北师大版八年级下册三角形证明复习含答案

三角形证明专题复习一．选择题（共15小题）1．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．62．如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（）A．2B．4C．5D．63．如图，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D为BC边上的点，AD＝AC，BD＝2，则DC＝（）A．0.5B．1C．1.5D．24．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，点D在BC边上，且AD＝AC．若BD＝，则CD的长为（）A．4B．C．5D．5．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC 的长是（）A．6B．8C．10D．146．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且，则线段BE的长为（）A．B．2C．3D．7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（）A．3B．10C．12D．158．如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL9．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（）A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来10．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（）A．8B．10C．11D．1311．如图，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP＝4，若点Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．412．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（）A．120°B．75°C．60°D．30°13．已知实数a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（）A．10B．8或10C．8D．以上都不对14．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周长等于12，则AC的长为（）A．7B．6C．5D．415．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（）A．36°B．38.5°C．64°D．77°二．填空题（共15小题）16．△ABC中，AD⊥BC于D，∠ACD＝60°，若AD＝2，AB＝2，则BC＝______．17．已知等腰三角形的周长是14，设其腰长是x，底边长是y，则y与x的函数关系式为y ＝______，自变量x的取值范围是______．18．如图，已知∠AOB＝30°，点P在边OA上，OP＝14，点E，F在边OB上，PE＝PF，EF＝6．若点D是边OB上一动点，则∠PDE＝45°时，DF的长为______．19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是______．20．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝24°，则∠C＝______°．21．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则这个三角形的面积为______cm2．22．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是______．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠EBC ＝30°，则∠A的度数为______．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝______cm．25．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，BD＝1，则AC 的长______．26．在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为______．27．如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠A＝x°，则∠ABC＝______度（用含x的代数式表示）．28．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠B＝28°，则∠CAD的度数为______°．29．如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝______．30．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝______．三．解答题（共20小题）31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．32．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点P为AC的中点，点D为AB 边上一点，且AD＝PD，延长DP交BC的延长线于点E，若AB＝2，求PE的长．34．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：（1）EF⊥AB；（2）DE＝2DF．35．如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠B＞∠A，D，E为边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC．（1）若∠A＝30°，求∠DCE的度数；（2）∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由．36．已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．37．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．38．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，求BD的长．40．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1＝32°，求∠D的度数．41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC．（1）求证：∠CAD＝∠DBC；（2）求∠BDC的度数．42．如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长．43．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，BD＝2时，求EB的长．44．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．45．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．46．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB 于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．47．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD，△ADC是等腰三角形，求△ABC三个内角的度数．48．如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D．（1）求∠BAC的度数；（2）若AB＝10，BC＝10，求△ABD的周长．49．如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，（1）求证：EF∥BC；（2）若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF．50．如图，等边△ABC的边长为12，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E．过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD＝2，求AF的长；（2）当AD取何值时，DE＝EF？三角形证明专题复习参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．2．解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，∴AP＝PD，∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∵△ABC的面积为8，∴S△BPC＝×8＝4．故选：B．3．解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AD＝AC，∴E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，∴BE＝，∵BD＝2，∴DE＝﹣2＝，∴CD＝1，故选：B．4．解：过点A作AE⊥BC，∵AD＝AC，∴E是CD的中点，∵∠B＝60°，AB＝8，在Rt△ABE中，BE＝4，∵BD＝，∴DE＝4﹣＝，∴CD＝5，故选：C．5．解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD．∵△BCD的周长是14，BC＝6，∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，∵AB＝AC，∴AC＝8．故选：B．6．解：连接BD，如图，∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，在Rt△BDE中，BE＝DE＝×＝3．故选：C．7．解：作DH⊥AC于H，如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DB＝DH，∵×AB×CD＝DH×AC，∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC＝×10×3＝15．故选：D．8．解：作△DEF，使DE＝AB，∠A＝∠D，∠E＝∠B，根据ASA定理可知，△DEF与原来的图形一样，他所用定理是ASA，故选：C．9．解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，∴∠C＝∠NAC，∴BC＝AB＝30海里．即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．10．解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故选：C．11．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：B．12．解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；综上，∠OEC的度数不可能为60°，故选：C．13．解：根据题意得a﹣2＝0，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4，①a＝2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4、4、2能组成三角形，∴三角形的周长为10，②a＝2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，2+2＝4，不能组成三角形．综上所述，三角形的周长是10．故选：A．14．解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周长等于12，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7，故选：A．15．解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．故选：B．二．填空题（共15小题）16．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD＝2，∴CD＝AD＝2，∵AB＝2，∴BD＝＝＝4，如图1，BC＝BD+CD＝6，如图2，BC＝BD﹣CD＝2，综上所述，BC＝6或2，故答案为：6或2．17．解：∵2x+y＝14，∴y＝14﹣2x，即x＜7，∵两边之和大于第三边∴x＞，综上可得＜x＜7故答案为：y＝﹣2x+14，＜x＜7．18．解：如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵PE＝PF，∴EH＝FH＝EF＝3，∵∠AOB＝30°，OP＝14，∴PH＝OP＝7，当点D运动到点F右侧时，∵∠PDE＝45°，∴∠DPH＝45°，∴PH＝DH＝7，∴DF＝DH﹣FH＝7﹣3＝4；当点D运动到点F左侧时，D′F＝D′H+FH＝7+3＝10．所以DF的长为4或10．故答案为4或10．19．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°，∴∠EDB＝20°，∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，当点P在AB上，∵DE＝DP1，∴∠DP1E＝∠AED＝70°，∴∠EDP1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，当点P在AC上，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴DG＝DH，在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），∴∠AP2D＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°，∴∠EDP2＝140°，当点P在AC上，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），∴∠EDG＝∠P3DH，∴∠EDP3＝∠GDH＝100°，故答案为：40°或100°或140°．20．解：设∠C＝α，∵AB＝CB，AC＝AD，∴∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，又∵∠BAD＝24°，∴∠CAD＝α﹣24°，∵△ACD中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，∴α﹣24°+α+α＝180°，∴α＝68°，∴∠C＝68°，故答案为：68．21．解：设△ABC的顶角为∠BAC，过C点作AB边的高，交BA的延长线于点D，∴S△ABC＝AB•CD，∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，CD＝AC＝4，∴S△ABC＝AB•CD＝×8×4＝16，故答案为：16．22．解：过P作PE⊥OA于点E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，∴PE＝PD，∵PD＝2，∴PE＝2，∴点P到边OA的距离是2．故答案为2．23．解：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∵DE垂直且平分AB，∴EA＝EB，∴∠ABE＝∠A，∴∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∴30°+（180°﹣∠A）＝180°﹣2∠A，解得∠A＝40°．故答案为：40°．24．解：∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴AD＝BD，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AC＝2CD＝6cm，故答案为：6．25．解：∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，∴∠A＝∠ABD，∵BD＝1，∴AD＝BD＝1，∵CD＝2BD＝2，∴AC＝AD+DC＝1+2＝3，故答案为3．26．解：∵AD＝DC∴∠DAC＝∠C，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝40°，∴∠BDA＝∠C+∠DAC═80°，∵AB＝AD∴∠BDA＝∠B＝80°，∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝20°．故答案为：20°．27．解：∵∠A＝x°，AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x°，∴∠CDB＝2∠A＝2x°，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝（180﹣3x）°，故答案为：（180﹣3x）．28．解：∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝28°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝28°+28°＝56°，∵AD＝AC，∴∠C＝∠ADC＝56°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣56°﹣56°＝68°．故答案为：68．29．解：连接OA、OB、OC，过A作AQ⊥BC于Q，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，BQ＝CQ＝＝1，由勾股定理得：AQ＝＝＝，∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，∴＝++，∴＝，∴＝×2×（OE+OF+OD），解得：OD+OE+OF＝，故答案为：．30．解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC 于M，如图所示：∵CE⊥AD，∴∠AEF＝∠AEC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠F AE＝∠CAE，DH＝DN，在△AEF与△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（ASA），∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，∵∠AFC＝∠B+∠ECD，∴∠ACF＝∠B+∠ECD，∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，∵∠ACB＝3∠B，∴2∠ECD+∠B＝3∠B，∴∠B＝∠ECD，∴CF＝BF，∵BC＝BD，∴＝，S△ADB＝DH•AB＝AM•BD，S△ACD＝DN•AC＝AM•CD，∴＝，即＝＝，∴AB＝AC＝，∴CF＝BF＝﹣8＝，∴CE＝CF＝，故答案为：．三．解答题（共20小题）31．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，∴∠CBD＝126°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝63°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．又∵∠F＝27°，∴∠F＝∠CEB＝27°，∴DF∥BE32．解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周长5，∴AD+DE+EA＝5，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；（2）∵△OBC的周长为13，∴OB+OC+BC＝13，∵BC＝5，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．33．解：∵∠BAC＝30°，AD＝PD，∴∠A＝∠APD＝∠CPE＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠PCE＝90°，∴PE＝2CE，设CE＝x，则PE＝2x，PC＝AP＝x，Rt△ABC中，AB＝2，∴BC＝1，∴AC＝，∴2x＝，x＝，∴PE＝2x＝1．34．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝AC，∵CE＝BC，∴CD＝CE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∵∠B＝60°，∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即EF⊥AB；（2）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD＝ABC＝30°，∵∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴DE＝BD，∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2DF，即DE＝2DF．35．解：（1）设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝110°﹣∠ACE＝110°﹣x﹣y．∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝110°﹣x﹣y+x＝110°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，∴x+（110°﹣y）+（x+y）＝180°，解得x＝35°，∴∠DCE＝35°；（2）由（1）知，∠DCE的度数不会随着∠A度数的变化而变化．36．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，∴∠FDE＝∠DEB，∴DF∥BC．37．解：（1）成立．理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE；（2）成立．理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF＝BF，由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE＝BC，∵BD＝BC，∴BD＝AE．38．（1）证明：∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC∵CF是∠ACE的平分线，∴∠ACE＝2∠FCE∴2∠ABC＝2∠FCE，∴∠ABC＝∠FCE，∴CF∥AB；（2）∵CF是∠ACE的平分线，∴∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC∵DF平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠FDC；∴2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，∴2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC∵∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC∴2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°∴∠DFC＝20°．39．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，又∵∠C＝90°∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴∠DAC＝∠CAB﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∴在Rt△ACD中，，∴AD＝2CD＝2×3＝6，∴BD＝AD＝6．40．解：∵∠BAC＝90°，∠1＝32°，∴∠ABC＝90°﹣32°＝58°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝ABC＝29°，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABD＝29°．41．证明（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°∴∠ABC＝∠ACB＝40°∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBC＝20°∵BD＝AB∴∠ADB＝∠DAB＝80°∴∠CAD＝20°∴∠CAD＝∠DBC（2）延长AD到点E，使得AE＝BC，∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，∴△DBC≌△CAE，∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，∴∠CDE＝∠CED＝α，∵∠ADB＝80°，∴∠BDE＝100°∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，∴20°+100°+α+α＝180°，∴α＝30°，∴∠BDC＝130°．42．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，∵CE＝8，CF＝6，∴EF＝＝10，∴OC＝EF＝5．43．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，过D作DH⊥CE于H，∵BD＝2，∠DBH＝60°，∴BH＝BD＝1，DH＝＝，DH＝EH＝，∴BE＝EH﹣BH＝﹣1．44．解：（1）∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，∴∠B＝∠DAB，∵∠B＝40°，∴∠B＝∠DAB＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝80°；（2）∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣40°＝80°＝∠ADC，∴CA＝CD，∴△ACD为等腰三角形．45．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴∠EBF＝∠FEB，∴BF＝EF．46．解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，CD平分∠ACB，∴∠ACO＝∠BCO，又EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠ACB，∴∠ABO＝∠EOB，∠FOC＝∠ACO，∴OE＝BE＝3，OF＝FC，∵EF＝5，∴OF＝2，∴FC＝2．47．解：∵△ADC是等腰三角形，∴AC＝DC，∴∠DAC＝∠ADC，又∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，设∠B＝x，则∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x，∴∠DAC＝∠ADC＝2x，∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝3x，于是在△ABC中，有∠B+∠C+∠BAC＝x+x+3x＝180°，解得x＝36°，∴在△ABC中，∠BAC＝108°，∠B＝∠C＝36°．48．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，设∠B＝∠C＝x°，∵∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°﹣∠B＝（90﹣x）°∵DE垂直平分AC∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴90﹣x＝2x，解得：x＝30，∴∠BAC＝90°+30°＝120°；（2）由（1）知DA＝DC∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC＝10+10．49．（1）证明：∵∠1+∠FDE＝180°，∠1，∠2互为补角，∴∠2＝∠FDE，∴DF∥AB，∴∠3＝∠AEF，∵∠3＝∠B，∴∠B＝∠AEF，∴FE∥BC．（2）解：∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∴∠FEC＝∠ACE．∴FC＝FE，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，又∵∠B＝∠AEF，∴∠A＝∠AEF，∴AF＝FE，∴AF＝CF．50．解：（1）∵AB＝12，AD＝2∴BD＝AB﹣AD＝10在Rt△BDE中∠BDE＝90°﹣∠B＝30°∴BE＝BD＝5∴CE＝BC﹣BE＝7在Rt△CFE中∠CEF＝90°﹣∠C＝30°∴CF＝CE＝，∴AF＝AC﹣FC＝；（2）在△BDE和△EFC中，∴△BDE≌△CEF（AAS）∴BE＝CF∴BE＝CF＝EC∴BE＝BC＝4，∴BD＝2BE＝8，∴AD＝AB﹣BD＝4，∴AD＝4时，DE＝EF．。