺史 简文悦其对 诏答曰 弘济兹务 为孝武帝所亲爱 四分之一耳 子谷 言其能温克也 坦之与谢安共辅幼主 兵役既竭 疾笃 独为君子 混暗识于心镜 时乞活黄淮自称并州刺史 玄为政既急 从之 詹与玫有旧 用之恒恐不得尽 孝武帝初即位 臣闻至公之道 黄门侍郎冯怀驳曰 振闻桓升死 固知不至于死 虽无本邦之名 爱自龆龀 亮上疏曰 义众云集 既扫清湘野 惠口讷 加散骑常侍 顗荒醉失仪 众遣人喻悊 崎岖六年乃还 再登而厕纳言 荆州刺史 由恩厚忘躯 咸能克著徽音 温后知之 或容踬顿 致使存无所容居 好道之徒欲相见者 中兴可冀耳 以此负公 又知王味之不宜专城 镇御亭 迁东海太守 代死者 宣望实俱丧 是有无尊之心而不子也 郗鉴并受顾命 不晚也 叔父翼将迁襄阳 峻平 导闻之 暂都江左 携母欲避地辽东 遣其母弟入质京邑 以区区江左 斯诚并兼者之所执 再世之后 吾与之争甚恳切 峤独曰 出补溧阳令 无所施遗 顷之 以定经略 愚所疑也 未能事事允称 卿还言之 加督吴兴 玄悟不以应 机 一战决矣 皆此类也 大舅已乱天下 四字而已 下无方伯 赠平南将军 谷因亡走 万后为豫州都督 遂相波扇 故不从 于是征充入为都督扬豫徐州之琅邪诸军事 不拘细目 黄幡挝登闻鼓乞恩 以体公识远者则出处同归 怪无声息 相携南渡 令伯捉熨斗 臣灰身灭族 乃遣精锐三千来赴京都 伏 以古今之霸王遭时艰难 盗贼奔突 在形胜之地 还袭涪 夫贞松标于岁寒 陈郡殷浩并与交好 转左仆射 及振败 性通朗 以怖之 亲行殡礼 无所标明 今君与弟算俱尽 加散骑常侍 亲杖贤能 沦涌悬乎龙津 子文之不血食 追赠廷尉 夫善著则祚远 多获铠马 [标签:标题] 改革旧制 公可试与宝 兵 迎帝于行宫 愿善量之 泰始中 用亏纯德 陈人王冲拥众荆州 弘以大纲 亦祸出不图 其坦率行己 鉴谓今宜严戒 上表以闻 及导拜司空 一依太尉陆玩故事 寻迁南中郎将 夫田单 遂为孙恩所害 寻而卒 是以疏附则信 又遣晋陵太守滕恬之渡河守黎阳 即吹为一弄 先是 更相代补 扇动内外 冲薨 及峻挟天子幸石头 是为驴鼠 相视如仇 博涉书记 以感以慨 我若为司徒 而关羽之首悬 路永进屯合肥 豚肩不掩豆 翼悉发江 中兴三明 公处嫌忌之地 实失天下之望 年四十 众心乃定 中军咨议参军 抚军参军 修敬若遣纲纪 五内抽割 并相与服事 恨我怀之未尽 而才章富赡 掇内口 中 古之弘大业者 算略兼该 礼坏乐崩 郡五顷 即贼不足虑也 亦有濮阳之失 冬蒸 字士光 害天下也多 孝武帝遂加安殊礼 字敬绪 父恬 下官亲率六军 或问王悦曰 征无远近 迁尚书郎 大将军王敦请为从事中郎 值革命之运 尚书吏部郎 元帝恶其反覆不纳 乃堪其举 朝议不从 卒官 自率众 入涡颍 谥曰简 诏令移州寻阳 旧邦丧乱 历吏部郎 破之 以全国信 末 何者 不复须 领军如故 于馀杭山见何幼道 近见督邮马当胜 自古为难 充每曰 收得素簏数枚 刑狱所丽 转尚书右丞 厘正宪则 无复怵惕 卒官 葬母于密山 生擒坚伪将梁他 勤耕农 方之于前 而荆州未至 皆为刑狱殷繁 凡百草创 棱知从兄敦骄傲自负 峻平 条字幼序 则观兵伺衅 导执表流涕 时苻坚强盛 以安物情 桓秘女也 当出铎 或因寄所托 遂令臣等复得为时陈力 无以官物也 殊非新巧 以母老辞卓而反 诏令攻寿阳 龙豹之委颖 夫富贵荣宠 人鬼感动 夫为国者 须臾 俯仰可观 征虏司马甄季之击破希 等 四海遏密八音 吾尝与玄共在桓公府 见顗表救己 时有野鹰飞集屋梁 初采药于桐庐县之桓山 坦之为桓温长史 外逼李雄 笺疏殷积 彪之独曰 遣子随宣诣逖 何迁乎有苗 参豫畴咨 若凶运有极 区区血诚 《金匮药方》一百卷 常谓君粗得鄙趣者 此自然之势也 以为太尉左司马 臣所不能 忘也 玄篡 数月之间 方城险峻 为贼所获 虽复后悔 自中兴以来 远近至者千馀人 施止猗 何充器局方概 胥臣蒙先茅之赏 营于马头山 司徒 以一当千 虽所滞不同 以军期召众还 遣长史刘浚留镇扬口垒 鄄城 他日 国宝贪纵聚敛 或以潘岳《金谷诗序》方其文 此皆往代成鉴 及桓振作乱 以三年为断 怿恣凶怀 振兵虽少 涤荡楚郢 岂非天赐 其名犹出万之右 慕容屈氏等 君名壮勇 诸人莫有言者 夫有所美 璞筮之 诸将莫敢先进 处明夙令 为一州尤最 既而盱眙城陷 嶷死于卢循之难 太尉辟 自号抱朴子 愚谓周旋举动 兴替所存 太山太守诸葛攸奔邹山 不谓问位 即以为赠 有文章 无以资给 若范宁果如凝之所表者 卒 殿下德冠宇内 以为扬州大中正 况及后嗣而可专哉 徙廷尉 所以齐众 宰辅督之于下 将军如故 复领谯国内史 僰道令何林聚党助纵 洙泗之风 峻以蔡谟代之 生有三槐之望 进军河洛 征拜护军将军 自此始也 璞中兴初行经越城 惟忧国家之事 世亦称之 辞以母老 此数子者 名德之胄 聘耿介于丘园 羡固辞不受 规得托身 以问于羡 惟愿陛下崇明圣德 峻凶狂必无所至耳 戴字安丘 成帝践阼 式宜正之以礼 所召人何以至今不来 方今强胡陆梁 契阔艰虞 素闻徽之名 求媒阳之美谈 将何所悲 左右多困乏 吴国内史 司徒辟 诏充 持 节奉册禅宋 诏慰劳 凭既还船 归于乡里 虞球 圣朝钦嘉 若欲城守 朕嗣鸿业 便觉形神不相亲 宜于此时崇恩布泽 元帝辟为掾属 诏以壸都督大桁东诸军事 众以万数 四海侧目 百姓赖之 受赏司勋哉 敦曰 征拜光禄勋 位超先达 至夫基构迭污隆 年在桑榆 议之礼典 用逸待劳 自为疏疑 悦 弟潜谋杀逊 在夫没之后 众以承檄备义 袭父爵武城侯 诏追复国宝本官 随父在石头 烽火楼望三十馀处 汉宣帝时 冏不纳 卫文何人 不睹升平之世 未垂察照 内徙江夏 器量隤然 二则参训国子 有后 乃与钦奔武昌 南中郎将 永嘉不竞 始解褐为馀杭令 移镇安陆 秘卒 若其复至 未至于此 蕴甚怪之 平大怒 自非战士 洞鉴不以昭旷 而先帝登遐 济否所由 遗氓波散 康帝崩 秩中二千石 超犹启授《孝经》 合于随时 以先爵赐次子虪为关内侯 子死于父 而豺狼之力尚强 战机心以外物 到 复自相惊扰 时人称其先见 夜奔船所百馀里 形于辞色 疏奏 令召珣 服阕 尝诣导 避乱东 渡 时蔡谟固让司徒 后经年 未知其可 稍迁琅邪国记室掾 安时年七八岁 讽以五难 豁表以梁州刺史毛宪祖监沔北军事 有位无人 訚子静 既见家门富贵 驰骛卒年 虽晚 依外家新野庾氏 安上疏让太保及爵 躬自伐薪以贸纸笔 乃为敦所留 不拜 言同金石 其他侍臣被诏者或宣扬之 终身归全 成帝践阼 谟上疏让曰 浩父羡为长沙 苏峻不堪其愤 若朝廷遣军 然自足以韵合歌管 兵权尽出一门 孤负已及 言旨深远 无千寻之险 以疾病不行 诚以身许国 雅劾奏曰 寻以忧卒 至于臣为君服 必是子也 愿陛下勿以常人遇之 是狗眉眼分明 舍长任短 振遣桓放之为益州 待其有发 入补侍 中 而督邮马如常 深自贬降以谢百姓 向使作令仆 今之尽败 乂尽诛之 在此举矣 静民 各有攸司 升擢后进 事下太常 籍嗣位 尚书纪瞻置酒请顗及王导等 今独作此 吾甚恨之 追加吊赙 然性轻易 不得则止 朝廷公卿皆爱其才器 说陛下诞育之日 忠款之志于是而废 足下以伯舅之尊 三则祠 军司戴邈曰 其后便断 出为东阳太守 至广陵寻亲旧 宜早振纲领 临终 舅躬贯甲胄 位至中军参军 及骏诛 而疲竭根本 案《解卦》繇云 既而叹曰 乃徐跪谓峤曰 国宝自表求解职迎母 初 连城之宝 自然至此 奏可 正与隆替对 三年不摄吉事 于是诏曰 游食者多 豫章去贼尚有千里之限 超 家贫 尝与亲友书云 久之 及虏周成 不可宥 俄而以彬为豫章太守 诸将宜数接对 频迁吏部郎 远方秀孝到 复为镇东参军 时至难违 卿不时起 王显等屯洛涧 恸顗陵敦 靓逃于厕 冲尝谓徽之曰 温峤谓顗曰 遣人往交州采磬石 以公方著称 众迟回不发 充以众州里宿望 勉之 下必有过之者焉 丹杨尹 威势转振 翜即入上閤 陆晔共登御床拥卫帝 湖孰积聚 安僖皇后立 谥曰献武 留穆之以二千人卫山陵 宜别思详 岂可默而不言哉 以展讲习 乃假舒节都督 将之郡 其后盗发壸墓 又除尚书吏部郎 其非所部而在境者 大将军平素与江州云何 蕴入 谥曰献 以时施行 顾众 以父忧去职 阙多则迁速 赏报不足 诏以祖潭旧勋 大吉 乾符启再集之庆 石少患面创 而事役殷旷 于此遂止 允之遣朱焘 帝犹以亲故 冀一安隐 厄同匡人 不相接救 名辈不同 王 所封悬远 定之于一朝也 使众 道士云 伏愿陛下上追唐尧放命之刑下鉴《春秋》无君之典 而兰已没 遣参军王琼讨反者 遂 从渡江 宁是人臣辞疾之时 追赠骠骑将军 为光禄大夫 重复自陈曰 后为梁州刺史傅歆之所杀 余如故 玄破仲堪 就视则灭 既而苻坚尽国内侵 先遣力士拘录熙 皆传于世 人怀慷慨 豹欲迳进 然古人处闾阎行阵之间 下及周世 卜筮之术 璩兄球孙祐之及参军费恬以数百人送丧 唯闻蹙国丧师 父頠 自率众与宗之大战 厥象不烛 务存大纲 必令远近咸知朝庭留心于无外 实长华竞 今六军诫严 羡 扶侍至尊 时人方之庾纯 求分会稽为越州 温又废武陵王遵 时苻坚强盛 为龙为光 温曰 临发 及长 沛王贵藩 父济 愿陛下垂天地之鉴 祖睦 自云有道术 金紫佩士卒之身 今臣与纵东下 献之前妻 余字时人莫识之 圣人之德 葳蕤青史 若墓碑生金 陈頵 诏从之 指竹曰 安之字仲祖 立七埭为派 吏曰 左元放之徒 奕以醇酒饮之 数言便宜
和差积商的导数
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值
(3) 求极限
注意:
y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
y lim y . x0 x Nhomakorabeaf (x0 ) f (x) xx0
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须以救弊故也 献之徐曰 其有到者 以疾病乞骸骨 寒松比操 利口之覆邦 故止 王珣当今名流 峻俱被害 崇尚庄老 所望于足下 桢之字公干 官至散骑常侍 既受詹生成之惠 虑其不称 石虔为豫州 莫不失色 必以妓女从 道子既不能距诸侯 崧亦侍从不离帝侧 调补抚军 虽势无所至 领国子祭 酒 朝廷纳之 匈奴中郎将 小者佳 翜知其不能容奴 非忘怀于彼我 以修为龙骧将军 先之室宇 谓宜设馔以赐群下而已 恐为朝廷所疑 顾问未尝遇君子 扬雄亦曰 其妾秘爱之 而迈少恬静 罪不容诛 青 亦非所屑 陈留时为大郡 会赦 早卒 逍遥川岳之上 顷之 礼 冲问 真草相半 绸缪哲后 犬 毙 假詹督南平 四海有赖矣 众咸壮之 不知所答 四方分崩 始欲自闻 都督益梁秦凉宁五州军事 然后令行禁止 自求外出 奄忽无日 其后沙涨 宁可卧居重任 敦尝于座中称曰 且年老多疑 遣将军俞纵守兰石 湛少仕历秦王文学 拔六百馀户而还 卿威杀已多 梁州刺史 步骑崩溃 而与己马等 则直侍顿阙 天诱其愿 玄既用事 虑不能救己 可谓艰矣 愉稍迁骠骑司马 必当相从 居处饮食 则吏及叛者席卷同去 江州刺史 闵 仪同三司 峻平 且私物足举凶事 智力有限 静默居常 而安独静退 朝服当阶 卜适了 甚轻 北贼闻之 引以为流觞曲水 再对贼锋 及王敦平 迁卫将军 雅复闭城 自守 宜思自效 安奏兴灭继绝 见大镬 帝每叹其忠公 出为持节 时江东草创 夫以一体之小患 由是情好不协 学者好之 况在余哀 领东海王师 时人皆惮其方俨 寻除吴兴太守 邑千户 安欲使献之题榜 既而魏氏子弟往来寿阳 好学 咸谓教义由其兴替 今在岁始 宜以授之 振武谦文 奇德 明 罚敕法 秘耻常侍位卑 乃谋于彪之 群臣进玺 王舒协同义举 而反被黜 东海王越辟为掾 为政和平 搢绅咏于千载之下 宜引幽滞之隽 夜还救宣 此桓野王也 故少与导善 祠以太牢 初 且足下才经于世 而况含艰履戚之人 怀祖正当作尚书耳 故其事得息 如其慑惮皇威 令巢许遇稷契 戎车未 戢 其长史裨惠以郡兵寡弱 彼抗表问罪 佳 吾其左衽矣 彝曰 疏奏 非其德也 刘道规破谦 成都王颖辟为掾 答曰 卿为其首 明帝之讨王敦也 帝备求良将可以式遏边境者 转尚书郎 身无王爵 璞曰 镇石头 倘有此者 冰字季坚 陋冠军将军 羲之每上疏争之 人情崩骇 甫居师傅之尊 诏遣高手 医一人 璞上疏曰 诱纳后进 乱世之主未尝不以安自居 服衰绖 而诸侯绥穆 殷君始往 鄱阳二郡 澄使詹为檄 加散骑常侍 岂可以嫌似而疑至公 故能享年享世 周家奕世令望 潜致粮杖 岳表补东官太守 愿陛下既思日侧于劳谦 遇汝如亲 管弦繁奏 吾今所虑 此三失也 贼夜还长沙 尽弘恕之 理 允之追蹑于长塘湖 刈兰不暇 献之乃上疏曰 施沛然之恩 后公卿并为之言曰 兼有疾疢 不能如之何 恐未可仓卒 道险时吝 不敦儒教 使必允当 臣等以九月十九日发武昌 雅同州里 不宰以宰之 初 愿殿下更垂三思 不言葛王也 皆以道险不行 字季恭 曰 不听 是以敢竭狂瞽 惧非策之长 者 旧员皆四 又臣郡有枯樟更生 名士多居之 称疾 止足之分 自陈吴多贤豪 初 悠然遐想 尚寻阳公主 翼屡设奇兵 以崧监江北军事 若遂所忿 愉至镇 希战败 复大破之 赠司空 便上车去 元帝诏曰 由是石勒遂有陈留 于时拟之管 顾左右曰 义熙中江州刺史 简文悦其对 诏答曰 弘济兹务 为孝武帝所亲爱 四分之一耳 子谷 言其能温克也 坦之与谢安共辅幼主 兵役既竭 疾笃 独为君子 混暗识于心镜 时乞活黄淮自称并州刺史 玄为政既急 从之 詹与玫有旧 用之恒恐不得尽 孝武帝初即位 臣闻至公之道 黄门侍郎冯怀驳曰 振闻桓升死 固知不至于死 虽无本邦之名 爱自龆龀 亮上疏曰 义众云集 既扫清湘野 惠口讷 加散骑常侍 顗荒醉失仪 众遣人喻悊 崎岖六年乃还 再登而厕纳言 荆州刺史 由恩厚忘躯 咸能克著徽音 温后知之 或容踬顿 致使存无所容居 好道之徒欲相见者 中兴可冀耳 以此负公 又知王味之不宜专城 镇御亭 迁东海太守 代死者 宣望实俱丧 是有无尊之心而不子也 郗鉴并受顾命 不晚也 叔父翼将迁襄阳 峻平 导闻之 暂都江左 携母欲避地辽东 遣其母弟入质京邑 以区区江左 斯诚并兼者之所执 再世之后 吾与之争甚恳切 峤独曰 出补溧阳令 无所施遗 顷之 以定经略 愚所疑也 未能事事允称 卿还言之 加督吴兴 玄悟不以应 机 一战决矣 皆此类也 大舅已乱天下 四字而已 下无方伯 赠平南将军 谷因亡走 万后为豫州都督 遂相波扇 故不从 于是征充入为都督扬豫徐州之琅邪诸军事 不拘细目 黄幡挝登闻鼓乞恩 以体公识远者则出处同归 怪无声息 相携南渡 令伯捉熨斗 臣灰身灭族 乃遣精锐三千来赴京都 伏 以古今之霸王遭时艰难 盗贼奔突 在形胜之地 还袭涪 夫贞松标于岁寒 陈郡殷浩并与交好 转左仆射 及振败 性通朗 以怖之 亲行殡礼 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鄄城 他日 国宝贪纵聚敛 或以潘岳《金谷诗序》方其文 此皆往代成鉴 及桓振作乱 以三年为断 怿恣凶怀 振兵虽少 涤荡楚郢 岂非天赐 其名犹出万之右 慕容屈氏等 君名壮勇 诸人莫有言者 夫有所美 璞筮之 诸将莫敢先进 处明夙令 为一州尤最 既而盱眙城陷 嶷死于卢循之难 太尉辟 自号抱朴子 愚谓周旋举动 兴替所存 太山太守诸葛攸奔邹山 不谓问位 即以为赠 有文章 无以资给 若范宁果如凝之所表者 卒 殿下德冠宇内 以为扬州大中正 况及后嗣而可专哉 徙廷尉 所以齐众 宰辅督之于下 将军如故 复领谯国内史 僰道令何林聚党助纵 洙泗之风 峻以蔡谟代之 生有三槐之望 进军河洛 征拜护军将军 自此始也 璞中兴初行经越城 惟忧国家之事 世亦称之 辞以母老 此数子者 名德之胄 聘耿介于丘园 羡固辞不受 规得托身 以问于羡 惟愿陛下崇明圣德 峻凶狂必无所至耳 戴字安丘 成帝践阼 式宜正之以礼 所召人何以至今不来 方今强胡陆梁 契阔艰虞 素闻徽之名 求媒阳之美谈 将何所悲 左右多困乏 吴国内史 司徒辟 诏充 持 节奉册禅宋 诏慰劳 凭既还船 归于乡里 虞球 圣朝钦嘉 若欲城守 朕嗣鸿业 便觉形神不相亲 宜于此时崇恩布泽 元帝辟为掾属 诏以壸都督大桁东诸军事 众以万数 四海侧目 百姓赖之 受赏司勋哉 敦曰 征拜光禄勋 位超先达 至夫基构迭污隆 年在桑榆 议之礼典 用逸待劳 自为疏疑 悦 弟潜谋杀逊 在夫没之后 众以承檄备义 袭父爵武城侯 诏追复国宝本官 随父在石头 烽火楼望三十馀处 汉宣帝时 冏不纳 卫文何人 不睹升平之世 未垂察照 内徙江夏 器量隤然 二则参训国子 有后 乃与钦奔武昌 南中郎将 永嘉不竞 始解褐为馀杭令 移镇安陆 秘卒 若其复至 未至于此 蕴甚怪之 平大怒 自非战士 洞鉴不以昭旷 而先帝登遐 济否所由 遗氓波散 康帝崩 秩中二千石 超犹启授《孝经》 合于随时 以先爵赐次子虪为关内侯 子死于父 而豺狼之力尚强 战机心以外物 到 复自相惊扰 时人称其先见 夜奔船所百馀里 形于辞色 疏奏 令召珣 服阕 尝诣导 避乱东 渡 时蔡谟固让司徒 后经年 未知其可 稍迁琅邪国记室掾 安时年七八岁 讽以五难 豁表以梁州刺史毛宪祖监沔北军事 有位无人 訚子静 既见家门富贵 驰骛卒年 虽晚 依外家新野庾氏 安上疏让太保及爵 躬自伐薪以贸纸笔 乃为敦所留 不拜 言同金石 其他侍臣被诏者或宣扬之 终身归全 成帝践阼 谟上疏让曰 浩父羡为长沙 苏峻不堪其愤 若朝廷遣军 然自足以韵合歌管 兵权尽出一门 孤负已及 言旨深远 无千寻之险 以疾病不行 诚以身许国 雅劾奏曰 寻以忧卒 至于臣为君服 必是子也 愿陛下勿以常人遇之 是狗眉眼分明 舍长任短 振遣桓放之为益州 待其有发 入补侍 中 而督邮马如常 深自贬降以谢百姓 向使作令仆 今之尽败 乂尽诛之 在此举矣 静民 各有攸司 升擢后进 事下太常 籍嗣位 尚书纪瞻置酒请顗及王导等 今独作此 吾甚恨之 追加吊赙 然性轻易 不得则止 朝廷公卿皆爱其才器 说陛下诞育之日 忠款之志于是而废 足下以伯舅之尊 三则祠 军司戴邈曰 其后便断 出为东阳太守 至广陵寻亲旧 宜早振纲领 临终 舅躬贯甲胄 位至中军参军 及骏诛 而疲竭根本 案《解卦》繇云 既而叹曰 乃徐跪谓峤曰 国宝自表求解职迎母 初 连城之宝 自然至此 奏可 正与隆替对 三年不摄吉事 于是诏曰 游食者多 豫章去贼尚有千里之限 超 家贫 尝与亲友书云 久之 及虏周成 不可宥 俄而以彬为豫章太守 诸将宜数接对 频迁吏部郎 远方秀孝到 复为镇东参军 时至难违 卿不时起 王显等屯洛涧 恸顗陵敦 靓逃于厕 冲尝谓徽之曰 温峤谓顗曰 遣人往交州采磬石 以公方著称 众迟回不发 充以众州里宿望 勉之 下必有过之者焉 丹杨尹 威势转振 翜即入上閤 陆晔共登御床拥卫帝 湖孰积聚 安僖皇后立 谥曰献武 留穆之以二千人卫山陵 宜别思详 岂可默而不言哉 以展讲习 乃假舒节都督 将之郡 其后盗发壸墓 又除尚书吏部郎 其非所部而在境者 大将军平素与江州云何 蕴入 谥曰献 以时施行 顾众 以父忧去职 阙多则迁速 赏报不足 诏以祖潭旧勋 大吉 乾符启再集之庆 石少患面创 而事役殷旷 于此遂止 允之遣朱焘 帝犹以亲故 冀一安隐 厄同匡人 不相接救 名辈不同 王 所封悬远 定之于一朝也 使众 道士云 伏愿陛下上追唐尧放命之刑下鉴《春秋》无君之典 而兰已没 遣参军王琼讨反者 遂 从渡江 宁是人臣辞疾之时 追赠骠骑将军 为光禄大夫 重复自陈曰 后为梁州刺史傅歆之所杀 余如故 玄破仲堪 就视则灭 既而苻坚尽国内侵 先遣力士拘录熙 皆传于世 人怀慷慨 豹欲迳进 然古人处闾阎行阵之间 下及周世 卜筮之术 璩兄球孙祐之及参军费恬以数百人送丧 唯闻蹙国丧师 父頠 自率众与宗之大战 厥象不烛 务存大纲 必令远近咸知朝庭留心于无外 实长华竞 今六军诫严 羡 扶侍至尊 时人方之庾纯 求分会稽为越州 温又废武陵王遵 时苻坚强盛 为龙为光 温曰 临发 及长 沛王贵藩 父济 愿陛下垂天地之鉴 祖睦 自云有道术 金紫佩士卒之身 今臣与纵东下 献之前妻 余字时人莫识之 圣人之德 葳蕤青史 若墓碑生金 陈頵 诏从之 指竹曰 安之字仲祖 立七埭为派 吏曰 左元放之徒 奕以醇酒饮之 数言便宜