函数的三种表示方式及取值范围
函数的表示法知识点
函数的表示法1.函数的三种表示法： 图象法、列表法、解析法2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
3.映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f ：A →B ”给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，b=f （a ），元素a 叫做元素b 的原象.说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。
注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意：解析法：便于算出函数值。
列表法：便于查出函数值。
图象法：便于量出函数值5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
函数及其表示知识梳理
函数1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：y =f (x )，x ∈A 。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。
显然，值域是集合B 的子集.解读函数概念（1）“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．(4) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；常用函数符号: ƒ(x) ,g(x), h(x), F(x), G(x)等.（5）函数符号“()y f x =”是数学中抽象符号之一，“()y f x =”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，()f x 也不一定是解析式，还可以是图表或图象．（6）函数只能是一对一或者多对一（7）函数求值，需要把所有定义域都做代换2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的构成要素由函数概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域_.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系.辨析() f x 与()()f a a A ∈：()f a 表示当自变量x a =时函数() f x 的值，是一个常量，而() f x 是自变量x 的函数，它是一个变量，()f a 是() f x 的一个特殊值．（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义。
函数值及自变量的取值范围
y
x 等腰三角形两底角相等。
（ 3 ） 如 图 ， 等 腰 直 角 △ ABC 的 直 角 边 长 与 正 方 形 MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上， 开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A 点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
我们可以由自变量结合函数本身求出因变量，此时这个因变量的值称为该自变量
函数值 对应的
；同时，我们也可以由因变量结合函数本身求出自变量的值！
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1； （2） y＝2x2＋7；
（3）
y=
x
1
2
；
（4） y＝ x 2 ．
解：（1）中x取任意实数，3x－1都有意义 .
(2)中x 取任意实数， 2x2＋7都有意义 .
（3）中，x≠－2时，函数有意义．
（4）中x≥2时，函数有意义．
试一试: 求下列函数自变量的取值范围
⑴ y= x2 x 1 ⑵ y= 3 x
⑶ y= 1
⑷ y= x 2
x2
x ⑸ y=(x1)0 ⑹ y=
说明:四种基本类型的函数自变量取值范围
x 1 29
1 整式-----一切实数
2 分式-----分母不为零
偶次根式 (被开方数≥0) 3 根式-----
奇次根式 (被开方数为一切实数 ) 4 零指数-----底数≠0
练习：一
P33习题中第4题 P31练习第3题
练习二：P32第2题
2.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变 量的取值范围：
函数值及自变量的取值范围
1、理解函数值的概念，并会求 某个自变量所对应的函数值；
函数2
7
如何书写呢？
函数的关系式是等式.
那么函数解析式的书写有没有要求呢？
通常等式的右边是含有自变量的代数 式,左边的一个字母表示函数.
根据所给的条件,写出y与x的函数关系式：
矩形的周长是18cm,它的长是y cm,宽是x cm.
8
1.下列各式中，ｘ是自变量，请判断ｙ是不是ｘ的
函数？若是，求出自变量的取值范围。
（1）y=2x+4 1 y （ 3） x 2
（2）y=－2x2
（ 4） y
x 3
如果当x=a时， y=b，那么b叫做 当自变量的值为a 时的函数值
解：（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10 （2）当x=3时，y=－2x2=－2×32=－18 （3）当x=3时， y
1 1 1 x 2 32
小露牛角
• 完成P26，练习1
当堂检测
1、 求下列函数中自变量x的取值范围 (1)y= (2)
(3)y =-
1、（凉山·中考）函数 是（ ）
的自变量x的取值范围
A.x≥﹣2且x≠2
C.x≠±2
B.x＞﹣2且x≠2
D.全体实数
x 2 0 【解析】 选B.由题意知， 2 解得 x 4 0
由于池中共有300 m3每时排25 m3全部排完 只需300÷25=12（h），故自变量T的取值范 围是0≤t≤12
（3）开始排水后的第5h末，游泳池中还有多 少水？ 当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3）， 即第5h末池中还有水175 m3
（4）当游泳池中还剩150 m3已经排水多少时？ 当Q=150时，由150=-25 t +300，得t =6， 即第6 h末池中有水150m3
函数的概念及其表示方法
教学内容知识梳理知识点一、函数的概念1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数. 记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做叫做自变量自变量，x 的取值范围A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关. 3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间的数轴表示． 区间表示：区间表示：{x|a≤x≤b}=[a ，b]；； ；. 知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学解析法：用数学表达式表达式表示两个变量之间的对应关系．表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出列表法：列出表格表格来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的分段函数的解析式不能写成几个不同的方程方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A 、B 是两个非是两个非空集空集合，如果按照某个对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f ：A→B.象与原象：象与原象：如果给定一个从集合如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，的映射，那么那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象. 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f(a). 2.函数：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意：注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；函数三要素：定义域、值域、对应法则(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 原象集合例题讲解类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)】判断下列命题的真假真假【变式1】判断下列命题的(1)y=x-1与是同一函数；是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；是同一函数；(3)是同一函数；是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数. 2.求下列函数的定义域(用区间表示). 求下列函数的定义(1)；(2)；(3). 】求下列函数的定义域：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3). 3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1). 【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；域；(2)求f(-3)，的值；的值；f(a-1)的值. (3)(3)当a＞0时，求f(a)×f(a)×f(a-1)【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：，求： (1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x)) 4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4；. 类型二、映射与函数5. 下列下列对应关系对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；：取倒数；(2)A={平面内的平面内的三角形三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的：作三角形的外接圆外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f ：作圆的：作圆的内接内接三角形．三角形．【变式1】判断下列两个对应是否是】判断下列两个对应是否是集合集合A 到集合B 的映射？的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N *，B={0，1}，对应法则f:x→x 除以2得的得的余数余数； ③A=N ，B={0，1，2}，f ：x→x 被3除所得的余数；除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，【变式2】已知映射f ：A→B ，在f 的作用下，判断下列说法是否正确？的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x ∈A ，都有唯一的y ∈B 与x 对应；对应；(2)A 中的某个元素在B 中可以没有象；中可以没有象；(3)A 中的某个元素在B 中可以有两个以上的象；中可以有两个以上的象；(4)A 中的不同的元素在B 中有不同的象；中有不同的象；(5)B 中的元素在A 中都有原象；中都有原象； (6)B 中的元素在A 中可以有两个或两个以上的原象. 【变式3】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x→y=(x→y=(-1)-1)x ； (2)A=N ，B=N +，f ：x→y=|x x→y=|x-3|-3|；(3)A=R ，B=R ，(4)A=Z ，B=N ，f ：x→y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x→y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x→y=|x→y=|x|. x|. 6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素是从集合的象，B中元素的原象. 的映射，其中【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？的原象分别为什么？y)→(x-y-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x么？么？类型三、函数的表示方法7. 求函数的求函数的解析式解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)]. 8.作出下列函数的作出下列函数的图象图象. (1)；(2)；类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值. 【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值. 10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约解析式，并画出个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数函数的图象. 【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，之间的函数关系式？Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？元，应选择哪种通讯方式？话费200元，应选择哪种通讯方式？若某人预计一个月内使用话费Ⅲ. 若某人预计一个月内使用一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵．⑴、⑵ B．⑵、⑶．⑶、⑸．⑷ D．⑶、⑸．⑵、⑶ C．⑷2．函数y=的定义域是() 0≤x≤1 1 D．{-1，1} x≤-1-1或x≥1 C．0≤x≤A．-1≤x≤1B．x≤3．函数的值域是( ) A．(-(-∞∞，)∪(，+∞)B．(-(-∞∞，)∪(，+∞)C．R D．(-(-∞∞，)∪(，+∞) 4．下列从．下列从集合的对应中：集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x 2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从其中，不是从集合集合A 到集合B 的映射的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．已知映射f:A→B ，在f 的作用下，下列说法中不正确的是( ) A ． A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定有原象中元素不一定有原象 B ． B 中元素可以有两个原象中元素可以有两个原象 C ． A 中的任何元素有且只能有唯一的象中的任何元素有且只能有唯一的象 D ． A 与B 必须是非空的必须是非空的数集数集 6．点(x ，y)在映射f 下的象是(2x-y ，2x+y)，求点(4，6)在f 下的原象( ) A ．(，1)B ．(1，3) C ．(2，6)D ．(-1，-3) 7．已知集合P={x|0≤x≤4}， Q={y|0≤y≤2}，下列各，下列各表达式表达式中不表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．y=B ．y=C ．y=x D ．y=x 28．下列．下列图象图象能够成为某个函数图象的是( ) 9．函数的图象与的图象与直线直线的公共点数目是( ) A ．B ．C ．或D ．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( ) A ． B ．C ．D ． 11．已知，若，则的值是( ) A ．B ．或C ．，或D ．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) 的图象适当平移A．沿轴向右平移个单位个单位 B．沿轴向右平移个单位个单位C．沿轴向左平移个单位个单位个单位 D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．上的值域4．若最大值为，则这个二次函数的表，且函数的最大值．若二次函数二次函数的图象与x轴交于，且函数的达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．的定义域．2．求函数的值域．的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：．根据下列条件，求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x 2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知； (5)已知f(x)的定义域为R ，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x). 课后作业一．选择题一．选择题1．下列四种说法正确的一个是．下列四种说法正确的一个是（ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的．函数的值域也就是其定义中的数集数集B C ．函数是一种特殊的映射．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于等于 （ ） A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xx y y ==,1 B ．1,112-=+´-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为的定义域为（ ） A ．]1,(-¥ B ．]2,(-¥C ．]1,21()21,(-Ç--¥D ． ]1,21()21,(-È--¥ 5．设ïîïíì<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f p ，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1+pB ．0 C ．pD ．1- 6．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．xx +-11 D ．12+x x 7．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为的定义域为（ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-8．设îíì<+³-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题9．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 10．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个”的运算对于任意三个实数实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 . 11．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成可构成 个不同的映射. 12．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x x x x f >ïïîïïíì<³-=若则实数a 的取值范围是的取值范围是 。
函数的表示方法
函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。
细说函数的三种表示方法
1、细说函数的三种表示方法2、一次函数漏（错）解例析3、求函数最值问题请注意取值范围4、画好实际问题中的一次函数图象5、运用一次函数图象解题6、一次函数与不等式（组）结合来解题1、细说函数的三种表示方法本章的学习，我们将遇到函数的三种表示方法，即解析式法、列表法、图象法。
下面与大家细说这三种方法的优缺点：一、解析式法用数学式子表示函数关系的方法叫解析式法．如：y＝2x＋4，s＝－5t＋600等．例1、有一个水箱，它的容积为500L，水箱内原有水200L，现要将水箱注满，已知每分钟注入水10L．请你写出水箱内水量Q（L）与时间t（分）的函数关系式，并注明取值范围．【分析】本题是求实际问题的函数解析式，要求我们会用函数解析式表示变量之间的关系．解：所列函数关系式为：Q＝200＋10t（0≤t≤30）．解析式法的优点：简单明了，能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算；但有些函数，不一定能用解析式法表示或表示出来非常繁琐。
二、列表法列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法。
优点：直观，即对于表中自变量的每一个值，不通过计算，就可从表中找到与它对应的函数值。
缺点：有局限性，即在表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中也不易看不出变量间的对应规律。
如下表，就是邮局信件的一种邮资表：信件的质量m(克) 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 邮费y（元）0.8 1.2 1.6 2.4从表中可以直观地看出y与m的对应关系。
三、图象法在平面直角坐标系中，以自变量的每一个值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数的方法称为图象法。
优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念图形化。
什么是函数函数有几种表示方法
什么是函数函数有几种表示方法
函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了输入和输出
之间的映射关系。
在数学中，函数被用来描述不同数值之间的关系，也被广泛应用在计算机科学、物理学、经济学等各个领域。
一个函数通常表示为f(x)，其中x是输入，f(x)是输出。
函数有多种表示方法，包括解析式、图像、表格和公式等。
下面将逐一介绍这些表示方法：
解析式表示
解析式是最常见的函数表示方法。
通过解析式，我们可以
直接得到函数的表达式，从而方便计算。
例如，一个线性函数可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
图像表示
函数的图像表示了函数的输入和输出之间的关系。
图像通
常用坐标系表示，其中横轴表示输入，纵轴表示输出。
通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的性质，如增减性、奇偶性等。
表格表示
函数的表格表示了函数输入和输出的对应关系。
通过表格，我们可以直观地看出不同输入对应的输出是什么，从而更好地理解函数的性质。
公式表示
函数还可以通过数学公式表示。
数学公式是用数学符号和
运算符描述函数的关系，是一种抽象和形式化的表示方法。
通过以上几种表示方法，我们可以更加全面地了解函数的
概念和性质。
函数是数学中一个非常重要的概念，也是解决各
种问题的基本工具之一。
不同的表示方法可以帮助我们更好地理解和运用函数。
数学九年级函数知识点
数学九年级函数知识点一、函数的概念及表示方法函数是一种关系，它把一个集合中每个元素与另一个集合中唯一确定的元素相对应。
函数通常以字母来表示，常用的表示方法有函数公式和函数图像。
1. 函数公式函数公式是用代数表达式表示函数的规律。
通常用变量x表示自变量，用变量y表示因变量。
函数公式的一般形式为y = f(x)，其中f表示函数。
例如：y = 2x + 3，表示函数y是x的两倍再加上3。
2. 函数图像函数图像是用二维坐标系中的点表示函数的规律。
自变量所在的轴称为横坐标轴，因变量所在的轴称为纵坐标轴。
函数的图像一般是一条曲线或者一段线段。
二、函数的性质函数具有许多重要的性质，下面介绍几个常见的性质。
1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量可取的值的集合，值域是指因变量可取的值的集合。
例如：对于函数y = 2x + 3，定义域是所有实数集合R，值域也是所有实数集合R。
2. 单调性函数的单调性描述了函数在整个定义域上的变化趋势。
可以分为递增和递减两种情况。
若对于任意两个自变量的值x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则函数是递增的；若对于任意两个自变量的值x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则函数是递减的。
3. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的图像关于y轴和原点的对称性。
若对于任意自变量的值x，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；若对于任意自变量的值x，有f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
4. 零点和极值点函数的零点是指使得函数值等于零的自变量的值。
函数的极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
三、常见的函数类型在函数的学习过程中，有几种常见的函数类型需要掌握。
1. 一次函数一次函数是指函数的最高次数为1的函数。
它的函数公式为y = kx + b，其中k和b为常数。
2. 二次函数二次函数是指函数的最高次数为2的函数。
函数知识点与公式总结
函数知识点与公式总结一、函数的定义和性质函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
一个简单的函数可以用如下的记号来表示：f：X→Y，表示一个函数f从集合X到集合Y的映射关系。
其中，X称为定义域，Y称为值域。
函数的性质：1. 定义域和值域：定义域是指函数的输入可以取的值的集合，值域是函数的输出可以取的值的集合。
2. 单调性：函数的单调性是指在定义域内，函数的增减趋势。
可以分为递增和递减两种情况。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。
如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=f（x），那么函数是偶函数；如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=-f（x），那么函数是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。
5. 函数的图像：函数的图像是函数在直角坐标系中的点的集合，描述了函数的性质和特点。
二、常见的函数公式1. 线性函数线性函数是指函数的图像是一条直线的函数。
线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b 是常数，a称为斜率，b称为截距。
2. 二次函数二次函数是指函数的图像是一个抛物线的函数。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。
3. 指数函数指数函数是以常数e为底数的幂函数，一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
4. 对数函数对数函数是指以常数a为底数的对数函数，一般形式为y=log_a(x)，其中a为底数，x为真数。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们描述了角度和弧度之间的关系。
6. 反比例函数反比例函数是指函数的图像是一条反比例曲线的函数，一般形式为y=k/x，其中k是常数。
7. 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|，它表示x的绝对值，即x的正数部分。
8. 分段函数分段函数是指在定义域的不同区间上有不同函数式的函数，一般形式为f(x)=```{g(x)，a≤x≤bh(x)，b＜x＜c}```9. 复合函数复合函数是指一个函数的自变量（或生成元素）是另一个函数的值域，即f[g(x)]，表示函数f和g的复合。
数学函数符号读法大全
数学函数符号读法大全1.函数名：-读作“函数f”：f(x)表示函数f的自变量为x。
-读作“函数g”：g(y)表示函数g的自变量为y。
-读作“函数h”：h(z)表示函数h的自变量为z。
2.自变量：-读作“x”：x表示函数的自变量。
-读作“y”：y表示函数的自变量。
-读作“z”：z表示函数的自变量。
3.箭头：-读作“映射到”：f:X→Y表示函数f将集合X中的元素映射到集合Y中的元素。
4.等号：-读作“等于”：f(x)=y表示函数f在自变量x的取值为y。
5.花括号：-读作“函数f的定义域是X”：f:X→Y表示函数f的定义域是集合X，即x的取值范围。
-读作“函数f的值域是Y”：f:X→Y表示函数f的值域是集合Y，即函数的输出值的范围。
6.圆括号：-读作“f的自变量为x”：f(x)表示函数f的自变量为x。
-读作“g的自变量为y”：g(y)表示函数g的自变量为y。
-读作“h的自变量为z”：h(z)表示函数h的自变量为z。
7.其他常见符号：-读作“f和g的复合函数”：(f∘g)(x)表示函数f和g的复合函数。
- 读作“f 在 x 处的极限是l”：lim(x→a) f(x) = l 表示函数 f 在 x 趋近于 a 时的极限是 l。
-读作“函数f的导数是f'”：f'(x)表示函数f的导数。
- 读作“函数 f 的积分是F”：∫ f(x) dx = F(x) 表示函数 f 的积分是 F。
- 读作“函数 f 在 x 处的微分是df”：df = f'(x) dx 表示函数f 在 x 处的微分是 df。
-读作“方程f(x)=0的解是x”：f(x)=0表示方程f(x)的解是x。
- 读作“函数 f 的最大值是M”：max f(x) = M 表示函数 f 的最大值是 M。
- 读作“函数 g 的最小值是m”：min g(x) = m 表示函数 g 的最小值是 m。
高中数学函数知识归纳总结最全
高中数学函数知识归纳总结最全高中数学中最基础也最重要的概念之一就是函数。
函数是一种对应关系，它把一个自变量的取值映射到一个因变量的取值上。
学好函数这一章节，对其他数学知识的学习有直接的帮助。
本文将对高中数学中常见的函数知识进行归纳总结，以帮助广大学生更好地理解和掌握函数知识。
一、基本概念与符号1. 自变量与因变量：自变量是函数的输入值，通常用字母x表示；因变量是函数的输出值，通常用字母y表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能的取值范围，通常用符号“∈”表示；函数的值域是函数在定义域内所有可能取到的值的集合。
例如，函数y = x²的定义域是所有实数，值域是大于等于0的正实数。
3. 函数表示法：（1）函数表达式：y = f(x)，其中f(x)是对函数的一种直接表示方法。
（2）映射符号表示法：写成y = x²，y = logx等形式。
（3）函数图像表示法。
二、基本类型1. 常函数：y = b（b为常数），函数图像为一条水平直线。
该函数的定义域为所有实数，值域为{b}。
2. 线性函数：y = kx + b（k、b为常数，k ≠ 0），函数图像为一条斜率为k的直线，b为截距。
该函数的定义域为所有实数，值域为所有实数。
3. 幂函数：y = x^k（k为常数），函数图像为一条经过原点的，k取不同值时形状各异的曲线。
该函数的定义域为{x | x ≠ 0}，值域为{y | y > 0}（k > 0）或{y | y < 0}（k < 0）。
4. 指数函数：y = a^x（a > 0 且a ≠ 1），函数图像为一条经过原点的，连续递增的曲线。
该函数的定义域为所有实数，值域为{y | y > 0}。
5. 对数函数：y = loga(x)（a > 0 且a ≠ 1），函数图像为一条经过点(1,0)的，连续递减的曲线。
该函数的定义域为{x | x > 0}，值域为所有实数。
函数的概念及表示方法
特级教师 王新敞
3.两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素， 即定义域A、值域C和对应法则 f. 当函数的定义 域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函 数的值域也就随之确定 .因此，定义域和对应法 则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数 的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函 数才是同一个函数 .
由映射和函数的定义可知，函数是一类特 殊的映射，它要求 A、B非空且皆为数集 .
特级教师 王新敞
特级教师 王新敞
5.映射的概念中象、原象的理解： (1) A中每
一个元素都有象 ;(2)B中每一个元素不一定都有原
象，不一定只一个原象； (3)A中每一个元素的象
唯一. 6．分段函数：如
? x2 f (x) ? ?
特级教师 王新敞
练习
1.购买某种饮料 x听，所需钱数为 y元. 若每听2元， 试分别用解析法、列表法、图象法将 y表示成x （x∈{1,2,3,4}）的函数，并y指出该函数的值域 . 解：（1）解析法：
y=2x, x∈{1,2,3,4}. 8
（2）列表法：
6
X/听 1 2 3 4
4
Y/元 2 4 6 8
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特级教师 王新敞
特级教师
王新敞
例 1 已知函数 f (x) =
3 3x ? 1
的定义域
ax 2 ? ax ? 3
是 R，则实数 a 的取值范围是 ( B )
A. a ? 1 3
B. ? 12 ? a ? 0
C. ? 12 ? a ? 0
D. a ? 1 3
剖析：由 a
2
（3） 图象法 （如图）
函数的值域是 {2,4,6,8}
常见函数知识点总结
常见函数知识点总结函数是数学中的一个重要概念，它在数学和科学中有着广泛的应用。
在学习函数的过程中，有一些常见的知识点是需要掌握的，包括函数的定义、函数的性质、函数的图像、函数的分类、函数的运算、函数的应用等。
本文将对这些常见的函数知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握函数的相关知识。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它规定了每个自变量对应一个唯一的因变量。
具体来说，如果对于每一个自变量x，都有唯一的因变量y与之对应，那么我们就说y是x的函数，记作y=f(x)。
其中，x称为自变量，y称为因变量，f称为函数。
例如，f(x)=x^2就是一个函数，它表示自变量x的平方值作为因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合，值域是所有因变量可能取值的集合。
2. 奇偶性：如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
3. 单调性：如果对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)是增函数；如果对于任意的x1<x2，有f(x1)>f(x2)，那么函数f(x)是减函数。
4. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)是周期函数。
5. 对称性：如果对于任意的x1和x2，有f(x1)=f(x2)，那么函数f(x)是对称函数。
三、函数的图像函数的图像是在坐标系中用曲线或点表示的。
常见的函数图像有直线、抛物线、三角函数曲线、指数函数曲线、对数函数曲线等。
在图像上，我们可以通过函数的性质来判断函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等。
例如，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，增函数的图像是逐渐上升的，周期函数的图像有明显的重复规律等。
四、函数的分类1. 初等函数：包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、指数对数函数等。
3.1-函数的概念及表示方法
(1)当两个变量之间的函数关系能用一个等式来表示时,
这个等式叫做函数解析式.求函数的解析式,一般要求出函数
的定义域;
(2)求函数解析式的常用方法有:待定系数法、换元法等;
(3)常见函数图象举例(见下面图组).
【小结】 在解决问题时,数形结合,常见函数图象是有
(2)已知 f(2x)=(2x)2-2,则 f(a)= a2-2
.
5.(1)函数
f(x)=+的定义域是 {x|x≠-1,x∈R}
.
(2)函数 f(x)=x0 的定义域是 {x|x≠0,x∈R}.
(3)函数 f(x)= 的定义域是 {x|x≥0}
.
(4)函数 f(x)= 的定义域是 R
.
.
−>
(2)依题意
,解得-<x<1,∴函数的定义域是(-,1).
+ >
【小结】 根据函数的解析式求定义域,先要找出自变量的所有限制条
件,再求相应解集的交集,最后结果一般用区间表示.
【例 7】
求函数 f(x)=
+ , < ≤
的定义域.
, < ≤
∵-(x-1)2≤0
∴y≤-1
所以函数的值域为:(-∞,-1].
二、探究提高
【例1】 已知f(x)=2x2+3x+4,g(x)=x+4,且F(x)=f(x)-3g(x).
(1) 求F(x); (2)求F(2)的值.
【解】 (1)F(x)=f(x)-3g(x)=2x2+3x+4-3(x+4)=2x2-8;
常用函数公式及用法
常用函数公式及用法函数是数学中的重要概念，用来描述数值关系和映射关系。
常用函数公式及其用法包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和常数函数等。
1.线性函数线性函数是最简单的函数形式，表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一个直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的截距。
线性函数广泛地应用于各个领域，如经济学中的供求关系和企业收益分析等。
2.二次函数二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向和形状由a的正负号决定。
二次函数用于描述很多自然现象，如抛物线的运动轨迹和一些物理学的定律等。
3.指数函数指数函数的表达式为f(x)=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1、指数函数的图像是一个以a为底的指数曲线，呈现出逐渐增长或递减的趋势。
指数函数在经济学、生物学和物理学等领域中被广泛使用，如利息计算、人口增长模型和放射性衰变等。
4.对数函数对数函数是指数函数的逆运算，表达式为f(x) = loga(x)，其中a 为常数且大于0且不等于1、对数函数的图像是指数曲线的镜像，可以用来求解指数方程。
对数函数在数学和科学领域中有着重要的应用，如计算机科学中的算法分析和信号处理中的动态范围表示等。
5.三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，与三角比例关系相关。
三角函数可以描述周期性的现象和波动现象，广泛地应用于物理学、工程学和天文学等领域。
三角函数的图像是周期性的波动曲线，可以用来描述周期性的定量变化。
6.常数函数常数函数是一个恒定的函数，表达式为f(x)=c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平的直线，表示其输出值在定义域内始终不变。
常数函数在数学中用来描述恒定的量或稳定的状态。
高中阶段常见函数性质汇总
高中阶段常见函数性质汇总函 数 名 称：常数函数 解析式 形 式：f (x )=b (b ∈R)图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合〔垂直于y 轴〕的直线定 义 域：R 值 域：{b} 单 调 性：没有单调性 奇 偶 性：均为偶函数[当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数] 反 函 数：无反函数 周 期 性：无周期性函 数 名 称：一次函数 解析式 形 式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 图象及其性质：直线型图象。
|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；当b =0时，函数f (x )的图象过原点；当b =0且k =1时，函数f (x )的图象为一、三象限角平分线；当b =0且k =-1时，函数f (x )的图象为二、四象限角平分线； 定 义 域：R 值 域：R单 调 性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数； 当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数； 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反 函 数：有反函数。
[特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身] 周 期 性：无函 数 名 称：反比例函数 解析式 形 式：f (x )=xk(k ≠0) 图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为原点；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y =x 、y =-x ；定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞单 调 性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数；当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增函数； 奇偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 周 期 性：无函 数 名 称：变式型反比例函数 解析式 形 式：f (x )=dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0)图象及其性质：图象分为两部分，均不与直线c a y =、直线cdx -=相交，当k>0时，b函数f (x )的图象分别在直线c a y =与直线c d x -=形成的左下与右上部分；当k<0时，函数f (x )的图象分别在直线ca y =与直线c d x -=形成的左上与右下部分；双曲线型曲线，直线c a y =与直线cdx -=分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为点),(c a c d -；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为cda x y ++=、cda x y -+-=；由于c a cd x c ad bc d cx c ad b c a d cx c ad b d cx c a d cx b ax x f ++-=+-+=+-++=++=2)()( 令2c ad bc k -=，则c a c d x k x f ++=)( 进而函数f (x )的图象可以看成是由函数x k y =向左平移cd 个单位，向上平移c a个单位得到的定 义 域：),(),(+∞---∞c d c d 值 域：),(),(+∞-∞cac a单 调 性：当0>-ad bc 时，函数在),(c d --∞和),(+∞-c d 上均为减函数；当0<-ad bc 时，函数在),(cd--∞和),(+∞-c d 上均为增函数；奇偶 性：非奇非偶函数 反函数：acx b dx y -+-= 周 期 性：无函 数 名 称：二次函数 解析式 形 式：一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为a b x 2-=，顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --或),(h k ，与y 轴的交点为),0(c ；②当0>a 时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点)44,2(2a b ac a b --；当0<a 时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点)44,2(2a b ac a b --；③当042>-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有两个交点，当042=-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有一个交点，当042<-=∆ac b 时，函数图象与x 轴没有交点；④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当0>a 时，横坐标距对称轴近则函数值小，当0<a 时，横坐标距对称轴近则函数值大；⑤函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 均可由函数)0()(2≠=a ax x f 平移得到；定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为),44(2+∞-ab ac ；当0<a 时，值域为)44,(2a b ac --∞单 调 性：当0>a 时，]2,(a b --∞上为减函数，),2[+∞-a b 上为增函数；当0<a 时，),2[+∞-a b 上为减函数，]2,(ab--∞上为增函数；奇 偶 性：当0=b 时，函数为偶函数；当0≠b 时，函数为非奇非偶函数 反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周 期 性：无c bx ++指数函数y=a x (常数a>0且a≠1)图象特征函数性质图象向左、向右无限延展，但永远不和x轴相交x∈R图象都在x轴上方函数值恒大于0图象必经过点(0,1) 当x=0时，y=1a>1 图象在第一象限部分的点的纵坐标都大于1 当x>0时，y>1 图象在第二象限部分的点的纵坐标都小于1 当x<0时，0<y<10<a<1 图象在第一象限部分的点的纵坐标都小于1 当x>0时，0<y<1 图象在第一象限部分的点的纵坐标都大于1 当x<0时，y>1a>1 图象上升增函数0<a<1 图象下降减函数对数函数y=lo g a x(a>0且a≠1的常数)图象特征函数性质图象都在y轴右方函数定义域：x>0y 函数值域：y∈R图象必经过点(1,0) 当x=1时，y=0a>1横坐标大于1的点的纵坐标都大于0 当x>1时，y>0 横坐标大于0，小于1的点的纵坐标都小于0 当0< x< 1时，y<00<a<1横坐标大于1的点的纵坐标都小于0 当x>1时，y<0 横坐标大于0，小于1的点的纵坐标都大于0 当0< x< 1时，y>0a>1 图象上升增函数0<a<1 图象下降减函数y =x n (n ∈R 且n 为常数)不 同 点图象呈现“抛物线”型的弧图象呈现“双曲线”型的弧图象与x 、y 轴无限接近，但永不相交图象都经过点(0,0)、(1,1) 图象都经过(1,1)在第一象限，函数值随着x 的增大而增大 即在(0,+∞)上是增函数 在第一象限，函数值随着x 的增大而减小即在(0,+∞)上是减函数共同点(1) 当n =0时，图象是一条去掉(0,1)的直线； (2) 幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点(0,0)； (3) 幂函数的图象不可能经过第四象限； (4) 任何两个幂函数的图象最多只有三个交点图像定义域 (-∞,0)⋃(0,+∞)(-∞,0)⋃(0,+∞)奇偶性奇函数 奇函数单调性递增区间),(a --∞和),(+∞a递增区间 (-∞,0)和(0, +∞)递减区间)0,(a -和),0(a递减区间无值 域]a 2,(--∞⋃),a 2[+∞R减小减小xyO aa -a 2 a 2-)0(>+=a xax yxyO )0(>-=a xax y a a -。
分类范围取值函数
分类范围取值函数总共分为如下几类：类型1：f(x)=1/x(分式函数)，定义域为x不为0；类型2：f(x)=x^0(一个数的0次幂)定义域为x不为0；类型3：f(x)=根号x(开偶数次方的函数)，定义域为x大于等于0；类型4：f(x)=loga(x)(真数类函数)，定义域为x大于0，即真数为正数；类型5：以上4个类型的任意组合，按照相关的类型进行求解即可；(需要同时满足条件哦)，如：f(x)=ln(根号x)，首先要保证根号x有意义，同时满足真数根号x为正数，这样求得最后的定义域为x0知识扩展：函数中的参数是除去变量后的字母，对于任意使得参数有意义的数，都是参数的取值范围，从这个程度上来说，参数的取值范围和函数的定义域的求法是相同的。
例如：f(x)=ax，参数a的范围为R，而f(x)=1/ax，参数的取值范围为a不为0；求解参数取值范围顺口溜：杀掉字母自变量，剩下字母是参数，参数不取无意值。
(参数的取值范围是使得参数有意义的值组成的范围；)参数的取值范围和函数定义域的区别和联系两者表示的含义不同，参数的取值不同，可能造成的函数的图像就不同，但是函数的定义域在函数图像是固定的，无论怎么取，一个自变量就对应一个函数值，而参数的一个数值就对应一个图像，这个是两者最大的区别。
联系：函数的定义域在某种意义上来说，就是让函数表达式有意义的数值组成的集合，而函数中的参数取值范围也是使得参数有意义的数值组成的范围，从这个概念上讲两者无区别。
例题1：f(x)=a^2x+4；求参数的取值范围。
解析：根据上面讲解的解题技巧知，参数a的范围为R，没有取不到的数值。
例题2：f(x)=lnax+4；解析：参数a的取值范围是不为0，同时要保证ax0，解得：参数a 的取值范围为a不为0；当a0时，函数的定义域为x0。
当a0时，函数的定义域为x0；从这个例题上，我们也可以发现，参数的取值，在某种意义上决定了函数的定义域！。
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（1）黄河的一条支流上的某水文站记录了该支流 当天 9 时至 21 时河水水位的变化情况（图 5-1）.
在这个实际问题中，弹簧长度 y与拉力 x之间 是函数关系吗？如果是，函数关系吗？ 是用哪种方法表示的？
其中，自变量是在哪个范围内取值的？
（3）物体从 490 m 的高度处自由下落，物体
距地面的高度 h（m）与物体下落的时间 t（s） 之间的关系满足表达式 h = 490 - 4.9t2 在这个实际问题中，物体距地面的高度 h与物体 下落的时间 t之间是函数关系吗？ 如果是，它们之间的函数关系是用哪种方法表示的？
想一想：下列自变量x可以取何值？
（1）y = 3x - 2； （3） y=
1 （ 2） y 2x 1
x-1
x y （ 4） 3 5x
课题小结：
本节课我们都学习了那些内容？ 你掌握的怎么样呢？
当堂检测：
2、下列四个函数中，自变量
Ａ．①和② Ｂ．①和③ Ｃ．②和④ Ｄ．① 和④
思考： 在上述问题中，自变量是不是 可以取任何值呢？为什么？
（1）黄河的一条支流上的某水文站记录了该支流 当天 9 时至 21 时河水水位的变化情况（图 5-1）.
在这个实际问题中，弹簧长度 y与拉力 x之间 是函数关系吗？如果是，函数关系吗？ 是用哪种方法表示的？
其中，自变量是在哪个范围内取值的？
3、一根蜡烛长20cm，点燃后每 小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高 度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数 关系用图象表示为（ ）
x3 y 4、函数 的自变量的 x 取值范围是（ ）
Ａ． x ≥ 3 Ｂ． x 3 x ≥ 3且 x 0 Ｃ． x 0 且x 3 Ｄ．
谢谢，再见
函数的三种表示方式
泰安第二十二中学 于长海
教学目标： 1、进一步理解函数的意义， 知道函数的三种表示方式， 2、通过实际问题中自变量意义 理解自变量的取值范围 3、能根据函数表达式确定 自变量的取值范围
知识回顾：
1、你还记得什么是函数吗？ 2、函数的定义：在同一个变化过程中，如 果有__ __个变量，如果对于变量x取每一 个确定的值，变量y都____与它对应，那么 就说___是___的函数。 用图象法、列表法及解析法 3、函数的表示方法： ____、_____、____。
其中，自变量是在哪个范围内取值的？
交流：
你体会表示函数关系的三种方法各有哪些 优点和不足？与同学交流。
优点
图象法 列表法
不足 是不能准确地由已知自 变量的值求出函数值；
直观
解析法
可以不通过计算直接 只能表示出自变量的 查出对应的函数值 有限个离散值及其函 数值 是不够形象直观而且并 是全面、准确、方便 不是每一个函数都可写 出它的表达式
（3）物体从 490 m 的高度处自由下落，物体
距地面的高度 h（m）与物体下落的时间 t（s） 之间的关系满足表达式 h = 490 - 4.9t2 在这个实际问题中，物体距地面的高度 h与物体 下落的时间 t之间是函数关系吗？ 如果是，它们之间的函数关系是用哪种方法表示的？
其中，自变量是在哪个范围内取值的？
练习
1. 一辆汽车在一段行驶过程中，速度 v随行驶时间 变化 的情况如图所示. （1）在这个问题中，速度 v与行驶时间 t之间的函数关 系是用哪种方法表示的？ （2）这个过程中汽车共行驶了多少分钟？在哪个时间 段内，汽车行驶速度最大？最大速度是多少？ （3）在哪个时间段内汽车的行驶速度逐渐增加？在哪 个时间段内行驶速度逐渐减少？在哪个时间段内汽车按 匀速运动行驶？按匀速运动行驶时，速度是多少？