高考数学(文)名师讲义：第2章《函数、导数及其应用》(13)【含解析】
高考数学(文科)总复习考点解析及试题第二章函数导数及其应用
高考数学（文科）总复习考点解析及试题（解析版）第二章 函数、导数及其应用本章是高考复习中十分重要的一章，共有13个考点如下：考点1 函数及其表示 考点2 函数的定义域和值域考点3 函数的单调性考点4 函数的奇偶性与周期性考点5 二次函数与幂函数 考点6 指数与指数函数 考点7 对数与对数函数 考点8 函数的图象 考点9 函数与方程 考点10 函数模型及其应用考点11 变化率与导数、导数的计算考点12 导数的应用(一) 考点13 导数的应用(二)考点测试1 函数及其表示高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值5分，中高等难度 考纲研读1．了解构成函数的要素，了解映射的概念2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3．了解简单的分段函数，并能简单应用一、基础小题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 答案 B解析 因为g (π)＝0，所以f [g (π)]＝f (0)＝0，故选B ． 2．下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )答案 A解析 函数图象上一个x 值只能对应一个y 值．选项A 中的图象上存在一个x 值对应两个y 值，所以其不可能为函数图象，故选A ．3．下列各组函数中是同一个函数的是( ) ①f (x )＝x 与g (x )＝(x )2； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1． A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④ 答案 C解析 ①中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数．故选C ．4．若点A (0，1)，B (2，3)在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，则一次函数的解析式为( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝x ＋1 D ．y ＝2x －1 答案 C解析 将点A ，B 代入一次函数y ＝ax ＋b 得b ＝1，2a ＋b ＝3，则a ＝1．故一次函数的解析式为y ＝x ＋1．故选C ．5．已知反比例函数y ＝f (x )．若f (1)＝2，则f (3)＝( ) A ．1 B ．23 C ．13 D ．－1答案 B解析 设f (x )＝k x (k ≠0)，由题意有2＝k ，所以f (x )＝2x ，故f (3)＝23．故选B ．6．已知f (x ＋1)＝x 2＋2x ＋3，则f (x )＝( ) A ．x 2＋4x ＋6 B ．x 2－2x ＋2 C ．x 2＋2 D ．x 2＋1 答案 C解析 解法一：由f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋2得f (x )＝x 2＋2．故选C ．解法二：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋3＝t 2＋2，故f (x )＝x 2＋2．故选C ．7．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点个数可能是( ) A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 答案 C解析 函数的图象与直线有可能没有交点．如果有交点，那么对于x ＝1，f (x )仅有一个函数值与之对应．故选C ．8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是( )答案 B解析 兔子的速率大于乌龟，且到达终点的时间比乌龟长，观察图象可知，选B ． 9．下列从集合A 到集合B 的对应中是映射的是( ) A ．A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|B ．A ＝R ，B ＝{0，1}，对应关系f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≥0)，0(x <0)C ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应关系f ：x →y ＝1xD ．A ＝{0，1，2，9}，B ＝{0，1，4，9，16}，对应关系f ：a →b ＝(a －1)2答案 B解析 A 项中，对于集合A 中的元素3，在f 的作用下得0，但0∉B ，即集合A 中的元素3在集合B 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B 项中，对于集合A 中任意一个非负数在集合B 中都有唯一元素1与之对应，对于集合A 中任意一个负数在集合B 中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射；C 项中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与之对应，故这个对应不是映射；D 项中，在f 的作用下，集合A 中的元素9应该对应64，而64∉B ，故这个对应不是映射．故选B ．10．若函数f (x )如下表所示：则f [f (1)]＝________． 答案 1解析 由表格可知，f (1)＝2，所以f [f (1)]＝f (2)＝1．11．已知函数g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝2x 2－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．答案831解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×142－116＝123116＝831．12．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1．当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4，0)，∴0＝a (4－2)2－1，解得a ＝14．综上，函数f (x )在[－1，＋∞)上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6． ∴f (－2)＋f (log 212)＝9．14．存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 答案 D解析 对于A ，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故A 错误．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 错误．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错误．在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域[－1，＋∞)上是成立的，故选D ．15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0，1]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 答案 C解析 解法一：①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4，2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1，2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a>1，f [f (a )]＝22a，2f (a )＝22a ，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23．故选C ．解法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，而f [f (a )]＝2f (a )，∴f (a )≥1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a≥1，解得23≤a <1或a ≥1，∴a ≥23，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ． 16．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________． 答案22解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4， ∴f (15)＝f (－1)＝12，f 12＝cos π4＝22，∴f [f (15)]＝f 12＝22．17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0．当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14．18．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应关系如下：映射f 的对应关系映射g 的对应关系则f [g (1)]的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 根据映射g 的对应关系，可得g (1)＝4，再根据映射f 的对应关系，可得f (4)＝1，故选A ．19．下列函数为同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－2x 和y ＝t 2－2t B ．y ＝x 0和y ＝1C ．y ＝(x ＋1)2和y ＝x ＋1 D ．y ＝lg x 2和y ＝2lg x 答案 A解析 对于A ：y ＝x 2－2x 和y ＝t 2－2t 的定义域都是R ，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B ：y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}，而y ＝1的定义域是R ，两函数的定义域不同，∴不是同一函数；对于C ：y ＝ (x ＋1)2＝|x ＋1|和y ＝x ＋1的定义域都是R ，但对应关系不相同，∴不是同一函数；对于D ：y ＝lg x 2的定义域是{x |x ≠0}，而y ＝2lg x 的定义域是{x |x >0}，两函数的定义域不同，∴不是同一函数．故选A ．20．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≥2)，log 2x (0<x <2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A ．－2B ．8C ．1D ．2 答案 D解析 当m ≥2时，由m 2－1＝3，得m 2＝4，解得m ＝2；当0<m <2时，由log 2m ＝3，解得m ＝23＝8(舍去)．综上所述，m ＝2，故选D ．21． 某工厂八年来某种产品总产量y 与时间t (年)的函数关系如图，下列四种说法：①前三年中，产量的增长速度越来越快； ②前三年中，产量的增长速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．①③ D ．①④ 答案 A解析 由函数图象可知，在区间[0，3]上，图象凸起上升，表明年产量增长速度越来越慢；在区间(3，8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，所以②③正确．故选A ．22．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1(λ∈R )，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( )A ．(0，2]B ．[0，2]C ．[2，＋∞) D．(－∞，2) 答案 C解析 当a ≥1时，2a ≥2，∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )，∴λ∈R ；当a <1时，f [f (a )]＝f (λ－a )＝2λ－a，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1，由题意知λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2．综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．故选C ．23．已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________． 答案 3解析 由题意，得f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ＝4x －3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，－ab －b ＝－3，因为a >0，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3．24．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________．答案 5解析 ∵f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x ＝2，且f (0)＝1，∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5．25．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x 2)的解析式为________． 答案 f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]解析 f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令1－cos x ＝t ，t ∈[0，2]，则cos x ＝1－t ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0，2]，则f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]．二、高考大题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，0<x <c ，2－xc 2＋1，c ≤x <1，且f (c 2)＝98．(1)求常数c ； (2)解方程f (x )＝98．解 (1)∵0<c <1，∴c 2<c ， ∴f (c 2)＝c 3＋1＝98，即c ＝12．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，0<x <12，2－4x ＋1，12≤x <1.由f (x )＝98得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，12x ＋1＝98或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <1，2－4x＋1＝98，解得x ＝14或x ＝34．2．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1． (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1． 因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1．(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立．设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ， 其图象的对称轴为直线x ＝32，所以g (x )在[－1，1]上单调递减．故只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1． 故实数m 的取值范围是(－∞，－1)．3．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1)上有表达式f (x )＝x 2．(1)求f (－1)，f (1．5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解 (1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1．5)＝f (1＋0．5)＝－12f (0．5)＝－12×14＝－18．(2)当x ∈[0，1)时，f (x )＝x 2； 当x ∈[1，2)时，x －1∈[0，1)，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2， f (2)＝－12f (1)＝14f (0)＝0；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝2，－12(x －1)2，x ∈[1，2)，x 2，x ∈[0，1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1).4．某公司研发出一款产品，批量生产前先在某城市销售30天进行市场调查．调查结果发现：日销量f (t )与天数t 的对应关系服从图①所示的函数关系：每件产品的销售利润h (t )与天数t 的对应关系服从图②所示的函数关系．图①由抛物线的一部分(A 为抛物线顶点)和线段AB 组成．(1)设该产品的日销售利润Q (t )(0≤t ≤30，t ∈N )，分别求出f (t )，h (t )，Q (t )的解析式；(2)若在30天的销售中，日销售利润至少有一天超过8500元，则可以投入批量生产，该产品是否可以投入批量生产，请说明理由．解 (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－110t 2＋4t ，0≤t ≤20，－t ＋60，20<t ≤30，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧20t ，0≤t ≤10，200，10<t ≤30.由题可知，Q (t )＝f (t )h (t )， ∴当0≤t ≤10时，Q (t )＝－110t 2＋4t 20t ＝－2t 3＋80t 2；当10<t ≤20时，Q (t )＝－110t 2＋4t ×200＝－20t 2＋800t ；当20<t ≤30时，Q (t )＝(－t ＋60)×200＝－200t ＋12000．∴Q (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t 3＋80t 2，0≤t ≤10，－20t 2＋800t ，10<t ≤20，－200t ＋12000，20<t ≤30(t ∈N )．(2)该产品不可以投入批量生产，理由如下： 当0≤t ≤10时，Q (t )max ＝Q (10)＝6000， 当10<t ≤20时，Q (t )max ＝Q (20)＝8000， 当20<t ≤30时，Q (t )<Q (20)＝8000， ∴Q (t )的最大值为Q (20)＝8000<8500．∴在一个月的销售中，没有一天的日销售利润超过8500元，不可以投入批量生产．考点测试2 函数的定义域和值域高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读会求一些简单函数的定义域和值域一、基础小题1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析 由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C ． 2．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3．故选B ．3．函数f (x )＝－2x 2＋3x (0<x ≤2)的值域是( ) A ．－2，98 B ．－∞，98C ．0，98D ．98，＋∞答案 A解析 f (x )＝－2x －342＋98(x ∈(0，2])，所以f (x )的最小值是f (2)＝－2，f (x )的最大值是f 34＝98．故选A ．4．已知函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 答案 A解析 由函数f (x )在其定义域内是增函数可知，当x ＝181时，函数f (x )取得最小值f 181＝2＋log 3 181＝2－4＝－2，故选A ．5．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f x2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D ．－12，0答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f x2＋f (x－1)的定义域为(0，2)，故选C ．6．函数y ＝x ＋2－x 的值域为( ) A ．94，＋∞ B．94，＋∞ C ．－∞，94 D ．－∞，94答案 D解析 令t ＝2－x ≥0，则t 2＝2－x ，x ＝2－t 2，∴y ＝2－t 2＋t ＝－t －122＋94(t ≥0)，∴y ≤94，故选D ．7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2} 答案 C 解析 f [f (x )]＝1f (x )＋1＝11x ＋1＋1，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，11＋x＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2．故选C ．8．若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2，0] D ．[1，3]答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2，0]．故选C ．9．函数y ＝16－4x的值域是( )A ．[0，＋∞) B．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 答案 C解析 由已知得0≤16－4x<16，0≤ 16－4x<16＝4，即函数y ＝16－4x的值域是[0，4)．故选C ．10．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 A解析 当x <1时，x －1<0，此时y ＝2x －1<0；当2≤x <5时，1≤x －1<4，此时14<1x －1≤1，12<2x －1≤2，即12<y ≤2，综上，函数的值域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2．故选A ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，－2≤x ≤0，1x，0<x ≤3，则函数f (x )的值域是________．答案 －14，＋∞解析 当－2≤x ≤0时，x 2＋x ＝x ＋122－14，其值域为－14，2；当0<x ≤3时，1x 的值域为13，＋∞，故函数f (x )的值域是－14，＋∞． 12．函数f (x )＝x －1x ＋1的值域为________． 答案 [－1，1) 解析 由题意得f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，∵x ≥0，∴0<2x ＋1≤2，∴－2≤－2x ＋1<0，∴－1≤1－2x ＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．13．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ．故选D ．14．函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1，∴x ≥2．∴函数的定义域为[2，＋∞)． 15．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3，1]解析 若函数有意义，则需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f [f (－3)]＝0．又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3．17．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1，0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1，0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32．18．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案 (1，2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0，1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2．19．函数f (x )＝12－x＋ln (x ＋1)的定义域为( )A ．(2，＋∞) B．(－1，2)∪(2，＋∞) C ．(－1，2) D ．(－1，2] 答案 C解析 函数的定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，1＋x >0，∴－1<x <2．故选C ．20．已知函数f (x )＝x ＋2x－a (a >0)的最小值为2，则实数 a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B解析 由2x－a ≥0得x ≥log 2a ，故函数的定义域为[log 2a ，＋∞)，易知函数f (x )在[log 2a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (log 2a )＝log 2a ＝2，解得a ＝4．故选B ．21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，ln x (x >1)，那么函数f (x )的值域为( )A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，＋∞) C ．[－1，0) D ．R 答案 B解析 函数y ＝x －2(x ≤1)的值域为(－∞，－1]，函数y ＝ln x (x >1)的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．故选B ．22．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个 答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0，1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2，2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，2)，(0，2)共5个．故选C ．23．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为________．答案 [0，8]解析 当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0，8]． 24．若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f (log 12x )的定义域为________．答案 14，1解析 ∵f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，∴f (x )的定义域是[0，2]，则f (log 12x )的定义域为0≤log 12x ≤2，∴14≤x ≤1．二、高考大题1．已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )． 解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0， 当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2． ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.2．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域． 解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1，3]． 又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3． ∵x ∈[1，3]，∴log 3x ∈[0，1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6． ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6，13]．3．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1．∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数， 又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1． 4．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3．(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝x ＋322－214，又x ∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f －32＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，所以所求函数的值域为－214，15．(2)对称轴为x ＝－2a －12．①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意； ③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时，此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)， 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)．综上，可知a ＝－13．考点测试3 函数的单调性高考预览：本考点是高考的常考知识点，常与函数的奇偶性、周期性相结合综合考查。
2021-2022年高考数学大一轮复习精品讲义 第二章 函数、导数及其应用(含解析)
2021-2022年高考数学大一轮复习精品讲义第二章函数、导数及其应用（含解析）对应学生用书P12基础盘查一函数的有关概念(一)循纲忆知1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(二)小题查验1．判断正误(1)函数是建立在其定义域到值域的映射( )(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点( )(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数( )(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×2．(人教A版教材复习题改编)函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域是________________．答案：[4,5)∪(5，＋∞)3．已知函数y ＝f (n )，满足f (1)＝2，且f (n ＋1)＝3f (n )，n ∈N *，则f (4)＝________.答案：54基础盘查二 分段函数(一)循纲忆知了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(二)小题查验1．判断正误(1)函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1，x ≥0，－1，x <0，是分段函数( )(2)若f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，－1≤x ≤1，－x ＋1，x >1或x <－1( )答案：(1)√ (2)√ 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________，其值域等于各段函数的值域的________．答案：并集 并集3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 4x ，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x ＝________.答案：12对应学生用书P12[必备知识]1．函数的定义设A 、B 为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )．2．函数的三要素[题组练透]1．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝x －12B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列所给图象是函数图象的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B ①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.[类题通法]两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t －1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．考点二函数的定义域问题(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)求抽象函数的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一：求给定函数解析式的定义域1．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________． 解析：由⎩⎨⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0⇒⎩⎨⎧ 0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]2．(xx·安徽高考)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：要使函数有意义，需⎩⎨⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎨⎧ x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎨⎧ x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1]．答案：(0,1] 角度二：求抽象函数的定义域3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 014]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[0,2 013]B ．[0,1)∪(1,2 013]C ．(1,2 014]D ．[－1,1)∪(1,2 013]解析：选B 令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 014]，可知1≤t ≤2 014.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 014，解得0≤x ≤2 013，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 013]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎨⎧ 0≤x ≤2 013，x －1≠0，解得0≤x <1或1＜x ≤2013.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 013]．故选B.4．若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[1,2]C ．[10,100]D ．[0，lg 2]解析：选C 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.角度三：已知定义域确定参数问题5．(xx·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0][类题通法]简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f (g (x ))的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．考点三 求函数的解析式(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式．(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法求出的解析式，不注明定义域往往导致错误．[典题例析](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，求f (x )． 解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1， 又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x >1. (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12. 所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R . (4)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x－1， 将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x x －1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中， 可求得f (x )＝23x ＋13. [类题通法]求函数解析式常用的方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(4)消去法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．[演练冲关]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1，即f (x )＝x 2－1，x ≥1.2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c .又∵方程f (x )＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c ＝0，解得c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.考点四 分段函数(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[提醒] 分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[典题例析]1．已知f (x )＝⎩⎨⎧ log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2， 解得b ＝1.f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.2．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案：－34[类题通法]分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．[演练冲关](xx·榆林二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－x －12， x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]对应B 本课时跟踪检测四一、选择题1．(xx·大同调研)设全集为R ，函数f (x )＝ln 1＋x1－x 的定义域为M ，则∁R M ＝( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]解析：选C 由f (x )＝ln 1＋x 1－x ，得到1＋x1－x >0，即(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1，即M ＝(－1,1)， ∵全集为R ，∴∁R M ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x＋ax ，x ＞1，若f (f (1))＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.43 C ．2D ．4解析：选C ∵f (1)＝2，∴f (f (1))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2.故选C.3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.4．函数f (x )＝10＋9x －x2lg x －1的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使函数f (x )有意义， 则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤10，x ＞1，x ≠2，所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10]．故选D.5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x <A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.6.创新题具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.二、填空题7．(xx·太原月考)已知y ＝f (2x)的定义域为[－1,1]，则y ＝f (log 2x )的定义域是________．解析：∵函数f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴12≤2x≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.答案：[2，4]8．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________. 解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 答案：329．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]10．(xx·岳阳模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x＋a ，x ≥0，g x ，x <0，则f (－2)的值为________．解析：因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝30＋a ＝0，即a ＝－1.所以f (－2)＝g (－2)＝－f (2)＝－(32－1)＝－8.答案：－8 三、解答题11．(1)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式． 解：(1)令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠0且t ≠1)，∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．第二节函数的单调性与最值对应学生用书P15基础盘查一 函数的单调性 (一)循纲忆知1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． (二)小题查验 1．判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( ) (2)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)( )(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( )(4)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________． 答案：[2,4]3．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则k 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 基础盘查二 函数的最值 (一)循纲忆知1．理解函数最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的最值． (二)小题查验 1．判断正误(1)所有的单调函数都有最值( ) (2)函数y ＝1x 在[1,3]上的最小值为13( )答案：(1)× (2)√2．(人教A 版教材例题改编)已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为________．答案：2对应学生用书P15考点一 函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．定义法设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则有： (1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．导数法在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间上单调递增；如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间上单调递减．[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 2．判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2x 1－x 2x 1－1x 2－1，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．[类题通法]对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．[典题例析]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log (x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[类题通法]求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[演练冲关]1．若将典例(1)中的函数变为“y ＝|－x 2＋2x ＋1|”，则结论如何？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．2．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤k ，k ，fx ＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，求函数f k (x )的单调递增区间．解：由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)．考点三 函数单调性的应用(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]函数的最值(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )，x ∈[a ，c ]在x ＝b 处有最大值f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )，x ∈[a ，c ]在x ＝b 处有最小值f (b )．[多角探明]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值. 角度一：求函数的值域或最值 1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 答案：2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小 2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三：解函数不等式3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)解析：选 B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x x －8≤9，解得8＜x ≤9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2解析：选B 由题意可知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －2×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138 . [类题通法]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.对应A 本课时跟踪检测五一、选择题1．(xx·北京高考)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：选B 因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ex ，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B.2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(xx·黑龙江牡丹江月考)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选B 由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又13<12<23<1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.4.创新题定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．故选A.6．(xx·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负解析：选C 由x 1x 2<0不妨设x 1<0，x 2>0. ∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0.由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数．又由f (x )在(－∞，0)上单调递增得，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C.二、填空题7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)，则实数x 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)； 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0. 答案：(－1,0)∪(0,1)8．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)10．使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________________．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2x －2＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2，使其在(3，＋∞)上是增函数， 故4＋k <0，得k <－4. 答案：(－∞，－4) 三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0， 故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第三节函数的奇偶性及周期性对应学生用书P17基础盘查一 函数的奇偶性(一)循纲忆知1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． (二)小题查验 1．判断正误(1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(人教A 版教材习题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________.答案：x (1－x )3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案：13基础盘查二 函数的周期性 (一)循纲忆知了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． (二)小题查验 1．判断正误(1)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期( )(2)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数( )答案：(1)√ (2)√2．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________.答案：－1对应学生用书P18考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]函数的奇偶性的定义如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )[或f (－x )＝－f (x )]，那么函数f (x )就叫做偶函数(奇函数)．[提醒] 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．[题组练透]判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x－3x ＝－(3x －3－x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[类题通法]判定函数奇偶性的常用方法及思路1．定义法：2．图象法：3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二函数的周期性(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[一题多变][典型母题]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015).[解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又∵f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.[题点发散1] 本例条件若改为：设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2.试计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值．解：因为f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2.又f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 014)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝1 008.[题点发散2] 若本例中条件变为“f(x＋2)＝－1f x”，求函数f(x)的最小正周期．解：∵对任意x∈R，都有f(x＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－1f x＋2＝－1－1f x＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．[题点发散3] 在本例条件下，求f(x)(x∈[2,4])的解析式．解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.[类题通法] 1．判断函数周期性的两个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a.(a>0)[提醒] 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．考点三函数性质的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.归纳起来常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.角度一：单调性与奇偶性结合1．(xx·洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A．y＝x2B．y＝2|x|C．y＝log21|x|D．y＝sin x解：选C 函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log21|x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数．综上所述，选C.2．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1， 解得－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1. 即实数m 的取值范围是[－1,1)． 角度二：周期性与奇偶性结合3．(xx·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0)D ．(－1,2)解：选A ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4，故选A.角度三：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11)解：选D ∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．[类题通法]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．对应B 本课时跟踪检测六一、选择题1．(xx·河南信阳二模)函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选 C 易知函数的定义域为{}x |x ≠k π，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝lg |sin(－x )|＝lg |－sin x |＝lg |sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg|sin x |是最小正周期为π的偶函数．2．(xx·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(xx·唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )．则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析：选C 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )．4．(xx·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )。
高考数学文名师讲义：第2章函数、导数及其应用3【含解析】
1．(2013·增城下学期调研)已知函数 f(x)＝x－2，则( A．f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增 C．f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减 D．f(x)为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增
)
1 1 1 解析：f(x)＝ 2，f(－x)＝ ＝ 2＝f(x)是偶函数，在(0，＋∞)单调递减． 2 x －x x 答案：C
第三节
函数的奇偶性与周期性
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 2.了解函数的周期性. 3.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.
知识梳理 一、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及简单性质.
2.若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，反之，也成立． 3．若奇函数 f(x)的定义域包含 0，则 f(0)＝0.
4．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式． 在定义域关于原点对称的情况下， (1)若 f (x)－f(－x)＝0 或 (2)若 f (x)＋f(－x)＝0 或 fx ＝1，则 f(x)为偶函数； f－x fx ＝－1，则 f(x)为奇函数． f－x
5．设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇． 二、函数的周期性 1．周期函数定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任意 x，使得 f(x＋T) ＝f(x)恒成立，则 f(x)叫做________，T 叫做这个函数的________． 2．周期函数的性质：(1)若 T 是函数 f(x)的一个周期，则 kT(k∈Z，k≠0) 也是它的一个周期； T T x＋ x－ (2)f(x＋T)＝ f(x)常写作 f 2 ＝f 2； (3)若 f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为 f(x)的最小正周期； T (4)若周期函数 f(x)的周期为 T， 则 f(ωx)(ω≠0)也是周期函数， 且周期为 . |ω|
高考数学(文)名师讲义：第2章《函数、导数及其应用》(14)【含解析】
上表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2， ＋∞)． (2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)， 令 f′(x)＝0， 得 x1＝0， x2＝ln (2k)， 1 ，1 1－k 1 令 g(k)＝ln (2k)－k， 则 g′(k)＝ －1＝ ＞0， 所以 g(k)在 2 上递增， k k 所以 g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e＜0，从而 ln (2k)＜k，所以 ln (2k)∈ 所以当 x∈(0，ln (2k))时，f′(x)＜0；当 x∈(ln (2k)，＋∞)时，f′(x)＞0； 所以 M＝max{f(0)，f(k)}＝max{－1，(k－1)ek－k3}； 令 h(k)＝(k－1)ek－ k3＋1，则 h′(k)＝ k(ek－ 3k)令 φ(k)＝ek －3k，则 φ′(k)
1．(2012·广东金山一中等三校考前测试)函数 y＝
x 在区间(0,1)上( ln x
)
A．是减函数 C．有极小值
B．是增函数 D．有极大值
ln x－1 ， x∈(0,1)和 x∈(1， e)时， f′(x)<0； x＝e 时， f′(x) ln2 x ＝0；x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.∴在区间 x∈(0,1)，f(x)是减函数，x＝e 时有极 小值 f(e)＝e.故选 A. 解析： ∵f′(x)＝ 答案：A 2．(2013·东莞二模)已知函数 f(x)＝ax2－2x＋ln x. (1)若 f(x)无极值点，但其导函数 f′(x)有零点，求 a 的值； 3 (2)若 f(x)有两个极值点，求 a 的取值范围，并证明 f(x)的极小值小于－ . 2
＝ek－3＜e－3＜0， 1 1 3 ，1 e－ 所以φ(k)在 2 上递减，而φ 2 ·φ(1)＝ 2 ·(e－3)＜0， 1 1 ，1 ，x0 所以存在 x0∈ 2 使得φ(x0)＝0， 且当 k∈ 2 时， φ(k)＞0， 当 k∈(x0,1) 时，φ(k)＜0， 1 ，x0 所以φ(k)在 2 上单调递增，在(x0,1)上单调递减． 1 1 ，1 1 7 因为 h 2 ＝－ e＋ ＞0，h(1)＝0，所以 h(k)≥0 在 2 上恒成立，当且 2 8 仅当 k＝1 时取得“＝”． 综上，函数 f(x)在上的最大值 M＝(k－1)ek－k3.
高考数学(文)名师讲义：第2章《函数、导数及其应用》(13)【含解析】
第十三节导数在研究函数
中的应用(一)
1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．
知识梳理
一、函数的导数与函数的单调性的关系
1．函数单调性的充分条件．
设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为________；如果在这个区间内y′<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为________．
2．函数单调性的必要条件．
设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果函数y＝f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内________；如果函数y＝f(x)在这个区间内为________，那么在这个区间内________．
3．求可导函数的单调区间的一般步骤和方法．
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)计算导数________，令________，解此方程，求出它们在定义域区间内。
高考数学总复习 第二章第13课时 导数的应用课件 新人教版
由上述讨论知， g(x)在区间[1,2]上的最大值 与最小值只能在 x＝ 1， 2， 2 时取得，而 5 4 2 4 g(1)＝ ， g( 2)＝ ， g(2)＝ ，因此 g(x) 3 3 3 4 2 在区间 [1,2]上的最大值为 g( 2)＝ ，最 3 4 小值为 g(2)＝ . 3
【误区警示】
→ 列 g－x＝－g x → 比较系数求 a， b (2) 解方程 f′x＝ 0 → 列出f′x， fx变化表 → 观察表得最值
【解】 (1)由题意得 f′ (x)＝3ax2＋ 2x＋b， 因此 g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax ＋ (3a＋ 1)x ＋ (b＋2)x＋b. 因为函数 g(x)是奇函数，所以 g(－x)＝－ g(x)，
求 a，b 时直接由 g(x)为奇
函数得 3a＋1＝0， b＝ 0，而不用 g(－x)＝ － g(x)．求最值时，不比较 g( 2)、 g(1)、 g(2)，直接得 g( 2)最大．步骤欠缺．
变式训练
已知 f(x)＝ xln x．设实数 a>0，
f x 求函数 F(x)＝ 在 [a,2a]上的最小值． a
1 解：F′ (x)＝ (ln x＋1)，令 F′(x)＝ 0 得 x a 1 1 ＝ ，当 x∈ (0， )时，F′ (x)<0，F(x)单调 e e 1 递减；当 x∈ ( ，＋∞ )时，F′ (x)>0，F(x) e 单调递增．
1 (1)当 a≥ 时， F(x) 在 [a,2a]上单调递增， e F(x)min＝ F(a)＝ ln a； 1 1 1 1 (2)当 a< <2a，即 <a< 时， F(x)在 [a， ] e 2e e e 1 上单调递减， 在[ ， 2a]上单调递增， F(x)min e 1 1 ＝ F( )＝－ ； e ea
高考数学(文)名师讲义：第2章《函数、导数及其应用》(12)【含解析】
第十二节
变化率与导数的概念、导数的运算知识梳理
一、导数的概念
1．平均变化率：已知函数y ＝f (x )，如果自变量x 在x 0处有改变量Δx ，那么函数y 相应地有改变量Δy ＝________________，比值Δy Δx
就叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．
2．函数在x ＝x 0处导数的定义：一般地，设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0的附近改变量为Δx 时，函数值的改变量为______________，如果Δx 趋近于0时，平均变化率__________________趋近于
________________，即____________＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝m ，这个常数m 叫做函数f (x )在点x 0处的________．函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率又称为函1．导数概念及其几何意义．
(1)了解导数概念的实际背景；
(2)理解导数的几何意义．
2．导数的运算．
(1)能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12
，y ＝x 的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。
2020高考数学第二章函数、导数及其应用第12讲导数在研究函数中的应用(第1课时)导数与函数的单调性课件
x －1 [解析] (文)(1)由题意知 a＝0 时，f(x)＝ ，x∈(0，＋∞)． x ＋1 2 1 此时 f′(x)＝ f(1)) 2，可得 f′(1)＝ ，又 f(1)＝0，所以曲线 y＝f(x)在(1， 2 x＋1 处的切线方程为 x－2y－1＝0. a1－x a (2)g(x)＝alnx－ax，g′(x)＝x －a＝ x . 由于 x>0，且 a≠0，故当 a>0 时，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单 调递减； 当 a<0 时，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
第二章
函数、导数及其应用
第十二讲 导数在研究函数中的应用 第一课时 导数与函数的单调性
1
知 识 梳 理
2
3
考 点 突 破
名 师 讲 坛
知 识 梳 理
函数的单调性
> 可导 ，若f′(x)______0 (1)设函数y＝f(x)在某个区间内________ ，则f(x)为增函数，
< 若f′(x)______0 ，则f(x)为减函数．
[解析]
考 点 突 破
考点1 不含参数的函数的单调性——自主练透
例1
1 2 1 (1)函数 f(x)＝2x ＋x 在(0,2)上是 ( D )
A．增函数 B．减函数 C．在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减 D．在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增 1 2 (2)(2018· 福建厦门质检)函数 y＝2x －lnx 的单调递减区间为 A．(－1,1) C．(1，＋∞) B．(0,1] D．(0,2) ( B )
③当－a>2，即a<－2时，
∵0<x<2或x>－a时，f′(x)>0；2<x<－a时，f′(x)<0，
高考数学文名师讲义：第2章函数、导数及其应用1【含解析】
第一节
函数及其表示
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值 域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如 图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
知识梳理 一、函数与映射的概念
函数 两集合 A、B 对应关系 f：A→B
映射
名称 记法 二、函数的表示
称________为从集合 A 称对应________为从集合 A 到集合 B 的一个映射 到集合 B 的一个函数 y＝f(x)，x∈A，x∈B 对应 f：A→B 是一个映射
1．函数的表示方法．
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种． (1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做 函数的解析表达式，简称解析式． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系． (3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 2．函数解析式的常用求法． (1)配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)赋值法． 三、函数定义域的确定 1．定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循“定义域优先” 的原则． 确定函数的定义域的原则是： (1)当函数 y＝f(x)是用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数 x 的集 合； (2)当函数 y＝f(x)是用图象给出时， 函数的定义域是指图象在 x 轴上投影所 覆盖的实数 x 的集合； (3)当函数 y＝f(x)是用解析式给出时，函数的定义域就是指使这个式子有 意义的所有实数 x 的集合； (4)当 y＝f(x)是由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定． 基础自测 1．下列图形中不能作为函数图象的是( )
B 是两个________ 设 A、B 是两个________ 设 A、 如果按照某种确定的对 应关系 f， 使对于集合 A 中的______一个数 x， 在集合 B 中有______确 定的数 f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应 关系 f，使对于集合 A 中 的______一个元素 x，在 集合 B 中有________的元 素 y 与之对应
高考数学第二章 函数、导数及其应用
第二章⎪⎪⎪ 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题体验]1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案：D2．已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( ) A.98 B.94 C.92D ．9解析：选C ∵f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，∴f (3)＝2f ⎝⎛⎭⎫32＝2×⎝⎛⎭⎫322＝92. 3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案：B4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域是________________． 答案：[4,5)∪(5，＋∞)1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几个函数组成．[小题纠偏]1．函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D 若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1； 若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1. 3．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________. 解析：令t ＝1x ，∴x ＝1t .∴f (t )＝1t 2＋5t .∴f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x 2(x ≠0)考点一 函数的定义域 (常考常新型考点——多角探明)[命题分析]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域； (2)求抽象函数的定义域； (3)已知定义域确定参数问题．[题点全练]角度一：求给定函数解析式的定义域 1．(2015·德州期末)y ＝ x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( )A ．(－2,0)∪(1,2)B ．(－2,0]∪(1,2)C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]解析：选C 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)． 2．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]． 答案：(0,2]角度二：求抽象函数的定义域3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．[0,2 015] B ．[0,1)∪(1,2 015] C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015]解析：选B 令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1,2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1＜x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 015]4．若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100]D ．[0，lg 2]解析：选C 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．角度三：已知定义域确定参数问题 5．(2016·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为______________________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0][方法归纳]函数定义域的2种求法考点二 求函数的解析式 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，求f (x )． 解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2. (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1，x >1.(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中， 用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x－1， 将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中， 可求得f (x )＝23x ＋13.[由题悟法][即时应用]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1， 即f (x )＝x 2－1，x ≥1.2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c ＝0，解得c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.考点三 分段函数 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2， 解得b ＝1.f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.2．(2015·山东高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.[由题悟法]分段函数2种题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或－13解析：选C 由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1，所以实数x 0的值为－1或1.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．(6，＋∞) B ．(－3,6) C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)解析：选D 要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6.2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B.74C.43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 答案：145．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题意知f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2， 即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg (x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －10)≤0，①x >1，x ≠2，解①得，－1≤x ≤10.所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．2．(2016·武汉调考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1或－22B ．－22 C ．1D ．1或22解析：选A 因为f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2， 所以f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1.3．(2016·福建四地六校联考)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( )A ．2B ．0C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ② 联立①②得f (1)＝2.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么c 和a 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，①所以必有4<a ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16.5．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.6．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x ∈[0，＋∞)，|sin x |，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________.解析：若a ≥0，由f (a )＝12得，a 12＝12，解得a ＝14；若a <0，则|sin a |＝12，a ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，解得a ＝－π6. 综上可知，a ＝14或－π6.答案：14或－π67．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]8．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ， 即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x9．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2， 得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2， f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2， f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2， 又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：710．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·唐山期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1， ∴－1≤a <12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 2．(2015·北京二模)已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m >n )，映射f 由下表给出：则f (3,5)＝． 解析：由表可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x >x ，∴f (2x ，x )＝2x －x ， 则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x ≤x ＋4成立；当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x ≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x >x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 答案：8 {1,2}3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |答案：B2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12答案：D3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为________．答案：21．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x .3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [小题纠偏]1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减答案：C2．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]考点一 函数单调性的判断 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性． 解：法一(定义法)： 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 法二(导数法)：f ′(x )＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2.又a >0， 所以f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1,1)上为减函数．[谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤： 取值作差(商)变形确定符号(与1的大小)得出结论(2)导数法，其基本步骤： 求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0. 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数． 令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．若将[典例引领](1)中的函数变为“y ＝|－x 2＋2x ＋1|”，则结论如何？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞解析：选B 令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18.因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上单调递减． 所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增． 考点三 函数单调性的应用 (常考常新型考点——多角探明)[命题分析]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 答案：2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2016·哈尔滨联考)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c .角度三：解函数不等式3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x－8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)解析：选B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0, 且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3][方法归纳]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．(2)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2 xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2016·长春市质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 4．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6. 答案：65．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①是幂函数，在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合要求；②中的函数图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移1个单位得到的，函数y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，所以函数y ＝log 12(x ＋1)是(－1，＋∞)上的减函数，故此项符合要求；③中的函数在(－∞，1)上为减函数，(1，＋∞)上为增函数，符合要求；④中的函数在R 上为增函数，不符合要求．2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．(2016·安徽师大附中第二次月考)函数f (x )＝x1－x在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C 函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x 1－x ＝11－x－1，根据函数y ＝－1x 的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log ax ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13D.⎣⎡⎭⎫17，1解析：选C 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13.此时，log a x 是减函数，符合题意．6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.答案：147．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)． 答案：[0,1)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在 ⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2015·浦东一模)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0， 故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第三节 函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．(2015·北京高考)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x答案：B2．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________. 答案：－13．(教材习题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________.答案：x (1－x )1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1考点一 函数奇偶性的判断 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ；(4)(易错题)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时， f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．考点二函数的周期性(题点多变型考点——纵引横联)[典型母题]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又∵f(x)是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝0.[类题通法]1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法．2．周期性3个常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)[越变越明][变式1] 若母题中条件变为“f (x ＋2)＝－1f (x )”，求函数f (x )的最小正周期． 解：∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )的最小正周期为4.[变式2] 若母题条件改为：定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336.[变式3] 在母题条件下，求f (x )(x ∈[2,4])的解析式． 解：当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2， 又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2. ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 故x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.利用函数的周期性，求函数的解析式，应把问题转化为已知区间上的相应问题，即把区间[2,4]转化为[－2,0]上．考点三 函数性质的综合应用 (常考常新型考点——多角探明)[命题分析]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合； (4)单调性、奇偶性与周期性结合．[破译玄机][题点全练]角度一：奇偶性的应用1．已知f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1，则当x <0时，f (x )＝________. 解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴当x <0时，－x >0. 由已知f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋x －1. 答案：x 2＋x －1 2．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数， ∴f (1)＋f (－1)＝0，即(1＋1)(1＋a )1＋(－1＋1)(－1＋a )－1＝0，∴a ＝－1.答案：－1角度二：单调性与奇偶性结合3．(2015·昆明统考)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x解析：选C 函数f (x )＝x 2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f (x )＝2|x |是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f (x )＝sin x 是奇函数，不合题意．4．(2015·刑台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得，f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数、增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则－1<1－a 2<a －1<1，由此解得1<a < 2.角度三：周期性与奇偶性结合5．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1,4) B．(－2,0)C．(－1,0) D．(－1,2)解：选A∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，∴2a－3a＋1＜1，即a－4a＋1＜0，解得－1＜a＜4.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：选D因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．[方法归纳]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·福建高考)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e x C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x解析：选D 对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ，∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e－x为奇函数，故选D.2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.17 B ．－1 C ．1D ．7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.3．(2015·石家庄一模)设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.4．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选C ∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )为偶函数．∵f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )的周期为π.5．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0， f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.。
高考数学(文)名师讲义：第2章《函数、导数及其应用》(4)【含解析】
第四节 一次函数和二次函数知识梳理一、一次函数及其性质函数y ＝ax ＋b (a ≠0)叫做一次函数．当________时，该函数在R 上是增函数；当________时，该函数在R 上是减函数．由于一次函数是单调函数，故其在闭区间上的最大值、最小值一定在端点处取得．若函数f (x )＝ax ＋b 在x ∈时恒为正(负)，则在p ，q 处的函数值满足________________．若函数f (x )＝ax ＋b 在x ∈上与x 轴有交点，则在p ，q 处的函数值满足________．二、二次函数定义及其性质1．二次函数的定义：_______________________________. 2．二次函数的三种表示形式． (1)一般式：________________；1．熟练掌握二次函数的图象，并能求给出了某些条件的二次函数的解析式．2．掌握二次函数的单调性，会求二次函数的单调区间． 3．会求二次函数的最值．4．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．(2)顶点式：________________；(3)零点式：________________.3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质．(1)定义域为R.当a>0时，值域为_______________________；当a<0时，值域为________________．(2)图象是抛物线，其对称轴方程为________，顶点坐标是________．(3)当a>0时，开口向______；当a<0时，开口向______．(4)当a>0时，在区间______上是增函数，在区间______上是减函数；当a<0时，在区间________上是增函数，在区间________上是减函数．(5)当________时，该函数是偶函数；当________时，该函数是非奇非偶函数．4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在闭区间(p<q)上的最值问题(以a>0的情形为例)．(1)若q≤－b2a，则该函数的最大值为________，最小值为________．(2)若p＋q2≤－b2a<q，则该函数的最大值为________，最小值为________．(3)若p≤－b2a<p＋q2，则该函数的最大值为________，最小值为________．(4)若p>－b2a，则该函数的最大值为________，最小值为________．三、一元二次方程根的分布问题研究一元二次方程的根的分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑：(1)一元二次方程根的判别式；(2)相应二次函数区间端点函数值的符号；(3)相应二次函数图象——抛物线的对称轴x ＝－b2a 与端点的位置关系．设x 1，x 2是实系数二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两实根，则二、1.形如 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)的函数叫做二次函数2．(1)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)3．(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a(2)x ＝－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a (3)上 下(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a ，＋∞ ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a ，＋∞ (5)b ＝0 b ≠04．(1)f (p ) f (q ) (2)f (p ) f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－b 2a (3)f (q )f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－b 2a (4)f (q ) f (p ),基础自测1．(2012·柳州模拟)已知函数y ＝x 2－4ax (1≤x ≤3)是单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B ．(－∞，1] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：对称轴为x ＝2a ，依题意，对称轴应在区间的左侧(包括左端点)．所以2a ≤1，得a ≤12.故选A.答案：A2. “a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0有一个负数根”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＜0，则由ax 2＋1＝0得x 2＝－1a ，即x ＝± －1a ，所以方程有一个负根；反之，若方程有一个负根，设为x 0，则a＝－1x 20＜0.所以“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0有一个负数根”的充要条件．故选B.答案：B3．(2013·揭阳一中段考)若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．{a |a ＝－1或a ＝3}B ．{－1}C ．{a |a ＞3或a ＜－1}D ．{a |－1＜a ＜3}解析：依题意知函数f (x )为一次函数，所以a 2－2a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝3.当a ＝3时，f (x )＝1，值域不为R ，故舍去．故选B.答案：B解析：函数图象的对称轴为x ＝a ，当a ≤2或a ≥3时，函数在(2,3)内是单调函数．答案：(－∞，2]∪上是减函数B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上是减函数 C ．f (x )在区间(－∞，1]上是增函数D ．f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上是增函数4．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是_解析：因为f (1＋x )＝f (－x )，所以对称轴是x ＝12.所以f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上是减函数．故选B. 答案：B2．函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )＜0，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，－4)C ．(－4,0)D ．(－4,0]解析：当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )＜0； 当a ≠0时，因为f (x )在R 上恒有f (x )＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋4a ＜0，得－4＜a ＜0.综上可知：－4＜a ≤0. 答案：D。
高考数学(文)名师讲义：第2章《函数、导数及其应用》(8)【含解析】
第八节反比例函数与幂函数1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．知识梳理一、反比例函数1．定义：形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数叫做________函数，其定义域为{x|x∈R且x≠0}．2．反比例函数的图象和性质．(1)图象：双曲线，它们的渐近线是两条坐标轴，对称中心是________．(2)性质：当k >0时，函数在区间()－∞，0和()0，＋∞上是减函数；当k <0时，函数在区间________和________上是增函数．二、 幂函数1．定义：形如y ＝x α(α是常数，x 是自变量)的函数叫做幂函数．其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数α取值的不同而不同．2．幂函数的图象(如右图)．一、1.反比例 2.(1)原点(0,0)(2)(－∞，0)(0，＋∞)二、3.{x|x≠0}{y|y≥0}奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数(0，＋∞)(－∞，0)(－∞，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)基础自测1．函数y＝x－1的图象可看成是由幂函数y＝x的图象()A．向左平移1个单位长度得到B．向右平移1个单位长度得到C．向上平移1个单位长度得到D．向下平移1个单位长度得到解析：y＝x＝x.故选B.答案：B2α部分对应值见下表：则不等式f(|x|)≤2的解集是()A．{x|0<x≤2}B．{x|0≤x≤4}C．{x|－2≤x≤2}D．{x|－4≤x≤4}⎝⎭其解集为{x|－4≤x≤4}．故选D.答案：D3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________．解析：由m2－3m＋3＝1且m2－m－2≤0，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合．答案：1或24．函数f(x)＝1x＋2＋1图象的对称中心的坐标是___________________．解析：因为y＝1x的对称中心是(0,0)，将y＝1x的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到f(x)＝1x＋2＋1的图象，所以f(x)＝1x＋2＋1图象的对称中心是(－2,1)．答案：(－2,1)1．函数y ＝x 的图象是( )解析：取x ＝18，－18，则y ＝12，－12，选项B ，D 符合；取x ＝1，则y ＝1，选项B 符合题意．故选B.答案： B2．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是______．解析：设经过原点的直线与函数的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－2x ，则PQ ＝ (2x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2≥4，当且仅当2x ＝4x ，即x ＝±2时取等号． 答案：41. (2012·河南四校联考)已知函数f (x )＝x ＋mx ，x ∈(0，＋∞)(m >0)，若不等式f (x )<4的解集非空，则( )A ．m ≥4B ．m ≥2C ．m <4D ．m <2解析：因为f (x )＝x ＋m x ，x ∈(0，＋∞)(m >0)，所以f (x )＝x ＋mx ≥2m ，即函数f (x )min ＝2m ，若不等式f (x )＜4有解，则有2m <4，解得m <4.故选C.答案：C2. (2012·青岛期末)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．有下列函数：①f (x )＝x ＋1x (x >0)；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；④φ(x )＝ln x ．其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．②④D ．①④解析：g (x )＝x 3通过点(1,1)，(2,8)等，故不是一阶整点函数；h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x通过点(－1,3)，(－2,9)等，故不是一阶整点函数．故选D. 答案：D。
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第13节导数与函数的综合问题课件文北师大版
第十三节 导数与函数的综合问题
01
栏
目 导
02
航
课堂题型全突破 真题自主验效果
课堂 题型全突破
导数与不等式 ►考法 1 证明不等式 【例 1】 已知函数 f(x)＝x＋aex(a∈R)． (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)当 x＜0，a≤1 时，证明：x2＋(a＋1)x＞xf′(x)．
所以当 t＝10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值， 所以 g(t)min＝300， 此时 f(t)min＝15 3. 故当 t＝10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米．
[规律方法] 利用导数解决生活中的实际应用问题的 4 步骤
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚 度)．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假 设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底 面的建造成本为 1 60 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率)．
x (－∞，－2)
f′(x)
＋
f(x)
↗
－2 －2，－32
0
－
c
↘
－23 0 c－3227
－32，＋∞ ＋
↗
所以，当 c＞0 且 c－3227＜0，存在 x1∈(－4，－2)，x2∈－2，－32， x3∈－32，0，使得 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.
由 f(x)的单调性知，当且仅当 c∈0，3227时，函数 f(x)＝x3＋4x2 ＋4x＋c 有三个不同零点．
[规律方法] 利用导数研究方程根的方法 (1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大 值、最小值、变化趋势等． (2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最) 值的位置． (3)可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个 清晰、直观的整体展现．
版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第13讲抽象函数配套课件理.ppt共29页
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
版高考数学一轮复习第二章函数导数及其 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 应用第13讲抽象函数配套课件理.ppt
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
高考数学(文)名师讲义：第2章《函数、导数及其应用》(11)【含解析】
2.解函数应用问题的步骤．
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(2)三种增长型函数之间增长速度的比较.
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)
单调________函数
单调________函数
单调________函数
上的单调性
图象的变化
随x值增大，图象与________轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近________
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(单位：cm2)最大，试问：x应取何值？
(2)若厂商要求包装盒的容积V(单位：cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解析：(1)根据题意有S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2＝－8(x－15)2＋1 800(0<x<30)，
再由已知得 解得
故函数v(x)的表达式为v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20＜x≤200时，f(x)＝ x(200－x)≤ 2＝ ，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝10Leabharlann 时，f(x)在区间上取得最大值 .
解析：由表格数据逐个验证知，模拟函数为y＝a＋bx.故选B.
高考数学(文)名师讲义：第2章《函数、导数及其应用》(2)【含解析】
第二节 函数的单调性与最大(小)值知识梳理一、函数单调性的定义1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.会求一些简单函数的值域.4.理解函数的最大值、最小值及其几何意义.基础自测1．(2013·珠海二模)下列函数在其定义域上是增函数的是()A．y＝tan x B．y＝－3xC．y＝3x D．y＝ln |x|解析：y＝tan x只在其周期内单调递增、y＝－3x在R上单调递减、y＝3x在R上单调递增、y＝ln |x|在(－∞、0)上单调递减、在(0、＋∞)上单调递增．答案：C2．(2013·海淀区一模)已知a＞0、下列函数中、在区间(0、a)上一定是减函数的是()A．f(x)＝ax＋bB．f(x)＝x2－2ax＋1C．f(x)＝a xD．f(x)＝log a x解析：a＞0时、函数f(x)＝ax＋b、为增函数；对于函数f(x)＝a x、当0＜a＜1时、在R上为减函数、当a＞1时、在R上为增函数；对于f(x)＝log a x,0＜a＜1时、在(0、＋∞)上为减函数；当a ＞1时在(0、＋∞)上为增函数；对于函数f(x)＝x2－2ax＋1、图象是开口向上的抛物线、对称轴为x＝a、所以该函数在区间(0、a)上一定是减函数、所以选项B对. 故选B.答案：B3．若函数f(x)＝x2－2x＋m在、则f(x)在区间(a、b)上为增函数(减函数)；反之、若f(x)在区间(a、b)内为增函数(减函数)、则f′(x)≥0．请注意两者的区别所在．三、求函数单调区间的方法定义法、导数法、图象法．四、函数的最大值、最小值一般地、设函数y＝f(x)的定义域为A、如果∃M∈R、满足：(1)对∀x∈A、恒有f(x)≤M；(2)∃x0∈A、使得f(x0)＝M、则称M 是函数y＝f(x)的___________________________．五、求函数值域(最值)的各种方法因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的、故其类型依解析式的特点可分为三类：(1)求常见函数的值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．无论用什么方法求函数的值域、都必须首先考虑函数的定义域．具体的方法有：①直接法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤三角函数有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法；⑧数形结合法；⑨导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决)．1．(2013·重庆卷)y ＝(3－a )(a ＋6) (－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3D.322解析：因为y ＝(3－a )(a ＋6)＝18－3a －a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814、所以当a ＝－32时、y ＝(3－a )(a ＋6)的值最大、最大值为92.答案：B2．(2013·大纲全国卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数、则a 的取值范围是( )一、f (x 1)＜f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 逐渐上升 逐渐下降 二、1.(1)是给定区间内的任意两个值(2)f (x 1)－f (x 2) (4)f (x 1)－f (x 2)的正负 四、1.复合函数 y ＝f (g (x )) 五、最大值(或最小值)A．B．D．上的值域是、则m＋n的取值范围是()A．B．C．D．解析：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4、∴f(2)＝4.又由f(x)＝－5、得x＝－1或5.由f(x)的图象知：－1≤m≤2,2≤n≤5.因此1≤m＋n≤7.答案：A2．(2012·宁波期末)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数、且f(1)＝0、函数g(x)在(－∞、1]上为增函数、在[1、＋∞)上为减函数、且g(4)＝g(0)＝0、则集合{x|f(x)g(x)≥0}＝()A．{x|x≤0或1≤x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：由题、结合函数性质可得x＞1时、f(x)＞0；x＜0时、f(x)＜0；x＜0或x＞4时、g(x)＜0；0＜x＜4时、g(x)＞0、故f(x)g(x)≥0的解集为{x|x≤0或1≤x≤4}．故选A.答案：A。
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第十三节导数在研究函数中的应用(一)1、了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性、会求函数的单调区间、对多项式函数一般不超过三次、2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值、对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值、对多项式函数一般不超过三次、知识梳理一、函数的导数与函数的单调性的关系1、函数单调性的充分条件、设函数y＝f(x)在某个区间内有导数、如果在这个区间内y′>0、那么函数y＝f(x)在这个区间内为________；如果在这个区间内y′<0、那么函数y＝f(x)在这个区间内为________、2、函数单调性的必要条件、设函数y＝f(x)在某个区间内有导数、如果函数y＝f(x)在这个区间内为增函数、那么在这个区间内________；如果函数y＝f(x)在这个区间内为________、那么在这个区间内________、3、求可导函数的单调区间的一般步骤和方法、(1)确定函数f(x)的定义域、(2)计算导数________、令________、解此方程、求出它们在定义域区间内的一切实根、(3)把函数f(x)的间断点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来、然后用这些点把f(x)的定义域分成若干个小区间、(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号、根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间的增减性、二、函数的极值1、函数极值的定义、一般地、设函数f(x)在点x0附近有定义、如果对x0附近的所有的点、都有f(x)＜f(x0)、就说f(x0)是____________、记作____________、x0是________、如果对x0附近的所有的点、都有f(x)＞f(x0)、就说f(x0)是______________、记作______________、x0是极小值点、极大值与极小值统称为________、2.判别f(x0)是极大值、极小值的方法、若x0满足f′(x0)＝0、且在x0的两侧f(x)的导数异号、则x0是f(x)的极值点、f(x0)是极值、并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”、那么x0是f(x)的________、f(x0)是________；如果f′(x)在x0两侧满足“________”、那么x0是f(x)的极小值点、f(x0)是极小值、3、求可导函数f(x)的极值的步骤、(1)确定函数的定义区间、求导数________、(2)求方程________的根、(3)用函数的导数为0的点和函数定义域的边界点、顺次将函数的定义域分成________、并列成表格、检查f′(x)在________________、如果________、那么f(x)在这个根处取得极大值；如果________、那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右______、那么f (x )在这个根处______、三、函数的最大值与最小值1、函数的最大值与最小值、在闭区间[]a ，b 上图象连续不断的函数f (x )在[]a ，b 上________最大值与最小值、2、利用导数求函数的最值的步骤、设函数f (x )在(a 、b )内可导、在闭区间[]a ，b 上图象连续不断、求函数f (x )在[]a ，b 上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f (x )在(a 、b )内的________；(2)将f (x )的各________与________比较、得出函数f (x )在[]a ，b 上的最值、其中最大的一个是最大值、最小的一个是最小值、一、1.增函数 减函数 2.y ′≥0 减函数 y ′≤03、(2)f ′(x ) f ′(x )＝0二、1.函数f (x )的一个极大值 y 极大值＝f (x 0) 极大值点 函数f (x )的一个极小值 y 极小值＝f (x 0) 极值2、极大值点 极大值 左负右正3、(1)f ′(x ) (2)f ′(x )＝0 (3)若干小开区间 方程根左右的值的符号 左正右负 左负右正 不改变符号 无极值三、1.必有 2.(1)极值 (2)极值 f (a )、f (b )基础自测1、函数y ＝x sin x ＋cos x 在(π、3π)内的单调增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，3π D 、(π、2π)解析：∵y ＝x sin x ＋cos x 、∴y ′＝x cos x .当x ∈(π、3π)时、要使y ′＝x cos x ＞0、只要cos x ＞0、结合选项知、只有B 满足、答案：B2. (2013·四川南充二模)设函数f (x )在R 上可导、其导函数为f ′(x )、且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值、则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：因为函数f (x )在x ＝－2处取得极小值、所以、当x ＜－2时、f ′(x )＜0、所以xf ′(x )＞0；当－2＜x ＜0、f ′(x )＞0、所以xf ′(x )＜0.故选C.答案：C3、(2012·哈尔滨三中月考)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间上不单调、则实数a 的取值范围是________、解析：∵f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5、∴f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1.如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间上单调、那么a －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0，解得a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)、答案：(－3,1)4、函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝______处取得极小值、答案：21、(2012·陕西卷)设函数f (x )＝x e x 、则( )A 、x ＝1为f (x )的极大值点B 、x ＝1为f (x )的极小值点C 、x ＝－1为f (x )的极大值点D 、x ＝－1为f (x )的极小值点解析：f ′(x )＝(x ＋1)e x 、令f ′(x )＝0、得x ＝－1、x <－1时、f ′(x )<0、f (x )＝x e x 为减函数；x >－1时、f ′(x )>0、f (x )＝x e x 为增函数、所以x ＝－1为f (x )的极小值点、故选D.答案：D2、(2013·北京卷)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a 、f (a ))处与直线y ＝b 相切、求a 与b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点、求b 的取值范围、解析：(1)由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x 、得f ′(x )＝x (2＋cos x )、因为y ＝f (x )在点(a 、f (a ))处与直线y ＝b 相切、所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0且b ＝f (a )、则a ＝0、b ＝f (0)＝1.(2)令f ′(x )＝0、得x ＝0.所以当x >0时、f ′(x )>0、f (x )在(0、＋∞)递增、当x <0时、f ′(x )<0、f (x )在(－∞、0)上递减、所以f (x )的最小值为f (0)＝1.由于函数f (x )在区间(－∞、0)和(0、＋∞)上均单调、所以当b >1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点、所以b 的取值范围是(1、＋∞)、1、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ln x ，x >0，x ln (－x )，x <0.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求f (x )的单调区间；(3)若关于x 的方程f (x )＝k 恰有三个不同的根、求实数k 的取值范围、解析：(1)当x >0时、－x <0、∵f (x )＝x ln x 、f (－x )＝－x ln x 、∴f (－x )＝－f (x )、当x <0时、－x >0、∵f (x )＝x ln(－x )、f (－x )＝－x ln(－x )、∴f (－x )＝－f (x )、∴f (x )是奇函数、(2)当x >0时、f (x )＝x ln x 、f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1、令f ′(x )<0、得 0<x <1e 、∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时、f (x )是减函数、 令f ′(x )>0、得 x >1e 、∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时、f (x )是增函数、 又 f (x )是奇函数、∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0时、f (x )是减函数、 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时、f (x )是增函数、 ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 、单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 、⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. (3)考查f (x )的图象变化、由(2)知、当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时、f (x )由0递减到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e 、当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时、f (x )由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 递增到＋∞、 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时、f (x )由－∞递增到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ＝1e 、 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0时、f (x )由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 递减到0、∵方程f (x )＝k 恰有三个不同的根、∴f (x )的图象与y ＝k 的图象应有3个不同的交点、∴－1e <k <0或0<k <1e .∴实数k的取值范围⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e2、(2013·惠州一模改编)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1在x ＝3处的切线方程为y ＝5x －8.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k e x 恰有两个不同的实根、求实数k 的值、解析：(1)由f (x )＝ax 2＋bx ＋1、所以f ′(x )＝2ax ＋b 、因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1在x ＝3处的切线方程为y ＝5x －8、所以切点为(3,7)、则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(3)＝6a ＋b ＝5，f (3)＝9a ＋3b ＋1＝7，解得a ＝1、b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1；(2)由(1)知f (x )＝x 2－x ＋1、关于x 的方程f (x )＝k e x 恰有两个不同的实根、即x 2－x ＋1＝k ·e x 有两个不同的实根、也就是k ＝e －x (x 2－x ＋1)有两个不同的实根、令g (x )＝e －x (x 2－x ＋1)、 则g ′(x )＝(2x －1)e －x －(x 2－x ＋1)e －x ＝－(x 2－3x ＋ －(x －1)(x －2)e －x 由g ′(x )＝0、得x 1＝1、x 2＝2.所以当x ∈(－∞、1)时、g ′(x )＜0、g (x )在(－∞、1)上为减函数；当x ∈(1,2)时、g ′(x )＞0、g (x )在(1,2)上为增函数；当x ∈(2、＋∞)时、g ′(x )＜0、g (x )在(2、＋∞)上为减函数；所以、当x ＝1时、g (x )取得极小值g (1)＝1e 、当x ＝2时函数取得极大值g (2)＝3e 2.函数y ＝k 与y ＝g (x )的图象的大致形状如上、由图象可知、当k ＝1e 和k ＝3e 2时、关于x 的方程f (x )＝k e x 恰有两个不同的实根、 2)e -x =。