贵州省贵阳市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

2016-2017学年贵州省贵阳市高一（上）期末试卷数学一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A ∪B=（ ） A ．{1，2，3} B ．{0，1，2，3} C ．{2}D ．{0，1，3}2．化简111132224()()(0,0)a b a b a b ÷>>结果为（ ） A ．a B ．bC ．a b D ．b a3．正弦函数f （x ）=sinx 图象的一条对称轴是（ ） A ．x=0B ．4x π=C ．2x π=D ．x=π4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．f （x ）=sinx B ．f （x ）=x 2+1C ．f （x ）=lnxD ．f （x ）=cosx5．设y 1=log 0.70.8，y 2=log 1.10.9，y 3=1.10.9，则有（ ） A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＞y 3＞y 2 6．已知正方形ABCD 的边长为1，则•=（ ）A ．1B ．2C D ．2 7．如果cos （π+A ）=﹣，那么sin （2π+A ）的值是（ ） A ．﹣ B ．C ．﹣D ．8．要得到函数y=sin （2x +3π）的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位9．函数y=f （x ）在区间上的简图如图所示，则函数y=f （x ）的解+析式可以是（ ）A ．f （x ）=sin （2x +3π）B ．f （x ）=sin （2x ﹣）C ．f （x ）=sin （x +3π） D ．f （x ）=sin （x ﹣）10．对于函数f （x ），如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f （x +T ）=f （x ），那么函数f （x ）就叫做周期函数，已知函数y=f （x ）（x ∈R ）满足f （x +2）=f （x ）， 且x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=x 2，则y=f （x ）与y=log 5x 的图象的交点个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有 名同学参赛．12．溶液酸碱度是通过pH 值刻画的，pH 值的计算公式为pH=﹣lg [H +]，其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H +]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH= ． 13．已知，那么= ．14．计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25= ．15．设A ，B 是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合中B 都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射，设f ：x→是从集合A 到集合B 的一个映射．①若A={0，1，2}，则A ∩B= ；②若B={1，2}，则A ∩B= ．三、解答题（共4小题，满分32分）16．（8分）已知向量a =（1，0），b =（1，1），c =（﹣1，1）． （Ⅰ）λ为何值时，a +λb 与垂直？ （Ⅱ）若（m a +n b ）∥c ，求的值．17．（8分）已知函数f（x）=x﹣．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．18．（8分）已知函数f（x）=sin2+sin cos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，π]，求f（x）的最大值与最小值．19．（8分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．四、阅读与探究（共1小题，满分8分）20．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解+析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．2016-2017学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解+析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{2}D．{0，1，3}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据并集的运算性质计算即可．【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B={0，1，2，3}，故选：B．【点评】本题考查了集合的并集的运算，是一道基础题．2．化简111132224()()(0,0)a b a b a b÷>>结果为（）A．a B．b C．D．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：原式==a，故选：A【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．3．正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π【考点】正弦函数的图象．【专题】方程思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的对称性进行求解即可．【解答】解：f（x）=sinx图象的一条对称轴为+kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的对称性，根据三角函数的对称轴是解决本题的关键．4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性与零点，即可得出结论．【解答】解：对于A，是奇函数；对于B，是偶函数，不存在零点；对于C，非奇非偶函数；对于D，既是偶函数又存在零点．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与零点，考查学生的计算能力，比较基础．5．设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】求出三个数的范围，即可判断大小．【解答】解：y1=log0.70.8∈（0，1）；y2=log1.10.9＜0；y3=1.10.9＞1，可得y3＞y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查对数值的大小比较，是基础题．6．已知正方形ABCD的边长为1，则•=（）A．1 B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据数量积的计算公式，便可求出．【解答】解：．故选A．【点评】本题考查数量积的运算公式．7．如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】已知等式利用诱导公式化简求出cosA的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosA 的值代入计算即可求出．【解答】解：∵cos（π+A）=﹣cosA=﹣，即cosA=，∴sin（+A）=cosA=．故选：B．【点评】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，是基础题．8．（2016•崇明县模拟）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解+析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f （x）=sin（x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解+析式．【专题】计算题．【分析】根据图象的最高点和最低点，得到A的值，根据半个周期的长度得到ω的值，写出解+析式，根据函数的图象过（）点，代入点的坐标，求出φ的值，写出解+析式．【解答】解：由图象知A=1，∵=，∴T=π，∴ω=2，∴函数的解+析式是y=sin（2x+φ）∵函数的图象过（）∴0=sin（2×+φ）∴φ=kπ﹣，∴φ=∴函数的解+析式是y=sin（2x﹣）故选B．【点评】本题考查由函数的图象求函数的解+析式，本题解题的难点是求出解+析式的初相，这里可以利用代入特殊点或五点对应法，本题是一个基础题．10．对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的值；对数函数的图象与性质．【专题】计算题；数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】f（x）是周期为2的周期性函数，根据函数的周期性画出图形，利用数形结合思想能求出y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数．【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点故选：B．【点评】本题考查两个函数的图象的交点个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么A ∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合，card（A），card（B），card（A∩B）是已知的，于是可以根据上面的公式求出card（A∪B）．【解答】解：设A={x|x是参加田径运动会比赛的学生}，B={x|x是参加球类运动会比赛的学生}，A∩B={x|x是两次运动会都参加比赛的学生}，A∪B={x|x是参加所有比赛的学生}．因此card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）=8+12﹣3=17．故两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．故答案为：17．【点评】本题考查集合中元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意公式card （A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的合理运用．12．溶液酸碱度是通过pH值刻画的，pH值的计算公式为pH=﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH=7．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由题意可得：该溶液的PH值为﹣lg10﹣7=7故答案为：7【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．13．已知，那么=．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】计算题．【分析】若，则，结合向量模的计算公式可得答案．【解答】解：因为，所以||=．故答案为．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握向量的坐标表示，以及掌握向量模的计算公式．14．（2010•江苏模拟）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25=2．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】将式子利用对数的运算性质变形，提取公因式，化简求值．【解答】解：原式=2 lg5+lg2•（1+lg5）+（lg2）2=2 lg5+lg2（1+lg5+lg2）=2 lg5+2 lg2=2；故答案为2．【点评】本题考查对数的运算性质．15．设A，B是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合中B都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，设f：x→是从集合A到集合B的一个映射．①若A={0，1，2}，则A∩B={0，1} ；②若B={1，2}，则A∩B={1}或∅．【考点】交集及其运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】①根据题意写出对应的集合B，计算A∩B即可；②根据题意写出对应的集合A，计算A∩B即可．【解答】解：①根据题意，A={0，1，2}，通过对应关系f：x→，B={0，1，}，所以A∩B={0，1}；②根据题意，B={1，2}时，过对应关系f：x→，得A={1}或{4}或{1，4}；所以A∩B={1}或∅．故答案为：{0，1}，{1}或∅．【点评】本题考查了映射的定义与集合的运算问题，是基础题目．三、解答题（共4小题，满分32分）16．（8分）已已知向量a=（1，0），b=（1，1），c=（﹣1，1）．（Ⅰ）λ为何值时，a+λb与垂直？（Ⅱ）若（m a+n b）∥c，求的值．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）先求出+λ，再由+λ与垂直，利用向量垂直的性质能求出结果．（Ⅱ）先求出，再由（m+n）∥，利用向量平行的性质能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．∴=（1+λ，λ），∵+λ与垂直，∴（）•=1+λ+0=0，解得λ=﹣1，∴λ=1时，+λ与垂直．（Ⅱ）∵=（m，0）+（n，n）=（m+n，n），又（m+n）∥，∴（m+n）×1﹣（﹣1×n）=0，∴=﹣2．∴若（m+n）∥，则=﹣2．【点评】本题考查实数值及两数比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直、向量平行的性质的合理运用．17．（8分）已知函数f（x）=x﹣．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，利用奇偶性的定义即可判断f（x）是奇函数；（Ⅱ）利用单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x﹣的定义域是D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），任取x∈D，则﹣x∈D，且f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x﹣）=﹣f（x），∴f（x）是定义域上的奇函数；（Ⅱ）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣）﹣（x2﹣）=（x1﹣x2）+（﹣）=；∵0＜x1＜x2，∴x1x2＞0，x1﹣x2＜0，x1x2+1＞0，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断与应用问题，是基础题目．18．（8分）已知函数f（x）=sin2+sin cos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，π]，求f（x）的最大值与最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，由T=求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据正弦函数的图象与性质，求出f（x）在x∈[，π]上的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2+sin cos=+sinx=sinx﹣cosx+=sin（x﹣）+，由T==2π，知f（x）的最小正周期是2π；（Ⅱ）由f（x）=sin（x﹣）+，且x∈[，π]，∴≤x﹣≤，∴≤sin（x﹣）≤1，∴1≤sin（x﹣）+≤，∴当x=时，f（x）取得最大值，x=π时，f（x）取得最小值1．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．19．（8分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用f（0）=0，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=|f（x）•（2x+1）|，g（x）=m，则m=0或m≥1，两函数图象有一个交点，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即1﹣=0，∴a=2；（Ⅱ）设h（x）=|f（x）•（2x+1）|，g（x）=m，如图所示，m=0或m≥1，两函数图象有一个交点，∴关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根时，实数m的取值范围是m=0或m≥1．【点评】本题考查奇函数的性质，考查函数的图象，正确作出函数的图象是关键．四、阅读与探究（共1小题，满分8分）20．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解+析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．【考点】函数的图象．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】通过函数的定义域，函数与x的交点情况，y值的变化趋势，函数的奇偶性和函数的单调性，归纳函数的性质即可．【解答】解：（1）在y=x2﹣中，x≠0，可以推测出：对应的图象不经过y轴，即与y轴不相交，（2）令y=0，即x2﹣=0，解得x=±1，可以推测出，对应的图象与x相交，交点坐标为（1，0）和（﹣1，0），（3）在y=x2﹣中，当0＜x＜1时，＞1＞x2，则y＜0，当x＞1时，＜1＜x2，则y＞0，可以推测出：对应的图象在区间（0，1）上图象在x轴的下方，在区间（1，+∞）上图象在x轴的上方，（4）在y=x2﹣中，若x∈（0，+∞），则当x逐渐增大时逐渐减小，x2﹣，逐渐增大，即y逐渐增大，所以原函数在（0，+∞）是增函数，可以推测出：对应的图象越向右逐渐升高，是单调递增的趋势，（5）由函数y=x2﹣可知f（﹣x）=f（x），即函数为偶函数，可以推测出：对应的图象关于y轴对称【点评】本题考查了类比推理的问题，关键是掌握函数的性质，以及题目所告诉的例子，属于中档题．。