1.2 用样本估计总体
数学必修三《用样本估计总体》
极差、方差、标准差
极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差. 方差：是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即
s2 1 n
2
x1 x Leabharlann x2 x 2 xn x 2 ,
组距
0.5 0.4
0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它 对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映 总体特征.
2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不 受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优 点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
成绩(单 位： 米)
人数
1．50 1．60 1．65
2
3
2
1．70 3
1．75 4
1．80 1
1．85 1
1．90 1
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点 的横坐标。 2、在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应 该相等，由此可以估计中位数的值。下图中蓝色实线代表居民月 均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.03t. 3、平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.如 黄色实线频率
【思考】为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我 们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
第2节用样本估计总体
法二 (数据分布法)从茎叶图看,从小到大看,甲的每个数据都比乙对应的 数据小,所以甲的平均数较小;甲的数据在(70,80)内有3个,(80,90)内有2 个,90以上的有1个; 而乙的数据在(70,80)内有1个,(80,90)内有3个,90以上的有2个. 显然乙的数据分布较为集中,所以乙的方差较小.故选D.
第2节用样本估计总体
考纲展示 1.了解分布的意义和作用,能根据 频率分布表画频率分布直方图、 频率折线图、茎叶图,体会它们各 自的特点. 2.理解样本数据标准差的意义和 作用,会计算数据标准差. 3.能从样本数据中提取基本的数 字特征(如平均数、标准差),并做 出合理的解释.
4.会用样本的频率分布估计总体分 布,会用样本的基本数字特征估计总 体的基本数字特征,理解用样本估计 总体的思想. 5.会用随机抽样的基本方法和样本 估计总体的思想解决一些简单的实 际问题.
用茎叶图表示数据的优点是(1)所有的信息都
4.样本的数字特征
数
字 特
定义
征
特点
在一组数据中出 体现了样本数据的最大集中点,
现次数最多的数 不受极端值的影响,而且可能不
据
唯一
将一组数据按大 小顺序依次排列, 处在最中间位置 中位数不受极端值的影响,仅利
反映了各个样本数据聚集
标准差是样本数据到 于样本平均数周围的程度
(A)该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25 (B)该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5 (C)该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320 (D)该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32
解析:由频率分布直方图可知,中位数是频率分布直方图面积等分线对应 的数值,是26.25,故A对;众数是最高矩形的中间值27.5,故B对;1分钟仰卧 起坐的次数超过30的频率为0.2,所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30 的人数为320,故C对;1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1,所以估 计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160,故D错.故选D.
用样本估计总体教案
⽤样本估计总体教案2.2.1⽤样本的频率分布估计总体分布⼀、教学⽬标分析1．知识与技能⽬标（1）通过实例体会分布的意义和作⽤。
（2）在表⽰样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直⽅图。
（3）通过实例体会频率分布直⽅图的特征，能准确地做出总体估计。
2、过程与⽅法⽬标：通过对现实⽣活的探究，感知应⽤数学知识解决问题的⽅法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学⽅法。
3、情感态度与价值观⽬标：通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际⽣活的需要，认识到数学知识源于⽣活并指导⽣活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
⼆、教学的重点和难点重点：会列频率分布表，画频率分布直⽅图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。
三、教法与学法分析1、教法：遵循观察、探究、发现、总结式的教学模式。
重点以引导学⽣为主，让他们能积极、主动的进⾏探索，获取知识。
由于内容较繁琐，所以要借助多媒体辅助教学。
2、学法：根据本节知识的特点，由于学⽣已具备⼀定的基础知识，可采取研究性学习的学习⽅法。
四、教学过程（⼀）情境引⼊1.随机抽样有哪⼏种基本的抽样⽅法？简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.2.随机抽样是收集数据的⽅法，如何通过样本数据所包含的信息，估计总体的基本特征，即⽤样本估计总体，是我们需要进⼀步学习的内容.3.⾼⼆某班有50名学⽣，在数学必修②结业考试后随机抽取10名，其考试成绩如下：82，75，61，93，62，55，70，68，85，78.如果要求我们根据上述抽样数据，估计该班对数学模块②的总体学习⽔平，就需要有相应的数学⽅法作为理论指导，本节课我们将学习⽤样本的频率分布估计总体分布.（⼆）新课讲解知识探究（⼀）：频率分布表【问题】我国是世界上严重缺⽔的国家之⼀，城市缺⽔问题较为突出，某市政府为了节约⽣活⽤⽔，计划在本市试⾏居民⽣活⽤⽔定额管理，即确定⼀个居民⽉⽤⽔量标准a，⽤⽔量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.通过抽样调查，获得100位居民2007年的⽉均⽤⽔量如下表（单位：t）：3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.20.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.21.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.22.9 2.4 2.3 1.8 1.43.5 1.9 0.84.3 3.02.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.60.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.61.0 1.0 1.7 0.82.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2思考1：上述100个数据中的最⼤值和最⼩值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？0.2～4.3思考2：样本数据中的最⼤值和最⼩值的差称为极差.如果将上述100个数据按组距为0.5进⾏分组，那么这些数据共分为多少组？（4.3-0.2）÷0.5=8.2思考3：以组距为0.5进⾏分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5].思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据⽤表格反映出来吗？分组频数累计频数频率[0，0.5） 4 0.04[0.5，1）8 0.08[1，1.5）正正正15 0.15[1.5，2）正正正正22 0.22[2，2.5）正正正正正25 0.25[2.5，3）正正14 0.14[3，3.5）正⼀ 6 0.06[3.5，4） 4 0.04[4，4.5] 2 0.02合计100 1.00思考5：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民⽉均⽤⽔量分布的⼤致情况，给市政府确定居民⽉⽤⽔量标准提供参考依据，这⾥体现了⼀种什么统计思想？⽤样本的频率分布估计总体分布.思考6：如果市政府希望85%左右的居民每⽉的⽤⽔量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民⽉⽤⽔量标准（即a 的取值）有何建议？88%的居民⽉⽤⽔量在3t以下，可建议取a=3思考7：在实际中，取a=3t⼀定能保证85%以上的居民⽤⽔不超标吗？哪些环节可能会导致结论出现偏差？分组时，组距的⼤⼩可能会导致结论出现偏差，实践中，对统计结论是需要进⾏评价的.思考8：对样本数据进⾏分组，其组数是由哪些因素确定的？思考9：对样本数据进⾏分组，组距的确定没有固定的标准，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关，⼀般样本容量越⼤，所分组数越多.按统计原理，若样本的容量为n，分组数⼀般在（1+3.3lg n）附近选取.当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5～12组.若以0.1或1.5为组距对上述100个样本数据分组合适吗？思考10：⼀般地，列出⼀组样本数据的频率分布表可以分哪⼏个步骤进⾏？第⼀步，求极差.（极差=样本数据中最⼤值与最⼩值的差）第⼆步，决定组距与组数.（设k=极差÷组距，若k为整数，则组数=k，否则，组数=k+1）第三步，确定分点，将数据分组.第四步，统计频数，计算频率，制成表格.（频数=样本数据落在各⼩组内的个数，频率=频数÷样本容量）知识探究（⼆）：频率分布直⽅图思考1：为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息⽤下⾯的图形表⽰：上图称为频率分布直⽅图，其中横轴表⽰⽉均⽤⽔量，纵轴表⽰频率/组距. 频率分布直⽅图中各⼩长⽅形的和⾼度在数量上有何特点？思考2：频率分布直⽅图中各⼩长⽅形的⾯积表⽰什么？各⼩长⽅形的⾯积之和为多少？各⼩长⽅形的⾯积=频率各⼩长⽅形的⾯积之和=1思考3：频率分布直⽅图⾮常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表⽰出来.你能根据上述频率分布直⽅图指出居民⽉均⽤⽔量的⼀些数据特点吗？(1)居民⽉均⽤⽔量的分布是“⼭峰”状的，⽽且是“单峰”的；(2)⼤部分居民⽉均⽤⽔量集中在⼀个中间值附近，只有少数居民⽉均⽤⽔量很多或很少；(3)居民⽉均⽤⽔量的分布有⼀定的对称性等.思考4：样本数据的频率分布直⽅图是根据频率分布表画出来的，⼀般地，频率分布直⽅图的作图步骤如何？第⼀步，画平⾯直⾓坐标系.第⼆步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为⾼，分别画出各组对应的⼩长⽅形.思考5：对⼀组给定的样本数据，频率分布直⽅图的外观形状与哪些因素有关？在居民⽉均⽤⽔量样本中，你能以1为组距画频率分布直⽅图吗？（三）例题讲解例1、某地区为了了解知识分⼦的年龄结构，随机抽样50名，其年龄分别如下：42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，42，39，51，52，62，47，59，46，45，67，53，49，65，47，54，63，57，43，46，58.(1)列出样本频率分布表；(2)画出频率分布直⽅图；(3)估计年龄在32～52岁的知识分⼦所占的⽐例约是多少.(1)极差为67-28=39，取组距为5，分为8组.样本频率分布表：分组频数频率[27，32） 3 0.06[32，37） 3 0.06[37，42） 9 0.18[42，47） 16 0.32[47，52） 7 0.14[52，57） 5 0.10[57，62） 4 0.08[62，67） 3 0.06合计 50 1.00（2）样本频率分布直⽅图：频率（3）因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7，故年龄在32例 2、为了了解⼩学⽣的体能情况，抽取了某⼩学同年级部分学⽣进⾏跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直⽅图（如图），已知图中从左到右的前三个⼩组的频率分别是0.1，0.3，0.4。
高二数学必修32.2 用样本估计总体 教案2
用样本估计总体面对数据，能正确的分析、处理数据，面对现实问题，能主动尝试用数学的思维和方法去寻求解决问题的策略，提高分析问题和解决问题的能力，提高数学素养，提高应用数学的意识，让学生在合作中学会交流.引导学生自主探究，培养学生勤于思考的习惯.用数学的思维和方法解决实际问题.以学生合作探索活动为主.多媒体，计算器.(一)师：生活中处处有数据，当一串数据呈现在我们面前时，我们用统计知识学会了分析数据和处理数据.一些同学在处理教材第122页活动2的数据时遇到这样几个问题，请分组讨论一下，然后全班交流.问题 1 一个年级有几百名学生，可是计算器一次只能计算几十个数据的平均数，怎么办?(用多媒体展示)生1：用计算机计算.生2：可以先分班计算每个班男学生的平均身高，再计算全年级男同学的平均身高.28402930283235285.164400.166294.163302.163285.162321.164356.165++++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.师：前面两位同学回答很好，还有什么方法?生3：将数据分组，全年级222名男生，分成10组，先分组计算平均数，再算全年级的男生的平均身高.师：非常好，请继续.生4：可以先统计各个数据出现的次数，再作计算.生5：可以采取随机抽样的方法，用计算器产生几十个不同的随机数，相应编号的学生作为样本，先计算这几十名男生的平均身高，再估计全年级男生的平均身高.师：同学们的讨论和回答非常好，继续思考下面两个问题.(用多媒体展示)问题2 在计算20名男同学平均身高时，小华将所有数据按由小到大的顺序排列，得下表.然后，这样计算20202167416521632160415721551143⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.小华这样计算可以吗?为什么?问题3 某校九年级共有四个班，各班的男同学人数和平均身高如表.小强47.1608.1603.1622.161+++.小强这样计算平均数可以吗?为什么?生：小华这样算可以，小强这样算不可以，因为小强没有考虑到各班男生人数不等.师：小华这样算可以简化计算.解决小强遇到的问题，一般不能采取“相加除以4”的平均化策略，那么，只有在什么情况下可以采取这种策略呢?生：如果四个班的人数相同，才可以采取这种方法.(二)1.重庆市是一座美丽的城市，为增强市民的环保意识，某校家住缙云花园小区的30名九年级学生调查了某一天各自家庭丢弃废塑料袋的情况，统计结果如根据以上数据，若缙云花园小区有500户居民，则该小区所有家庭每天丢弃的废塑料袋总数约为__________万个.2.某动物园对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景(1)该动物园称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平，问动物园是怎样计算的?(2)另一方面，游客认为调整收费后动物园的平均日总收入相对调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的?(3)你认为动物园和游客哪一个的说法较能反映整体实际?师：对这两个实际问题请先独立思考，再与你的同伴交流，得到实际问题的结果.(三)通过这节课的学习，你有什么体会和收获?(引导学生小结)(四)作业1.教材第123页第1题.2.举出用样本估计总体的实例.(分组活动)。
(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。
高中数学必修二 (教案)用样本估计总体
用样本估计总体【第一课时】【教学目标】1．会画一组数据的频率分布表、频率分布直方图.2．会用频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等对总体进行估计.3．掌握求n个数据的第p百分位数的方法.【教学重难点】1．频率分布表、频率分布直方图.2．用样本估计总体.3．总体百分位数的估计.【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？2．频率分布直方图有哪些特征？3．如何求n个数据的第p百分位数？二、基础知识1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义2．百分位数（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．（2）计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．三、合作探究1．频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制角度一：频率分布表、频率分布直方图的绘制为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．【解】以4频率累计频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系： ①若极差组距为整数，则极差组距＝组数；②若极差组距不为整数，则极差组距的整数部分＋1＝组数．（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本量越大，所分组数越多．角度二：频率分布直方图的应用为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ （3）样本中不达标的学生人数是多少？ （4）第三组的频数是多少？【解】（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08．又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.（3）由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12． 所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．（4）第三小组的频率为172＋4＋17＋15＋9＋3＝0.34．又因为样本量为150，所以第三组的频数为150×0.34＝51．频率分布直方图的应用中的计算问题 （1）小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率；（2）各小长方形的面积之和等于1；（3）频数样本量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本量，样本量×频率＝频数．2．条形统计图为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．请根据统计图提供的信息回答以下问题： （1）求抽取的学生数；（2）若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；（3）估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比． 【解】（1）从统计图上可以看出，喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人； 喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人； 喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人； 喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．（2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为106 300，由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有106300×3 000＝1 060(人)．（3）该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为45300×100%＝15%.（1）绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图．实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越精确．（2）在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．3．折线统计图小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．根据图中的信息，回答以下问题：（1）护士每隔几小时给小明测量一次体温？（2）近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？（3）从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？（4）如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？【解】（1）根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．（2）从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．（3）从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．（4）9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．（1）绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可．（2）在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．4．扇形统计图下图是A ，B 两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图： （1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？（2）已知A 学校收到的剪纸作品比B 学校的多20件，收到的书法作品比B 学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？【解】（1）不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．（2）设A 学校收到艺术作品的总数为x 件，B 学校收到艺术作品的总数为y 件，则⎩⎨⎧10%x －5%y ＝20，50%y －40%x ＝100，解得⎩⎨⎧x ＝500，y ＝600，即A 学校收到艺术作品的总数为500件，B 学校收到艺术作品的总数为600件．（1）绘制扇形统计图时，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．（2）扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．5．百分位数的计算试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．【解】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．因此，甲组数的25%分位数为x5＋x62＝2＋32＝2.5；甲组数的75%分位数为x15＋x162＝9＋102＝9.5．乙组数的25%分位数为x5＋x62＝1＋12＝1，乙组的75%分位数为x15＋x162＝10＋142＝12．求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．【课堂检测】1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是()解析：选D．用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为()A．0.1B．0.2C．0.3 D．0.4解析：选C．由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为0.001×300＝0.3，故选C．3．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是()A．甲校女生比乙校女生多B．乙校男生比甲校男生少C．乙校女生比甲校男生少D．甲、乙两校女生人数无法比较解析：选D．图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生总数不知道，因此男生与女生的具体人数也无法得知．【第二课时】 【教学目标】1．理解样本数据标众数、中位数、平均数的意义和作用，学会计算数据的众数、中位数、平均数.2．理解样本数据方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差.【教学重难点】会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．【教学过程】一、基础知识1．众数、中位数、平均数 众数、中位数、平均数定义（1）众数：一组数据中出现次数最多的数．（2）中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．（3）平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数．思考：平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 答案：平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．2．方差、标准差标准差、方差的概念及计算公式（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].（2）标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．（3）标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s ＝0时，每一组样本数据均为x .二、合作探究1.众数、中位数、平均数的计算（1）某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为()A．85,85,85B．87,85,86C．87,85,85D．87,85,90（2）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为() A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8答案（1）C（2）C解析（1）平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87，众数为85，中位数为85．（2）结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解．由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，所以x＝5．又乙组数据的平均数为9＋15＋10＋y＋18＋245＝16.8，所以y＝8，所以x，y的值分别为5,8．【教师小结】平均数、众数、中位数的计算方法：平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．2．标准差、方差的计算及应用甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5．（1）分别计算以上两组数据的平均数；（2）分别求出两组数据的方差；（3）根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？解（1）x甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．（2）由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，得s 2甲＝3，s 2乙＝1.2．（3）x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．又s 2甲＞s 2乙说明甲战士射击情况波动比乙大．因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．【教师小结】（1）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．（2）样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．（3）当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数据分布情况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．三、课堂总结1．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.【课堂检测】1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是( )A ．19B ．20C ．21.5D ．23答案 B解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B ．2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是( )A ．中位数可以准确地反映出总体的情况B ．平均数可以准确地反映出总体的情况C ．众数可以准确地反映出总体的情况D ．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况答案 D3．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得的数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差答案 D4．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关答案 B解析 由茎叶图知，a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋55＝84， a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋75＝85，故选B ． 5．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________．答案 16解析 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ，则s ＝8，可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16．。
用样本估计整体的基本步骤
用样本估计整体的基本步骤
用样本估计整体的基本步骤通常包括以下几个部分：
1.确定研究目标和总体：首先确定你想要估计的总体，即你
希望得到关于整体特征的估计值。
2.定义样本和抽样方法：确定你将要使用的样本大小和抽样
方法。
样本应该以代表性的方式从总体中选择，以确保估计的结果具有统计学上的可靠性。
3.收集数据：采用所选择的抽样方法从总体中抽取样本，并
收集样本数据。
确保采样过程是随机的，以避免样本选择上的偏差。
4.数据整理和分析：对收集到的样本数据进行整理和分析。
这包括描述性统计分析、计算样本统计量等。
5.估计总体参数：根据样本数据，计算出所需的总体参数的
估计值。
例如，估计总体均值、总体比例等。
这通常涉及到对样本统计量的计算和推断。
6.确定估计的精度和置信水平：评估估计结果的精度和可靠
性。
这可以通过计算估计值的置信区间来完成，确定估计结果所在的范围。
7.结果解释和推断：将估计结果解释给目标受众。
解释估计
结果的含义、置信水平以及可能的限制。
8.结论和报告：根据估计结果，得出结论并撰写报告。
将报
告中包含所采用的方法、数据分析流程、估计结果和相关
的解释。
在用样本估计整体时，确保使用恰当的统计方法和技术，并遵循相关的统计学原则和假设。
此外，维护数据的质量和准确性也是十分重要的，以确保估计结果的可靠性和有效性。
高中数学必修三目录人教版
高中数学必修三目录人教版第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题后记高中数学必修三知识点程序框图程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形;程序框图的构成：一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框;带箭头的流程线;程序框内必要的说明文字。
设计程序框图的步骤：第一步，用自然语言表述算法步骤;第二步，确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框图表示，得到该步骤的程序框图;第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图。
画程序框图的规则：1使用标准的框图符号;2框图一般按从上到下、从左到右的方向画;3除判断框外，大多数程序框图中的程序框只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号;4在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
几种重要的结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
语句输入语句：在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。
这个语句的一般格式是：其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。
如每次运行上述程序时，依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”，并按“x”新获得的值执行下面的语句。
输出语句：在该程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。
它的一般格式是：同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。
必修三2.2.用样本估计总体(教案)
2.2 用样本估计总体教案 A第1课时教学内容§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布教学目标一、知识及技能1. 通过实例体会分布的意义和作用.2. 在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.二、过程及方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学设想一、创设情境在ＮＢＡ的2004赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.二、探究新知探究1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，第 1 页为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.（一）频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1.计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差；2.决定组距及组数；3.将数据分组；4.列频率分布表；5.画频率分布直方图.以教材P65制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图.（让学生自己动手作图）频率分布直方图的特征：1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.探究2：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图的不同看法进行交流……）接下来请同学们思考下面这个问题：思考：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见教材P67）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）（二）频率分布折线图、总体密度曲线1．频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.思考：1．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？2．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但一般很难像函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．（三）茎叶图１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把第 3 页这样的图叫做茎叶图.（见教材P70例子）2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示.（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.三、例题精析例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm ）：（1）列出样本频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图如下：（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134cm 的人数占总人数的19%.cm ）例2 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高及频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为：40.0824171593=+++++， 又因为频率＝.第二小组频数样本容量所以，12150.0.08===第二小组频数样本容量第二小组频率 （2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.四、课堂小结1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.五、评价设计1．P81习题2.2 A组1、2.第2课时教学内容§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标一、知识及技能1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4. 形成对数据处理过程进行初步评价的意识.二、过程及方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数及标准差.教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学设想一、创设情境在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）.二、探究新知（一）众数、中位数、平均数探究（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供第 5 页关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t （最高的矩形的中点）（图见教材第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.提问：请大家翻回到教材第66页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.（图略见教材73页图2.2-6）思考：2.02这个中位数的估计值，及样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）图2.2-6显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t 左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）（二）标准差、方差１．标准差平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为176cm ，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高.但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态.例如，在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？ 我们知道，77x x ==乙甲，.两个人射击的平均成绩是一样的.那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ74图2.2-7）直观上看，还是有差异的.很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据.考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.样本数据1,2,,n x x x 的标准差的算法：第 7 页（１） 算出样本数据的平均数x .（２） 算出每个样本数据及样本数据平均数的差：(1,2,)i x x i n -= （３） 算出（２）中(1,2,)i x x i n -=的平方.（４） 算出（３）中n 个平方数的平均数，即为样本方差.（５） 算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差.其计算公式为：显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小.提问：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？从标准差的定义和计算公式都可以得出：s ≥0.当0s =时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数.2．方差从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s （即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.三、例题精析例1 画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点.（1）５，５，５，５，５，５，５，５，５（2）４，４，４，５，５，５，６，６，６（3）３，３，４，４，５，６，６，７，７（４）２，２，２，２，５，８，８，８，８分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：（图见教材Ｐ76）四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３.他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm ）：甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.3825.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.4225.45 25.35 25.41 25.39乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.3625.34 25.49 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.3125.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？分析：比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数及标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值.解：四、课堂小结1. 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：（1）用样本平均数估计总体平均数.（2）用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大，估计就越精确.2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度.五、评价设计P81 习题 2.2 A组 3、4.教案 B第1课时教学内容§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布教学目标一、知识及技能1.通过实例体会分布的意义和作用.2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.二、过程及方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学设想一、创设情境，导入新课我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.二、新课探知（一）频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1. 计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差；2. 决定组距及组数；第 9 页cm ） 3. 将数据分组；4. 列频率分布表；5. 画频率分布直方图.以教材P65制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图.（让学生自己动手作图）例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm ）：（1）列出样本频率分布表；（2）一画出频率分布直方图；（3）估计身高小于134C ｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图：（3134cm 的男孩出现的，所以我们估计身高小 （1趋势. （2把数据抹掉了.曲线 1．频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.（见教材P69）（三）茎叶图１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.（见教材P70例子）2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示.（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.例2某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.用茎叶图表示，你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？解：“茎”指的是中间的一列数，表示得分的十位数；“叶”指的是从茎的旁边生长出来的数，分别表示两人得分的个位数.画这组数据的茎叶图的步骤如下第一步，将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分；第二步，茎是中间的一列数，按从小到大的顺序排列；第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.甲乙8 04 6 3 1 2 53 6 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 94 4 91 5 0从图中可以看出，乙运动员的得分基本上是对称的，页的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎2，3，4上，中位数为36；甲运动员的得分除一个特殊得分（51分）外，也大致对称，叶的分布也是“单峰”的，有的叶主要集中在茎1，2，3上，中位数是26.由此可以看出，乙运动员的成绩更好. 另外i，从叶在茎上的分布情况看，乙运动员的得分更集中于峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定.练习：在ＮＢＡ的2010赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33学生画出茎叶图（略）三、巩固练习为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（见下页图示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.第 11 页（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高及频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：40.08 24171593=+++++，又因为频率＝第二小组频数样本容量，所以，121500.08===第二小组频数样本容量第二小组频率.（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.四、小结1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.五、布置作业P71练习1、2、3.第2课时教学内容§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标一、知识及技能1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4. 形成对数据处理过程进行初步评价的意识.二、过程及方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数及标准差.教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学设想一、创设情境导入新课在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征.二、新课探究（一）众数、中位数、平均数初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见教材第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.提问：请大家翻回到教材第66页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，第 13 页。
☆☆用样本估计总体
组距
0.5
4、列出频率分布表.(填写频率/组距一栏) 5、画出频率分布直方图。
思考： 频率分布条形图和频率分布直方图是两个 相同的概念吗？ 有什么区别？
频率分布的条形图和频率分布直方图的区别
两者是不同的概念； 横轴：两者表示内容相同 纵轴：两者表示的内容不相同 频率分布条形图的纵轴（长方形的高）表示频率 频率分布直方图的纵轴（长方形的高）表示 频率与组距的比值， 其相应组距上的频率等于该组距上长方形的面积。
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的
百分比,精确地反映了总体的分布规律。是研究总
体分布的工具.
用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， 一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布
规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值
百分比。
表示样本的分布的方法： 3.频率分布折线图 1.频率分布表 样本频率分布中， 分组 个数累计 频数 频率 当样本容量无限增 大，组距无限缩小
频率分布
样本中所有数据（或数据组）的频数和 样本容量的比，叫做该数据的频率。 所有数据（或数据组）的频数的分布 变化规律叫做样本的频率分布。
频率分布的表示形式有：
①样本频率分布表 ②样本频率分布图 样本频率分布条形图 样本频率分布直方图 ③样本频率分布折线图
1、抛掷硬币的大量重复试验的结果： 频率分布表： 样本容量为72 088
分 组 [0，0.5） [0.5，1） [1，1.5） [1.5，2） [2，2.5） [2.5，3） [3，3.5） [3.5，4） [4，4.5] 合计
频数 4 正 8 正 正 正 15 正 正 正 正 22 正 正 正 正 正 25 正 正 14 正 一 6 4 2 100
用样本的频率分布估计总体分布
25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41
25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39
26.5～28.5
28.5～30.5
合计
2020/12/13
23
第二十三页，共34页。
红星养猪场400头猪的质量频率分布直方图如图，其中数据不在分点上。按图回答：
练 习
1）质量在
组里的猪最多，有
二 2）质量在60.5kg以上的猪有
头。
头。
3）这400头猪的总质量约 55k.g5，～60.5
400×0.4=160
分数段 40.5~50.5 50.5~60.5 60.5~70.5 70.5~80.5 80.5~90.5 90.5~100.5
人数 2 2 7 16 8 5
频率 与全班人数的比
0.05
00..44
0.05
00..33
0.175
0.2
0.40 0.20 0.125
0.1 00
20学20生/1分2/1数3分布表（频率分布表）
25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40
25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56
25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49
4、列出频率分布表.(学生填写频率/组距一栏)
专题18 古典概型与统计(解析版)
专题18 古典概型与统计一、解答题1．（2022年全国新高考II卷数学试题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【答案】(1)47.9岁；(2)0.89；(3)0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式=-即可解出；P A P A()1()（3）根据条件概率公式即可求出．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2(1)平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁）． (2)设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．(3)设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈． 2．（内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第二中学2022届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试题）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：代表）；②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为(01)p p <<，每次考实践操作合格的概率均为12，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求p 的取值范围. 【答案】(1)①a =20，平均分74；②27(2)1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）①利用样本总量为100求出20a =，从而估计出平均分，②利用分层抽样得到[40，50)， [50，60)， [60，70)分别抽取1人，2人，4人，利用列举法求出古典概型的概率； （2）求出小明考试的考试次数的可能取值及相应的概率，得到考试次数的期望值，列出不等式，求出p 的取值范围. (1)①由题意得：51030510100a a ++++++=，解得：20a =， ()14555510652075308525951074100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ②[40，50)， [50，60)， [60，70)频率之比为1:2:4，抽取7个学生进行教学调研， 故[40，50)， [50，60)， [60，70)分别抽取1人，2人，4人，设抽取的[40，50)的学生为A ， [50，60)的学生为,B C ， [60，70)的学生为a b c d ,,,， 这7名学生中随机选2人进行教学调研，则一共的选法有()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b A c A d B C B a B b B c B d ， ()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,C a C b C c C d a b a c a d b c b d c d ，共有21种情况，其中这2人均来自[60，70)的情况有()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d ，共6种情况，所以这2人均来自[60，70)的概率为62217=. (2)小明考试的次数为2次的概率为()22131122p p p p +-=-+， 考试次数为3次的概率为()21111222p p p p p -⨯+=-，考试次数为4次的概率为()21111222p p p p -⨯=-， 考试次数的期望值为22223111321342222222p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2352222p p -++≥，解得：113p ≤≤， 因为01p <<，所以11.3p ≤<即p 的取值范围是1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.3．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022届高三第三次模拟考试数学（文科）试题）某经销原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4商采购了一批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐（每筐1kg ），得分数据如下：17，23，29，31，34，40，46，50，51，51，58，62，62，68，71，78，79，80，85，95．根据以往的大数据认定：得分在区间0,25，(]25,50，(]50,75，(]75,100内的分别对应四级、三级、二级、一级． (1)试求这20筐水果得分的平均数．(2)用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售； 方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售； 方案2：分等级出售．不同等级水果的售价如下表所示：【答案】(1)55.5(2)采用方案1较好；理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用平均数公式进行求解；（2）分别计算出方案1与方案2的平均数，比较后得到答案.(1)这20筐水果得分的平均数为172329313440465051515862626871787980859555.520+++++++++++++++++++=(2)方案1：由于得分的平均数(]55.550,75∈，所以可以估计这批水果的销售单价为1.8万元/吨．方案2：设这批水果售价的平均值为x 万元/吨，由已知数据得， 得分在0,25内的有17，23，共2个，所以估计四级水果所占比例为110， 得分在(]25,50内的有29，31，34，40，46，50，共6个，所以估计三级水果所占比例为310， 得分在(]50,75内的有51，51，58，62，62，68，71，共7个，所以估计二级水果所占比例为720， 得分在(]75,100内的有78，79，80，85，95，共5个，所以估计一级水果所占比例为14，则17312 1.8 1.4 1.2 1.674201010x =⨯+⨯+⨯+⨯=（万元/吨）．所以从经销商的角度考虑，采用方案1的售价较高，所以采用方案1较好．4．（吉林省吉林市普通中学2022届高三下学期第四次调研测试文科数学试题）为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：(1)求a ，b 的值，并补全频率分布直方图；(2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)以频率估计概率，若()(]0.8,0.9P X x s ≥-∈，社区获得“反诈先进社区”称号，若()(]0.9,1P X x s ≥-∈，社区获得“反诈先锋社区”称号，试判断该社区可获得哪种称号（s 为竞赛成绩标准差）？【答案】(1)4a =；40b =，图见解析 (2)75，100(3)该社区可获得“反诈先进社区”称号原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图与频率分布表求出a 、b 的值，从而补全频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图中平均数与方差公式计算可得；（3）根据频率分布直方图求出()()65P X x s P X ≥-=≥，即可判断； (1)解：由题可知：0.004101004a =⨯⨯=，()10024224028440b =-+++++=， 所以100名居民竞赛成绩在[)70,80组内频率/组距为40100.040100÷=， 补全频率分布直方图如下：(2)解：估计该社区居民竞赛成绩的平均数 24224028445556575859575100100100100100100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计该社区居民竞赛成绩的方差 ()()()22222422457555756575100100100s =-⨯+-⨯+-⨯ ()()()22240284757585759575100100100100+-⨯+-⨯+-⨯= (3)解：由（1）可得10s =，所以()()()()6516510.002100.004100.02250.83P X x s P X P X ≥-=≥=-<=-⨯+⨯+⨯= ∵(]0.830.8,0.9∈所以该社区可获得“反诈先进社区”称号．5．（四川省泸州市泸县第二中学教育集团2022届高考仿真考试（四）数学（文）试题）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图．(1)该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？ (2)为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如下．（ⅰ）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（ⅰ）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至多有一天超过250元的概率．【答案】(1)小吃类商贩40家，果蔬类商贩15家 (2)（ⅰ）152.5元（ⅰ）1415【解析】 【分析】（1）先通过扇形统计图计算出小吃类所占的比例，然后根据百分比计算出小吃类和果蔬类商贩各多少家；（2）（i ）根据频率分布直方图，利用每组数据区间的中间值乘以该组的频率求和得出平均数；（ii ）根据频率分布直方图，计算出日收入超过200元的天数及日收入在200250-，250300-的天数，然后利用古典概型的计算方法计算概率. (1)由题意知，小吃类所占比例为125%15%10%5%5%40%-----=， 按照分层抽样的方式随机抽取，应抽取小吃类商贩10040%40⨯=（家）， 果蔬类商贩10015%15⨯=（家）．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8(2)（ⅰ）该果蔬经营点的日平均收入为()750.0021250.0091750.0062250.0022750.00150152.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=元．（ⅰ）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为：()0.0020.001500.15+⨯=，0.15406⨯=天，其中超过250元的有2天，记日收入超过250元的2天为1a ，2a ，其余4天为1b ，2b ，3b ，4b 随机抽取两天的所有可能情况为：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()14,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()24,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()34,b b 共15种， 其中至多有一天超过250元的对立事件为：()12,a a 共1种． 所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为11411515-=． 6．（河南省安阳市2022届高三下学期高考模拟试题文科数学试题）某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解乘坐公共交通的乘客的年龄分布，交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：(1)求m 的值和这1200名乘客年龄的中位数；(2)现在从年龄分布在[20,40)人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行问卷调查，求这2人中至少有一人年龄在[20,30)的概率． 【答案】(1)0.02m =，中位数为1003； (2)710【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出m ，再根据中位数计算公式计算可得；（2）根据分层抽样求出[20,30)、[30,40)的人数，分别记作A 、B 、a 、b 、c ，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得； (1)解：依题意可得()0.0050.0150.030.0150.010.005101m ++++++⨯=，解得0.02m =， 因为()0.0050.0150.02100.40.5++⨯=<，所以中位数为于[)30,40， 设中位数为x ，则()()0.0050.0150.0210300.030.5x ++⨯+-⨯=，解得1003x =，故这1200名乘客年龄的中位数为1003； (2)解：从年龄分布在[20,40)人中用分层抽样的方法抽取5人，则[20,30)中抽取0.02520.020.03⨯=+人，记作A 、B ，[30,40)中抽取0.03530.020.03⨯=+人，记作a 、b 、c ，则从这5人中抽取2人进行问卷调查有(),A B ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),a b ，(),a c ，(),b c 共10个基本事件；满足这2人中至少有一人年龄在[20,30)的有(),A B ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c 共7个基本事件，所以满足这2人中至少有一人年龄在[20,30)的概率710P =； 7．（北京市一零一中学2022届高三下学期三模数学试题）作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长17.4%，下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2%．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10(1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为17.2%，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X 为“选取的2个年份中，增长率高于17.2%的年份的个数”，求X 的分布列及数学期望；(3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为0x ，平均数为x ，比较和0x 与x 的大小（只需写出结论）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)0x x 【解析】 【分析】（1）根据“2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2%”补全折线图（2）根据题意写出X 的取值并计算对应的概率，写出分布列即可 （3）根据题意分别计算0,x x ，直接写出答案即可 (1)(2)依题意，X 的可能取值为0,1,22427C 2(0)C 7P X === ；113427C C 4(1)C 7P X === ；2327C 1(2)C 7P X ===X ∴的分布列为：X ∴的数学期望()0127777E X =⨯+⨯+⨯=(3)0x x <8．（广东省潮州市瓷都中学2022届高三下学期第三次模拟数学试题）2020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务.但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式.某村盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[]200,500（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示.(1)按分层抽样的方法从质量落在[)250,300，[)300,350的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A .所有脐橙均以7元/千克收购；B .低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购.请你通过计算为该村选择收益较好的方案.（参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=） 【答案】(1)710； (2)选择方案B ，理由见解析. 【解析】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12【分析】（1）求出质量落在[)250,300，[)300,350的脐橙频率比，确定分层抽样落在[)250,300有2个，质量落在[)300,350有3个，利用超几何分布的概率公式求出2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；（2）计算出这100个脐橙的平均质量，从而计算出A 方案的收益，再根据频率求出低于350克的脐橙个数和不低于350克的脐橙个数，求出方案B 的收益，比较得到结论.(1)质量落在[)250,300，[)300,350的脐橙的频率分别为0.0032500.16⨯=，0.0048500.24⨯=，其中0.16:0.242:3=，所以用分层抽样的方法抽取的5个脐橙中，质量落在[)250,300有2个，质量落在[)300,350有3个，则从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率为11223225C C C 7C 10+= (2)设这100个脐橙的平均质量为x ，则()2250.0012750.00323250.00483750.0064250.0044750.00150354.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=A 方案：设收益为1w ，则51100000354.50.007 2.481510w =⨯⨯=⨯（元）； B 方案：设收益为2w ，以频率代表概率，则低于350克的脐橙个数为()0.0010.00320.00485010000045000++⨯⨯=， 不低于350克的脐橙个数为()0.0060.0040.0015010000055000++⨯⨯=， 所以2450002550003255000w =⨯+⨯= 因为12w w <，所以该村选择收益较好的方案B .9．（河南省开封市部分学校2022届高考考前押题文科数学试题）2022年2月20日，北京冬奥会在国家体育场“鸟巢”落下帷幕，中国代表团创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某学校组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩分成[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100（成绩均在区间[]50,100上）共五组并制成如下频率分布直方图.学校决定对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶.(1)试求参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估计值；(2)从受奖励的15名学生中按上述成绩分组并利用分层抽样抽取5人.现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率. 【答案】(1)众数为75，受奖励分数的估计值为85(2)35【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图众数求法，可得众数；先求得成绩在[]90,100的人数，分析可得受奖励分数线在[)80,90内，且设为x ，根据题意，列出方程，即可得答案.（2）由（1）可得成绩在[)85,90的人数为9，成绩在[]90,100的人数为6，利用分层抽样，分别求得两层人数，且记作1A ，2A ，3A ， 1B ，2B ，分别列出总可能情况和满足条件情况，根据古典概型概率公式，即可得答案. (1)由频率分布直方图估计众数为75，竞赛成绩在[]90,100的人数为0.006101006⨯⨯=，竞赛成绩在[)80,90的人数为0.0181010018⨯⨯=，故受奖励分数线在[)80,90内. 设受奖励分数为x ，则()900.0180.006100.15x -⨯+⨯=， 解得85x =，故受奖励分数的估计值为85. (2)由（1）知，受奖励的15人，成绩在[)85,90的人数为9，成绩在[]90,100的人数为6， 利用分层抽样，可知成绩在[)85,90的抽取3人，记作1A ，2A ，3A ，成绩在[]90,100的抽取2人，记作1B ，2B ，现从这5人中抽取2人，所有的可能情况有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B 共10种，满足条件的情况有()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B 共6种， 故所求的概率为63105P ==. 10．（山东省日照市2022届高三下学期5月校际联合考试（三模）数学试题）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，深度睡眠时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：(1)根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组(2)据统计，睡眠指数得分在区间[)76,90内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间[)76,90内的人群中随机抽取3人，以X 表示这3人中属于早睡人群的人数，求X 的分布列与数学期望()E X ． 【答案】(1)分别在第3组，第2组 (2)分布列见解析，()125E X = 【解析】 【分析】(1)根据百分位数的定义，结合题意给的表格与数据直接得出结果；(2)利用二项分布求概率公式分别求出()()()()0123P X P X P X P X ====、、、， 进而列出分布列，结合数学期望的计算公式计算即可. (1)早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组． (2)X 的所有可能取值为0，1，2，3．()()0312013341141120C 1C 5512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， ()()2132333414841642C 3C 5512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 所以随机变量X 的分布列为：()11248641201231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 11．（河南省许平汝联盟2021-2022学年高三下学期核心模拟卷（中）文科数学（三）试题）2021年10月1日是中华人民共和国成立72周年.某校举行了爱国知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，最低分不低于50分）进行统计，得出频率分布直方图如图所示：(1)求实数m 的值，并估计这100名学生的成绩的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)若用分层抽样的方法在[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组中抽取6人担任爱国知识宣传员，再从这6人中随机选出2人负责整理爱国知识相关材料，求这2人中至少有1人来自[)80,90组的概率.【答案】(1)0.014m =，平均数是84.2分；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16(2)35. 【解析】 【分析】（1）利用直方图的性质及平均数的求法即得； （2）利用分层抽样的概念及古典概型的概率公式即得. (1)由题意知，()0.0040.0120.0280.042101m ++++⨯=， 解得0.014m =，∴0.04550.12650.14750.28850.429584.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）. 估计这100名学生的成绩的平均数是84.2分. (2)由题知[)70,80组有1000.1414⨯=人，[)80,90组有1000.2828⨯=人，[]90,100组有1000.4242⨯=人，利用分层抽样抽取6名学生，则在[)70,80，[)80,90，[]90,100组中抽取的人数分别为：614184⨯=人，628284⨯=人，642384⨯=人， 即在[)70,80，[)80,90，[]90,100组中抽取的人数分别为1人、2人、3人，记[)70,80组的1位同学为A ，[)80,90组的2位同学为1B 、2B ，[]90,100组的3位同学为1C 、2C 、3C ，则从6位同学中抽2位同学有()1,A B ，()2,A B ，()1,A C ，()2,A C ，()3,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()13,B C ，()21,B C ，()22,B C ，()23,B C ，()12,C C ，()13,C C ，()23,C C ，共15种可能，其中[)80,90组中至少有1人入选的有()1,A B ，()2,A B ，()12,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()13,B C ，()21,B C ，()22,B C ，()23,B C ，共9种，所以这2人中至少有1人来自[)80,90组的概率为93155P ==. 12．（贵州省普通高等学校招生2022届高三适应性测试数学（文）试题）北京冬奥会期间，志愿者团队“Field Cast ”从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年龄进行统计分析（抽取的运动员年龄均在区间[16，40]内），经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图（图1）和男运动员的年龄扇形分布图（图2）.回答下列问题：(1)求图1中的a 值；(2)利用图2，估计参赛男运动员的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)用分层抽样方法在年龄区间为[16，24）周岁的女运动员中抽取5人，男运动员中抽取4人；记这9人中年龄区间在[20，24）周岁的运动员有m 人，再从这m 人中抽取2人，求这2人是异性的概率. 【答案】(1)0.0500 (2)26.8周岁(3)35【解析】 【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出a 的值， （2）直接利用平均数公式求解即可，（3）先由题意结合分层抽样的定义求出6m =，然后利用列举法求解概率 (1)依题意，()40.07500.07500.02500.01250.01251a +++++=， 解得0.0500.a = (2)用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，由图2可知：年龄区间为[16，20），[20，24），[24，28），[28，32），[32，36），[36，40]的频率分别为：0.1，0.3，0.2，0.2，0.1，0.1 所以参赛男运动员的平均年龄估值为：180.1220.3260.2300.2340.1380.126.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即男运动员的平均年龄估值为26.8周岁. (3)由图1可知；年龄区间为[16，20）周岁的女运动员有0.05410020⨯⨯=人，年龄区间为[20，24）周岁的女运动员有0.0750410030⨯⨯=人，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18由图2可知：年龄区间为[16，20）和[20，24）周岁的男运动员分别有10人和30人， 故用分层抽样女运动员年龄在区间[16，20）和[20，24）应分别抽取2人和3人，男运动员年龄在区间[16，20）和[20，24）应分别抽取1人和3人. 所以抽取的9人中年龄在[20，24）的有6人，故6m =记这6人中年龄在[20，24）周岁的3名女运动员分别为a ，b ，c ，3名男运动员分别为1，2，3，从6人中抽取2人的基本事件如下：（a ，b ），（c a ，），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（b ，c ），（b ，1），（b ，2），（b ，3），（c ，1），（c ，2），（c ，3），（1，2），（1，3），（2，3），共15种. 记抽取2人是异性的事件为A ，事件A 包含基本事件有：（a ，1），（a ，2），（a ，3），（b ，1），（b ，2），（b ，3），（c ，1），（c ，2），（c ，3）共9种所以()93155P A ==. 13．（江西省上饶市六校2022届高三第二次联考数学（文）试题）在迎接2022年北京冬季奥运会期间，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值；(2)从比赛成绩在[)50,60和[)80,90两个分数段内按照分层抽样随机抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生恰好来自不同分数段的概率. 【答案】(1)0.025a =21【解析】 【分析】（1）利用频率和为1可直接求得结果；（2）根据分层抽样原则可确定[)50,60中应抽取2人，[)80,90中应抽取5人；列举出7名学生中随机抽取两名学生所有的基本事件和两名学生恰好来自不同分数段的基本事件，由古典概型概率公式可得结果. (1)()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=，0.025a ∴=.(2)比赛成绩在[)50,60和[)80,90的频率之比为0.1:0.252:5=，[)50,60∴中应抽取2人，记为,A B ；[)80,90中应抽取5人，记为,,,,a b c d e ；从7名学生中随机抽取两名学生有：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ae ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，Be ，ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共21个基本事件；其中两名学生恰好来自不同分数段的情况有Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ae ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，Be ，共10个基本事件；∴两名学生恰好来自不同分数段的概率1021p =. 14．（广西柳州市2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 【答案】(1)众数为70，平均数为65；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2015【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图与众数、平均数的计算方法依次计算即可；(2)先求出6人中第一、二组抽到的人数，求出样本空间的样本点个数和事件“2人来自不同的组”包含的样本点个数，代入概率公式计算即可. (1)由频率分布直方图可知， 众数为6080=702+； 5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3， 所以平均数为100.05300.1500.2700.35900.365⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1， 则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人， 所以按分层抽样的方法抽到的6人中，第一组抽2人，记为12、a a ；第二组抽4人，记为1234b b b b 、、、，则121112131421222324121314232434{,,,,,,,,,,,,,,}a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b Ω=， 设事件A 为抽到的2人来着不同的组，则1112131421222324{,,,,,,,}A a b a b a b a b a b a b a b a b =，所以8()15P A =. 15．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一期末）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h ）的频率分布表.,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率. 【答案】(1)1800人，7,0.24,8x y z ===(2)35【解析】 【分析】（1）设该校学生总数为n ，根据题意由1501505045660n --=求解； （2）利用古典概型的概率求解. (1)解：设该校学生总数为n ， 由题意1501505045660n --=，解得1800n =， ∴该校学生总数为1800人.由题意0.1450x=，解得127,0.2450x y ===， ()505812108.z x =-----= (2)记“选中的2人恰好为一男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为12,F F ，男生为123,,M M M ，从中任选2人有以下情况：()()()()()()()12111213212223,,,,,,,,,,,,,F F F M F M F M F M F M F M ，()()()121323,,,,,M M M M M M ，基本事件共有10个，其中事件A 包含的基本事件有6个， 故()63105P A ==， 所以选中的2人恰好为一男一女的概率为35.。
用样本估计总体
月收入(元)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
练习1、如图是150辆汽车通过某路段 时速度的频率分布直方图，则速度在[60， 60 辆. 70)的汽车大约有______
在频率分布直方图中，依次连接各小长 方形上端的中点，就得到一条折线，这条 折线称为频率分布折线图.
练习3、以往招生Biblioteka 计显示，某所大学录 取的新生高考总分的中位数基本稳定在550 分，若某同学今年高考得了520分，他想报 考这所大学还需收集哪些信息？
要点： (1)查往年录取的新生的平均分数.若平均数 小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以 报考； (2)查往年录取的新生高考总分的标准差.若 标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最 低录取线可能较低，可以考虑报考.
标准差的取值范围是什么？标准差为0 的样本数据有何特点？ s≥0，标准差为0的样本数据都相等. 方差的意义： 方差(或标准差)越大离散程度越大，数 据较分散； 方差(或标准差)越小离散程度越小，数 据较集中在平均数周围.
例 2 、有两个班级，每班各自按学号随 机选出 5 名学生，测验铅球成绩，以考察 体育达标程度，测验成绩如下：单位（米） 甲 9.1 7.8 8.5 6.9 5.2 乙 8.8 7.2 7.3 7.5 6.7 两个班相比较，哪个班整体实力强一些 ？
制作频率分布直方图的方法： （1）求极差（即一组数据中最大值与最小 值的差）； （2）决定组距与组数；（样本容量不超过
100时，组数常分成5～12组）
（3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图.
注：频率分布直方图中
初中数学用样本估计总体优秀教案
初中数学用样本估计总体优秀教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作计划、工作总结、发言致辞、自我鉴定、合同协议、条据文书、规章制度、心得体会、教学资料、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample texts for everyone, such as work plans, work summaries, speeches, self-evaluation, contract agreements, documents, rules and regulations, experiences, teaching materials, other sample texts, etc. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!初中数学用样本估计总体优秀教案初中数学用样本估计总体优秀教案（通用5篇）在教学工作者开展教学活动前，常常要写一份优秀的教案，教案有助于学生理解并掌握系统的知识。
用样本估计总体
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
由直方图可知众数为：100
中位数：设x为中位数，则有：
0.00610 0.02610 0.038x 95 0.5 得x 99.74
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识
度剖析
作茎叶图时， 将高位(十位与百位) 作为茎，低位 (个位)作为叶，逐 个统计；根据茎叶图分析两组数 据的特点，可以得出结论．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 茎叶图的应用
解析 探究提高 思维启迪 【例 2】 某良种培育基地正在培育一种小麦 新品种 A.将其与原有的一个优良品种 B 进 行对照试验．两种小麦各种植了 25 亩，所 解 (1)如下图 得亩产数据(单位：千克)如下： 品种 A： 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,41 2,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443, 445,445,451,454 品种 B： 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,39 (2) 由于每个品种的数据都只有 25 个，样本不大，画茎叶图很方 5,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412, 便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比 415,416,422,430 (1)作出数据的茎叶图； 较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据． (2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点？ (3) 通过观察茎叶图可以看出：①品种 A 的亩产平均数(或均值) (3)通过观察茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产 比品种 B 高； ②品种 A 的亩产标准差(或方差)比品种 B 大， 故品 量及其稳定性进行比较，写出统计结论．
系统抽样 (7)
返回目录
则X6＝__________________，这6根棉花纤维的长 度的标准差s＝____________.
思维导引：根据求平均数的公式计算出X6，利用已 知的平均数和方差公式求出方差，再开方即可得出标准 差．
返回目录
解析 由题意得20＋26＋22＋6 20＋22＋X6＝25，解得 X6＝40.又 s2＝16×[(20－25)2＋(26－25)2＋(22－25)2＋(20 －25)2＋(22－25)2＋(40－25)2]＝49，所以这 6 根棉花纤 维的长度的标准差 s＝7.
返回目录
(3)若样本数据都相等，则s＝0. (4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本 数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的 离散程度是由标准差来衡量的．
返回目录
【例题2】 为了检测某批棉花的质量，质检人员随 机测量6根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量 的重要指标)，其平均值为25 mm.Xn(n＝1，2，3，4， 5，6)表示第n根棉花纤维的长度，且前5根棉花纤维的 长度如表所示.
返回目录
答案 B 解析 极差反应了最大值与最小值差的情况，极差越 小，数据越集中；方差、标准差是用来衡量一组数据波 动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平 均数越大，即波动越大，数据越不稳定；方差较小的数 据波动较小，稳定程度高；平均数越小，说明数据整体 上偏小，不能反映数据稳定与否．故选B项．
返回目录
提示 (1)根据－x ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 来计算． (2)不变，设 x1，x2，…，xn 的平均数为－x ，标准差为 s.x1－a，x2－a，…，xn－a 的平均数为－x －a，标准差为