新课标人教A版名师对话数学理一轮复习课件2.13定积分与微积分基本定理
高考数学一轮复习 2-14定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 定积分几何意义不明致误 【典例】 的面积为( 32 A. 9 C．4＋ln3 ) B．2－ln3 D．4－ln3 由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形
【思维启迪】
利用定积分求曲边形的面积时，易弄错积分
上、下限，或不能结合图形选择合适的积分变量．
第二章 函数、导数及其应用
第十四节 ►►定积分与微积分基本定理(理)
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
高考这样考 1.考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理． 2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运 动路程.
备考这样做 1.理解定积分的概念和几何意义． 2.会用微积分基本定理求定积分，解决一些几何、物理问题.
变式思考 2 的面积．
1 求曲线y＝ x ，y＝2－x，y＝－ x所围成图形 3
解
y＝ x， 由 y＝2－x，
得交点A(1,1)；
y＝2－x， 由 得交点B(3，－1)． 1 y＝－3x，
故所求面积S＝
题型三 【例3】
定积分在物理中的应用
物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，
疑 点 清 源 1．定积分计算中应注意 (1)被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分； (2)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积 变量； (3)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．
2．利用定积分求曲边梯形的面积时，一是要合理准确的将图 形划分，二是注意面积非负而定积分的结果可以为负．
画出图形，确定被积函数及积分的上、下限，用定积分表示所求 图形的面积，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第3章 导数及其应用 第3节 定积分与微积分基本定理
2
2
2
0
(3x+4)dx=5×2+
3 2
2
4
+ 4 ∣ 2
× 22 + 4 × 2 ∣=36(J).
突破技巧定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时
刻 t=a 到 t=b 所经过的路程 s=
v(t)dt.
(2)变力做功:某物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同的方向从 x=a 移
=1
i=1
n→+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常
数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
-
lim ∑ f(ξi).
→∞=1
f(x)dx,即
f(x)dx=
2.定积分的几何意义
(1)当函数f(x)的图象在区间[a,b]上连续且恒有f(x)≥0时,定积分
f(x)dx的
( 8)dx+
1
2
6
2
4 2 32
(6-x)dx= 3 2 |0
6× 6− × 6
2
+
1
2
1 2
6- 2
− 6×2− ×2
2
40
= .
3
∣
6
2
40
×64= 3 .
突破技巧利用定积分求平面图形面积的4个步骤
对点训练2(2021贵州贵阳模拟)已知函数y=2cos x,x∈[0,2π]和y=2的图象围
0
考点三
定积分在物理中的应用
典例突破
高考数学一轮复习 2.13 定积分与微积分基本定理课件
，则
(3)(2013·武汉市调研测试)1( 2x－x2－x)dx等于( ) 0 π－2 π－2 π－1 π－1
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
【解析】
【答案】 (1)B (2)4π＋1 (3)A
在求定积分时如果被积函数比较复杂，则一般先化简被积 函数，转化为常见的熟悉的函数，若不能转化定积分也不易求 出，则考虑用定积分的几何意义求解．
A＝f(b)－f(a)，B＝
1 2
(b－a)(f(a)＋f(b))，则A，B的大小关系是
() A．A>B B．A≥B C．A<B D．A≤B
【解析】 (1)由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l
的方程为y＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为
(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2
置；
(4)写出平面图形面积的定积分的表达式； (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面 积．
(1)(2013·北京卷)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴
垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
Байду номын сангаас4 A.3
B．2
8 C.3
16 2 D. 3
(2)(2014·安徽池州一中月考)已知f(x)＝ex，x∈R，a<b，记
(3)用定积分知识解答实际生活、物理学相关问题时，要注 意积分变量的选择和积分上、下限的选取.
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
(对应学生用书P56)
考点1 定积分的计算 利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的
原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运 算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．
高考数学总复习 第2章 第13节 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
12 12 2 (2)f′(t)＝2t －2at＋a ，令 f′(t)＝0，即2t －2at＋a2＝ 0. 解得 t＝(2－ 2)a 或 t＝(2＋ 2)a. ∵0＜t≤1，a＞1，∴t＝(2＋ 2)a 应舍去.8 分 2＋ 2 1 若(2－ 2)a≥1，即 a≥ ＝ 2 时， 2－ 2 ∵0＜t≤1，∴f′(t)≥0.
(12分)如图所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝
－ x2 ＋ 2ax(a ＞ 1) 交于点 O 、 A ，直线 x ＝ t(0 ＜ t≤1) 与曲线 C1 、 C2分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB.
(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关 系式S＝f(t)； (2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．
1.用定义求定积分的一般方法是： (1)分割：n等分区间[a，b]； (2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]； b－a (3)求和： f(ξi)· n ；
n i ＝1
(4)取极限：
.
特别警示：定义中区间[a，b]的分法和ξi的取法都是任意
的． 2．利用微积分基本定理求定积分的步骤： (1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数 函数与常数的和或差；
3．作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度 函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝
b ∫b ∫ v ( t )d t . 如果函数 v ＝ v ( t )( v ( t ) ≤ 0) ，则 s ＝－ a av(t)dt.
4． 变力 F(x)使物体从 x＝a 移到 x＝b(a＜b)所作的功为： W＝∫b aF(x)dx.
3 2 S＝∫1 0(3x－x)dx＋∫1(3x－x )dx
高考数学人教版理科一轮复习配套课件2.12定积分与微积分基本定理
a
b | F ( x ) a f(x)dx＝______
1． 若积分式子中有几个不同的参数， 则必须先分清 谁是被积变量．
2． 定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下 限． 3． 定积分的几何意义是曲边梯形的面积， 但要注意：
面积非负，而定积分的结果可以为负．
[试一试] 2 1．(2013· 湖南高考)若 T x dx＝9，则常数T的值为________． 0
(1)(2012· 山东高考)由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 ( )
y 轴所围成的图形的面积为 10 A. 3 16 C. 3 B． 4 D．6
1 0
提 解答此类问题 醒 一般先画出图
形分析！
(2)
－x2＋2xdx＝________.
思 该式的几何意 考 义是什么？
[解析]
(1)由 y＝ x及 y＝x－2 可得，x＝4，即两曲线交于
1 0
2
答案：B
求定积分的两种基本方法 (1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：
①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；
②计算 F(b)－F(a)． (2)利用定积分的几何意义求定积分：
当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．
1 0 1 1 1－x dx 的几何意义是求单位圆面积的 ，所以 0 4
[类题通法]
运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点
(1)对被积函数要先化简，再求积分；
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的 可加性”，分段积分再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求 积分； (4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
2017届高三数学人教版A版数学高考一轮复习课件：第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理
A．9π
B．3π
9－x2，直线 x＝0，x＝3，y
9 C.4π
9 D.2π
＝0 围成的封闭图形的面积，
3
故 0
9－x2dx＝π·432＝94π，故
选 C.
第十三页，编辑于星期六：一点 十五分。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考点一 题组训练
试题
解析
π
2．(2016·临沂模拟)若 2 (sin 0
x＋acos x)dx＝2，则实数 a 等
典题悟法 演练冲关
利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功 问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速 度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好 积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基 本定理计算即得所求．
第二十一页，编辑于星期六：一点 十五分。
考点三
典题悟法 演练冲关
试题
解析
2 ． 一 物 体 在 力 F(x) ＝
0－1
＋ ex 01
＝－
12－1＋(e－1)＝e－12.
第二十五页，编辑于星期六：一点 十五分。
课时 跟踪检测
本课内容结束
第二十六页，编辑于星期六：一点 十五分。
(3)abf(x)dx＝__ac_f(_x_)_d_x_＋___cbf_(_x_)d__x__(其中 a<c<b)．
第三页，编辑于星期六：一点 十五分。
知识点一 知识点一 知识点二
2．定积分的几何意义 (1)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分abf(x)dx 的几何 意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的 曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．
第二十四页，编辑于星期六：一点 十五分。
一轮复习--定积分与微积分基本定理PPT课件
0
5
所以5
－5
(3x3＋4sin
x)dx＝0－5
(3x3＋4sin
x)dx
＋
0
(3x3
＋
4sin x)dx＝0.
[方法技巧] 1．利用定积分几何意义求定积分的策略 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直 线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利 用定积分的几何意义求定积分． 2．两个常用结论 设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几 何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝2af(x)dx；
图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由yy＝ ＝x－x，2 得交点A(4,2)．
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
＝
4
0
x－x＋2dx
＝
2 3x
3 2
－12x2＋2x
4 0
＝23×8－12×16＋2×4＝136.
[答案] C
[方法技巧] 利用定积分求平面图形面积的步骤
3.在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定点 t 的值，使图 4－5－4 中阴影部分的面积 S1 与 S2之和最小．
图 4－5－4
解：S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面积，即
t
S1＝t·t2－ 0
x2dx＝23t3.
当 t＝12时，S 最小，
∴最小值为 S12＝14.
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a______ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
高考数学(人教A)一轮配套课件：2-14定积分与微积分基本定理(理)(47张PPT)
听 课 记 录 如图，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以直线l的
方程为y＝1.
由
x2＝4y， y＝1，
解得
x＝－2， y＝1
或
x＝2， y＝1，
即A(－2,1)，
B(2,1)．
【答案】 C
【规律方法】 利用定积分求解曲边图形的面积，关键要把 握住两点：一是准确确定被积函数，一般的原则是“上”－ “下”，即根据曲边图形的结构特征，用上方曲线对应的函数解 析式减去下方曲线对应的函数解析式；二是准确确定定积分的 上、下限，本例中应为曲边图形左、右两端对应点的横坐标， 上、下限的顺序不能颠倒．
基础自评
1.1(ex＋2x)dx＝( ) 0
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析 1(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|01 0
＝(e＋1)－1＝e.
答案 C
2．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是
()
A．S＝1(x2－x)dx 0
B．S＝1(x－x2)dx 0
C．S＝1(y2－y)dy 0
＝123(m)．
答案 6.5 m
Y 研考点·知规律
探究悟道 点拨技法
题型一 【例1】 计算下列积分
定积分的计算
【规律方法】 ①利用微积分基本定理求定积分，其关键是 求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导 数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．②根据积 分的几何意义可利用面积求积分．
0
0
1
∴2f(x)dx＝2f(x)dx－1f(x)dx＝－1－1＝－2.
1
0
0
答案 －2
【课堂新坐标】2018版高考数学(人教A版理)一轮复习：教师用书 第2章 第13节 定积分与微积分基本定理
第十三节 定积分与微积分基本定理[考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n→∞∑ni ＝1b －an f (ξi )．(2)有关概念在⎠⎛a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(3)定积分的几何意义(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ； (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|ba ， 即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝0.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．(教材改编)已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20 B.5t 2C.103t 20D.53t 20B [S ＝∫t 00v d t ＝∫t 0010t d t ＝5t 2|t 00＝5t 20.]3．(2017·长沙模拟(一))⎠⎛01e x d x ＝________.e －1 [⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e －1.]4．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．16 [如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)． 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3 |10＝16.] 5．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．3 [∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3.](1)⎠⎛－11 (x 2＋sin x )d x ；(2)⎠⎛02|1－x |d x . [解] (1) ⎠⎛－11 (x 2＋sin x )d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33|10＝23. 6分 (2)⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1. 12分 [规律方法] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．[变式训练1] (1)(2017·石家庄质检(二))⎠⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝________.(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e )(e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________.【导学号：01772093】(1)π2＋23 (2)43 [(1)原式＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛1－11－x 2d x ＝13x 3|1－1＋⎠⎛－111－x 2d x ＝23＋⎠⎛－111－x 2d x ，⎠⎛1－11－x 2d x 等于半径为1的圆面积的12，即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，故原式＝π2＋23.(2)∵f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e )，∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.](2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.【导学号：01772094】(1)76 (2)2 [(1)如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得交点横坐标为x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(－x ＋2)d x ＝23x 32|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22|21＝76. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为 ⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3|k0 ＝k 32－13k 3＝43， 即k 3＝8，∴k ＝2.][规律方法] 利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．[变式训练2] (1)(2016·山东威海一模)曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为________．(2)抛物线y 2＝4x 与直线y ＝2x －4围成的平面图形的面积为________． (1)2 (2)9 [(1)由题意知封闭区域的面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝－cos π－(－cos 0)＝1－(－1)＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝2x －4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.画出草图如图所示．选用x 为积分变量所求面积为⎠⎛01[2x －(－2x )]d x ＋⎠⎛14(2x －2x ＋4)d x ＝4×23x 32|10＋2×23x 32|41－x 2|41＋4x |41 ＝83＋⎝ ⎛⎭⎪⎫323－43－(16－1)＋(16－4)＝9.]＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5 B.8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D.4＋50ln 2C [由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝4＋25ln 5.] [规律方法] 定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[变式训练3] 一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.36 [由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)．][思想与方法]1．求定积分的两种常用方法：(1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(2)利用定积分的几何意义求定积分．2．对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．[易错与防范]1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和，但要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．。
2019届一轮复习人教A版理 第2章 第12节 定积分与微积分基本定理 课件(37张)
[跟踪训练] (1)曲线 y＝－x＋2，y＝ x与 x 轴所围成的面积为________． (2)(2017·山西大学附中第二次模拟)曲线 y＝2sin x(0≤x≤π)与直线 y＝1 围成 的封闭图形的面积为________.
【导学号：97190092】
定积分在物理中的应用
一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)
[跟踪训练]
(1)(2018·江西九校联考)1(2x＋ 1－x2)dx＝________. 0 【导学号：97190091】
x2，x∈[0，1]， (2)设 f(x)＝1x，x∈1，e
(e 为自然对数的底数)，则ef(x)dx 的值为 0
________．
定积分的几何意义
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成 n 个小区间，
在每个小区间上任取一点
n
n
ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑ i＝1f(ξi)Δx＝∑ i＝1
b－n af(ξi)，当
n上→的∞定时积，分上，述记和作式ba无f(x限)d接x ，近即于某bf(个x)d常x＝数ln，i→m∞这∑ i＝n1个b常－n数af叫(ξi)做．函数 f(x)在区间[a，b] a
止一共行驶了
4
s
，
此
期
间
行
驶
的
距
离
为
4
0
v(t)dt
＝
4
0
7－3t＋12＋5 t
dt
＝
7t－32t2＋25ln1＋t|40＝4＋25ln 5.]
[规律方法] 定积分在物理中的两个应用 1求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为 v＝vt，那
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(4)写出平面图形面积的定积分的表达式； (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面 积．
(1)(2013· 北京卷)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴 垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( 4 A. 3 B．2 8 C. 3 16 2 D. 3 )
(2)(2014· 安徽池州一中月考)已知f(x)＝ex，x∈R，a<b，记 1 A＝f(b)－f(a)，B＝ 2 (b－a)(f(a)＋f(b))，则A，B的大小关系是 ( ) A．A>B B．A≥B C．A<B D．A≤B
(2)实际上A为f(x)＝ex，在[a，b]上的定积分，为曲边梯形 ABCD的面积，B为梯形ABCD的面积，由图可知A<B.
【答案】 (1)C (2)C
在具有对称性的曲边形面积的计算中，要善于根据对称性 表达所求的面积，以简化运算．
(1)(2012· 山东卷)设a>0.若曲线y＝
x 与直线x＝a，y＝0所
a
函数f(x) 叫做被积函数， x 间[a，b] 叫做积分区间，
分变量，f(x)dx 叫做被积式． (4)求曲边梯形面积的步骤： ①分割 ；② 近似代替 ；③ 求和 ；④ 取极限．
叫做积
2．定积分的几何意义 (1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分 的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲 线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分)．
核心突破 · 导与练
(对应学生用书P56)
考点1
定积分的计算
利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的 原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运 算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．
2 2 (1)(2013· 江西卷)若S1＝ x dx，S2＝
1
2 1
基 础
知 识 回 顾
感悟教材 · 学与思
(对应学生用书P55)
1．定积分的定义及相关概念 (1)一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连 续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的 连续函数．
b (3)在 f(x)dx中， a与b 分别叫做积分下限与积分上限，区
围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
1 2 (2)求定积分 1 － x dx.
0
解析：
4 答案：(1)9
(1)用微积分基本定理求定积分时，要掌握积分与导数的互 逆关系及求导公式的逆向形式． (2)求曲边图形区域的面积时，要注意观察平面图形的结构 特点，灵活利用面积与定积分的关系解答． (3)用定积分知识解答实际生活、物理学相关问题时，要注 意积分变量的选择和积分上、下限的选取.
考 点
互 动 探 究
，则
1 2 (3)(2013· 武汉市调研测试) ( 2x － x －x)dx等于(
0
)
π－2 A. 4
π－2 B. 2
π－1 C. 2
π－1 D. 4
【解析】
π 【答案】 (1)B (2)4＋1
(3)A
在求定积分时如果被积函数比较复杂，则一般先化简被积 函数，转化为常见的熟悉的函数，若不能转化定积分也不易求 出，则考虑用定积分的几何意义求解．
第 二 篇
函数、导数及应用
(必修1 选修2－2 第一章)
第十三节
定积分与微积分基本定理
高考导航
考纲要求 1.了解定积分的含义.
考情分析 从近三年的高考试题来看，本节内容要求较低，定积分的 简单计算与应用是高考的热点，题型均为小题，难度中低 档，主要考查微积分基本定理进行定积分的计算，利用定 积分的几何意义求平面图形的面积．如2013年江西卷6、湖 北卷7、北京卷7等． 预测与备考：2015年高考仍坚持考查利用定积分求值，或 求几何图形的面积，题型延续选择、填空题．备考时掌握 定积分的性质及微积分基本定理.
1 2 x dx，S3＝ e dx，则S1，S2，S3的大小关系为( x
1
)
A．S1<S2<S3 C．S2<S3<S1
B．S2<S1<S3 D．S3<S2<S1
(2)(2013· 河北高三质量监测)已知函数f(x)＝ π sin x，0≤x≤2 －2x＋2，π<x≤π 2 π
解析：
π－2 2 1 答案：(1)3 (2) 2 (3)2
考点2
定积分在几何中的应用
定积分在几何中的应用主要是 求由两条曲线围成的图形的面积，其解题步骤如下： (1)画出图形； (2)确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定 出积分的上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位 置；
F(b)－F(a) ．这个结论叫做微积分基 ＝_____________
本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式． 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
b F(x) a 为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作____________ ，
b ＝F(x) a
即
＝F(b)－F(a)．
问题探究：一个函数的导数是惟一的，反过来导函数的原 函数惟一吗？ 提示：一个函数的导数是惟一的，而其原函数则有无穷多 个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理 求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般 使用不含常数的原函数，这样有利于计算．
(2)一般情况下，定积分
的几何意义是介于x轴、曲
线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(图2中 阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
3．定积分的性质
4．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x) ＝f(x)．那么
【解析】 (1)由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为 (2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2
2 x2 x3 1－ dx＝2x－ 4 12 0
2 0
8 ＝ 3.