2017中考数学复习第5单元三角形第21课时等腰三角形与直角三角形教案
中考数学复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形
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BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE.
(2)解：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED.
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∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C=45°.
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∵∠ABC=∠C=∠DAE=45°，∠BDF=∠ADE，
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∴∠F=∠BDF，∠BEA=∠BAE，∠CDA=∠CAD.
∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE
角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一
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直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判 页
断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系
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，并说明理由.
［分析］(1)易证∠ACD=∠BCE，即可求证
△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得
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AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 页
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在△ACD和△BCE中，
CA=CB,
∠ACD=∠BCE,
CD=CE,
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∴△ACD≌△BCE(SAS).∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°.
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∵点A、D、E在同一直线上，∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
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(1)等腰三角形中的已知边是腰还是底边；
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(2)三角形的中线或高线已知，但未明确是哪一边上的中线或
高线，需对三条边上的中线或高线分别讨论.
方法指导
角不确定分两类讨论：
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图1,已知ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，90,ACB ECD D ∠=∠=°为AB 边上一点.(1)求证: ACE BCD ;(2)求证: 2222CD AD DB =+.分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2.如图2，在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结,,,AG BG CG DG ，且AGD BGC ∠=∠.(1)求证: AD BC =;(2)求证: AGD EGF ??:;(3)如图3，若,AD BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值.分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，DGC ?和AGB ?均为等腰三角形，当四边形ABCD 中AD BC ⊥时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如图4, ,A B 分别在射线,OM ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段,OA OB 为斜边向MON ∠外侧作等腰直角三角形，分别是,OAP OBQ ??，点,,C D E 分别是,,OA OB AB 的中点.(1)求证: PCE EDQ ;(2)延长,PC QD 交于点R .①如图5，若150MON ∠=°，求证:ABR ?为等边三角形;②如图6，若ARB PEQ ??:，求MON ∠的大小和AB PQ的值.分析本题中两等腰直角三角形OAP ?与OBQ ?中的一底角顶点O 重合，通过OAP ?绕点O 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC )过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE EQ ⊥这一中间环节，得出PEQ ?与ARB ?为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt ABC ?和Rt CEF ?,90ABC CEF ∠=∠=°，连结,AF M 是AF 的中点，连结,MB ME .(1)如图7，当CB 与CE 在同一直线上时，求证: //MB CF ;(2)如图7，若,2CB a CE a ==，求BM ,ME 的长;(3)如图8，当45BCE ∠=°时，求证: BM ME =.分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M 点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明BEM ?为等腰直角三角形;第(3)问研究在CEF ?绕点C 旋转45°时，BME ?的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9，在Rt ABC ?中，90,BAC AB AD ∠=°=，点D 是AC 的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与,A D 重合，连结,BE EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角ADE ?的底角顶点A 与等腰直角ABD ?的直角顶点A 重合，借助BAE EDC 证明BEC ?为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形ADE ?与BEC ?旋转问题的逆问题.例6 如图10 , ABC ?和ACD ?是两个等腰直角三角形，90ACB ADC ∠=∠=°，延长DA 至点E ，使AE AD =，连结,,EB EC BD .(1)求证: BDA BEA ;(2)若BC =BE 的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例7如图11，在等腰直角ABC ?中，90,ACB CO AB ∠=°⊥于点O ，点,D E 分别在边,AC BC 上，且AD CE =,连结DE 交CO 于点P ，给出以上结论:①DOE ?是等腰直角三角形;②CDE COE ∠=∠;③1AC =，则四边形CEOD 的面积为14; ④22222AD BE OP DP PE +?=?. 其中所有正确结论正确的序号是 .分析本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角DOE ?的直角顶点O 在等腰直角ABC ?斜边中点O 处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果，五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例8 如图12，等腰直角三角形ABC ?和ODE ?，点O 为BC 中点，90,BAC ODE OD ∠=∠=°交BA 于,M OE 交AC 于N ，试求,,BM NM NA 的关系，并说明理由.分析 DOE ?绕等腰直角ABC ?的底边中点O 旋转，在图12~图14三种情况中，对应的线段和差关系分别是,BM MN NA MN BM NA =+=+.此时DOE ?为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上45MON ∠=°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题.等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.。
三角形的分类教学设计（精选7篇）
三角形的分类教学设计（精选7篇）三角形的分类教学设计（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，通常会被要求编写教学设计，借助教学设计可以更好地组织教学活动。
那么你有了解过教学设计吗？以下是小编精心整理的三角形的分类教学设计，欢迎大家分享。
三角形的分类教学设计篇1教材分析1、教学内容九年义务教育小学数学教科书（人教版）四年级下册第五单元：三角形的分类（按角的特征）2、教材简析“三角形分类”是新课程教材中“空间与图形”领域内容的一部分。
学生在学习此内容之前，已经学习了三角形的认识，能够在物体的面中找出三角形，学习了角的知识，认识了常见的角，为学生研究三角形的特征，从角和边的不同角度对三角形进行分类做好了有力的知识支撑。
三角形是最简单也是最基本的多边形，一切多边形都可以分割成若干个三角形，学好这部分内容，为学习其他多边形积累了知识经验，为进一步学习三角形的有关知识打下了基础。
学情分析四年级的学生通过一、二年级的学习，对三角形都有一定的认识，而且也学习了角的分类和线线之间的关系，因此在教学中，教师能自然的引入。
教学目标1、学生通过观察、操作、比较，会给三角形进行分类，辨认出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形、等腰三角形、和等边三角形。
2、在三角形分类的的操作讨论活动中，总结、区别这些三角形的特征。
3、能举出三个以上在生活中见过的等腰三角形和等边三角形。
4、能通过自主探究和合作交流，提高观察能力和动手操作能力。
教学重点和难点教学重点：让学生在“做”中，学会按角和边的特征给三角形分类。
教学难点：区别、总结各类三角形的特征。
教学过程（一）复习铺垫引入新知1、师：同学们，你们说说以前学过哪些图形？三角形是什么样的？谁想上黑板画给大家看一看？2、师：从同学们画的三角形中我们可以看出三角形可能存在这三个角。
（课件出示）①锐角、直角和钝角。
②三角形有三个特点，（课件出示）有边，角，顶点。
（我这样设计的意图是：让学生复习与新知识有密切联系的旧知识，是为学习新知识做好迁移铺垫，为突破难点打基础。
最新中考数学专题复习—第21讲 等腰三角形与直角三角形
第21讲等腰三角形与直角三角形目录：考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点知识梳理考点一等腰三角形的概念及分类1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形．2．等腰三角形分为：底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形．温馨提示1.若题目中没有明确边是底还是腰，角没有明确是顶角还是底角，就需要分类讨论.2.等腰三角形的两腰必须满足两腰之和大于底，底角α满足0°＜α＜90°，顶角β满足0°＜β＜180°.考点二等腰三角形的性质和判定1．性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高线)所在的直线是它的对称轴．温馨提示这个性质简称“三线合一”，但不能简单地说成“等腰三角形的高线、中线、角平分线三线合一”.2．判定：(1)定义法；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)．温馨提示等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.考点三等边三角形的性质和判定1．性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.2．判定(1) 三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．温馨提示由判定(2)可知，在等腰三角形中，只要有一个角是60°，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.也可以根据定义判定.考点四线段垂直平分线的性质1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．2．性质(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．温馨提示1.三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.考点五直角三角形的性质和判定1．性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(4)勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.温馨提示勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此可作高来构造直角三角形.2．判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．温馨提示1.勾股定理的逆定理是识别一个三角形是否是直角三角形的一种理论依据，在运用时，一定要用两短边的平方和与长边的平方作比较.2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.3.若a，b，c为一直角三角形的三边长，则以ma，mb，mc(m＞0)为三边的三角形也是直角三角形.4.如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.中考典例精析考点一等腰三角形的性质例1 如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°，∠ACB＝35°，则∠AOD＝_______.【点拨】∵AB＝BC，∠ACB＝35°，∴∠A＝∠ACB＝35°.∵AB∥DC，∴∠OCD＝∠A ＝35°.∵∠D＝40°，∠AOD是△OCD的外角，∴∠AOD＝∠OCD＋∠D＝35°＋40°＝75°.【答案】75°考点二等腰三角形的判定例2 如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．【点拨】本题考查圆内接四边形的性质与等腰三角形的判定．证明：∵A，B，C，D四点共圆，∴∠A＝∠BCE.∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E.∴AD＝DE，即△ADE是等腰三角形．考点三线段垂直平分线的性质例3 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是()A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DEC【点拨】∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝DC.∴△ABD，△BCD是等腰三角形．∴AC平分∠BCD.再应用“SAS”判定△BEC≌△DEC，∴选项A，B，D正确．故选C.【答案】C方法总结线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.利用这个性质可以证明两条线段相等，进而由等腰三角形的性质解决相关问题.考点四直角三角形的性质与判定例4 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，则边AC的长为_________．【点拨】在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，∴AC＝AB2－BC2＝72－52＝2 6.【答案】26方法总结若已知三角形中的一个角为90°，解这个三角形首先应考虑用勾股定理；证明一个三角形为直角三角形，可证明一个内角等于90°，也可利用勾股定理的逆定理.考点五等边三角形的性质与判定例5 已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是_________.【点拨】由题意等边△ABC的高为4，点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，①若点P在等边△ABC的内部，则可得到点P到BC边的距离PD为1；②若点P′在等边△ABC的外部，则由对称性可以得到点P′到B′C′边的距离P′E为1；这时点P′到BC的距离P′F＝EF－P′E＝2×4－1＝7.所以点P到BC的最小距离和最大距离分别是1和7.【答案】1和7方法总结等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三个角都等于60°，中线、高线、角平分线为同一条线段，三线合一.根据以上性质可以进行相关的计算与证明.基础巩固训练1．如果等腰三角形的两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是(D)A．9 cm B．12 cmC．15 cm或12 cm D．15 cm解析：分两种情况：(1)等腰三角形的腰长为6 cm，则它的周长为6×2＋3＝15(cm)；(2)等腰三角形的腰长为3 cm，三角形的三边长分别6 cm,3 cm,3 cm，不可能．故选D.2．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(C)A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°解析：分两种情况：(1)这个等腰三角形的顶角为40°，则底角为(180°－40°)÷2＝70°；(2)这个等腰三角形的底角为40°，则顶角为180°－2×40°＝100°.故选C.3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(D)A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°解析：分两种情况：(1)当这条高在三角形内部时，顶角的度数为90°－30°＝60°；(2)当这条高在三角形外部时，顶角的度数为90°＋30°＝120°.故选D.4．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q .若BF ＝2，则PE 的长为( C )A ．2B ．23 C.3 D ．3解析：∵△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，∴∠DBA ＝∠DBC ＝30°.∵QF 垂直平分BP ，∴BP ＝2BQ ，且∠BQF ＝90°.在Rt △BFQ 中，FQ ＝12BF ＝1，BQ ＝BF 2－FQ 2＝22－12＝ 3.于是BP ＝2 3.在Rt △BPE 中，PE ＝12BP ＝ 3.故选C. 5．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若BM ＋CN ＝9，则线段MN 的长为( D )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：∵∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点E ，∴∠MBE ＝∠EBC ，∠ECN ＝∠ECB .∵MN ∥BC ，∴∠EBC ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECB .∴∠MBE ＝∠MEB ，∠NEC ＝∠ECN ，∴BM ＝ME ，EN ＝CN ，∴MN ＝ME ＋EN ，即MN ＝BM ＋CN ＝9.故选D.6．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式c 2－a 2－b 2＋|a －b |＝0，则△ABC 是 等腰直角三角形．解析：∵c 2－a 2－b 2＋|a －b |＝0，c 2－a 2－b 2≥0，|a －b |≥0，∴c 2＝a 2＋b 2，a ＝b ，∴△ABC 是等腰直角三角形．7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点C 在AE 的垂直平分线上，若DE＝10 cm，则AB＋BD＝10cm.解析：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AB＋BD＝AC＋CD＝EC＋CD＝DE＝10(cm)．8．如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．理由：∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠D.∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.又∵∠BCE＝∠D＋∠CED，∴∠BCE＝2∠D＝2∠EBD.∵BE⊥CE，∴∠BCE＝60°，∠EBC＝30°.∴BC＝2CE.∵EA＝EC，∴BC＝AC.∴△ABC是等边三角形．考点训练一、选择题(每小题4分，共40分)1．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是(B)A．20°B．50°C．60°D．80°2．等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为(C)A．25 B．25或32C．32 D．19解析：若腰长是6，则三边长分别为6,6,13，∵6＋6＜13，∴假设不成立；若腰长是13，则三边长分别为13,13,6，∴周长为13＋13＋6＝32.故选C.3． 如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠A EB ＝90°.AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( C )A ．48B ．60C ．76D ．80解析：∵∠A EB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，∴AB ＝AE 2＋BE 2＝62＋82＝10.∴S 阴影＝102－12×6×8＝100－24＝76.故选C. 4. 一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为( D )A ．5 B.7 C. 5 D ．5或7解析：当4是直角边时，第三边的长为32＋42＝5；当4是斜边时，第三边的长为42－32＝7.故选D.5． 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为( C )A ．20B ．12C ．14D ．13解析：∵△ABC 是等腰三角形，AD 平分∠B AC ，∴CD ＝BD ＝4.又∵点E 为AC 的中点，∴CE ＝AE ＝5，且DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝5， ∴△CDE 的周长＝CD ＋CE ＋DE ＝4＋5＋5＝14.故选C.6． 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE .如果只添加一个条件使∠DAB ＝∠EAC ，则添加的条件不能为( C )A ．BD ＝CEB ．AD ＝AEC ．DA ＝DED ．BE ＝CD解析：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .A 中，添加BD ＝CE ，可根据“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，∴∠DAB ＝∠EAC ；B 中，添加AD ＝AE ，则∠A DE ＝∠A ED ，再由外角的性质可得∠DAB ＝∠EAC ；C 中，添加DA ＝DE 不能得出∠DAB ＝∠EAC ；D 中，添加BE ＝CD ，由等式的性质可得BD ＝CE ，同A 可得∠DAB ＝∠EAC .故选C.7．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则△BEC 的周长为( A )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：因为△ABC 为等腰三角形，所以AB ＝AC .因为BC ＝5，所以2AB ＝2AC ＝21－5＝16，即AB ＝AC ＝8.因为DE 是线段AB 的垂直平分线，所以AE ＝BE ，所以△BEC 的周长＝BE ＋EC ＋BC ＝AE ＋EC ＋BC ＝AC ＋BC ＝8＋5＝13.故选A.8．已知三组数据：①2,3,4；②3,4,5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有( D )A ．②B ．①②C ．①③D ．②③解析：①∵22＋32＝13≠42，∴以这三个数为三角形的三边长不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32＋42＝52，∴以这三个数为三角形的三边长能构成直角三角形，故符合题意；③∵12＋(3)2＝22，∴以这三个数为三角形的三边长能构成直角三角形，故符合题意．故能构成直角三角形的有②③.故选D.9． 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( B)A ．8米 B.10米 C.12米 D.14米解析：如图，设大树高AB ＝10米，小树高CD ＝4米，过C 点作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，则四边形EBDC 是矩形．∴EB ＝4米，EC ＝8米，AE ＝AB －EB ＝10－4＝6(米)．∴在Rt △AEC 中，AC ＝AE 2＋EC 2＝10(米)．故选B.10．如图，△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED ＝E C.若△ABC 的边长为4，AE ＝2，则BD 的长为( A )A ．2B ．3 C. 3 D.3＋1解析：如图，延长BC至F点，使得C F＝BD，连接E F，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDB＝∠EC F.∴△EBD≌△EFC.∴EB＝EF，∠B＝∠F.∵△ABC是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴AE＝CF＝2.∴BD＝CF＝2.故选A.二、填空题(每小题4分，共20分)11．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠B AC，∠EBC ＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝8 cm.解析：如图所示，延长AD交BC于点M，由AB＝AC，AD是∠B AC的平分线可得A M⊥BC，B M＝MC＝12BC.延长ED交BC于点N，则△BEN是等边三角形．故EN＝BN＝BE＝6 cm，∴DN＝6－2＝4(cm)．在Rt△DMN中，∵∠MDN＝30°，∴MN＝12DN＝2(cm)．∴BM＝6－2＝4(cm)，∴BC＝2BM＝8(cm)．12．如图，四边形ABCD中，∠B AD＝∠B CD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24 cm2，则AC长是43cm.解析：如图，将△ADC 旋转至△ABE 处，则△AEC 的面积和四边形ABCD 的面积相等，为24 cm 2，这时△AEC 为等腰直角三角形，作边EC 上的高AF ，则A F ＝12EC ＝FC ，∴S △AEC ＝12AF ·EC ＝AF 2＝24，∴AC 2＝2AF 2＝48，AC ＝43(c m)．13． 如图，在Rt △ABC 中，∠A CB ＝90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，若∠F ＝30°，DE ＝1，则BE 的长是 2 .解析：在Rt △F DB 中，∵∠F ＝30° ∴∠DBF ＝60°.在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°. 在Rt △AED 中，∵∠A ＝30°， DE ＝1，∴AE ＝2.∵DE 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ＝2.14． 如图，AD ⊥BC 于点D ，D 为BC 的中点，连接AB ，∠A BC 的平分线交AD 于点O ，连接OC ，若∠A OC ＝125°，则∠A BC ＝ 70°.解析：∵AD ⊥BC 于点D ，D 为BC 的中点，∴AD 是线段BC 的垂直平分线，∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠C .∵∠A OC ＝125°，∴∠C OD ＝55°.∵∠ODC ＝90°，∴∠C ＝35°，∠OBC ＝35°.∵BO 平分∠A BC ，∴∠A BC ＝2∠OBC ＝70°.15．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠B AC ＝50°，∠B AC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC 的度数是 100°.解析：如图，由AB ＝AC ，AO 平分∠B AC ，得AO 是线段BC 的垂直平分线，连接OB ，则OB ＝OA＝OC ，所以∠OAB ＝∠OBA ＝12×50°＝25°，∠OBC ＝∠OCB ＝180°－50°2－25°＝40°.由折叠可知EO ＝EC ，故∠OEC ＝180°－2×40°＝100°.三、解答题(共40分)16．(8分) 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C 作CF 平分∠DCE 交DE 于点F .(1)求证：CF ∥AB ；(2)求∠DFC 的度数．解：(1)证明：∵∠DCE ＝90°，CF 平分∠DCE ，∴∠DCF ＝45°.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B AC ＝45°.∴∠B AC ＝∠DCF .∴CF ∥AB .(2)∵∠D ＝30°，∴∠DFC ＝180°－30°－45°＝105°.17．(8分) 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图②，∠B AC＝45°，原题设其他条件不变．求证：△AEF≌△BCF.证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴BE＝CE.(2)∵∠B AC＝45°，BF⊥AC，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF＝BF.由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠C BF.在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠A FE＝∠B FC＝90°，∠EAF＝∠C BF，∴△AEF≌△BCF.18．(12分) 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠C AB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠C AB，DE⊥AB，∴DE ＝CD，又∵CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.∴S△ADB＝12AB·DE＝12×10×3＝15.19．(12分) (1)如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.证明：DE＝BD＋CE.图①(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠B DA＝∠A EC＝∠B AC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图②(3)拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠B AC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠B DA＝∠A EC＝∠B AC，试判断△DEF的形状．解：(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠B DA＝∠C EA＝90°.∵∠B AC＝90°，∴∠B AD＋∠C AE＝90°.∵∠B AD＋∠A BD＝90°，∴∠C AE＝∠A BD.又∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA.∴AE＝BD，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.(2)结论DE＝BD＋CE成立．证明：∵∠B DA＝∠B AC＝α，∴∠DBA＋∠B AD＝∠B AD＋∠C AE＝180°－α，∴∠DBA＝∠C AE.∵∠B DA＝∠A EC＝α，AB＝AC，∴△ADB≌△CEA.∴AE＝BD，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.(3)由(2)知，△ADB≌△CEA,∴∠DBA＝∠EAC.∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠A BF＝∠C AF＝60°.∴∠DBA＋∠A BF＝∠EAC＋∠C AF.∴∠DBF＝∠EAF.又∵BF＝AF，BD＝AE，∴△DBF≌△EAF.∴DF＝EF，∠B FD＝∠A FE.∴∠DFE＝∠DFA＋∠A FE＝∠DFA＋∠B FD＝60°. ∴△DEF为等边三角形．。
第五单元《三角形》教案
第一课时三角形的特性导学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿学习内容：P80—81页的例1、例2、“做一做”以及练习十四第1—3题。
一、自学提纲：1、三角形有几条边？几个角？几个顶点？什么样的图形叫做三角形?、2、什么叫做三角形的高?什么叫做三角形的底？3、如何用符号表示三角形？4、说一说三角形在日常生活中的应用。
5、三角形具有什么特性？二、自学检测1、找一找：下面图形中是三角形的请打√，不是三角形的请打×，并说出你的理由。
2、拿出平行四边形框架。
用手拉动，说一说有什么发现？去掉一条边，再扣上拼组成三角形框架。
再拉一拉有什么感觉？想一想这说明三角形具备什么特性？（）3、例2的主题图，请你找出各图中哪有三角形？说一说它们有什么作用？三、达标训练1、三角形有（）个顶点，（）条边，（）个角。
2、写出下面三角形的各部分名称。
3、以BC边为底，高是（）。
4、电线杆上有个三角形，这是根据三角形的（）来设计的。
5、请画出每个三角形的一条高。
（教材86页第1题）四、达标检测1. 学校的椅子坏了，课件演示，怎样加固它呢？（教材86页第2题）2. 小明画了三角形的一条高，你说他画的对吗？为什么？第二课时三角形两边之和大于第三边导学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿学习过程：一、自主学习自学提纲：自学P82例3，思考下列问题1、从情境图中你获得哪些数学信息？2、小明从家到学校一共有几条路可走？假如你是小明选择那条路上学？为什么？3、通过动手实验操作，你发现了什么？4、你能找出三角形三边在长短上有什么关系？填下表验证猜测。
二、自学检测1.实验1：用三根小棒摆一个三角形。
在每个小组的桌上都有5根小棒，请大家随意拿三根来摆三角形，看看有什么发现？2.实验2：进一步探究三根小棒在什么情况下摆不成三角形。
（1）每个小组用以下四组小棒来摆三角形，并作好记录。
（2）观察上表结果，说一说不能摆成三角形的情况有几种？为什么？（3）能摆成三角形的三根小棒又有什么规律？四、达标训练1、剪出下面三组纸条（单位：厘米）（1）8、10、15 （2）6、6、12 （3）5、9、152、用每组纸条摆三角形。
中考数学专题复习教案：共顶点的等腰三角形与全等
共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）一、内容和内容解析1．内容基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.2．内容解析本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.二、目标和目标解析1．目标（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.三、教学问题诊断分析学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.四、教学过程设计引言我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.1. 复习巩固问题1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些判定？ 师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.问题2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？（1）若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.（2）若△ABD 和△AEC 均为等腰三角形，其中AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，请找出下列各图形中的全等三角形.师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下面设置的探究学习提供了有利条件.2. 探究学习问题3 如图，已知A 是线段BC 上一点，分别以AB 、AC 为边在同侧作等边△ABD 和△AEC.（1）填空：BE= ，∠ABE= ，∠DFB= °.（2）求证： AF 平分∠BFC.（3）求证： AF ＋DF=BF.师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.追问1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.追问2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.追问3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？师生活动: 学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.追问4：若BE 、AD 交于点M ，CD 、AE 交于点N ，链接MN ，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？△AMN 是什么三角形？MN 与BC 有怎样的位置关系？师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给与恰当评价.问题4 如图，若将上题中的等边△AEC 绕点A 都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力. 问题5 如图，若将上题中的等边△ABD 和△AEC 改为等腰△ABD 和△AEC ，其中AD=AB ，AE=AC ， ∠BAD=∠EAC=a. 上述结论是否都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历3. 微课展示4. 巩固应用1. 已知△ABC 和△AEF ，AB=AC ，AE=AF ，∠BAC=∠EAF ，BE 、CF 交于M ，连接MA.（1）如图1，若∠BAC=60°，则△BAE ≌ ；∠CMB= .图1B图2图3BC （2）如图2，若∠BAC=90°，则∠CMB= .（3）如图3，若∠BAC=a, 直接写出∠AME 的度数（用含a 的式子表示）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，指导，师生共同评价.设计意图：巩固加深对探究学习中（1）-（3）问题的认识，再次体会由特殊到一般的探讨问题的过程.2. 如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，若B(a,b)且a 、b 满足(20b +-=，D 为y 轴上一动点，以AD 为边作等边△ADC ，CB 交y 轴于E.（1）如图1，求点A 的坐标.（2）如图2，D 为y 轴正半轴上一点，C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点坐标是否变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理（3）如图3，D 在y 轴负半轴上，以DA 为边向右构造等边△DAC ，CB 交y 轴于E 点，如果D 点在y 轴负半轴上运动时，仍保持△DAC 为等边三角形，连BE ，试求CE ，OD ，AE 三者的数量关系，并证明你的结论.师生活动：用平面直角坐标系中直角的特征，用 30设计意图：直角解决问题，（3）通过有梯度的练习，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课解决共顶点的等腰三角形与全等问题关键是什么？（2）本节课解决一条线段为一个角的角平分线的方法有几种？（3）本节课解决线段之间的和差关系的方法是什么？（4）本节课的探究学习用到了什么思想方法？设计意图：让学生自由发表自己的看法，教师从知识内容、学习过程和思想方法三个方面进行引导. 归纳知识，小结方法，使学生建构自己的知识体系.培养学生合作交流的习惯。
中考数学总复习 第5章 第20讲 直角三角形课件
x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4，故线段BN的长为4
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直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方，即有________． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形一条(yī tiáo)边的 平方等于另外两条边的________(即满足式子 ________)，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求 得AC的长即可；(2)分别求得乘车时间，然后比较(bǐjiào)即可得到答案．
解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 E 点， ∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝10 3，在△ACE 中，∵AC2＝8100＋300，∴AC＝20 21＝20×4.6＝92(km) (2)乘客车需时间 t1＝8600＝131(小时)；乘列车需时间 t2＝19820＋ 2400＝1910(小时)，∴选择城际列车
因此，当知道直角三角形的两边时，可以求出第 三边；当只知道直角三角形的一边时，列出关系式， 转化(zhuǎnhuà)为方程解决. 求解时应注意辨别哪一 边是斜边．
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勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的实际
1．(2014·黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通， 便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到 武昌客运站B，现在(xiànzài)可以在A坐城际列车到 武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌 客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝ 120°.请你帮助小明解决以下问题：
第1讲等腰三角形与直角三角形-教案
第1讲等腰三角形与直角三角形-教案概述适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域北师版区域课时时长（分钟） 120知识点1.等腰三角形判定与性质2.直角三角形判定与性质1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．教学目标2.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性教学重点特殊三角形的灵活应用教学难点特殊三角形的灵活应用.【教学建议】本节的教学重点是使学生能熟练掌握特殊三角形的性质与判定，这一节在本册书乃至整个初中数学几何部分占据非常重要的地位，在中考中出题的频率和分值都比较高，所以教师在教学过程中要注意结合中考题型进行拓展。
学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：1. 等腰三角形及直角三角形的性质与判定。
2. 结合三角形全等的几何动点。
3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。
【知识导图】1等腰三角形与直角三角形等腰三角形判定与性质直角三角形判定与性质教学过程一、导入【教学建议】有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。
二、知识讲解知识点 1 等腰三角形判定与性质1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：（1）两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；（3）两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；（4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（5）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：（1）（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理2进行证明；（2）回忆全等三角形的性质。
2.等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
中考数学复习方案第四单元三角形第21课时直角三角形及勾股定理
故答案是:4 5或 10.
第二十五页，共四十页。
基
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知
识
巩
固
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频
考
向
探
究
考向二 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的应用
例2 [教材(jiàocái)题]一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部离建筑物0.7米,如果
梯子的顶部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多远?
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二
易错题
【失分点】
直角的不确定引起的分类讨论;求最短距离时,将立体(lìtǐ)图形展开成平面图形求解.
6.[2018·东营]如图 21-2 所示的圆柱的高 AB=3,底面直径 BC=3,现在有一只蚂蚁
想从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食,则它爬行的最短距离是 (
A.3 1 + π
的中点,连接BM,MN,BN, ∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,则BN的长为
.
高
频
考
向
探
究
图21-6
第二十二页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
[答案] 2
1
[解析]在△ CAD 中,∵M,N 分别是 AC,CD 的中点,∴MN∥AD,MN= AD,
2
1
在 Rt△ ABC 中,∵M 是 AC 的中点,∴BM= AC=1.
∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,
∴DF= 2 - 2 = 3,
∴CD=DF-CF= 3-1.
中考数学复习《三角形及其性质》练习题含答案
第2节三角形及其性质课时1一般三角形及等腰三角形(建议答题时间：40分钟)1. (2017泰州)三角形的重心是()A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，103. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是()A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017甘肃)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为()A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 05. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC 于点D，则∠CBD的度数为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017郴州)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是()．A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．第10题图第12题图第13题图11. (2017成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．12. (2017江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．13. (2017湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．14. (2017徐州)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16. (2017陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第16题图第18题图17. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________. 18. (2017宁夏)在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM，当AM⊥BM时，则BC的长为________．19. (2017达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．20. (2017内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．第20题图21. (2017北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：AD＝BC.第21题图22. (2017连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2直角三角形及勾股定理(建议答题时间：40分钟)1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A. 3，4，5B. 1，2， 3C. 6，7，8D. 2，3，42. (2016沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A. 433 B.4 C. 83 D. 4 3第2题图第3题图3. (2017大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为()A. 2aB. 22aC. 3aD. 43 3a4. (2017黄石)如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝()A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图5. (2017重庆巴蜀月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝()A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 3 2D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．第8题图第11题图第12题图9. (2017安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．10. (2017岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x ＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．11. (2017常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．12. (2017娄底)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)13. (2017杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．第13题图第14题图14. (2017武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15. (2017山西)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB ＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终．．落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．第18题图19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，(1)求AB的长；(2)求CD的长．第19题图20. (2017徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b ＝c－(a＋b)<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a －b|＝0.5. B【解析】∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C＝70°，又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.6．B【解析】设∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∴180°－4x°＝x°，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36°.7．B【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.8. B【解析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.第8题解图9. B【解析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B关于AD的对应点为点C，∴CE等于BP＋EP的最小值．10. 15°11. 40°12. 7513. CD＝DE14. 1415. 100°【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°. 16. 64°【解析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD＝12∠ABC，∠2＝∠ACE＝12∠ACB，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×128°＝64°.17. 23【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为23，故DE＋DF＝2 3.18. 8【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是AB的中点，∴DM＝12AB＝3，∵ME＝13DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝8.19. 1＜m＜4【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD 是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝EC，在△AEC中，∵AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4即1＜m＜4.第11题解图20. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC.∴∠BAD＝∠ADE，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．21. 解：∵AB＝AC∴在△ABC中，∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝12×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，又∵在△ABC中，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BC.22. (1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.课时2直角三角形及勾股定理1. B2. D3. B【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝2a，∵在△ABC中，∠ACB ＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝22a.4. C 【解析】∵点E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，DE ＝32，∴BE ＝CE ＝DE ＝32，∴∠CDE ＝∠DCE ，BC ＝ 3.在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝1＋(3)2＝4＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝90°.5. C 【解析】设BD ＝x ，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD ＝x ，则CD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5.6. A 【解析】∵∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32，又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝32， ∠C ′A ′B ′＝∠CAB ＝45°，∴∠CAB ′＝∠C ′AB ′＋∠CAB ＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB ′中，AC ＝3，AB ′＝32，∴B ′C ＝AC 2＋AB′2＝32＋（32）2＝3 3.7. C 【解析】如解图，∵S 正方形ABCD ＝13，∴AB ＝13，∵AG ＝a ，BG ＝b ，∴a 2＋b 2＝AB 2＝13，∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝21，∴2ab ＝(a ＋b )2－a 2－b 2＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ABG ＝12ab ＝12×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.第7题解图8. 25 9. 5210. 2 【解析】∵方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝12BE ＝EF ＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE＝∠EAF，∴CD∥AF，∴CDAF＝EDEA.当D与A重合时，CD与AF重合，取得最大值为5，当D接近于E时，DE越小，CD越小，∵线段CD不能为0，∴0<CD ≤5.第11题解图12. 2＋2m【解析】如解图，连接BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC，∴∠BDC＝90°，∠ABD＝∠C＝45°，∴∠BDF＋∠FDC＝90°，又∵∠EDF＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt △DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝2m，则△BEF的周长为2＋ 2 m.第12题解图13. 78【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴CECA＝CDCB，∴CE＝1525×20＝12.第13题解图14. 33－3【解析】∵AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA＝30°，如解图，将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACD ′，∴∠D ′CA ＝∠B ＝30°，AD ＝AD ′，∴∠D ′CE ＝60°，∵∠DAE ＝60°，∠DAD ′＝120°，∴∠EAD ′＝60°，∴△EAD ′≌∠EAD (SAS )，∴ED ′＝ED ，∴ED ′＋BD ＋EC ＝6，∴EC ＝6－DE 3，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2＋EC 2＝D ′C 2，即DE 2＋(6－DE 3)2＝(6－DE 3×2)2，解得DE ＝33－3(负根舍去)．第14题解图15. 2＋6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt △ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形 ，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2＋EF 2＝DE 2，即x 2＋(2＋3)2x 2＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6) cm .第15题解图16.2＋12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋12；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM＝B′M，BN＝B′N，B′M∥BA，∴MCBC＝B′MAB，即MCB′M＝BCAB＝2，∴MCB′M＝2，即MC＋BMBM＝2＋11，即BCBM＝2＋11，∵BC＝2＋1，∴BM＝1.故BM长为2＋12或1.第16题解图17. 解：∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BD＝BC，∵∠A＝30°，∴BC＝12AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC2，解得BC＝BD＝2＋23(负根舍去)．18. 解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3；(2)如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，∵D为AC边的中点，∴BD＝12AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.第18题解图19. 解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB＝AC2＋BC2＝202＋152＝25，即AB的长是25；(2)∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴20×15＝25·CD，∴CD＝12.20. 解：(1) 4；【解法提示】在△ACD中，∵∠A＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4.(2)如解图，过点D作DE⊥BC于点E.第20题解图在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴DE＝2，根据勾股定理得CE＝CD2－DE2＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3，∴DB＝BE2＋DE2＝（3）2＋22＝7.。
精选-中考数学总复习第四单元三角形第21课时直角三角形与勾股定理课件
(1)把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,所以每个命题都有逆命题.
(2)原命题成立,其逆命题不一定成立
若一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为 互逆定理
互逆定理
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课前双基巩固 考点四 命题、定义、定理、公理
定义
在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,做出明确的规定,也就是给它 们下定义
第 21 课时 直角三角形与勾股定理
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1
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 直角三角形的概念、性质与判定
定义
性质
判定 常见 结论
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有一个角是①
直角
的三角形叫做直角三角形
(1)直角三角形的两个锐角② 互余
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的③ 一半
(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的④ 一半
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精选中小Hale Waihona Puke 课件7课前双基巩固
3. [七下 P161 习题第 1(2)题改编] 已知命题:“自然数是整数.”写
出它的逆命题:
.该逆命题是
(填
“真”或“假”)命题.
[答案] 整数是自然数 假 [解析] 交换原命题的条件和结论,可得 到其逆命题.举一个反例,可说明这是一 个假命题,如“-2 是整数,但-2 不是自然 数”,可知该逆命题为假命题.
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精选中小学课件
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课前双基巩固 考点二 勾股定理及逆定理
勾股定理 直角三角形两直角边 a,b 的平方和等于斜边 c 的平方,即① a2+b2=c2
中考数学复习方案(21)直角三角形与勾股定理(19页)
考点聚焦
归类探究
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第21课时┃回归教材
中考预测
如图21－4，已知等腰Rt△ABC的直角 边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直 角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以 Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三 个等腰Rt△ADE，……依此类推直到 第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等 腰直角三角形所构成的图形的面积为 31/2 ________．
命题角度： 勾股定理逆定理．
例 3、[2012· 广西] 已知三组数据：①2、3、4；②3、4、5； ③1、 3、2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长， 能构成直角三角形的有( D ) A．② B．①② C．①③ D．②③
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第21课时┃归类探究
解 析 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三 边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和 是否等于最大数的平方即可． ①∵22＋32＝13≠42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意； ②∵32＋42＝52 ，
考点聚焦 归类探究 回归教材
图21－1
第21课时┃归类探究
解 析 过点B作BM⊥AC交AC的延长线于点M，所以四边形 BDCM是矩形，CM＝BD＝2，BM＝CD＝4，AM＝3，从而求得 AB＝5.
方法点析
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边
求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)
(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两条 线段垂直；(3)解决生活实际问题
用途
勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数
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中考数学第16讲等腰三角形与直角三角形复习教案北师大版
课题：第十六讲等腰三角形与直角三角形复习目标：1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念，掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件.2.掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 教学重点与难点:重点:等腰三角形、直角三角形的性质与判定.难点: 掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件、勾股定理，并会运用勾股定理解决简单问题.教学过程：一、课前热身1.（2014•滨州）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，32.（2014•泉州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为cm．3．（2014•云南）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD= ．4.（2014•扬州）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．5.（2014•呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为．6．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是97.（2014•襄阳）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=O C．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．处理方式：本环节的习题学生课前已完成，课上利用7分钟的时间让学生以“教师的身份”展示讲解，其余学生与教师补充、纠错．设计意图：鼓励每一位学生敢于亲自体验，敢于展示讲解，更好训练学生解题能力和口头表达能力，从而形成会做不如会写的，会写的不如会讲的．必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性，提高教学的实效性.二、考点聚焦考点1 等腰三角形的概念与性质定义有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称：__________)定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行考点2 等腰三角形的判定考点3 等边三角形处理方式：先让学生通过查阅课本或小组合作解决知识回顾，再让学生分组展示，在学生展示同时，教师引出相应考点，生回答师强调补充完善.设计意图：通过知识回顾，考点聚焦达到以下目的：1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念，掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件.2.掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.三、典例分析例1 若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．处理方式：学生读题独立思考，必要时教师给予引导分析：题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．方法总结：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．例2 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3 B．4 C．5 D．6处理方式：学生读题独立思考，必要时教师给予引导分析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．学生完成解答．方法总结：此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．例3 如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为．处理方式：学生读题独立思考，必要时教师给予引导分析：利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．学生完成解答．方法总结：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．设计意图：围绕考点，挑选部分中考题作为典型例题，一让学生知道中考对等腰三角形与直角三角形考什么？怎么考？二让学生通过典型例题解答，在复习回扣考点同时掌握一些解题方法和处理技巧.四、回声嘹亮师:同学们经历了这节课的探索学习，你在知识上和方法上什么收获呢？请说说看.处理方式：同桌对讲，畅谈自己的感受和体会，学生发言，老师总结与归纳.设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.五、考点达标已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业必做题：复习指导丛书 P 82 强化训练 1—13题．选做题：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD =2∠ACB ．若DG =3，EC =1，则DE 的长为（ ）A ． 22B ． 10C ． 32D ．6 设计意图：“必作题”可以巩固本节课所学内容，“选作题”可以培养学生对数学学习内容的兴趣．板书设计： 第十六讲 等腰三角形与直角三角形等腰三角形:直角三角形: 例1 例2 例3投影区学 生 活 动 区2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．关于x 的不等式21x a --…的解集如图所示，则a 的取值是( )A ．0B ．3-C ．2-D ．1-2．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k>－14B ．k>－14且0k ≠C ．k<－14D ．k ≥－14且0k ≠ 3．下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．如图，在Y ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DEF ABF S S 425∆∆=：：，则DE ：EC=（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：2 5．如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．121x y x y -=-⎧⎨-=-⎩C ．121x y x y -=-⎧⎨-=⎩D ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩6．如果一组数据6，7，x ，9，5的平均数是2x ，那么这组数据的中位数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．97．一元二次方程210x x--=的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是（）A．63B．123C．183D．2439．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．33B．5C．233D．2511．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°12．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当扇形AOB的半径为22时，阴影部分的面积为__________．14．甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”)15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BAD＝60°，则∠ACD＝_____°．17．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为_____．18．如图的三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm.沿过点B的直线折叠三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD.则△AED的周长为____cm.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
中考数学冲刺复习课件：第21课时直角三角形和勾股定理
第21课时 直角三角形和勾股定理课时作业
一、选择题
1.(2014•黄石)如图21-1，一个矩形纸片，剪去部分后得到
一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是( C )
A．30°
B．60° C．90°
D．120°
2.如图21-2，△ABC与△ABD是直角三角形，点F是AB的中点
，若CF=8，则DF的长为( C )
第21课时 直角三角形和勾股定理
4.(2014•西宁)如图21-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30° ，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说 法错误的是( D )
A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED
提示：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠CAD=∠BAD=∠B， ∴AD=BD，AD=2CD， ∴BD=2CD， 根据已知不能推出CD=DE， 即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确．
A．49
B．25
C．13
D．1
提示：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，
则四个直角三角形的面积和是25－1=24，即4× ab=24，
即2ab=24，a2+b2=25，
则(a+b)2=25+24=49．
5.(2013•济南)如图21-5，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端
，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆
8.在△ABC中，若BC边上的中线AD= BC， 则该三角形的形状为( B )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
9.在下列选项中，已知三角形三边长，能
解直角三角形教学设计
解直角三角形教学设计作为一位无私奉献的人民教师，很有必要精心设计一份教学设计，教学设计是连接基础理论与实践的桥梁，对于教学理论与实践的紧密结合具有沟通作用。
教学设计应该怎么写呢？以下是店铺收集整理的解直角三角形教学设计（通用5篇），供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
解直角三角形教学设计1教学目标：理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点：能运用直角三角形的角与角（两锐角互余），边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形。
教学难点：能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力。
教学过程：一、课前专训根据条件，解下列直角三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°（1）已知∠A＝30°，BC＝2；（2）已知∠B＝45°，AB＝6；（3）已知AB＝10，BC＝5；（4）已知AC＝6，BC＝8。
二、复习什么叫解直角三角形？三、实践探究解直角三角形问题分类：1、已知一边一角（锐角和直角边、锐角和斜边）2、已知两边（直角边和斜边、两直角边）四、例题讲解例1、在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°．求AB．例2、⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长（精确到0.1）．五、练一练1．在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，求平行四边形的面积．2．求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1）．六、总结通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．七、课堂练习1．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于_________．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＋b＝＋3，解这个直角三角形．3．求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积．八、课后作业1．在菱形钢架ABCD中，AB=2 m，∠BAD=72，焊接这个钢架约需多少钢材（精确到0.1m）2.思考题（选做）：CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin ∠COD ＝，求：（1）弦AB的长；（2）CD的长．解直角三角形教学设计2一、教学目标(一)知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
中考数学第五章《全等三角形》复习教案新人教版
章节第五章课题全等三角形课型复习课教法讲练结合教学目标（知1。
了解图形全等的概念，能利用全等图形解决有关问题。
识、能力、教育）2.掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题．3.体会在证明过程中，所运用的归纳、转化等数学思想方法．教学重点掌握两个三角形全等的条件教学难点应用三角形的全等解决一些实际问题．教学媒体学案教学过程一：【课前预习】（一)：【知识梳理】1。
全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS"．(2）两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等,简写成“角边角”或"ASA”（3）两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边"或“AAS”．（4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理"或“HL”．2。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等．3.注意事项：（1）说明两个三角形全等时,应注意紧扣判定的方法,找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．(2）注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．（二）：【课前练习】1.如图，若△ABC≌△DEF，∠E等于( ）A．30° B．50° C．60° D、100°2.如图，在△ABC中,AD⊥BC于 D，再添加一个条件____，就可确定△ABD≌△ACD3。
在下列各组几何图形中，一定全等的是（ )A．各有一个角是45°的两个等腰三角形；B．两个等边三角形C．腰长相等的两个等腰直角三角形D．各有一个角是40°腰长都是5cm的两个等腰三角形4。
下列说法中不正确的是（）A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等B．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等C．有一边对应相等的两个等边三角形全等D．面积相等的两个直角三角形全等5。
第1讲 等腰三角形与直角三角形-教案
（2）回忆全等三角形的性质。
2.等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。
【知识导图】
【教学建议】
有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。
1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选C．
2.（2014秋•西城区校级期中）已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
故答案为：130°．
4.如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法 ，保留作图痕迹）；
（2）求证：BM=EM．
【答案】见解析
【解析】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作等腰△ABD和等腰△ACE，且顶角∠BAD＝∠CAE，连接BE、CD，BE与CD有什么数量关系？请说明理由；
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第五单元三角形
第21课时等腰三角形及直角三角形教学目标
【考试目标】
1.了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质和一个. 三角形为等腰三角形的条件；了解等边三角形的概念及性质；
2.了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件；
3.会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
【教学重点】
1.了解掌握等腰三角形的有关概念及性质.
2.学会等腰三角形的判定.
3.掌握等边三角形的性质及判定方法.
4.掌握线段垂直平分线与角平分线的相关性质.
5.学会直角三角形的相关性质与判定方法.
教学过程
一、体系图引入，引发思考
二、引入真题、归纳考点
【例1】（2016年菏泽）如图，△ABC 与
△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，
A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC
与△A′B′C′的面积比为 （ A ）
A ．25：9
B ．5：3
C ．
D.
【解析】解：过A
作AD⊥BC 于D ，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，
∵△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，
∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，
BC=2BD ，B′C′=2B′D′，
∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，
BC=2BD=2AB•cosB，
B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，
∵∠B+∠B′=90°，
∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，
∵S△BAC=0.5AD•BC=0.5AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，
3
355：3
5：
S△A′B′C′=0.5A′D′•B′C′=A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′， ∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A.
【例2】（2016年苏州）如图，在△ABC 中，
AB=10，∠B=60°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，
且BD=BE=4，将△BDE 沿DE 所在直线折叠得
到△B'DE（点B'在四边形ADEC 内），连接AB'，
则AB'的长为________ .
【解析】过点B′作B′F⊥AD，垂足为F ，因为BD=BE=4，∠B=60°,
所以△BDE 是等边三角形.由折叠的性质可得DB′=BD=4，
∠BDE=∠B′DE=60°，所以∠ADB′=60°，所以在Rt△B′FD 中，
DF=2
，B′F= .因为AB=10，所以AF=4，
所以 【例3】（2016年西宁）如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，
PC∥OA，OA⊥PD 于点D ，PC=4 ，则,PD= 2 .
【解析】过点P 作PE⊥OB 于点E.∵OP 平分∠AOB，∴PD=PE，
∠AOB=2∠AOP=30°.∵PC∥OA，∴∠ECP=∠AOB=30°，
∴PE=0.5PC=2，∴PD=PE=2.
【例4】
（2016年江西）如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB=8，
AD=7，E 为AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片
（△AEP），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形
AEP 的底边长是 .
【解析】据题意，如果点P 落在AD 边上，
则AE=AP=5，底边长PE 2=AP 2+AE 2=52+52
=50，
PE= ；如果点P 落在DC 边上，则底边长 AE=5；如果点P 落在BC 边上，则两条腰AE=EP=5，
所以 所以等腰三角形AEP 的底边长是 或5或 . 三、师生互动，总结知识 72().
72324''2222=+=+=F B AF AB 2
5，
4352222=-=-=EB EP BP 54482222=+=+=BP AB AP 5
42
5
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
学生对特殊三角形的掌握情况很好，望多加复习巩固，做到熟练会用.。