安徽省九年级数学上学期期末冲刺模拟测试卷 (二)含答案与解析

安徽省九年级上学期期末冲刺模拟测试卷(二)数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷相对应的位置上，并认真核对；2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；3．考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。

一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1．如图，已知△ABC中，D是AB上一点，连结CD，不能判定△ACD∽△ABC的条件是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C ．D．AC2＝AD•AB 2．已知点A（x1，4），B（x2，8）都在反比例函数y ＝﹣的图象上，则下列关系式一定正确的是（）A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x13．如图，A、B分别是反比例函数y ＝（x＞0）图象上的两点，连结OA，OB，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、E，且AC交OB于点D，若S△OAD ＝，则的值为（）A ．B ．C ．D ．14．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式﹣的值为（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sin A的值为（）A ．B ．C ．D ．6．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO ＝，则点F的坐标是（）A．（8，）B．（8，12）C．（6，）D．（6，10）7．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，C是⊙O上的点，D 是上的点，若∠D＝120°，则∠BOC的大小为（）A．60°B．55°C．58°D．40°8．在同一坐标系中，一次函数y＝mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）2A ．B ．C ．D ．9．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是（）A．①B．②C．一样大D．无法判断10．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan ∠CBF ＝．设BE＝x，△BEF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11．直线y1＝x+1与抛物线y2＝﹣x2+3如图所示，当y1＞y2时，x的取值范围是．312．在△ABC中，若（cos A ﹣）2+|1﹣tan B|＝0，则∠C的大小是．13．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝6，AD＝4，EF ＝EH，那么EH的长为．14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠，使点A落在EF上的点N，折痕为BM，再次展平，连接BN，MN．有下列结论：①∠ABM＝∠MBN＝∠CBN；②△BEN与△BMN相似；③MN 的长为1；④若P，Q分别为线段BM，BN上的动点（不包含端点），则PN+PQ的最小值是．其中正确结论的序号是．三、解答题（共9小题，共90分）15．计算：2cos245°+tan60°•tan30°﹣cos60°16．一次函数y＝x+b和反比例函数y＝（k≠0）交于点A（a，1）和点B．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．417．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长．18．如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，ABC三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8）、B（3，8）、C（4，7）．（1）把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，写出B′的坐标；（2）请在网格图中找到一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1，写出F 点的坐标；（3）DF＝；（4）sin∠BDC＝．19．如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里后达到点B处，测得岛C在其北偏东45°方向上．已知岛C周围10海里内有暗5礁．问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．20．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．21．喷洒酒精能有效杀灭“新型冠状肺炎”病毒．根据实验知道喷洒酒精在教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：h）的函数表达式为y ＝．其大致图象如图所示．请根据以上信息解答下列问题：（1）试确定点A的坐标；（2）根据经验，当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，请通过计算说明单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为多少小时？22．已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC 上取一点D，使得DE＝AD．6（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．23．阅读探究如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E，点E不与A，B重合，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们把E叫做四边形ABCD边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 边AB上的“强相似点”．（1）如图①，若∠A＝∠B＝∠DEC＝40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB 上的相似点？；（填是或否）（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B 作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，试判断点C是否是四边形ABED边DE上的相似点并说明理由．（3）如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B，求证：点P是四边形ABCD边AB上的一个强相似点．7参考答案与解析一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1．如图，已知△ABC中，D是AB 上一点，连结CD，不能判定△ACD∽△ABC的条件是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AB 【分析】因△ACD和△ABC已有一公共角，则再有一角对应相等，或公共角的两边对应相等，则△ACD∽△ABC．【解答】解：因△ACD和△ABC已有一公共角，要使△ACD∽△ABC，则需再有一角对应相等，如∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠ACB，故A，B正确；或公共角的两边对应相等，如AD：AC＝AC：AB，即AC2＝AD•AB，故D正确，C错误．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．已知点A（x1，4），B（x2，8）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列关系式一定正确的是（）A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2C．x2＜x1＜0 D．x 2＜0＜x1【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征求出x1与x2，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵点A（x1，4），B（x2，8）都在反比例函数y＝﹣的图象上，∴4＝﹣，8＝﹣，∴x1＝﹣，x2＝﹣1，∴x1＜x2＜0．故选：A．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函8数解析式y ＝（k为常数，k≠0），然后把一组对应值代入求出k，从而得到反比例函数解析式．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．3．如图，A、B分别是反比例函数y ＝（x＞0）图象上的两点，连结OA，OB，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、E，且AC交OB于点D，若S△OAD ＝，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先利用反比例函数系数k的几何意义得到S△AOC＝S△BOE＝2，则S△OCD＝，再证明△OCD∽△OEB，然后根据相似三角形的性质求解．【解答】解：∵AC⊥x轴，BE⊥x轴，∴S△AOC＝S△BOE ＝×4＝2，∴S△OCD＝2﹣＝，∵CD∥BE，∴△OCD∽△OEB，∴＝（）2＝＝，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y ＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．94．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式﹣的值为（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【分析】由题意得，函数y ＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则ab＝3，b＝a﹣1，进而求解．【解答】由题意得，函数y ＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），∴ab＝3，b＝a﹣1，∴﹣＝＝﹣；故选：C．【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是正确计算的前提．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sin A的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据勾股定理求得AB的值，再根据正弦函数即可求得sinA的值．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB ＝＝＝10，∴sinA ＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是熟记三角函数的定义，能够根据三边，求出各角的三角函数．106．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO ＝，则点F的坐标是（）A．（8，）B．（8，12）C．（6，）D．（6，10）【分析】过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，根据余弦的定义求出AE，根据勾股定理求出AF，进而得出BF，根据余弦的定义求出FG，根据勾股定理计算，求出BG，根据坐标与图形性质解答即可．【解答】解：过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，则∠FGO+∠FGB＝90°，∠BFG+∠FGB＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠BFG＝∠FGO，∵AB⊥y轴，GB⊥AB，∠AOG＝90°，∴四边形AOGB为矩形，∴AO＝GB，AB＝OG＝17，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠BFG＝90°，∴AEF＝∠BFG＝∠FGO，在Rt△AEF中，cos∠AEF ＝，即＝，解得，AE＝6，由勾股定理得，AF ＝＝8，∴BF＝AB﹣AF＝17﹣8＝9，在Rt△BFG中，cos∠BFG ＝，即＝，解得，FG＝15，由勾股定理得，BG ＝＝12，则点F的坐标是（8，12），11故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形，坐标与图形性质，掌握锐角三角函数的定义、矩形的性质是解题的关键．7．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，C是⊙O上的点，D 是上的点，若∠D＝120°，则∠BOC的大小为（）A．60°B．55°C．58°D．40°【分析】利用圆内接四边形对角互补可得∠B的度数，然后再判定△COB是等边三角形，进而可得答案．【解答】解：∵∠D＝120°，∴∠B＝60°，∵CO＝BO，∴△COB是等边三角形，∴∠COB＝60°，故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆内接四边形对角互补．8．在同一坐标系中，一次函数y＝mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．12【分析】本题可先由一次函数y＝mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝x2+m的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线的开口向下，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，m＜0，n2＞0，正确；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，m＞0，错误，故选：C．【点评】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，数形结合是解题的关键，难度适中．9．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是（）A．①B．②C．一样大D．无法判断【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比等于相似比，即可求出正方形的边长，根据正方形边长求出面积即可判断．【解答】解：由AC长为1cm，△ABC的面积为1cm2，可得BC＝2cm，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴＝，即＝，解得：x ＝（cm）；如图②，设加工桌面的边长为ycm，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，13∵AC＝1cm，BC＝2cm，∴AB ＝＝，∵△ABC的面积为1cm2，∴CM ＝cm，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y ＝cm，∵x2＝＝，y2＝，∴x2＞y2，即S1＞S2，故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比等于相似比；解此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答．10．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan ∠CBF ＝．设BE＝x，△BEF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）14A ．B ．C ．D ．【分析】根据折叠，可证明∠AFB＝90°，进而可证明△AFB∽△EBC，由tan∠DCE ＝，分别表示EB、BC、CE，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积，即可求解．【解答】解：由折叠的性质知，CE⊥FB，∵∠CBF+∠FBE＝90°，∠FBE+∠CEB＝90°，∴∠CBF＝∠CEB＝∠DCE ＝，设AB＝x，则AE＝EB ＝，由折叠，FE＝EB ＝，则∠AFB＝90°，由tan∠DCE ＝，∴BC ＝，EC ＝，∵F、B关于EC对称，∴∠FBA＝∠BCE，∴△AFB∽△EBC，∴＝（）2，∴y ＝x2×＝x2，故选：D．15【点评】本题考查的是动点图象问题，考查了解直角三角形、轴对称图形性质、相似三角形的性质等知识．解答关键是做到数形结合．二．填空题（共4小题）11．直线y1＝x+1与抛物线y2＝﹣x2+3如图所示，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．【分析】观察图象可知，当直线y1＝x+1的图象位于抛物线y2＝﹣x2+3的图象上方时，相应的x 的取值范围即为y1＞y2时的解，据此可解．【解答】解：∵由图象可知，当x＜﹣2或x＞1时，直线y1＝x+1的图象位于抛物线y2＝﹣x2+3的图象的上方∴当y1＞y2时，x的取值范围是＜﹣2或x＞1，故答案为x＜﹣2或x＞1．【点评】本题考查了二次函数、一次函数与不等式的关系，明确二次函数和一次函数的性质并数形结合是解题的关键．12．在△ABC中，若（cos A﹣）2+|1﹣tan B|＝0，则∠C的大小是75°．【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，即可得出答案．【解答】解：∵（cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，∴cosA﹣＝0，1﹣tanB＝0，则cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．16故答案为：75°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．13．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝6，AD＝4，EF ＝EH，那么EH的长为3．【分析】由矩形的对边平行，得到△AEH与△ABC相似，由相似三角形对应高之比等于相似比求出所求即可．【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥FG，∴△AEH∽△ABC，∴＝，∴＝，∴EH＝3，故答案为3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠，使点A落在EF上的点N，折痕为BM，再次展平，连接BN，MN．有下列结论：①∠ABM＝∠MBN＝∠CBN；②△BEN与△BMN相似；③MN 的长为1；④若P，Q分别为线段BM，BN上的动点（不包含端点），则PN+PQ的最小值是．其中正确结论的序号是①②④．17【分析】①如图，连接AN，根据线段垂直平分线的性质得到AN＝BN，根据折叠的性质得到AB＝BN，推出△ABN为等边三角形，得到∠ABN＝60°，于是得到∠ABM＝∠MBN＝∠CBN＝30°，即结论①正确；②根据折叠的性质，可得∠BNM＝∠BAD＝90°，∠BEN＝∠AEN＝90°，根据相似三角形的判定定理得到△BEN与△BMN相似，即结论②正确；③解直角三角形得到MN ＝BN ＝，即结论③错误；④过A作AQ⊥BN于Q交BM于P，则此时，PN+PQ的值最小＝AQ，解直角三角形得到PN+PQ 的最小值是．即即结论④正确．【解答】解：①如图，连接AN，∵EF垂直平分AB，∴AN＝BN，根据折叠的性质，可得AB＝BN，∴AN＝AB＝BN＝2．∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN＝60°，∴∠ABM＝∠MBN＝∠CBN＝30°，即结论①正确；②根据折叠的性质，可得∠BNM＝∠BAD＝90°，∠BEN＝∠AEN＝90°，∴∠BEN＝∠BNM，∵∠MBN＝30°，∠EBN＝60°，∴∠BMN＝60°，∴∠EBN＝∠BMN，∴△BEN与△BMN相似，即结论②正确；③∵∠ABM＝∠MBN＝30°，BN＝AB＝2，∠BNM＝∠BAM＝90°，∴MN ＝BN ＝，即结论③错误；18④∵A点和N点关于BM对称，∴过A作AQ⊥BN于Q交BM于P，则此时，PN+PQ的值最小＝AQ，∵∠ABQ＝60°，AB＝2，∴AQ ＝AB ＝，∴PN+PQ 的最小值是．即即结论④正确；故答案为：①②④．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性质和应用，要熟练掌握．此题还考查了折叠的性质和应用，要熟练掌握．三．解答题（共9小题）15．计算：2cos245°+tan60°•tan30°﹣cos60°【分析】把特殊角的三角函数值代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝2×（）2+×﹣＝1+1﹣＝．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．16．一次函数y＝x+b和反比例函数y ＝（k≠0）交于点A（a，1）和点B．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．19【分析】（1）把点A（a，1）代入y ＝，求出a，然后把求得的A的坐标代入y＝x+b 求出一次函数的解析式；（2）求出D、B的坐标，利用S△AOB＝S△AOD+S△BOD计算，即可求出答案．【解答】解：（1）∵点A（a，1）是反比例函数图象上的点，∴，∴a＝2，∴A（2，1）．又∵点A是一次函数y＝x+b的图象上的点，∴1＝2+b，解得，b＝﹣1，故一次函数解析式为：y＝x﹣1．（2）联立方程组：解得：或，∴B（﹣1，﹣2），∵直线y＝x﹣1与y轴交点D（0，﹣1），∴OD＝1，∴．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．17．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中20心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长．【分析】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴x ＝，∴正方形CDEF 的边长为．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．18．如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，ABC三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8）、B（3，8）、C（4，7）．（1）把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，写出B′的坐标；（2）请在网格图中找到一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1，写出F 点的坐标；（3）DF ＝2；（4）sin∠BDC＝．21【分析】（1）根据旋转的性质健康得到结论；（2）根据网格结构，作出DE＝2AB，EF＝2BC，DF＝2AC的三角形即可；（3）根据勾股定理即可得到结论；（4）过C作CH⊥BD于H，根据三角形的面积公式和解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示△AB′C′即为所求，B′的坐标为：B′（1，6）；（2）如图所示，△DEF即为所求，F点的坐标为（8，1）；（3）DF ＝＝2，故答案为：2；（4）过C作CH⊥BD于H，∵S△BDC＝2×5﹣﹣﹣＝3，BD ＝＝，∴CH ＝＝＝，∵CD ＝＝2，∴sin∠BDC ＝＝＝，故答案为：．22【点评】本题考查了作图﹣相似变换，作图﹣旋转变换，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．19．如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里后达到点B处，测得岛C在其北偏东45°方向上．已知岛C周围10海里内有暗礁．问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．【分析】作CD⊥AB于点D，求出C到航线的最近的距离CD的长，与10海里比较大小即可．【解答】解：无触礁危险，理由如下：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝45°，∴∠ACB＝15°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD．∵AB＝8，∴AD＝8+CD ＝．∴DC ＝≈10.9＞10，∴船继续向东航行无触礁危险．【点评】此题考查方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．20．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB23的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△ABP≌△ADP；（2）由全等三角形的性质可得PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，通过证明△EPB∽△BPF，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．24【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．21．喷洒酒精能有效杀灭“新型冠状肺炎”病毒．根据实验知道喷洒酒精在教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：h）的函数表达式为y ＝．其大致图象如图所示．请根据以上信息解答下列问题：（1）试确定点A的坐标；（2）根据经验，当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，请通过计算说明单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为多少小时？【分析】（1）点A是一次函数与二次函数的交点，令函数值相等即可求解；（2）教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3，分别令一次函数与二次函数等于1，求得相应的X值，再根据取值范围确定解，进而算出处于最佳状态的时间．【解答】解：（1）由题意可得A为函数y＝2x与y＝﹣x2+6x﹣4的交点，所以2x＝﹣x2+6x﹣4，解得x1＝x2＝2，代入y＝2x得y＝4，可得A（2，4）．（2）当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，由（1）得m＝2，当0＜x＜2时，令y＝1，2x＝1，25x ＝；当x≥2时，令y＝1，﹣x2+6x﹣4＝1整理得x2﹣6x+5＝0解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝5，所以x＝5，所以单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为（5﹣）＝4.5小时．【点评】本题考查了二次函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立函数模型．注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．也考查了一次函数．22．已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC 上取一点D，使得DE＝AD．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE，根据切线的判定方法，只要证明OE⊥DE即可；（2）证出OD是△ABC的中位线，进而求出OD，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可．【解答】解：（1）如图，连接OE、OD，在△AOD和△EOD中，∵OA＝OE，DE＝DA，OD＝OD，∴△AOD≌△EOD（SSS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，26∴DE是⊙O的切线；（2）∵△AOD≌△EOD，∴∠AOD＝∠EOD，∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，∵∠AOE＝∠B+∠OEB，∴∠BEO＝∠EOD，∴OD∥BC，又∵AO＝BO，∴，在Rt△AOD中，由勾股定理得，，即：⊙O 的半径为．【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法是解决问题的前提，转化到直角三角形中利用边角关系求解是常用的方法．23．阅读探究如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E，点E不与A，B重合，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们把E叫做四边形ABCD边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 边AB上的“强相似点”．27（1）如图①，若∠A＝∠B＝∠DEC＝40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB 上的相似点？是；（填是或否）（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B 作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，试判断点C是否是四边形ABED边DE上的相似点并说明理由．（3）如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B，求证：点P是四边形ABCD边AB上的一个强相似点．【分析】（1）先用等式的性质判断出∠ADE＝∠BEC，进而得出△ADE∽△BEC，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠DAC＝∠ECB，进而判断出△ADC∽△CEB，即可得出结论；（3）利用角平分线的定义和同旁内角互补，判断出∠DPC＝90°，进而判断出△ADP∽△PDC，即可判断出△ADP∽△PDC∽△BPC，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠DEC＝40°，∴∠AED+∠BEC＝180°﹣∠DEC＝140°，在△ADE中，∠A＝40°，∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A＝140°，∴∠ADE＝∠BEC，∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，28故答案为：是；（2）点C是四边形ABED边DE上的相似点，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵BE⊥DE，∴∠BEC＝90°＝∠ADC，∴△ADC∽△CEB，∴点C是四边形ABED边DE上的相似点；（3）∵DP平分∠ADC，∴2∠ADP＝2∠PDC＝∠ADC，∵CP平分∠BCD，∴2∠BCP＝2∠PCD＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴2∠PDC+2∠PCD＝180°，∴∠PDC+∠PCD＝90°，∴∠DPC＝90°，∵AB⊥AD，∴∠A＝90°＝∠DPC，∵∠ADP＝∠PDC，∴△ADP∽△PDC，同理：△PDC∽△BPC，∴△ADP∽△PDC∽△BPC，29∴点P是四边形ABCD边AB上的一个强相似点．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的内角和定理，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△ADP∽△PDC是解本题的关键．30。