盛世清北-北航2005北航博士研究生数值分析真题
北京航空航天大学教育学2005年考研真题参考答案
北京航空航天大学2005年硕士研究生入学考试试题科目代码811考试科目：教育学一、名词／概念解释（共10题，每题3分，合计30分）l．义务教育2．五段教学法3．高等教育4．教学方法5．教育目的价值取向6．德育的疏导原则7．教育调查法8．教育学9．杜威10．相对性教学评价二、简答题（共5题，每题l0分，合计50分）1．简述教学计划的内涵及其基本内容。
2．简述学校教育制度建立的依据。
3．简述五种教学组织形式的优缺点。
4．我国中小学的教学原则有哪些?5．我国《2003—2007教育振兴行动计划》的两大战略重点是什么?三、论述题（共2题，每题15分，合计30分）l．用教育与社会关系原理，结合现实，说明高等教育与国家竞争力的关系。
2．结合实际，论述学校教学管理过程的基本环节。
四、综合能力考察（共2题，每题20分，合计40分）1．请你谈谈对高等教育大众化与中国高校扩招的认识。
2．你怎样理解高等学校的服务职能。
参考答案北京航空航天大学2005年硕士研究生入学考试试题考试科目：教育学一、名词／概念解释（共10题，每题3分，合计30分）l．义务教育：根据国家法律规定对适龄儿童实施一定年限的普及的、强迫的、免费的学校教育，也称普及义务教育或强迫教育。
这种教育要求社会、学校和家庭予以保证，对儿童既是应享受的权利，又是应尽的义务。
它产生于16世纪欧洲宗教改革运动中。
1986年7月1日颁布的《中华人民共和国义务教育法》规定“国家实行九年制义务教育。
省、自治区、直辖市根据本地区的经济、文化发展状况，确定推行义务教育的步骤。
2．五段教学法：常见的教学方法中的一种，由五个阶段组成。
最早由赫尔巴特提出，后经凯洛夫加以改造完善。
它的具体形式多样，但一般包括导、读、讲、练、测五个教学阶段。
导是指导入新课，在教学的开始就要千方百计地诱发学生的求知欲，调动学生的学习兴趣。
读是指预习阅读，要安排在课内进行。
讲是指释疑解难，着重讲授学生认识模糊的内容。
北航研究生数值分析作业第一题
北航研究⽣数值分析作业第⼀题北航研究⽣数值分析作业第⼀题：⼀、算法设计⽅案1.要求计算矩阵的最⼤最⼩特征值，通过幂法求得模最⼤的特征值，进⾏⼀定判断即得所求结果；2.求解与给定数值接近的特征值，可以该数做漂移量，新数组特征值倒数的绝对值满⾜反幂法的要求，故通过反幂法即可求得；3.反幂法计算时需要⽅程求解中间过渡向量，需设计Doolite分解求解；4.|A|=|B||C|，故要求解矩阵的秩，只需将Doolite分解后的U矩阵的对⾓线相乘即为矩阵的Det。
算法编译环境：vlsual c++6.0需要编译函数：幂法，反幂法，Doolite分解及⽅程的求解⼆、源程序如下：#include#include#include#includeint Max(int value1,int value2);int Min(int value1,int value2);void Transform(double A[5][501]);double mifa(double A[5][501]);void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]); double fanmifa(double A[5][501]); double Det(double A[5][501]);/***定义2个判断⼤⼩的函数，便于以后调⽤***/int Max(int value1,int value2){return((value1>value2)?value1:value2);}int Min(int value1,int value2){return ((value1}/*****************************************//***将矩阵值转存在⼀个数组⾥，节省空间***/void Transform(double A[5][501],double b,double c){int i=0,j=0;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)A[i][j]=c;i++;j=0;A[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)A[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)A[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1)); i++;for(j=0;j<=499;j++)A[i][j]=b;A[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)A[i][j]=c;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;}/***转存结束***///⽤于求解模最⼤的特征值，幂法double mifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i,j;double b2,b1=0,sum,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{sum=0;if(m!=0)b1=b2;m++;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);for(i=0;i<=500;i++){u[i]=0;for(j=Max(i-r,0);j<=Min(i+s,500);j++)u[i]=u[i]+A[i-j+s][j]*y[j];}b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2=b2+y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=exp(-12));return b2;}//带状DOOLITE分解，并且求解出⽅程组的解void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]) { int i,j,k,t,s=2,r=2;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=A[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j]; }for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k]; B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=Max(0,i-r);t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=Min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//⽤于求解模最⼤的特征值，反幂法double fanmifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i;double b2,b1=0,sum=0,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{if(m!=0)b1=b2;m++;sum=0;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);daizhuangdoolite(A,u,y);b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2+=y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)>=fabs(b1)*exp(-12));return 1/b2;}//⾏列式的LU分解，U的主线乘积即位矩阵的DET double Det(double A[5][501]) {int i,j,k,t,s=2,r=2;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)A[k-j+s][j]=A[k-j+s][j]-A[k-t+s][t]*A[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]-A[i-t+s][t]*A[t-k+s][k];A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]/A[s][k];}}double det=1;for(i=0;i<=500;i++)det*=A[s][i];return det;}void main(){double b=0.16,c=-0.064,p,q;int i,j;double A[5][501];Transform(A,b,c); //进⾏A的赋值cout.precision(12); //定义输出精度double lamda1,lamda501,lamdas;double k=mifa(A);if(k>0) //判断求得最⼤以及最⼩的特征值.如果K>0，则它为最⼤特征值值，//并以它为偏移量再⽤⼀次幂法求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤ //与最⼩的特征值的差{lamda501=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda1=mifa(A)+lamda501;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}else //如果K<=0，则它为最⼩特征值值，并以它为偏移量再⽤⼀次幂法//求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤与最⼩的特征值的差{lamda1=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda501=mifa(A)+lamda1;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}lamdas=fanmifa(A);FILE *fp=fopen("result.txt","w");fprintf(fp,"λ1=%.12e\n",lamda1);fprintf(fp,"λ501=%.12e\n",lamda501);fprintf(fp,"λs=%.12e\n\n",lamdas);fprintf(fp,"\t要求接近的值\t\t\t实际求得的特征值\n");for(i=1;i<=39;i++) //反幂法求得与给定值接近的特征值{p=lamda1+(i+1)*(lamda501-lamda1)/40;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]-p;q=fanmifa(A)+p;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]+p;fprintf(fp,"µ%d: %.12e λi%d: %.12e\n",i,p,i,q);}double cond=fabs(mifa(A)/fanmifa(A));double det=Det(A);fprintf(fp,"\ncond(A)=%.12e\n",cond);fprintf(fp,"\ndetA=%.12e\n",det);}三、程序运⾏结果λ1=-1.069936345952e+001λ501=9.722283648681e+000λs=-5.557989086521e-003要求接近的值实际求得的特征值µ1: -9.678281104107e+000 λi1: -9.585702058251e+000µ2: -9.167739926402e+000 λi2: -9.172672423948e+000µ3: -8.657198748697e+000 λi3: -8.652284007885e+000µ4: -8.146657570993e+000 λi4: -8.0934********e+000µ5: -7.636116393288e+000 λi5: -7.659405420574e+000µ6: -7.125575215583e+000 λi6: -7.119684646576e+000µ7: -6.615034037878e+000 λi7: -6.611764337314e+000µ8: -6.104492860173e+000 λi8: -6.0661********e+000µ9: -5.593951682468e+000 λi9: -5.585101045269e+000µ10: -5.0834********e+000 λi10: -5.114083539196e+000µ11: -4.572869327058e+000 λi11: -4.578872177367e+000µ12: -4.062328149353e+000 λi12: -4.096473385708e+000µ13: -3.551786971648e+000 λi13: -3.554211216942e+000µ14: -3.0412********e+000 λi14: -3.0410********e+000µ15: -2.530704616238e+000 λi15: -2.533970334136e+000µ16: -2.020*********e+000 λi16: -2.003230401311e+000µ17: -1.509622260828e+000 λi17: -1.503557606947e+000µ18: -9.990810831232e-001 λi18: -9.935585987809e-001µ19: -4.885399054182e-001 λi19: -4.870426734583e-001µ20: 2.200127228676e-002 λi20: 2.231736249587e-002µ21: 5.325424499917e-001 λi21: 5.324174742068e-001µ22: 1.043083627697e+000 λi22: 1.052898964020e+000µ23: 1.553624805402e+000 λi23: 1.589445977158e+000µ24: 2.064165983107e+000 λi24: 2.060330427561e+000µ25: 2.574707160812e+000 λi25: 2.558075576223e+000µ26: 3.0852********e+000 λi26: 3.080240508465e+000µ27: 3.595789516221e+000 λi27: 3.613620874136e+000µ28: 4.106330693926e+000 λi28: 4.0913********e+000µ29: 4.616871871631e+000 λi29: 4.603035354280e+000µ30: 5.127413049336e+000 λi30: 5.132924284378e+000µ31: 5.637954227041e+000 λi31: 5.594906275501e+000µ32: 6.148495404746e+000 λi32: 6.080933498348e+000µ33: 6.659036582451e+000 λi33: 6.680354121496e+000µ34: 7.169577760156e+000 λi34: 7.293878467852e+000µ35: 7.680118937861e+000 λi35: 7.717111851857e+000µ36: 8.190660115566e+000 λi36: 8.225220016407e+000µ37: 8.701201293271e+000 λi37: 8.648665837870e+000µ38: 9.211742470976e+000 λi38: 9.254200347303e+000µ39: 9.722283648681e+000 λi39: 9.724634099672e+000cond(A)=1.925042185755e+003detA=2.772786141752e+118四、分析如果初始向量选择不当,将导致迭代中X1的系数等于零.但是，由于舍⼊误差的影响,经若⼲步迭代后,.按照基向量展开时,x1的系数可能不等于零。
北航研究生数值分析试题
∗⎞ ⎟的 A1 ⎠
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎢ 2 6 −7 −10 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ −1 −1 5 9 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢14 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎦ ⎥ ⎣ −6 ⎦ ⎣ −3 −5 0 15 ⎦ ⎣ 四、（12 分）利用矩阵 A 的三角分解 A = LU 求解下列方程组 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ −1 −3 0 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
第一章
1、近似数 x = 0.231 关于真值 x = 0.229 有（ （1）1；（2）2；（3）3；（4）4。
∗
绪论
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) ）位有效数字。
2、取 3 ≈ 1.732 计算 x = ( 3 − 1) ，下列方法中哪种最好？（
4
）
Ax
∞和
A ∞ 的值分别为（
）
3
(1) 8 , 8 ；
(2) 8 , 7 ；
(3) 8 , 6 ；
(4) 7 , 7 。
5 、若解线性代数方程组的 Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
(2
6 3 2 −5 4 2 ) ，则第三步主行是（
T
） (4) 第 6 行。
(1) 第 2 行；
1 − cos x , sin x
x ≠ 0且 x << 1 ；
（2）
1 1− x , − 1+ 2x 1+ x
北航《数值分析》习题
北航《数值分析》习题习题一1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；1. （1）5，，；（2）2，，；（3）4，，；（4）5，，；（5）1，，；（6）2，，；（7）6，，2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？2. ；；3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。
（1）；（2）；（3）3. （1）；（2）；（3）4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？（1）；（2）；（3）（4）4. 第（3）个结果最好。
5. 序列满足递推关系式若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？5. 不稳定。
从计算到时，误差约为6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用。
6. ，7. 某生产部门生产的一件产品需用七个零件，而这七个零件的质量取决于零件参数的标定值，它们的参数允许有一定的误差：若每一零件的标定值取做区间中点，在生产过程中每一零件的参数都有可能产生误差。
由此将零件分成不同的等级：A，B，C三等，等级由标定值的相对误差限表示，A等为1%，B等为5%，C等为10%。
试确定三个等级的零件分别满足的区间。
8. 将一个八位二进制数(10111101)2转换成十进制数时，可以用公式：（1）用多项式求值的秦九韶方法求C的值；（2）写出将任意一个八位二进制数(b1b2b3b4b5b6b7b8)2转化为十进制数的算法。
9. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。
（1）；（2）（3）；（4）9. （1）；（2）；（3）；（4）10. 设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。
习题二1. 判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。
（1）；（2）（3）；（4）1. （1），，；（2）；（3），，；（4）为根。
北京航空航天大学经济学2005年考研真题参考答案(红色需补充改正)
北京航空航天大学2005年硕士研究生入学考试试题科目代码483考试科目：经济学一、解释下列概念（本题共20分，每小题2分）1．替代效应2．经济成本3．规模报酬递减4．机会成本5．占优均衡6．政府支出的乘数原理7．边际进口倾向8．实际GDP9．经济增长10．奥肯定律二、选择题（ABCD四个备选答案中，只有一个是最合适的，将其选出。
本题共40分，每小题2分）1．所谓均衡价格，是指：A．供给和需求相等时的价格B．不会变动的价格C．供给量和需求量相等时的价格D．成交价格2．一种商品的需求曲线，向右移动的原因可能是：A．替代品价格上升，或互补品价格下降B．替代品或者互补品的价格提高C．替代品价格下降，或互补品价格上升D．替代品或者互补品的价格下降3．当价格或收入变动后，消费者会调整到新的均衡点。
在新的均衡点，消费者的边际效用低于原来的均衡点。
假如消费者的偏好不变，则：A．新均衡点比原均衡点差B．新均衡点比原均衡点好C．如果收入变化，其它条件不变，则新均衡点一定不好D．如果价格变化，其它条件不变，则新均衡点一定不好4．如果MC大于AC，则随着产量的增加A．AC必定上升B．AC必定下降C．AC保持不变D．AC可能上升，也可能下降5．在完全竞争条件下，企业的产量对应于AC曲线的最低点，则该企业：A．处于利润最大化的产量上B．处于亏损的产量上C．不处于利润最大化产量上D．可能处于，也可能不处于最大化利润位置6．垄断企业在利润最大化时，其价格A．一定小于边际成本B．一定等于边际成本C．一定大于边际成本D．可能等于或低于但是不会大于边际成本7．生产函数可以告诉我们的是，企业A．生产既定产量的费用是什么B．利润最大化产量C．使货币成本最低的要素组合D．生产既定产量的生产要素的各种组合8．假定其他条件不变，需求弹性（绝对值）越大，则A．消费者负担的税收越多B．生产者负担的税收越多C．生产者收益越大D．可能负担增加也可能减少，要看对谁课税9．预算线与无差异曲线相切，是消费者均衡的A．必要条件B．充分条件C．既非必要也非充分条件D．必要且充分条件10．一个垄断竞争厂商，在长期：A．一定能获正的经济利润B．一定亏损C．经济利润为零D．不确定11．今年美国在华公司的销售收入增加，那么以下情形不成立的是A．美国GDP增加B．中国GDP增加C．美国的GNP增加D．美国的消费增加12．假定中国资本市场开放，人民币可以自由兑换。
北航数值分析大作业第一题
1 算法方案 1.1 λ1，λ501，λs 的计算
(1) (2) (3) (4) (5) 将矩阵 A[501][501]以压缩存储后的形式 C[5][501]输入 使用一次幂法得到按模最大的特征值 矩阵向左平移 λm 距离（A-λmI） ，再使用一次幂法得到按模最大的特征值 s，则 λm1=s-λm1 比较 λm1 和 λm2 的大小与正负，得到 λ 和 λ501 对 A 使用一次反幂法得到按模最小的特征值 λs
while (e>=pow(10,-12)); return 1/be;//返回 1/be2 作为矩阵 m[5][501]的按模最小向量 } //333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 double det(double c[1+r+s][q]) { int max3(int a,int b,int c); int fmax2(int a,int b); int fmin2(int a,int b); int i,j,k,t; double sum,det=1; for(k=1;k<=q;k++) { for(j=k;j<=fmin2(k+s,q);j++)//求 ukj { sum=0; for(t=max3(1,k-r,j-s);t<=k-1;t++) { sum=sum+c[k-t+s][t-1]*c[t-j+s][j-1]; } c[k-j+s][j-1]=c[k-j+s][j-1]-sum; }
北航研究生数值分析编程大作业1
数值分析大作业一、算法设计方案1、矩阵初始化矩阵[]501501⨯=ij a A 的下半带宽r=2,上半带宽s=2，设置矩阵[][]5011++s r C ，在矩阵C 中检索矩阵A 中的带内元素ij a 的方法是：j s j i ij c a ,1++-=。
这样所需要的存储单元数大大减少，从而极大提高了运算效率。
2、利用幂法求出5011λλ，幂法迭代格式：0111111nk k k k kk T k k k u R y u u Ay y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止。
首先对于矩阵A 利用幂法迭代求出一个λ，然后求出矩阵B ，其中I A B λ-=(I 为单位矩阵），对矩阵B 进行幂法迭代，求出λ'，之后令λλλ+'=''，比较的大小与λλ''，大者为501λ，小者为1λ。
3、利用反幂法求出ik s λλ,反幂法迭代格式：0111111nk k k k kk T k k k u R y u Au y y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止，1s k λβ=。
每迭代一次都要求解一次线性方程组1-=k k y Au ，求解过程为：（1）作分解LU A =对于n k ,...,2,1=执行[][]s k n r k k k i c c c c c n s k k k j c cc c k s ks k t k s k r i t t s t i k s k i k s k i js j t k s j r k t t s t k j s j k j s j k <+++=-=++=-=+++----=++-++-++-++----=++-++-++-∑∑);,min(,...,2,1/)(:),min(,...,1,:,1,11),,1max(,1,1,1,11),,1max(,1,1,1（2）求解y Ux b Ly ==,（数组b 先是存放原方程组右端向量，后来存放中间向量y))1,...,2,1(/)(:/:),...,3,2(:,1),min(1.1.11),1max(,1--=-===-=+++-++-+--=++-∑∑n n i c x c b x c b x n i b c b b i s t n s i i t t s t i i i ns n n ti r i t t s t i i i使用反幂法，直接可以求得矩阵按模最小的特征值s λ。
北航数值分析第一次大作业
一、算法的设计方案：（一）各所求值得计算方法1、最大特征值λ501，最小特征值λ1，按模最小特征值λs的计算方法首先使用一次幂法运算可以得到矩阵的按模最大的特征值λ，λ必为矩阵A的最大或最小特征值，先不做判断。
对原矩阵A进行一次移项，即（A-λI），在进行一次幂法运算，可以得到另一个按模最大特征值λ0。
比较λ和λ的大小，较大的即为λ501，较小的即为λ1。
对矩阵A进行一次反幂法运算，即可得到按模最小特征值λs。
2、A与μk 值最接近的特征值λik的计算方法首先计算出k所对应的μk 值，对原矩阵A进行一次移项，即（A-μkI），得到一个新的矩阵，对新矩阵进行一次反幂法运算，即可得到一个按模最小特征值λi 。
则原矩阵A与μk值最接近的特征值λik=λi+μk。
3、A的（谱范数）条件数cond（A）2的计算方法其中错误!未找到引用源。
矩阵A的按模最大和按模最小特征值。
（二）程序编写思路。
由于算法要求A的零元素不存储，矩阵A本身为带状矩阵，所以本题的赋值，LU分解，反幂法运算过程中，均应采用Doolittle分解法求解带状线性方程组的算法思路。
幂法、反幂法和LU分解均是多次使用，应编写子程序进行反复调用。
二、源程序：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<stdlib.h>#include<math.h>#include<float.h>#include<iomanip> /*头文件*//*定义全局变量*/#define N 502 /*取N为502，可实现从1到501的存储，省去角标变换的麻烦*/ #define epsilon 1.0e-12 /*定义精度*/#define r 2 /*r，s为带状矩阵的半带宽，本题所给矩阵二者都是2*/ #define s 2double c[6][N]; /*定义矩阵存储压缩后的带状矩阵*/double fuzhi(); /*赋值函数*/void LUfenjie(); /*LU分解程序*/int max(int a,int b); /*求两个数字中较大值*/int min(int a,int b); /*求两个数字中较小值*/double mifa(); /*幂法计算程序*/double fanmifa(); /*反幂法计算程序*/double fuzhi() /*赋值程序，按行赋值，行从1到5，列从1到501，存储空间的第一行第一列不使用，角标可以与矩阵一一对应，方便书写程序*/{int i,j;i=1;for(j=3;j<N;j++){c[i][j]=-0.064;}i=2;for(j=2;j<N;j++){c[i][j]=0.16;}i=3;for(j=1;j<N;j++){c[i][j]=(1.64-0.024*j)*sin(0.2*j)-0.64*exp(0.1/j);}i=4;for(j=1;j<N-1;j++){c[i][j]=0.16;}i=5;for(j=1;j<N-2;j++){c[i][j]=-0.064;}return(c[i][j]);}int max(int a,int b){ return((a>b)?a:b);}int min(int a,int b){ return((a<b)?a:b);}void LUfenjie() /*LU分解程序，采用的是带状矩阵压缩存储后的LU分解法*/{double temp;int i,j,k,t;for(k=1;k<N;k++){ for(j=k;j<=min(k+s,N-1);j++){temp=0;for(t=max(1,max(k-r,j-s));t<=(k-1);t++){temp=temp+c[k-t+s+1][t]*c[t-j+s+1][j];}c[k-j+s+1][j]=c[k-j+s+1][j]-temp;}for(i=k+1;i<=min(k+r,N-1);i++){temp=0;for(t=max(1,max(i-r,k-s));t<=(k-1);t++){temp=temp+c[i-t+s+1][t]*c[t-k+s+1][k];}c[i-k+s+1][k]=(c[i-k+s+1][k]-temp)/c[s+1][k];}}}double mifa() /*幂法计算程序*/ {double u0[N],u1[N];double temp,Lu,beta=0,beta0;int i,j;for(i=1;i<N;i++) /*选取迭代初始向量*/{u0[i]=1;}do{beta0=beta;temp=0;for(i=1;i<N;i++){temp=temp+u0[i]*u0[i]; }Lu=sqrt(temp);for(i=1;i<N;i++){u1[i]=u0[i]/Lu;}for(i=1;i<N;i++){temp=0;for(j=max(i-1,1);j<=min(i+2,N-1);j++){temp=temp+c[i-j+s+1][j]*u1[j]; }u0[i]=temp;} //新的u0temp=0;for(i=1;i<N;i++){temp=temp+u1[i]*u0[i]; }beta=temp;}while(fabs(beta-beta0)/fabs(beta)>=epsilon); /*迭代运行条件判断*/return(beta);}double fanmifa() /*反幂法计算程序*/{double u0[N],u1[N],u2[N];double temp,Lu,beta=0,beta0;int i,t;for(i=1;i<N;i++) /*选取迭代初始向量*/{u0[i]=1;}do{beta0=beta;temp=0;for(i=1;i<N;i++){temp=temp+u0[i]*u0[i]; }Lu=sqrt(temp);for(i=1;i<N;i++){u1[i]=u0[i]/Lu;u2[i]=u1[i];}fuzhi();LUfenjie();/*带状矩阵压缩存储并进行LU分解后，求解线性方程组得到迭代向量u k，即程序中的u0*/for(i=2;i<N;i++){ temp=0;for(t=max(1,i-r);t<=(i-1);t++){temp=temp+c[i-t+s+1][t]*u2[t];}u2[i]=u2[i]-temp;}u0[N-1]=u2[N-1]/c[s+1][N-1];for(i=N-2;i>=1;i--){ temp=0;for(t=i+1;t<=min(i+s,N-1);t++){temp=temp+c[i-t+s+1][t]*u0[t];}u0[i]=(u2[i]-temp)/c[s+1][i];}temp=0;for(i=1;i<N;i++){temp=temp+u1[i]*u0[i]; }beta=temp;beta=1/beta; /*beta即为所求特征值，可直接返回*/}while(fabs(beta-beta0)/fabs(beta)>=epsilon); /*迭代运行条件判断*/return(beta);}void main(){double u[40]; /*定义数组，存放k值运算得到的μk值*/double lambda1,lambda501,lambdak,a,b,d,cond,det;int i,j,k;fuzhi();a=mifa(); /*幂法计算按模最大值*/fuzhi();d=fanmifa(); /*反幂法计算按模最小值*/fuzhi();for(j=1;j<N;j++){c[3][j]=c[3][j]-a;}b=mifa()+a; /*移项后幂法计算按模最大值*/if(a>b) /*比较两个按模最大值大小，并相应输出最大特征值λ501和最小特征值λ1*/ {lambda1=b;lambda501=a;printf("矩阵A最小的特征值lambda1=%13.11e\n",lambda1);printf("矩阵A最大的特征值lambda501=%13.11e\n",lambda501);}else{lambda1=a;lambda501=b;printf("矩阵A最小的特征值lambda1=%13.11e\n",lambda1);printf("矩阵A最大的特征值lambda501=%13.11e\n",lambda501);}printf("矩阵A按模最小特征值lambdas=%13.11e\n",d); /*输出按模最小特征值λs*/for(k=1;k<40;k++) /*对每一个进行移项反幂法运算，求出最接近μk的特征值并输出*/ {u[k]=(lambda501-lambda1)*k/40+lambda1;fuzhi();for(j=1;j<N;j++){c[3][j]=c[3][j]-u[k];}lambdak=fanmifa()+u[k];i=k;printf("矩阵A最接近uk特征值lambdak%d=%13.11e\n",i,lambdak);}cond=fabs(a/d);printf("A的条件数=%13.11e\n",cond); /*计算A条件数并输出*/fuzhi(); /*计算A的行列式值并输出*/LUfenjie();det=1;for(i=1;i<N;i++){det=det*c[3][i];}printf("行列式的值detA=%13.11e\n",det);}三、程序的运行结果：四、初始向量的选取对计算结果的影响：（一）选取形式不变，数值变换1、取u0为[0.5,0.5………..0.5]，运行结果如下：2、取u0为[50,50………..50]，运行结果如下：从运行结果来看，此类初始向量的选取对结果不会产生影响，即使选成0，结果也不变化。
北航研究生数值分析作业第二题
北航研究生数值分析作业第二题北航研究生数值分析作业第二题：一、算法设计方案1.按照题目给出的矩阵定义对矩阵A赋初值：对应的函数为a_init()；2.对矩阵A进行householder变换，使其拟上三角化：对应的函数为householder()；3.输出拟上三角化后的A：对应的函数为aout(int)；4.对拟上三角化后的矩阵A使用带双步位移的QR分解法逐次迭代（最大迭代次数L=500），逐个求出其特征值，对应的函数为eigen_a()；中间包含两个子程序：calc_mk()和qr_analyze()，分别用来计算矩阵M k和对M k进行QR 分解并得到A k+1;5.输出QR分解过程完毕后的A及求得的特征向量：对应的函数为aout()和eigenvalout()；6.对于在第三步中求得的每个实特征值，使用带原点平移的反幂法求出其对应的特征向量，对应的函数为eigenvec()；其中包含一个解方程(A-μI)=y k-1的程序段。
这部分也用迭代完成，仍然将最大迭代次数L设置为500；7.输出矩阵A的特征向量，结束计算：对应的函数为eigenvecout()。
算法编译环境：vlsual c++6.0二、源程序如下：#include#include#define N 10 //矩阵阶数；#define EPSL 1.0e-12 //迭代的精度水平；#define L 500 //迭代最大次数；#define OUTPUTMODE 1 //输出格式：0--输出至屏幕，1--输出至文件double a[N][N], a2[N][N], eigen[N][N]; //声明矩阵A；double sa_re[N] = {0}, sa_im[N] = {0}; //声明矩阵的特征值数组；double u_init[N] = {2,1,2,1,2,1,2,1,2,1}; //定义反幂法中使用的初始向量u；//主程序开始；int main(){FILE *p;void a_init();void householder();void equal_zero(double matrix[N][N], int);void eigenvec();int eigen_a();void aout(int);void eigenvalout(int);void eigenvecout(int);if(OUTPUTMODE){p = fopen("Result.txt", "w+");fprintf(p, "计算结果：\n");fclose(p);}a_init(); //对矩阵A进行初始化；householder(); //对矩阵A进行拟上三角化；equal_zero(a, N); //对矩阵A的元素进行归零处理，消除误差；aout(OUTPUTMODE); //输出A；if(eigen_a()) printf("迭代超过最大次数，特征值求解结果可能不正确。
2005数值分析试题及答案
数值分析试题 2005.12一、填空题：（每空2分，共20分，答案写在答题纸上）1.设A = ，则2A ＝( ),Cond(A )1=( )。
2．设A = ，数ｍ取值为（ ）时，可分解为A=GG T，当ｍ＝2时G=（ ）.3．求方程x=cosx 解的Newton 迭代格式为（ ），其收敛阶为（ ）。
4．设()(0,1,2,3)k p x k =是区间[0，1]上权函数为()x x ρ=的正交多项式，1()p x ＝（ ）， ＝（ ）． 5.计算定积分 的Simpson 求积公式为（ ），其截断误差为（ ）． 二、判断题（12分，正确划”√”,不正确划”⨯”，答案写在答题纸上） 1．在根α 处，若ϕ'（α）≠0, 则简单迭代法1()k k x x ϕ+=是线性收敛的； ( ) 2．设A 是非奇异矩阵，则有唯一三角分解A=LU ； ( )3．求解线性方程组 的SOR 迭代法收敛． ( )4. 满足条件(0)1,(1)(1)0,(2)3f f f f '====的3次插值多项式是 23()(1)(1)p x x x =+- ( )5. 用3.141近似π具有4位有效数字; ( )6. 用Euler 法解初值问题 是收敛的. ( ) 三、(10分)证明方程2()cos 20f x x x =+-=有唯一正根.构造一个收敛的简单迭代格式1(),1,2,...,k k x x k ϕ+==使对任何初值0[1,2]x ∈都收敛,并说明收敛理由和收敛阶.四、（12分）已知线性方程组：0123-⎛⎫ ⎪⎝⎭422m ⎛⎫ ⎪⎝⎭12123232153223x x x x x x x -=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩cos(),13(1)2y xy x y '=≤≤⎧⎨=⎩12321252x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭130()xp x dx ⎰20x e dx -⎰1．写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式）；2．讨论Jacobi 迭代法和SOR 迭代法(ω=1)的收敛性,若收敛时,哪种迭代法收敛的快,为什么?五、(12分)已知(0)0,(1)2,(2)3,(3)1,f f f f ===-=-且已求出三次样条插值函数()S x 在[0,1]上的表达式为32()2S x x x x =+-,试求()S x 在[1,2]上的表达式. 六、（8分）给出数据表利用最小二乘法求其拟合函数()P x .七、（8分）试确定参数A ，B ，C 和α使求积公式：具有尽可能高的代数精度，并问代数精度是多少？它是不是Gauss 公式？ 八、（10分）设求常微分方程初值问题的差分公式1.证明:此差分公式是二阶方法;2.用此差分公式求初值问题10,(0)1y y y '=-=时,取步长0.25h =,所得数值解是否稳定,为什么? 九、（8分）对初值问题在11[,]n n x x -+上对(,())y f x y x '=两边积分后,试用中点矩形求积公式导出差分公式,并给出此差分公式局部截断误差主项.11()(()f x dx Af Bf Cf α-≈++⎰112412221330(3)(,)(,)h n n n n n n y y k k k f x y k f x h y hk y α+=++⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=⎩(,)()n y f x y a x bx a nhy a α'=⎧≤≤=+⎨=⎩数值分析试题（参考答案）一、 1, 10; 2.m>1, 3. ,2 4. 2/3x -, 0. 5.212130[14]x e dx e e ---≈++⎰, /90,(0,2)e ηη--∈， 二、1．⨯, 2. ⨯, 3. ⨯, 4.√ 5. ⨯, 6. √三.由于[0,1]上ƒ(x)<0,[2,∞] 上ƒ(x)>0,故ƒ(x)=0仅在(1,2)内有正根，又ƒ'(x)=2x-sinx>0,所以ƒ(x)单调递增，故方程ƒ(x)=0有唯一正根,且在(1,2)内。
北京航空航天大学 北航 2005年金融联考试题 考研真题及答案解析
2005年金融学硕士研究生招生联考“金融学基础”试题一、名词解释（5分×6题，共30分）1.无差异曲线2.三元悖论3.买断式回购4.卢卡斯批判5.资产证券化6.抛补的利率平价二、不定项选择题（每题有1个或多个答案，2分×10题，共20分）1.在完全竞争市场上，已知某厂商的产量是500，总收益是500，总成本是800，总不变成本是200，边际成本是1，按照利润最大化原则，它应该：（）A.增加产量B.保持产量不变C.减少产量D.以上任一措施都可采取2.某个持有大量分散化股票投资的养老基金预期股市长期看好，但在未来的三个月内将会下跌，根据这一预期，基金管理者可以采取的策略包括：（）A.买入股指期货B.购买股指期货的看涨期权C.卖出股指期货D.购买股指期货的看跌期权3.以下关于汇率理论的正确看法有：（）A.购买力平价理论把汇率的变化归结于购买力的变化B.利率平价理论侧重研究因利率差异引起的资本流动与汇率决定之间的关系C.国际收支说是从国际收支角度分析汇率决定的理论D.在资产市场说中，汇率超调被认为是由商品市场价格粘性引起的4.某企业持有一张半年后到期的汇票，面额为2000元，到银行请求贴现，银行确定该票据的贴现率为年利率5％，则企业获得的贴现金额为：（）A.2000元B.1951元C.1900元D.1850元5.以下观点错误的有：（）A.风险中性定价理论是指现实世界中投资者的风险态度是中性的B.利率期限结构反映了特定时刻市场上不同到期时间的零息票债券到期收益率C.弱式效率市场假说意味着股票未来价格与股票的历史价格无关，技术分析无效D.我国公司的融资偏好与公司财务理论中的融资偏好次序理论是相一致的E.证券的系统性风险可以用投资收益率的标准差来衡量6.在存在逆向选择的保险市场上，以下哪种情况最可能发生?（）A.高风险的人将不愿意购买保险B.低风险的人将不愿意购买保险C.市场均衡将是帕雷托最优的D.低风险的人在均衡中将购买过多的保险7.货币供给增加使LM曲线右移，若要均衡收入变动接近于LM曲线的移动量，则必须：（）A.LM曲线陡峭，IS曲线也陡峭B.LM曲线和IS曲线都平坦C.LM曲线陡峭，而IS曲线平坦D.LM 曲线平坦，而IS 曲线陡峭8.自然失业率：（ ）A.恒为零B.依赖于价格水平C.是经济处于潜在产出水平时的失业D.是没有摩擦性失业时的失业率9.下列导致基础货币增加的行为有：（ ）A.降低再贴现率B.提高发行存款准备金C.政府增税D.央行在公开市场进行正回购10.以下关于证券市场线的说法正确的是：（ ）A.证券市场线上的任意一点都是有效证券组合，其它组合和证券则落在证券市场线的下方B.证券市场线描述的是某种特定证券和市场组合的协方差与该证券期望收益率之间的均衡关系C 证券市场线反映的是有效组合的预期收益率和标准差之间的关系D.证券市场线是资本资产定价模型的一种表现形式三、简述题（8分×3题，共24分）1.简述微观经济学中一般均衡状态的含义和基本性质。
北航数值分析复习试题
数值分析一、单项选择题（共20分,每小题2分）1-110=11=12=，则Lagranage 二次插值多项式为（ ） A.2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()101112(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ B ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()111012(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ C ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()121110(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ D ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()101211(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ 1-210=11=12=，用Lagranage为（ ）精确到小数点后4位。
A.9.7227 B ．11.7227 C ．10.7227 D ．13.72271-3、已知(1 2 3 4)TX =，则向量X 的21, , Xx x ∞的值分别是：（ ）B. -9，212,7C. 4,5,6D. 9,4,71-4、设 2121A --⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21,, , F A A A x ∞的值分别为（ ）A. 4B. -9，C.4,5,6D. 9,4,71-5、设节点00 (=0,1,2,...,n), (0),k x x kh k x x th t =+=+>则Newton 向前插值公式为（ ）A. 100010()()!k k nn k j f N x th f t j k -==∆+=+-∑∏ B. 110()()!k k nn n n n k j f N x th f t j k -==∆+=+-∑∏ C. 100010()()!k k nn k j f N x th f t j k -==∇+=+-∑∏ D. 110()()!k k nn n n n k j f N x th f t j k -==∇+=+-∑∏1-6、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++47401815622189622315694962424321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 进行直接三角分解法得到的L 矩阵为（ ）A. 1211213321B.1613216241C.16332202102 D.12147165511-7、对方程组的系数矩阵123412312341346262414535x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++=-⎨++-=⎪--+=-⎩进行Crout 分解法得到的U 矩阵为（ ）A.1111363111261131-- B. 1111363111569171--C.111136611151091371-- D. 111166311223611121--1-8、1、已知642()1f x x x x =+-+，2, 2 (0,1,2,...)k x kh h k =+==，则[2,6,10,14,18,22,26,30]f =（ ）A ．5！B ．4！C ．0D ．11-9、1、已知64()f x x x =+，2, 2 (0,1,2,...)k x kh h k =+==，则[2,4,6,8,10,12,14]f =（ ）A ．5！B ．4！C ．0D ．11-10、复合Cotes 求积公式, 复合梯形求积公式和复合Simpson 求积公式的收敛阶分别为（ ） A ．5，1，3 B ．4，2 ，6 C ．6，2，4 D ．以上都不对1-11、对线性方程组1231231232211221x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解，则（ ）A.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散B. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均发散C. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均收敛D. Jocabi 迭代法发散和G-S 迭代法收敛1-12、对线性方程组1231213918 293x x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨-+=⎪⎩，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解（ ），则 B.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散 A. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均发散C. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均收敛D. Jocabi 迭代法发散和G-S 迭代法收敛1-13、设线性方程组为1231213918 293x x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨-+=⎪⎩，则Jocabi 迭代格式和G-S 迭代格式分别为（ ），则(Ⅰ) 2311(1)()()1(1)()2(1)()311799917881899k k k k k k k x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩(Ⅱ) 2311(1)()()1(1)(1)2(1)(1)311799917881899k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=++⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩A.(Ⅰ)和(Ⅱ)B. (Ⅱ)和(Ⅰ)C.(Ⅰ)和(Ⅰ)D. (Ⅱ)和(Ⅱ)1-14、已知*x 是()f x 的 (2)m m ≥重根，则求重根的修正Newton 公式为（ ）1(). ()k k k k f x A x x mf x +=-' 10(). ()k k k f x B x x mf x +=-'111(). ()()()k k k k k k k f x C x x x x f x f x +--=--- 111()(). ()()k k k k k k k f x f x D x x f x x x -+--=--1-15、若记(),()k k k k y f x z f y ==，则对迭代格式1()k k x f x -=使用Aitken 加速后得到的新迭代迭代格式为（ ）21(()). (())2()k k k k k k k f x x A x x f f x f x x +-=--+21(()). ()(())2()k k k k k k k f x x B x f x f f x f x x +-=--+21(). 2k k k k k k k z y C x z z y x +-=--+ 21((())()). (())(())2()k k k k k k k f f x f x D x f f x f f x f x x +-=--+1-16、将积分区间[a,b]n 等分，分点为kh a x k +=，k=0,1,2,3,4....n,其中nab h -=，则复合梯形公式为( )A. ])()(4)([211∑-=++n k k b f x f a f hB.])()(2)([211∑-=++n k k b f x f a f hC.)]()(4)(2)([6102111b f x f x f a f hn k k n k k +++∑∑-=+-=D.)]()(4)(2)([6112110b f x f x f a f hn k k n k k +++∑∑-=+-=二、填空题（共20分,每空2分）2-1、根据数值方法的稳定性与算法设计原则在连加运算中要防止 ，在减法运算中要避免 ，在除法运算中要避免，在乘法运算中要避免 。
北航数值分析大作业 第二题 QR分解
数值分析第二题 梁进明SY0906529算法设计方案。
一．矩阵的QR 分解。
把矩阵A 分解为一个正交矩阵Q 与一个上三角矩阵R 的乘积，称为矩阵A 的正三角分解，简称QR 分解。
QR 分解的算法如下：记1A A =，并记[]rij n n Ar a ⨯=，令1Q I =（n 阶单位矩阵） 对于r=1,2,…,n-1执行(1) 若(1,2,...,)rir a i r r n =++全为零，则令1r r Q Q +=，1r r A A +=转(5);否则转(2)(2) 计算2r d =()sgn()r r rr r c a d =-(若()0r rr a =,则取r r c d =) 2()r r r r rrh c c a =- (3) 令()()()1,(0,...,0,,,...,)r r r T nr rr r r r nr u a c a a R +=-∈ (4) 计算11//r r rTr r r r rT r rr rT r r r rQ u Q Q u h p A u h A A u p ωω++==-==-(5) 继续当此算法执行完后就得到正交矩阵n Q Q =和上三角矩阵n R A =且有A QR =。
二．矩阵的 拟上三角化。
对实矩阵A 的拟上三角化具体算法如下：记(1)AA =，并记()r A 的第r 列到第n 列的元素为(1,2,...,;,1,...,)rij a i n j r r n ==+。
对于1,2,...,2r n =-执行（1） 若()(2,3,...,)r ir a i r r n =++全为零，则令(1)()r r AA +=,转(5);否则转(2)。
（2） 计算2()()1,1,2()1,sgn()(0,)r r r r r r r r r r r r r r r r rd c a d a c d h c c a +++==-===-若则取 （3） 令()()()1,2,(0,...,0,,,...,)r r r T nr r r r r r nr u a c a a R ++=-∈ （4） 计算()()(1)()///r T r r r r r r rTr r r rr r r rr r T T r r r rp A u h q A u h t p u h q t u A A u u p ωω+====-=--（5） 继续算法执行完后，就得到与原矩阵A 相似的拟上三角矩阵(1)n A -。
北航研究生数值分析期末模拟历年考试
北航研究⽣数值分析期末模拟历年考试数值分析模拟试卷1⼀、填空（共30分，每空3分） 1 设-=1511A ，则A 地谱半径=)(a ρ______，A 地条件数)(1A cond =________. 2设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点地三次样条函数，则b=________,c=________.4设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ地最⾼项系数为1地正交多项式族，其中1)(0=x q ，则=1)(dx x xq k________，=)(2x q ________.5设=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三⾓阵，当其对⾓线元素)3,2,1(=i L ii 满⾜条件________时，这种分解是唯⼀地.⼆、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上地三次Hermite 插值多项式)(x H 使满⾜2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=地表达式.三、（14分）设有解⽅程0cos 2312=+-x x 地迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1）证明R x ∈?0均有?∞→=x x n x lim （?x 为⽅程地根）；（2）取40=x ，⽤此迭代法求⽅程根地近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代地收敛阶是多少？证明你地结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能⾼地代数精度. 试问所得地数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型地？五、（15分）设有常微分⽅程地初值问题??=='00)(),(y x y y x f y ，试⽤Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα地⽅法，使其具有⼆阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知⽅程组b Ax ＝，其中==21,13.021b A ，（1）试讨论⽤Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此⽅程组地收敛性.（2）若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定⼀个地取值范围，在这个范围内任取⼀个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）⽅程组，其中，A 是对称地且⾮奇异.设A 有误差，则原⽅程组变化为，其中为解地误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 地按模最⼤和最⼩地特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；设)(x f 可微，求⽅程)(x f x =根地⽜顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；⽤⼆分法求⽅程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内地根，进⾏⼀步后根所在区间为_________，进⾏⼆步后根所在区间为_________________；求解线性⽅程组=+=+04511532121x x x x 地⾼斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵地谱半径=)(G ρ_______________；为使两点数值求积公式：-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最⾼地代数精确度，其求积节点应为=0x _____ ,=1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈?是否是插值型地__________，其代数精度为___________.⼆、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三⾓阵，U 为单位上三⾓阵.已知------=2100121001210012A ，求L，U . (2)设A 为66?矩阵，将A 进⾏三⾓分解：LU A =，L 为单位下三⾓阵，U 为上三⾓阵，试写出L 中地元素65l 和U 中地元素56u 地计算公式.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定⼀个次数不超过3地多项式)(x H ，满⾜3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，并写出插值余项. （12分）线性⽅程组=+=-22112122b x x b x x ρρ（1）请写出解此⽅程组地赛德尔迭代法地迭代格式，并讨论收敛性. （2）设2=ρ，给定松弛因⼦21=ω，请写出解此⽅程组地SOR ⽅法地迭代格式，并讨论收敛性.五、（7分）改写⽅程042=-+x x为2ln /)4ln(x x -=地形式，问能否⽤迭代法求所给⽅程在[1,2]内地实根？六、（7分）证明解⽅程0)(23=-a x 求3a 地⽜顿迭代法仅为线性收敛. 七、（12分）已知.43,21,41210===x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上地插值型求积公式；（2）指明求积公式具有地代数精度；（3）⽤所求公式计算12dx x.⼋、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 地值，这⾥.1+≤n p数值分析模拟试卷3⼀、填空题（每空3分，共30分）1．设1234)(248+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[810 f ； 2．在⽤松弛法(SOR)解线性⽅程组b Ax =时，若松弛因⼦ω满⾜1|1|≥-ω，则迭代法；3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 地Newton 迭代法⾄少三阶收敛，)(x f 需要满⾜；4. 设)133)(2()(23-+-+=x x x x x f ,⽤Newton 迭代法求21-=x 具有⼆阶收敛地迭代格式为________________ ；求12=x 具有⼆阶收敛地迭代格式为___________________；5．已知?--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lg lg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点())3,2,1,0(,3=i x x i i 地插值多项式为_____________ ； 8. 利⽤抛物(Simpson)公式求212dx x =.⼆、（14分）已知⽅阵=123111122A ，(1) 证明： A 不能被分解成⼀个单位下三⾓阵L 和⼀个上三⾓阵U 地乘积；(2) 给出A 地选主元地Doolittle 分解，并求出排列阵；(3) ⽤上述分解求解⽅程组b Ax =，其中Tb )4,2,5.3(=.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定⼀个次数不超过3地多项式)(x H ，满⾜40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，并写出插值余项.四、（10分）证明对任意地初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于⽅程x x cos =地根，且具有线性收敛速度.五、（12分）在区间[-1,1]上给定函数14)(3+=x x f ，求其在},,1{2x x Span =φ中关于权函数1)(=x ρ地最佳平⽅逼近多项式.（可⽤数据：2123)(,)(,1)(2210-===x x p x x p x p ）六、(12分)(1)试导出切⽐雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n 地三项递推关系式：=-===-+),2,1()()(2)(,)(,1)(1110 n x T x xT x T x x T x T n n n （2）⽤⾼斯—切⽐雪夫求积公式计算积分dx x x x I ? --=22)2(1，问当节点数n 取何值时，能得到积分地精确值？并计算它.七、（10分）验证对?-+-+=++==++=?+))1(,)1((),(),()(2,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.参考答案1 ⼀、1．6)(=a ρ，)(1A cond =6.2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.4．??≠=0,00,21k k ；10356)(22+-=x x x q .5．)3,2,1(0);21,21(=>-∈i l a ii⼆、(1) 25145023345026322514)(23-++-=x x x x H (2) ).49,41(),49()1)(41(169!41)(225∈---=-ξξx x x x R三、（1）32=L ;（2）347.3≈?x ;（3）线性收敛. 四、512,916,910-====αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型地. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(833n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==G S J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011>>+a 时，该迭代公式收敛.参考答案2 ⼀、1．22．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n3．1, 0 4．7,725 5．)43,21(),1,21( 6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1??-=-=+++k k k k x x x x 7. 32,3210=-=x x ; 18. 是, 1⼆、(1)---=---=100431000321000211,4510003410002310002U L (2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=三、)2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ四、(1) ??-=+=+++)1(12)1(2)(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ时收敛(2) ??-+=++=+++)1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛五、收敛七、（1）)43(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)31 ⼋、110时为时为+=≤n ，p n p参考答案3 ⼀、1．42．发散3．0)(*=''x f4．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()()(31 ='-=+n x f x f x x n n n n5．2608+, 49 6.1lg2-x x7. 3x 8.37 ⼆、(2) 先交换2、3两⾏，交换1、2两⾏，===010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001P U L(3) )5.4,1,5.1('-三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ五、10512p p +六、1=n ，2π版权申明本⽂部分内容，包括⽂字、图⽚、以及设计等在⽹上搜集整理.版权为个⼈所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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2005级硕士研究生数值分析期末试题
点的牛顿插值多项式为：
ax1 x 2 1 ，如果迭代法收敛，其必要条件为 x1 4ax2 2
3.
。
4.
e
1
3
x
sin xdx ，当 n 至少为
时，其复合梯形公式截断误差不超过 10 6 。
二. 计算题：
3 2 1 x1 5 已知： 2 1 0 x 2 3 。进行 A L U 分解，在求解 x 。 1 0 3 x3 4
1.
2. 已知： x 5 10 y 1.27 2.16 用最小二乘一次多项式拟合曲线。 15 2.86 20 3.44
3. 已 知 f x 有四阶连续导数，求埃尔米特三次插值多项式，使其满足：
H a f a ， H a f a ， H a f a ， H b f b ，并误差估计。
一. 填空题： 1.
x1 2.13 ， x2 3.24 ， x3 5.28 ，都是精确到小数点后２位，则 x1 x2 x3 的
绝对误差为 2.
，相对误差为
Байду номын сангаас
。 ， f 0,1,2 = ，过三
f 0 0 ， f 1 16 ， f 2 46 ，则 f 0,1 ＝
2 1 1 T 2 2 已知： Ax b ， A 2 ，b 1 1 1 。求用 Gauss-Seidel 方法 1 1 2
4.
求解是否收敛？如收敛则写出迭代公式。 5. 试确定节点 x1 ， x 2 ， x 3 ，使公式 f x dx
1 1
2 f x1 f x2 f x3 尽可能多 3
次代数精度，是否是 Gauss 型公式。
1/1
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北京航天航空大学2005年博士研究生数值分析真题
一.填空题：1.
13.21=x ，24.32=x ，28.53=x ，都是精确到小数点后２位，则321x x x +的绝对误差为
，相对误差为。
2.
()00=f ，()161=f ，()462=f ，则[]1,0f ＝，[]2,1,0f =
，过三
点的牛顿插值多项式为：
3.
⎩⎨
⎧=+=+241
21
21ax x x ax ，如果迭代法收敛，其必要条件为。
4.
∫
3
1
sin xdx e x ，当n 至少为时，其复合梯形公式截断误差不超过610−。
二.计算题：
1.已知：⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡435301012123321x x x 。
进行U L A •=分解，在求解x 。
2.已知：
x 5101520y 1.27 2.16 2.86
3.44
用最小二乘一次多项式拟合曲线。
3.已知()x f 有四阶连续导数，求埃尔米特三次插值多项式，使其满足：
()()a f a H =，()()a f a H ′=′，()()a f a H ′′=′′，()()b f b H ′′=′′，并误差估计。
4.已知：b Ax =，⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡−−−=211222112A ，[]T b 111−−=。
求用Gauss-Seidel 方法
求解是否收敛？如收敛则写出迭代公式。
5.选一复化求积公式求()
dx x
x I ∫
+=1
11
的近似值，要求截断误差小于410−。
6.试确定节点1x ，2x ，3x ，使公式()()()()[]3211
1
3
2
x f x f x f dx x f ++=
∫−尽可能多次代数精度，是否是Gauss 型公式。
7.推导()0=−=a x x f n
的根n
a 的Newton 迭代公式，求极限(
)
2
1lim
k
n
k n
k x a x a −−+∞→，
极限说明什么？求35的近似值。
8.
已知：()⎩⎨⎧==′002y x y ，0>x 的解为()331
x x y =，i y 是用改进的欧拉公式得到()
x y 在i x 处的近似值，写出i y ，证明()26
1
h x y x y i i i −=−(...3,2,1=i )。