最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式与排序不等式及其应用》知识讲解
人教版高中数学选修4-5《3.2 一般形式的柯西不等式》
五. 当堂检测：
[练1](1)已知2 x 3 y 4z 10, 求x 2 y 2 z 2最小值;
(2)若9 x 2 12 y 2 5z 2 9, 求x 6 y 5z的最大值.
[练2]设x1 , x2 ,..., xn是正数, 求证 : 1 1 1 2 ( x1 x2 ... xn )( ... )n x1 x2 xn
三、归纳推理，形成新知：
3、三维形式的柯西不等式：
(a1b1 a2b2 a3b3 ) (a a a )(b b b )
2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
当且仅当 与共线时, 等号成立.
【探究】根据二维、三维形式的柯西不等式， 若 ( a1 , a 2 , a 3 ,...,a n ), (b1 , b2 , b3 ,...,bn )
3.2一般形式的柯西不等式
选修4-5
一、温故知新：
1、柯西不等式的向量形式: 【定理2】设 , 是两个向量, 则| | | | | |
将平面向量的坐标 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )代入, 则上述 不等式可化简为:
2、二维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2 ) (a1 a2 )(b1 b2 ) 适用范围: 对任意实数都成立.
六.课堂小结: 基础 三维形式 知识：
一般形式
证明不等式
柯西不等式
求最值
基本思想方法： 1.探究方法：从特殊到一般. 2.思维方法：观察→归纳→证明. 七.课后作业: 1.巩固性作业:P41 习题3.2 第1,2, 4,6. 2.探究作业: 小组合作证明一般形式的柯西不等式.
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计一、教学目标1.理解柯西不等式和排序不等式的概念和基本性质。
2.能够应用柯西不等式和排序不等式解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和团队协作精神。
二、教学内容1.柯西不等式的定义和证明。
2.柯西不等式及其应用。
3.排序不等式的定义和证明。
4.排序不等式及其应用。
三、教学重点和难点1.理解柯西不等式和排序不等式的定义和基本性质。
2.掌握柯西不等式的证明方法，理解其应用。
3.熟练掌握排序不等式的证明方法，能够应用排序不等式解决实际问题。
四、教学方法和手段1.教师引导学生自主发现和探究柯西不等式和排序不等式。
2.采用运用举例的方法，引导学生理解和记忆柯西不等式和排序不等式，提高学生举一反三的能力。
3.推崇探究式学习方法，鼓励学生主动探究，组织学生研究、合作探讨，提升学生的团队合作能力。
五、教学流程1.柯西不等式的引入通过真实生活中的例子，引出两个变量之间的关系，小组探究两正数之积的最大值、两负数之积的最大值、正数与负数之积的最小值。
教授柯西不等式的定义和证明。
2.柯西不等式的应用通过计算题目，引出使用柯西不等式求出积分值最大值的方法，题目的复杂程度逐渐加深，教授柯西不等式在解题中的应用。
3.排序不等式引入介绍排序不等式的定义和证明过程，并从生活中的例子引出排序不等式的应用场景。
4.排序不等式的应用通过计算题目，引导学生掌握人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式的解题方法，解决实际问题。
六、教学评价1.通过出题考核，检测学生掌握柯西不等式和排序不等式的基础知识和应用能力。
2.通过实际应用问题，检验学生对柯西不等式和排序不等式的理解和应用能力。
七、小组探究设计在小组合作过程中，让学生组织实验、调查等自主探究柯西不等式和排序不等式。
小组探究产生的报告可作为课后作业，让学生进行总结和讨论。
最后，本课程旨在为学生提供基本数学知识和运用能力，建立实际生活场景与知识的联系。
高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用章末复习课讲义新人教B版选修4_5
第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用[自我校对]①向量 ②代数可证明一些简单不等式．【例1】 已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. [精彩点拨] 设m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)，利用柯西不等式的向量形式证明，或把式子左边补上系数1，直接利用柯西不等式求解．[规范解答] 法一：因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)．则|m ·n |2＝(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2， |m |2·|n |2＝3[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)] ＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48. ∵|m ·n |2≤|m |2·|n |2，∴(13a ＋1)＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤48， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.法二：由柯西不等式得(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤(12＋12＋12)[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)]＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.1．设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立的条件．[证明] 由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立.应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例2】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.[精彩点拨] 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a，根据不等式的特点，利用排序不等式证明．[规范解答] 由于不等式关于a ，b ，c 对称， 可设a ≥b ≥c >0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a，及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．2．在△ABC 中，h a ，h b ，h c 为边长a ，b ，c 的高， 求证：a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c . [证明] 不妨设a ＞b ＞c ，则对应的角A ＞B ＞C ，A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A ＞sin B ＞sin C . 由排序原理得a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥a sin B ＋b sin C ＋c sin A .在△ABC 中，a sin B ＝h c ，b sin C ＝h a ，c sin A ＝h b ， ∴a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c .们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．【例3】 已知实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[精彩点拨] 由x 2＋4y 2＋9z 2＝x 2＋(2y )2＋(3z )2，x ＋y ＋z ＝x ＋12·2y ＋13·3z ，联想到柯西不等式求解．[规范解答] 由柯西不等式： [x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7， 所以7a 6＝7，得a ＝36.当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.3．求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． [解] 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值．【例4】 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． [精彩点拨] 不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，利用排序不等式求解． [规范解答] 不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1,2,3，…，n )的一个排列，根据排序不等式，得F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x21·1x1＋x22·1x2＋…＋x2n·1x n＝x1＋x2＋…＋x n＝P(定值)，当且仅当x1＝x2＝…＝x n时等号成立，∴F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1的最小值为P.4．设x1，x2，…，x n取不同的正整数，则m＝x112＋x222＋…＋x nn2的最小值是( ) A．1B．2C．1＋12＋13＋…＋1nD．1＋122＋132＋…＋1n2[解析]设a1，a2，…，a n是x1，x2，…，x n的一个排列，且满足a1<a2<…<a n，故a1≥1，a2≥2，…，a n≥n.又因为1>122>132>…>1n2，所以x11＋x222＋x332＋…＋x nn2≥a1＋a222＋a332＋…＋a nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n×1n2＝1＋12＋13＋…＋1n.[答案] C在利用平均值不等式求函数最值时．一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．【例5】某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[精彩点拨] (1)设每件定价为t 元，表示总收入，根据题意列不等式求解．(2)利用销售收入≥原收入＋总投入，列出不等式，由题意x ＞25，此时不等式求解．[规范解答] (1)设每件定价为t 元， 依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －25t ×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．5．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [解析] 依题意得a －b ＞0，所以a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b (a －b )的最小值是4，选C.[答案] C思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等整体应用，把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．【例6】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.[精彩点拨] 将不等式的左边进行变形，再利用柯西不等式证明． [规范解答] 左端变形ab ＋c＋1＋bc ＋a＋1＋ca ＋b＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，∴只需证此式≥92即可．∵ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b＝12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b≥12(1＋1＋1)2＝92， ∴ab ＋c ＋ba ＋c＋ca ＋b ≥92－3＝32.6．已知a ，b ，c 为正数，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． [证明] 不妨设0≤a ≤b ≤c ，则a 2≤b 2≤c 2， 由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b .以上两式相加，得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.[答案] D2．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________． [解析] 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.[答案]53．已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy .[证明] 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 4．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解] (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.5．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.。
高中数学 第三讲《柯西不等式与排序不等式》教案(1) 新人教版选修4-5
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +≥>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵m n ac bd •=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 222||c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =? 要点：利用变式222||ac bd c d +≤+.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时 3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和) 1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。
最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式与排序不等式及其应用》本章概览
第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用本章概览内容提要1.柯西不等式(1)代数形式:(a 12+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2,等号成立⇔a 1b 2=a 2b 1.(2)向量形式:|α||β|≥|α·β|,等号成立⇔α与β共线.(3)平面三角不等式:222211)()(b a b a -+-+222211)()(c b c b -+-2≥222211)()(c a c a -+-,等号成立⇔存在非负实数λ,u 使u (a 1-b 1)=λ(b 1-c 1),u (a 2-b 2) =λ(b 2-c 2).(4)一般形式:(a 12+a 22+…+a n 2)21(b 12+b 22+…+b n 2)21≥|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |,等号成立⇔2211b a b a ==…=nn b a . 2.排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数,c 1,c 2,…,c n 为b 1,b 2,…,b n 的任一排列,有a 1b n +a 2b n-1 +…+a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n ≤a 1b 1+…+a n b n ,等号成立⇔a 1=a 2…=a n 或b 1=b 2=…=b n .3.平均值不等式:a 1,a 2,…,a n ∈R +,n n n a a a na a a ⋅⋅⋅≥+++......2121,等号成立⇔ a 1=a 2=…=a n .4.最值问题:把握好函数基本形式,再借用不等式,函数的性质求最值.学法指导根据本章的特点,学习时应加强数学思想方法的学习,加强对各类不等式性质的理解.理解柯西不等式,排序不等式,平均值不等式在具体问题中的作用.。
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。
二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。
三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。
3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。
四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。
高中数学选修4-5知识点(最全版)
高中数学选修4-5知识点1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系．(2)设a 、b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B .当点A 在点B 的左边时，a <b ；当点A 在点B 的右边时，a >b ．(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)⎩⎨⎧a >b ⇔a －b >0a ＝b ⇔a －b ＝0a <b ⇔a －b <0(4)两个实数比较大小的步骤①作差；②变形；③判断差的符号；④结论．2．不等关系与不等式(1)不等号有≠，>，<，≥，≤共5个．(2)相等关系和不等关系任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的．(3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式．(4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系．3.不等式的基本性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ，c ∈R ⇔a ＋c >b ＋c ；(4)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(5)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)乘方法则：a >b >0，n ∈N 且n ≥2⇒a n >b n ；(8)开方法则：a >b >0，n ∈N 且n ≥2⇒n a >n b .（9）倒数法则，即a >b >0⇒1a <1b .2．基本不等式1．重要不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式(1)定理2：如果a ，b >0，那么a b +≥ a ＋b 2≥ab)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理2的应用：对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值，最大值为S2 4.②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值，最小值为2P.3．基本不等式ab≤a＋b2的几何解释如图，AB是⊙O的直径，C是AB上任意一点，DE是过C点垂直AB的弦．若AC＝a，BC＝b，则AB＝a＋b，⊙O的半径R＝a＋b2，Rt△ACD∽Rt△DCB，CD2＝AC·BC＝ab，CD＝ab，CD≤R⇒ab≤a＋b2，当且仅当C点与O点重合时，CD＝R＝AB2，即ab＝a＋b2.4．几个常用的重要不等式(1)如果a∈R，那么a2≥0，当且仅当a＝0时取等号；(2)如果a，b>0，那么ab≤（a＋b）24，当且仅当a＝b时等号成立．(3)如果a>0，那么a＋1a≥2，当且仅当a＝1时等号成立．(4)如果ab>0，那么ab＋ba≥2，当且仅当a＝b时等号成立．3．三个正数的算术-几何平均不等式1．如果a、b、c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．(定理3)如果a、b、c∈R＋，那么3++≥a b c (a＋b＋c3≥3abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．3．如果a1，a2，…，a n∈R＋，那么a1＋a2＋…＋a nn≥na1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．即对于n个正数a1，a2，…，a n，它们的算术平均不小于它们的几何平均．二绝对值不等式1．绝对值三角不等式1．绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0）－a （a <0） (2)绝对值几何意义：实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为a 的点A 到原点O 的距离|OA |.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A ，B 分别对应实数x 1，x 2，则|AB |＝|x 1－x 2|．2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．推论1：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.推论2：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法1．|x |<a 与|x |>a 型不等式的解法设a >0，则(1)|x |<a ⇔－a <x <a ；(2)|x |≤a ⇔－a ≤x ≤a ；(3)|x |>a ⇔x <－a 或x >a ；(4)|x |≥a ⇔x ≤－a 或x ≥a ．2．|ax ＋b |≤c (c >0)与|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；(2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c ．3．|x －a |＋|x －b |≤c 与|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释．(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值号内多项式的正、负号，进而去掉绝对值号．(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键．注：绝对值的几何意义(1)|x |的几何意义是数轴上点x 与原点O 的距离；(2)|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上点x 到点a 和点b 的距离之和；(3)|x －a |－|x －b |的几何意义是数轴上点x 到点a 和点b 的距离之差．2．绝对值不等式的几何意义(1)|x |≤a (a >0)的几何意义是以点a 和－a 为端点的线段，|x |≤a 的解集是[－a ，a ]．(2)|x |>a (a >0)的几何意义是数轴除去以点a 和－a 为端点的线段后剩下的两条射线，|x |>a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)．3．解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)求解．例题：例如：分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。
高中数学选修4-5第三讲排序不等式
所以 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 304，最小值为 212.
类型 3 排序不等式的实际应用
[典例 3] 某座大楼共有 n 层，在每层有一个办公室， 每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为 v1， v2，…，vn(他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上 下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排(假设每两层 楼的楼梯长都一样)?
利用排序不等式，有aa12＋aa23＋…＋aan－n 1≥bc11＋bc22＋… ＋bcnn－－11≥12＋23＋…＋n－n 1.
所以原不等式成立．
归纳升华 1．在不等式的证明方法中，配凑法比较常见，如在 运用基本不等式、柯西不等式时，常常先将不等式的一侧 (或已知等式的一侧)进行配凑，使之满足基本不等式或柯 西不等式的应用条件．在运用排序不等式时，常常根据题 目条件，配凑构造出所需要的有序数组．
解析：由基本概念知(1)(2)正确，(3)不正确，因为乱 序和也可能是 35 或其他等．由排序不等式可知(4)正确．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．有两组数 1，2，3 与 10，15，20，它们的顺序和、
反序和分别是( )
A．100，85
B．100，80
C．95，80
D．95，85
所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使 上下楼的时间最短．
归纳升华 在解决一些规划预算问题时，往往只需确定最小值与 最大值，以进行合理规划与正确预算，结合排序不等式 “顺序和最大，反序和最小”，可以方便快捷地处理，方 法巧妙，步骤灵活，过程简单．
[变式训练] 某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对 其维修分别需要 45 min，25 min 和 30 min，每台电脑耽 误 1 min，网吧就会损失 0.05 元．在只能逐台维修的条 件下，按怎样的顺序维＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值 为 a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9 ×10＋12×11＝304.
人教版高中数学选修4-5《第三讲柯西不等式与排序不等式一般形式的柯西不等式》
3 3 =3 ( x 0)
6
复习引入
设<m, n , 则m n | m | | n | cos | m n || m | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n | 当且仅当m // n时,等号成立. m (a, b, c), n (d , e, f ) m n ad be cf
2 2
1 1 2 (1 x 2 y ) 5 5
1 2 (当 x , y ) 5 5
4
复习引入 下面我们来做几个巩固练习: 1 2 3.设 x, y R ,且 x+2y=36,求 的最小值． x y
1 2 1 1 2 ( )( x 2 y) x y 36 x y 1 2 y 2x (1 4 ) 36 x y 1 2 y 2x (5 2 ) 36 x y
(a b c d ) (a b c d )(b c d a )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ab bc cd da )
2 2 2 2
2
(ab bc cd da )
即 a b c d ab bc cd da
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
9
一般形式的柯西不等式示例源自例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证： 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) ≤ a1 a2 an n 1 1 2 2 ( a a a ) (1 a 1 a 1 a ) 证明： 1 2 n 1 2 n n n 1 2 2 2 2 2 (1 1 12 )(a1 a2 an ) n
人教版高中数学选修4-5《3.1 柯西不等式》
2
k,使 得a i kbi ( i 1,2, , n)时, 等 号 成 立 。 2n 问题： 1、柯西不等式里一共涉及多少个实数？ 个 2、柯西不等式的结构有何特征？
平方和的乘积不小于乘积和的平方
1、柯西是什么人？
• 法一：问柯西本人；
2、他是怎么发现该不等式的？
4 4 2 2 3 3 2
（2）复杂问题：变形后运用柯西不等式。
例3 求函数 y 5 x 1 10 2 x的最大值
思考：该题目用了哪些变形技巧？ 凑配系数，平方。
2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25 )
( 2) a b c d ac bd2 ຫໍສະໝຸດ 2 2222
2
自主探究： 1、这两个变式 怎么来的呢？ 2、这三个不等 式取“=” 的条 件分别是什么？
进一步—理解—柯西不等式
• 1、代数理解。
2 2 2 2
• 2、几何理解。
(1) a b c d ac bd
小组讨论：根据变式一，你能给出柯西不 等式的几何解释吗？
柯西不等式
选修4-5 不等式选讲
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 ) 式 设a1 , a 2 , a 3 , , a n , b1 , b2 , b3 , , bn是 实 数 ,则
(a a a )( b b b ) (a1b1 a2b2 anbb ) 当且仅当 bi 0( i 1,2, , n)或 存 在 一 个 数
教学目标：
• 1、发现、推导
柯西不等式
人教版高中数学选修4-5：第三讲3.3排序不等式含解析
第三讲柯西不等式与排序不等式3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为( )A．3 B．6C．9 D．12解析：a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，由乱序和不小于反序和知，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为3，故选A.答案：A2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )A．420 元B．400 元C．450 元D．570 元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )A．M≥N B．M＝NC．M＜N D．M＞N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a b＋b c＋c a的最大值是( ) A．1 B．2C．3 D.3 3解析：设a≥b≥c≥0，所以 a ≥ b ≥ c.由排序不等式可得a b＋b c＋c a≤a a＋b b＋c c.而(a a＋b b＋c c)2≤(a a)2＋(b b)2＋(c c)2](1＋1＋1)＝9，即a a＋b b＋c c≤3.所以a b＋b c＋c a≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．设a1，a2，…，a n为实数，b1，b2，…，b n是a1，a2，…，a n的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋a n b n不小于________．答案：a1a n＋a2a n－1＋…＋a n a17．已知a，b，c都是正数，则ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥________．。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式教案(含解析)新人教A版选修4_5
三 排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．用排序不等式证明不等式(所证不等式)中字母大小顺序已确定[例a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c. [思路点拨] 分析题目中已明确a ≥b ≥c ，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明] ∵a ≥b >0，于是1a ≤1b，又c >0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c2c3＋a2a3＋b 2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y＝sin x在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y＝cos x在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤x n.由排序原理得12＋x2＋x4＋ (x2)≥1·x n＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)x n.①又因为x，x2，…，x n,1为1，x，x2，…，x n的一个排列，由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋x n－1·x n＋x n·1≥1·x n＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n.②将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)a12bc＋b12ca＋c12ab≥a10＋b10＋c10.[思路点拨] 本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a ，b ，c 三个数的大小顺序，且a ，b ，c 在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a ≥b ≥c ，再利用排序不等式加以证明．[证明] 由对称性，不妨设 a ≥b ≥c ，于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab，故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a.① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c.再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a.② 所以由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知ab ×1c ＋ac ×1b＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c＝a ＋c ＋b ，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .4．设a 1，a 2，a 3为正数，求证：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 证明：不妨设 a 1≥a 2≥a 3>0，于是 1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式：顺序和≥乱序和得a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3.1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是( ) A ．100,85 B ．100,80 C ．95,80D ．95,85解析：选B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80. 2．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析：选A 因为0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，所以由排序不等式可知a 1b 1＋a 2b 2最大． 3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定 解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花( )A ．76元B ．20元C ．84元D ．96元解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．设正实数a 1，a 2，…，a n 的任一排列为 a 1′，a 2′，…，a n ′，则a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为________．解析：不妨设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ， 则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.其反序和为a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n＝n ， 则由乱序和不小于反序和知a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a n a n ′≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n＝n ， ∴a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为n . 答案：n7．设a 1，a 2，a 3，a 4是1,2,3,4的一个排序，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是________． 解析：a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，∴a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是[20,30]． 答案：[20,30]8．设a ，b ，c 是正实数，用排序不等式证明a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.证明：由所证不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， 则lg a ≥lg b ≥lg c ，据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，以上两式相加，再两边同加a lg a ＋b lg b ＋c lg c ，整理得 3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )， 即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3·lg(abc )， 故a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.9．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m 分钟，第二人投n 分钟，第三人投p 分钟，某班级三名运动员A ，B ，C 每分钟能投进的次数分别为a ，b ，c ，已知m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ，如何派三人上场能取得最佳成绩？解：∵m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ， 且由排序不等式知顺序和为最大值， ∴最大值为ma ＋nb ＋pc ，此时分数最高， ∴三人上场顺序是A 第一，B 第二，C 第三． 10．已知0<a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明：因为0<a ≤b ≤c ，所以0<a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ， 所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c>0， 又0<a 2≤b 2≤c 2， 所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和， 即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．。
最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明》知识讲解
数学人教B 选修4-5第二章2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1．认识一般形式的柯西不等式．2．理解一般形式的柯西不等式的几何意义．3．会用一般形式的柯西不等式求解一些简单问题．定理(柯西不等式的一般形式)(1)设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则11222222221212(+)(+)n n a a a b b b ++++ ≥____________________，其中等号成立____________________(当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n )． (2)柯西不等式的一般形式的证明方法是__________．记忆柯西不等式的一般形式，一是抓住其结构特点：左边是平方和再开方的积，右边是积的和的绝对值；二是与二维形式的柯西不等式类比记忆．柯西不等式的变形和推广：变形(1) 设a i ，b i ∈R ，b i ＞0(i ＝1,2，…，n )，则∑i ＝1na i 2b i≥(∑i ＝1na i )2∑i ＝1n b i，当且仅当a i ＝λb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．变形(2) 设a i ，b i (i ＝1,2，…，n )同号且不为零，则∑i ＝1na ib i≥(∑i ＝1na i )2∑i ＝1na ib i，当且仅当b 1＝b 2＝…＝b n 时，等号成立．【做一做1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ．1 B ．4C ．13D ．12【做一做2】若22212+=1n a a a ++ ，22212+=4n b b b ++ ，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n的最大值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案：(1)|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n(2)参数配方法【做一做1】C 由柯西不等式，知(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ×1＋b ×1＋c ×1)2，又a ＋b ＋c ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．【做一做2】C 由柯西不等式，得2222221212()()n n a a a b b b ++++++≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n时，等号成立．∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4. ∴－2≤a 1b 1＋…＋a n b n ≤2. ∴所求的最大值为2.1．一般形式的柯西不等式如何应用？ 剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致，然后应用解题．2．如何利用“1”？剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式．题型一 利用柯西不等式证明不等式【例题1】已知a 1，a 2，…，a n 都是正实数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1.求证：222212112231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++ .分析：已知条件中a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左侧，“数式”已经可以看出来，为a 1a 1＋a 2，a 2a 2＋a 3，…，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝1应扩大2倍后再利用，本题还可以利用其他的方法证明．反思：通过以上不同的证明方法可以看出，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用．题型二 利用柯西不等式求函数的最值【例题2】设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． 分析：将已知等式变形，直接应用柯西不等式求解． 反思：要求ax ＋by ＋z 的最大值，利用柯西不等式(ax ＋by ＋z )2≤(a 2＋b 2＋12)(x 2＋y 2＋z 2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．题型三 易错辨析易错点：应用柯西不等式时，因忽略等号成立的条件而致误．【例题3】已知x ∈[2,3]，求f (x )＝1＋x ＋1x的最小值．错解：∵x ＞0，∴⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋x ＝⎣⎡⎦⎤12＋(x )2＋⎝⎛⎭⎫1x 2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋(x )2≥⎣⎡1×1＋x ×1x ＋⎦⎤x ×1x 2＝9，∴1＋x ＋1x ≥3.∴f (x )的最小值为3.错因分析：上题在求解时，由于等号不成立，故求解过程错误，结果也不正确． 答案：【例题1】证明：证法一：根据柯西不等式，得左边＝2222121122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ＝[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＋(a n ＋a 1)]×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3a 3＋a 42＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12×12＝[(a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1＋a n)2＋(a n ＋a 1)2]×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋a 12×12≥⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2×a 1a 1＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 3×a 2a 2＋a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋a n ×a n －1a n －1＋a n ＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋a 1×a n a n ＋a 12×12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2×12＝12＝右边．∴原不等式成立．证法二：∵a ∈(0，＋∞)，∴a ＋1a ≥2，∴a ≥2－1a.利用上面的结论，知2112a a a +＝a 12×2a 1a 1＋a 2≥a 12⎝⎛⎭⎫2－a 1＋a 22a 1＝a 1－a 1＋a 24. 同理，有2223a a a +≥a 2－a 2＋a 34，…211n n na a a --+≥a n －1－a n －1＋a n 4，21n n a a a +≥a n －a n ＋a 14.以上式子相加整理，得2222112122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ≥12(a 1＋a 2＋…＋a n )＝12. ∴原不等式成立．证法三：对于不等式左边的第一个分式2112a a a +，配制辅助式k (a 1＋a 2)，k 为待定的正数，这里取k ＝14，则2112a a a +＋14(a 1＋a 2)≥a 1. 同理，2223a a a +＋14(a 2＋a 3)≥a 2.…211n n n a a a --+＋14(a n －1＋a n )≥a n －1，21n n a a a +＋14(a n ＋a 1)≥a n .以上式子相加整理，得2222121122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ≥12(a 1＋a 2＋…＋a n )． ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，∴2222121122311n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++++ ≥12. 【例题2】解：根据柯西不等式，得 120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2， 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 即u ≤230.当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时，u max ＝230.【例题3】正解：应用函数单调性的定义(或导数)可证得f (x )在[2,3]上为增函数，故f (x )min＝f (2)＝1＋2＋12＝72.1若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．92设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD ．P ≤Q3已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ∈(0，＋∞)，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a的最小值为( )A ．1B ．3C ．6D ．94设a ，b ，c ，d 均为正实数，P ＝(a ＋b ＋c ＋d )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＋1d ，则P 的最小值为__________．5已知x ＋4y ＋9z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为__________． 答案：1．D 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2 ≥⎣⎡⎝⎛⎭⎫ab ×b a ＋⎝⎛⎭⎫b c ×c b ＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫c a ×a c 2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＞0时等号成立． 2．B3．D ∵a ＋b ＋c ＝1，∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a＝2(a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．4．165．198(x 2＋y 2＋z 2)(12＋42＋92)≥(x ＋4y ＋9z )2＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，当且仅当x 1＝y 4＝z9，即x ＝198，y ＝249，z ＝998时等号成立．1n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1 B ．n C ．n 2 D ．1n答案：C 设n 个正数为x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得 (x 1＋x 2＋…＋x n )12111n x x x ⎛⎫+++⎪⎝⎭≥2⎫+++ ＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＞0时等号成立．2若实数x ＋y ＋z ＝1，则F ＝2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11 D ．1611答案：D ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)11123⎛⎫++⎪⎝⎭≥21y ⨯＝(x ＋y ＋z )2＝1， 当且仅当3=11x ，6=11y ，2=11z 时等号成立．∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1116＝611.3设m ，n ，p ∈(0，＋∞)，且m 2＋n 2－p 2＝0，则pm n+的最小值为( )A ．0B ．3C ．1D ．2答案：D ∵m ，n ，p ∈(0，＋∞)，m 2＋n 2－p 2＝0， ∴2p 2＝2(m 2＋n 2)＝(12＋12)(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2， 当且仅当m ＝n 时等号成立．∴221()2p m n ≥+.∴2p m n ≥+. 4已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋4y 2＋z 2的最小值为__________．答案：13(x 2＋4y 2＋z 2)(12＋12＋12)≥(x ＋2y ＋z )2＝1， ∴x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即1=3x ，1=6y ，1=3z 时等号成立．5已知(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx 的最大值为__________．答案：设=yk x(k ≠0)，则kx －y ＝0，∴[(x －3)2＋(y －3)2][k 2＋(－1)2] ≥[k (x －3)－(y －3)]2＝(3－3k )2. 当且仅当331x y k --=-时等号成立， ∴6(k 2＋1)≥(3－3k )2，解得3-k ≤∴max k ＝yx的最大值为6求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 答案：解：由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1，即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16， 当且仅当1326121y x y x y ---+-==，即 5=2x ，5=6y 时，上式取等号． 故5=2x ，5=6y 时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值．7设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：2221111003a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：证明：222111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝13(12＋12＋12)·222111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥211111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝211111()3a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥22113⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ＝21100(1+9)33=， ∴原不等式成立．8如图所示，等腰直角△AOB 的直角边长1，在这个三角形内任取一点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形．求这三个三角形面积和的最小值，以及取得最小值时点P 的位置．答案：解：分别以OA ，OB 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则AB 所在直线的方程为x ＋y ＝1，设点P 的坐标为(x ，y )，以点P 为顶点的三个三角形的面积和为S ，则S ＝12x 2＋12y 2＋12(1－x －y )2. 由于x ＋y ＋(1－x －y )＝1(定值)，故当且仅当x ＝y ＝1－x －y ， 即x ＝y ＝13时，x 2＋y 2＋(1－x －y )2有最小值13，从而面积S 有最小值16，此时点P 恰为△AOB 的重心．9设()12(1)lg x x x xn a n f x n+++-+⋅ ＝，若0≤a ≤1，n ∈N *，且n ≥2，求证：f (2x )≥2f (x )．答案：证明：∵f (2x )＝222212(1)lg x x x xn a n n+++-+⋅ ，∴要证f (2x )≥2f (x )，只要证222212(1)lg x x x xn a n n+++-+⋅≥212(1)2lg x x x n a n n+++-+⋅ ，即证222212(1)x x x xn a n n +++-+⋅≥212(1)x x x x n a n n ⎡⎤+++-+⋅⎢⎥⎣⎦，也即证n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ]≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2.(*)∵0≤a ≤1，∴a ≥a 2，根据柯西不等式，得 n [12x ＋22x ＋…＋(n －1)2x ＋a ·n 2x ]≥222(1+11)n ++个{(1x )2＋(2x )2＋…＋[(n －1)x ]2＋(a ·n x )2}≥[1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋a ·n x ]2，即(*)式显然成立，故原不等式成立．。
《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
选修4－5 不等式选讲最新考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)｜a+b｜≤|a|+｜b|(a，b∈R)．(２)|a-ｂ|≤|a－c|＋|c－b｜（ａ，ｂ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+ｂ|≤c,｜ａx+b|≥c,｜x－c|+｜x－b|≥a．3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法（1)|f(x)｜＞a(a＞0)⇔f(x）>a或f（x）<-a；(2）|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x）<a;(3)对形如｜x-ａ|+|x－b｜≤ｃ，|x-ａ｜＋|x-b|≥ｃ的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质｜a|－|b｜≤|ａ±b｜≤|a|+|b｜.问题探究:不等式｜a|－｜b|≤|a±b|≤|ａ|＋｜ｂ|中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a｜-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤０且｜a｜≥｜ｂ|；不等式|ａ|-|b|≤｜a-b|≤|a|＋|ｂ|,右侧“＝”成立的条件是ab≤０,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a｜≥|ｂ|.3．基本不等式定理１:设ａ,b∈R,则a２+ｂ2≥2ab．当且仅当ａ=b时,等号成立.定理2:如果a、b为正数，则错误!未定义书签。
≥错误!未定义书签。
,当且仅当ａ=b时，等号成立．定理3:如果a、b、ｃ为正数，则错误!未定义书签。
≥３，abc,当且仅当a =b =c 时，等号成立． 定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、ａ2、…、a ｎ为n 个正数，则a １＋a 2+…＋a n ｎ≥错误!，当且仅当a 1=a 2=…=a ｎ时,等号成立. 4.柯西不等式(１)柯西不等式的代数形式:设ａ,b ,ｃ，ｄ为实数，则(a 2+b 2)·(c 2+ｄ2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时等号成立．(2)若ａi ，b ｉ(ｉ∈N *)为实数，则(错误!错误!）(错误!未定义书签。
人教版高中数学选修4-5《3.1柯西不等式》
直 观 想 象 数 学 运 算 数 据 分 析
剖析பைடு நூலகம்构
数 学 抽 象 逻 辑 推 理 数 学 建 模
那么，柯西不等式
剖析结构
结构特点和适用条件是什么样的呢？ 1.条件是4个实数（2对）文字含义为： “平方和乘平方和大于等于一乘一加二乘二和的平方” 2.定值： 与 有一个为定值，（积定和大，和定积小） 3.等号成立的条件ad=bc（类似比例内项积等于外项积） 所以，类比均值定理 “一正，二定，三相等”
置疑－－发现－－认识－－应用
探究新知（发现）
4、本节是本册书的一个难点，为了让当堂没理解 好的同学随时回顾本节内容。加深对“柯西不等式 ”特点和适用条件的剖析，我录了一个微课大家带 着下面问题一起来看一下： 1）.二维（4个数）柯西不等式的表达式和结构特 点（文字表达）及等号成立条件。 2）.n维（2n个数）柯西不等式的表达式和结构特 点（文字表达）及等号成立条件。
3（a2+b2+c2）≥(a+b+c)2
3. 这个不等式到底对不对，如何才能快速证明它呢？这就 是我们今天要研究的“柯西不等式”，会了它我们就可以快 速解决此类问题，甚至更难，更复杂的不等式。好，让我们 一起来了解它，走进柯西的世界。
再发现－－再认识－－再应用－－内化
学习目标
1.知识目标：理解柯西不等式的结构特点， 能简单应用解题。 2．素养目标：由柯西不等式结构特点及应 用训练学生数据分析和数学运算能力，培养逻 辑推理和数学抽象及数学建模的核心素养。
)
再发现－－再认识－－再应用－－内化
置疑－－发现－－认识－－应用
深入剖析（再发现）
求小放左，求大放右，系数拆分
利用柯西不等式求最值考虑构造哪端时有何构造技巧？ 1.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 m2+n2 的最小值为_________. （2014·陕西高考文科） 2.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为 ( ) A. B.2 C. 3 D.3
高二数学(人教版)选修4-5教案：第12课时 几个著名的不等式之——柯西不等式
课 题： 第12课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i n i i b x b a x a x f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆，即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i ni i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ，即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
最新人教版高中数学选修4-5《一般形式的柯西不等式》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）. 定理3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式 定理 设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni i ni in i i i b a b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=n n b a. 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n). 变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=i i i ni iib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是： （1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1; （2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b ∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c ∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一： 用柯西不等式证明不等式 例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0. 思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是 ［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1, ∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a , 故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0. 方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式 例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］ ［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］ ≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三： 用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b +c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2. 由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x bx a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xbx a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xb x a cos sin +） ≥(xb xb x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=xb x a cos sin +≥(a 32+b 32)32.于是y=xb x a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究 思想方法探究问题 试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ . 探究过程:由柯西不等式可知(a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以n a a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a na a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a 、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b ∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a-c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a-c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4.人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c ∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+ac b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可.探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。
新人教B版高中数学选修4-5第2章2.1.1 2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明讲义
学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题．教材整理1 柯西不等式1．柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2. 2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. 3．柯西不等式的三角不等式：|α|＋|β|≥|α＋β|.4．柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12(b 21＋b 22＋…＋b 2n )12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |，其中等号成立⇔a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n(当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n)．教材整理2 参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8[解析] 由柯西不等式可求出(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·a y 2＝(1＋a )2，当x ＝1，y ＝a 时，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值是(a ＋1)2，故只需(1＋a )2≥9， 即a ≥4即可． [答案] B121212[精彩点拨] 如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．[自主解答] ∵a ，b ，x ，y 大于0，∴(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)＝(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝(a ＋b )2x 1x 2. 又因为a ＋b ＝1， 所以(a ＋b )2x 1x 2＝x 1x 2，其中等号当且仅当x 1＝x 2时成立． 所以(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设x 1，x 2，…，x n 为正数，求证： (x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2.[证明] 由柯西不等式得 (x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n≥⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2.[精彩点拨] 由x ＋y ＋z ＝1以及u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的形式，联想柯西不等式，构造因式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1解决问题．[自主解答] 由x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z .根据柯西不等式，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12·(2x 2＋3y 2＋z 2)＝116(2x 2＋3y 2＋z 2)，因此1＝(x ＋y ＋z )2≤116(2x 2＋3y 2＋z 2)，∴u ＝2x 2＋3y 2＋z 2≥611，当且仅当2x ＝λ2，3y ＝λ3，z ＝λ时等号成立．∴x ＝λ2，y ＝λ3，z ＝λ代入x ＋y ＋z ＝1，得x ＝311，y ＝211，z ＝611时，等号成立．故函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值是611.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于对目标函数配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)适当添项；(4)适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值．2．若实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝9，则x ＋2y ＋3z 的最大值是________．[解析] 由柯西不等式得(x ＋2y ＋3z )2≤(1＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)＝14×9，故x ＋2y ＋3z ≤314，所以x ＋2y ＋3z 的最大值是314.[答案] 314【例3】 已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式x ＋y ＋y ＋z ＋z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．[精彩点拨] “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值． [自主解答] ∵x >0，y >0，z >0， 且x ＋y ＋z ＝xyz ， ∴1yz ＋1xz ＋1xy＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32， 当且仅当x ＝y ＝z 时， 即x ＝y ＝z ＝3时等号成立， ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值为32. 故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时， 应有λ≥32.因此λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”的应用定理．3．已知函数f (x )＝2x ＋5－x .若关于x 的不等式f (x )≤|m －2|恒成立，求实数m 的取值范围． [解] 由柯西不等式得(2x ＋5－x )2≤(22＋12)·|(x )2＋(5－x )2|＝25， 所以f (x )＝2x ＋5－x ≤5. 当且仅当x2＝5－x 1， 即x ＝4时，等号成立． 又不等式f (x )≤|m －2|恒成立， 所以|m －2|≥5， 解得m ≥7或m ≤－3.故m 的取值范围为(－∞，－3]∪[7，＋∞).1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝c d吗？ [提示] 不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d不成立．2．在平面直角坐标系中，若△ABC 的三个顶点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)．则二维柯西不等式的三角形式又是怎样体现的呢？[提示] 根据二维柯西不等式的几何意义，在△ABC 中，三角形式的柯西不等式为(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i ＝kb i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？ [提示] 不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在． 4．利用柯西不等式时，常用的变形技巧有哪些？[提示] 柯西不等式形式优美，有重要的应用价值，应用柯西不等式解题的关键是恰到好处的变形，常用的变形技巧有：(1)等价变形，将要解决的不等式问题作等价变形，构造出几个实数的平方和与另n 个实数平方和的乘积的形式．(2)配辅助式，为了应用柯西不等式，有时要根据所证不等式的结构特征，结合柯西不等式等号成立的条件，配凑适当的辅助式，使问题获证．(3)适当换元，有时根据所证不等式的结构特征适当换元，转化为容易应用柯西不等式的结构特征，使问题简捷获解．(4)配系数，为了应用柯西不等式沟通条件与结论之间的联系，有时要通过巧配系数来完成． 【例4】 已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11.[精彩点拨] 将不等式2x ＋y ≤11的左边凑成柯西不等式的形式，然后证明． [自主解答] 2x ＋y ＝23·3x ＋12·2y .由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，于是2x ＋y ≤11， 当且仅当3x 23＝2y 12，即x y ＝43时等号成立．4．已知x ＋2y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________． [解析] ∵1＝x ＋2y ，∴1＝(x ＋2y )2≤(1＋22)(x 2＋y 2)． 当且仅当x ＝15，y ＝25时，取等号，∴(x 2＋y 2)min ＝15.[答案] 151．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13D ．0[解析] (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)，∴x 2＋y 2≥13. [答案] C2．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是( ) A ． 2 B ．2 C ． 3D ．3[解析] 2x ＋y ＝2·2x ＋1×y≤ (22＋12)[(2x )2＋y 2]＝ 3(2x 2＋y 2)＝3， 当且仅当2y ＝2x ， 即x ＝y ＝33时等号成立． [答案] C3．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]D ．[－5，5][解析] ∵(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∴|a －b |≤20＝25，∴a －b ∈[－25，25]． [答案] A4．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值为________．[解析] ∵a ，b ，c 为正数，∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝121，当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k >0)时等号成立． 故(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是121.[答案] 1215．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． [解] 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1， ∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1， 即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.。
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数学人教B 选修4-5第二章柯西不等式与排序不等式及其应用知识建构综合应用专题一 柯西不等式的应用利用柯西不等式证明其他不等式或求最值，关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意并深刻体会．应用若n 是不小于2的正整数，试证：47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. 提示：注意中间的一列数的代数和，其奇数项为正，偶数项为负，可进行恒等变形予以化简．专题二 排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，其证明的关键是找出两组有序数组，通常可以根据函数的单调性去寻找．应用设0＜a 1≤a 2≤…≤a n,0≤b 1≤b 2≤…≤b n ，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的一组排列．求证：112121121212n n n n b c b b b b c c bn n n a a a a a a a a a ⋅⋅⋯⋅≥⋅⋅⋯⋅≥⋅⋅⋯⋅－.专题三 最值问题有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理，在这类问题中，利用柯西不等式或排序不等式求解较容易．但在求最值时，无论是应用柯西不等式，还是排序不等式，还是平均值不等式，都应该注意等号成立的条件．应用1设a i ∈(0，＋∞)(i ＝1,2，…，n )，且∑i ＝1n a i ＝1，求：S ＝a 11＋a 2＋…＋a n ＋a 21＋a 1＋a 3＋…＋a n ＋…＋a n 1＋a 1＋…＋a n －1的最小值．应用2已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求2222121231=n n n x x x x F x x x x -++++ 的最小值． 专题四求参数范围问题应用不等式的知识，可以十分巧妙地解决一类求参数的有关问题．应用1求使lg(xy )≤lg 2x ＋lg 2y lg a 对大于1的任意x 与y 恒成立的a 的取值范围． 提示：注意到已知不等式中含a 的式子仅一项，故应放在一侧，这是解该题的出发点． 应用2设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a ，b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b＞0. (1)若a ＞b ，试比较f (a )与f (b )的大小；(2)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12＜f ⎝⎛⎭⎫x －14； (3)如果g (x )＝f (x －c )和h (x )＝f (x －c 2)这两个函数的定义域的交集为空集，求c 的取值范围．提示：本题的(1)(2)两问密切相关，都应由已知不等式推出函数的增减性，以便解决问题．答案：专题一应用：证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12n －2⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， 所以所求证不等式等价于证明47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22. 由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＞n 2， 于是，1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞n 2(n ＋1)＋(n ＋2)＋ (2)＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47， 又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜(12＋12＋…＋12)⎣⎡⎦⎤1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2＋…＋1(2n )2 ≤n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝22. 综上，可得47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. 专题二应用：证明：∵0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，∴ln a 1≤ln a 2≤…≤ln a n .又∵0≤b 1≤b 2≤…≤b n ，故由排序不等式可知b 1ln a 1＋b 2ln a 2＋…＋b n ln a n≥c 1ln a 1＋c 2ln a 2＋…＋c n ln a n≥b n ln a 1＋b n －1ln a 2＋…＋b 1ln a n .于是得1212ln()n b b b n a a a ⋅⋅⋯⋅≥1212ln()n c c c n a a a ⋅⋅⋯⋅≥1112ln()n n b b b n a a a ⋅⋅⋯⋅－．又因为f (x )＝ln x (x ＞0)为增函数，所以12121212n n b cb bc c n n a a a a a a ⋅⋅⋯⋅≥⋅⋅⋯⋅≥1112n n b b b n a a a ⋅⋅⋯⋅－.专题三应用1：解：由题意，得S ＝a 12－a 1＋a 22－a 2＋…＋a n 2－a n，且关于a 1，…，a n 对称，不妨设1＞a 1≥a 2≥……≥a n ＞0，则0＜2－a 1≤2－a 2≤…≤2－a n ，∴12－a 1≥12－a 2≥…≥12－a n＞0， ∴S ≥1n (a 1＋a 2＋…＋a n )⎝⎛⎭⎫12－a 1＋12－a 2＋…＋12－a n ＝1n ⎝⎛⎭⎫12－a 1＋…＋12－a n . 又由柯西不等式，得[(2－a 1)＋(2－a 2)＋…＋(2－a n )]·⎝⎛⎭⎫12－a 1＋12－a 2＋…＋12－a n ≥n 2， 而(2－a 1)＋(2－a 2)＋…＋(2－a n )＝2n －1，所以S ≥1n ×n 22n －1＝n 2n －1， 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1n 时，上面n 个不等式的等号成立，于是S 的最小值为n 2n －1. 应用2：解：不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则1x 1≥1x 2≥…≥1x n＞0， 且0＜x 12≤x 22≤…≤x n 2.∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1,2,3，…，n )的一个排列， 根据排序不等式，得F ＝2222112231n n n x x x x x x x x -++++ ≥2221212111n nx x x x x x ⋅+⋅++⋅ ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时等号成立，∴F ＝2222112231n n n x x x x x x x x -++++ 的最小值为P . 专题四应用1：解：∵lg 2x ＋lg 2y ＞0，且x ＞1，y ＞1，∴原不等式可化为lg a ≥lg x ＋lg y lg 2x ＋lg 2y. 令f (x ，y )＝lg x ＋lg y lg 2x ＋lg 2y＝(lg x ＋lg y )2lg 2x ＋lg 2y＝1＋2lg x lg y lg 2x ＋lg 2y(lg x ＞0，lg y ＞0)． ∵lg 2x ＋lg 2y ≥2lg x lg y ＞0，∴0＜2lg x lg y lg 2x ＋lg 2y≤1. ∴1＜f (x ，y )≤2，故lg a ≥ 2.∴a ≥102，即a 的取值范围是[102，＋∞)．应用2：解：(1)设x 1，x 2是[－1,1]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)·(x 2－x 1)＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1)，即f (x )在[－1,1]上是增函数．∴当－1≤b ＜a ≤1时，f (a )＞f (b )．(2)∵f (x )在[－1,1]上是增函数，∴不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12＜f ⎝⎛⎭⎫x －14⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －12≤1，－1≤x －14≤1，x －12<x －14，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤54. (3)设g (x )的定义域为P ，h (x )的定义域为Q ，则P ＝{x |－1≤x －c ≤1}＝{x |c －1≤x ≤1＋c }，Q ＝{x |－1≤x －c 2≤1}＝{x |c 2－1≤x ≤1＋c 2}．若P ∩Q ＝，必有c ＋1＜c 2－1或c 2＋1＜c －1，而c 2－c －2＞0c ＞2或c ＜－1，c 2－c ＋2＜0c ∈.故c ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．真题放送1．(2011·上海高考)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b ＞2abD ．b a ＋a b ≥2 2．(2011·重庆高考)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A ．72B ．4C ．92D ．5 3．(2010·四川高考)设a ＞b ＞c ＞0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2 B ．4C ．2 5D ．54．(2010·重庆高考)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4C ．92D ．1125．(2011·湖南高考)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为__________． 答案：1．D 由ab ＞0，可知a ，b 同号．当a ＜0，b ＜0时，选项B ，C 不成立；当a ＝b 时，选项A 不成立；由不等式的性质可知，选项D 成立．2．C 2y ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a .∵a ＞0，b ＞0，∴2y ≥5＋24a b ·b a＝9，∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝23，b ＝43时“＝”号成立． 3．B 因为a ＞b ＞c ＞0，所以2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝a 2＋a －b ＋b ab (a －b )＋(a －5c )2＝a 2＋1b (a －b )＋(a －5c )2≥a 2＋1⎝⎛⎭⎫b ＋a －b 22＋(a －5c )2＝a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4.当且仅当a ＝2＝2b ＝5c ，即a ＝2，b ＝22，c ＝25时取等号． 4．B ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，∴(x ＋2y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22≥8，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时等号成立．解得x ＋2y ≥4. ∴x ＋2y 的最小值为4.5．9 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥5＋24x 2y 2×1x 2y2＝5＋4＝9.当且仅当x 2y 2＝12时等号成立．。