2015年高考数学一轮复习导学案：基本不等式
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
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2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
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解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
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解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
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方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
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解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
高三数学一轮复习-基本不等式及其应用 教案设计
基本不等式及其应用一、教学分析设计【教材分析】人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。
在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。
在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。
并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。
基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。
基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。
教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。
《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。
通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。
基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它来解决简单的有关问题）。
【学生分析】从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。
从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的能力。
【目标分析】结果性目标：1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式；2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形；3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：6.4基本不等式
(2)由 x2－3xy＋4y2－z＝0， 得 z＝x2－3xy＋4y2， xy xy 1 ∴ ＝ 2 ＝ . z x －3xy＋4y2 x 4y ＋ －3 y x x 4y 又 x、y、z 为正实数，∴y＋ x ≥4， 当且仅当 x＝2y 时取等号，此时 z＝2y2.
1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ∴ ＋ － ＝ ＋ － 2＝－ y ＋ ＝－ y－1 ＋1，当 ＝1，即 y x y z 2y y 2y y y
≥3＋2＋2＋2＝9， 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时，取等号．
• 【归纳提升】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的 一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助 不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问 题．
针对训练 2．(1)若 a，b∈R，且 ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是 ( A．a2＋b2＞2ab 1 1 2 C.a＋b＞ ab B．a＋b≥2 ab b a D.a＋b≥2 )
1 y ＝ 时取等号， 2 3 2 ∴x 1＋y 的最大值为 . 4
2
(3)因为 2x＞0,2y＞0，所以 1＝2x＋2y≥2 2x· 2y ＝2 2 即2
x＋y
，故 2
x＋y
1 ≤2，
x ＋y
1 －2 ≤4＝2 ，
所以 x＋y≤－2，故选 D. 3 2 答案：(1)2 (2) (3)D 4
题型二 利用基本不等式判定或证明不等式 已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1. 1 1 1 求证： ＋ ＋ ≥9. a b c
题型三
基本不等式的实际应用 (2012· 江苏)如图，建立平面直角
坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂 直于地平面，单位长度为 1 千米，某 1 炮位于坐标原点． 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－20×(1 ＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射程 是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请 说明理由．
高考数学一轮总复习：基本不等式
2．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2 答案 D 解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D 正确．而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
∵x>0，y>0，∴x＋3y≥6. 【答案】 6
(3) 设 a， b>0 ， a ＋b ＝ 5， 则 a＋1 ＋ b＋3 的 最 大 值 为 ________．
【解析】 ( a＋1＋ b＋3)2＝a＋b＋4＋2 a＋1· b＋3≤9＋
（ 2·
a＋1）2＋（ 2
b＋3）2＝9＋a＋b＋4＝18，所以
x 16y y·x
＝18，当且仅当
8x＋1y＝1， xy＝1x6y，
即
x＝12， y＝3
时“＝”成
立，故x＋2y的最小值是18.
方法二：(消元法)由
8 x
＋
1 y
＝1，得y＝
x x－8
，由y>0⇒
x x－8
>0，又x>0⇒x>8，则x＋2y＝x＋
2x x－8
＝x＋
2（x－8）＋16 x－8
＝x＋
2＋ x－168
【答案】
1 5
★状元笔记★ 拼凑法求最值的技巧 (1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相 等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)①，“二 定”不满足时，需变形如例(1)②，“三相等”不满足时，可利用 函数单调性如例(1)③. (2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”如例 (2)本例的关键是变形，凑出和为常数．
高三数学一轮总复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式
课时跟踪检测（三十九） 基本不等式及应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解析：∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴ab 的最大值为14.答案：142．(2016·盐城调研)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，则4a －1＋16b －1＝4b －1＋16a －1a －1b －1＝4b ＋16a －20ab －a ＋b ＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫b a＋4a b ≥20＋4×2b a ·4a b ＝36，当且仅当b a＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号，所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 答案：163．已知a ＋b ＝t (a ＞0，b ＞0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t ＝________. 解析：因为a >0，b >0时，有ab ≤a ＋b24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t2时取等号．因为ab的最大值为2，所以t 24＝2，t 2＝8，所以t ＝8＝2 2.答案：2 24．(2016·常州一模)已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________．解析：因为x x 2＋4＝1x ＋4x，又x ＞0时，x ＋4x≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号，所以0<1x ＋4x≤14，即x x 2＋4的最大值为14. 答案：145．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．解析：依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案：20二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．解析：由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1时取等号． ∴m ＋n 的最小值是4. 答案：42．(2015·湖南高考改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．解析：由1a ＋2b＝ab ，知a ＞0，b ＞0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案：2 23．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．答案：804．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是________．解析：1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1a ＋1＋4b ＋1 a ＋1＋b ＋14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋b ＋1a ＋1＋ 4a ＋1b ＋1 ≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4a ＋1b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号．所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值是94. 答案：945．若一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0(a >b )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b 的最小值是________．解析：由一元二次不等式ax2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a ，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4ab ＝0且a >0，a ×1a 2－2a＋b ＝0，所以ab ＝1且a >0.又已知a >b ，所以a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2aba －b＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2a －b 时取等号．所以a 2＋b2a －b的最小值是2 2.答案：2 26．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy . 所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时等号成立． 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：27．(2016·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2 2－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：18．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)， ∴k ＝1.∴f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．答案：1 39．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x4－2x 的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2， ∴2－x >0， ∴y ＝x4－2x ＝2·x2－x≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x4－2x 的最大值为 2.10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·南京名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则3a ＋2b的最小值为________．解析：不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋z b，当z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－a b ，在y 轴上的截距为z b，由图可知当直线经过点A (4,6)时，在y 轴上的截距最大，从而z 也最大，所以4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以3a ＋2b ＝2a ＋3b 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6＋4a b ＋9b a ≥4，当且仅当a ＝32，b ＝1时等号成立．所以3a ＋4b的最小值为4.答案：42．(2015·南京二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)．若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1≥3(x ∈N *)，则(3－a )x ≤x 2＋8，即3－a ≤x ＋8x .因为x ＋8x≥28＝42，当且仅当x ＝22时取等号，又x ∈N *，当x ＝2时，x ＋8x＝6；当x ＝3时，x＋8x ＝3＋83<6，因此x ＋8x 的最小值为3＋83，于是3－a ≤3＋83，即a ≥－83. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞3．(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形为区域的总面积最大，最大为676 m 2.。
高三一轮复习基本不等式及其应用的教学设计
高三数学一轮复习——基本不等式一、教学背景分析1.高考考纲要求：①理解基本不等式及成立条件②能应用基本不等式判断大小和求最值③应用基本不等式解决实际问题和综合问题二．教学目标1.知识与技能（1）通过本节课的学习，能掌握基本不等式并能理解等号成立的条件及几何意义（2）通过基本不等式的复习，能灵活比较大小、求有关最值等应用2.过程与方法（1）通过本节课的学习，能体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等（2）通过本节课的学习，能体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程（3）能体会例题的变式改变过程，达到灵活应用的能力3.情感态度与价值观（1）通过变式教学，逐步培养学生的探索研究精神（2）通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯（3）通过高考试题与教材例题对比教学，培养学生重视基础，勿好高骛远的习惯三．教学重难点:1．重点：正确应用基本不等式进行判断和计算。
2．难点：基本不等式的变形应用。
四、教学方法:以启发引导，探索发现为主导，讲解练习为主线，用一题多解，一题多变突出重点、突破难点，以综合应用提高分析解决问题的能力，培养创新能力。
五、教学过程（二）基本不等式的应用 (,0)a x b y a b x y 、已知=(,1),=(,-1)且⊥> 的最小值为__ 的最小值为__ 2y 的最小值为__ 的最小值为___ 12129,23,______.e e e y e 例3(月基础测试卷已知两单位向量的夹角为的取值范围是+=六、课后备注本堂课是在高三第一轮复习中关于“基本不等式”的一节复习课。
通过递进式的问题设置，让学生对基本不等式的掌握能达到灵活应用的程度。
人教A版数学必修五《基本不等式》复习课导学案
高中数学必修5《基本不等式》复习课导学案 姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】 1、能够熟练运用基本不等式解决不等式的证明和最值问题． 2、培养学生的观察能力、分析问题能力的转化意识． 【重点难点】 重点：基本不等式的理解与运用．难点：应用基本不等式解决实际问题时条件的把握． 【学习过程】知识归纳1．基本不等式：对任意∈b a , ，有ab b a ≥+2成立，当仅且当b a =时取等号. ⑴),0(,+∞∈y x ，且P xy =（定值），那么当y x =时，y x +有最 值P 2.⑵),0(,+∞∈y x ，且S y x =+（定值），那么当y x =时，xy 有最 值42S . 2．基本不等式的常见变式及有关结论：⑴),(2122222+∈+≥≥+≥+R b a ba ab b a b a ⑵),(222R b a ab b a ∈≥+； ),(222R b a b a ab ∈+≤ 22b a + ),(2)(2R b a b a ∈+； ab ),()2(2R b a b a ∈+ ⑶当0>a 时，≥+a a 1 ； 当0<a 时，≤+a a1 . 基础自测 1．已知0≠ab ，R b a ∈,，则下列式子总能成立的是 （ ）A ．2≥+b a a b B ．2-≥+b a a b C ．2-≤+b a a b D ．2||≥+ba ab 2．已知两正数a ，b 满足1=+b a ，b a 21+ 的最小值为 .3．已知)2(21>-+=a a a m ，)0()21(22<=-x n x ，则m ，n 之间的大小关系为 .例2 已知两正数b a ,满足1=+b a⑴求1212+++b a 的最大值. ⑵求)1)(1(bb a a ++的最小值.小结：知识点二：利用基本不等式证明不等式例3 已知R c b a ∈,,，求证：222222444a c c b b a c b a ++≥++.小结：【课堂小结】【当堂检测】 在区间]2,21[上),()(2R c b c bx x x f ∈++=与x x x x g 1)(2++=在同一点取得相同的最小值，求)(x f 在]2,21[上的最大值 .【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
高三数学第一轮复习基本不等式及其应用导学案理
课题：基本不等式及其应用编制人： 审核： 下科行政： 学习目标:1、了解基本不等式的证明过程2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题【课前预习案】一、基础知识梳理1、2()a b -成立的条件：等号成立的条件：222a b +≥ 成立的条件：等号成立的条件：2、两个重要定理1、已知,x y R +∈，若xy 是定值P ，则当且仅当x y =时，x y +有最小值2、已知,x y R +∈，若x y +是定值S ，则当且仅当x y =时，xy 有最小值24S二、练一练 1、若0x >，则4x x+的最小值为（ ） (A) 2 (B) 3 (C) (D) 42、已知01x <<，则(33)x x -取得最大值时x 的值为（ ） (A) 13 (B) 12 (C) 34(D)233、下列函数中，最小值为2的是（ ）(A)y =21x y x +=(C) )(0y x x x =<< (D)y =4、已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为5、若1x >，则41x x +-的最小值为 【课内探究案】一、讨论、展示、点评、质疑 探究一 利用基本不等式求最值例1、求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域高考链接1（10山东）若对任意20,31xx a x x >≤++恒成立，则a 的取值范围是2（12广东模拟改编）已知1x >，则211x x y x -+=-的最小值为（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3例2、已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值高考链接1、（11重庆）已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值为（ ） (A) 72 (B) 4 (C) 92(D) 52、（11广东模拟）若直线1ax by +=（,0a b >），过圆228210x y x y ++++=的圆心，则14a b+的最小值为 (A)8 (B) 12 (C) 16 (D) 20例3、已知0,0x y >>，且280x y xy +-= 求（1）xy 的最小值 （2）x y +的最小值高考链接1、（11浙江）若实数x,y 满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为2、已知0,0x y >>，且230x y xy ++=，则xy 的最大值为探究二 、 基本不等式的综合应用例4、已知0,0x y >>，,,,x a b y 成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，则2()a b cd+的最大值是（ ）(A)0 (B) 1 (C) 2 (D) 42、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）(A) 14 (C) 32(D) 32+3、已知点(,)P x y 到(0,4)A 和(2,0)B -的距离相等时，则24x y+的最小值为 ,此时x=4、设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值为总结提升 1、 知识方面2、数学思想方面。
2015届高三数学(理)导学案-不等式
基本不等式一编写：卞胜利一、基础训练1. 已知232(0,0)x y x y+=>>，则xy 的最小值是 . 2. 设0,1a b a b <<+=，则221,,2,2b ab a b +中最大的数是 .3.函数2()f x =的最小值是 . 4. 若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是 .５. 已知两个正数,x y 满足4x y +=，若不等式14m +≥恒成立，则实数m 的取值范围是 . 二、典型例题例1.（1）设1x >-，求函数(5)(2)1x x y x ++=+的最值.（2）已知：45<x .求54114-+-=x x y 的最大值。
（3）已知：0,0>>y x ,且2075=+y x .求xy 的最大值。
例2. （1）若实数,a b 满足410(1)ab a b a --+=>，求(1)(2)a b ++的最小值；（2）已知,a b R +∈，且3a b +=. （3）已知：+∈R y x ,，且14=+y x .求yx 11+的最小值.例 3. 如图，有一块四边形B C E D 绿化区域，其中090=∠=∠D C ，3==BD BC ，1==DE CE ，现准备经过DB 上一点P 和EC 上一点Q 铺设水管PQ ，且PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分，设x DP =，y EQ =． ①求,x y 的关系式；②求水管PQ 的长的最小值．三、练习：1. 已知320x y +-=，则3271xy++的最小值是 .2. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________． 3. 设,a b c n N *>>∈，且11n a b b c a c+---≥恒成立，则n 的最大值为 . 4. 若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 .ECQ基本不等式二编写：卞胜利一、基础训练 1. 当23<x 时. 求函数328-+=x x y 的最大值 。
2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第39讲 基本不等式
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【拓展演练2】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求 1 1 1 证：a＋b＋c ≥9.
21
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1 1 1 证明： ＋ ＋ a b c 1 1 1 ＝ (a＋b＋c)＋ (a＋b＋c)＋ (a＋b＋c) a b c b c a c a b ＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ a a b b c c b a c a c b ＝3＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ ) a b a c b c ≥3＋2＋2＋2＝9. 1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3 注意：三个基本不等式等号成立的条件同时成立，“迭加 法”是证不等式的常用方法．
24
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(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为： 510x2＋790x＋9000 fx g(x)＝ ×10000＝ 2000x x 900 ＝50(x＋ ＋79) x ≥50×(2 900＋79)＝6950(元)． 900 当且仅当 x＝ ，即 x＝30 时等号成立． x 答：该写字楼建为 30 层时，每平方米平均开发费用最低．
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第39讲
基本不等式
1
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2
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1．在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是( D ) 1 A．y＝x＋ x 1 π B．y＝cos x＋ (0<x< ) cos x 2 x2＋4 C．y＝ 2 x ＋3 4 D．y＝e ＋ x－2 e
x
3
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解析：由一正二定三相等得， 4 y＝e ＋ x－2≥2 e
6
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3．已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值 为 .
2015高考数学(理)一轮复习配套课件6-4基本不等式
取等号)．
3 项必须注意——基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一 正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个 条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技 巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
答案：18
1 2. 若 a>b>0，则 a ＋ 的最小值为( ba－b
2
)
A. 2 C. 4
B. 3 D. 5
1 1 2 解析： 依题意得 a－b>0， 所以 a ＋ ≥a ＋ ba－b b＋a－b 2 [ ] 2
[归纳拓展]
常用的几个重要不等式：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． a＋b 2 (2)ab≤( 2 ) (a，b∈R)． a＋b 2 a2＋b2 (3)( )≤ (a，b∈R)． 2 2
b a (4) ＋ ≥2(a· b>0)． a b a＋b (5)1 1≤ ab≤ 2 ≤ a＋b 2 a2＋b2 2 (a>0，b>0)．
1 (3)已知 x，y>0，且 x＋4y＝1，则 xy 的最大值是 16
1 ，x ＋
1 y的最小值是
9
.
02突破3个热点考向
考向一 利用基本不等式求最值 例 1 值为( A. 9 C. 3 ) 9 B. 2 3 2 D. 2 (1)[2013· 重庆高考 ] 3－aa＋6 (－6≤a≤3)的最大
就是
a＋b 2 ab≤ 2 (a，b>0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式
等号成立的条件等．
2 个重要变形——基本不等式的变形 a＋b 2 a2＋b2 (1)ab≤( )≤ (当且仅当 a＝b 时取等号)，这个不等式链 2 2 用处很大． (2) a2＋b2 a＋b 2 2 ≥ 2 ≥ ab≥1 1(a>0，b>0，当且仅当 a＝b 时 a＋b
2015年高考数学一轮复习课时训练第4节 基本不等式
第4节基本不等式课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( C )(A)lg>lg x(x>0)(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)>1(x∈R)解析:对选项A,当x>0时,x2+-x=≥0,∴lg≥lg x;对选项B,当sin x<0时显然不成立;对选项C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立;对选项D,∵x2+1≥1,∴0<≤1.故选C.2.(2013安徽省示范高中高三模拟)“1<a<2”是“对任意的正数x,2x+≥2”的( A )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:2x+≥2≥2⇒a≥.故选A.3.(2013重庆市部分重点中学高三联考)已知p=a+(a>2),q=（）(x∈R),则p,q的大小关系为( A )(A)p≥q (B)p>q (C)p<q (D)p≤q解析:p=a+=(a-2)++2≥2+2=4,当且仅当a=3时,取得等号;而由于x2-2≥-2,故q=（）≤（）-2=4,故p≥q.故选A.4.(2012年高考浙江卷)若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( C )(A)(B)(C)5 (D)6解析:由x+3y=5xy,得+=5(x>0,y>0),则3x+4y=(3x+4y)=≥=(13+12)=5.当且仅当=,即x=2y时,等号成立,此时由解得故选C.5.(2013湖北省黄冈中学高三二模)设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=2,a2+b=4,则+的最大值为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意得:=log2a,=log2b,+=2log2a+log2b=log2(a2b)≤log2（）2=2,当且仅当b=a2时等号成立,故选B.6.(2013山东师大附中高三三模)设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则+的最小值是( C )(A)2 (B)(C)4 (D)8解析:由题意知3a×3b=()2,即3a+b=3,所以a+b=1.所以+=+=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.故选C.7.(2013深圳一调)已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为( D )(A)(B)2(C) (D)2解析:依题意得4xy=x+2y+4≥2+4,即2()2-·-2≥0,(2+)(-)≥0;又2+>0,因此-≥0,即xy≥2,当且仅当x=2y时取等号,因此xy的最小值是2,故选D.二、填空题8.(2013湖北黄州模拟)已知各项为正的等比数列{a n}中,a4与a14的等的最小值为.比中项为2,则2a=(2)2=8.解析:由已知a再由等比数列的性质有a4a14=a7a11=8.又∵a7>0,a11>0.∴2a 7+a11≥2=8.当且仅当2a7=a11时等号成立.答案:89.已知直线ax-2by=2(a>0,b>0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,ab的最大值为.解析:圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,所以圆心为(2,-1),因为直线过圆心,所以2a+2b=2,即a+b=1.所以ab≤（）2=,当且仅当a=b=时取等号,所以ab的最大值为.答案:10.(2013北京朝阳质检)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-(x+),而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5 811.(2013山师大附中高三第四次模拟)已知向量a=(x,-2),b=(y,1),其中x,y都是正实数,若a⊥b,则t=x+2y的最小值是.解析:因为a⊥b,所以a·b=(x,-2)·(y,1)=0,即xy=2.又t=x+2y≥2=4,当且仅当x=2y=2时,等号成立,所以t=x+2y的最小值是4.答案:4三、解答题12.已知函数f(x)=lg x,若x1,x2>0,判断[f(x1)+f(x2)]与f的大小,并加以证明.解:[f(x1)+f(x2)]≤f.证明如下:∵f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),f=lg ,且x1,x2>0,x1x2≤,∴lg(x1x2)≤lg,∴lg(x1x2)≤lg ,即(lg x1+lg x2)≤lg .∴[f(x1)+f(x2)]≤f,当且仅当x1=x2时,等号成立.13.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.解:(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=（+）·(x+y)=10++≥10+2=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,∴x+y的最小值为18.B组14.(2013广州市毕业班综合测试(二))某辆汽车购买时的费用是15万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元.年维修保养费用第一年3000元,以后逐年递增3000元,则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是( B )(A)8年(B)10年(C)12年(D)15年解析:当这辆汽车使用n年时,相应的年平均费用为=（+0.3n+3.3）≥×（2+3.3）,当且仅当=0.3n,即n=10时取等号,因此这辆汽车使用10年时,相应的年平均费用最少,故选B.15(2013河北省普通高中高三质检)已知M是△ABC内的一点(不含边界),且·=2,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为x,y,z,则+的最小值是.解析:可得·=||·||cos ∠BAC=2,则||·||=4,∴△ABC的面积为||·||sin ∠BAC=1,则x+y+z=1,∴+=+=5++≥5+2=9,当且仅当z=2(x+y)=时,等号成立.答案:916.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张书桌,则共需分批,每批价值为20x元,由题意得f(x)=·4+k·20x.由x=4时,f(x)=52,得k==.∴f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*).(2)由(1)知f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*),∴f(x)≥2=48(元).当且仅当=4x,即x=6时,上式等号成立.故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.。
高中数学_不等式复习(基础篇)教学设计学情分析教材分析课后反思
高考专题复习之六――不等式(基础篇)学情分析一、整体情况1、所教学生为文科实验班，共34人，是高三新成立的班，这些学生在高一、高二时都分布在平行班中，高一、高二时学生在班内相对较好。
2、数学数学基础相对较好，但数学学习习惯不够规范，具体表现在：书写不规范、思维不够清晰，缺乏思维的深度、数学运算能力不强、在数学问题中对数学知识和方法的提取与转化能力弱、缺少做题的灵活性个性品质需要再进一步提高二、本部分知识掌握情况对于本部分知识，学生在新授课和一轮复习时对一些基础题型已经能够较熟练地处理，再加之新授课中对基本题型如不等式性质的运用、解一元二次不等式等相关的单一的基本题型已经掌握较好，本节课的重点是通过对典型问题的解读分析，在思维上让学生再进一步提高，使学生能够站在更高的高度看待与不等式有关的问题，对知识点的辨认、提取、讨论、解决方面能够再上一个台阶。
三、教学目标知识1、进一步掌握不等式的性质2、掌握基本不等式的特征及运用条件3、掌握一元二次不等式与对应一元二次方程和一元二次函数的关系方法1、能较清晰地识别、辨认并能有针对性地处理与不等式有关的常见题型.2、能够较熟练地解一元二次不等式3、能够较熟练地运用基本不等式求最大（小）值4、初步掌握分类讨论的分类标准思想1、进一步提高分类整合、数形结合的能力2、通过观察、归纳、抽象等方式，培养学生求真求实的科学精神，体会数学的应用价值，提高学生的逻辑推理能力和学数学用数学的意识.四、教学策略与教学手段根据复习课的特点以及数学知识的特点，在课堂上主要采用以题促学、以题促思、学生在老师指导下进行互助合作的模式；在复习基本题型的同时突出复习重点、攻克思维难点，同时辅以多媒体演示，最大限度地提高教学效率。
高考专题复习之六:不等式(基础篇)效果分析对于本节课，我认为自己做到了以下几点：1、对所教学生的学习情况做了细致、全面的了解和分析；2、对所复习知识点在高考中的地位和作用做了全面的分析；3、对所选题目进行了精心的筛选，力争做到具有代表性，能反应高考考查的方向；4、对重点难点的突破做到了循序渐进；5、在课堂控制方面坚持以学生为主体充分挖掘学生的潜力；学生方面：1、对不等式部分有了更深刻的认识；2、对于不等式部分在高考中的地位和作用认识更到位；3、从思维层面上对不等式相关的综合题目有了一定的理性认识.专题复习之六――不等式（基础篇）教材分析一、考试大纲及考试说明的要求：1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2、一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3、基本不等式：2a b +≥ (0,0)a b ≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.二、教材分析1、本部分教材是高中数学必修五中的内容，由于本部分知识即具有知识性、工具性的特点，但在整个数学知识体系中本部分有着举足轻重的作用。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习 基本不等式及其应用教案 理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习基本不等式及其应用教案理知识梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab.当且仅当a=b时,等号成立.(2)基本不等式: 如果a,b>0.那么可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、重要结论：（1）a+ 2 （a）1（2）a+2（a）1（3）、（4）、+ab+bc+ca（5）、（ a,b>0.）（6）、+3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内容)4、推广：对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.即二、题型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值；（2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2即：和定，积最大；积定，和最小。
应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。
例2：解答下列问题（1）已知x，求x+的最小值；（2）已知0，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；（3）求函数y=（4）已知x，且x+y=1，求+。
探究二：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数；（2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；（3）、在定义域内，求出函数的最值；（4）、正确写了答案。
例3：某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。
（1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域；（2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？三、方法提升基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。
基本不等式——高三数学一轮复习
所以a＋44b＋2a1－b＝112a＋44b＋2a1－b[(a＋4b)＋(2a－b)]＝
1 12
4＋4a2＋a－4bb＋a2＋a－4bb＋1
≥
1 12
(5＋4)＝
3 4
，当且仅当a＝2b＝
8 3
时，取得最小值
3 4.
变式 3．若 1≤a≤3，则1a＋4－1 a的最小值为( D )
A．4
B．3
解析 因为1≤a≤3，所以4－a>0，
13·3x2＋12－3x22 ＝
3 6
，当且仅当3x2＝1－3x2，即x＝
6 6
时，等号成立，所以函数y＝x
1－3x20<x<
33的最大值为
3 6.
常数代换法
例 4．已知正实数a, b满足a b 1，求 4 1 的最小值. ab
解析
因为a
b
1，所以
4 a
1 b
(a
b)
4
1
4b a
a b
5
2
y
9 2
.
解析 ∵x>12，y＝2x－1，
∴x＋8y＝x＋2x－8 1＝x－12＋x－4 12＋12≥2
x－12·x－4 12＋12＝92，当且仅当x－12＝
2，即x＝52时取“等号”，∴x＋8y的最小值为92.
几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)． (3)ab≤ a＋2 b2(a，b∈R) ．
x－2·x－1 2
＋2＝4，当且仅当x－2＝x－1 2，即x＝3时取“＝”．
变式．已知 x＞54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最小值为__5__. 解析 ∵x＞54，∴4x－5＞0，∴f(x)＝4x－2＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋3≥2 1＋ 3＝5， 当且仅当4x－5＝4x－1 5，即x＝32时取等号．
高考数学大一轮总复习 基本不等式和绝对值不等式高效
【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习基本不等式和绝对值不等式高效作业理新人教A版选修4-5时间：45分钟满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：|x－1|＜2⇔－1＜x＜3，x(x－3)＜0⇔0＜x＜3.则(0,3)(－1,3)．答案：B2．设a，b为满足ab＜0的实数，那么( )A．|a＋b|＞|a－b| B．|a＋b|＜|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|＜|a|＋|b|解析：∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.答案：B3．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是( )A．0 B．1C．－1 D．2解析：由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，即a≤1.故实数a的最大值为1.答案：B4．若2－m与|m|－3异号，则m的取值范围是( )A．(－3，＋∞) B．(－3,2)C．(3，＋∞) D．(－3,2)∪(3，＋∞)解析：∵2－m与|m|－3异号，∴(2－m)(|m|－3)＜0，当m≤0时，|m|－3＜0，－m－3＜0，∴－3＜m，即－3＜m≤0；当m ＞0时，(2－m )(m －3)＜0∴(m －2)(m －3)＞0，∴m ＞3或m ＜2.∴0＜m ＜2或m ＞3.综上所述m 的取值范围为－3＜m ＜2或m ＞3.答案：D5．不等式|x －2x |＞x －2x的解集是( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：由|t |＞t 知t ＜0，故x －2x＜0，其解集为0＜x ＜2.故选A. 答案：A 6．“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R )的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分非必要条件解析：∵|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |＜m ＋m ＜2m ，∴|x －a |＜m 且|y －a |＜m 是|x －y |＜2m 的充分条件．取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，则有|x －y |＝2＜5＝2m .但|x －a |＝5不满足|x －a |＜m ＝2.5，故|x －a |＜m 且|y －a |＜m 不是|x －y |＜2m 的必要条件．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2013·重庆)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．解析：要使不等式无解，则a 必须小于或等于|x －5|＋|x ＋3|的最小值，而|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，则a ≤8，所以实数a 的取值范围是(－∞，8]．答案：(－∞，8]8．若f (x )＝|x －t |＋|5－x |的最小值为3，则实数t 的值是________．解析：由f (x )＝|x －t |＋|5－x |≥|(x －t )＋(5－x )|＝|5－t |，因此|5－t |＝3，解之得t ＝2或8.答案：2或89．(2013·陕西)(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析：∵a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn )(bm ＋an )＝(a 2＋b 2)mn ＋ab (m 2＋n 2)＝2(a 2＋b 2)＋ab (m 2＋n 2)≥2(a 2＋b 2)＋ab ·2mn ＝2(a ＋b )2＝2.当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立．答案：210．(2014·海口调研)已知关于x 的不等式|x ＋a |＋|x －1|＋a <2009(a 是常数)的解是非空集合，则a 的取值范围是________．解析：由绝对值的几何意义可知，|x ＋a |＋|x －1|<2009－a 有解，则2009－a >|1＋a |，即a －2009<a ＋1<2009－a ，解得a <1004.答案：(－∞，1004)三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(2013·福建)选修4－5：不等式选讲设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A . (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(Ⅰ)因为32∈A ，且12∉A ， 所以|32－2|＜a ，且|12－2|≥a ， 解得12＜a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (Ⅱ)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.12．(2013·辽宁)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(Ⅰ)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(Ⅱ)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解：(Ⅰ)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(Ⅱ)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.13．(2013·课标全国Ⅰ)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(Ⅰ)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(Ⅱ)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(Ⅰ)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ， x ＜12，－x －2， 12≤x ≤1，3x －6， x ＞1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(Ⅱ)当x ∈[－a2，12)时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是(－1，43]．。
高三一轮复习基本不等式复习导学案
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a abba +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”二、题型分析题型一：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型二：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值； 练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；题型三：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
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最小值 。 三：课堂研讨 例 1．求下列各式的最值： ①已知 x
2 1 ，则 t= 3x 的最___值是___________. 3 3x 2
2x 2 4x 5 的最小值是___________. x 1
②已知 x>2，则 t= ③已知 x>0,y>0,
2 3 =2，则 t=x+y 的最___值是____________. x y
课题：基本不等式
班级
姓名： 备 注
Hale Waihona Puke 一：学习目标 （1）.运用基本方法（比较法，综合法，分析法）证明基本不等式和一些简单 的不等式。 （2）.运用基本不等式证明其他不等式。 二：课前预习 1、设 x,y 是满足 2x+y=20 的正数，则 lgx+lgy 的最大值是 2、 y
x2 5 x2 4
k (k>0，k 为常数，n∈Z 且 n≥0)，若 n＋1 产品销售价保持不变，第 n 次投入后的年利润为 f(n)万元． (1)求 k 的值，并求出 f(x)的表达式；
后，每只产品的固定成本为 g(n)＝ (2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？(利润＝销售 额－固定成本－科技成本)
1 2
x2 x 1 在同一点 x
1 2
2． 已知二次函数 f(x)＝ax ＋2x＋c(x∈ R)的值域为[0， ＋∞)， 则
2
a＋1 c＋1 ＋ 的 c a
最小值为________． 3．某工厂去年某产品的年产量为 100 万只，每只产品的销售价为 10 元，固 定成本为 8 元，今年工厂第一次投入 100 万元(科技成本)，并计划以后每年 比上一年多投入 100 万元(科技成本)，预计产量年递增 10 万只．第 n 次投入
4．已知 | x |≤ 2,| y |≤ 2 ，点 P 的坐标为 ( x, y ). （1）求当 x, y R 时，P 满足 ( x 2)2 ( y 2)2 ≤ 4 的概率. （2）求当 x, y Z 时，P 满足 ( x 2)2 ( y 2)2 ≤ 4 的概率．
4
5
的最小值是_______________________.
1 4 3、已知：a，b 均为正数， ＋ ＝2，则使 a＋b≥c 恒成立的 c 的取值范围是
a b
________． 4．若 x>0，y>0 且
2 8 1 ，则 xy 最大值为 x y
5、已知不等式 x y
1 a 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的 x y
1
长？
例 3、已知 lg( x 2 y) lg x lg y ，求 3x 4 y 的最小值
2
课堂检测——基本不等式
1．下列函数中（1）y=
x 3
姓名：
4 4 x －x x （2） y sin x(0 x ) （3）y=e +4e sin x x
（4）y=log3 +4logx (0<x<1) ，其中最小值是 4 的为 。 2 2 2．若直线 2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆 x ＋y ＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长 1 1 为 4，则 ＋ 的最小值是________．
a b
1 1 3． 设 x， y∈R， a>1， b>1.若 ax＝by＝3， a＋b＝2 3， 则 ＋ 的最大值为________．
x y
4． 对于任意 x∈R，不等式 2x －a x ＋1＋3>0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
2
2
3
课外作业——基本不等式
姓名：
1．在区间 [ , 2] 上函数 f ( x) x2 bx c 与函数 g ( x) 取得相同的最小值，则 f ( x ) 在区间 [ , 2] 上的最大值为
④已知 a, b R , ab a b 3, 则 ab 有最
是
。
例 2．某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方体状） ，高度恒定，它的后墙利 用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价 40 元，两侧墙砌砖，每米造价 45 元， 屋顶每平方米造价 20 元，试计算： （1）仓库面积 S 的最大允许值 是多少？ （2）为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多