八年级数学培优学案9--一次函数综合

八年级数学培优学案9--一次函数拓展
一、一次函数与几何综合（讲义）
1. 一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）
①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为竖直高度，BM 即为水平宽度，则
=AM
k BM ，②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标． 2. 设直线l 1：y 1=k 1x +b 1，直线l 2：y 2=k 2x +b 2，其中k 1，k 2≠0．
①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1∥l 2； ②若k 1·k 2=-1，则直线l 1⊥l 2．
3. 一次函数与几何综合解题思路
从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题． 练习：
1. 如图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，点A ，D 是x 轴上的两点，已知四边形ABCD
是正方形，则k 的值为______．
y=kx
y=2x
A C B
D O
x
y
A O C
D E
B l 1
l 2
x y
D
y x O B
C A
第1题图 第2题图 第3题图
2. 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转
90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_______．
3. 如图，直线4
83
y x =-+交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，
交AB 于点D ，则点C 的坐标为____________．
4. 在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．
探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________； 猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________；
应用：已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________．
5. 如图，已知直线l ：3
33
y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l
折叠，点O 落在点C 处，则直线CA 的表达式为__________________．
M A B
l A
C
B O
x
y F
E A C
B
D
(O )x
y Q
P A
C
B
D
O
x
y
第5题图 第6题图 第7题图
6. 如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，E 是AB 上的一点，且BE :EA =5:3，EC =155，
把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，点B 恰好落在AD 边上的点F 处．若以点A 为原点，以直线AD 为x 轴，以直线BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则直线FC 的表达式为__________________．
7. 如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB =2，AD =1，过定点
Q (0，2)和动点P (a ，0)的直线与矩形ABCD 的边有公共点． （1）a 的取值范围是________________； （2）若设直线PQ 为y =kx +2（k ≠0），则此时k 的取值范 围是________________．
8. 如图，已知正方形ABCD 的顶点A (1，1)，B (3，1)，直线y =2x +b 交边AB 于点E ，交边
CD 于点F ，则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________． 1234
y=2x+b
4
32
1b
E
F A C
B
D O x
y
l 2l 1
(G )
E
F A C
B D
O x
y
第8题图 第9题图 第10题图
9. 如图，已知直线l 1：28
33
y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴
于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，-4)，P 为y 轴上B
点下方一点，PB =m （m >0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt △APM ． （1）求直线AB 的解析式；
（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；
（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，求点Q 的坐标．
Q
P
M
B x
A
O y
二、一次函数之存在性问题
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：
1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；
2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；
3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题． 练习
1. 如图，直线33
3
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．
y
x
O
B
A
C
B O
y
A
x
2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且
4
3
OC OB =. （1）求点B 的坐标和k 的值． （2）若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
3. 如图，直线y =kx +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，
3
4
OB OA =，点C 是直线y =kx +3上与A ，B 不重合的动点．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D ，是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
B O
y
A
x
C
B
O
y A x
4. 如图，直线1
22
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为(-3，0)，P (x ，y )是直线1
22
y x =
+上的一个动点 （点P 不与点A 重合）．
（1）在点P 的运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 之 间的函数关系式．
（2）当点P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27
8
？求出
此时点P 的坐标．
（3）过P 作AB 的垂线与x 轴、y 轴分别交于E ，F 两点，是 否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
三、一次函数之动点问题
1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，
B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒．
（1）求OA ，OB 的长．
（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
y x
O
B
A。