2013年高考真题分类汇编：考点54 坐标系与参数方程 Word版含解析
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换)
. AE D CBO第15题图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（18选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1. (2013北京理)如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.答案 954解析 由PD ∶DB ＝9∶16.设PD ＝9a ，DB ＝16a ，由切割线定理，PA 2＝PD·PB ，即9＝ 9a ×25a ，∴a ＝15，所以PD ＝95.在Rt △PAB 中，PB ＝25a ＝5，∴AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.2．(2013广东文) 如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠=，21DE ==【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.3. (2013广东理) 如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB=,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE =,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.4、(2013湖北理) 如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。
若3AB AD =，则CEEO的值为 。
【解析与答案】由射影定理知()()2222812AD AB AD CE CD AD BDEO OD OA AD AB AD -====-⎛⎫- ⎪⎝⎭【相关知识点】射影定理，圆幂定理图3OD EBA第15题图C5. (2013湖南理) 如图2的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点 1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【答案】23 【解析】 ，由相交弦定理得5,4==⇒⋅=⋅DC PC PC DP PB AP23)2(22=-=PC r d CD 的距离圆心到6． (2013陕西文) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = . B 【答案】.6 【解析】 ..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 7．(2013陕西理) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则 .【解析】.//BAD BCD PED BCD PE BC ⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 8． (2013天津文) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 . 【答案】152【解析】连结AC,则EAB ACB ADB ABD DCA ∠=∠=∠=∠=∠，所以梯形ABCD 为等腰梯形，所以5BC AD ==，所以24936AE BE CE =⋅=⨯=，所以6AE =,所以2222226543cos 22654AE AB BE EAB AE AB ++-===⋅⨯⨯.又2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅,即222355254BD BD =+-⨯⋅⨯，整理得21502BD BD -=，解得152BD =。
2013年高考试题分类汇编(坐标系与参数方程)
2013年高考试题选（极坐标与参数方程）1.（2013·陕西卷·理科）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆220y x x +-=的参数方程为 . 2.（2013·安徽卷·理科）在极坐标系中，圆=2cos ρθ于极轴的两条切线方程分别为A.0()R θρ=∈，cos 2ρθ=B.()2R πθρ=∈，ρC.()2R πθρ=∈，cos 1ρθ= D.0()R θρ=∈，cos 1ρθ=3.（2013·广东卷·文科）已知曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 .4.（2013·江西卷·理科）设曲线C 的参数方程为：2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .5.（2013·陕西卷·文科）圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是 .5.（2013·重庆卷·理科）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB = ．2.（2013·湖南卷·文科）在平面直角坐标系中，若直线1l ：21,x s y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数）和直线2l ：,21x at y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行，则常数a 的值为 .7.（2013·湖南卷·理科）在平面直角坐标系xoy 中，若:x tl y t a =⎧⎨=-⎩(t 为参数)过椭圆3cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为 .8.（2013·天津卷·理科）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=,圆心为C ,点P 的极坐标为(4,)3π,则CP = .9.（2013·北京卷·理科）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin 2ρθ=的距离等于 .10．（2013·福建卷·理科）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上.①求a 的值及直线l 的直角坐标方程；②圆C 的参数方程为1cos sinx y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），试判断直线l 与圆C 的位置关系.11.（2013·广东卷·理科）已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则l 的极坐标方程为 .12.（2013·辽宁卷·文理）在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,ρθ=cos()4πρθ-=.（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数）求,a b 的值. 13.（2013·全国卷Ⅰ·文理）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55cos x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）14.（2013·全国卷Ⅱ·文理）已知动点,P Q 都在曲线C ：2cos 2sin x y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=为（02απ<<），M 为PQ 的中点. （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.。
2013届江苏高三数学试题分类汇编：坐标系与参数方程 (选修4-4)
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 坐标系与参数方程1、（东莞市2013届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，圆以C 的参数方程是3cos 1sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 则 圆心C 的极坐标是 ． 答案：)6,2(π2、（佛山市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ． 答案：2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos 3sin 1ρθρθ+=） 3、（广州市2013届高三上学期期末）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 . 答案：24、（惠州市2013届高三上学期期末）直线2cos 1ρθ=与圆2cosρθ=相交的弦长为 ．【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为21211=-，所以弦长为3)21(122=- 5、（江门市2013届高三上学期期末）以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系) , (θρ（πθ20<≤），曲线C 的极坐标方程是2=ρ，正六边形ABCDEF 的顶点都在C 上，且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列。
若点A 的极坐标为)3, 2(π，则点B 的直角坐标为 ． 答案：)3 , 1(-6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数)，则曲线C 上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 。
答案：37、（汕头市2013届高三上学期期末）已知直线4sin cos :=-θρθρl ，圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）答案：相交8、（增城市2013届高三上学期期末）曲线⎩⎨⎧+==1t y t x （t 为参数且0>t ）与曲线⎩⎨⎧+==12cos cos θθy x （θ为参数）的交点坐标是 ． 答案：（1,2）11、（珠海市2013届高三上学期期末）在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 .答案：4。
2013年高考真题分类汇编：考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型 Word版含解析
考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1.（2013·四川高考理科·Ｔ9）节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A. 14 B. 12C. 34D. 78【解题指南】本题考查的是几何概型问题,首先明确两串彩灯开始亮是通电后4秒内任一时刻等可能发生,第一次闪亮相互独立,而满足要求的是两串彩灯第一次闪亮的时刻相差不超过2秒.【解析】选C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生,所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积,而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积,根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是123164，故选C.2.（2013·安徽高考文科·Ｔ5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）A.23B.25C. 35D.910【解题指南】 以甲、乙为选择对象分情况考虑，先组合再求概率。
【解析】选D.当甲、乙两人中仅有一人被录用时的概率2313536=22=1010C P C ?；当甲、乙两人都被录用时的概率132353=10C P C =，所以所求概率为12369+P =101010P P =+=。
3.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A. 12B.13C.14D. 16【解析】选B.从1，2，3，4中任取2个不同的数有6种，取出的2个数之差的绝对值为2有2种，则概率3162==P . 4. （2013·陕西高考理科·Ｔ5）如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 ( )A ． 14π-B. 12π-C ． 22π-D. 4π【解题指南】几何概型面积型的概率为随机事件所占有的面积和基本事件所占有的面积的比值求出该几何概型的概率.【解析】选A.由题设可知，矩形ABCD 的面积为2，曲边形DEBF 的面积为22π-，故所求概率为.41222ππ-=-5.（2013·江西高考文科·Ｔ4）集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）A. 23 B. 12 C. 13 D.16【解题指南】属于古典概型，列举出所有的结果是关键.【解析】选C.所有的结果为（2,1），（2,2），(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种，满足所求事件的有2种，所以所求概率为13.6. （2013·湖南高考文科·Ｔ9）.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为21，则ADAB=（ ）A.12B.14C.2 D.4【解题指南】本题的关键是找出使△APB 的最大边是AB 的临界条件，首先是确定AD<AB,然后作出矩形ABCD ，最后分别以A 、B 为圆心以AB 为半径作圆弧交CD 于F 、E ，当EF=21CD 时满足题意。
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---坐标系与参数方程
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---坐标系与参数方程 （2017全国1.理数.22）[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为 4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .【考点】：参数方程。
【思路】：（1）将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可（2）将参数方程直接代入距离公式即可。
【解析】：将曲线C 的参数方程化为直角方程为2219x y +=，直线化为直角方程为11144y x a =-+- （1）当1a =时，代入可得直线为1344y x =-+，联立曲线方程可得：22134499y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，解得21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或30x y =⎧⎨=⎩，故而交点为2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,0 （2）点3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩到直线11144y x a =-+-的距离为d =≤，即：3cos 4sin 417a θθ++-≤，化简可得()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--，根据辅助角公式可得()135sin 21a a θϕ--≤+≤-，又()55sin 5θϕ-≤+≤，解得8a =-或者16a =。
（2016全国1.理数.23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=Q ，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C∴210a -=,∴1a =考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.（2015全国1.理数.23）(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .23．解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．……5分 （Ⅱ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=， 解得122ρ=，22ρ． 故122ρρ-=2MN =2C 半径为1，所以2C MN ∆的面积为12．…10分（2014全国1.理数.23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.【解析】： (1) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为225； 当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为25. …………10分 （2013全国1.理数. 23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）.23. 将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=， 即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得， 28cos 10sin 160ρρθρθ--+=， ∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+= （Ⅱ）2C 的普通方程为2220x y y +-=， 由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 2,4π），(2,)2π.（2012全国1.理数. 23）23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxyϕϕ⎧⎨⎩＝，＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)．(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．23．解：(1)由已知可得A(π2cos3，π2sin3)，B(ππ2cos()32+，ππ2sin()32+)，C(2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D(π3π2cos()32+，π3π2sin()32+)，即A(1)，B(，1)，C(－1，，D，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．。
2013年高考数学预测新课标数学考点预测(20)：坐标系与参数方程
的曲线为 C，求在曲线 C 上到原点 O 距离最小的点 P 的坐标． 【 解 析 】
∵ OP 2 = (1 + cos θ ) 2 + ( 3 + sin θ ) 2
= 5 + 2 3 sin θ + 2 cosθ
= 5 + 4 sin(θ +
π 4 1 3 ) . 当 θ = 2kπ + π , k ∈ Z 时， OP 最小，此时点 P 的坐标为 ( , ) 6 3 2 2
1 2 ，联立消元得 2 x 2 + 2 2 x + 1 = 0 ，其判别式 x+ 2 2
所以压缩后的直线 C2′ 与椭圆 C1′ 仍然只有一个公共点， 和 C1 与 ∆ = (2 2)2 − 4 × 2 × 1 = 0 ，
C2 公共点个数相同．
）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P (x，y ) 是椭圆 6（2008 江苏卷理 21 21） 个动点，求 S = x + y 的最大值．
为参数，t∈R)． （Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 的普通方程； （Ⅱ）求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和. 【解析】 (Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y = x − 2 ；
………………………………2 分 ………………………………4 分
x y + =1． 4 3 (Ⅱ) ∵ F1 ( −1, 0) , F2 (1, 0) ，
（0， 2） . 将⎨
⎧x = t + 3 | 2−6| 去参数得方程为 x+y-6=0， 利用点到直线的距离公式得 d= =2 2; 2 ⎩y = 3−t
【答案】 （0，2） ；2 2 . （2007 广东卷文 14 ）在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρ sin θ = 3 ，则点 ⎜ 2， ⎟ 到直线 2. 2.（ 14）
从高考题型谈《极坐标系与参数方程选讲》的学习
从高考题型谈《极坐标系与参数方程选讲》的学习作者：胡彦红来源：《新课程·上旬》2013年第11期坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相互转化。
解析几何的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通过方程研究曲线的性质。
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标方程的，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。
某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便，参数法思想也成为解决数学问题的一种重要方法。
由于受我国几次高中数学课程改革对课程内容设置的影响，坐标系和参数方程这两部分内容在历年高考数学中的地位几经变化。
目前实施新课程的省市，都将本专题作为高考必考或选考的内容，分值占5到10分。
那么，对于选修课程如何教与学？如何在繁忙的学习中快速地掌握这章的基础知识？我想谈谈自己对这部分知识点的考查与复习的建议。
一、高考数学考试大纲分析（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；（3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程；（4）了解参数方程，了解参数的意义；（5）能选择恰当的参数写出直线，圆和椭圆的参数方程。
二、剖析新课标全国卷历年坐标系与参数方程题目三、几点感想纵观近五年对坐标系与参数方程的分析，我们对这一块的复习抓住以下几点：（1）明确课标要求把握教学难度。
如，对球坐标系和柱坐标系只要求学生通过实例了解，对双曲线和抛物线的参数方程由于三角函数难度的降低也应随之降低要求；（2）在坐标系的教学中可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体事例说明这样建立坐标系有哪些方便之处；（3）可以通过对具体物理现象的分析引入参数方程，使学生了解参数的作用；（4）应鼓励学生应用已有的平面向量，三角函数知识选择恰当的参数建立参数方程；（5）充分应用现代教育技术，利用计算机展现曲线的美，让学生感受数学的无穷魅力！（作者单位甘肃省会宁一中）编辑张珍珍。
高考数学(理)总复习教师用书选修4—4 坐标系与参数方程 Word版含答案
选修4—4 ⎪⎪⎪坐标系与参数方程第1课坐标系[课前回扣教材][过双基]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ＞，y ′＝μ·yμ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x4．常见曲线的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝r (0≤θ<2π)．(2)圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)． (3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)． (4)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2.(5)过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsin_θ＝a (0<θ<π)．[小题速通]1．已知曲线的极坐标方程为ρ＝4cos 2θ2－2，则其直角坐标方程为________________． 解析：由ρ＝4cos 2θ2－2， 得ρ＝2cos θ，即x 2＋y 2＝2x ，得(x －1)2＋y 2＝1. 答案：(x －1)2＋y 2＝12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________． 解析：把圆ρ＝2cos θ的方程化为(x －1)2＋y 2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.答案：θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝23．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3 4．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2引圆ρ＝8sin θ的一条切线，则切线长为________． 解析：点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2的极坐标化为直角坐标为A (0，－1)， 圆ρ＝8sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0， 圆的标准方程为x 2＋(y －4)2＝16， 点A 与圆心C (0,4)的距离为|AC |＝5， 所以切线长为|AC |2－r 2＝3. 答案：3[清易错]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一点的坐标．1．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________． 解析：将方程 ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3(答案不唯一)2．若圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy ，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是________．解析：因为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ－1＝0，即x 2＋y 2－2x －23y －1＝0，因此圆心坐标为(1，3)．答案：(1，3) [课堂研究高考]平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．[解] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． [方法技巧]伸缩变换的解题方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ，y ′＝μy μ的作用下得到的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[即时演练]1．求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. 2．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π. 极坐标与直角坐标的互化[典例] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由错误!得错误!故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为错误!. [方法技巧]1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的非负半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．[即时演练]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ<2π)，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．极坐标方程的应用[典例] (2017·长春摸拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [解] (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.[方法技巧]曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．[即时演练](2017·云南师大附中适应性考试)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)半圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标， 则有错误!解得错误!设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标， 则有错误!解得错误!由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4， 所以线段PQ 的长为4.1．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2．(2016·北京高考改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.解：∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0. ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x .∴圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. ∵圆心(1,0)在直线x －3y －1＝0上， ∴AB 为圆的直径，∴|AB |＝2.3．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值．解：圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16， 直线 θ＝π3即tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0， 圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.4．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离．解：点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为()1，3，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0. 所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|12＋32＝22＝1. [高考达标检测]1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5， 所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 故实数a 的值为－5或－1.2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3上任意两点间的距离的最大值． 解：由ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3可得ρ2＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝2ρcosθ＋23ρsin θ，即得x 2＋y 2＝2x ＋23y ，配方可得(x －1)2＋(y －3)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.4．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ， 得4x 2－83x ＋12＝0， 即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. 5．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 过点A (1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求： (1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离． 解：(1)如图，由正弦定理得 ρsin 2π3＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝sin 2π3＝32， ∴所求直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32.(2)作OH ⊥l ，垂足为H ， 在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3， 则OH ＝OA sinπ3＝32， 即极点到该直线的距离等于32. 6．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.7．(2017·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k ＝2k ＋3或错误!解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 8．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ. 由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3.作图如图所示． (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，设M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.第2课参数方程[课前回扣教材][过双基]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：错误!并且对于t 的每一个允许值，由函数式错误!所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程错误!叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[小题速通]1．参数方程错误!(t 为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是________． 解析：将参数方程错误!消去参数t 得2x －y －5＝0，所以对应图形为直线．由ρ＝sin θ得ρ2＝ρsin θ，即x 2＋y 2＝y ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，对应图形为圆．答案：直线、圆 2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)与直线y ＝x ＋2的交点坐标为________．解析：曲线的直角坐标方程为y ＝x 2.将其与直线方程联立得错误!∴x 2－x －2＝0，∴x ＝－1或x ＝2.由x ＝sin θ知，x ＝2不合题意．∴x ＝－1，y ＝1，∴交点坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)3．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为________．解析：∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9， ∴圆心(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2个点． 答案：24．参数方程错误!(t 为参数)化为普通方程为________． 解析：∵x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t 2＝＋t 2－6t 21＋t 2＝4－3×2t21＋t 2＝4－3x .又x ＝2t21＋t 2＝＋t 2－21＋t 2＝2－21＋t2∈[0,2)，∴x ∈[0,2)，∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))． 答案：3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))[清易错]1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.1．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ上的点的最近距离是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ得错误!∴(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心坐标为(－2,1)， 故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝42＝22，∴直线上的点到圆上的点的最近距离是d －r ＝22－1. 答案：22－12．直线错误!(t 为参数)与圆错误!(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________． 解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3.答案：π3或2π3[课堂研究高考]参数方程和普通方程的互化[典例] (2016·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为错误!(t 为参数)，(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．[解] (1)由错误!得错误!①的平方加②的平方得曲线C 的普通方程为：x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t 得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t 得 y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为y ＝2x ＋2.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，所以由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1. [方法技巧]将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． [即时演练]将下列参数方程化为普通方程． (1)错误!(k 为参数)； (2)错误!(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y2x， 将其代入x ＝3k1＋k 2得x ＝3·y 2x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．直线的参数方程[典例] C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． [解] (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16， 直线l ：错误!(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|PA |·|PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．(2)对于形如错误!(t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [方法技巧] [即时演练]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即错误!(t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－2， 由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.[典例] 1参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[即时演练](2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中， 得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组 错误!若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2， 将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以直线l 的斜率为153或－153. 法二：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0. 由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知， 圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153， 即直线l 的斜率为±153. 2．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：错误!(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.3．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆． 因为G 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. [高考达标检测]1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：错误!(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)椭圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)， 则|AP |＝θ－2＋3sin θ2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，335.2．已知曲线C 1：错误!(t 为参数)，曲线C 2：错误!(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)， 故M －2＋4cos θ，2＋32sin θ. 曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855. 3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程；(2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1， 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4， ∴|PM 1|·|PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，64. 4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|PA |·|PB |的值．解：(1)ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ， 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝8；直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0.(2)把直线l 的参数方程代入到圆C ： x 2＋y 2－4x －4y ＝0中，得t 2－(4＋53)t ＋33＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝33.点P (－2，－3)显然在直线l 上，由直线标准参数方程下t 的几何意义知|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝33，所以|PA |·|PB |＝33.5．(2017·贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A ，B ，C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值． 解：(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4， |OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4 ＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B ()1，3，C ()3，－3，所以经过点B ，C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3. 6．(2017·唐山模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，点A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程；(2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1， l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝12t 代入x 22＋y 2＝1， 整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435， 且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－()|AD |－|AB |＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 7．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. (1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．解：(1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3， 即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，即(x －2)2＋(y －23)2＝16，其表示一个圆．(2)将C 1的参数方程代入C 2的方程可得， t 2－23sin α·t －13＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23sin α，t 1t 2＝－13.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2 ＝()23sin α2－－＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最大值为8，最小值为213.8．(2017·云南一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0.曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3.(2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3，即x 2＋y 23＝1， ∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)．∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22， d 的最大值为52＝522. ∴22≤d ≤522， 即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.。
高考数学真题——坐标系与参数方程
2018年数学全国1卷在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．学#科网当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．2017年数学全国1卷在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时，d=，所以8a =； 当4a <-时，d.=，所以16a =-.综上，8a =或16a =-.、2016年数学全国1卷在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【答案】（I ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=；（II ）1 【解析】试题分析：（Ⅰ）把cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）联立极坐标方程进行求解.试题解析：解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .2013年数学全国1卷已知曲线C 1的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为。
选修4-4坐标系与参数方程(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)
x = 4 cos2 ，
2．（2020
年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知曲线
C1，C2
的参数方程分别为
C1：
y
=
4
sin
2
（θ
为参数），C2：
x y
= =
t t
+ −
1, t 1
（t
为参数）.
t
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
（2）设 C 上点的坐标为： (cos , 2sin )
则C
上的点到直线 l
的距离
d
=
2 cos + 2
3 sin
+11
=
4
sin
+
6
+ 11
7
7
当 sin
+
6
=
−1 时，
d
取最小值
则 dmin = 7
5．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））在极坐标系中，O 为极点，点 M (0 ,0 )(0 0) 在
C1
表示以坐标原点为圆心，半径为
1
的圆；（2）
(
1 4
,
1 4
)
.
x = cos t
【分析】（1）当
k
= 1 时，曲线 C1
的参数方程为
y
=
sin
t
(t
为参数），
两式平方相加得 x2 + y2 = 1 ，
所以曲线 C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；
(完整版)坐标系与参数方程典型例题(含高考题----答案详细)
选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
高考数学 《坐标系与参数方程》
坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知 识 梳 理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。
2013-2020年新课标高考数学试卷分类汇编-- 坐标系与参数方程 不等式选讲(含解析)
2013-2020年高考数学试卷分类汇编--坐标系与参数方程、不等式选讲1．（2020•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ﹣16ρsinθ+3＝0．（1）当k＝1时，C1是什么曲线？（2）当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．2．（2020•新课标Ⅱ）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）．（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．3．（2020•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．（1）求|AB|；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．4．（2019•新课标Ⅱ）在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．（1）当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．5．（2019•新课标Ⅲ）如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D（2，π），弧，，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，π），曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．6．（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．7．（2018•新课标Ⅲ）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求A，B中点P的轨迹的参数方程．8．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．9．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．10．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．12．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．14．（2016•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．。
2013年高考真题分类汇编：考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 Word版含解析
考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.（2013·四川高考理科·Ｔ6）抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）（A ）12（B ）2（C ）1 （D ）【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质，在求解时首先求得抛物线的焦点坐标，然后求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B ，由抛物线24y x =的焦点(1,0)，双曲线2213yx -=的一条渐近线方程为0y -=，根据点到直线的距离公式可得2d =，故选B. 2.（2013·山东高考文科·Ｔ11）与（2013·山东高考理科·Ｔ11）相同抛物线C 1：y=12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）【解题指南】 本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C 2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p 的值.【解析】选D.经过第一象限的双曲线的渐近线为y x =.抛物线的焦点为(0,)2pF ,双曲线的右焦点为2(2,0)F .1'y x p =，所以在200(,)2x M x p处的切线斜率为，即013x p =，所以0x p =，即三点(0,)2p F ，2(2,0)F，,)6p M p 共线，所以0202p p p--=-，即p =二、填空题3. （2013·江西高考理科·Ｔ14）抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线22x y 133-=相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.【解题指南】A 、B 、F 三点坐标都能与p 建立起联系，分析可知△ABF 的高为P ，可构造p 的方程解决.【解析】由题意知△ABF 的高为P ，将p y 2=-代入双曲线方程得A ，B 两点的横坐标为x =ABF为等边三角形，所以0tan 60=，从而解得2p 36=，即p 6=. 【答案】6.4.（2013·安徽高考理科·Ｔ13）已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点。
2013年理科全国各省市高考真题——坐标系与参数方程(解答题带答案)
2013年全国各省市理科数学—坐标系与参数方程 1、2013重庆理T15.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）相交于,A B 两点，则______AB =2、2013天津理T11.已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = .3、2013广东理14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.4、2013陕西理T15.C. (坐标系与参数方程选做题)如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2 .x5、2013湖南理T9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .6、2013湖北理16、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，。
在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=。
若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 。
7、2013新课标I 理T23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程式⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=.（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0≥ρ,π20<≤θ）8、2013新课标Ⅱ理T23.（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点P Q 、都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点。
江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编19：坐标系与参数方程(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编19：坐标系与参数方程一、解答题 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程已知在极坐标系下,圆C:p= 2cos(2πθ+)与直线l :ρsin(4πθ+)=2,点M 为圆C 上的动点.求点M 到直线l 距离的最大值.【答案】．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆221164x y +=的右顶点为A,上顶点为B ,点P是第一象限内在椭圆上的一个动点,求PAB ∆面积S 的最大值.【答案】．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)已知直线的参数方程213x ty t=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(为参数),圆C的极坐标方程:2sin0ρθ+=.(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)在圆C上求一点P,使得点P到直线的距离最小.【答案】．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ,直线l的参数方程为,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数,t ∈R).试在曲线C 上求一点M ,使它到直线l 的距离最大. 【答案】解:曲线C 的普通方程是2213x y +=直线l的普通方程是0x +-=设点M的直角坐标是,sin )θθ,则点M 到直线l 的距离是d因为)4≤+≤πθ所以当πsin()14θ+=-,即ππ2π(42k k θ+=-∈Z),即3π2π(4k k θ=-∈Z)时,d 取得最大值.==θθ.综上,点M的极坐标为7π)6时,该点到直线l 的距离最大注 凡给出点M的直角坐标为(,不扣分.．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—4 :坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,求r 的值.【答案】因为圆C的参数方程为cos ,sin x r y r θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(θ为参数,0r >),消去参数得, ()2220x y r r ⎛⎛++=> ⎝⎭⎝⎭,所以圆心C ⎛ ⎝⎭,半径为r , 因为直线l 的极坐标方程为sin()1ρθπ+=,化为普通方程为x y +=圆心C 到直线x y +=2d ==,又因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,即3d r +=,所以321r =-=．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ-π6),点M 的极坐标为(6,π6),直线l 过点M ,且与圆C 相切,求l 的极坐标方程.【答案】选修4—4:坐标系与参数方程解 以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系, 则圆C 的直角坐标方程为(x -3)2+(y -1)2=4, 点M 的直角坐标为(33,3) 当直线l 的斜率不存在时,不合题意. 设直线l 的方程为y -3=k (x -33),由圆心C (3,1)到直线l 的距离等于半径2. 故|23k －2|k 2＋1=2 解得k =0或k =3.所以所求的直线l 的直角坐标方程为y =3或3x -y -6=0 所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ=3或ρsin(π3-θ)=3．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】C.解:曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0, 即(x -2)2+y 2=4直线l 的普通方程方程为y =x -m , 则圆心到直线l 的距离d =4－(142)2=22,所以|2－0－m |2=22,即|m -2|=1,解得m =1,或m =3．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程2cos ,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),直线l 的极坐标方程:sin()14πρθ-=.直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,求MN 的长.【答案】．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-4:坐标系与参数方程) 已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin cos θθy x (θ为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1cos sin =+θρθρ,求直线l 截圆C 所得的弦长.【答案】圆C 的方程为 1)2(22=-+y x ;直线l 的方程为 1=+y x . 故所求弦长为22120=-+=d [来源:学科网]．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,A为曲线22cos 30ρρθ+-=上的动点, B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=上的动点, 求AB 的最小值.【答案】解:圆的方程可化为()2214x y ++=,所以圆心为()1,0-,半径为2又直线方程可化为70x y +-=所以圆心到直线的距离17422d --==故min()AB =422．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程已知椭圆C :221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB ∆面积的最大值.【答案】C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 解:依题意(4,0)A ,(0,3)B ,5AB =,直线AB :143x y +=,即34120x y +-=设点P 的坐标为(4cos ,3sin )θθ,则点P 到直线AB 的距离是|34cos 43sin 12|12|2sin()1|554d θθπθ⋅+⋅-==+-,当sin()14πθ+=-时,max 12(21)5d +=,所以PAB ∆面积的最大值是max 16(21)2S AB d =⋅=+．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,曲线2C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭,判断两曲线的位置关系. 【答案】选修4—4:坐标系与参数方程解:将曲线12,C C 化为直角坐标方程得: 1:320C x y ++=, 222:220C x y x y +--= 即()()222:112C x y -+-=, 圆心到直线的距离()22132332213d +++==>+,∴曲线12C C 与相离. ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程[来源:学科网ZXXK]在极坐标系中,已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2,求a 的值.【答案】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++,圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+,即22(2)4x y -=+ , 因为截得的弦长为2,所以圆心(0,2)413-=[来源:学科网ZXXK] 235a =+,因为0a >,所以152a =．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(是参数截得的弦长.【答案】解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:3cos ρθ=即:223x y x +=,即2239()24x y -+=;22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩即:23x y -= , 223203202(1)d ⨯--==+-,即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆12,C C 的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标;(2)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.[来源:Z*xx*]【答案】【解】(1)圆1C 的极坐标方程为=2ρ, 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=, 由24cos ρρθ=⎧⎨=⎩，得π=23ρθ=±，,故圆12C C ，交点坐标为圆()()ππ2233-，，，(2)由(1)得,圆12C C ，交点直角坐标为(13)(13)，，，,故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(33)x y t t =⎧⎪⎨=-⎪⎩，≤≤．注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣2分.。
2013年高考数学试题(22)选修4-4参数方程与极坐标
1.（安徽）在极坐标系中，点 (,)π23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ） 2 (B) 249π+ (C) 219π+ （D) 32.（北京）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A) (1,)2π (B) (1,)2π- (C) (1,0) (D)(1，π) 3.（福建）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为3cos sin x a y a⎧=⎪⎨=⎪⎩.（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系；（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 4.（广东）已知两曲线参数方程分别为5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t ∈)R ，它们的交点坐标为__________．5．（湖南）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (3sin x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ．6.（江西）若曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .7.（浙江）已知直线:l ⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x ，t (为参数，α为l 的倾斜角，且πα<<0)与曲线 ⎩⎨⎧==θθsin cos 2:y x C θ(为参数)相交于A 、B 两点，点F 的坐标为)0,1( （1）求ABF ∆的周长；（2）若点)0,1(-E 恰为线段AB 的三等分点，求ABF ∆的面积。
高中数学 考点54 坐标系与参数方程(含2013高考试题)
考点54 坐标系与参数方程一、选择题1.（2013·安徽高考理科·Ｔ7)在极坐标系中，圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( ）A 。
=0()cos=2∈R θρρ和B 。
ρρπθ=(∈R)和cos =22C. πθ=(ρ∈R)和ρcos =12D 。
θ=0(ρ∈R)和ρcos =1 【解题指南】 将极坐标转化为平面直角坐标得出圆的方程.【解析】选B 。
由ρ=2cos θ可得x 2+y 2=2x ⇒(x —1）2+y 2=1,所以圆的圆心为（1,0）,半径为1，与x 轴垂直的圆的切线方程分别是x=0,x=2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是θ=π2(ρ∈R ）和ρcos θ=2. 二、填空题2.（2013·江西高考理科·Ｔ15）设曲线C 的参数方程为2x=ty=t ⎧⎨⎩(t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为_______。
【解题指南】将曲线C 的参数方程化为普通方程，通过极坐标的定义建立曲线C 的参数方程将其代入直角坐标方程，化简整理可得极坐标方程. 【解析】由2x=t y=t⎧⎨⎩得2y x =，将x cos ,y sin =ρθ=ρθ，代入2y x =中化简得2cos sin 0ρθ-θ=。
【答案】 2cos sin 0ρθ-θ=。
3。
(2013·北京高考理科·Ｔ9）在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 【解题指南】转化为直角坐标进行计算。
【解析】极坐标系中点(2,)6π对应直角坐标系中坐标为,极坐标系直线sin 2ρθ=对应直角坐标系中直线方程为2y =，所以距离为1. 【答案】 1。
4。
（2013·湖南高考理科·Ｔ9)在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 。
全国高考理科数学试题分类汇编：坐标系与参数方程Word含答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编18:坐标系与参数方程、选择题1. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在极坐标系中，圆p=2cos v的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A. ）=0（：'三R）和「COS=2B.）= —（* e R）和「cos=22C.二=—（二R）和「COS=1D.二=0（ r R）和?cos=12【答案】B二、填空题2. （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知圆的极坐标方程为P =4cosT,圆心为C点P的极坐标为：4上（,则|CR = ____________ .I 3丿【答案】2 33. （2013年高考上海卷（理））在极坐标系中，曲线T二COSV 1与「COST - 1的公共点到极点的距离为 ___________1 + J5 【答案】1一—. 24. （2013年高考北京卷（理））在极坐标系中，点（2,—）到直线p sin 0 =2的距离等于6【答案】15. （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在直角坐标系xOy中,以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系•若极坐标方程为「COST - 4的直X =t2线与曲线｛（t为参数）相交于代B两点，则AB = ______[y =t3【答案】166. （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））（坐标系与参x -、2 cost数方程选讲选做题）已知曲线C的参数方程为y = ^2sint（t为参数）,C在点1,1处的切线为1,以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则1的极坐标方程为 _____________ •Psin |日 +1=^/2【答案】V 4丿（2013年高考陕西卷（理））C.（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角B 为参数,则圆x+y 2-x=0的参数方程为 _____________ .【答案】丿x=co s £ ，朕Ry=cos 日 si一x = t（2013年高考江西卷（理））（坐标系与参数方程选做题 ）设曲线C 的参数方程为2（ t l y = t为参数）,若以直角坐标系的原点为极点 ，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为 ___________【答案】「cos 2）-sin J - 0（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系 xoy 中，若（申为参数）的右顶点，则常数a 的值为 _____ .【答案】3 （2013年高考湖北卷（理））在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为位,且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为X = t ， y 二t -a（t为参数）过椭圆Cm10x = acosy = bsin「为参数, a b 0 .在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单- 2「4 =T m m为非零常数与一 b .若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为___________【答案】上6 3三、解答题11.（2013年普通高等学校招生统一考试新课标H卷数学（理）（纯WORD版含答案））选修4—4；坐标系与参数方程f x - 2cosl：已知动点P,Q都在曲线C: 一（：为参数）上，对应参数分别为：与ly=2si n3:=2：（0 ：：：：：2二），M 为PQ 的中点.（I）求M的轨迹的参数方程；（n）将M到坐标原点的距离d表示为〉的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.【答案】（1 >依題意育尸血Q •泅nlah因此+ cosier, sine + sin 2a）*阳的聯迹的書數方程为5为豔數・0“ V ly-Sina + smC El） M点到坐标師点的距离d - ^jx2 + y l = GT+ 2C0S" < 0 < a < 2»t > .当时.^ = 0*故创的轨迩过塑标原点12.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆G,直线C2的极坐标方程分别为T =4sin 二「二cos 二 -一=^2..I 4丿（I）求G与C2交点的极坐标；（||）设P为G的圆心，Q为G与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为x 二t3a{ b 3（"R为参数）,求a,b的值.y t312【答案】VTTTTS 的 f 询出杯 h 軽 Aj+ <y- 2)- = 4,『［线 Ct 的秤x + y - 4 = 0. x 1+ (y-2)i^4.讶X + y - 4 = 0听W. G 呵G 交点的眾半标机亿y r ■ ^77 4）'£ ft ：概地标編FA 的凰示和1一・（fl Hh （ I 1町仏 P 点埼Q 点的仃巾节林沾跚为（山可.（U3）. 故Viii PQ 的fl ft 坐捕h 稈为 x-y 4-2 = 0,h ublh 务敕方秤训符y 口三x -耳+ L * 匸" 覘"仆 解対白=-1*〃二占... 1“分 dbf r（・ y 1 = 2.13. （ 2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，X 轴的非负半轴为极轴建立坐标系•已知点A 的极坐标为（•. 2,送）,直线的极坐标方程为 rcos （v 一二）二a ,且点A 在直线上•44（1） 求a 的值及直线的直角坐标方程；「X = 1 + COSG（2） 圆c 的参数方程为 ,（:为参数），试判断直线与圆的位置关系•y =s in 。
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考点54 坐标系与参数方程一、选择题1.（2013·安徽高考理科·Ｔ7）在极坐标系中，圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A.=0()cos=2∈R θρρ和B.ρρπθ=(∈R)和cos =22C. πθ=(ρ∈R)和ρcos =12D.θ=0(ρ∈R)和ρcos =1【解题指南】 将极坐标转化为平面直角坐标得出圆的方程。
【解析】选 B. 由ρ=2cos θ可得x 2+y 2=2x ⇒(x-1)2+y 2=1,所以圆的圆心为(1,0),半径为1,与x 轴垂直的圆的切线方程分别是x=0,x=2,在以原点为极点的极坐标系中,与之对应的方程是θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=2. 二、填空题2.（2013·江西高考理科·Ｔ15）设曲线C 的参数方程为2x=ty=t⎧⎨⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为_______.【解题指南】将曲线C 的参数方程化为普通方程，通过极坐标的定义建立曲线C 的参数方程将其代入直角坐标方程，化简整理可得极坐标方程. 【解析】由2x=t y=t⎧⎨⎩得2y x =，将x c o s ,ys i =ρθ=ρθ，代入2y x =中化简得2cos sin 0ρθ-θ=.【答案】 2cos sin 0ρθ-θ=.3.（2013·北京高考理科·Ｔ9）在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于【解题指南】转化为直角坐标进行计算。
【解析】极坐标系中点(2,)6π对应直角坐标系中坐标为，极坐标系直线sin 2ρθ=对应直角坐标系中直线方程为2y =，所以距离为1.【答案】 1.4. （2013·湖南高考理科·Ｔ9）在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .【解题指南】先把直线和椭圆的参数方程化为普通方程,然后把椭圆的右顶点坐标代入直线方程即可.【解析】直线l 的普通方程是0=--a y x ，椭圆C 的普通方程是14922=+y x ，其右顶点为（3,0），代入直线方程得3=a 【答案】3.5.（2013·广东高考理科·Ｔ14）已知曲线C的参数方程为,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为_______.【解题指南】本题考查参数方程与极坐标，可首先转化为直角坐标计算. 【解析】曲线C 是圆222x y +=，点(1,1)处的切线l 为2x y +=，其极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=，化简得sin()4pr q +=【答案】sin()4p r q +=6.（2013·广东高考文科·Ｔ14）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．【解题指南】本题考查参数方程与极坐标，可首先转化为直角坐标计算.【解析】曲线C 是圆22(1)1x y -+=，其参数方程为cos 1,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.【答案】 cos 1,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.7. （2013·湖北高考理科·Ｔ16）在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零数)与ρ=b.若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为 .【解题指南】先将参数方程,极坐标方程转化成普通方程,再利用相切找到关系.【解析】椭圆的方程22221,x y a b+=焦点(),0c ±，sin +,sin cos m,4πρθρθρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由可得即直线l 的普通方程为x+y-m=0,经过焦点(),0c ±,m=±c,圆O 的方程为x 2+y 2=b 2,直线与圆相切, ,b =222222222,22,,3c m b c a c e a ==-==【答案】38. （2013·陕西高考理科·Ｔ15）如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .【解题指南】利用普通方程化为参数方程的公式，将圆的普通方程化为参数方程.【解析】222)21()21=+-⇒y x （圆的方程21=⇒r 圆的半径 2OP cos 2r cos x OP cos cos ,y OP sin cos sin ⇒=θ⋅=θ⇒=⋅θ=θ=⋅θ=θ⋅θ所以圆的参数方程为为参数）（θθθθ,sin cos cos 2⎩⎨⎧⋅==y x 【答案】 为参数）（θθθθ,sin cos cos 2⎩⎨⎧⋅==y x .9. （2013·湖南高考文科·Ｔ11）在平面直角坐标系xOy 中，若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数）和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行，则常数a 的值为________【解题指南】本题先把两直线的参数方程化成普通方程，然后利用两直线的平行关系求出参数a【解析】先把两直线的参数方程化成普通方程.直线012:1=--y x l ，直线02:2=--a ay x l .因为两直线平行，所以22)(1⨯-=-⨯a ，故4=a ，经检验，符合题意。
【答案】4.10. （2013·重庆高考理科·Ｔ15）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB = 【解题指南】 可将极坐标转化为平面直角坐标系下的坐标进行计算. 【解析】极坐标方程为cos 4ρθ=的直线为4=x ,所以42==t x ,解得2±=t ,又3t y =，所以直线与曲线23x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的两个交点A 、B 的坐标为)8,4(),8,4(-,故16=AB . 【答案】 16.11.（2013·上海高考理科·T7）在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解析】联立得1(1)12ρρρ-=⇒=，又0ρ≥，故所求为12+．【答案】. 12.(2013·天津高考理科·T11)已知圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,圆心为C ,点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭,则CP= .【解题指南】根据圆的极坐标方程及点P 的坐标确定OP,OC 的长度,在△POC 中利用余弦定理计算. 【解析】如图,由圆的极坐标方程为ρ=4cos θ知OC=2,又因为点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭,所以OP=4,∠POC=3π,在△POC 中,由余弦定理得CP 2=OP 2+OC 2-2OP ·OC ·cos 3π=16+4-2×4×2×12=12,所以CP=【答案】13. （2013·陕西高考文科·Ｔ15） 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t为参数)的焦点坐标是 .【解题指南】消去参数t 即可得抛物线方程，求其焦点坐标.【解析】)0,1(4.222F x y ty t x 抛物线的焦点⇒=⇒⎩⎨⎧==. 【答案】 (1, 0). 二、解答题14.（2013·辽宁高考文科·Ｔ23）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ23）相同 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
圆1C ，直线2C的极坐标方程分别为4sin ,cos()4πρθρθ=-=()I 求1C 与2C 的交点的极坐标；()II 设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 的交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为33,().12x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求,a b 的值。
【解题指南】 利用极坐标和直角坐标的互化关系，将不熟悉的极坐标转化为熟悉的直角坐标来探究.【解析】()I由cos ,sin x y ρρθρθ===得， 圆1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-= 直线2C 的直角坐标方程分别为40x y +-=由22(2)4,40.x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得12120,2,4,2,x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以圆1C ，直线2C 的交点直角坐标为(0,4),(2,2)再由cos ,sin x y ρρθρθ===，将交点的直角坐标化为极坐标(4,)24ππ所以1C 与2C的交点的极坐标(4,)24ππ()II 由()I 知，点P ，Q 的直角坐标为(0,2),(1,3)故直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+= ① 由于直线PQ 的参数方程为33,().12x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数 消去参数122b ab y x =-+ ②对照①②可得1,21 2.2bab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得1, 2.a b =-=15. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ23）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）相同已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin ,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 2=. （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
【解析】将⎩⎨⎧+=+=ty tx sin 55cos 54消去参数t ，化为普通方程25)5()4(22=-+-y x ,即1C ：01610822=+--+y x y x .将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入01610822=+--+y x y x 得 016sin 10cos 82=+--θρθρρ.（Ⅱ）2C 的普通方程为0222=-+y y x .由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+020161082222y y x y x y x ，解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==20y x .所以1C 与2C 交点的极坐标分别为)4,2(π，)2,2(π16.（2013·江苏高考数学科·Ｔ21）在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标.【解题指南】选把参数方程转化为普通方程再利用普通方程求解，主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识, 考查转化问题的能力【解析】因为直线 l 的参数方程为12x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数), 由x = t+1 得t =x-1, 代入y = 2t, 得到直线l 的普通方程为2x-y-2 = 0. 同理得到曲线 C 的普通方程为2y = 2x.联立方程组22(1)2y x y x=-⎧⎨=⎩ ,解得公共点的坐标为(2, 2), (12, -1).17.（2013·江苏高考数学科·Ｔ21）已知a ≥b>0, 求证:332222a b ab a b -≥- 【解题指南】本小题主要考查利用比较法证明不等式,利用作差法分解因式与0比较.【证明】2a 3-b 3-(2ab 2-a 2b)= 2a(a 2-b 2)+b(a 2-b 2)= (a 2-b 2)(2a+b) = (a-b)(a+b)(2a+b).因为 a ≥b>0, 所以 a-b ≥0, a+b>0, 2a+b>0,从而(a-b)(a+b)(2a+b) ≥0, 即332222a b ab a b -≥-18.（2013·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4,2π，直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ，且点A 在直线l 上。