熟练掌握位移法基本未知量的确定和基本结构的建立共52页文档
位移法基本未知量数目的确定和基本结构
1结构的结点位移独立结点线位移独立结点角位移¾确定未知量总原则：在原结构的结点上逐渐增加附加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁为止。
未知量个数要最少。
7-3 位移法基本未知量数目的确定和基本结构三类单根杆件2由于在同一刚结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。
一.独立的结点角位移未知量F PEI=常数l 2l2l基本结构1Z结点角位移未知量注意1：铰处弯矩为零,故铰处角位移不作为基本未知量(因为非独立量)。
3独立的结点角位移未知量4为简化计算，在确定独立的结点线位移未知量数目时，作如下假定：1.略去受弯直杆的轴向变形；2.弯曲直杆在受弯前、后其投影长度保持不变。
这样每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了独立的结点线位移数目。
确定独立的结点线位移未知量数目时，在一般情况下每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
二.独立的结点线位移未知量5例P原结构基本结构单跨超静定梁的组合体Z 1Z 2Z 3在原结构的结点上逐渐增加附加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁系为止。
独立的结点线位移未知量6独立的结点线位移未知量原结构增加附加约束单跨梁系原结构增加附加约束单跨梁系原结构增加附加约束单跨梁系10例4原结构增加附加约束单跨梁系Aiii30M ABCD ql q例原结构增加附加约束单跨梁系1124位移法的基本未知量与超静定次数无关确定独立的结点线位移数目: 铰化法12使此铰结体系成为几何不变，所需添加的最少支座链杆数目就是原结构独立的结点线位移数目。
铰结体系13原结构铰结体系基本结构例54例614注意2：静定部分可由平衡条件求出其内力,故该部分结点处的角位移和线位移不需作为基本未知量。
15考虑轴向变形的链杆受弯曲杆EA≠∞独立的结点线位移数目为216例确定两结构的位移法基本未知量。
1712考虑轴向变形的链杆具有无限刚性杆件的结构18注意3：弯曲刚度无穷大杆件两端的转角不作为未知量考虑。
8-3、8-4位移法的基本未知量和基本结构__典型方程及计算步骤解析
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
确定独立的结点线位移另种一方法
（ 1）不考虑轴向变形 长度不变 (2) 弯曲变形微小，受弯矩
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。 此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变， 添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水 平支座链杆，体系成为几何不变的。
上一章复习
等截面直杆的杆端弯矩和剪力
1 A
B A
2i
B
A B
4i
M AB 4i M BA 2i
A B 1 A
6i/l
FQ 6i / l
6i/l
B A
12i/l2
B
6i/l
M AB 6i / l M BA 6i / l
FQ 12i / l 2
等截面直杆的杆端弯矩和剪力
1 A A B A
+
2 EI i 2l
EI A l
1
B
3i/l
3i/l 3i/l
1
1
EI 2l
1
=
6
+
EI 3i 2 (2l ) 2l 6 EI 3i 2 (2l ) 2l
1
q A EI l B
ql 2 3
ql 2 6
1 1 q (2l ) 2 ql 2 8 2
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
附加刚臂： 阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。 附加支座链杆：阻止结点的线位移。
图a所示刚架，在刚结点1、3处分别加上刚臂，在结点3处加上一根 水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。
第六章位移法
第六章位移法学习目的和要求位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。
本章的基本要求：1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
2.熟记一些常用的形常数和载常数。
3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。
4.掌握利用对称性简化计算。
5.重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。
6.位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。
要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
学习内容位移法的基本概念。
跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程。
位移法基本未知量和位移法基本结构的确定。
用位移法计算刚架和排架。
利用对称性简化位移法计算。
直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。
§6.1位移法基本概念1、位移法的特点：欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
超静定结构计算的两大基本方法是力法和位移法。
力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。
位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；（例子86）基本体系——一组单跨超静定梁；（例子87）基本方程——平衡条件。
（例子88）因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
②确定结构独立的结点位移。
③建立求解结点位移的位移法方程。
下面先看第一个问题：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
2、杆端力和杆端位移的正负规定：杆端转角θA 、θB，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。
杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。
剪力使分离体有顺时针转动趋势时为正，否则为负。
（与材料力学相同）3、等截面直杆的形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力。
如右图两端固定梁，由右端单位转角作用下产生的杆端力，可用力法求解，并令：得到杆端弯矩（即形常数）为：各种情形的形常数都可有力法求出如下表：4、等截面直杆的载常数:仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杆端力称为载常熟，也叫固端力。
第8章 位移法
第8章 位移法§8-1 概述§8-2 等截面直杆的转角位移方程§8-3 位移法的基本未知量和基本结构§8-4 位移法的典型方程及计算步骤§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程§8-6 对称性的应用2021-5-1212021-5-12 1§8-1 位移法的基本概念内力对于线弹性结构位移位移内力两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，而位移法则是以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。
用位移法分析结构时，先将结构拆分成单个的杆件，进行杆件受力分析（建立杆件的转角位移方程）；再将杆件组装成原结构，利用结点和截面平衡条件建立位移法方程，解出结点位移，再由转角位移方程求出内力。
2021-5-121一、引例1. 确定基本位移未知量图a所示两跨常刚度连续梁，抗弯刚度为EI。
忽略二杆的轴向变形，B结点不会发生线位移，而仅会产生角位移，设此角位移为Z1。
因B结点刚结两梁段于B端，从而保证两梁段在B端有相同的角位移，均为Z1。
2021-5-1212. 分列各组成杆的转角位移方程AB和BC二杆在B端具有相同的角位移和零线位移后，因此可将二杆在B端处分开，单独分析。
2021-5-1211）AB杆2）BC杆2021-5-1213. 通过B结点的平衡条件求出Z1由B结点的平衡可得2021-5-1214. 将Z1代回转角位移方程，求出各杆端弯矩2021-5-1212021-5-121二、其他示例（a） 若略去受弯直杆的轴向变形，并不计由于弯曲而引起杆段两端的接近，则可认为三杆长度不变，因而结点A没有线位移，而只有角位移。
对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量q A的值。
2021-5-1212021-5-121三、位移法计算原理思路小结1. 把结构在非支座结点处拆开，将各杆视为相应的单跨超静定梁。
位移法
第一节 概 述 第二节 位移法的基本未知量及基本结构 第三节 转角位移方程、形常数和载常数 第四节 位移法基本原理和典型方程 第五节 用位移法计算超静定梁、刚架及排架 第六节 直接利用平衡条件建立位移法基本方程
第十九章 位移法
位移法亦是计算超静定结构的基本方法。它与力法 不同在于，力法的基本未知量是多余未知力，而 位移法的基本未知量是结点位移；力法的基本方 程是变形的连续条件，而位移法的基本方程是平 衡条件。 本章重点研究的内容是： 1、位移法的基本概念。 2、基本未知量与基本结构的确定。 3、位移法的基本方程及其应用等。
第三节 转角位移方程、形常数和载常数 图19-5a表示两端固定梁除受到荷载作用，A、 B两端支座分别发生了角 位移 φA、 φB，且两端在垂直于杆轴方向产生了相对线位移（侧移） ΔAB；杆端弯矩及剪力分别记为MAB、MBA、FQAB和FQBA。 位移法规定：杆端转角位移 φA、φB以顺时针方向旋转为正，反之为负。 杆端相对线位移ΔAB（或弦转角β AB=ΔAB/l）使整个杆件顺时转动为正， 反之为负；与上述规定相关，杆端弯矩MAB、MBA亦以顺时针方向为 正负，反之为负。杆端剪力FQAB、FQBA规定同前。 图19-5b中表示单跨两端固定梁，两端支座不发生位移，仅由荷载作用产 生在两端处的弯矩、剪力分别称为“固端弯矩”、“固端剪力”，分 别记为MF、MFQ，它也可以由力法求出。 显然，在图19-5a、b中杆端位移和杆端弯矩、剪力都绘在正方向。
位移法的基本概念
以图19-1a所示的刚架为例来说明位移法的基本概 念。 设忽略各杆件微小的轴向变形，变形前后AB、BC 杆长度不发生变化，因此结点B不发生线位移， 只发生转角φB ，如图19-1b所示，位移法就是 以这样的位移作为基本未知量。要计算该转角 可以作以下考虑： 第一步，假想在结点 B施加一个附加约束，限制其转动，则原结构被折分为两个单跨超静梁， AB 梁没有荷载，只有 BC 梁受均布荷载，则不难用力法计算出附加约束支座反力偶，记为 （图19-1C）。 ql 2
结构力学 位移法
n EAi 2 ∑ ⋅ sin α i ∆ = F p li i =1
荷载之间的关系。 荷载之间的关系。 由基本方程得
(e)
上式就是位移法的基本方程 位移法的基本方程， 上式就是位移法的基本方程，它反映了结构的结点位移与结构的结点
Fp ∆= n EAi ⋅ sin2 αi ∑l i =1 i
由虎克定律得
(b)
图(a)
ui =
则：FN i
FN i l i EAi
(c)
∆
ui
EAi = u i (u i = ∆ sin α i ) (d) li
图(c)
上式就是拉压杆的刚度方程 它反映了杆端力F 与杆端位移u 拉压杆的刚度方程， 上式就是拉压杆的刚度方程，它反映了杆端力 N i与杆端位移 i 之间的 关系。 式代入(a)式得 关系。把(d)式代入 式得 式代入
F
p
2 1
Z
1
Z
1
Z
1
3
图(b) 图(a)
图(c)
如果能求出转角Z 则各杆（ 杆 如果能求出转角 1，则各杆（12杆、13杆）的内力均可按前面的 杆 力法求得。因此，在位移法中，以结点位移 作为基本未知量 作为基本未知量， 力法求得。因此，在位移法中，以结点位移Z作为基本未知量，并以 单跨超静定梁作为基本计算单元，由此可知，用位移法分析刚架时， 单跨超静定梁作为基本计算单元，由此可知，用位移法分析刚架时， 需要解决下面三个问题： 需要解决下面三个问题： (1)位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量） 位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量） 位移法的基本未知量的数目 (2)单跨超静定梁分析 单跨超静定梁分析 (3)相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解
位移法
（9-2）
——两端固定等截面直杆的转角位移方程。
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10:58
§9-2 等截面直杆的转角位移方程
MAB A A
结构力学
F EI
B
B
AB
A
FSAB
l
MBA FS AB
由两端固定等截面 直杆的转角位移方程可 得到其他支撑的转角位 移方程。
杆端剪力的一般为
6i AB ΔAB FSAB ( A B 2 ) FSF AB l l 6i AB ΔAB FSBA ( A B 2 ) FSF BA l l
A
B
一端固定、一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、 材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(9-1) 。 仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(9-1) 。
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10:58
§9-2 等截面直杆的转角位移方程
1、两端固定的等截面直杆
MAB A F EI
结构力学
l 4 EI M BA B l 8 l 8
2 EI M AB B l
返回
（8-1）
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10:58
§9-1 概述
B
B
结构力学
F
C
B
考虑结点B的平衡条件,由∑MB=0， 有
l
M BA M BC 0
（8-2）
A
l/ 2 l/ 2
将（8-1）代入式（8-2）得
4 EI 4 EI Fl B B 0 l l 8
力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。
力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立 力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。 在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间 存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。
10-3位移法的基本未知量及基本结构解析
4i
2 EI A l
4 EI θA A l
位移法思路
先化整为零，再集零为整
通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个杆件由于杆件 的形常数和载常数的基础上确立杆端位移和杆端力的关系；
通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位移协调和部件 平衡条件建立关于结点位移的位移法方程； 解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。
1 4iZ1 FP l 8 3iZ1
M BA M BC 0 1 Z1 FP l 56i 3 M BA FP l 56 当附加约束产生实际位移时，建立附加约束的 平衡方程，求解附加约束的位移，进而根据形 常数和载常数绘出各杆的内力图。
A
平衡方程法
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角 -位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同 作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别, 建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关 系可得原结构受力
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
不计轴向变形时，虽有刚结点， 但横梁不能转动，因此转角未知 量为０
注意: ①铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点杆件，其杆端力按一 端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。 ② 剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端 力按一端固定一端定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确 Δ 定。如图示结构中B端的侧移， C端的侧移D点的线位移均不作基本未知量，不需加 附加约束。（ DE杆是剪力静定杆）。 Δ
位移法基本思路 P A
θA
C
荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N； 位移效应：θA
位移法基本原理加例题分析知识分享
3. 位移法的典型方程
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• 位移法基本概念 2. 形常数载常数 • 位移法的典型方程 • 计算步骤和举例
4.1 位移法的计算步骤 4.2 计算举例
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4. 计算步骤和举例
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4.2 计算举例
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1. 位移法基本概念
（2）位移法的基本结构 位移法的基本结构是单跨超静定梁的组合体 假象地： 1）在刚结点上加”附加刚臂”阻止结点转动；
2）在刚结点（或铰结点）沿线位移方向加“附 加链杆”阻止结点移动。
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• 位移法基本概念 2. 形常数载常数
计算出来。常用的载常数表见教材。 已知杆端弯矩，可由杆件的力矩平衡方程求出剪力： 。
其中 是相应的简支梁在荷载作用下的杆端剪力；MAB，MBA的
正负按位移法杆端弯矩正负号规定。
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• 位移法基本概念 2. 形常数载常数 • 位移法的典型方程
3.1 建立基本结构 3.2 典型方程的建立 3.3 方程的物理意义 3.4 系数和自由项的计算
4. 计算步骤和举例
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4. 计算步骤和举例
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4. 计算步骤和举例
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谢谢！
2012.10.20
结束语
谢谢大家聆听！！！
29
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《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
结构力学——位移法
由于MBA=0带入方程(a) 中得
3i M AB 3i A l
（3）远端为滑动支座
l M BA X 2 2i A 4i B 6i 6i 6i 12i l M AB X 1 4i A 2i B 6i
(a)
FS AB A B 2 l l l
6i M AB 4i A l M BA 2i A 6i l
（2）远端为活动支座
M AB X 1 4i A 2i B 6i l M BA X 2 2i A 4i B 6i 6i 6i 12i l
(a)
FS AB A B 2 l l l
EI qL2 3 B L 8
qL2 7i B 0 ……① 8
4. 解方程，得:
qL2 B 56i
6. 画弯矩图
5. 把结点位移回代，得杆端弯矩
3iqL qL qL M BC 56i 8 14 4iqL2 qL2 M BA 56i 14 qL2 M AB 28
5ql 8
3ql 8
Pb( l 2 b 2 ) 2l 2
ql 2 3
Pa 2 (3l a ) Pb(3l 2 b 2 ) 3 2l 3 2l
B A
P
ql 2 6 Pa 2 2l
ql
0
A
a b
B
Pa ( 2l a ) 2l
P
0
在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：
4、解方程，求杆端弯矩
1 1 X1 X 2 A 3i 6i l 1 1 X 1 X 2 B 6i 3i l
M AB X 1 4i A 2i B 6i l M BA X 2 2i A 4i B 6i l M AB M BA 6i 6i 12i FS AB FS BA A B 2 l l l l
位移法的基本未知量和基本结构
位移法\位移法的基本未知量和基本结构 例如图a所示结构，铰化结点后增加一根链杆可变为几何不
变体系(图b)，所以结点独立线位移的数目为一，整个结构基本 未知量的数目为三。
目录
位移法\位移法的基本未知量和基本结构 需要指出，当要考虑一杆件的轴向变形时，结点的独立线
位移数目要根据具体情况来判断。例如图c所示刚架，当要考 虑杆CD的轴向变形时，点C和点D的水平位移一般不相等，所 以结构的独立结点线位移数目为二。
其基本结构如图b所示。
(a)原结构
(b)基本结结构构
目录
位移法\位移法的基本未知量和基本结构
最后需要注意：力法中的基本结构是从原结构中拆除多余 约束而代之以多余未知力的静定结构。而位移法的基本结构 是在原结构上增加约束构成一系列单跨超静定梁的组合体。 虽然它们的形式不同，但都是原结构的代表，其受力和变形 和原结构是一致的。
在两根竖杆弯曲变形的影响下，结点A和B将发生一相同的水平
位移，在刚结点A处附加刚臂，在结点A处或B处附加一水平支
座链杆，以阻止结点A、B的水平位移。
基本结构如图b所示
A
B
Z1
A
B
Z2
q q
(a)原结构
(b)基本结构
目录
位移法\位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架有四个刚结点A、B、D、E和一个铰结点C，在四 根竖杆弯曲变形的影响下，五个结点将产生一相同的水平位移。 此外还应注意，在水平杆件BC和CD的弯曲变形影响下，结点C还 将产生竖向位移。因此要形成基本结构，需要在刚结点A、B、D、 E处附加刚臂，在结点E处附加一水平支座链杆，以阻止各结点的 水平位移，在结点C处附加一竖向支座链杆，以阻止该结点的竖 向位移。
结构力学第七章 位移法
位移法
• 熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移
法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系 数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。 • 熟记一些常用的形常数和载常数。 • 熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。
• 掌握利用对称性简化计算。
• 重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的 计算。 • 位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡 方程法。要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 5ql2/48
ql2/24
A
C
EI ql 2 M AC 4 A M A 0 M ABl M AC122 0 EI M CA 2 EIEIA ql ql 2 4 A 4 A 120 l l l 12 EI M AB 4 A l
2i 4i 6i l
6i l 6i l 12i l2
A B
弯曲杆件的刚度方程
刚度系数又称形常数
A
EI
A
B
B
MBA
M AB M BA
l
MAB
EI
4i A 2i B 6i l 2i A 4i B 6i l
B
2 EI A l
M AC
B
ql2/48
ql A 96EI
3
M AB
位移法分析中应解决的问题是：
①用力法确定单跨超静定梁在杆端发生各种位 移时以及荷载等因素作用下的内力。
②确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。 ③如何求出这些位移。
7.2
等截面杆件的刚度方程
1.由杆端位移求杆端弯矩
熟练掌握位移法基本未知量的确定和基本结构的建立共53页
熟练掌握位移法基本未知量 的确定和基本结构的建立
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
03-讲义：8.3 位移法的基本未知量和基本结构
第三节 位移法的基本未知量和基本结构一、位移法基本未知量的确定位移法的基本未知量是结点位移，其计算单元是单跨超静定等截面直杆（或直梁）。
如果结构上每根杆件的杆端位移已求出，则全部杆件的内力即可由转角位移方程确定。
结点位移包括结点角位移和结点线位移。
下面讨论如何确定结点位移个数。
1、独立的结点角位移图8-6(a)所示刚架在荷载作用下将产生如虚线所示的变形。
固定端A 的转角位移和线位移均为零。
刚结点B 是自由刚结点，可以转动。
根据变形连续条件可知，刚结点B 处只有1个独立的结点角位移B θ。
若忽略杆件AB 、BC 的轴向变形，刚结点B 处没有线位移。
结点C 是铰结点，设C 处转角为C θ，由0CB M =可知C θ不独立，可以不作为位移法基本未知量。
所以该刚架用位移法进行求解时，基本未知量是刚结点B 处的角位移B θ。
当结构中存在组合结点时，因组合结点既有刚性连接部分又有铰接部分，此时仍需把刚接部分的角位移计入位移法基本未知量。
另外，对有阶形杆变截面处的转角，或抗转动弹簧支座处的转角，均应计入独立角位移的数目。
因此，图8-6(b)所示刚架中独立的结点角位移数目是4，它们分别是变截面G 处的转角1∆、组合结点E 处的转角2∆、刚结点F 处的转角3∆以及抗转弹性支座C 处的转角4∆。
综上所述，独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。
图8-6 独立结点角位移的确定2、独立的结点线位移一般情况下，平面坐标系中每个结点均可能有水平线位移和竖向线位移。
但根据前述假设（忽略杆件轴向变形）可知，受弯杆件的两端距离在变形后保持不变，这样导致某些线位移为零或互等，从而减少了独立的结点线位移数目。
如图8-7(a)所示排架结构，支座A 、B 、C 为固定端，AD 、BE 和CF 杆长不变，故结点D 、E 和F 均没有竖向位移。
结点D 、E 和F 虽有水平位移，但由于杆DE 、杆EF 的长度不变，所以这些水平线位移应相等。
8-3、8-4位移法的基本未知量和基本结构__典型方程及计算步骤
§6.2.1 位移法的基本未知量
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点线位移数目=2
图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
确定角位移6个
确定线位移2个
§8.3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§6.2.1 位移法的基本未知量
1
2
1
1
2
3
§6.2.1 位移法的基本未知量
例1.
B
C
例2.
B
C
A 只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
2kN/m 16kN
A
i
6m
B
3m
i
3m 16kN
Z1
C
2kN/m
A
B
C
解 （1）选取基本体系。
（2）建立位移法典型方程。
r11Z1 R1 0
（3）求系数和自由项。
4i
Z1=1
r11
A
2i
B
3i 18 6
M 1图
C
4i
3i
6
R1P
A
B
MP图（kN.m）
C
6
18
r11 4i 3i 7i
典型方程
熟练掌握位移法基本未知量的确定和基本结构的建立53页文档
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
熟练掌握位移法基本未知量的确定和基 本结构的建立
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
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(a)
B
B
B
F
C
(b) B
B
l
A
l
l
2
2
(c)
BB
F
C
A
B
3E
l
I
B
4E
l
I
B
(d)
(e)
3 28
F
l
C
M BC
M BA
11 Fl 56
2E
l
I
B
3 Fl 56
M图
3Fl
16
F
图8-1
M 4EI
BA
lB
(左侧受拉为正)
(a)
3E MAB l
IB
3Fl 16
(下侧受拉为正)
(b)
若取图8-1(a)中B结点为隔离体如图8-1(d)所示，则及必须满足B结 点的平衡条件，于是有:
接关系，应引以注意。 当杆端弯矩求出后，单跨梁的内力图就不难画出。为计算方便，
常把各种单跨超静定梁在支座位移(或杆端位移)及荷载作用下的 杆端弯矩及杆端剪力制成表格，参见李廉锟编结构力学教材表81。
§8-3 位移法基本未知量及基本结构
1．基本未知量
在位移法中，基本未知量是指结构中各结点的独立位移，什么 样的位移是独立位移可用下面例子说明。图8-5(a)所示刚架在荷
在介绍位移法时，还必须首先解决：
(1) 各种单跨超静定梁在杆端位移及荷载作用下的内力计算；
(2) 哪些结点位移可以作为位移法的基本未知量；
(3) 怎样建立求解未知量的方程。
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
1．杆端力、杆端位移的有关规定
为了计算方便，对杆端力及位移的正负号作一些新规定：杆 端弯矩以顺时针方向为正，反之为负；杆端剪力的规定同以前规 定，如图8-2(a)所示(最后内力图的绘制仍按第三章的规定不变)， 支座处的反力应与杆端力的方向相反。杆端转角位移、也均以顺 时针方向为正，两端相对线位移ΔAB则以使整个杆件顺时针转动 为正，根据位移连续条件，支座(或结点)处的位移方向应与杆端 力方向一样如图8-2(b)所示。
(a)
3iA
3i l
AB
考虑荷载时：
M AB 3i Al3iAB M A FB
(b)
(b)式中的
M
F AB
为一端固定一端铰支梁在荷载F作用下的固端弯
矩，它即为式(8-3)的第一式。
由以上分析可以看出，图8-4(a)所示单跨梁B不是一个独立的未 知量，而是A 、 AB的函数，这对位移法中确定基本未知量有直
载作用下，刚结点C、D除产生角位移C、 D外，还有线位移
ΔC及ΔD。由于受弯杆件忽略轴向变形的影响，C、D结点无
竖向线位移，只有水平位移，且ΔC=ΔD=Δ，Δ即为结点的独
立线位移， C、 D 则为独立的角位移，该刚架结点的独
由荷载或温度变化等外因引起的杆端弯矩及杆端剪力分别称为固 端弯矩MF及固端剪力FSF。
(a) M AB
A F SAB
M BA B F SBA
(b ) A
A
A
2．公式推导
（1）两端固定梁。
图8-2
B
AB
B
B
(a) A
A
A
(b)
X1
F
B "原结构"
B
AB
B
l
F X2
"基本结构"
X3
AB
图8-3
§8-1 概 述
对一个结构来讲，当外因确定后，内力与位移就存在一恒 定关系。解超静定问题时，先求力后求位移叫力法，若先求位 移后求力则称位移法。力法的基本未知量是多余未知力，建立 求解未知量的方程是根据变形协调条件，而位移法则是以某些 结点的位移作为基本未知量，通过力的平衡条件建立求解未知 量的方程。下面以图8-1(a)所示刚架来说明位移法的基本概念， 在受弯杆件不计轴向变形的情况下，由变形协调条件可知，汇 交于B结点的两杆BA及BC在B端均无线位移，只有角位移均为 fB。假若把AB、BC梁视为图8-1(b)、(c)所示单跨梁，当AB梁 的固定端发生转角fB时，内力可用力法求得，BC梁的内力可看 作由fB及F分别引起的内力然后叠加而得，同样可由力法求出 .
X13E l IA3 lE 2 IAB M A FB
X 、iEA
1
AB
l
MAB
3EI l
A
3lE2I
AB
MA FB
MBA 0
(8-3)
(a) A
A
F "原结构"
X1 (b)
F "基本结构"
图8-4
B
AB
AB
同样根据平衡条件可得
FSAB
3i l
A
3i l2
AB
FF SAB
FSBA
3i l
A
3i l2
AB
FF SBA
(8-4)
式(8-3)称为图8-4(a)所示单跨梁的转角位移方程。式(8-3)还 可由式(8-1)推出，由MBA=0可得(荷载项单独考虑)
2i A
4i B
6i l
AB
0
B
1 2
(
A
3 l
ab
)
(a)
将(a)式代入式(8-1)第一式可得
MAB4iA 2i[1 2(A l3AB)]l6iAB
(b)
(b)式中的MAFB、MFBA、为荷载F引起的固端弯矩。其中X1=MAB、 X2=MBA，并设 i EA (称为线刚度)，则(b)式又可写为
l
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
6i l
6i l
ABMA FB
ABMB FA
式(8-1)称为AB梁的转角位移方程。
根据平衡条件又可得AB杆的杆端剪力为
用力法计算图8-3(a)所示单跨梁，可取图8-3(b)为基本结构，由 于X3对梁的弯矩无影响，故在计算时可不予考虑，则力法方程
11 X112X21P1 21 X1 21 X22P2
A B
(a)
经力法计算多余未知力应为
X1 X2
42E lE l I IA A 24E lE l I IB B 66llE E 22 II A AB B M MA B F FB A
MBAMBC0
7EI 3Fl03Fl0
l B 16 16
3Fl2
B 112EI
(c)
由图8-1(b)、(c)可得 :
MAB3Fl ,MBC0 56
有了杆端弯矩，则刚架的弯矩图即可求出，如图8-1(e)所示。
由以上分析可以看出，用位移法解题时，存在一个拆、 合的过程，即先把原结构如图8-1(a)“拆”成若干个单跨超静 定梁，计算出已知荷载及杆端位移影响下的内力，然后再把 这些单跨梁“合”成原结构，利用平衡条件求出，这就是位 移法的整个思路。
(8-1)
FSAB
6i l
A
6liB
12i l2
AB
FSFAB
FSBA
6i l
A
6liB
1l22i
AB
FSFBA
(8-2)
式(8-2)中的
F
F SA
B
,
FF SBA
的固端剪力。
为荷载F引起的杆端剪力，即上面提到
（2）一端固定一端铰支梁
在图8-4(a)中，AB梁除受到荷载作用外，A支座还有转角，A、B两 端相对线位移为，仍用力法计算，基本结构为图8-4(b)所示。