用一种代换方法证明两类条件不等式
证明不等式的几种方法
昭通学院学生毕业论文论文题目证明不等式的几种方法姓名学号 201103010128学院数学与统计学院专业数学教育指导教师2014年3月6日证明不等式的几种方法摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。
本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。
关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。
证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。
主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。
2.不等式证明的常用方法2.1 比较法比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。
具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式BA与1比较大小[]1。
差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则b a ≤.”其一般步骤为：1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。
2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。
其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。
3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。
商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若ba1≤则b a ≤.”其一 般步骤为：1.作商：将左右两端作商。
2.变形：化简商式到最简形式。
3.判断：商与1的大小关系，就是判定商大于1还是小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂指数式时，一般使用商值比较法。
不等式的等效替换法
不等式的等效替换法
不等式的等效替换法基于一个简单的原理，如果两个数相等，那么它们的平方也相等。
利用这个原理，我们可以对不等式进行平方、开方、乘除等操作，从而得到与原不等式等价的新不等式。
举个例子，假设我们要解决不等式 2x + 3 > 7。
我们可以通过等效替换法将其转化为更简单的形式。
首先，我们可以将不等式两边都减去3，得到 2x > 4。
然后，我们再将不等式两边都除以2，得到 x > 2。
这样，我们就得到了原不等式的等效形式。
不等式的等效替换法在解决数学问题时非常有用。
通过将复杂的不等式转化为简单的形式，我们可以更容易地求解不等式，从而得到问题的解。
因此，不等式的等效替换法是解决数学问题中的重要工具，也是我们在学习数学时需要掌握的重要技巧之一。
不等式的性质和证明
四、不等式1. 不等式的性质和证明知识网络不等式的性质和证明结构简图画龙点晴 概念不等式：用不等号把两个数学式子连结而得到的式子叫做不等式。
同向不等式：不等号相同的两个或几个不等式叫做同向不等式。
异向不等式：不等号相反的两个不等式叫做异向不等式。
绝对不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许值，不等式都成立，这样的不等式叫做绝对不等式。
矛盾不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许值，不等式都不成立，这样的不等式叫做矛盾不等式。
条件不等式：不等式中，对于字母所能取的某项允许值不等式能成立，而对于字母所能取的另外一些允许值不等式不能成立，这燕的不等式叫做条件不等式。
两实数大小的比较： 0>-⇔>b a b a ; 0=-⇔=b a b a ; 0<-⇔<b a b a . 求差比较的步骤：（1） 作差: 有的可直接作差，有的需转化才可作差;（2） 变形: 变形的目的是判断差的符号，为了便于判断符号，进行分解因式或配方等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号;（3） 判断差的符号。
(4） 结论。
[活用实例][例1] 设0>a 且1≠a ，比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小.[题解] )1()1()1(223-=+-+a a a a ,当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a ∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a .[例2]已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
[题解1][][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+--xx x aa +--=11l o g )1(l o g 2∵0 < 1 - x 2 < 1, 1110<+-<x x∴011log )1(log 2>+--xx x a a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-[题解2]2111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log x x x x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++)1(l o g 121x x --=+∵0 < 1 - x 2 < 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x ∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-[题解3]∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2,∴0)1(log ,0)1(log <+>-x x a a∴左 - 右 = )1(log )1(log )1(log 2x x x a a a -=++-∵0 < 1 - x 2 < 1, 且0 < a < 1 ∴0)1(log 2>-x a .∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-定理不等式的基本性质定理1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性） 定理2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）定理3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 定理4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则） （补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么dbc a >（相除法则）推论2 如果0>>b a , 那么nn b a > )1(>∈n N n 且 定理5：如果0>>b a ，那么nn b a >)1(>∈n N n 且[活用实例][例3]若0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log . [题解] ∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα,又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->->0, ∴db c a -<-11 ， ∴原式成立. [例4]已知2<a ≤4, -4≤b<-2, 求a+b, a-b 和ab 的取值范围. [题解] 2<a ≤4, -4≤b<-2, ∴-2<a+b<2.又-4≤b<-2, ∴2<-b ≤4, ∴4<a+(-b)≤8, 即4<a+-b ≤8. 4<⋅a (-b) ≤16, 即 4<-ab ≤16, ∴-16≤ab<-4. [例5]已知-1≤a+b ≤1, 1≤a-b ≤3, 求3a-b 的取值范围. [题解] 设3a-b=m (a+b)+n(a-b), ∴3a-b= (m+n)a+ (m-n)b比较系数，得⎩⎨⎧-=-=+13n m n m ∴⎩⎨⎧==21n m .∴3a-b= (a+b)+2 (a-b)-1≤a+b ≤1, 1≤a-b ≤3, ∴1≤(a+b)+2 (a-b) ≤7， ∴1≤3a-b ≤7. 均值定理定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 推论：如果+∈R b a ,，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 定理2： 如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） 推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++（当且仅当b a ==c 时取“=”） 算术平均数与几何平均数：如果+∈R a a a n ,,,21 ，且1>n ，那么na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
高一数学不等式知识点总结
高一数学不等式知识点总结一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3…BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。
解不等式及证明不等式的方法
解不等式及证明不等式的方法几个不等式和一些常用不等式的证明方法？文中的方法既包括初等数学方法，也包括高等数学方法，每种方法对应一个题目，便于大家理解和应用。
然而，本文没有证明某些不等式，而是直接使用了他们的结论。
一、不等式的一些性质这一块相对是很简单的，所以就不再过多赘述（例如乘法单调性、相加法则等等）二、比较法比较法是直接作出不等式两边的差(或商)，然后推导出结论的方法。
例、已知 0<x<1 求证 |logx_{a}(1-x)|>|log_{a}(1+x)|证：当 0<a<1 时，因 0<x<1 所以 |logx_{a}(1-x)|-|log_{a}(1+x)|=logx_{a}(1-x)+log_{a}(1+x)=log_{a}(1-x^{2})>0 当 a>1 时，因为 0<x<1 所以 |logx_{a}(1-x)|-|log_{a}(1+x)|=-logx_{a}(1-x)-log_{a}(1+x)=-log_{a}(1-x^{2})>0 综上得证。
该题也可以作商比较，有兴趣的朋友可以试试。
三、综合法综合法是“由因导果”，从一直条件出发，依据不等式性质、函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式。
例、已知 a^{2}+b^{2}=1 证明 asin\alpha+bcos\alpha\leq1证：因为a^{2}+sin^{2}\alpha\geq2asin\alpha,b^{2}+cos^{2}\alpha \geq2bcos\alpha 所以a^{2}+sin^{2}\alpha+b^{2}+cos^{2}\alpha\geq2asin\alpha +2bcos\alpha 也就是 1+1\geq2asin\alpha+2bcos\alpha 所以 asin\alpha+bcos\alpha\leq1该题大家也可以试试比较法。
不等式的证明的若干方法
不等式的证明的若干方法摘要：不等式是数学学习中一个常见的问题，它渗透于数学研究的各个环节。
而不等式的证明则是不等式知识中尤为重要的内容。
本文通过举例，对不等式的多种证明方法进行探讨。
关键词：不等式；证明方法；方法探究前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。
而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。
其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
1.不等式的概念不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。
不等式一般形如：f(x,y, …,z) ∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示“＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y, …,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
2.常见不等式证明的几种方法不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。
对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。
我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
2.1利用比较法法证明在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。
比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用．一、反证法如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理．反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的．用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A ≤B 不成立，而肯定A ＞B 成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．例1 设a 、b 、c 、d 均为正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b ＜c ＋d ；②(a ＋b)(c ＋d)＜ab ＋cd ；③(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)中至少有一个不正确．反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a 、b 、c 、d 都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤(2b a )2·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)，综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜34ab ，即a 2＋b 2＜－32ab ，显然矛盾．∴不等式①、②、③中至少有一个不正确．例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c＞0．证明：反证法由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0，又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0，从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾．∴假设不成立，从而a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2．证明：反证法假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8，∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2．故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)，又p ＞0，q ＞0 p ＋q ＞0，∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．故假设p ＋q ＞2不成立，∴p ＋q ≤2．例4 已知)(x f = x 2＋ax ＋b ，其中a 、b 是与x 无关的常数，求证：|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 反证法一：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21， 由于)1(f = 1＋a ＋b ，)2(f = 4＋2a ＋b ，)3(f = 9＋3a ＋b ，∴)1(f ＋)3(f －)2(f =2，但是，2 = |)1(f ＋)3(f －)2(f |≤|)1(f |＋|)3(f |＋2|)2(f |＜21＋21＋2×21= 2， 即2＜2，矛盾，∴假设不成立，∴|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 反证法二：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<.21|)3(|,21|)2(|,21|)1(|f f f ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-③b a ②b a ①b a .219321,214221,21121 ①＋③得：－1＜4a ＋2b ＋10＜1，即－21＜2a ＋b ＋5＜21， ∴－23＜2a ＋b ＋4＜－21，④ 显然②与④矛盾，因此，假设是不成立的， 故|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 例4 设a ，b ，c 均为小于1的正数，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能同时大于41． 证明：反证法假设(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 同时大于41，即(1－a)b ＞41，(1－b)c ＞41，(1－c)a ＞41， 则由41＜(1－a)b ≤(21b a +-)2⇒21b a +-＞21， 同理：21c b +-＞21，21a c +-＞21， 三个同向不等式两边分别相加，得23＞23，矛盾，所以假设不成立， ∴原结论成立．例6 若0＜a ＜2，0＜b ＜2，0＜c ＜2，求证：(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a不能同时大于1．证明：反证法假设⎪⎩⎪⎨⎧>->->-.1)2(,1)2(,1)2(a c c b b a 那么2)2(b a +-≥b a )2(-＞1，① 同理2)2(c b +-＞1，② 2)2(a c +-＞1，③ ①＋②＋③，得3＞3矛盾，即假设不成立，故(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a 不能同时大于1．二、三角换元法对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题．若变量字母x 的取值围与sin θ或cos θ的变化围相同，故可采用三角换元，把所要证的不等式转换为求三角函数的值域而获证．一般地，题设中有形如x 2＋y 2≤r 2，22a x ＋22b y = 1或22a x －22b y = 1的条件可以分别引入三角代换⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (| r |≤1)，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 或⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ，其中θ的取值围取决于x ，y 的取值围，凡不能用重要不等式证明的问题时，一般可以优先考虑换元(代数换元或三角换元)，然后利用函数的单调性最终把问题解决．在三角换元中，由于已知条件的限制作用，根据问题需要，可能对引入的角度有一定的限制，应特别引起注意，否则可能会出现错误的结果．例2 已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：21≤x 2－xy ＋y 2≤3． 证明：∵1≤x 2＋y 2≤2，∴可设x = rcos θ，y = rsin θ，其中1≤r 2≤2，0≤θ＜π2．∴x 2－xy ＋y 2= r 2－r 2sin θ2= r 2(1－21sin θ2)， ∵21≤1－21sin θ2≤23，∴21r 2≤r 2(1－21sin θ2)≤23r 2，而21r 2≥21，23r 2≤3， ∴ 21≤x 2－xy ＋y 2≤3． 例2 已知x 2－2xy ＋y 2≤2，求证：| x ＋y |≤10．证明：∵x 2－2xy ＋y 2= (x －y)2＋y 2，∴可设x －y = rcos θ，y = rsin θ，其中0≤r ≤2，0≤θ＜π2．∴| x ＋y | =| x －y ＋2y | = | rcos θ＋2rsin θ| = r|5sin(θ＋ractan21)|≤r 5≤10．例3 已知－1≤x ≤1，n ≥2且n ∈N ，求证：(1－x)n ＋(1＋x)n ≤2n ． 证明：∵－1≤x ≤1，设x = cos θ2 (0≤θ≤2π)， 则1－x =1－cos θ2= 1－(1－2sin 2θ) = 2sin 2θ，1＋x =1＋cos θ2= 2cos 2θ，∴(1－x)n ＋(1＋x)n = 2n sin n 2θ＋2n cos n 2θ≤2n ( sin 2θ＋cos 2θ) =2n ，故不等式(1－x)n ＋(1＋x)n ≤2n 成立．例4 求证：－1≤21x -－x ≤2．证明：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，故可设x = cos θ，其中0≤θ≤π． 则21x -－x =θ2cos 1-－cos θ= sin θ－cos θ=2sin(θ－4π)， ∵－4π≤θ－4π≤43π， ∴－1≤2sin(θ－4π)≤2，即－1≤21x -－x ≤2． 三、增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a ＞b ＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．例7 已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 证明：∵a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =21＋t ，b=21－t ， (t ∈R) 则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋25)2＋(t －25)2= 2t 2＋225≥225． ∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 例8 已知a 1＋a 2＋…＋a n = 1，求证：21a ＋22a ＋…＋2n a ≥n1． 证明：设a 1= t 1＋n 1，a 2= t 2＋n 1，…，a n = t n ＋n1，其中t 1＋t 2＋…＋t n = 0，则21a ＋22a ＋…＋2n a = (t 1＋n 1)2＋(t 2＋n 1)2＋…＋(t n ＋n 1)2= n ·21n＋2×n 1( t 1＋t 2＋…＋t n )＋…＋21t ＋22t ＋…＋2n t =n 1＋21t ＋22t ＋…＋2n t ≥n 1． 四、放缩法放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明不原不等式更强的不等式来代替原不等式的证明．这种证题方法的实质是非等价转化，而它的证题方法没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则是达不到目的．利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把和式中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．此类证法要慎审地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败．例5 设n 为自然数，求证：91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41． 证明：∵2)12(1+k =14412++k k ＜k k 4412+=41(k1－11+k )， ∴91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41[(1－21)＋(21－31)＋…＋(n 1－11+n ) =41(1－11+n )＜41． ∴91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41[(1－21)＋(21－31)＋…＋(n 1－11+n ) =41(1－11+n )＜41． 例5 已知a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ，其中n 为自然数， 求证：21n(n ＋1)＜a n ＜21(n ＋1)2． 证明：∵)1(+k k ＜21++k k =212+k 对任意自然数k 都成立， ∴a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ＜23＋25＋27＋…＋212+n =21[3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)] =21(n ＋2n)＜21(n ＋2n ＋1) =21(n ＋1)2． 又)1(+k k ＞2k = k ，∴a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ＞1＋2＋3＋…＋n =21n(n ＋1)， ∴21n(n ＋1)＜a n ＜21(n ＋1)2． 评析：根据要证不等式的结构特征，应用均值不等式“放大”a n 为一个等差数列的和，求和后再添加一个数1，直到“放大”到要证的右边；而左边是通过“缩小”a n 的方法去根号而转化为等差数列的和．放大或缩小的技巧很多，如添项、减项、分子、分母加或减一个数，或利用函数的单调性、有界性等等，但要注意放缩要适度．11．设a 、b 为不相等的两正数，且a 3－b 3= a 2－b 2，求证：1＜a + b ＜34． 证明：由题意得a 2＋ab ＋b 2= a + b ，于是(a ＋b)2= a 2＋2ab ＋b 2＞a 2＋ab ＋b 2= a + b ，故a + b ＞1，又(a ＋b)2＞4ab ，而(a ＋b)2= a 2＋2ab ＋b 2= a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋4)(2b a +， 即43(a ＋b)2＜a ＋b ，解得a + b ＜34． ∴1＜a + b ＜34． 例12 已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：1＜c b a b ++＋d c b c ++＋a d c d ++＋ba d a ++＜2． 证明：∵d cb a b +++＜c b a b ++＜ba b +， d c b a c +++＜d c b c ++＜dc c +，d c b a d +++＜a d c d ++＜dc d +， d c b a a +++＜b a d a ++＜ba a +， 将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜c b a b ++＋d c b c ++＋a d c d ++＋ba d a ++＜2．。
用一种代换方法证明两类条件不等式
ｒ 十丁 十ｒ 干 干 干
而 以上不等式等价于
Ｘ２
ｌ
１一 ２ Ｉ １ 一
１ 一 Ｚ２
ｌ
／
３
’
３
Ｙ２
ｌ
２
＼
＋— Ｌ ＋ — 一 ≤ 旦
．
Ｘ ＋ ｙｚ
Ｙ＋ Ｚ Ｘ
＋ ｘｙ
４
ｉ
一
十较繁， 下面利用本文介绍的 代换法给出一种简证．
＋
所 以原不等式获证． 年德国国家 队试题：
ａ ＋ ｃｃ）耋 ＋ ａ ． ＋ ｂ ： ｂ＋ ＋
等， 故 以上 不 等 式 等价 于
说 明：１以上证 明中的不等式 ⑨ 即为 ２０ （） ０１
设 仉 ｃ 是正数， 求证：
＋ 靠 ＼‘ 。 ３… ‘ …
令 。＝ ， ６＝ １
＋
解： 设 ： 、 ｃ ＝ ｖ ， ＝ 、ｎ （、 、 ／ ， ／ ６ ／６ ａ ｂ Ｃ ／
＞０， 问题变为： ）则 已知０ ＋ｂ ＋ｃ １ 求 Ｓ＝ ６ ｃ ａ＝ ， ａ＋ｂ 的最小值． ＋Ｃ 因为 Ｓ ＝ （ ａ＋ｂ ｃ。＝ ａ ＋ ） ＋ｂ 。＋Ｃ ＋
≥ 对 所有 正 实 数 。 、 成 立 ・ ｃ
甘 ａ ＋而 ｂ ＋ ｃ ≤ ９
这正是例 ２ 即知所证不等式成立． ，
所以当 ＝ Ｙ＝ ＝
。
．
时， 取得最小值
证 法 ｌ 设 ａ＝ ｙ ， Ｚ ， ｘ Ｘ Ｙ ＞ ： ｚｂ＝ Ｘ Ｃ＝ ｙ（、 、
０， 问题转化为： ）则 已知 ＋ ＋ ｚ＝ ｌ 求证： ，
例２ （ ［ 问题 １设 、 、 文 １ ］ ） Ｙ 为正实数， 且
Ｘ＋ Ｙ＋ ＝ ｌ求证 ： ，
证明不等式的基本方法
证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是局部的、相对的，而不等则是普遍的、绝对的，不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”．对于两个量，我们常常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个量，这就是不等式的证明．不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如平均不等式，柯西不等式等，其中还需用到一些技巧性高的代数变形．本节将介绍证明不等式的一些最基本的方法．比较法比较法一般有两种形式；（1）差值比较欲证A ≥B ．只需证A —B ≥0； （2）商值比较若B>0，欲证A ≥B ，只需证BA≥1． 在用比较法时，常常需要对式子进行适当变形，如因式分解、拆项、合并项等． 例l 实数x 、y 、z 满足1-=++zx yz xy ，求证：485222≥++z y x ．例2 设+∈R c b a ,,，试证：对任意实数x 、y 、z ，有：)())()((2222zx bac yz a c b xy c b a a c c b b a abc z y x ++++++++≥++，并指出等号成立的充要条件．例3 设+∈R c b a ,,，试证： b a a c c b cb ac b a c b a +++≥222．例4 设+∈R c b a ,,，1222=++c b a ，求abc c b a cb a S )(2111333222++-++=的最小值．说明先猜后证是处理许多极值问题的有效手段．猜，一猜答案，二猜等号成立的条件；证明的时候要注意等号是否能取到．有时我们直接证明不等式A ≤B 比较困难，可以试着去找一个中间量C ，如果有A ≤C 及C ≤B 同时成立，自然就有A ≤B 成立．所谓“放缩”即将A 放大到C ，再把C 放大到B 或者反过来把B 缩小到C 再缩小到A ．不等式证明的技巧，常体现在对放缩尺度的把握上．例5 证明：对任意+∈R c b a ,,，均有abc abca c abc cb abc b a 1111333333≤++++++++．例6 设),,2,1(1n i a i =≥，求证：)1(12)1()1)(1(2121n nn a a a n a a a +++++≥+++ ．所谓分析法就是先假定要证的不等式成立，然后由它出发推出一系列与之等价的不等式（即要求推理过程的每一步都可逆），直到得到一个较容易证明的不等式或者一个明显成立的不等式．分析法是一种执果索因的证明方法，在寻求证明思路时尤为有效．例7 若0,,≥∈y R y x ，且2)1()1(+≤+x y y ．求证；2)1(x y y ≤-．例8 设+∈R c b a ,,，求证：ab b a abc c b a 233-+≥-++．引入参数法引入适当的参数，根据题中式子的特点，将参数确定，从而使不等式获得证明． 例12 设+∈R q p ,，且233=+q p ，求证：2≤+q p ．例13 设+∈R c b a ,,，且12222=++c b a ，求证：24333≥++c b a ．例14 设z y x ,,是3个不全为零的实数，求2222z y x yzxy +++的最大值．标准化（归一化）当不等式为齐次式的时候，常可设变量之和为k （某个常数），这样不仅简化了式子，而且增加了条件，有助于我们解决问题．例15 设c b a ,,是正实数，求证：8)(2)2()(2)2()(2)2(222222222≤++++++++++++++b a c b a c a c b a c b c b a c b a ．例16 已知0,02=++>++c bx ax c b a 有实根，求证：{}{}c b a c b a c b a ,,max 49,,min 4≤++≤．习题1．设R z y x ∈,,，求证：[][]2222222222222)()()()()()(zx yz xy z y x z y x zx yz xy z y x z y x ++-++++≥++-++++．2．设+∈R c b a ,,，求证：333888111c b a c b a c b a ++≤++．3．设实数10021,,,a a a 满足： （1）010021≥≥≥≥a a a ； （2）10021≤+a a ；（3）10010043≤+++a a a ． 求21002221a a a +++ 的最大值．4．如果+∈R c b a ,,，求证：2222222)())()((ca bc ab a ca c c bc b b ab a ++≥++++++．5．设0,,≥z y x ，求证：xyz z y x z y x z y x z y x 3)()()(222≥-++-++-+．并确定等号成立的条件．6．设+∈R c b a ,,，求证：49)(1)(1)(1)(222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++x z z y y x zx yz xy ．7．求证：161cos sin 1010≥+αα．变量代换法变量代换是数学中常用的解题方法之一．将一个较复杂的式子视为一个整体，用一个字母去代换它，从而使复杂问题简单化．有时候．有些式子可以用三角换元，从而使问题简化．当问题的条件或结论中出现“222r y x =+”，“222r y x ≤+”，“22x r -”或“1≤x ”等形式时，可以考虑用“sin α”与“cos α”代换；问题的条件或结论中出现“22x r +”．“22r x -”形式时，可作“αtan r x =”或“αsec r x =”代换等．在作代换时，要特别注意α的取值范围是由原变量x 的取值范围决定．例l 已知00≤α≤900，求证：49sin sin 452≤+-≤αα．例2 已知实数y x ,满足096422=+--+y x y x ，求证：996121922≤+++≤y x y x ．例3 设c b a ,,是三角形的三边长，求证：0)()()(222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a ．已知。
巧用“1”的代换运用基本不等式+专题课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修5
3
4
3
1
∴ 当 = , = 时， +
故选B.
1
9
的最小值为 .
4
16
+
4
+
16
注意：当条件和式不为常
数1时，应作如下变形：
1
1= × +
4
例3.若正数, 满足 + 3 = 5,则3 + 4的最小值是(
A.
24
5
28
5
B.
C.
5
D.
).
6
1
5
+
3
5
∙
【审题视点】由于已知 + 3 = 5可变形为
∴ + 的最小值为12.
错因分析：
解法中两次连用基本不等式，
1
9
+≥2
9
1
等号成立的条件是
9
= ，即 = 9,
+ ≥ 2 等号成立的条件是 = ，
取等号的条件的不一致，产生错误.
总结：
以上解法正确吗？为什么？
在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的
必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.
8
【解答】 ∵ > 0, > 0,且 + = 2,
1
∴ +
8
=
当且仅当
+
2
2
4
3
=
+
8
1
2
= +
2
+
不等式证明中的七种代换
证 明 设 ｂ － ｆ— ａ— Ｙ＞ ０ ４ ，
１ ＋ ａ— ｂ— ＞ ０， Ｃ
三式相 加 ， 得 ａ ｂ Ｃ— ＋Ｙ＋ ， ＋ ＋
２１ ０ １年 第 ４ 期
数 学 中 的思 想 和方 法
《 理 天 地 》 中版 数 高
则 原 不 等 式 化 为 （ ＋ ＋ ｚ 。 ２ ． ｚ － ｚ ） ≥ ７ｙ ， ｒ
＋Ｙ ＋ｚ 。
则
一
证明 设 口一 √３ ， 一 √３ ， ＋ ｂ 一
则 因 为
所 以
口＞ ｂ＞ ０ ， ａ ｂ ａ ＜ ｎ ＋ ｂ ＋ ｂ 。 。一 ６ ，
３ ｂ（ ａ ａ＋ ６ ）＜ １ ８，
３ ｂ（ ａ ａ＋ ６ ＋ ａ ） ＋ ｂ 。＜ ２ ４，
一
（＋ ） （＋ ） （＋ ） ÷ ＋÷ ｔ ＋ １ ｔ ２ ３ 。
÷ ｃ ÷ 其 ＋ ＋ 一 ， ＋ ， ＋ ，中 。 一 。 。 或 ÷ ６ ÷ ￡ ＝１ （ ． ＋ ， ＋。 ＝ 一￡ ） 一 ，＝ ｃｉ ＋
ｎ 一
例 ５ 在 △ Ａ Ｃ 中 ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ所 对 的 Ｂ 边 分别 为 ｄｂＣ求证 ： ．，，
＆一 ｂ
＋ ｃ １ 。 ２ ｙ—Ｙ ≤ √ ． ｚ ｒ 】 ２
证 明 设 － ｒ ｏ ａ， 一 ｒ ｉａ Ｏ≤ ｒ １ ， ｚ— ｃ ｓ ｓｎ （ ≤ ） 则
—
＋ ｚ Ｉ 。 ２ ｙ— Ｙ Ｉ ＣＳ Ｉ Ｏ 。 ＋ ２ 。 ｉ Ｏ — ｉ。 ｒ ｒ ｓｎ Ｃ Ｓ —ｒ ｓｎ ａ １
两 个 量 （ 两个 以上） ， 相 等 ， ａ＞ ｂ 或 ａ ｂ不 如 ，
则 可作 代换 ａ— ｂ （≥ｏ称为增量） 即将 ａ ＋ ， ， 表 示为 加上 一 个正 数 的形 式 ， 样 可使 不 等 化 这 为相等 ， 问题得 以简化．
中学数学证明不等式的方法
中学数学证明不等式常见的九种证明方法许071114 数学与应用数学不等式作为工具，被广泛地应用到数学的各个领域。
不等式的证明是高考和数学竞赛中的热门话题。
不等式的形式多种多样，证明手法也是灵活多变，它常常和许多内容相结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。
不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
下面就结合不等式教学实际谈谈如何让学生通过不等式的证明这个知识点进行横向扩散和纵向扩散。
1、比较法：比较两个式子的大小,求差、求商或过渡比较法都是最基本最常用的方法。
1.1求差法：要证不等式a>b,只需证明a-b>0即可，其步骤为：做差a-b →变形(常用变形方法有:通分，因式分解，配方等)→判断符号。
例1 求证：x2+3＞3x证明：：∵(x2+3)-3x=x2-3x+(32)2-(32)2+3= +≥ >0 ∴x2+3＞3x例2 已知a,b ∈R+，并且a ≠b ，求证 a5+b5＞a3b2+a2b3证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)= a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵a,b ∈R+ ∴a+b ＞0, a2+ab+b2＞0又因为a ≠b,所以（a-b ）2＞0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0 即(a5+b5)-(a3b2+a2b3)＞0∴a5+b5＞a3b2+a2b31.2求商法：当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数式可采用作商比较法。
若b>0,欲证a>b,只需证明b a >1;欲证:a<b,只需证明: 1<b a 。
其步骤为：作商→变形→判断结果与1的大小关系。
例 3 已知a>0,b>0,求证:aabb ≥(ab)2ba +.分析：因两边都是乘积的幂指数运算形式，而a>0,b>0,故可作商与1比大小.证明： 2222)()(b a a b b a ba ba b a b a ab b a -=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∙=∙1）若a>b>0,则02,1>->b a b a ,故2ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛>1。
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
用正切代换方法证明几何不等式
（） １
由于 Ａ＋ Ｃ＝ 故 可 将 式 （） 的角 元 消 去 １ ． 假 设 消 去 角 Ｃ， 到 仅 含 有 角 元Ａ和Ｂ的 三 角 函数 不 ＋ 仃， １中 个 现 得
等 式 ｇＡ，） ． （ Ｂ ≥０ （） ２
由 Ａ 三 函 一 可 用 和ｎ 表 出 （妨 ｔ 扭 ＝） 不 式２ 于和的 角 数 般 以 锄 ｔ导 示 来不 设ａ ｃ导 ， 等 （ ａ ｎ ＝ ｚ故 ） 可
１ 研Ｒ ４ ｔ； ａ
３
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化 为 二 元 不 等 式
（ ，） ， ｌ ，＞０ ≥０ １２ ＞０￡ ． ２ （） ３
这 样 就将 三 元 不 等 式 （） 化 成 了 二 元 不 等式 （） 这 个 转 化 过 程 中 ， 于 应 用 了 万 能 置 换 公 式 ， １转 ３． 在 由 即把 三
角 形 内 角 的三 角 函数 通 过 其 半 角 的正 切 表 示 出 来 ， 故将 这 种证 明 不 等 式 的方 法 称 为 正 切 代 换 方 法 ．
对 正切 代 换 的相 关 问题 进行 讨 论 ．
１ 正 切 代 换 方 法 及 其 代 换 公 式
１１ 三 角 形 中 的 正 切 代 换 方 法 ．
ＡＡＢ ＠ 的 齐 次 不 等 式 ， 可 以化 为关 于 三 角 形３ 内 角 函 数 的 不 等 式 Ｃ 总 个
ｆ Ｂ Ｃ ≥０ ＜ ，） ． Ａ，
摘 要 ： 出用 正 切 代 换 方 法 证 明 三 角 形 几 何 不 等 式 和 圆 内接 四 边 形 不 等 式 ； 出 了代 换 公 式 ， 多 实例 表 提 给 诸
不等式证明常用方法
不等式证明常用方法不等式是中学数学最基本内容之一,它有着丰富的实际背景，与生产实践联系十分密切；因此，无论普通高考，还是对口高考，不等式,历年都是考试的重点、热点,甚至难点。
下面就不等式的证明，介绍几种常见方法，如有不对，敬请同行、同学们斧正. 一、作差法例1、对于任意实数x ,求证：x x 232>+.证明：∵x x 232-+=2)1(2+-x 0> ∴x x 232>+.评注:1.作差法步骤:作差—变形—判断与0的关系—结论.2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用.二、作商法例2、设a ,b 均是正实数，求证：a b b a b a b a ≥.证明：首先，由条件0>bab a ,0>abb a ， 其次， b a a b b a b aba b a -=)(，⑴当0>≥b a 时，1≥ba，0≥-b a ，∴1)(≥-b a b a .⑵当0>>a b 时，10<<b a ，0<-b a ，∴1)(>-b a ba.综合⑴、⑵：1)(≥-b a ba，∴a b b a b a b a ≥.评注:1.作商法步骤:作商—变形—判断与1的关系—结论.2.作差法是通法，运用较广；作商法，要注意条件，不等式两边必须是正数。
作商法常用于证幂、指数形式的不等式。
三、综合法例3、设a ,b ,c 均是正实数,求证：c b a c ab b ca a bc ++≥++ 证明：∵a ,b ,c 均是正实数,∴a bc ,b ca ,cab也均是正实数.∴2,2,2bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a+≥+≥+≥∴2(bc a +)(2c b a c abb ca ++≥+， ∴c b a cab b ca a bc ++≥++ 评注：1.利用某些已经证明过的不等式（例如正数的算术均值不小于几何均数等）和不等式的性质(例如||||||||||b a b a b a +≤+≤-等)推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2.综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.3.运用综合法证明不等式，必须发现式子的结构特征，结合重要不等式和常用不等式，找到解题的方法。
例谈“三角代换”法证明不等式
课程篇变量代换是解决数学问题的常用技巧，在高考试卷特别是数学竞赛中出现频繁。
对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可以适当引进一些新变量替换（或者部分替换）原来的变量，从而简化结构，凸显特征，是转化与化归的数学思想的重要体现。
三角代换是一种常用的代换方法，下面通过举例子来说明用“三角代换”法证明不等式。
例1.设x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，证明：（x 12+y 12）（x 22+y 22）≥（x 1x 2+y 1y 2）2证明：设x 12+y 12=r 12，x 22+y 22=r 22，r 1，r 2≥0，于是，可令x 1=r 1cos α，y 1=r 1sin α，x 2=r 2cos β，y 2=r 2sin β从而有（x 12+y 12）（x 22+y 22）=（r 12cos 2α+r 12sin 2α）（r 22cos 2β+r 22sin 2β）=r 12r 22≥r 12r 22cos 2（α-β）=（r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β）=（x 1x 2+y 1y 2）2当x 1，x 2，y 1，y 2不全为零时，其中等号当且仅当cos （α-β）=±1时取得，即当x 1=λx 2，y 1=λy 2时，等号成立。
例2.设实数x i >0（i =1，2，…，n ），ni =1∑x i =1，正数m 满足1-mx i 2≥0（i =1，2，…，n ）。
求证：ni =1∑1-mx i 2√≤n 2-m√证明：由于0<m √x i ≤1，可设m √x i =cos αi （αi 为锐角），则令y =ni =1∑1-mx i2√=ni =1∑sin αi (1)且n i =1∑cos αi =ni =1∑m √x i =m√ni =1∑x i =m √……（2）以上两式平方相加后，得y 2+m =（ni =1∑sin αi ）2+（ni =1∑cos αi ）2=n +2ni =j ∑cos （αi -αj ）≤n +C 2n =n 2于是y 2≤n 2-m ，即y ≤n 2-m √，故原不等式得证。
高一数学不等式题型1的代换公式
高一数学不等式题型1的代换公式
不等式是数学中的一种重要概念，在高一数学中也有很多与不等式相关的题型。
其中，代换公式是解决一类特定类型不等式的有效方法之一。
高一数学的不等式题型1中，常常会遇到形如 x² + px + q > 0 的二次不等式。
为了解决这类题目，我们可以使用一种常见的代换公式：令 t = x + m，其中 m 是
一个参数。
通过代入 t = x + m，我们可以将二次不等式转化成一个简单的一次不等式。
下
面我们将详细介绍如何运用代换公式来解决这类不等式题目：
1. 确定参数 m 的取值范围，使得代换后的一次不等式可以更方便地求解。
2. 将 t = x + m 代入给定的二次不等式，得到关于 t 的一次不等式。
3. 求解得到关于 t 的不等式的解集。
4. 根据 t = x + m 的代换关系，将 t 的解集转换回原始不等式的解集。
需要注意的是，在求解过程中要注意考虑代换带来的影响。
具体说来，如果参
数 m 的取值范围会导致转换出来的一次不等式不易求解，那么就需要重新选择合
适的参数 m。
在解决二次不等式时，代换公式可以简化计算过程，使得求解更加高效。
同时，代换公式的运用也能帮助我们更好地理解不等式的性质与关系。
总之，高一数学不等式题型1中的代换公式可以解决一类特定类型的不等式，
有效地将二次不等式转化为一次不等式，从而方便求解。
通过掌握代换公式的运用方法，我们能够更好地应对不等式题目，提高数学解题的能力。
高一数学不等式证明知识点
高一数学不等式证明知识点高一时数学就涉及到很多重要的考点，这些知识点一定要掌握好，因为它们关系到下面的数学学习。
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高一数学不等式证明知识点不等式公式如果a,b是正数，那么(a+b)/2≥(根号下ab),当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式。
若a,b∈R，则a平方+b平方≥2ab或ab≤(a平方+b平方)/2.若a,b∈R，则(a平方+b平方)/2≥[(a+b)/2]的平方若a,b∈R※，则a+b>=2(根号ab) 或ab≤[(a+b)/2]的平方高一数学不等式证明知识概要不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
条件不等式的求解
条件不等式的求解条件不等式的分类和方程的分类相同，都可以分为超越和代数不等式，代数式又可以分为有理不等式和无理式不等式，有理式再分为整式不等式和分式不等式，与方程主要讨论一元二次方程一样，整式不等式中主要讨论一元二次不等式，二者在解法上也是相同的，但是，不等式的解法也具有自己的特色。
下面分五个方面进行讨论： 1.由复杂向简单不等式的转化转化，或者称为化归，是数学中常用的处理方法，在解不等式中，可以将超越不等式转化为代数不等式；将无理不等式转化为有理不等式；将高次不等式转化为低次不等式等等。
例1 解不等式0)3)(5)(1()2)(3)(1(232≥++---+x x x x x x x .（数轴穿根法，详见板书讲解）例2 解不等式x x x 6134696⋅⋅+⋅ .解：显然0≠x，不等式变为x x x 1116134696⨯⨯+⨯ .因为061x ，逐项除以x16，得：13)32(6)23(611x x ⋅+⋅.令0,)32(1 t t x=.原不等式变为：013166 -⋅+⋅tt ，即061362tt t +⋅-⋅.因为0 t ，所以061362 +⋅-⋅t t . 解得：2332t ，即 23)23(321x ，即111)23()23()23( x - .由于x y )23(=是增函数，所以111 x -，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-.11,11xx当0 x 时，得 ,1,1,1 x x x ⇒⎩⎨⎧- 当0 x 时，得 .1,1,1-⇒⎩⎨⎧- x x x 所以原不等式的解集为：}{),1()1,(+∞--∞∈ x x例3 若,2 p R p 且∈不等式p x x p x +++2222log21log)(log恒成立，求实数x 的取值范围。
【分析】此例如果把不等式看成是关于x 2log 的一元二次不等式，则问题很难处理，如将问题转化为关于p 的一次不等式，问题反而很好解决，令a x =2log ，将不等式转化为：012)1(2 +-+-a a p a ， 令12)1()(2+-+-=a a p a p f ，则0)( p f 恒成立，等价于：⎪⎩⎪⎨⎧+-+--+-+-⇒⎩⎨⎧-.012)1(2,012)1(2.0)2(,0)2(22a a a a a a f f 解不等式组得：210813x x a a 或或⇒- .2.分类讨论当我们要解决的问题不能统一处理时，要按问题出现的各种情况分类进行讨论，分别作出与各类情况相应的结论，一些不等式含有参数，这类问题的解与参数的变化有关，此时，就需要根据参数的不同取值情况进行分类讨论。