湖北省襄阳市2012年3月高中调研统一测试高三数学(文)

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19．(1)解：由2n n S a n =+ 得：1121n n S a n ++=++
∴111221n n n n n a S S a a +++=-=-+，即121n n a a +=-
∴112(1)n n a a +-=-
4分 又因为1121S a =+，所以a 1 =－1，a 1－1 =－2≠0，
∴{1}n a -是以－2为首项， 2为公比的等比数列．
6分 (2)解：由(1)知，11222n n n a --=-⨯=-，即21n n a =-+
8分 ∴11211(12)(12)2121n n n n n n b ++-==----- 10分 故223111111111[()()()]121212*********n n n n T ++=--+-++-=--------． 12分
20．(1)解：数组(x ，y ，z )的所有情形为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(1，2，2)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2)，共8种 6分 注：列出所有情形，得6分，列出5种以上情形，得4分．
(2)解：摸出的三个球号码的和可能为3，4，5，6，故记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i = 3，4，5，6) 8分 易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件 10分
∴34561331()()()()8888
P A P A P A P A ====，，， 12分 故所摸出的两球号码之和为4、5的概率相等且最大． 13分
21．(1)解：∵点P (1，f (1))在切线2x －y －3 = 0上，∴2－f (1)－3 = 0
∴f (1) =－1，故b =－1
2分
又()2a f x bx x '=+，∴(1)22f a b '=+=，a = 4 4分
22．(1)解：由题意知12c e a ==，∴222222
14c a b e a a -===，即2243a b = 又6311
b ==+，∴2243a b ==， 故椭圆的方程为22
143
y x += 2分 (2)解：由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =- 由2
2(4)14
3y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(43)3264120k x k x k +-+-= 4分 由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：214
k < 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221212223264124343
k k x x x x k k -+==++， ① 6分 ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++ ∴22222121222264123287(1)41625434343
k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+⋅-⋅+=-+++ 8分 ∵2104k <≤，∴28787873443
k --<-+≤，∴13[4)4OA OB ⋅∈-， ∴OA OB ⋅的取值范围是13[4)4-，． 10分
(3)证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)
直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令y = 0得：112112
()y x x x x y y -=-+ 12分 又1122(4)(4)y k x y k x =-=-，，∴12121224()8
x x x x x x x -+=+- 由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1，0)． 14分
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