数学正方形的性质课件人教版八年级第二学期
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人教版八年级数学下册正方形的性质与判定课件
A
21
F
E
C
D
B
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
4.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE 、 CE ,
求∠DEC的度数.
解：∵△ABE是等边三角形. ∴AB =AE=BE,
D
A
∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°.
1、直接用正方形的定义判定；
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE 、 CE ,求∠DEC的度数.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
能说出正方形的意义及性质.
如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成 正方形．请说说图中∠1的变化过程．
解：BE=DF,且BE⊥DF.
验知识点的形成过程. ∴∠BCE=∠DCF.
=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.
所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
正方形既是__矩___形，又是__菱___形.即 ∴BC=DC,∠BCE =90° .
四个角都________ 如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成
正方形的四条边都相等，四个角都是直角，它既是矩形又是菱形，既具有矩形的性质，又有菱形的性质
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠BCE=∠DCF.
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形， 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
3、先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是 ____________，那么这个四边形是正方形. 3、先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是 ____________，那么这个四边形是正方形.
人教版八下数学课件正方形的性质
课堂练习
1、如图，已知正方形ABCD中，E为对角线AC 上的一点，且AE=AB.则∠EBC的度数为_____.
2.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE, 则∠AEB=_____.
A
D
E
第1题
B
C
第2题
例3、已知：如图，正方形ABCD中，对角 线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE 于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．
平行四边 相等
形
四个角 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称 图形、 中心对 称图形
对角线互相 轴对称 对角相等， 垂直平分， 图形、中 邻角互补 每条对角线 心对称图
平分一组对 形 角
探 究（一）
怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？
矩形
正方形
探 究（二）
怎样将一个菱形的木框变成一个正 方形的木框？
周长为 __4__1_8cm.
B
C
初中数学课件
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正方形的性质
:几种特殊四边形的定义及性质定义边角对角线
对称性
平行
四边 形
两组对边 分别平行
对边平行 且相等
的四边形
对角相等， 邻角互补
对角线 互相平分
中心对 称图形
矩 有一个角 形 是直角的 对边平行
平行四边 且相等 形
菱 形
有一组邻 边相等的
对边平行 ，四边都
PF⊥BD于F,则PE+PF=______5________.
A E
DA
MD
P
O
F
E
F
O
B 2题 C B 3题
C
3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，
人教版八年级数学下册正方形正方形的性质
四边都相等
四个角都是直角
√
√ 对角线互相平分
√
对角线互相垂直
对角线相等
√
菱形
正方形
√√ √√
√ √√ √√
√
定义
有一组邻相等，并且有一个角是 直角的平行四边形叫做正方形.
4.最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都
正方形 是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向。 1.四个角都是直角 (2)提高准确率，优化解题方法，提高解题质量，这关系考试的成败。 的性质 8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
A
D
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
O
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. B
C
精典例题
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
即学即练
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”
平行四 边形
矩形
√ 对边平行且相等
人教版八年级数学下册人教版八年级数学下册 正方形的性质优质课件ppt
4
B
C
固学7
在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点 O,点Q是CD上任意一点, DP⊥AQ交BC 于点P． A D (1)求证:DQ=CP；
(2)OP与OQ有何关系? 试证明你的结论．
O B
P
Q
C
固学8
已知四边形ABCD为正方形,四边AEFC为 菱形,EH⊥AC,垂足为H. 试证明FC=2EH.
正方形的性质定理： 对称性
正方形是轴对称图形， 它有4条对称轴. A O D
C B 分别是:两条对角线所在的直线,以及连 接每组对边的中点所在的直线.
正方形的面积公式:
正方形的面积等于边长的平方或两条对 角线乘积的一半.
固学1
A.邻边相等 C.对边相等 B. 邻角相等 D. 对角互补
(1)矩形,菱形,正方形都具有的性质是(C )
O E F A P B
例1.
求证:正方形的两条对角线把正 方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知，在正方形ABCD中,对角线 D C
AC、BD相交于点O. 求证:△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
O
A B 证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰 直角三角形, 并且？ 8个
(1)求证:AE＝CF ；
(2)求∠BEF的度数. E
B
F
G
C
固学5
在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分 ∠BAC,猜想AB、AC、BE之间的关系， 并证明． A D
12
F B
G E C
固学6
如图,正方形ABCD的对角线相交于点 O,M、N在OB和OC上,且MN∥BC,连 接DN、MC. 猜想DN与MC有什么 A D 数量关系和位置关系? 3 并证明你的猜想. O M 1 2 N
B
C
固学7
在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点 O,点Q是CD上任意一点, DP⊥AQ交BC 于点P． A D (1)求证:DQ=CP；
(2)OP与OQ有何关系? 试证明你的结论．
O B
P
Q
C
固学8
已知四边形ABCD为正方形,四边AEFC为 菱形,EH⊥AC,垂足为H. 试证明FC=2EH.
正方形的性质定理： 对称性
正方形是轴对称图形， 它有4条对称轴. A O D
C B 分别是:两条对角线所在的直线,以及连 接每组对边的中点所在的直线.
正方形的面积公式:
正方形的面积等于边长的平方或两条对 角线乘积的一半.
固学1
A.邻边相等 C.对边相等 B. 邻角相等 D. 对角互补
(1)矩形,菱形,正方形都具有的性质是(C )
O E F A P B
例1.
求证:正方形的两条对角线把正 方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知，在正方形ABCD中,对角线 D C
AC、BD相交于点O. 求证:△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
O
A B 证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰 直角三角形, 并且？ 8个
(1)求证:AE＝CF ；
(2)求∠BEF的度数. E
B
F
G
C
固学5
在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分 ∠BAC,猜想AB、AC、BE之间的关系， 并证明． A D
12
F B
G E C
固学6
如图,正方形ABCD的对角线相交于点 O,M、N在OB和OC上,且MN∥BC,连 接DN、MC. 猜想DN与MC有什么 A D 数量关系和位置关系? 3 并证明你的猜想. O M 1 2 N
人教版初中八年级下册数学课件 《正方形》课件
1
1
01 探究
现在，你对正方形有哪些新的认识？ 正方形的四条边都相等，四个角都是直角， 它既是矩形又是菱形，既具有矩形的性质，又有菱形的性质
矩形 正方形
菱形
01 知识回顾
怎样判定一个平行四边形是正方形？ 怎样判定一个矩形是正方形？ 怎样判定一个菱形是正方形？
平行四边形
矩形 菱形
正方形
01 知识回顾
O
B
C
02
练一练
LEARNING OBJECTIVES
02 练一练
1．如图，正方形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
C
A、4个 C、8个
B、6个 D、10个
02 练一练
2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，
连接BE，则∠AEB的度数为__1__5_°.
定义 性质 逆向猜想 判定
01 知识回顾
在小学，什么样的四边形是正方形？ 正方形与矩形和菱形分别有什么关系？ 四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫做正方形． 你能用一张矩形纸片，折出一个最大的正方形吗？
说说折出的四边形是正方形的依据．
01 知识回顾
如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成正方形． 请说说图中∠1的变化过程．
第十八章 平行四边形 正方形
CHAPTER
18
SECTION
03
SQUARE
目 录 CONTENS
01
学习目标 LEARNING OBJECTIVES
1、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的 联系和区别； 2、能用正方形的定义、性质和判定进行推理与计算．
02
重点A KEY
人教版八年级数学下册课件：18.2.3正方形的性质(共27张ppt)
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本节课是九义教材人教版初中第二册内容。
根据正方形的定义通过比较、分类与讨论归纳并总结了正方形的性质。
几何知识的学习都是从一般到特殊地进行研究，在学习过程中注意比较哪些是一般的，哪些又是特殊的， 助于掌握相关知识的区别与联系。
正方形是角、边都特殊的平行四边形。
它是平行四边形，因而具有平行四边形的边、对角线、角的性质；又因其是特殊的平行四边形，它又具有一些特殊的性质：四边相等、四角相等、对角线互相垂直且相等，每一条对角线平分一组对角。
注意选用这些特殊性，来解决正方形问题。
学生通过思考和比较，最终发现归纳出正方形的性质，归纳出正方形的判定方法，实现了学生在自主的探索中获取知识。
正所谓：学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。
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易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共 边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正 方形的外部或在正方形的内部．
【变式题2】 如图，在正方形ABCD内有一点P满足 AP=AB，PB=PC，连接AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠DCB=90°． ∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB． ∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB， 即∠ABP=∠DCP． 又∵AB=DC，PB=PC， ∴△APB≌△DPC．
一个角是直角 菱形
正方形
∟
正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫正方形.
证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）, A
D
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
E
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， B
C
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
当堂练习
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
D
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, B
C
AB= BC=CD=AD.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD
相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
D
O
B
C
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
导入新课
情景引入 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形， 在生活中无处不在.
你还能举 出其他的 例子吗？
讲授新课
正方形的性质 问题引入 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么
发现？
正矩方形 形
〃
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？
正方形
归纳总结 矩形
邻边相等
正方形
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵△APB≌△DPC， ∴AP=DP． 又∵AP=AB=AD， ∴DP=AP=AD． ∴△APD是等边三角形． ∴∠DAP=60°． ∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°． ∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°． ∴∠BAP=2∠PAC．
例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，
PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
解: 连接PC，AC. ∵四边形ABCD是正方形,
A
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
D PF
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC, ∴PC=EF. ∴AP=EF.
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD 相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 AD AO2 OD2 2 2, ∴正方形的周长为4AD＝ 8 2， 面积为AD2＝8.
第十八章
八年级数学下（RJ） 教学课件
平行四边形
18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点）
【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形 ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
典例精析
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四
个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
归纳 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接 对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，
角平分线性质，等腰三角形等来说明.
练一练 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是
A.四个角相等
(B)
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
A.四条边相等
∴AC⊥BD.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观 察并思考. 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对 称轴有几条?
A
D
B
C
对称性： 轴对称图形 .
对称轴： 4条
.
归纳总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
形
平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是 特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
A
D
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
O
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. B
C
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
A
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
【变式题2】 如图，在正方形ABCD内有一点P满足 AP=AB，PB=PC，连接AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠DCB=90°． ∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB． ∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB， 即∠ABP=∠DCP． 又∵AB=DC，PB=PC， ∴△APB≌△DPC．
一个角是直角 菱形
正方形
∟
正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫正方形.
证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）, A
D
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
E
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， B
C
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
当堂练习
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
D
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, B
C
AB= BC=CD=AD.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD
相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
D
O
B
C
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
导入新课
情景引入 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形， 在生活中无处不在.
你还能举 出其他的 例子吗？
讲授新课
正方形的性质 问题引入 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么
发现？
正矩方形 形
〃
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？
正方形
归纳总结 矩形
邻边相等
正方形
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵△APB≌△DPC， ∴AP=DP． 又∵AP=AB=AD， ∴DP=AP=AD． ∴△APD是等边三角形． ∴∠DAP=60°． ∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°． ∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°． ∴∠BAP=2∠PAC．
例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，
PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
解: 连接PC，AC. ∵四边形ABCD是正方形,
A
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
D PF
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC, ∴PC=EF. ∴AP=EF.
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD 相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 AD AO2 OD2 2 2, ∴正方形的周长为4AD＝ 8 2， 面积为AD2＝8.
第十八章
八年级数学下（RJ） 教学课件
平行四边形
18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点）
【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形 ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
典例精析
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四
个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
归纳 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接 对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，
角平分线性质，等腰三角形等来说明.
练一练 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是
A.四个角相等
(B)
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
A.四条边相等
∴AC⊥BD.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观 察并思考. 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对 称轴有几条?
A
D
B
C
对称性： 轴对称图形 .
对称轴： 4条
.
归纳总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
形
平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是 特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
A
D
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
O
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. B
C
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
A
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，