七年级下册数学冀教版 第11章 因式分解 全章热门整合应用
冀教版数学七年级下册：11.1因式分解课件
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. 所以mn=﹣5×20=﹣100．
5. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1） (x+9)，求a+b的值.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为 互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开， 再与多项式的各项系数对应比较即可.
练一练
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的
是（ B ）
A．x2﹣y2
B．﹣x2+y2
C．x2+y2
D．﹣x2﹣y2
当堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 （C ）
问题1：视察同一行中，左右两边的等式有什么区 分和联系？ 联系：左右两式是同一多项式的不同表现情势. 区分：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多 项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
总结归纳
像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的 情势，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项 式分解因式.
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n）， 5
则m+n的值为 2．
解析：由题意可得 x2+4mx+5=（x+5）（x+n） =x2+（n+5）x+5n， 5n=5，4m=n+5． 解得n=1，m= 3 ，
冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》(同步教学设计)
冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》（同步教学设计）单元备课第 11单元本单元所需课时数5课时课标要求1.在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义。
2.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式。
3.引导学生经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识的内在联系。
4.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中，进一步发展学生观察、归纳和概括的能力，发展学生的运算能力和推理能力。
教材分析本章内容主要用于代数式的恒等变形，是数与代数知识后续学习的基础。
因式分解是以整式运算为基础的，是整式的一种恒等变形，也是后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础.同时,它还有助于进一步发展学生的观察、发现、归纳和概括的能力以及分析问题和解决问题的能力。
主要内容本章的主要内容是因式分解的概念和分解因式的两种方法.提公因式法是分解因式最基本的方法,它实质上是单项式和多项式或多项式和多项式相乘的逆过程。
公式法是逆用整式的乘法公式，对某些多项式进行分解因式的方法。
教学目标1.在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义。
2.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式。
3.引导学生经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识的内在联系。
4.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中，进一步发展学生观察、归纳和概括的能力，发展学生的运算能力和推理能力。
课时分配11.1 因式分解 1课时11.2 提公因式法 1课时11.3 公式法 2课时教学活动回顾与反思 1课时教与学建议1.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯。
因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系。
在因式分解概念教学时,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的活动中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会提公因式法因式分解与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系，领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”，从而培养学生逆向思考。
冀教版七年级下册数学第11章 因式分解 用完全平方公式分解因式
2
知3－讲
总结
知2－讲
因式分解时，要注意综合运用所学的分解方法， 常用的分析思路是：①提公因式法；②公式法．有 时，需要反复利用公式法因式分解，直至每一个因式 都不能分解为止．注意综合利用乘法公式，既用到平 方差公式又用到完全平方公式．
知2－练
1 把下列各式分解因式： (1)6xy－x2－9y2；(2)－m3＋2m2－m； (3)3x2－6x＋3； (4)4xy2＋4x2y＋y3.
知2－练
2 把下列各式分解因式： (1)x2－6x(y－z)＋9(y－z)2； (2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c2.
解：(1)x2－6x(y－z)＋9(y－z)2＝x2－2·x·3(y－z)＋[3(y －z)]2＝[x－3(y－z)]2＝(x－3y＋3z)2.
(2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c2＝(a＋b－2c)2.
知2－练
6 把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( C ) A．(x－y)2B．(－x－y)2 C．－(x－y)2D．－(x＋y)2
7 把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的 结果为C( ) A．(3a－b)2B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2D．(3a＋b)2
解：(1) ax2＋2a2x＋a3；
＝a(x2＋2ax＋a2)
＝a(x＋a)2.
(2) (x＋y)2－4(x＋y)＋4.
＝ (x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22
＝ (x＋y－2)2.
(3) (3m－1)2＋(3m－1)＋1
4 ＝ (3m－1)2－2·(3m－1)·
＝
3m
1 2
2
.
1 2
1 2
例1 判断下列多项式是否为完全平方式．
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第十一章 因式分解
11.1 因式分解
学习目标 1.理解因式分解的意义和概念; 2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
导入新课
回顾与思考
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？
6＝2×3
问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式 ？ 2
(3)因为(x+1)(x+2)= x2+3x+2，
所以因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确.
辩一辩 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b)=ax﹣bx × B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c ×
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”， 例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17 ，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称 这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中
的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干
素数的乘积的形式．
例如 12 2 2 3
① 30 2 3 5
2.把下列多项式因式分解 ： 2 1 x 4
②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公 因数为 23 6
12 进而很容易把分数 30
约分：分子与分母同除
以6，得 12
2 30 5
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项
式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块” 的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的 乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
精编冀教版数学七年级下册 第十一章 因式分解
七年级数学·下新课标[冀]第十一章因式分解1.在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义.2.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式.引导学生经历探索分解因式方法的过程,体会数学知识的内在联系.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中,进一步发展学生观察、归纳和概括的能力,发展学生的运算能力和推理能力.本章的主要内容是因式分解的概念和分解因式的两种方法.提公因式法是分解因式最基本的方法,它实质上是单项式和多项式或多项式和多项式相乘的逆过程.公式法是逆用整式的乘法公式,对某些多项式进行分解因式的方法.因式分解主要用于代数式的恒等变形,是数与代数知识后续学习的基础.因式分解是以整式运算为基础的,是整式的一种恒等变形,也是后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础.同时,它还有助于进一步发展学生的观察、发现、归纳和概括的能力以及分析问题和解决问题的能力.无论是建立因式分解的概念,还是探索因式分解的方法,教材都精心创设了具有启发性的问题情境,给学生留出了充分探索与交流的空间,突出了学生的主体地位.单元教材设计关注学生已有的经验,突出了知识的形成过程.【重点】领会因式分解的概念和意义,掌握因式分解的两种基本方法.【难点】理解因式分解和整式乘法的互逆关系.1.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯.因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系.在因式分解概念教学时,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的活动中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会提公因式法因式分解与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系,领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”,从而培养学生逆向思考.2.对因式分解的理解以及方法的掌握是一个不断加强、提升的过程.因此教学中要依据教材的要求,适当地分阶段进行必要的训练,使学生在理解每一步算理的基础上提高因式分解的技能.教学中要避免过于繁琐的运算,不要过分追求题目的数量与难度.回顾与反思1课时11.1因式分解1.了解多项式的因式分解的意义,知道因式分解与整式乘法之间的区别和联系.2.感受因式分解在解决相关问题中的作用.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化与化归的能力,培养学生的分析问题能力与综合应用能力.培养学生勇于探索的精神和实事求是的科学态度.【重点】因式分解的概念和意义.【难点】因式分解与整式乘法之间的区别和联系.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P142~143.导入一:观察下面几个多项式的乘法算式(教材章前内容):ma+mb=m(a+b)a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2思考:多项式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.反过来,你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形式吗?[设计意图]教材章前图表达了本章将要学习的核心内容——因式分解.图中用符号语言反映了整式相乘的过程与分解因式的过程的互逆关系,让学生感受到因式分解的本质特征.导入二:问题:下列简便运算怎样进行?(1)736×95+736×5;(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.[设计意图]观察实例,分析共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生的,但学生对用简便方法进行计算相当熟悉.引入这一步的目的旨在设计问题情境,复习知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算,即为因式分解这一特殊算法,通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上,从而为因式分解的掌握和理解打下基础.[过渡语]在小学阶段,我们由数的乘法运算获得启发,建立了因数的概念.类似地,我们是否可以探索思路一1.观察下面计算20112-2011×2010和372-362的过程,哪种更简便?问题:(1)小明用的什么方法?(根据乘方的意义直接进行计算.)(2)小亮的第一个算式用了什么方法?(乘法对加法的分配律的逆用.)(3)小亮的第二个算式用了什么方法?(平方差公式.)2.多项式的因式分解.(1)观察下面三个算式:x(x-2)=x2-2x,(x+y)(x-y)=x2-y2,(x+1)2=x2+2x+1.(2)上面三个算式能反过来,写成整式乘积的形式吗?可以.x2-2x=x(x-2),x2-y2=(x+y)(x-y),x2+2x+1=(x+1)2.3.总结因式分解的概念.像这样,把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,叫做多项式的因式分解,也叫做将多项式分解因式,其中每个整式都叫做这个多项式的因式.思路二观察下面的拼图过程,写出相应关系式.(1)=(2)=答案:(1)ma+mb+mc m(a+b+c)(2)x2+2x+1(x+1)2像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.[设计意图]以拼图前后面积不变的方式,丰富学生对因式分解的理解,形象地说明因式分解是整式的恒等变形,有助于发展学生的几何直观,对学生的思维发展具有实际价值.学生通过观察,给出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理都应给予鼓励.计算下列式子.(1)3x(x-1)=;(2)m(a+b-1)=;(3)(m+4)(m-4)=;(4)(y-3)2=;根据上面的算式填空.(1)3x2-3x=;(2)ma+mb-m=;(3)m2-16=;(4)y2-6y+9=.思考:因式分解与整式的乘法有什么关系?举例说明.[设计意图]通过两组互逆关系的练习,类比两种不同的逆运算,进一步让学生体会什么是分解因式,这个时候,分解因式的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维能力.2.总结多项式的乘法和因式分解的关系(1)多项式相乘的结果是什么?(两个多项式相乘的结果是一个多项式,相乘的过程是多项式中的单项式与单项式相乘.)(2)一个多项式进行因式分解的结果是什么?(将一个多项式进行因式分解的结果是若干个整式的乘积,因式分解的过程是这个多项式分解成若干个整式乘积的形式.)(3)因式分解和整式的乘法之间是什么关系?多项式的因式分解与乘法运算是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积,而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见,多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程,如图所示.活动3做一做1.下列各式中,从等号左边到右边的变形,哪些是多项式的因式分解?(1)x2-4=(x+2)(x-2);(2)x2+4x+4=(x+2)2;(3)7m+14n=7(m+2n);(4)x(y+1)=xy+x.处理方式:教师指导、学生交流合作完成.答案:(1)(2)(3)是,(4)不是.2.下列对多项式的变形,哪些是因式分解?是因式分解的,指出它的各因式.(1)x2-x=x(x-1);(2)10x+5y=5(2x+y);(3)a2-1=(a+1)(a-1);(4)x2-2x+1=(x-1)2.处理方式:教师指导、学生交流合作完成.答案:(1)(2)(3)(4)都是.(1)中的因式为x,x-1;(2)中的因式为5,2x+y;(3)中的因式为a+1,a-1;(4)中的因式为x-1,x-1.[知识拓展]对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能再分解为止.1.把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.2.分解因式与整式乘法是互逆过程.1.各式从左到右的变形中,是因式分解的为()A.x(a-b)=ax-bxB.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2C.x2-1=(x-1)(x+1)D.ax+bx+c=x(a+b)+c解析:由因式分解的定义知,左边是多项式,右边是因式分解乘积的形式.故选C.2.若6x2+ax+10=(3x+2)(2x+5),则a=.解析:根据因式分解与整式乘法是互逆运算的关系,本题可先将(3x+2)(2x+5)展开,得到一个二次多项式,再与6x2+ax+10比较可得a的值,(3x+2)(2x+5)=6x2+4x+15x+10=6x2+19x+10,因为6x2+ax+10=(3x+2)(2x+5),所以a=19.故填19.3.若42x2-31x+2能分解成两个因式的乘积且有一个因式为6x-4,设另一个因式为mx-n,其中m,n为常数,请你求出m,n的值.解:(6x-4)(mx-n)=6mx2-4mx-6nx+4n=6mx2-(4m+6n)x+4n,由题意可得42x2-31x+2=6mx2-(4m+6n)x+4n,所以解得11.1因式分解活动1感知因式分解活动2整式的乘法与因式分解的关系活动3做一做一、教材作业【必做题】教材第143页练习的第1,2题.【选做题】教材第143页习题的第2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是()A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x2.若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2),试求a,b的值.3.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些不是因式分解?为什么?(1)12a2b=3a·4ab;(2)(x+3)(x-3)=x2-9;(3)4x2-8x-1=4x(x-2)-1;(4)2ax-2ay=2a(x-y);(5)a2-4ab+b2=(a-2b)2.【能力提升】4.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.4(x-y)=4x-4yB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)5.多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则m=,n=.6.如果用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,交换这个两位数的十位数字和个位数字后,得到一个新的两位数,则这两个两位数的和一定能被11整除,为什么?【拓展探究】7.两位同学将一个二次三项式因式分解,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4),请求出原多项式.【答案与解析】1.C(解析:根据因式分解就是把一个多项式化成几个整式的积的形式,利用排除法求解.A是多项式乘法;B中等号的右边不是积的形式,x2-4x+4=(x-2)2;D中等号的右边不是积的形式.)2.解:由题意得x2+ax+b=(x+1)(x-2),而(x+1)(x-2)=x2-x-2,所以x2+ax+b=x2-x-2,比较两边系数,可得a=-1,b=-2.3.解:(1)不是因式分解,因边等号左边必须是一个多项式,而12a2b是单项式;(2)不是因式分解,因为等号左边(x+3)(x-3)是积的形式,右边x2-9是一个多项式,不符合因式分解的定义;(3)不是因式分解,因为等号左边虽然是一个多项式,但是等号右边的4x(x-2)-1不是整式的积的形式;(4)是因式分解,因为等号左边2ax-2ay是一个多项式,且等号右边2a(x-y)是整式的积的形式,且左边=右边;(5)不是因式分解,因为因式分解是多项式的恒等变形,左、右两边必须相等,而此题左边=a2-4ab+b2,右边=(a-2b)2=a2-4ab+4b2.因为左、右两边不相等,即不是恒等变形,所以不是因式分解.4.D(解析:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,结合选项进行判断即可.A,B,C中等号的右边均不是整式积的形式,不是因式分解,故A,B,C均错误,只有D项符合因式分解的定义.)5.61(解析:根据因式分解与整式乘法是互逆过程的关系解题.因为(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n,所以x2+mx+5=x2+(n+5)x+5n,所以所以)6.解:设原两位数为10a+b,则新两位数为10b+a,两数之和为(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b),因为a,b均为整数,所以a+b为整数,所以11(a+b)能被11整除.7.解:设原多项式为ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0),因为2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x2-20x+18,所以a=2,c=18,又因为2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8)=2x2-12x+16,所以b=-12,所以原多项式为2x2-12x+18.本节课以学生的思维进程发展为主线,采用逐步渗透,螺旋式类比方法,在概念引入时,从分解因数到分解因式的类比,到概念强化阶段,又以整式乘法与分解因式的过程类比,因式分解过程中正反两例的类比,逐渐加深学生的认识,主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入,到后来环节中多次提出思考性的问题,启发、引导学生做进一步的猜想、探究,这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识.本课的设计,过多强调学生用高度抽象的语言来描述概念.在例题的讲解过程中,没有让学生尝试自己独立完成.因式分解作为多项式乘法的逆运算过程,学生通过观察即可发现,因此在课堂教学的过程中,要给予学生更多的参与机会,习题可以让学生参照教材独立去完成.练习(教材第143页)1.提示:(1)不是.(2)是.(3)是.(4)不是.2.(1)x+2(2)1-y(3)4x-1(4)a+3习题(教材第143页)1.解:(1)正确.(2)不正确.改正为-10x-10=-10(x+1).(3)正确.(4)不正确.改正为m2+4m+4=(m+2)2.2.(1)R-r(2)3n(3)x+y(4)2a-3y+1计算(1)~(3)题,并根据计算结果将(4)~(6)题进行因式分解.(1)(x-2)(x-1)=;(2)3x(x-2)=;(3)(x-2)2=;(4)x2-3x+2=;(5)3x2-6x=;(6)x2-4x+4=.〔答案〕(1)x2-3x+2(2)3x2-6x(3)x2-4x+4(4)(x-2)(x-1)(5)3x(x-2)(6)(x-2)211.2提公因式法1.了解公因式及提公因式法.2.会用提公因式法把多项式分解因式.让学生充分体验一个多项式中各项的公因式是提公因式的前提条件.进一步了解分解因式的意义,加强学生的思维能力并逐渐渗透化归思想方法.【重点】提公因式法分解因式.【难点】确定公因式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习因式分解的含义.导入一:一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积.解法1:S=×+×+×=++==2.解法2:S=×+×+×=×=×4=2.从上面的解答过程看,解法1是按运算顺序:先算乘,再算和进行的,解法2是先逆用分配律算和,再计算乘法运算,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为积的形式,而提公因式法就是化积的一种方法.[设计意图]旨在让学生理解乘法分配律的逆运算这一特殊算法,使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握埋下伏笔.导入二:多项式ab+ac中,各项有相同的因式吗?多项式3x2+x呢?多项式mb2+nb-b呢?【结论】多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么?【结论】(1)各项系数是整数,系数的最大公约数是公因式的系数;(2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;(3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式.[设计意图]公因式由简单到复杂,由于第一个多项式提供的比较简单,寻找的公因式不具备归纳的条件,而后面所提供的寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式只是多了含字母y的因式,对比前一个公因式,通过寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式,可顺利地归纳出确定多项式各项公因式的方法,培养学生的初步归纳能力,具备了归纳出怎样寻找多项式各项公因式的条件.1.多项式ma+mb+mc有几项?每一项的因式都有哪些?这些项中有没有公共的因式?若有,是哪个?处理方式:(1)复习多项式的有关概念;(2)思考为什么强调多项式的每一项都含有公因式.2.多项式ab2-2a2b的两项中,有没有公共的因式?若有,是哪些?处理方式:(1)思考公因式是否只能是数字;(2)思考公因式是否只能是字母;(3)思考公因式可以是哪些形式;(4)完成下表.3.一般地,多项式的各项都含有的因式,叫做这个多项式各项的公因式,简称多项式的公因式.4.因式分解的公式法.逆用乘法对加法的分配律,可以把公因式写在括号外边,作为积的一个因式,写成下面的形式:ma+mb+mc=m(a+b+c),ab2-2a2b=ab(b-2a).这种将多项式分解因式的方法,叫做提公因式法.活动2做一做1.写出下列多项式的公因式.(1)6x-9x2;(2)abc+2a;(3)abc-ab2+2ab;(4)2x2y+4xy2-6xy.答案:(1)3x(2)a(3)ab(4)2xy2.先指出下列多项式的公因式,再进行因式分解.(1)x2+2x;(2)2x2+4x;(3)2a2x-6ax2;(4)4a4-12a3+16a2.答案:(1)公因式是x,分解为x(x+2).(2)公因式是2x,分解为2x(x+2).(3)公因式是2ax,分解为2ax(a-3x).(4)公因式是4a2,分解为4a2(a2-3a+4).[设计意图]运用上一环节中获得的概念和方法写出公因式时,应引导学生注意各项系数的最大公约数也是公因式.活动3大家谈一谈在“做一做”中,三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果如下:(1)2x2+4x=2(x2-x);(2)2x2+4x=x(2x+4);(3)2x2+4x=2x(x+2).请你谈一谈用提公因式法分解因式应注意的问题.【注意问题】1.一般地,当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数,字母应取各项相同的字母,且相同字母的指数取次数最低的.2.分解因式要彻底.活动4例题讲解(教材第145页例1)把下列多项式分解因式.(1)-3x2+6xy-3xz;(2)3a3b+9a2b2-6a2b.解:(1)-3x2+6xy-3xz=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z=-3x(x-2y+z).(2)3a3b+9a2b2-6a2b=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2=3a2b(a+3b-2).(教材第145页例2)分解因式:2a(b+c)-5(b+c).解:2a(b+c)-5(b+c)=(b+c)·2a-(b+c)·5=(b+c)(2a-5).[知识拓展](1)公因式的系数是负数时,提公因式后各项要变号.(2)注意例2中把b+c看成一个整体“提”出来.1.提公因式法分解因式的一般形式,如:ma+mb+mc=m(a+b+c).这里的字母a,b,c,m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式,关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤:(1)若各项系数是整系数,取系数的最大公约数;(2)取相同的字母,字母的指数取最低的;(3)取相同的多项式,多项式的指数取最低的;(4)所有这些因式的乘积即为公因式.1.(临沂中考)多项式mx2-m和多项式x2-2x+1的公因式是()A.x-1B.x+1C.x2-1D.(x-1)2解析:利用公式将两个多项式进行分解,找出相同的因式即为公因式.mx2-m=m(x2-1)=m(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x-1)2,公因式为x-1.故选A.2.(武汉中考)把a2-2a分解因式,正确的是()A.a(a-2)B.a(a+2)C.a(a2-2)D.a(2-a)解析:先找到多项式各项的公因式,再提取公因式.因为a2-2a=a(a-2).故选A.3.(大连中考)若a=49,b=109,则ab-9a的值为.解析:先将整式因式分解,再代入值求解.ab-9a=a(b-9),当a=49,b=109时,原式=49×(109-9)=4900.故填4900.4.把下列多项式分解因式.(1)3ma3+6ma2-12ma;(2)15x3-40x2y-5x2;(3)10a(x-y-5b(y-x).解:(1)3ma3+6ma2-12ma=3ma(a2+2a-4).(2)15x3-40x2y-5x2=5x2(3x-8y-1).(3)10a(x-y)2-5b(y-x)=5(x-y)(2ax-2ay+b).11.2提公因式法活动1观察与思考——提公因式法活动2做一做活动3大家谈一谈活动4例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第146页习题A组的第1,2题.【选做题】教材第147页习题B组的第2题.二、课后作业【基础巩固】1.提公因式时,公因式的系数是各项系数的()A.最小公倍数B.最大公约数C.公共系数D.约数2.-9x2y+3xy2-6xyz各项的公因式是()A.3yzB.3xzC.-3xyD.-3x3.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式m-1后余下的部分是()A.m+1B.2mC.2D.m+24.(广州中考)分解因式:2mx-6my=.5.分解因式.(1)-9m2n-3mn2+27m3n4;(2)3m(x-y)-6n(y-x);(3)a(b-1)+c(1-b)-(b-1).【能力提升】6.下列各式的公因式为a的是()A.ax+ay+5B.4ma+6ma2C.5a2+10abD.a2-4a+ma7.多项式x2-4y2与x2+4xy+4y2的公因式是()A.x2-4y2B.x+2yC.1D.没有公因式8.已知一个长方形的面积为a(x-1)+b(x-1)-c(1-x),则此长方形的长和宽可能是()A.x-1,a+b+cB.1-x,a+b+cC.x+1,a+b+cD.x-1,a-b-c9.化简-2×(-2)2011+(-2)2012+(-2)2013的结果等于()A.-22011B.22011C.0D.3×2201110.(1)已知x2+x-1=0,求x3+2x2+2013的值.(2)已知2x-y=,xy=3,求2x4y3-x3y4的值.【拓展探究】11.如图所示,由一个边长为x的小正方形与两个长、宽分别为x,y的小长方形组成大长方形ABCD,则整个图形可表达一些有关多项式因式分解的等式,请你写出其中任意三个等式.12.已知a,b,c分别为△ABC三条边的长且满足条件a2-4bc-ab+4ac=0,试说明此三角形为等腰三角形.【答案与解析】1.B(解析:用提公因式法分解因式时,提取的公因式的系数是最大公约数.)2.C(解析:系数取最大公约数,相同字母取次数最低的.)3.D(解析:(m+1)(m-1)+(m-1)=(m-1)(m+1+1)=(m-1)(m+2).)4.2m(x-3y)(解析:先找出两项的公因式,再提公因式即可.2mx-6my=2m·x+2m·(-3y)=2m(x-3y).)5.解:(1)-9m2n-3mn2+27m3n4=-3mn(3m+n-9m2n3).(2)3m(x-y)-6n(y-x)=3m(x-y)+6n(x-y)=(x-y)(3m+6n)=3(x-y)(m+2n).(3)a(b-1)+c(1-b)-(b-1)=a(b-1)-c(b-1)-(b-1)=(b-1)(a-c-1).6.D(解析:A.ax+ay+5无公因式;B.4ma+6ma2中的公因式是2am;C.5a2+10ab中的公因式是5a;D.a2-4a+ma中的公因式是a.)7.B(解析:x2-4y2=(x+2y)(x-2y),x2+4xy+4y2=(x+2y)2,所以公因式为x+2y.)8.A(解析:原式=a(x-1)+b(x-1)+c(x-1)=(x-1)(a+b+c).)9.C(解析:原式=(-2)2012+(-2)2012+(-2)2013=(-2)2012×(1+1-2)=0.)10.解:(1)因为x2+x-1=0,所以x2+x=1,所以x3+2x2+2013=x3+x2+x2+2013=x(x2+x)+x2+2013=x+x2+2013=1+2013=2014.(2)2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y).因为2x-y=,xy=3,所以原式=33×=9.11.解:答案不唯一,如x2+2xy=x(x+2y),x(x+y)+xy=x(x+2y),x(x+2y)-x(x+y)=xy.12.解:因为a2-4bc-ab+4ac=0,(a2-ab)+(4ac-4bc)=0,a(a-b)+4c(a-b)=0,(a-b)(a+4c)=0,因为a,b,c分别为△ABC 三条边的长,所以a+4c≠0,所以a-b=0,所以a=b,所以△ABC为等腰三角形.本节运用类比的数学方法,在新概念提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在学习提公因式法时,由找公因数到找公因式,由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.遇到互为相反数的因式时学生仍然存在问题,需要加强指导和训练.由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形,它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简,比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等都要用到因式分解的知识.因此应该重视因式分解的概念和方法的教学.练习(教材第146页)1.解:(1)5a+5b=5(a+b).(2)m2+m=m(m+1).(3)x2+2x=x(x+2).(4)3xy+3xz=3x(y+z).2.解:如下表所示:3.解:(1)-2x+xy-xz=-x(2-y+z).(3)m(x+2y)-2n(x+2y)=(m-2n)(x+2y).(4)2(x-y)2-x(y-x)=2(x-y)2+x(x-y)=(x-y)(2x-2y+x)=(x-y)(3x-2y).习题(教材第146页)A组1.提示:(1)5(2a-c).(2)ab(1-2c).(3)xy(5-z).(4)a(a+b-c).2.提示:(1)2xy(x-2yz).(2)7ab(a+2bc).(3)5mnp·(3np-1).(4)2ab(2-3b).3.提示:(1)ab2(4a-1).(2)-2ab2(6ac-2a-c).(3)-4xy(xy-2x+2).(4)2xy(x-y).4.解:(1)原式=2001×(2001-1)=2001×2000=4002000.(2)原式=2005×(2006-2004+8)=2005×10=20050.5.解:(a+b)2+a(a+b)+b(a+b)=(a+b)(a+b+a+b)=2(a+b)2(种).答:这个商场共有2(a+b)2种商品.B组1.解:x2-36x=x(x-36).当x=37时,原式=37×(37-36)=37×1=37.2.解:原式=5x998(x2+3x+2).当x2+3x=-2时,原式=5x998(-2+2)=5x998×0=0.3.解:a2+a=a(a+1).当a为整数时,a,a+1是两个连续整数,其中必有一个是2的倍数,所以a2+a一定能被2整除.已知x2+x+1=0,求代数式x2006+x2005+x2004+…+x2+x+1的值.〔解析〕首先把整式x2006+x2005+x2004+…+x2+x+1通过提取公因式,可分解为含有因式x2+x+1的形式,再将x2+x+1的值作为一个整体代入求解.解:因为x2+x+1=0,所以x2006+x2005+x2004+…+x2+x+1=x2004(x2+x+1)+x2001(x2+x+1)+…+x9(x2+x+1)+x6(x2+x+1)+x3(x2+x+1)+x2+x+1=0.求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.已知方程组-〔解析〕将原式分解因式,产生x-3y与2x+y,再整体代入,使计算简便.解:7y(x-3y)2-2(3y-x)3=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]=(x-3y)2(7y+2x-6y)=(x-3y)2(2x+y).把代入(x-3y)2(2x+y),-原式=12×6=6.11.3公式法1.经历用乘法公式探究因式分解.通过因式分解的过程,体会从正反两个方面认识和研究事物的方法.2.会用公式法进行因式分解.通过观察两个乘法公式的特点进行因式分解.培养学生类比分析问题的思维习惯.【重点】利用乘法公式进行因式分解.【难点】把多项式看成乘法公式中一个字母的因式分解.第课时会用平方差公式进行因式分解.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯.【重点】运用平方差公式进行分解因式.【难点】把多项式看成平方差公式中一个字母的因式分解.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习平方差公式的特点.导入一:在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即在一个多项式中,若各项都含有相同的因式,即公因式,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项不具备相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.请看乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,①左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是a2-b2=(a+b)(a-b),②左边是一个多项式,右边是整式的乘积,大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解?符合因式分解的定义,因此是因式分解.第①个等式可以看做是整式乘法中的平方差公式,第②个等式可以看做是因式分解中的平方差公式.[设计意图]引导学生从感性认识上升到理性认识,区别整式乘法与分解因式的同时,认识学习新的分解因式的方法——公式法.导入二:填空:(1)(x+5)(x-5)=;(2)(3x+y)(3x-y)=;(3)(3m+2n)(3m-2n)=.它们的结果有什么共同特征?尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x2-25=;(2)9x2-y2=;(3)9m2-4n2=.[设计意图]学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用,发展学生的观察能力与逆向思维能力.1.利用平方差公式的特点进行因式分解请大家观察式子a2-b2,找出它的特点.a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积.如x2-16=x2-42=(x+4)(x-4).9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n).实际上,把平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到a2-b2=(a+b)(a-b).[设计意图]让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.2.试着做一做试着将下面的多项式分解因式.(1)p2-16=;(2)y2-4=;(3)x2-=;(4)4a2-b2=.答案:(1)(p+4)(p-4)(2)(y+2)(y-2)(3)-(4)(2a+b)(2a-b)[过渡语]如果一个多项式可化为两个整式的平方差的形式,那么它就可以用平方差公式分解因式了.(教材第148页例1)把下列各式分解因式.(1)4x2-9y2;(2)(3m-1)2-9.解:(1)4x2-9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)·(2x-3y).(2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32=(3m-1+3)(3m-1-3)=(3m+2)(3m-4).(教材第148页例2)把下列各式分解因式.(1)a3-16a;(2)2ab3-2ab.解:(1)a3-16a=a(a2-16)=a(a-4)(a+4).(2)2ab3-2ab=2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1).[知识拓展]当多项式有公因式时,应先提出公因式,再看能否利用平方差公式进行因式分解.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.若多项式各项含有公因式,则第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合,则继续进行.第一步分解因式以后,所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能再分解为止.1.下列各式不能用平方差公式分解的是()A.-a2+b2B.-x2-y2C.49x2y2-z2D.16m4-25n2解析:平方差公式中两项的符号必须是异号.故选B.2.把45ab2-20a分解因式的结果是()A.5ab(9b-4)B.a(45b2-20)C.5ab(9b-20a)D.5a(3b+2)(3b-2)解析:45ab2-20a=5a(9b2-4)=5a(3b+2)(3b-2).故选D.3.如果x+y=2013,x-y=1,那么x2-y2=.解析:x2-y2=(x+y)(x-y)=2013.故填2013.4.用平方差公式分解因式.(1)9x2-16;(2)x3-x;(3)-a4+b2.解:(1)9x2-16=(3x+4)(3x-4).(2)x3-x=x(x+1)(x-1).(3)-a4+b2=-=-.第1课时活动1利用平方差公式进行分解活动2例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第149页习题A组的第1,2题.【选做题】教材第150页习题B组的第2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是()A.x2+4y2B.x2-2y2+1C.-x2+4y2D.-x2-4y22.对于整数m,多项式(4m+5)2-9能()A.被8整除B.被m整除C.被(m-1)整除D.被(2m-1)整除3.(海南中考)分解因式:x2-9=.4.(鄂州中考)分解因式:a3b-4ab=.5.把下列多项式分解因式.(1)4x2-25;(2)-x4+x2y2;(3)16(x+y)2-25(x-y)2.。
七年级下册数学冀教版【教案】01 第11章 因式分解
一、单元学习主题本单元是数与代数领域“数与式”主题中的“因式分解”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出“数与式”是代数的基本语言,初中阶段数与式的教学,教师应把握数与式的整体性,关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性;通过学习,培养学生的观察、分析、运算能力.这部分知识对学生后续学习将起到重要作用.2.本单元教学内容分析冀教版教材七年级下册第十一章“因式分解”,本章包括三个小节:11.1因式分解;11.2提公因式法;11.3公式法.因式分解{因式分解的概念因式分解的方法{提公因式法公式法本章的主要内容是因式分解的概念和分解因式的两种方法.因式分解是以整式运算为基础的,是整式的一种恒等变形,也是后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础.同时,它还有助于进一步发展学生观察、发现、归纳和概括的能力以及分析问题和解决问题的能力.无论是建立因式分解的概念,还是探索因式分解的方法,都要通过创设学生充分探索与交流的空间.精心创设具有启发性的问题情境,给学生留出充分探索与交流的空间,突出学生的主体地位.关注学生已有的经验,突出知识的形成过程.在建立因式分解的概念中,通过类比整数分解因数,让学生体会、认识因式分解的意义.在分解因式方法的探索中,借助于因式分解与整式乘法的互逆关系,由学生通过观察、归纳和概括获得分解方法.这样,学生不但获得了知识,而且体会了数学的基本思想和思维方式.不仅对学生今后研究问题、解决问题以及终身发展非常有益.深入贯彻实施了《标准2022》的素养理念,能够促进学生思考、激发学生思维探究、教会学生学习方法、挖掘学生学习潜力、有效提高初中数学教学质量和学生学业质量.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学七年级下册第十一章的因式分解,学生在前面已学习整式运算,初步积累了一定的数学活动经验,七年级的学生虽然有较强的模仿能力,但是他们用字母表示数的意识还不够,所以运用类比的数学思想,从小学的乘法对加法的分配律出发,类比小学的因数研究多项式的因式,降低学生学习的难度.根据学生的最近发展区创设特定情境,会使学生更加主动地去探索多项式的因式,培养学生良好的数学探究意识.让学生主动探索对比多项式的乘法与多项式的因式分解的区别与联系是学习本章内容的主要目标.四、单元学习目标1.在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义.2.引导学生经历探索分解因式方法的过程,体会数学知识的内在联系.3.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式.4.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中,进一步发展学生观察、归纳和概括的能力,发展学生的运算能力和推理能力.五、单元学习内容及学习方法概览续表六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
冀教版数学七年级下册《11.1 因式分解》教学设计
冀教版数学七年级下册《11.1 因式分解》教学设计一. 教材分析冀教版数学七年级下册《11.1 因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方差公式、完全平方公式的基础上进行学习的，是进一步学习分式、二次函数等知识的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，对于之前学习的有理数的乘法、平方差公式、完全平方公式等知识有了一定的了解。
但学生在学习因式分解时，可能会对一些方法的理解和应用存在困难，需要教师在教学中进行引导和解释。
三. 教学目标1.理解因式分解的概念和方法。
2.掌握提公因式法、公式法等因式分解的方法。
3.能够应用因式分解解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和方法的理解。
2.提公因式法、公式法等方法的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索和思考。
2.使用案例分析和练习题，让学生在实践中掌握因式分解的方法。
3.采用小组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT或者黑板。
2.教学案例和练习题。
3.小组讨论的安排。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问学生之前学过的有理数的乘法、平方差公式、完全平方公式等知识，引导学生回顾和复习这些知识。
然后，提出问题：“如何将一个多项式分解成几个整式的乘积？”让学生思考和引出本节课的主题。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT或者黑板，展示因式分解的定义和一些基本方法，如提公因式法、公式法等。
同时，通过具体的案例分析，让学生理解和掌握这些方法的应用。
3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生独立或者小组合作完成。
教师在过程中给予学生指导和解释，帮助学生巩固因式分解的方法。
4.巩固（10分钟）教师挑选一些学生的作业，进行讲解和分析，让学生加深对因式分解方法的理解。
同时，鼓励学生提出问题和疑问，教师给予解答。
七年级下册数学冀教版 第11章 因式分解11.3 公式法11.3.1 用平方差公式分解因式【教案】
用平方差公式分解因式
[师生共析]
[例1]（1）
（教师可以通过多媒体课件演示（1）中的2x，（2）中的x+p•相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b•可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）
[例2]（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，•让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．
（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b-ab•有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．
解：（1）x4-y4
=（x2+y2）（x2-y2）
=（x2+y2）（x+y）（x-y）．
（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．
学生解题中可能发生如下错误：
（1）系数变形时计算错误；
（2）结果不化简；
（3）化简时去括号发生符号错误．
§14．3．2 用平方差公式分解因式
一、1．复习提公因式法分解因式．
2．将a2-b2分解因式．
用平方差公式分解因式：a2-b2=（a+b）（a-b）二、例题讲解。
冀教版七年级下册数学第11章 因式分解 直接提公因式分解因式
11.2提公因式法
第十一章因式分解
第1课时直接提公因式分解因式
1 课堂讲解 公因式的定义
提公因式法分解因式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识回顾 1. 什么叫做因式分解？ 2. 两个多项式进行整式乘法运算的结果是什么？一个 多项式因式分解的结果是什么？
导入新知
1. 多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式 3x2+6x呢？多项式mb2+nb+b呢？ 2. 你能将上面的多项式写成几个因式的乘积的形式 吗？说出你的结果.
分解因式的结果 5a2(1＋2bc) 3xy(4z－3xy) 2x(x＋2y－3)
（来自教材）
3 把下列各式分解因式： (1)10a－5c； (2)ab－2abc； (3)5xy－xyz； (4)a2＋ab－ac.
解：(1)10a－5c＝5(2a－c)． (2)ab－2abc＝ab(1－2c)． (3)5xy－xyz＝xy(5－z)． (4)a2＋ab－ac＝a(a＋b－c)．
知识点 1 公因式的定义
知1－导
我们知道，m(a＋b)＝ma＋mb，反过来，就有 ma＋mb＝m(a＋b).应用这一事实，怎样把多项式2ab ＋4abc分解因式？
归纳
知1－导
一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个 多项式各项的公因式，简称多项式的公因式. (1)公因式必须是多项式中每一项都含有的因式． (2)某个或某些项中含有而其他项中没有的因数或因式 不能成为公因式的一部分．
（来自教材）
知2－讲
(1)提公因式法就是把公因式提到括号外边与剩下的多 项式写成积的形式． (2)提公因式法实质上是逆用乘法的分配律． (3)提取公因式就是把一个多项式分解成两个因式积的 形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因 式是多项式除以这个公因式所得的商． (4)提公因式的一般步骤：第一步找出公因式；第二步 确定另一个因式；第三步写成积的形式．
2024七年级数学下册第十一章因式分解全章热门考点整合应用作业课件新版冀教版
应用2应用因式分解解整除问题
8.(母题：教材P156复习题B组T3)对于任意自然数n，(n＋7)2
－(n－5)2是否能被24整除？
【解】(n＋7)2－(n－5)2
＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]
＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)
＝(2n＋2)×12
2×2)＝14.
方法2公式法
4.[2023·贵州]因式分解：x2－4＝
(x＋2)·(x－2) .
5.[2023·张家界]因式分解：x2y＋2xy＋y＝
y(x＋1)2 .
6.把下列各式因式分解：
(1)x2－4xy＋4y2；
【解】原式＝(x－2y)2.
(2)(a＋2b)2－(2a－b)2；
【解】原式＝[(a＋2b)＋(2a－b)][(a＋2b)－(2a－b)]
因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a＋b－c≠0.
所以a－b＝0.
所以a＝b.
所以△ABC为等腰三角形.
10.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋2b2＋
c2－2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由.
【解】该三角形是等边三角形.理由如下：
∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，
2
当x＝ 时，原式＝4x (x－3)(2x－3)＝4×
×
× × − ＝0.
−
(2)a2b＋2a2b2＋ab2，其中a＋b＝3，ab＝2.
【解】a2b＋2a2b2＋ab2＝ab(a＋2ab＋b)＝ab[(a＋b)＋2ab].
当a＋b＝3，ab＝2时，原式＝ab[(a＋b)＋2ab]＝2×(3＋
冀教版数学七年级下册11.1《因式分解》教学设计
冀教版数学七年级下册11.1《因式分解》教学设计一. 教材分析冀教版数学七年级下册11.1《因式分解》是初中学段因式分解知识的起点，也是整个初中数学知识体系的重要组成部分。
本节内容主要让学生掌握因式分解的基本方法和应用。
教材通过引入、探究、总结等环节，引导学生掌握提公因式法、公式法等因式分解方法，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对运算规则、方程等概念有一定的了解。
但因式分解作为一种独立的数学思想，对学生来说还是较为抽象和难以理解的。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知规律，从学生已有的知识基础出发，循序渐进地引导学生掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的基本方法，能够运用提公因式法、公式法等进行因式分解，并解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的基本方法。
2.难点：因式分解的灵活运用和实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入因式分解的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.引导发现法：教师引导学生观察、操作、猜想、验证，发现因式分解的方法。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作意识。
4.实践练习法：教师布置适量练习题，让学生在实践中巩固因式分解的方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解的方法和实例。
2.练习题：准备适量练习题，包括基础题、提高题和拓展题。
3.教学道具：准备一些教学道具，如卡片、板书等，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入因式分解的概念，如“小明买了一些苹果，用去了24元，已知苹果的单价是3元，问小明买了多少个苹果？”让学生感受到数学与生活的紧密联系。
七年级数学下册第十一章因式分解11.3公式法11.3.2利用完全平方公式分解因式课件冀教版
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第十一章 因式分解
11.3 公式法 第2课时 利用完全平方公式分解因式
课
随
课
前
堂
后
热
演
作
身
练
业
课前基热础身训(练5分钟)
1．把乘法公式中的完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2 反过来， 就得到因式分解中的完全平方公式_a_2_±_2_a_b_＋__b_2_＝__(a_±__b_)2_____，即两 个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的 和(或差)的___平__方_______
C．2x2＋4xy＋y2 D．x2－y2＋2xy
2．若 a＋2b＝4，则 a2＋4ab＋4b2 的值是( B )
A．8
B．16
C．2
D．4
3．下列多项式可以用完全平方公式分解因式的是( C )
A．a2－ab＋b2 B．a2－12a＋14 C．－4a2－4a－1 D．a2－2a－1
4．已知 4x2＋4mx＋36 是一个完全平方式，则 m 的值为
解：原式＝(a－4b)2.
(2)x2－1＋y2－2xy；
解：原式＝(x2－2xy＋y2)－1＝(x－y)2－1＝ (x－y＋1)(x－y－1)．
(3)16x4－8x2y2＋y4；
解：原式＝16x4－8x2y2＋y4＝(4x2－y2)2＝(2x＋y)2(2x－y)2.
(4)(x2＋16y2)2－64x2y2；
解：原式＝(x2＋16y2)2－(8xy)2＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy) ＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(5)－a2b－49b＋14ab； 解：原式＝－b(a2－14a＋49)＝－b(a－7)2. (6)(x＋y)2＋2(x＋y)＋1； 解：原式＝(x＋y＋1)2.
冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》阶段核心应用 因式分解的八种常见应用
阶段核心应用
(2)若a＝4，b＝3，求△ABC的周长． 解：由(1)可知，b＝c＝3. ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋3＋3＝10.
阶段核心应用
7．已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较P，Q 的大小． 解：P－Q＝(2x2＋4y＋13)－(x2－y2＋6x－1) ＝x2－6x＋y2＋4y＋14＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1. ∵(x－3)2≥0，(y＋2)2≥0， ∴P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1≥1.∴P＞Q.
阶段核心应用
(2)8002－1 600×798＋7982. 解：原式＝(800－798)2＝22＝4.
阶段核心应用
2．先化简，再求值： (1)已知 a＝3，b＝12，求(a－b)(a－4b)＋ab 的值； 解：原式＝a2－4ab－ab＋4b2＋ab ＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2. 当 a＝3，b＝12时，原式＝3－2×122＝4.
阶段核心应用
8．若a，b，c为三角形的三边长，试说明：(a2＋b2－c2)2 －4a2b2的值一定为负．
解：(a2＋b2－c2)2－4a2b2 ＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab) ＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2] ＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．
阶段核心应用
(2)拓展探究：根据以上材料，已知多项式x2＋mx－14能 被x＋2整除，试求m的值． 解：∵x2＋mx－14能被x＋2整除， ∴当x＝－2时，x2＋mx－14＝0. ∴(－2)2＋m×(－2)－14＝0，解得m＝－5.
阶段核心应用
5 ． 已 知 x ， y 是 等 腰 三 角 形 ABC 的 两 边 长 ， 且 满 足 4x2 ＋ 10y2－12xy－4y＋4＝0，求△ABC的周长． 解：由4x2＋10y2－12xy－4y＋4＝0， 可得4x2－12xy＋9y2＋y2－4y＋4＝0， 即(2x－3y)2＋(y－2)2＝0， 所以2x－3y＝0，y－2＝0，所以x＝3，y＝2.
2020春冀教版七年级数学下册 第11章 专训1 因式分解的七种常见应用(01)
专训1因式分解的七种常见应用名师点金：因式分解是整式的恒等变形的一种重要形式，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.2．计算：2 0182－4 038×2 018＋2 0192.用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm2.请你求这两个正方形的边长．用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….你发现了什么规律？请用含有字母n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．答案1．解：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．解：2 0182－4 038×2 018＋2 0192＝2 0182－2×2 018×2 019＋2 0192＝(2 018－2 019)2＝1.3．解：(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.4．解：所得的差一定能被9整除．理由如下：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，则这个两位数是10a ＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．5．解：∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．6．解：B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.点拨：根据a的取值范围分类讨论是正确解此题的关键．7．解：设大正方形和小正方形的边长分别为x cm，y cm，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③由②得(x ＋y)(x －y)＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 答：大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.点拨：根据目前我们所学的知识，还无法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，x 2－y 2＝960，但是我们可以利用因式分解，把这个问题转化为解关于x ，y 的二元一次方程组的问题．8．解：规律：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n(n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n(n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n(n ＋1)]2＋2n(n ＋1)＋1＝[n(n ＋1)＋1]2.。
【最新冀教版精选】冀教初中数学七下《11.1因式分解》word教案.doc
《分解因式》
【教材与学情分析】
分解因式是代数式的一种重要恒等变形。
它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。
就本节课而言，着重阐述两个方面的内容，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。
通过本节课的学习，使学生掌握因式分解的概念和原理，为后面学习因式分解做好充分的准备。
【教学目标】
1、通过观察类比、归纳概括等数学活动，经历新概念的建立过程。
2、了解分解因式的意义以及分解因式与整式乘法是互逆变形的关系。
3、感受分解因式在解决相关问题中的作用．
【重点难点】
重点：经历建立“分解因式”这一概念的过程，让学生体会、学习建立概念的方法。
难点：认识分解因式与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决分解因式的各种问题。
【教法设计】从学生生活经验出发，提出问题，在解决问题的过程中，进行观察、类比、归纳、概括，揭示新概念的本质属性。
【教学过程】。
【最新冀教版精选】冀教初中数学七下《11.1因式分解》word教案 (1).doc
11.1因式分解教学思想设计因式分解与整式运算是不同的整式变形，概念的引人应着重引导学生观察变形的特点，理解变形的意义，还应随时回忆这一概念、运用这一概念、巩固这个概念，而不要希望一蹴而就。
在因式分解中换元思想起着重要的作用，公因式m既可以是单项式，又可以是多项式，公式法中的a，b……也可以表示任何一个代数式。
本章运用换元法这一重要的数学思想方法也是为今后的代数学习打下良好的基础。
提取公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法，它的理论依据是乘法分配律。
在讲解时可以先讲单项式乘以多项式，再把它逆过来运算就是提取公因式，用这个方法，首先对要分解的多项式认真观察，确定公因式是至关重要的。
教学目标知识与技能目标1．了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。
2．感受因式分解在解决相关问题中的作用。
过程与方法目标通过了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体事物之间可以相互转化的辩证思想。
情感与态度目标培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点难点重点：因式分解的概念。
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。
关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。
教学方法讲授法教学仪器多媒体教学过程设计一、回顾：1．整式乘法有几种形式？（1）单项式乘以单项式（2）单项式乘以多项式：a （m ＋n ）=am ＋an（3）多项式乘以多项式：（a ＋b ）（m ＋n ）=am ＋an ＋bm ＋bn2．乘法公式有哪些？（1）两数和乘以它们的差公式：()()2b a b a b a -=-+ （2）两数和的平方公式：()2222b ab a b a +±=± 3．试计算（1）3a （a －2b ＋c ） （2）（a ＋3）（a －3）（3）()22b a + （4）()23b a - 二、探索新知，找出规律1．根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？（1）32a －6ab ＋3ac=（ ）（ ） （2）2a －9=（ ）（ ）（3）2a ＋4ab ＋42b =（ ）（ ） （4）2a －6ab ＋92b =（ ）（ ）2．观察复习与回顾的练习，你能发现它们之间的联系与区别吗？学生反复仔细观察、对比，找出其中的联系与区别。
七年级数学下册第十一章因式分解习题ppt课件新版冀教版
(1)是，因式为x，x－1; (2)是，因式为5，2x＋y;
(3)a2－1=(a＋1)(a－1); (4)x2－2x＋1=(x－1)2.
(3)是，因式为a＋1，a－1; (4)是，因式为x－1，x－1.
CONTENTS
3
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是( C ) A. a(a＋b－1)=a2＋ab－a B. a2－a－2=a(a－1)－2 C. －4a2＋9b2=(－2a＋3b)(2a＋3b) D.2x ＋1=x(2＋ 1 )
因式分解的概念
(1)小明用的什么方法? 根据乘方的意义直接进行计算.
(2)小亮的第一个算式用了什么方法? 乘法对加法的分配律的逆用.
(3)小亮的第二个算式用了什么方法? 平方差公式.
因式分解的概念
问题2 (1)观察下面三个算式: x(x－2)=x2－2x，(x＋y)(x－y)=x2－y2，(x＋1)2=x2＋2x＋1.
由题意可得42x2－31x＋2=6mx2－(4m＋6n)x＋4n，
所以
6m 42, 4m 6n 31, 4n 2,
得
m n
7, 1. 2
4. 把多项式x2＋4mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，求m＋n的值. 解：由题意，得 x2＋4mx＋5=(x＋5)(x＋n) =x2＋(n＋5)x＋5n， 5n=5，4m=n＋5． 解得n=1，m= 3 ，
x
2.把x2＋3x＋c分解因式得x2＋3x＋c=(x＋1)·(x＋2)，则c
的值为( A )
A.2
B.3
C.－2
D.－3
3.若42x2－31x＋2能分解成两个因式的乘积且有一个因式为6x－ 4，设另一个因式为mx－n，其中m，n为常数，请你求出m，n 的解值:(6.x－4)(mx－n)=6mx2－4mx－6nx＋4n=6mx2－(4m＋6n)x＋4n，
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全章热门考点整合应用
名师点金：本章的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式，在各类考试中，既有单独考查因式分解的，也有利用因式分解的知识进行化简求值的，题型有选择题和填空题，也有探索与创新题，命题难易度以基础题和中档题为主．本章主要考点可概括为：一个概念、两个方法、三个应用、三个技巧、一种思想.
一个概念——因式分解
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A ．(a ＋5)(a －5)＝a 2－25
B ．mx ＋my ＋2＝m(x ＋y)＋2
C ．x 2－9＝(x ＋3)(x －3)
D ．2x 2＋1＝2x 2⎝⎛⎭⎫1＋1
2x 2
两个方法
方法1 提公因式法
2．求下列代数式的值：
(1)x 2y －xy 2，其中x －y ＝1，xy ＝2 018；
(2)8x 3(x －3)＋12x 2(3－x)，其中x ＝32；
(3)a 2b ＋2a 2b 2＋ab 2，其中a ＋b ＝3，ab ＝2.
方法2 公式法
3．把下列各式因式分解：
(1)16x 2－25y 2；
(2)x 2－4xy ＋4y 2；
(3)(a ＋2b)2－(2a －b)2；
(4)(m 2＋4m)2＋8(m 2＋4m)＋16；
(5)81x 4－y 4.
三个应用
应用1 应用因式分解计算
4．计算：
(1)2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314；
(2)⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－132×⎝⎛⎭⎫1－142×…×⎝⎛⎭⎫1－11002；
(3)－101×190＋1012＋952.
应用2 应用因式分解解整除问题
5．对于任意自然数n ，(n ＋7)2－(n －5)2是否能被24整除？
应用3应用因式分解解几何问题
6．已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断△ABC的形状．
7．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由．
三个技巧
技巧1分组后用提公因式法8．因式分解：
(1)a2－ab＋ac－bc；
(2)x3＋6x2－x－6.
技巧2拆、添项后用公式法9．因式分解：
(1)x2－y2－2x－4y－3；
(2)x4＋4.
技巧3换元法
10．因式分解：(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4.
一种思想——整体思想
11．已知a ＋b ＝1，ab ＝316
，求代数式a 3b －2a 2b 2＋ab 3的值．
答案
1．C
2．解：(1)x 2y －xy 2＝xy(x －y)．
把x －y ＝1，xy ＝2 018代入上式，原式＝xy(x －y)＝2 018.
(2)8x 3(x －3)＋12x 2(3－x)＝8x 3(x －3)－12x 2(x －3)＝4x 2(x －3)(2x －3)．
当x ＝32
时，原式＝4×⎝⎛⎭⎫322×⎝⎛⎭⎫32－3×⎝⎛⎭⎫2×32－3＝0. (3)a 2b ＋2a 2b 2＋ab 2＝ab(a ＋2ab ＋b)＝ab[(a ＋b)＋2ab]．
把a ＋b ＝3，ab ＝2代入上式，原式＝2×(3＋2×2)＝14.
3．解：(1)原式＝(4x ＋5y)(4x －5y)．
(2)原式＝(x －2y)2.
(3)原式＝[(a ＋2b)＋(2a －b)]·[(a ＋2b)－(2a －b)]＝(3a ＋b)(3b －a)．
(4)原式＝[(m 2＋4m)＋4]2
＝[(m ＋2)2]2
＝(m ＋2)4.
(5)原式＝(9x 2－y 2)(9x 2＋y 2)＝(3x ＋y)(3x －y)(9x 2＋y 2)．
4．解：(1)原式＝2.1×31.4＋6.2×31.4＋1.7×31.4
＝31.4×(2.1＋6.2＋1.7)
＝31.4×10
＝314.
(2)原式＝⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1＋13×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1＋14×⎝⎛⎭⎫1－14×…×⎝⎛⎭
⎫1＋1100×⎝⎛⎭
⎫1－1100 ＝32×12×43×23×54×34×…×101100×99100
＝12×101100
＝101200
. (3)原式＝1012－2×101×95＋952
＝(101－95)2
＝36.
5．解：(n ＋7)2－(n －5)2＝[(n ＋7)＋(n －5)][(n ＋7)－(n －5)]＝(n ＋7＋n －5)(n ＋7－n ＋5)＝(2n ＋2)×12＝24(n ＋1)．
因为24(n ＋1)中含有24这个因数，
所以(n ＋7)2－(n －5)2能被24整除．
6．解：因为a 2－b 2＝ac －bc ，所以(a －b)(a ＋b)＝c(a －b)．
所以(a －b)(a ＋b)－c(a －b)＝0.所以(a －b)(a ＋b －c)＝0.
因为a ，b ，c 是△ABC 的三边长，所以a ＋b －c ≠0.
所以a －b ＝0.所以a ＝b.所以△ABC 为等腰三角形．
7．解：此三角形是等边三角形．理由如下：
∵a 2＋2b 2＋c 2－2ab －2bc ＝0，
∴a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＝0，
即(a －b)2＋(b －c)2＝0.∴a －b ＝0且b －c ＝0.
∴a ＝b 且b ＝c.∴a ＝b ＝c.∴此三角形是等边三角形．
8．思路导引：(1)按公因式分组，第一、二项有公因式a ，第三、四项有公因式c ，各自提取公因式后均剩下(a －b)；
(2)按系数特点分组，由系数特点知第一、三项为一组，第二、四项为一组．
解：(1)原式＝a(a －b)＋c(a －b)＝(a －b)(a ＋c)．
(2)原式＝(x 3－x)＋(6x 2－6)＝x(x 2－1)＋6(x 2－1)＝(x 2－1)(x ＋6)＝(x ＋1)(x －1)(x ＋6)．
9．解：(1)原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)＝(x－1)2－(y＋2)2＝[(x－1)＋(y＋2)]·[(x－1)－(y＋2)]＝(x＋y＋1)(x－y－3)．
(2)原式＝x4＋4x2－4x2＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．
点拨：拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”后再分组，以达到最终因式分解的目的．
10．解：令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.将y＝m2－2m代入上式，
则原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
11．解：a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2＝ab[(a＋b)2－4ab]．。