上海市华东师范大学高一数学上学期入学试卷(含解析)

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上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．用∈或∉填空：0φ.2．实数a ，b 满足31a -≤≤，13b -≤≤，则3a b -的取值范围是．3．若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是．4．命题“1x >”是命题“11x <”的条件.5．已知0x >，则812x x --的最大值为.6．已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为．7．已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a b +=．8．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为.9．若函数()f x 满足R x ∀∈，()()11f x f x +=-，且1x ∀，[)21,x ∈+∞，()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是.10．已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--≤>，若A B ⋂中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是．11．已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b++的最小值是.12．如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，90ABO DCO ∠=∠=︒，则x 的取值个数为.二、单选题13．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．2(),()x f x x g x x==B ．()(),()()f x x x R g x x x Z =∈=∈C ．,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩D．2(),()f x x g x ==14．设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（）A ．(x 1+x 2)∈A B ．(x 1﹣x 2)∈A C ．(x 1x 2)∈A D ．12x x ∈A 15．如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（）A．B．C ．D ．16．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()i A ϕ ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③三、解答题17．已知关于x 的不等式122x a -≤的解集为集合A ，40x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭.(1)若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求a 的取值范围.(2)若A B =∅ ，求a 的取值范围.18．已知函数()211y m x mx =+-+．(1)当5m =时，求不等式0y >的解集；(2)若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．19．某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <≤且R a ∈）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨-⎪∈⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．(1)若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．20．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.(1)求函数23y x x =--的不动点；(2)若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；(3)若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间0,2上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.21．对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n n n A a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅均为非负整数，且}12n a a a n ++⋅⋅⋅+=，集合(){1212,,,,,,n n n B b b b b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅均为非负整数，且}122n b b b n ++⋅⋅⋅+=．设()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，()12,,,n n b b b B β=⋅⋅⋅∈，若对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅都有i i a b ≤，则记αβ ．(1)写出集合2A 和2B ；(2)证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ ；(3)设集合(){},,,n n n S A B αβαβαβ=∈∈ 求证：n S 中的元素个数是完全平方数．。

上海市华东师范大学松江实验高级中学学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)

故在区间上，当时，求得最大值为 .
故答案为：
6.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据关于的不等式的解集为，可得，，代入可解得结果.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以且和是一元二次方程的两个实根，
所以，得，
（2）下月的月总利润
，
，
，
即，
当且仅当，即时取等号．
答：当时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．
【点睛】本题主要考查与函数有关的应用问题，根据条件建立方程或不等式是解决本题关键，考查学生的阅读和应用能力，综合性较强．
20.（1）证明：，对所有实数均成立，并求等号成立时的取值范围.
9.集合，集合，若，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
化简集合，由列式可得结果.
【详解】，，
由得，得 .
故答案为：
10.设有两个命题；①方程没有实数根；②实数为非负数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
（2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，
证明：∵点是点的“上位点”，∴
∵ ，，，均大于0，∴ ，∴
∴ ，
即，所以点是点的“上位点”，
同理可得，即，
所以点是点的“下位点”，
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”.
（3）根据题意得对时恒成立，
根据（2）的结论可知，当，时，满足条件，
平方可得，

上海市华东师范大学2014-2015学年高一数学上学期入学试卷(含解析)

上海市华东师范大学2014-2015学年高一上学期入学数学试卷一 •选择题以下每小题为10分，满分150分1.（ 10分）有一种测验可以随时在网上报名.若某人用过这种测验的概率是0.5，且他连续两次参加测验，则其中有一次通过的概率是（）A .丄B.-C.-D. P432fl等于（）则P 到F 2的距离等于（）A . 0 B. 17 C.-25. （ 10分）下列函数中，既是奇函数又在上是单调递减的函数是（） A . f （x ） =sinxC. f （x ） — （a x +a -x ）（a >0, a * 1）26. （10分）已知c 是实数，二次方程 x 2+x+c=0有两个复数根a , b.若|a - b|=3，贝U c=（） A . - gB.上C. - 2D. 22 27.（10分）函数f （x ） =a x +log a （x+1）在上的最大值与最小值的和为a ,则a 的值为（）A .丄B.-C. 2D. 44 2& （ 10分）由动点P 向圆x 2- y 2=2引两条切线PA PB,切点分别是 A, B .若/ APB=60 , 则动点P 的轨迹是（）2. （10分）已知a 为正整数，且关于 2x 的方程 lg (4 - 2x ) =lg（a - x ） +1有实根，则aA . 1B. 1 或 2C. 2D. 2 或 33. （10分）已知等比数列,a 1=2，公比q=2,其前n 项和为S n,前n 项积为等于（）A . 0B. 1 D. 222X —y 16 20P 是双曲线上一点.若P 到F 1的距离为9,D. 2B . f (x ) =- |x - 1| D. f (x ) =ln 二4. （10分）设F 1, F 2是双曲线=1 的焦点,A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线10. （10分）过三角形 OAB 的重心G 的直线L 分别与边OA 0B 交于点P, Q 已知丽=m 倍的-.,u=n 倍的匚1则（） A . m+n 士\24 B. m+n=-3C.二+亠n 2D.二匕=3 n11. (10 分) 已知｛a n ｝为等差数列， a 2+a s +a 4=30, a 5+a 6=40，则公差d 等于（）A . 2B. 2C. 4D. 514.（10分）一个酒杯的截面是抛物线的一部分，其方程x 2=2y （0<y w 20）,杯内放入一个球，要使球触及杯底部，则球的半径的取值范围为（）A . （0, 1] B. （0,：：]C. （0，丄]D. （0,—]2 215. （10分）棱长为1的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积等于（） A . 2nB.——C. 3nD. 4n2上海市华东师范大学 2014-2015学年高一上学期入学数学试卷参考答案与试题解析一.选择题以下每小题为 10分，满分150分1. （10分）有一种测验可以随时在网上报名.若某人用过这种测验的概率是0.5 ,且他连续两次参加测验，则其中有一次通过的概率是（） 1 11A .丄B. 2c. AD.-4324288,则1击A .丄B.-C. 5 2D. 2（10分）已知集合则M 与N 的交集为（） 12. M={x|sinx > cosx , O v x vn }和 N={x|sin2x > cos2x , 0 v x vn },A .(丄，n ）813. （10分）已知f x=丄对称，则f （1） 0(x) c.+f (2) +f (3) +f (4) +f (5)=() D.n)y=f （x ）的图象关于直线A . B. 1C. 3D. 59. （ 10分）如果（1- 2x ） 9的展开式中第三项等于 1B.,+R ）上的奇函数，且考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式.专题：概率与统计.分析：利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求解. 解答：解：他连续两次参加测验，其中有一次通过的概率：点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用.2. (10分)已知a为正整数，且关于x的方程lg (4 - 2x2) =lg (a - x) +1有实根，则a等于()A. 1B. 1 或2C. 2D. 2 或3考点：根的存在性及根的个数判断.专题：函数的性质及应用.分析：、. 2依r■题意，可得x - 5x+ (5a- 2) =0, 由"0即可求得a的值.解答：解：T ig ( 4- 2x ) =lg (a- x)+1,•ig (42—2x ) =lg10 (a - x),4-2Z2>0a- x>0(a-x)2 2由4 —2x =10 (a - x),得x - 5x+ (5a - 2) =0,依题意，△ =25- 4 (5a- 2) =32 - 20a>0,••• aw主，又a为正整数，5a=1.故选：A.点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，着重考查等价转化思想与解方程的能力，属于中档题.等于()A. 0B. 1C鳥 D. 2考点：极限及其运算.专题：计算题；等差数列与等比数列.分析：由已知求出S, T n,代入山4得答案.3.( 10分)已知等比数列，a i=2,公比q=2,其前n项和为S n,前n项积为T - 12T 十引屯…％二2 -2二2P 是双曲线上一点. 若P 到F i 的距离为9,则P 到F 2的距离等于()A . 0 B. 17C. 一D. 22考点：双曲线的简单性质. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据双曲线的定义||PF i | - |PF 2||=2a=12，已知|PF i |=9，进而可求|PF 2| .解答：解：•••双曲线三-7 =1得：a=4,16 20由双曲线的定义知 ||PF 1| -|PF 2||=2a=8 , |PF 1|=9 ,•••|PF 2|=1 (不合，舍去)或 |PF 2|=17 ,故|PF 2|=17 . 故选：B. 点评：本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义||PF 1| - |PF 2||=2a ，是解题的关键，属基础题.5. ( 10分)下列函数中，既是奇函数又在上是单调递减的函数是() A . f (x ) =sinxC. f (x ) — (a x +a -x ) (a >0, a * 1)考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明. 专题：函数的性质及应用.分析：本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确.解答：解：f (x ) =sinx 是奇函数，但其在区间上单调递增，故A 错；Lim :liiD' ir亠 602n+1 - 2n -tn2~=山一z\=0.n z -3n+42 4故选：A.点评：本题考查了等比数列的前n 项和，考查了数列的极限，是基础题.224. (10分)设F 1, F 2是双曲线X —y16 20=1的焦点, 解答：解：由已知得,B . f (x ) =- |x - 1| D. f (x ) =ln 二••• f ( x) =- |x - 1|，二f (- X)= - | - X- 1| 丰—f C x), ••• f ( X)= —|x+1| 不是奇函数，•••故B错；T a> 1 时，y=a x在上单调递增，y=a-x上单调递减，• f ( x) =- (a x+a-x) (a> 0, 1)在2上单调递增，故C错；故选：D.点评：题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题.6. (10分)已知c是实数，二次方程x2+x+c=0有两个复数根a, b.若|a - b|=3，贝U c=()A. —5B.上C. - 2D. 22 2考点：复数求模.专题：数系的扩充和复数.分析：利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出.解答：解：’••二次方程x2+x+c=0有两个复数根a, b.•a+b=- 1, ab=c.•- |a - b|=3 ,•3= . | ・■" i.，•3=： -，解得c= - 2.故选：C.点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.7. (10分)函数f (x)=a+log a (x+1)在上的最大值与最小值的和为a,贝U a的值为()A.丄B. 一C. 2D. 442考点：函数单调性的性质.专题：计算题.分析：f (x)在上，当a > 1时是增函数；当0 v a v 1时是减函数；由单调性分析可得f (0) +f (1) =a,即可解得a—.解答：解：f (x)是上的增函数或减函数，故f (0) +f (1) =a，即卩1+a+log a2=a? log a2= - 1,—1 1•-2=a ? a=—.2故选B点评：可分类讨论做.因为单调性不变，也可合二为一做.& （ 10分）由动点P 向圆X 2-y 2=2引两条切线PA , PB,切点分别是 A, B .若/ APB=60 , 则动点P 的轨迹是（）A .椭圆 B.圆C.双曲线D.抛物线考点：轨迹方程.专题：计算题；直线与圆.分析：由已知不难发现，动点 P 到原点的距离等于已知圆的半径的 2倍，可求结果.解答：解：由题设，在直角厶OPA 中，0P 为圆半径 0A 的2倍，即0P=2,•••点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.故选：B.点评：本题考查圆的切线方程,圆的定义，考查转化思想，疋基础题.9. （ 10分）如果（1- 2 ）的展开式中第三项等于 288,贝廿］（—++… ------------- ）等于“p 工『 /A. -1B.-C. 1D. 252数列的极限.计算题；二项式定理.由（1 - 2X ） 9的展开式中第三项等于 288求出x ,然后利用等比数列的求和公式求10. （10分）过三角形 OAB 的重心G 的直线L 分别与边OA 0B 交于点P, Q 已知帀=m 倍的.,'-J=n 倍的|二L 则()考点：向量在几何中的应用. 专题：平面向量及应用.考点：专题：分析:和，则lim(X丄解答：解:（1- 2X ）9的展开式中第三项为绪（-2盖）2=283r 3 3二2〔1-(丄+ ・ +•••+[)v __ 21 [2 - 1 --x3= 15 2〔1-〔自-2.n -* •:总故选：D. 点评：本题考查了二项式定理，考查了等比数列的前 n 项和,中档题.TL考查了数列极限的求法，是A . m+n 丄2B. m+n-3D. _一3n| n+・）可求.分析：根据三角形重心的性质，得1^- I'.,进而得到「V关于向量 X、飞的表达式，再根据已知条件得II关于向量“ y的表达式，利用向量共线的条件列式，化简整理可得本题的答案.解答：解：TG是厶OAB的重心，—■ 0—•••点G在AOAB的中线0C上，且-I："3•••丘7 （&+丽）,|2•丽上x丄（态+血）〜玉占J,3 2 3 3••• i「.F=m L., i.i=n 丨，，• FQ^OQ -丽=n^ - , 又•••©?=丽-丽=(m-2)预-2。

上海高一上学期分考试数学试题(解析版)

一、填空题 1．关于x 的不等式的解集是___________. 23020x x -≤-【答案】(20,23]【分析】把给定不等式化成一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式化为：，解得，23020x x -≤-200(23)(20)0x x x -≠⎧⎨--≤⎩2023x <≤所以不等式的解集是. 23020x x -≤-(20,23]故答案为：.(20,23]2．已知a 、，且，则ab 的最大值是____________. R b ∈2241a b +=【答案】##0.25 14【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值. 22144a b ab =+≥ab 【详解】因为实数满足， ,a b 2241a b +=所以由基本不等式可得：221422a b a b =+≥⨯所以，当且仅当，即时等号成立， 14ab ≤22142a b ==a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即的最大值为.ab 14故答案为：.143．若点P (3，y )是角终边上一点，且，则y 的值是____________. α2sin 3=-a 【答案】【分析】利用三角函数值的定义，即可求解. 【详解】，解得s 32in α==-y =故答案为：4．已知.若是奇函数，则实数a 的值是____________.()11f x x x a =+-(1)=-y f x 【答案】2-【分析】利用已知函数的定义域，结合奇函数的定义计算作答即可. 【详解】函数的定义域为且， 11()f x x x a=+-{R |0x x ∈≠}x a ≠因为函数是奇函数，则当且时，恒成立， (1)=-y f x 1x ≠1x a ≠+(1)(1)0f x f x --+-=因此，整理得， 111101111x x a x x a+++=--------2221101(1)a x a x ++=-+-即，于是得，解得，22222(1)(1)(2)0(1)[(1)]a a a x x a x ++++--=-+-2(1)(1)020a a a ⎧+++=⎨--=⎩2a =-所以实数a 的值是. 2-故答案为：2-5．若函数的值域是，则函数的值域是____________.()y f x =1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()12121F x f x f x =+++【答案】172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.(21)f x +【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，()y f x =1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(21)t f x =+1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数变为，，()F x 1y t t =+1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，1y t t =+1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,4]时，，而时，，时，，即，1t =min 2y =12t =52y =4t =17y 4=max 174y =所以原函数值域是.172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：.172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知里氏震级R 与地震释放的能量E 的关系为.那么里氏8.4级的地震释放的()2lg 11.43R E =-能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的_____________倍.(精确到0.1) 【答案】251.2【分析】根据给定条件，作差并结合对数运算求解作答.【详解】令里氏8.4级的地震释放的能量为，里氏6.8级的地震释放的能量为，1E 2E 则，，两式相减并整理得，()12lg 11.48.43E -=()22lg 11.4 6.83E -=12lg lg 2.4E E -=即，因此. 12lg 2.4E E = 2.41210251.2EE =≈故答案为：251.27．若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值为____________. 2425【答案】或.3545【分析】设顶角，则其底角的余弦值为，由半角公式求值即可. ()0,πα∈πcos sin 222ααæöç÷-=ç÷èø【详解】设顶角，则，∴或 ()0,πα∈247sin ,cos 2525αα==±3sin 25α=45则其底角的余弦值为或. π3cos sin 2225ααæöç÷-==ç÷èø45故答案为：或.35458．已知点A 的坐标为，将OA 绕坐标原点顺时针旋转至，则点的横坐标是(4,3)-3πOA 'A '____________.【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合差角的余弦公式求解作答.【详解】以x 轴非负半轴为角的始边，令射线OA 为终边的角为，则射线为终边的角为αOA 'π3α-，显然，，5OA OA =='=34sin ,cos 55αα=-=因此，πππ413cos cos cos sin sin 333525ααα⎛⎫-=+=⨯- ⎪⎝⎭所以点A '5=9．方程的实数解为____________.9135x x+-=【答案】3log 2x =【分析】分、两种情况化简方程，求出的值，解之即可.0x ≤0x >9135x x+-=3x【详解】当时，则，由可得，可得；0x ≤31x ≤9135x x+-=()23340x x --=3x =当时，则，由可得，可得，解得.0x >31x >9135x x+-=()23360x x +-=32x =3log 2x =故答案为：.3log 2x =10．设，当时，恒成立，则实数m 的取值范围是()222x x f x --=R x ∈()()210f x mx f ++>____________. 【答案】()1,1-【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性2(2)(1)0f x mx f ++>2(2)(1)f x mx f +>-和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.2210x mx ++>R x ∈【详解】由函数，111(22)[2()]22222()2x x x x x x f x --=--=⋅-=均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，1212,2xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭R ()f x R 且满足，所以函数为奇函数， 1111()22()22()x x x x f x f x --------=-=-=-()f x 因为，即， 2(2)(1)0f x mx f ++>2(2)(1)(1)f x mx f f +>-=-可得恒成立，即在上恒成立， 221x mx +>-2210x mx ++>R x ∈则满足，即，解得， 2(2)40m -<244m <11m -<<所以实数的取值范围是. m (1,1)-故答案为：.(1,1)-11．已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的()ln f x x =1,e D t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e a D ∈b D∈，使得，则实数的取值范围是_____________.()()4f a f b +=t 【答案】{}5e 【分析】分析出函数在上单调递增，可得出，即可求得实数的值.()f x D ()14e 1e f t f t ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩t 【详解】因为函数在上单调递增，()f x D 对任意的，都存在唯一的，使得，a D ∈b D ∈()()4f a f b +=则，解得.()1ln 14e 1ef t f t t ⎧⎛⎫+=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪>⎪⎩5e t =故答案为：.{}5e 12．对任意集合M ，定义，X 是全集，集合，则对任意的，下列命1.()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩,S T X ⊆x X ∈题中真命题的序号是_____________. （1）若，则；S T ⊆()()S T f x f x ≤（2）； ()()1S S f x f x =-（3）；()()()S S T T f x f x f x =⋅ （4）(其中符号[a ]表示不大于a 的最大整数).()()()12S T S T f x f x f x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦ 【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.【详解】对于(1)，因，时，，，时，，而S T ⊆x S ∈x T ∈()()1S T f x f x ==x S ∉()0S f x =()0T f x =或，则，(1)正确；()1T f x =()()S T f x f x ≤对于(2)，时，，则，时，， x S ∈x S ∉()1,()0S S f x f x ==x S ∉x S ∈即，，从而有，(2)正确； ()0,()1S S f x f x ==()()1S S f x f x +=()1()S S f x f x =-对于(3)，，则，， x S T ∈ ,x S x T ∈∈()1,()1,()1S T S T f x f x f x === 即，()()()S T S T f x f x f x =⋅ ，则，此时与至少有一个成立，即与中至少一个x S T ∉⋂()0S T f x = x S ∉x T ∉()0S f x =()0T f x =成立，从而成立， ()()()S T S T f x f x f x =⋅ 综上知(3)正确；对于(4)，时，，若，则，x S T ∈⋃()1S T f x = ,x S x T ∈∈()1,()1S T f x f x ==，()()13[[]122S T f x f x ++==若，则，，,x S x T ∈∉()1,()0S T f x f x ==()()1[]12S T f x f x ++=若，同理可得，,x S x T ∉∈()()1[12S T f x f x ++=若，则，，，x S T ∉⋃,x S x T ∉∉()()()0S T S T f x f x f x === ()()11[[]022S T f x f x ++==综上得，(4)正确.()()1()[]2S S T T f x f x f x ++= 故答案为：（1）（2）（3）（4）.【点睛】方法点睛：本题关键是理解函数的新定义，题目的来源是数学中著名的狄利克雷函数，需要对函数的新定义充分理解，进行合理的分类讨论，做到不重复不遗漏，可以利用维恩图进行辅助.二、单选题13．若a ，b 为实数，则“”是“”的（） 1ab >1b a>A ．充分但非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】D【分析】通过举反例和反例即可判断. 2,3a b =-=-2,3a b =-=【详解】当时，满足，但此时，故正向无法推出， 2,3a b =-=-1ab >1b a<同样时，满足，但此时，故反向也无法推出， 2,3a b =-=1b a>1ab <故“”是“”的既不充分也不必要条件. 1ab >1b a>故选：D.14．已知是钝角，那么下列各值中能取到的值是（） θsin cos θθ-A ．B ．C ．D ．43345312【答案】A【分析】利用辅助角公式可得出，求出的取值范围，结合正弦函πsin cos 4θθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π4θ-数的值域可得出的取值范围，即可得出合适的选项. sin cos θθ-【详解】因为，则，所以，， ππ2θ<<ππ3π444θ<-<(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭所以，可取的值为. sin cos θθ-43故选：A.15．已知.对于正实数，下列关系式中不可能成立的是（）()22xf x =-()a b a b ≠、A ．B ．22a b ab f ff a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭22ab a b f f f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭C ．D ．22ab a b f ff a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭22ab a b f f f a b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据给定条件，结合均值不等式可得，再探讨函数的单调性，确22a b aba b+>>+()f x定中不可能最大的作答. 2(),(2ab a bf f f a b ++【详解】正实数，则，有， ()a b a b ≠、02a b +>>02a bab +>>2ab a b >+因此，函数， 202a b ab a b +>>+22,1()2222,1x xx x f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩即有函数在上单调递减，在上单调递增， ()f x (0,1][1,)+∞若，则有，C 正确； 012a b+<≤2()()2ab a b f f f a b +>>+若，则有，A 正确； 21aba b ≥+2()()2a b ab f f f a b +>>+若且时，，12a b +>201aba b <<+1≥2a b f f+⎛⎫> ⎪⎝⎭时，，实数最大数记为，1≤2ab f f a b ⎛⎫> ⎪+⎝⎭,,c d e max{,,}c d e于是， 22max{(),(max{(),(22a b ab a b abf f f f f f a b a b++=>++因此选项B 可能，选项D 一定不可能. 故选：D16．若，，下列判断错误的是ππtan 22b a θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()()sin cos 02πa x b x x ϕϕ+=+≤<（）A ．当时，B ．当时， 0,0a b >>ϕθ=0,0a b ><2πϕθ=+C ．当时，D ．当时，0,0a b <>πϕθ=+0,0a b <<2πϕθ=+【答案】D【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.ϕ【详解】由选项知，，，0ab ≠sin cos )a x b x x x +=令，有，， cos ϕϕ==)sin t n ππ2an ta (c 2os b a ϕϕθθϕ==-<=<02πϕ≤<则， sin cos cos cos sin ))a x b x x x x ϕϕϕ+=+=+对于A ，当时，为第一象限角，且，，，则，A0,0a b >>ϕπ02ϕ<<π02θ<<tan tan ϕθ=ϕθ=正确；对于B ，当时，为第四象限角，且，，，则0,0a b ><ϕ3π2π2ϕ<<π02θ-<<tan tan(2π)ϕθ=+，B 正确；2πϕθ=+对于C ，当时，为第二象限角，且，，，则0,0a b <>ϕππ2ϕ<<π02θ-<<tan tan(π)ϕθ=+，C 正确；πϕθ=+对于D ，当时，为第三象限角，且，，，则0,0a b <<ϕ3ππ2ϕ<<π02θ<<tan tan(π)ϕθ=+，D 错误.πϕθ=+故选：D三、解答题17．已知. tan 2θ=-π02θ<<(1)求；tan θ(2)【答案】(2)3+【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解； (2)利用弦化切的方法求解. 【详解】（1）因为22tan tan 21tan θθθ==--解得，2tan 0θθ-=t anθ=tan θ=因为，所以.π02θ<<t an θ=（2sin cos tan 13sin cos tan 1θθθθθθ++====+--18．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，设用x 单位量的水清洗一次以13后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.()f x (1)假定函数的定义域是，写出，的值，并判断的单调性； ()y f x =[0,)+∞(0)f (1)f ()y f x =(2)设，求实数t 的值，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分()211f x t x =+⋅(0)a a >成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由. 【答案】(1)；；严格单调递减； (0)1f =2(1)3f =(2)；答案见解析. 12t =【分析】（1）根据给定信息，直接求出，的值，再根据题意判断的单调性即可； (0)f (1)f ()f x （2）分别计算两种方式的农药残留量，再作差比较大小即可.【详解】（1）表示没有用水清洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样，则， (0)f (0)1f =因为用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的13农药量之比为，因此， 232(1)3f =因为用水越多洗掉的农药量也越多，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比越小，因此函数严格单调递减. ()f x （2）由（1）知，，而函数，于是，解得，，2(1)3f =()211f x t x =+⋅1213t =+12t =22()2f x x =+清洗一次，残留在蔬菜上的农药量为， 122()2y f a a ==+把水平均分成2份后清洗两次，残留在蔬菜上的农药量为， 222222264[([]2(8)2()2a y f a a ===++，2122222222642(4)(4)2(8)(2)(8)a a a y y a a a a +--=-=++++当时，，当时，，当时，， 4a >12y y >4a =12y y =04a <<12y y <所以当时，分成2份后清洗两次，清洗后蔬菜上残留的农药量少； 4a >当时，两种清洗方案效果相同；4a =当时，清洗一次，清洗后蔬菜上残留的农药量少. 04a <<19．已知是定义在上的奇函数，当时，. ()y f x =R 0x >()1x f x x=-+(1)求的值，并写出的解析式；(0),(1)f f -()f x (2)若，求实数a ，b 的值.()[]{}|,,,22a b y y f x x a b ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦【答案】(1),. ()()100,12f f =-=()1x f x x =-+(2) 1,1a b =-=【分析】(1)根据函数奇偶性的概念求函数值和解析式； (2)根据函数的单调性结合值域列出方程即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， ()y f x =R 所以， 1(0)0,(1)(1)2f f f =-=-=当时，， 0x <()()1xf x f x x=--=--所以，即. ,01()0,0,01xx x f x x xx x ⎧-<⎪-⎪==⎨⎪⎪->+⎩()1x f x x =-+（2）因为当时，单调递减， 0x >()1111x f x x x=-=-+++且函数为奇函数，所以在上单调递减， ()f x R 所以当时，，当时，，0x <()0f x >0x >()0f x <因为，所以，()[]{}|,,,22a b y y f x x a b ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦0a b <<所以，即解得.()2()2b f a a f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1212a b a b a b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪+⎩1,1a b =-=20．在平面直角坐标系中，两点、的“直角距离”定义为，记为11(,)P x y ()22,Q x y 1212x x y y -+-.如，点、的“直角距离”为9，记为.PQ (1,2)P --(2,4)Q 9PQ =(1)已知点，Γ是满足的动点Q 的集合，求点集Γ所占区域的面积； (0,0)P 1PQ ≤(2)已知点，点，求的取值范围； (0,0)P [(cos ,sin )(0,2))Q αααπ∈PQ (3)已知动点P 在函数的图像上，定点，若的最小值为1，1yx =-)[(),sin 0,2π)Q ααα∈PQ 求的值. α【答案】(1)2(2) ⎡⎣(3)或或π3α=4π311π6【分析】（1）分类讨论区绝对值，得到其图形为正方形，求出其边长，则得到面积；（2）分，，，四类讨论即可；0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,2παπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）利用绝对值不等式有，再根据范围即可得到答案.||12sin 13PQ πα⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭α【详解】（1）设，则， (),Q x y 1x y +≤当，则，0,0x y ≥≥1x y +≤当，则，0,0x y ≥<1x y -≤当，则，0,0x y <≥1x y -+≤当，则，0,0x y <<1x y --≤顺次连接四点, ()()()()0,1,1,0,0,1,1,0A B C D --则得到点集所占区域面积.2S ==（2），|||0cos ||0sin ||cos ||sin |PQ αααα=-+-=+当，此时， π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin ,cos 0αα≥则， ||cos sin 4PQ πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，， π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ππ3π,444α⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，即，则， πππsin sin ,sin 442α⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ πsin 4α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦||PQ ∈当，此时， π,π2α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦sin 0,cos 0αα≥<则， πcos sin 4PQ ααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，， π,π2α⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦ππ3π,444α⎛⎤∴-∈ ⎥⎝⎦，即，则， π3ππsin sin ,sin 442α⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin 4α⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦||PQ ∈当，此时， 3π,2απ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦sin 0,cos 0αα<≤则， πcos sin 4PQ ααα⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，， 3,2παπ⎛⎤∈ ⎝⎦ 57,444πππα⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦则，则， sin 1,4πα⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣[1,PQ ∈当，此时，， 3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0α<cos 0α>则， ||cos sin 4PQ πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，， 3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ π5π7π,444α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则，， πsin 1,4α⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣(||PQ ∴∈综上，.[1,PQ ∈（3）设，根据绝对值不等式有(),1P x x -|||||(1sin )|PQ x x αα=+-+， π1sin 12sin 13ααα⎛⎫≥+=+-= ⎪⎝⎭若，即，，， π12sin 13α⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 03α⎛⎫-= ⎪⎝⎭[)0,2πα∈ ππ5π,333α⎡⎫∴-∈-⎪⎢⎣⎭或，或. π03α∴-=ππ3α∴=4π3若，即，， π12sin 13α⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭sin 13πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π3π32α∴-=11π6α∴=综上或或. π3α=4π311π621．设函数的反函数存在，记为.设，. ()y f x =()1y f x -=(){}A x f x x ==()(){}1B x f x f x -==(1)若，判断是否是、中的元素； ()116xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭12A B (2)若在其定义域上为严格增函数，求证：；()y f x =A B =(3)若的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范()f x =x ()()1f x a f x a --=+a 围.【答案】(1)， 12A ∉12B ∈(2)证明见解析(3) 7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）求出函数的解析式，利用元素与集合的关系判断与集合、的关系，可得()1f x -12A B 出结论；（2）分析可知，利用集合的包含关系以及函数的单调性证得，()(){}B x f f x x ==A B ⊆B A ⊆，即可证得结论成立；（3）令，分析可得，由已知方程可得，可得()()y g x f x a ==+()()11g x f x a --=-()()1g x g x -=，可得出，分析可得方程有两个不等的非负实根，根据二次方()()g g x x =()g x x =220x x a -+-=程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.a 【详解】（1）解：因为，则， ()116xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1116log f x x -=所以，，则，所以，， 116x A x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭121111642⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭12A ∉，则，所以，. 1161log 16x B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭41211216111log log 22416--⎛⎫=== ⎪⎝⎭12B ∈（2）解：由题意可得， ()(){}()(){}1B x f x f x x f f x x -====任取，则，所以，，，故；1x A ∈()11f x x =()()()111f f x f x x ==1x B ∴∈A B ⊆任取，则，下面证明出.2x B ∈()()22f f x x =()22f x x =因为函数在其定义域内为严格增函数，()f x 若，则，与题设矛盾；()22f x x <()()()222f f x f x x <<若，则，与题设矛盾.()22f x x >()()()222f f x f x x >>故，即，故.()22f x x =2x A ∈B A ⊆综上所述，.A B =（3）解：令，则，则，即()()y g x f x a ==+()()11x a f y x g y --⎧+=⎪⎨=⎪⎩()()11g y f y a --=-，()()11g x f x a --=-由可得，所以，，()()1f x a f x a --=+()()1g x g x -=()()g g x x =因为在其定义域内单调递增，所以，有两个不等的非负()g x =()g x x =x =实根，整理可得，220x x a -+-=所以，，解得. ()Δ14247010220a a a ⎧=--=->⎪⎪>⎨⎪-≥⎪⎩724a <≤因此，实数的取值范围是. a 7,24⎛⎤ ⎥⎝⎦。

上海市华东师范大学第二附属中学2024届高三上学期开学考试数学试题

上海市华东师范大学第二附属中学2024届高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________16．已知定义在R 上的函数()y f x =．对任意区间[],a b 和[],c a b Î，若存在开区间I ，使得[],c I a b ÎI ，且对任意[],x I a b ÎI （x c ¹）都成立()()f x f c <，则称c 为()f x 在[],a b 上的一个“M 点”．有以下两个命题：①若()0f x 是()f x 在区间[],a b 上的最大值，则0x 是()f x 在区间[],a b 上的一个M 点；②若对任意a b <，b 都是()f x 在区间[],a b 上的一个M 点，则()f x 在R 上严格增．那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题三、解答题17．如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O 的半径为1，圆锥的高2PO =，三棱锥-P ABC 的底面ABC 是以圆锥的底面圆的直径AB 为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．(1)求直线PC 和平面ABC 所成角的大小；(2)求该几何体的表面积．18．甲、乙两地之间的长途客车均由A B 、两公司运营．随机抽查两地之间的500个班次的长途客车运行情况，得到下面的列联表．多面体外接球球心O到截面对于A ，()()11,1,0,0,0,2MN CC =--=uuuu r uuuu r ，则10MN CC ×=uuuu r uuuu r ，所以1MN CC ^，故A 正确；对于B ，()2,2,0AC =-uuu r ，则0MN AC ×=uuuu r uuu r ，所以MN AC ^，又11,,AC CC C AC CC =ÌI 平面11ACC A ，所以MN ^平面11ACC A ，故B 正确；对于C ，()0,2,0DC =uuu r ，若MN 与DC 平行，则存在唯一实数l 使得DC MN l =uuu r uuuu r ，所以0200ll =-ìï=-íï=î，无解，所以MN 与DC 不平行，故C 错误；对于D ，()()12,2,0,2,0,2DB DA ==uuu r uuu u r ，设平面1BDA 的法向量(),,n x y z =r ，则有1220220n DB x y n DA x z ì×=+=ïí×=+=ïîuuu r r uuu u r r ，可取()1,1,1n =--r ，因为1100MN n ×=-++=uuuu r r ，且MN Ë平面1BDA ，所以MN //平面1BDA ，故D 正确.。

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期开学考试数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是（）A ．空集没有子集B ．空集是任何一个集合的真子集C ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D ．设集合B A ⊆，那么，若x A ∉，则x B ∉【答案】D【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果【详解】A 选项，空集是其本身的子集，A 错；B 选项，空集是任一非空集合的真子集，B 错；C 选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C 错；D 选项，若B A ⊆，则B 中元素都在A 中，A 中没有的元素，则B 中也没有；故D 正确. 故选：D.2．已知集合1|0,3x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则集合B 的子集个数为（）A ．5个B ．8个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】先化简集合A ，B ，再列举其子集求解.【详解】因为{}1|0,1,0,1,23x A x x Z x +⎧⎫=≤∈=-⎨⎬-⎩⎭，所以{}{}2|1,1,2,5B y y x x A ==+∈=，所以集合B 的子集有{}{}{}{}{}{}{},1,2,5,1,2,1,5,2,5,1,2,5∅，共8个，故选：B3．设Q 所示有理数集，集合{},,0X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①{}2x x X ∈；②X ⎫∈⎬⎭；③1x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；④{}2x x X ∈；与X 相同的集合有（） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③ 【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合{}2x x X ∈，则2(a p +=+解得2,2p a q b ==，即,22p q a b ==，是一一对于，所以与X 集合相同.对于②：集合X ⎫∈⎬⎭b =，也是一一对应，所以与X 集合相同.对于③：集合1x Xx ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭2222a b a b a b ⎛=+- --⎝，所以与X 集合相同.对于④：1X -，但方程21x -无解，则2{|y y x =，}x X ∈与X 不相同．故选：D4．设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ；则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}；③τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}；④τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}；其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（）A ．②B ．①③C ．②④D ．②③ 【答案】D【分析】利用集合X 上的拓扑的3个要求，依次判断即可【详解】①中由于{}{}{},,,,a b a c a b c τ=∉，故①不是集合X 上的一个拓扑； ②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X 上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X 上的一个拓扑；④中{}{}{},a c a c τ=∉,故④不是集合X 上的一个拓扑；因此集合X 上的拓扑的集合τ的序号是②③故选：D二、填空题5．已知集合{}2,0A a a =-，若a A ∈，则实数a 的值为___________.【答案】2【分析】根据集合元素的性质可求实数a 的值.【详解】因为a A ∈，故0a =或2a a a -=，若0a =，则20a a a -==，与元素的互异性矛盾，舍；若2a a a -=，则2a =或0a =（舍），而2a =时，符合元素的互异性，故实数a 的值为2，故答案为：2.6．若集合{}2210A x x x =-+=，{}210B x x =-=，则A ______B ．（用符号“⊂”“=”或“⊃”连接）【答案】⊂【分析】先化简集合A 、B ，再去判断集合A 、B 间的关系即可解决. 【详解】{}{}22101A x x x =-+==，{}{}2101,1B x x =-==-，则A B ⊂ 故答案为：⊂7．若{}{},27,8x y y +=，则整数x =____________.【答案】3或92. 【分析】根据集合相等的条件，列出方程组，即可求解.【详解】因为{}{},27,8x y y +=，由集合相等的条件，可得728x y y +=⎧⎨=⎩或827x y y +=⎧⎨=⎩，解得3x =或92x =. 故答案为：3或92. 8．已知0,,{,,}3x A xx B x x a b a A b A x ⎧⎫=<∈==+∈∈⎨⎬-⎩⎭Z ∣∣，试用列举法表示集合B =____; 【答案】{}2,3,4【分析】解出不等式03x x <-得到集合A ，然后可得答案. 【详解】因为{}{}0,03,1,23x A x x x x x x ⎧⎫=<∈=<<∈=⎨⎬-⎩⎭Z Z ∣∣，所以{}{,,}2,3,4B xx a b a A b A ==+∈∈=∣，故答案为：{}2,3,49．已知{}2|10,A x x px x R =++=∈，若A R +⋂=φ，则实数p 的取值范围是__________．【答案】(2,)-+∞【详解】分析：先根据条件得方程210x px ++=没有正实数解，再根据方程无解与只有非正数解两种情况讨论，解得实数p 的取值范围详解：∵A R +⋂=φ，∴方程210x px ++=没有正实数解，故A 集合有两种情况：①若A =φ，则240p ∆=-<，则22p -<<；②若A ≠φ，则方程有两个非正数解，且0不是其解，则有：2400p p ⎧-≥⎨-≤⎩，解得2p ≥．综上所述，2p >-，即实数p 的取值范围是()2,-+∞．点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.10．已知集合{1,2,3}A =，{1,,}B m n =，若3,1m A n A -∈+∈，则非零实数m n +的可能取值集合是________【答案】{}2【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到20m n =⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩，即可得到答案.【详解】因为3m A -∈，所以31m -=或32m -=或33m -=，解得2m =或1m =或0m =，因为1n A +∈，所以11n +=或12n +=或13n +=，解得0n =或1n =或2n =，又因为{1,,}B m n =，所以20m n =⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩，即2m n +=. 故答案为：{}211．若集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是___________ 【答案】12(,]23 【分析】把不等式转化为222(1)x x a x -+<+，转化为()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，不等式2(2)20x a x a -++-<且0a >，即222(1)x x a x -+<+，令()()222,(1)f x x x g x a x =-+=+，所以()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，所以()y f x =是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线，作出函数()222f x x x =-+和()(1)g x a x =+的图象，如图所示，其中()()11,22f f ==，又因为,0x Z a ∈>，结合图象，要使得集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，可得()(1)122g g >⎧⎨≤⎩，即2132a a >⎧⎨≤⎩，解得1223a <≤. 即正实数a 的取值范围是12(,]23. 故答案为：12(,]23.12．用A 表示非空集合A 中元素的个数，定义,,A B A B A B B A B A ⎧-≥⎪*=⎨->⎪⎩，若{}0,1A =，()(){}2230B x x ax x ax =+++=，*1A B =，则实数a 的所有可能取值构成集合S ，则S =______.（请用列举法表示）【答案】{}-【分析】根据{}0,1A =，*1A B =，可知B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程()()2230x ax x ax +++=的个数进行讨论，即可求得a 的所有可能取值. 【详解】由于()()2230x ax x ax +++=，等价于20x ax ①或2x ax 30++=②又{}0,1A =，*1A B =，可知B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，（1）当B 是单元素集合，则方程①有两个相等的实根，方程②无实根，此时0a =；（2）当B 是三元素集合，则方程①有两个不相等的实根，方程②有两个相等的实根，此时20120a a ≠⎧⎨∆=-=⎩，解得a =±实数a 的所有可能取值构成集合{}S =-故答案为： {}-【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的判断，解题的关键是对新定义的理解，考查学生的分析审题能力与分类讨论思想，属于中档题.13．已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ________.【答案】(,3][6,)-∞-⋃+∞【分析】根据对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得12()()f x g x =，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于m 的不等式组，解不等式组即可.【详解】因为()22()4321f x x x x =-+=--，所以函数()f x 的对称轴为2x =，对任意的[]11,4x ∈，记()[]1,3f x ∈-.记[]1,3A =-.由题意知，当0m =时不成立，当0m >时，()52g x mx m =+-在[]1,4上是增函数，所以[]()5,25g x m m ∈-+，记[]5,25B m m =-+由题意知，B A所以m m -≥-+≥⎧⎨⎩15253，解得6m ≥. 当0m <时，()52g x mx m =+-在[]1,4上是减函数，所以[]()25,5g x m m ∈+-，记[]25,5C m m =+-，由题意知，C A ⊇所以251{53m m +≤--≥，解得3m ≤-. 综上所述，实数m 的取值范围是(,3][6,)-∞-⋃+∞.故答案为: (,3][6,)-∞-⋃+∞【点睛】解决本题的关键是将问题转化为对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得12()()f x g x =，可得两个函数值域的包含关系，进而分别求两个函数的值域.14．已知函数()228x x x f a =++（0a >），集合(){}0A x f x =≤，()(){}8B x f f x =≤，若A B =≠∅，则a 的取值范围为______.【答案】4⎡⎤⎣⎦【解析】先根据A ≠∅，利用0∆≥求得a 的范围，再求出集合,A B ，利用A B =，即可求解.【详解】解：A B =≠∅，即()()()0,8f x f f x ≤≤有解，由()0f x ≤知：()222484320a a ∆=-⨯=-≥，解得：a ≤-或a ≥又0a >，a ∴≥令()2280x a f x x =++≤，解得：a x a -≤≤-故{A x a x a =-≤-， ()()8f f x ≤，令()u f x =，即()8f u ≤，又()228x ax f x =++，易知：()()()()208,222288f f a a a a =-=-+⨯-+=，0a >，故20a u -≤≤，即(){}20B x a f x =-≤≤，又A B =，故()2f x a ≥-恒成立，即()min 2f x a ≥-，又()()()()22min 288f x f a a a a a =-=-+⋅-+=-+，即282a a -+≥-，即2280a a --≤，解得：24a -≤≤，又a ≥a ⎡⎤∴∈⎣⎦.故答案为：4⎡⎤⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用A B =得出()min 2f x a ≥-.三、解答题15．已知{}(){}22240,2110A xx x B x x a x a =+==+++-=∣∣. (1)若A 是B 的子集，求实数a 的值；(2)若B 是A 的子集，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1a =；(2)1a -或1a =.【分析】（1）由题得{}4,0B A ==-，解2Δ0402(1)401a a >⎧⎪-+=-+⎨⎪-⨯=-⎩即得解；（2）由题得B A ⊆，再对集合B 分三种情况讨论得解.【详解】(1)解：由题得{}4,0A =-.若A 是B 的子集，则{}4,0B A ==-，所以2Δ0402(1),1401a a a >⎧⎪-+=-+∴=⎨⎪-⨯=-⎩. (2)解：若B 是A 的子集，则B A ⊆.①若B 为空集，则()22Δ4(1)41880a a a =+--=+<，解得1a <-；②若B 为单元素集合，则()22Δ4(1)41880a a a =+--=+=，解得1a =-.将1a =-代入方程()222110x a x a +++-=，得20x =，即{}0,0x B ==，符合要求；③若B 为双元素集合，{}4,0B A ==-，则1a =.综上所述，1a -或1a =.16．已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.【答案】（1）12m ≥（2）12m <或m 1≥ 【分析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围. （2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围.【详解】（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A ∈因为命题p 为真命题所以210m -≥ 解得12m ≥（2）命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根当命题q 为真命题时,1212440020m x x m x x ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩ 解得01m <<当命题p 和命题q 都为真命题1201m m ⎧≥⎪⎨⎪<<⎩ 所以112m ≤< 所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题则12m <或m 1≥ 所以实数m 的范围为12m <或m 1≥ 【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.17．定义：若任意,m n A ∈（m ，n 可以相等），都有10mn +≠，则集合,,1m n B x x m n A mn ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭称为集合A 的生成集； (1)求集合{3,4}A =的生成集B ；(2)若集合{,2}A a =，A 的生成集为B ，B 的子集个数为4个，求实数a 的值；(3)若集合(1,1)A =-，A 的生成集为B ，求证A B =.【答案】(1)387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(2)1a =±或12a =(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义算出x 的值即可求出B ；（2）B 的子集个数为4个，转化为B 中有2个元素，然后列出等式即可求出a 的值；（3）求出B 的范围即可证明出结论【详解】(1)由题可知，(1)当3m n ==时，3331335x +==+⨯ ， (2) 当4m n ==时，44814417x +==+⨯，（3）当3,4m n ==或4,3m n ==时，34713413x +==+⨯ 所以387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ (2)（1）当2m n ==时，2241225x +==+⨯，（2）当m n a ==时，22211a a a x a a +==++ （3）当2,m n a ==或,2m a n ==时，212a x a+=+ B 的子集个数为4个，则B 中有2个元素，所以24251a a =+或222112a a a a +=++ 或24125a a +=+ ，解得1a =±或12a =（2a =舍去）, 所以1a =±或12a =. (3)证明：(),1,1m n A ∀∈-=，()()111011m n m n mn mn++++=>++， ()()111011m n m n mn mn---+-=<++， ∴ 111m n mn+<+-<，即()1,1B =- B A ∴⊆，又(1,1)A =-，所以A B ⊆，所以A B =18．已知123{|(,,,,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值；（Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥；（Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a =，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．【答案】（Ⅰ）10m =；（Ⅱ）见解析（ⅠⅡ）见解析【详解】试题分析：本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点，题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于n S 的，其实n S 中的元素就是一个n 维的坐标，其中每个坐标都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n 位数字的数组，每个数字都只能是0或1，第二个定义(,)d U V ．第一问，根据5V S ∈，且(,)2d U V =及(,)d U V 的意义：表示U 和V 中相应的元素不同的个数，可知25m C =；第二问，根据0i a =或1，1,2,,i n =，分类讨论0i a =，0i b =时，i a +0i b =i i a b =-；当0i a =， 1i b =时，i a +1i b =i i a b =-；当1i a =，0i b =时，i a +1i b =i i a b =-；当1i a =，1i b =时，i a +2i b =0i i a b ≥-=；可证，i a +i b i i a b ≥-，再相加即可证明结论；第三问，结合第一问，得出使(,)k d u v r =的k v 共有rn C 个，分别计算出21(,)n k k d u v =∑和21(,)nk k d u v =∑，再相加即可．试题解析：（Ⅰ）2510C =；（Ⅱ）证明：令123(,,)n u a a a a =⋯⋯，123(,,)n v b b b b =⋯⋯ ∵0i a =或1，0i b =或1；当0i a =，0i b =时，i a +0i b =i i a b =-当0i a =， 1i b =时，i a +1i b =i i a b =-当1i a =，0i b =时，i a +1i b =i i a b =-当1i a =，1i b =时，i a +2i b =0i i a b ≥-= 故i a +i b i i a b ≥-∴(,)(,)d u w d v w +=123()n a a a a ++++123()n b b b b +++++ 123()n a a a a =++++123()n b b b b +++++112233()n n a b a b a b a b ≥-+-+-++-(,)d u v =（Ⅲ）解：易知n S 中共有2n 个元素，分别记为(1,2,,2)n k v k = 123(,,)n v b b b b =⋯⋯∵0i b =的k v 共有12n -个，1i b =的k v 共有12n -个．∴21(,)n k k d u v =∑ =1111111122(202120212021)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+-++-+- =12n n -⋅∴21(,)nk k d u v =∑=12n n -⋅．法二：根据（Ⅰ）知使(,)k d u v r =的k v 共有r n C 个， ∴21(,)n k k d u v =∑=012012n n n n n C C C n C ⋅+⋅+⋅++⋅21(,)n k k d u v =∑=120(1)(2)0n n n n n n n n C n C n C C --⋅+-⋅+-⋅++⋅ 两式相加得21(,)nk k d u v =∑=12n n -⋅【解析】计数原理的应用．。

上海华东师范大学第一附属初级中学必修第一册第三单元《函数概念与性质》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．函数2()1sin 12xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）． A ． B ．C ．D ．2．已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞3．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断4．已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x t =-，任意1[1,6)x ∈时，总存在2[1,6)x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（）A ．128t <<B ．128t ≤≤C ．28t >或1t <D ．28t ≥或1t ≤5．已知函数(1)f x +为偶函数，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，则满足不等式(21)(3)f x f x ->的x 的解集是（）A ．31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<-D ．(4)(0)(4)f f f <<-7．已知函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数，且11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->成立，则不等式()()2120x f x x -->的解集是（）A ．()(),11,2-∞B ．()()0,11,+∞C ．()(),01,2-∞D ．()()0,12,⋃+∞9．函数()ln x xxf x e e-=-的大致图象是（） A ． B ．C ．D ．10．已知函数f (x )＝|x |＋ln|x |，若f （3a -1）＞f （1），则实数a 的取值范围是（） A ．a ＜0B ．23a >C ．023a <<D ．a ＜0或23a >11．已知()f x 是R 上的奇函数，且对x ∈R ，有()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则()2log 41f =（）A ．40B ．2516C ．2341D ．412312．若01m n <<<且1mn =，则2m n +的取值范围是（）A ．[22,)+∞B ．[3,)+∞C ．(22,)+∞D ．(3,)+∞13．函数24()|3|3x f x x -=+-是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数14．关于函数1()lg1xf x x-=+，有下列三个命题： ①对于任意(1,1)x ∈-，都有()()f x f x -=-；②()f x 在(1,1)-上是减函数；③对于任意12,(1,1)x x ∈-，都有121212()()()1x x f x f x f x x ++=+；其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．315．若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,]4-∞B ．1(0,]4C ．1[0,]4D ．1[,)4+∞二、填空题16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．则函数的解析式为__________17．已知函数()y f x =，对任意x ∈R ，都有()()1f x f x a ⋅+=（a 为非零实数），且当[)0,1x ∈时，()2xf x =，则()2021f =___________.18．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，且当(0,1)x ∈时，3()24x f x =-，则12(log 25)f =________．19．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：对任意()0,x ∈+∞，恒有()()2 2 f x f x =成立；当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论：①对任意m ∈Z ，都有()20mf =；②函数()y f x =的值域为[)0,+∞； ③存在n ∈Z ，使得()219nf +=；④“函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得()1(,)2,2k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是__________20．函数()12f x x=-的定义域为__________. 21．2211x x y x x -+=++的值域为________．22．幂函数()223mm f x x --=在0,上单调递减且为偶函数，则整数m 的值是______.23．幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．24．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式()()f x f x x--<0的解集为________.25．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当[1,0)x ∈-时1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则()2log 8f =_________．26．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断0πx <<时，函数值的正负，判断得选项. 【详解】因为2()1sin 12x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以12()sin 12xxf x x -=⋅+， ()()()2221sin 1sin 1212x x xf x x x -⎛⎫⨯⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()21221sin 12x x x ⎛⎫+- ⎪=-- ⎪+⎝⎭221sin 1sin 1212xxx x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()f x =，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除C ，D ，令()0f x =，则21012x-=+或sin 0x =，解得()x k k Z π=∈，而0πx <<时，120x -<，120x +>，sin 0x >，此时()0f x <.故排除A.故选：B ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.解析：C 【分析】先根据题意得幂函数解析式为3()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】解：因为幂函数()(1)nf x a x =-的图像过点(2,8)，所以1128n a -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =，由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <．故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.3．A解析：A 【分析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．【详解】∵函数()()2265mm m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m = -2或m =3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m =3（m = -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>，则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=- ∴()()0f a f b +>．故选：A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．解析：B 【分析】先根据幂函数定义解得m ，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果. 【详解】由题意22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+>⎩，则0m =，即()2f x x =，当[)11,6x ∈时， ()[)11,36f x ∈，又当[)21,6x ∈时， ()[)22,64g x t t ∈--，∴216436t t -≤⎧⎨-≥⎩，解得128t ≤≤，故选：B ．【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即1212,,()()()x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域； 1212,,()()()x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空．5．A解析：A 【分析】根据题意，分析可得()f x 的图象关于直线1x =对称，结合函数的单调性可得(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-，两边平方解得x 的取值范围，即可得答案．【详解】因为函数(1)f x +为偶函数，所以(1)y f x =+的图象关于直线0x =对称，因为(1)y f x =+的图象向右平移1个单位得到()y f x =的图象，则()y f x =的图象关于直线1x =对称，又因为()f x 在区间[1，)+∞上单调递增，所以()f x 在区间(],1-∞上单调递减，所以()f x 的函数值越大，自变量与1的距离越大， ()f x 的函数值越小，自变量与1的距离越小，所以不等式(21)(3)f x f x ->等价于|22||31|x x ->-，两边平方()()()()2222315310x x x x ->-⇒-+<，解得315x -<<，即不等式的解集为31,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：A ．【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．6．C解析：C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【详解】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-，所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-，故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换；（3）根据函数的单调性求得结果.7．A解析：A 【分析】采用赋值法，在11()()2f x f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦中，分别令1x =和1x a =+，联立两个式子，根据函数的单调性可解. 【详解】解：根据题意知，设(1)0f a =≠，令1x =，则[]1(1)(1)12f f f +=，则()112af a +=，()112f a a+=，令1x a =+，则11(1))21(1f a f f a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦+，所以()11121f a f a a ⎛⎫+== ⎪+⎝⎭，又因为函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数，所以11121a a +=+，2210a a --=，所以1a =或12a =-（舍去），()11f =.故选：A. 【点睛】思路点睛：抽象函数求函数值问题一般是换元法或者赋值法，再结合函数的性质解方程即可.8．C解析：C 【分析】根据条件先判断出()f x 的单调性，根据单调性得到()f x 取值的特点，根据1x -与0的关系，采用分类讨论的方法解不等式，从而求解出解集. 【详解】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->成立，所以()f x 为R 上增函数，又因为()f x 为R 上奇函数，所以0x <时，()0f x <；0x >时，()0f x >；0x =时，()0f x =；当10x -=时，1x =，此时()()2012x f x x --=，不符合条件；当10x ->时，因为()()2120x f x x -->，所以22010x x x ⎧->⎨->⎩，解得0x <；当10x -<时，因为()()2120x f x x -->，所以22010x x x ⎧-<⎨-<⎩，解得12x <<；所以()()2120x f x x -->的解集为()(),01,2-∞，故选：C. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式：（1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.9．C解析：C【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 【详解】由题可知，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()ln ln x x x xx xf x f x e e e e----==-=---，所以函数()f x 为奇函数，所以排除选项BD ；又()10f =，所以排除选项A. 故选:C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10．D解析：D 【分析】根据函数为偶函数可转化为(|31|)(1)f a f ->，利用单调性求解即可. 【详解】()||ln ||f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，又()||ln ||()f x x x f x -=-+-=，所以()||ln ||f x x x =+为偶函数，当0x >时，()ln f x x x =+为增函数，又(31)(1)f a f ->可化为(|31|)(1)f a f ->，所以|31|1a ->，所以311a ->或311a -<-，解得23a >或0a <，故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的单调性，绝对值不等式的解法，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由已知得(4)()f x f x +=，由对数函数性质估计出2log 41(5,6)∈，然后利用已知条件把自变量变小为2log 416(1,0)-∈-，再由奇函数定义可求得函数值．【详解】25log 416<<，()()()()()2222f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+=⎡⎤⎣⎦，故()()()()2222log 41log 414log 4166log 41f f f f =-=--=-.∵()26log 410,1-∈，故()26log 41264236log 412114141f --=-=-=. 故选：C ．【点睛】本题考查求函数值，方法是由已知条件得出函数的周期性，利用周期性和已知等式把函数自变量变小到(1,0)-上，然后由奇函数定义变到(0,1)上，从而由已知解析式求得函数值．12．D解析：D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果. 【详解】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=，设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >，函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.13．A解析：A【分析】首先求出函数的定义域，然后利用奇偶性定义判断即可. 【详解】解：因为()f x =所以240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩解得22x -≤≤且0x ≠，故函数的定义域为[)(]2,00,2-，定义域关于原点对称，所以()f x x=，[)(]2,00,2x ∈-,又()()f x f x -===-所以函数为奇函数；故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，判断函数的奇偶性按照两步：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称；②计算()f x -判断与()f x 之间的关系；14．D解析：D 【分析】当(1,1)x ∈-时，函数1()1xf x lgx-=+恒有意义，代入计算()()f x f x -+可判断①；利用分析法，结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则，可判断②；代入分别计算12()()f x f x +和1212()1x x f x x ++，比照后可判断③．【详解】解：1()1xf x lgx-=+，当(1,1)x ∈-时， 1111()()()101111x x x xf x f x lglg lg lg x x x x+-+--+=+===-+-+，故()()f x f x -=-，即①正确； 12()(1)11x f x lglg x x -==-++，由211y x=-+在(1,1)-上是减函数，故()f x 在(1,1)-上是减函数，即②正确； 12121212121212121211111()()()11111x x x x x x x x f x f x lglg lg lg x x x x x x x x ----+--+=+==+++++++； 12121212121212121212111()1111x x x x x x x x x x f lg lg x x x x x x x x x x +-+++--==+++++++，即③正确故三个结论中正确的命题有3个故选：D ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值，复合函数的单调性，对数的运算性质等知识点，属于中档题．15．C解析：C 【分析】先考虑a 是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑. 【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a =-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4，故选C. 【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.二、填空题16．【分析】设得到化简即得解【详解】设所以因为函数是定义在R 上的奇函数所以所以所以函数的解析式为故答案为：【点睛】方法点睛：求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解析式解析：(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩【分析】设0,x <得到()2f x x x -=-+，化简即得解.【详解】设0,0x x <∴->，所以()()21f x x x x x -=--=-+，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2f x x x -=-+，所以()2(1)f x x x x x =-+=-.所以函数的解析式为(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩.故答案为：(1)0()=(1)0x x x f x x x x +≥⎧⎨-<⎩【点睛】方法点睛：求奇偶函数在对称区间的解析式，一般利用代入法求解析式.17．【分析】推导出函数是周期为的周期函数可得出再由可求得结果【详解】当时则对任意都有（为非零实数）则由可得所以函数是周期为的周期函数因此故答案为：【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性奇偶性和周期性在解析：a【分析】推导出函数()f x 是周期为2的周期函数，可得出()()20211f f =，再由()01f =可求得结果. 【详解】当[)0,1x ∈时，()2xf x =，则()0021f ==，对任意x ∈R ，都有()()1f x f x a ⋅+=（a 为非零实数），则()()10f f a ⋅=，()1f a ∴=，由()()1f x f x a ⋅+=可得()()21f x f x a +⋅+=，()()2f x f x ∴+=，所以，函数()f x 是周期为2的周期函数，因此，()()20211f f a ==. 故答案为：a . 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.18．【分析】由对称性奇偶性得出周期性然后再结合周期性和奇偶性进行计算【详解】因为则又函数为奇函数所以所以是周期函数周期为4又所以故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性对称性周期性函数具有两个对解析：1316-【分析】由对称性、奇偶性得出周期性，然后再结合周期性和奇偶性进行计算．【详解】因为(1)(1)f x f x -=+，则()(2)f x f x =-，又函数为奇函数，所以()()(2)(2)(4)f x f x f x f x f x =--=-+=--=+，所以()f x 是周期函数，周期为4．又125log 254-<<-，所以111122222252525(log 25)(4log 25)(log )(log )(log )161616f f f f f =+==--=-225log 163253132416416⎛⎫=--=-+=- ⎪⎝⎭．故答案为：1316-．【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性．函数()f x 具有两个对称性时，就具有周期性．（1）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于直线xn =对称，则()f x 是周期函数，4m n -是它的一个周期；（2）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于点(,0)n （m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期；（3）()f x 的图象关于直线x m =对称，又关于直线x n =（m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期．19．①②④【分析】根据函数递推关系计算判断①求出时函数的值域然后由递推关系确定函数在上的值域判断②④解方程判断③【详解】①由题意又∴依此类推可得是负整数时设∴时①正确；②又当时时∴时的值域是又时依此类推解析：①②④ 【分析】根据函数递推关系计算(2)mf ，判断①．求出(1,2]x ∈时，函数的值域，然后由递推关系确定函数在(0,)+∞上的值域，判断②④．解方程()219nf +=判断③．【详解】①由题意(2)220f =-=，又()()2 2 f x f x =，∴2(2)2(2)f f =，322(2)2(2)2(2)f f f ==，依此类推可得1(2)2(2)0m m f f -==，*m N ∈，1(1)(2)02f f ==，m 是负整数时，设,*m k k N =-∈，11111111(2)()()()(1)0222222k k k k kf f f f f ---======，∴m Z ∈时，(2)0m f =，①正确；②(1,2]x ∈，()2[0,1)f x x =-∈，又(2)2()f x f x =，当(2,4]x ∈时，()2()[0,2)2xf x f =∈，1(2,2]n n x +∈时，()2()[0,2)2n n n xf x f =∈，∴1x >时，()f x 的值域是[0,1)[0,2)[0,2)[0,)n =+∞，又1(,1]2x ∈时，11()(2)[0,)22f x f x =∈，依此类推01x <<时，都有()0f x ≥，综上()f x 在(0,)+∞上的值域是[0,)+∞．②正确；③当0n ≤且n Z ∈时，(21)2(21)121n n n f +=-+=-<，不可能等于9，当*n N ∈时，()11121212(1)221219222n n n n n n n n f f f ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+=+=⨯--=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，210n =，与n Z ∈矛盾．③错误；④根据函数上面的推导知()f x 在1(2,2]n n +上单调递减，1(2)0n f +=，n Z ∈，因此函数()y f x =在区间(),a b 上是严格减函数的充要条件是存在k ∈Z ，使得()1(,)2,2k k a b +⊆，④正确．故答案为：①②④．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的定义，考查函数的单调性与值域，分段函数值的计算．关键在求函数的值域．我们在1x >时，通过函数性质(2)2()f x f x =得出()f x 在1(2,2]n n +的值域是[0,2)n ，然后由这无数的集合求并集得出1x >时函数值的取值范围．20．且【分析】令即可求出定义域【详解】令解得且所以函数定义域为且故答案为:且【点睛】本题考查了函数定义域的求解属于基础题解析：{1x x ≥-且}2x ≠ 【分析】令1020x x +≥⎧⎨-≠⎩即可求出定义域.【详解】令1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠，所以函数定义域为{1x x ≥-且}2x ≠ 故答案为: {1x x ≥-且}2x ≠. 【点睛】本题考查了函数定义域的求解，属于基础题.21．【分析】利用判别式法求得函数的值域【详解】由于所以函数的定义域为由化简得即关于的一元二次方程有解时存在符合题意时由即即解得综上可得的值域为故答案为：【点睛】本小题主要考查分式型函数值域的求法属于中档题解析：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用判别式法求得函数的值域. 【详解】由于22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以函数2211x x y x x -+=++的定义域为R ，由2211x x y x x -+=++化简得221yx yx y x x ++=-+，即()()21110y x y x y -+++-=，关于x 的一元二次方程有解，1y =时，存在0x =，符合题意，1y ≠时，由()()221410y y ∆=+--≥，即231030y y -+≤，即()()3310y y --≤，解得(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，综上可得2211x x y x x -+=++的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查分式型函数值域的求法，属于中档题.22．1【分析】根据幂函数的定义与性质列不等式求出的取值范围再验证是否满足条件即可【详解】幂函数在上单调递减所以的整数值为0或12；当时不是偶函数；当时是偶函数；当时不是偶函数；所以整数的值是1故答案为：解析：1 【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出m 的取值范围，再验证是否满足条件即可．【详解】幂函数223()mm f x x --=在(0,)+∞上单调递减，所以2230m m --<，13m -<<，m 的整数值为0或1，2；当0m =时，3()-=f x x 不是偶函数；当1m =时，4()f x x -=是偶函数；当2m =时，3()-=f x x 不是偶函数；所以整数m 的值是1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．23．3【分析】由幂函数为偶函数且在（0+∞）上是单调递减函数可得m2-2m-3＜0且m2-2m-3为偶数m ∈Z 且解出即可【详解】∵幂函数为偶函数且在上是减函数∴且为偶数且解得12且只有时满足为偶数∴故答解析：3 【分析】由幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m 2-2m -3＜0，且m 2-2m -3为偶数，m ∈Z ，且1=1a -．解出即可．【详解】∵幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -. 解得13m -<<，0m =，1，2，且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数. ∴1m =.3a m +=故答案为：3. 【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.24．(－10)∪(01)【分析】首先根据奇函数f(x)在(0＋∞)上为增函数且f(1)＝0得到f(－1)＝0且在(－∞0)上也是增函数从而将不等式转化为或进而求得结果【详解】因为f(x)为奇函数且在(0解析：(－1，0)∪(0，1) 【分析】首先根据奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，得到f (－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，进而求得结果.【详解】因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数.因为()()f x f x x --＝2·()f x x<0，即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(－1，0)∪(0，1).故答案为：(－1，0)∪(0，1). 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.25．2【分析】利用确定函数的周期再结合偶函数性质求值【详解】用x+1代换x 得即f(x+2)=f(x)f(x)为周期函数T=2又是偶函数所以故答案为：2【点睛】本题考查由函数的周期性和奇偶性求函数值属于中解析：2 【分析】利用()()1f x f x +=-确定函数的周期，再结合偶函数性质求值．【详解】用x +1代换x ，得[]()()(1)+1(+1)f x f x f x f x +=-=--=⎡⎤⎣⎦，即f (x +2)=f (x )，f (x )为周期函数，T =2，又 2log 83=， ()f x 是偶函数，所以()()()()121log 831122f f f f -⎛⎫===-== ⎪⎝⎭，故答案为：2．【点睛】本题考查由函数的周期性和奇偶性求函数值，属于中档题.函数()f x 若满足()()f x a f x +=-，1()()f x a f x +=等时，则此函数为周期函数，且2a 是它的一个周期．26．-1【解析】试题解析：-1 【解析】试题因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性．。

2020-2021学年上海市华东师范大学第一附属中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市华东师范大学第一附属中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列写法正确的是（） A ．{}0(0,1)∈ B ．0∈∅C ．{}21x x ∅⊆=D ．{}(,)0x y x y ∅∈⋅≥【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系直接判断即可. 【详解】对A ，该集合是以点为元素的，故错误；对B ，空集不含有任何元素，故错误；对C ，空集是任何集合的子集，故正确；对D ，{}(,)0x y x y ∅⊆⋅≥，故错误. 故选：C2．设54log 6,log 5a b ==，则用,a b 表示lg 24=（） A ．3142a ab +-B ．2221ab b ++C ．321ab ab ++D ．233a bb++ 【答案】B【分析】将lg 24转化为以5为底数的对数，然后结合换底公式计算即可. 【详解】由4log 5b =，所以54555log 511log 5log 2log 42log 22b b===⇒= 5555551log 24log 4log 6lg 241log 10log 2log 512ab b++====++2221ab b ++故选：B3．若存在实数a ，使得不等式2326x x a a ++-≤-成立，则实数x 的取值范围为（） A ．(][),54,-∞-+∞B ．][)(,15,-∞⋃+∞ C ．[]5,4-D ．[]1,5【答案】D【分析】利用绝对值三角不等式求出代数式32x x ++-的最小值，可得出关于a 的不等式，进而可解得实数a 的取值范围.【详解】由于存在实数a ，使得不等式2326x x a a ++-≤-成立，则()2min 632a a x x -≥++-，由绝对值三角不等式可得()()32325x x x x ++-≥+--=，所以，265a a -≥，即2650a a -+≤，解得15a ≤≤. 故选：D.4．已知函数()y f x =，其中2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2b x a=-对称，据此可推测，对任意的非零实数,,,,,,a b c m n p 关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,4,8【答案】D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中182422++≠. 故选：D.【点睛】方法点睛：对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.二、填空题5．已知集合{}{}222,,1,A y y x x x R B y y x x R ==+∈==-∈，则A B =______【答案】[]1,1-【分析】化简集合A ，B ，根据交集运算求解. 【详解】{}{}222,(1)1,[1,),A y y x x x R y y x x R ==+∈==+-∈=-+∞{}21,(,1]B y y x x R ==-∈=-∞ [1,1]A B ∴⋂=-,故答案为：[]1,1-6．已知方程22430x x +-=的两个根为1x ､2x ，则1211x x +=___________. 【答案】43【分析】利用韦达定理代入求解即可.【详解】由方程22430x x +-=的两个根为1x ､2x ，利用韦达定理得：1212232x x x x +=-⎧⎪⎨⋅=-⎪⎩，1212121143x x x x x x ++==⋅. 故答案为：43. 7．能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________. 【答案】1?,1-（答案不唯一）【详解】分析：举出一个反例即可．详解：当11a b =>=-时，1111a b=<=-不成立，即可填1,1-．点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力． 8．不等式122x x ->-的解集是____________（用区间表示）【答案】(2,3)【分析】根据分式不等式的解法直接计算即可. 【详解】()()132********x xx x x x x -->⇒>⇒--<⇒<<-- 故()2,3x ∈ 故答案为：(2,3)9．函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为_______. 【答案】1(1,)2--【分析】根据抽象函数定义域得到不等式1210x -<+<，计算可得到答案. 【详解】函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数()21f x +的定义域满足，1210x -<+<，解得112x -<<-.故答案为：1(1,)2--.【点睛】本题考查了抽象函数定义域，意在考查学生对于定义域的理解掌握. 10．函数[]224(0,2)x x y x +=-∈的值域是_________【答案】[]0,4【分析】令2[1,4]xt =∈，转化为二次函数求值域即可. 【详解】[]0,2,x ∈则2[1,4]xt =∈，故24y t t =-+，对称轴方程为2t =，所以2max 2424y =-+⨯=，2min 4440y =-+⨯=，即函数值域为[]0,4y ∈ 故答案为：[]0,4【点睛】关键点点睛：利用换元法，转化为关于t 的二次函数是解题的关键，属于中档题.11．已知幂函数()y f x =的表达式为()()mf x xm R +=∈，()y g x =的表达式为()()n g x x n R +=∈，对于任意的()01,x ∈+∞，都存在()0,x x ∈+∞，使得()()0f x g x =，那么m 、n 的大小关系是m ______n .（填“>”、“<”、“=”）【答案】>【分析】分析得出00m n x x >，再由指数函数0xy x =的单调性可得出结果.【详解】当n +∈R 时，函数()ng x x =为()0,∞+上的增函数，当()0,x x ∈+∞时，()()00ng x g x x >=，所以，函数()g x 在区间()0,x +∞上的值域为()0,nx +∞，对于任意的()01,x ∈+∞，都存在()0,x x ∈+∞，使得()()0f x g x =，则()()000,m n f x x x =∈+∞，00m nx x ∴>，由于指数函数0xy x =为增函数，所以，m n >.故答案为：>.12．设定义域均为D 的两个函数(),()y f x y g x ==，其值域依次为[],a b 和[],c d ，有下列4个命题：①“a d >”是“12()()f x g x >对任意12,x x D ∈恒成立”的充分非必要条件； ②“a d >”是“12()()f x g x >对任意12,x x D ∈恒成立”的必要非充分条件； ③“a d >”是“()()f x g x >对任意x D ∈恒成立”的充分非必要条件； ④“a d >”是“()()f x g x >对任意x D ∈恒成立”的必要非充分条件；其中正确的命题是___________（请写出所有正确命题的序号）【答案】③【分析】由a 为函数()f x 的最小值，d 为函数()g x 的最大值，即可判断出①②错；()()a d f x g x >⇒>对任意x D ∈恒成立，但反之不成立，举反例()32,()22,[1,2]f x x g x x x =+=+∈即可说明③对④错.【详解】因为a 为函数()f x 的最小值，d 为函数()g x 的最大值，所以12()()a d f x g x >⇔>对任意12,x x D ∈恒成立，所以“a d >”是“12()()f x g x >对任意12,x x D ∈恒成立”的充要条件，所以①②都错；()()a d f x g x >⇒>对任意x D ∈恒成立，但是对任意x D ∈恒成立不能得出结论a d >，比如：()32,()22,[1,2]f x x g x x x =+=+∈，()()0f x g x x -=>，即()()f x g x >恒成立，但()[5,8],()[4,6]f x g x ∈∈，即5,6a d ==，此时a d <，得不到a d >，所以③对④错，故答案为：③.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关函数恒成立问题以及充分条件与必要条件的判定，正确解题的关键是要熟练掌握恒成立的条件，以及充分必要条件的定义.13．设0,1a a >≠，函数2log (3)a y x =+有最小值，则不等式log (2)0a x ->的解集为_____ 【答案】(3,)+∞【分析】根据对数复合函数单调性的性质，分类讨论进行求解即可.【详解】二次函数2()3g x x =+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因为233x +≥，所以函数2log (3)a y x =+的定义域为全体实数，当1a >时，函数2log (3)a y x =+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以函数2log (3)a y x =+有最小值，log (2)0log (2)log 1213a a a x x x x ->⇒->⇒->⇒>，当01a <<时，函数2log (3)a y x =+在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，所以函数2log (3)a y x =+没有最小值，故不等式log (2)0a x ->的解集为(3,)+∞，故答案为：(3,)+∞14．已知,a b ∈R ，且34a b =+，则128ab +的最小值为________. 【答案】8【分析】代入计算并结合基本不等式即可得到结果.【详解】由34a b =+，则34111221688888a b b b b b ++=+=⋅+≥= 当且仅当11688bb⋅=时，取等号，故128ab +的最小值为8 故答案为：8 15．已知2()log 2xf x -=，若()5f a =，则()f a -=________. 【答案】-7【分析】利用函数y x 为奇函数的特性，建立()f a 与()f a -的等量关系即可.【详解】因为)222()log log 1log f x x -===--()()))22log 11log 2f x f x x x +-=---=-.所以()()()52f a f a f a +-=+-=-，()7f a -=-. 故答案为:-716．已知1a >，若[]{}2,log log 3,,2,a a a a y x y x a a ⎡⎤⊆+=∈⎣⎦则a 的取值范围是______.【答案】12a <≤【分析】先求出221[,]2y a a ∈，由题得212a a ≤，且1a >，解不等式得解. 【详解】由题得33log 3,,a a xy xy a y x=∴=∴=，因为[,2]x a a ∈，所以221[,]2y a a ∈，因为2221,[2],a a a a ⎡⎤⊆⎣⎦，所以212a a ≤，且1a >，所以12a <≤. 故答案为：12a <≤【点睛】方法点睛：解答集合的问题，首先要看“|”前集合元素的形式，确定准确是一个什么元素组成的集合.三、解答题17．已知集合{}260A x x x =--<，612B xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}22430(0,)C x x ax a a a R =-+<≠∈，若“x A B ∈”是“x C ∈”的必要非充分条件，求a 的取值范围. 【答案】4a ≤-或203a -≤<或0a >. 【分析】分别得到集合,A B ，然后讨论0a >，0a <的情况，简单计算即可. 【详解】由()()26023023x x x x x --<⇒+-<⇒-<<6441004222x x x x x x ++≤⇒≤⇒≥⇒≤----或2x > {}{}{266023,142A x x x x x B x x x x ⎧⎫=--<=-<<=≤=≤-⎨⎬-⎩⎭或}2x >{4A B x x ⋃=≤-或}2x >，当0a >时，集合{}3C x a x a =<<，由“x A B ∈”是“x C ∈”的必要非充分条件,所以34a ≤-或2a ≥-所以0a >当0a <时，集合{}3C x a x a =<<，由“x AB ∈”是“xC ∈”的必要非充分条件，所以32a ≥-或4a ≤-所以4a ≤-或203a -≤< 综上所述：4a ≤-或203a -≤<或0a >18．已知226()(57)a f x a a x -=-+，若函数()y f x =是幂函数且为奇函数.（1）求()y f x =的解析式；（2）记1()()()2f x f xg x -=，判断函数()y g x =的单调性，并用定义证明. 【答案】（1）3()f x x =；（2）()g x 在(0,)+∞和(,0)-∞上分别为增函数，证明见解析.【分析】（1）根据幂函数的定义以及性质直接计算即可.（2）根据（1）的条件可得()g x ，然后利用定义法（取值，作差，化简，断号，结论）证明该函数的单调性.【详解】（1）由题知2571a a -+=解得2a =或3a =，当2a =时2()f x x -=不是奇函数，舍去；当3a =时，3()f x x =满足题意（2）331()2x x g x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，()g x 在(0,)+∞和(,0)-∞上分别为增函数.由()()333311()()22x x x x g x g x -----==-=-，故函数()g x 为奇函数所以函数在(0,)+∞和(,0)-∞的单调性相同令12,(0,)x x ∈+∞且12x x <()3333121233331221121111()()22x x x x x x x x g x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-==所以()()333333121212333*********()()22x x x x x x x x x x g x g x ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-== 由12x x <且12,(0,)x x ∈+∞，所以3312332110,10x x x x -<+>，所以12()()0g x g x -<，即12()()<g x g x 所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增，由于函数()g x 在定义域中为奇函数，所以函数()g x 在(,0)-∞单调递增所以()g x 在(0,)+∞和(,0)-∞上分别为增函数 19．已知2()21f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）311,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】（1）根据绝对值的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据绝对值的性质进行求解即可.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-，当4x ≥时，1111434434,4,22x x x x x x x -+-≥⇒-+-≥⇒≥≥∴≥；当34x <<时，43443414x x x x -+-≥⇒-+-≥⇒≥，显然不成立；当3x ≤时，33434434,3,22x x x x x x x -+-≥⇒-+-≥⇒≤≤∴≤，所以原不等式的解集为：311,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）2222()212121(1)f x x a x a a x x a a x x a a =-+-+=-+-+≥-+-+=-，要想()4f x ≥对一切x ∈R 恒成立，则有22(1)4230a a a -≥⇒--≥，解得3a ≥或1a ≤-，所以实数a 的取值范围是(][),13,-∞-+∞20．心理学家研究发现：学生的注意力集中度随老师讲课时间变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，注意力集中度增加，中间一段时间，学生注意力集中度保持在理想状态，随后学生的注意力开始分散，注意力集中度下降.高一综合课题研究小组设计用函数模型()y f x =，其中(),()1()1,()1g x g x f x g x <⎧=⎨≥⎩（其中2()axg x x b =+）表示学生注意力集中度随时间x 的变化规律（()f x 越大，表明学生注意力集中度越高，()1f x =表明学生注意力集中度为理想学习值）.通过实验，平均下来，同学们上课后4分钟注意力集中度恰好进入理想学习值，到40分钟下课时注意力集中度减退为0.4. （1）试确定,a b 的值；（2）根据这个函数模型，讲课开始后多少分钟，学生的注意力开始减退？（不必证明）（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力度至少达到0.6，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的注意力集中度下讲授完这道题目？【答案】（1）16.5,50a b ==;（2）开始后12.5分后开始下降；（3）不能够.【分析】（1）由(4)1(40)0.4g g =⎧⎨=⎩可得答案；（2）由[)()21,412.5()16.5,0,412.5,50x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨∈⋃+∞⎪+⎩可得答案；（3）当24x =时计算216.524()2450f x ⨯=+可得答案. 【详解】（1）由(),()1()1,()1g x g x f x g x <⎧=⎨≥⎩得(4)1(40)0.4g g =⎧⎨=⎩，即4116400.41600a b a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得16.550a b =⎧⎨=⎩. 所以16.5,50a b ==；（2）[)()21,412.5()16.5,0,412.5,50x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨∈⋃+∞⎪+⎩，所以讲课12.5分钟后学生的注意力开始减退.（3）当24x =时，216.524()0.6330.62450f x ⨯=≈>+ 所以老师不能在学生达到所需要的注意力集中度下讲授完这道题目.21．若函数()()y f x x D =∈，对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M .（1）判断函数2x y =和2log y x =是否具有性质M ，并说明理由；（2）若函数[]8log (2)(0,)y x x t =+∈具有性质M ，求t 的值；（3）已知函数2222(0,)1x ax y a x R x ++=>∈+具有性质M ，求a 的值. 【答案】（1）2x y =具有性质M ；2log y x =不具有性质M ，理由见解析；（2）510t =；（3）a =【分析】（1）运用所给的定义，结合指数、对数的运算性质进行判断即可；（2）根据所给的定义，结合对数函数的单调性进行求解即可；（3）根据所给的定义，结合一元二次方程根的判断式和根与系数的关系进行求解即可【详解】（1）02221x x -⋅==，2x y ∴=具有性质M ；又因为1x =时，2log 10y ==，所以不具有性质M ；（2）因为[]8log (2)(0,)y x x t =+∈是单调递增函数，所以函数[]8log (2)(0,)y x x t =+∈值域为[]88log 2,log (2)t +，由题知()f x 具有性质M 等价于min max ()()1f x f x ⋅=，所以88log 2log (2)1t ⋅+=解得510t =；（3）2222222(1)22(2)(2)01x ax y x y x ax y x ax y x ++=⇒+=++⇒-++-=+，该方程有实数根，因为当0x =时，2y =，所以当2y ≠时有22224(2)0416160a y y y a ∆=--≥⇒-+-≤，由题意可知：函数2222(0,)1x ax y a x R x ++=>∈+具有性质M ，设22416160y y a -+-=的两个实根为12,y y ，则有2121614a y y -==，因为0a >，所以解得：a =【点睛】关键点睛：解决本题的关键是对题中所给定义的理解，对指数运算和对数运算性质的掌握，以及判别式法的应用.。

上海华师大二附中高一数学上册《集合与命题、不等式》

上海华师大二附中2015届高一数学上册《集合与命题、不等式》单元测试题沪教版一、填空题：（每题4分，共40分）1.已知集合},02{2R x x x x A ∈=--=，集合}31|{≤≤=x x B ，则A ∩B = .2.集合{}52<<-=x x A ，集合{}121-≤≤+=m x m x B ，若A B ⊆，且B 为非空集合，则m 的取值范围为 . 3.命题“若实数b a ,满足,7<+b a 则2=a 且3=b ”的否命题是 . 4. “y x >”是“y x >”的条件.5. 不等式1312>+-x x 的解是 6. 已知不等式052>+-b x ax 的解集是}23|{-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解是___________ .7. 不等式（1＋x ）（1－｜x ｜）＞0的解集是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽8.设集合(){}()(){}521,,31,2+-==-==x m y y x B x y y x A ，其中R m R y x ∈∈,,.若∅=⋂B A ，则实数m 的取值范围是 .9.集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，全集U 有18个元素，B A I ≠φ.设集合)(B A C U Y 有x 个元素，则x 的取值集合为______________.10.已知非空集合{},6,5,4,3,2,1⊆S 满足：若S a ∈，则必有S a ∈-7.问这样的集合S 有个将该问题推广到一般情况： . 二、选择题（每题5分，共20分）11.设{}{}为质数，为合数x x B x x A ==，N 表示自然数集，若E 满足N E B A =⋃⋃，则这样的集合E （）Ａ.只有一个；Ｂ.只有两个Ｃ.至多３个Ｄ.有无数个1２.定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（）A.0B.6C.12D.181３.四个条件：a b >>0；b a >>0；b a >>0；0>>b a 中，能使ba 11<成立的充分条件的个数是( )A.1B.2C.3D.414. 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A ．c b c a b a -+-≤-B ．a a a a 1122+≥+C ．a a a a -+<+-+213D ．21≥-+-ba b a三、解答题：（8+10++10+12=40分）１5. 若集合{}{}2230,,0,A x x mx x R B x x x n x R =+-=∈=-+=∈，且{}3,0,1A B =-U ，求实数,m n 的值。

2023届上海市华东师大一附中高一上数学期末联考模拟试题含解析

2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
f (x) cos 4x 1 cos2 x sin2 x
19．已知函数
2
cos
2
2x
．
（1）求函数 f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在所给坐标系中画出函数在区间
3 8
,
11 8
的图象（只作图不写过程）．
20．已知函数 f (x) = ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设 g x f x 6x 10
5
D.幂函数 f x 的图象过点 2, 2 ，则 f 3 9
2．命题"x (0, ), x 1 x
A. x (0, ), x 1 3 x
C. x (0, ), x 1 3 x
3 的否定是（
）
B. x (0, ), x 1 3 x
D. x (0, ), x 1 3 x
.3．
f
x
sin
2x
6
向左平移
6
个单位，再向上平移
1
个单位后与
g x 的图象重合，则 (
)
A. g x 为奇函数
B. g x 的最大值为 1
C.
g
x
的一个对称中心为
3
,1
D. g x 的一条对称轴为 x

上海市名校历年高一开学分班考真题专项(等式与不等式)汇编(2023版,附答案)

上海市名校历年高一开学分班考真题专项（等式与不等式）汇编一、单选题
A ．55a b ->-
B ．66a b >
二、填空题
三、解答题
、(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB BC 游客要在DEF
面积越大越好.设内喂鱼，希望DEF
(2)现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在
∠=（如图2），游客希望DEF
周长越小越好.设FEC
（1）试用解析式将y表示成（2）求三角形池塘OEF
参考答案一、单选题
A ．55a b ->-
B ．66a b >
二、填空题
＜=1+x
y=1+x是一个增函数
【答案】
【过程详解】试卷详细分析：
【名师点睛】本题考查分式不等式的解法，考查高次不等式
29．（2020∙上海∙高一开学考试）已知|a|<1，则
1
1a
+
与1－
【名师点睛】本题主要考查函数综合应用和均值不等式的应用，本题的关键在于由函数图像得出属于基础题.
35．（2020∙上海∙高一开学考试）关于
三、解答题
【过程详解】试卷详细分析：由已知得：的两个根是或，那么根据根与系数的关系，解得，代入所解不等式，，解得
考点：1．二次不等式的解法；
、(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB BC 游客要在DEF
内喂鱼，希望DEF
面积越大越好.设(2)现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在
（1）试用解析式将y表示成（2）求三角形池塘OEF。

2021年上海华东师范大学附属中学高一数学理联考试题含解析

2021年上海华东师范大学附属中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于（）。

A．72 B． 66 C．60 D．30参考答案：A2. 为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．3. 函数f（x）=的图象是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的定义域，特殊值，结合选项可选出答案．【解答】解：由函数式子有意义可知x≠±1，排除A；∵f（0）=1，排除D；∵当x＞1时，|1﹣x2|＞0，1﹣|x|＜0，∴当x＞1时，f（x）＜0，排除B．故选C．【点评】本题考查了函数图象判断，是基础题．4. 设函数，用二分法求方程的近似根过程中，计算得到，则方程的根落在区间A．B．C．D．参考答案：A5. 不等式的解集为（）A、B、C、D、参考答案：D6. 函数的值域是A. B. C. D.参考答案：C略7. 下列函数中，最小正周期不是的是（）A. B.C. D.参考答案：C8. 已知，若，则下列不等式成立的是()A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除.【详解】解：选项A：取，此时满足条件，则，显然，所以选项A错误；选项B：取，此时满足条件，则，显然，所以选项B错误；选项C：因为，所以，因为，所以，选项C正确；选项D：取，当，则，所以，所以选项D错误；故本题选C.【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.9. 在中，角C为最大角，且，则是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定参考答案：B10. 若f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】函数的值．【分析】由已知得f（﹣2）=﹣（﹣2）=2，从而f（f（﹣2））=f（2）=22=4．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=﹣（﹣2）=2，f（f（﹣2））=f（2）=22=4．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在表面积为12π的球的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算．【解答】解：∵正三棱锥P ﹣ABC ，PA ，PB ，PC 两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ，表面积为12π的球的 ∵球O 的半径为，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2，球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积V=S △ABC ×h=S △PAB ×PC=××2×2×2=， △ABC 为边长为2的正三角形，S △ABC =×（2）2=2，∴h=，∴球心（即正方体中心）O 到截面ABC 的距离为﹣=．故答案为：．12. 设函数若是奇函数，则的值是。

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上海市华东师范大学2014-2015学年高一上学期入学数学试卷一．选择题以下每小题为10分，满分150分1．（10分）有一种测验可以随时在网上报名．若某人用过这种测验的概率是0.5，且他连续两次参加测验，则其中有一次通过的概率是（）A．B．C．D．2．（10分）已知a为正整数，且关于x的方程lg（4﹣2x2）=lg（a﹣x）+1有实根，则a等于（）A．1 B．1或2 C．2 D．2或33．（10分）已知等比数列，a 1=2，公比q=2，其前n项和为S n，前n项积为T n，那么，等于（）A．0 B．1 C．D．24．（10分）设F1，F2是双曲线﹣=1的焦点，P是双曲线上一点．若P到F1的距离为9，则P到F2的距离等于（）A．0 B．17 C．D．25．（10分）下列函数中，既是奇函数又在上是单调递减的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x﹣1|C．f（x）=（a x+a﹣x）（a＞0，a≠1）D．f（x）=ln6．（10分）已知c是实数，二次方程x2+x+c=0有两个复数根a，b．若|a﹣b|=3，则c=（）A．B．C．﹣2 D．27．（10分）函数f（x）=a x+log a（x+1）在上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2 D．48．（10分）由动点P向圆x2﹣y2=2引两条切线PA，PB，切点分别是A，B．若∠APB=60°，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线9．（10分）如果（1﹣2x）9的展开式中第三项等于288，则（++…+）等于（）A．B．C．1 D．210．（10分）过三角形OAB的重心G的直线L分别与边OA，OB交于点P，Q，已知=m倍的，=n倍的，则（）A．m+n=B．m+n=C．+=D．+=311．（10分）已知{a n}为等差数列，a2+a3+a4=30，a5+a6=40，则公差d等于（）A．2 B．2 C．4 D．512．（10分）已知集合M={x|sinx＞cosx，0＜x＜π}和N={x|sin2x＞cos2x，0＜x＜π}，则M与N的交集为（）A．（，π）B．（，）C．（，）D．（，π）13．（10分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=（）A．0 B．1 C．3 D．514．（10分）一个酒杯的截面是抛物线的一部分，其方程x2=2y（0≤y≤20），杯内放入一个球，要使球触及杯底部，则球的半径的取值范围为（）A．（0，1] B．（0，] C．（0，] D．（0，] 15．（10分）棱长为1的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积等于（）A．2πB．C．3πD．4π上海市华东师范大学2014-2015学年高一上学期入学数学试卷参考答案与试题解析一．选择题以下每小题为10分，满分150分1．（10分）有一种测验可以随时在网上报名．若某人用过这种测验的概率是0.5，且他连续两次参加测验，则其中有一次通过的概率是（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求解．解答：解：他连续两次参加测验，其中有一次通过的概率：p==．故选：C．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．2．（10分）已知a为正整数，且关于x的方程lg（4﹣2x2）=lg（a﹣x）+1有实根，则a 等于（）A．1 B．1或2 C．2 D．2或3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，可得x2﹣5x+（5a﹣2）=0，由△≥0即可求得a的值．解答：解：∵lg（4﹣2x2）=lg（a﹣x）+1，∴lg（4﹣2x2）=lg10（a﹣x），∴，由4﹣2x2=10（a﹣x），得x2﹣5x+（5a﹣2）=0，依题意，△=25﹣4（5a﹣2）=32﹣20a≥0，∴a≤，又a为正整数，∴a=1．故选：A．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，着重考查等价转化思想与解方程的能力，属于中档题．3．（10分）已知等比数列，a 1=2，公比q=2，其前n项和为S n，前n项积为T n，那么，等于（）A．0 B．1 C．D．2考点：极限及其运算．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知求出S n，T n，代入得答案．解答：解：由已知得，，，∴===．故选：A．点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了数列的极限，是基础题．4．（10分）设F1，F2是双曲线﹣=1的焦点，P是双曲线上一点．若P到F1的距离为9，则P到F2的距离等于（）A．0 B．17 C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a=12，已知|PF1|=9，进而可求|PF2|．解答：解：∵双曲线﹣=1得：a=4，由双曲线的定义知||PF1|﹣|PF2||=2a=8，|PF1|=9，∴|PF2|=1（不合，舍去）或|PF2|=17，故|PF2|=17．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a，是解题的关键，属基础题．5．（10分）下列函数中，既是奇函数又在上是单调递减的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x﹣1|C．f（x）=（a x+a﹣x）（a＞0，a≠1）D．f（x）=ln考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确．解答：解：f（x）=sinx是奇函数，但其在区间上单调递增，故A错；∵f（x）=﹣|x﹣1|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x﹣1|≠﹣f（x），∴f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；∵a＞1时，y=a x在上单调递增，y=a﹣x上单调递减，∴f（x）=（a x+a﹣x）（a＞0，a≠1）在上单调递增，故C错；故选：D．点评：题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题．6．（10分）已知c是实数，二次方程x2+x+c=0有两个复数根a，b．若|a﹣b|=3，则c=（）A．B．C．﹣2 D．2考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．解答：解：∵二次方程x2+x+c=0有两个复数根a，b．∴a+b=﹣1，ab=c．∵|a﹣b|=3，∴3=，∴3=，解得c=﹣2．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．7．（10分）函数f（x）=a x+log a（x+1）在上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2 D．4考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：f（x）在上，当a＞1时是增函数；当0＜a＜1时是减函数；由单调性分析可得f （0）+f（1）=a，即可解得a=．解答：解：f（x）是上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+log a2=a⇔log a2=﹣1，∴2=a﹣1⇔a=．故选B点评：可分类讨论做．因为单调性不变，也可合二为一做．8．（10分）由动点P向圆x2﹣y2=2引两条切线PA，PB，切点分别是A，B．若∠APB=60°，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线考点：轨迹方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由已知不难发现，动点P到原点的距离等于已知圆的半径的2倍，可求结果．解答：解：由题设，在直角△OPA中，OP为圆半径OA的2倍，即OP=2，∴点P的轨迹方程为x2+y2=4．故选：B．点评：本题考查圆的切线方程，圆的定义，考查转化思想，是基础题．9．（10分）如果（1﹣2x）9的展开式中第三项等于288，则（++…+）等于（）A．B．C．1 D．2考点：数列的极限．专题：计算题；二项式定理．分析：由（1﹣2x）9的展开式中第三项等于288求出x，然后利用等比数列的求和公式求和，则（++…+）可求．解答：解：（1﹣2x）9的展开式中第三项为，解得．∴++…+=．∴（++…+）=．故选：D．点评：本题考查了二项式定理，考查了等比数列的前n项和，考查了数列极限的求法，是中档题．10．（10分）过三角形OAB的重心G的直线L分别与边OA，OB交于点P，Q，已知=m倍的，=n倍的，则（）A．m+n=B．m+n=C．+=D．+=3考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：根据三角形重心的性质，得=+，进而得到关于向量、的表达式，再根据已知条件得关于向量、的表达式，利用向量共线的条件列式，化简整理可得本题的答案．解答：解：∵G是△OAB的重心，∴点G在△OAB的中线OC上，且=，∵=（+），∴=×（+）=+，∵=m，=n，∴=﹣=n﹣m，又∵=﹣=（m﹣）﹣，、是共线向量∴（m﹣）×n=（﹣m）×（﹣），整理得+=3，故选：D点评：本题以三角形的重心为载体，求满足条件的一个等式，着重考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理等知识，属于基础题．11．（10分）已知{a n}为等差数列，a2+a3+a4=30，a5+a6=40，则公差d等于（）A．2 B．2 C．4 D．5考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合a2+a3+a4=30求得a3，代入a5+a6=40求得d的值．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a2+a3+a4=30，∴3a3=30，a3=10，又a5+a6=40，∴2a3+5d=40，即5d=20，d=4．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．12．（10分）已知集合M={x|sinx＞cosx，0＜x＜π}和N={x|sin2x＞cos2x，0＜x＜π}，则M与N的交集为（）A．（，π）B．（，）C．（，）D．（，π）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．解答：解：由M中sinx＞cosx，0＜x＜π，得到＜x＜π，即M=（，π），由N中sin2x＞cos2x，0＜2x＜2π，得到＜2x＜，解得：＜x＜，即N=（，），则M∩N=（，）．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．13．（10分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=（）A．0 B．1 C．3 D．5考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（x）=f（1﹣x），从而f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），进而f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，由此能求出结果．解答：解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=对称，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（+x）=f（﹣x），∴f（x）=f（1﹣x），∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x），f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0，故答案为：0．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．（10分）一个酒杯的截面是抛物线的一部分，其方程x2=2y（0≤y≤20），杯内放入一个球，要使球触及杯底部，则球的半径的取值范围为（）A．（0，1] B．（0，] C．（0，] D．（0，]考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y），求得点到圆心距离平方的表达式，进而根据若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底需1﹣y0≥0 进而求得r的范围．解答：解：设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y）点到圆心距离平方r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02，若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底，所以1﹣y0≥0，所以0＜y0≤1，所以0＜r≤1．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．15．（10分）棱长为1的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积等于（）A．2πB．C．3πD．4π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，知道棱长为1的正方体的对角线是，做出半径，利用圆的表面积公式得到结果．解答：解：∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是r=，∴球的表面积是4×π×=3π故选：C．点评：本题考查球内接多面体，注意在立体几何中，球与正方体的关系有三种，这是其中一种，还有球和正方体的面相切，球和正方体的棱相切，注意把三个题目进行比较．。