2021高考数学文科二轮复习 小题分层练(一) 本科闯关练(1)

合集下载

【志鸿优化设计】2021高考数学二轮专题升级训练 专题一 第2讲 不等式 理 新人教A版(1)

【志鸿优化设计】2021高考数学二轮专题升级训练 专题一 第2讲 不等式 理 新人教A版(1)

专题升级训练不等式(时刻:60分钟总分值:100分)一、选择题(本大题共6小题,每题6分,共36分)1.不等式x2-4>3x的解集是( )A.(-∞,-4)∪(4,+∞)B.(-∞,-1)∪(4,+∞)C.(-∞,-4)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)2.假设a,b∈R,且ab>0.那么以下不等式中,恒成立的是( )A.a2+b2>2abB.a+b≥2C. D.≥23.(2021·福建,文6)假设变量x,y知足约束条件那么z=2x+y的最大值和最小值别离为( )A.4和3B.4和2C.3和2D.2和04.下面四个条件中,使a>b成立的充分没必要要条件是( )A.a>b+1B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b35.已知a>0,b>0,a+b=2,那么y=的最小值是( )A. B.4C. D.56.设实数x,y知足不等式组假设x,y为整数,那么3x+4y的最小值是( )A.14B.16C.17D.19二、填空题(本大题共3小题,每题6分,共18分)7.不等式≤3的解集为.8.设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+5y的最大值为4,那么m的值为.9.若是关于x的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集别离为(a,b),,那么称这两个不等式为“对偶不等式”,若是不等式x2-4x cos 2θ+2<0与不等式2x2+4xsin 2θ+1<0为“对偶不等式”,且θ∈,那么θ=.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)10.(本小题总分值15分)设函数f(x)=4x-a,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)假设不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤2},求a的值.11.(本小题总分值15分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1,另外两个零点可别离作为一个椭圆、一个双曲线的离心率.(1)求a+b+c的值;(2)求的取值范围.12.(本小题总分值16分)某化工厂为了进行污水处置,于2021年末投入100万元,购入一套污水处置设备.该设备每一年的运转费用是0.5万元,另外每一年都要花费必然的保护费,第一年的保护费为2万元,由于设备老化,以后每一年的维护费都比上一年增加2万元.(1)求该企业利用该设备x年的年平均污水处置费用y(万元);(2)问为使该企业的年平均污水处置费用最低,该企业几年后需要从头改换新的污水处置设备?##1.B解析:由x2-4>3x,得x2-3x-4>0,即(x-4)(x+1)>0.∴x>4或x<-1.2.D解析:由ab>0,可知a,b同号.当a<0,b<0时,B,C不成立;当a=b时,由不等式的性质可知,A不成立,D 成立.3.B解析:画出可行域如下图阴影部份所示.画出直线2x+y=0,并向可行域方向移动,当直线通过点(1,0)时,z取最小值.当直线通过点(2,0)时,z取最大值.故z max=2×2+0=4,z min=2×1+0=2.4.A解析:A选项中,a>b+1>b,因此充分性成立,但必要性不成立,因此“a>b+1”为“a>b”成立的充分没必要要条件.5.C解析:∵2y=2=(a+b)=5+,又a>0,b>0,∴2y≥5+2=9,∴y min=,当且仅当b=2a时取等号.6.B解析:不等式组表示的区域如图中阴影部份所示,设z=3x+4y,即y=-x+z,当该直线通过可行域时截距越小z就越小,由数形结合可知y=-x+z通过点(4,1)时截距最小,现在z的最小值为16.7. 解析:由≤3得≤0,解得x<0或x≥.8.3 解析:画出不等式组所对应的可行域(如图).由于z=x+5y,因此y=-x+z,故当直线y=-x+z平移至通过可行域中的N点时,z取最大值.由解得N.因此z=x+5y的最大值z max=.依题意有=4.解得m=3.9. 解析:由题意可知ab=2,a+b=4cos 2θ,=-2sin 2θ,即=-2sin 2θ,∴2cos 2θ=-2sin 2θ,tan 2θ=-.∵θ∈,∴2θ∈(π,2π),2θ=.∴θ=.10.解:(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为4x-1≥3x+2,由此可得x≥3.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3}.(2)由f(x)≤0得4x-a≤0.因为a>0,因此不等式组的解集为.由题设可得=2,故a=8.11.解:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=-1.(2)∵c=-1-a-b,∴f(x)=x3+ax2+bx-1-a-b=(x-1)[x2+(a+1)x+a+b+1].从而另外两个零点为方程x2+(a+1)x+a+b+1=0的两根,且一根大于1,一根小于1而大于零,设g(x)=x2+(a+1)x+a+b+1,由根的散布知识画图可得即作出可行域,如下图,那么表示可行域中的点(a,b)与原点连线的斜率k,直线OA的斜率k1=-,直线2a+b+3=0的斜率k2=-2,∴k∈,即.12.解:(1)y=,即y=x++1.5(x∈N*).(2)由均值不等式,得y=x++1.5≥2+1.5=21.5(万元),当且仅当x=,即x=10时取到等号.故为使企业的年平均污水处置费最低,该企业10年后需从头改换新的污水处置设备.。

解密04 数列求和及综合问题(分层训练)-【高频考点解密】2021年高考数学二轮复习讲义+分层训练

解密04 数列求和及综合问题(分层训练)-【高频考点解密】2021年高考数学二轮复习讲义+分层训练

解密04 数列求和及综合问题A 组 考点专练一、选择题1.已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n +12n 的前n 项和,若m >T 10+1 013恒成立,则整数m 的最小值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023【答案】C【解析】因为2n +12n =1+12n ,所以T n =n +1-12n ,则T 10+1 013=11-1210+1 013=1 024-1210,又m >T 10+1 013,所以整数m 的最小值为1 024.2.在等差数列{a n }中,a 3+a 5=a 4+7,a 10=19,则数列{a n cos n π}的前2 020项的和为( ) A.1 009 B.1 010 C.2 019 D.2 020【答案】D【解析】设{a n }的公差为d ,则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+6d =a 1+3d +7,a 1+9d =19,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2,∴a n =2n -1,设b n =a n cos n π,则b 1+b 2=a 1cos π+a 2cos 2π=2, b 3+b 4=a 3cos 3π+a 4cos 4π=2,…,∴数列{a n cos n π}的前2 020项的和S 2 020=(b 1+b 2)+(b 3+b 4)+…+(b 2 019+b 2 020)=2×1 010=2 020. 3.数列{a n }满足a 1=1,对任意n ∈N *,都有a n +1=1+a n +n ,则1a 1+1a 2+…+1a 99=( )A.9998 B.2C.9950D.99100【答案】C【解析】对任意n ∈N *,都有a n +1=1+a n +n ,则a n +1-a n =n +1,则a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=n +(n -1)+…+1=n (n +1)2,则1a n =2n (n +1)=2⎝⎛⎭⎫1n -1n +1,所以1a 1+1a 2+…+1a 99=2[⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫199-1100]=2×⎝⎛⎭⎫1-1100=9950. 4.(多选题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n +1=S n +2a n +1,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n +1的前n 项和为T n ,n ∈N *,则下列选项正确的为( ) A.数列{a n +1}是等差数列 B.数列{a n +1}是等比数列 C.数列{a n }的通项公式为a n =2n -1 D.T n <1 【答案】BCD【解析】由S n +1=S n +2a n +1,得a n +1=S n +1-S n =2a n +1,可化为a n +1+1=2(a n +1).由a 1=1,得a 1+1=2,则数列{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列.则a n +1=2n,即a n =2n-1.由2na n a n +1=2n (2n -1)(2n +1-1)=12n -1-12n +1-1,得T n=1-122-1+122-1-123-1+…+12n -1-12n +1-1=1-12n +1-1<1.所以A 错误,B ,C ,D 正确.故选BCD.5.(多选题)已知数列{a n }满足a n +1+a n =n ·(-1)n (n +1)2,其前n 项和为S n ,且m +S 2 019=-1 009,则下列说法正确的是( ) A.m 为定值 B.m +a 1为定值 C.S 2 019-a 1为定值 D.ma 1有最大值【答案】BCD【解析】当n =2k (k ∈N *)时,由已知条件得a 2k +a 2k +1=2k ·(-1)k (2k+1),所以S 2 019=a 1+a 2+a 3+…+a 2 019=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2 018+a 2 019)=a 1-2+4-6+8-10+…-2 018=a 1+1 008-2 018=a 1-1 010,所以S 2 019-a 1=-1 010.m +S 2 019=m +a 1-1 010=-1 009,所以m +a 1=1,所以ma 1≤⎝⎛⎭⎫m +a 122=14,当且仅当m =a 1=12时等号成立,此时ma 1取得最大值14.故选BCD. 二、填空题6.对于数列{a n },定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”,若a 1=2,数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n +1-a n =2n ,则数列{a n }的前n 项和S n =________. 【答案】2n +1-2【解析】因为a n +1-a n =2n ,所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2n -1+2n -2+…+22+2+2=2-2n 1-2+2=2n -2+2=2n,所以S n =2-2n +11-2=2n +1-2.7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =3a n +1,则a 1=________,a n =________. 【答案】-1 -3n -1【解析】令n =1,则2S 1=3a 1+1,又S 1=a 1,所以a 1=-1.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12(3a n -3a n -1),整理得a n =3a n -1,即a na n -1=3(n ≥2).因此,{a n }是首项为-1,公比为3的等比数列. 故a n =-3n -1.8.已知数列{na n }的前n 项和为S n ,且a n =2n ,则使得S n -na n +1+50<0的最小正整数n 的值为________. 【答案】5【解析】S n =1×21+2×22+…+n ×2n , 则2S n =1×22+2×23+…+n ×2n +1,两式相减得 -S n=2+22+…+2n -n ·2n +1=2(1-2n )1-2-n ·2n +1,故S n =2+(n -1)·2n +1. 又a n =2n ,∴S n -na n +1+50=2+(n -1)·2n +1-n ·2n +1+50=52-2n +1, 依题意52-2n +1<0,故最小正整数n 的值为5. 三、解答题9.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 10=4,S 15=30. (1)求数列{a n }的通项公式以及前n 项和S n ;(2)记数列{2a n +4+a n }的前n 项和为T n ,求满足T n >0的最小正整数n 的值. 【解析】(1)记数列{a n }的公差为d ,S 15=30⇒15a 8=30⇒a 8=2,故d =a 10-a 810-8=1,故a n =a 10+(n -10)d =4+n -10=n -6,S n =na 1+n (n -1)d 2=-5n +n (n -1)2=n 22-11n2.(2)依题意,2a n +4+a n =n -6+2n -2T n =(-5-4+…+n -6)+(2-1+20+…+2n -2)=n (n -11)2+2n -12, 当n =1时,T 1=-1×10+21-12<0;当n =2时,T 2=-2×9+22-12<0;当n =3时,T 3=-3×8+23-12<0;当n =4时,T 4=-4×7+24-12<0;当n ≥5时,n (n -11)2≥-15,2n -12≥312,所以T n >0.故满足T n >0的最小正整数n 的值为5.10.甲、乙两同学在复习数列时发现曾经做过的一道有关数列的题目因纸张被破坏,导致一个条件看不清,具体如下:等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知________. (1)判断S 1,S 2,S 3的关系;(2)若a 1-a 3=3,设b n =n 12|a n |,记{b n }的前n 项和为T n ,求证:T n <43.甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值,乙同学记得缺少的条件是公比q 的值,并且他俩都记得第(1)问的答案是S 1,S 3,S 2成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的,请你通过推理把条件补充完整并解答此题.【解析】(1)由S 1,S 3,S 2成等差数列,得 2S 3=S 1+S 2,即2(a 1+a 1q +a 1q 2)=2a 1+a 1q , 解得q =-12或q =0(舍去).若乙同学记得的缺少的条件是正确的,则公比q =-12.所以S 1=a 1,S 2=a 1+a 2=a 1-12a 1=12a 1,S 3=a 1+a 2+a 3=a 1-12a 1+14a 1=34a 1,可得S 1+S 2=2S 3,即S 1,S 3,S 2成等差数列.(2)由a 1-a 3=3,可得a 1-14a 1=3,解得a 1=4,所以a n =4×⎝⎛⎭⎫-12n -1.所以b n =n 12|a n |=n 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×⎝⎛⎭⎫-12n -1=23n ·⎝⎛⎭⎫12n. 所以T n =23⎝⎛⎭⎫1×12+2×14+3×18+…+n ×12n , 12T n =23⎝⎛⎭⎫1×14+2×18+3×116+…+n ×12n +1, 两式相减,得12T n =23⎝⎛⎭⎫12+14+18+116+…+12n -n ·12n +1=23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫1-12n1-12-n ·12n +1,化简可得T n =43⎝ ⎛⎭⎪⎫1-n +22n +1.由1-n +22n +1<1,得T n <43.B 组 专题综合练11.设数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,对于任意的n ∈N *,a n ,S n ,a 2n 成等差数列,设数列{b n}的前n 项和为T n ,且b n =(ln x )na 2n ,若对任意的实数x ∈(1,e](e 为自然对数的底数)和任意正整数n ,总有T n <r (r ∈N *),则r 的最小值为________. 【答案】2【解析】由题意得,2S n =a n +a 2n , 当n ≥2时,2S n -1=a n -1+a 2n -1,∴2S n -2S n -1=a n +a 2n -a n -1-a 2n -1,∴(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0,∵a n >0,∴a n -a n -1=1,即数列{a n }是公差为1的等差数列,又2a 1=2S 1=a 1+a 21,a 1=1,∴a n =n (n ∈N *).又x ∈(1,e],∴0<ln x ≤1,∴T n ≤1+122+132+…+1n 2<1+11×2+12×3+…+1(n -1)n=1+⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫1n -1-1n =2-1n <2,∴r ≥2,即r 的最小值为2. 12.等差数列{a n }的公差为2,a 2,a 4,a 8分别等于等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)若数列{c n }满足c 1a 1+c 2a 2+…+c na n =b n +1,求数列{c n }的前2 020项的和.【解析】(1)依题意得b 23=b 2b 4, 所以(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14),所以a 21+12a 1+36=a 21+16a 1+28,解得a 1=2.∴a n =2n .设等比数列{b n }的公比为q ,所以q =b 3b 2=a 4a 2=84=2,又b 2=a 2=4,∴b n =4×2n -2=2n . (2)由(1)知,a n =2n ,b n =2n . 因为c 1a 1+c 2a 2+…+c n -1a n -1+c n a n =2n +1①当n ≥2时,c 1a 1+c 2a 2+…+c n -1a n -1=2n ②由①-②得,c n a n =2n ,即c n =n ·2n +1,又当n =1时,c 1=a 1b 2=23不满足上式,∴c n =⎩⎪⎨⎪⎧8,n =1,n ·2n +1,n ≥2.故S 2 020=8+2×23+3×24+…+2 020×22 021 =4+1×22+2×23+3×24+…+2 020×22 021设T 2 020=1×22+2×23+3×24+…+2 019×22 020+2 020×22 021③, 则2T 2 020=1×23+2×24+3×25+…+2 019×22 021+2 020×22 022④, 由③-④得:-T 2 020=22+23+24+…+22 021-2 020×22 022 =22(1-22 020)1-2-2 020×22 022=-4-2 019×22 022,所以T 2 020=2 019×22 022+4, 所以S 2 020=T 2 020+4=2 019×22 022+8.。

2021新高考数学二轮复习专题练:小题满分限时练

2021新高考数学二轮复习专题练:小题满分限时练

限时练(一)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ={x |x 2-2x <0},N ={-2,-1,0,1,2},则M ∩N =( ) A.∅ B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}解析 ∵M ={x |0<x <2},N ={-2,-1,0,1,2},∴M ∩N ={1}. 答案 B2.设(2+i)(3-x i)=3+(y +5)i(i 为虚数单位),其中x ,y 是实数,则|x +y i|等于( ) A.5B.13C.2 2D.2解析 易得6+x +(3-2x )i =3+(y +5)i(x ,y ∈R ). ∴⎩⎨⎧6+x =3,3-2x =y +5,∴⎩⎨⎧x =-3,y =4,故|x +y i|=|-3+4i|=5. 答案 A3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2+a 8=0,S 11=33,则公差d 的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ∵a 2+a 8=2a 5=0,∴a 5=0, 又S 11=(a 1+a 11)×112=11a 6=33,∴a 6=3,从而公差d =a 6-a 5=3. 答案 C4.设a ,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a ,a ∥α,a ∥βB.存在一条直线a ,a ⊂α,a ∥βC.存在两条平行直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥αD.存在两条异面直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α解析 对于A ,a ∥α,a ∥β,则平面α,β可能平行,也可能相交,所以A 不是α∥β的一个充分条件.对于B ,a ⊂α,a ∥β,则平面α,β可能平行,也可能相交,所以B 不是α∥β的一个充分条件.对于C ,由a ∥b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α可得α∥β或α,β相交,所以C 不是α∥β的一个充分条件.对于D ,存在两条异面直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α,如图,在β内过b 上一点作c ∥a ,则c ∥α,所以β内有两条相交直线平行于α,则有α∥β,所以D 是α∥β的一个充分条件.答案 D5.设双曲线的一条渐近线为方程y =2x ,且一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点相同,则此双曲线的方程为( ) A.54x 2-5y 2=1 B.5y 2-54x 2=1 C.5x 2-54y 2=1D.54y 2-5x 2=1解析 抛物线y 2=4x 的焦点为点(1,0),则双曲线的一个焦点为(1,0),设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b a =2,a 2+b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =55,b =255,所以双曲线方程为5x 2-54y 2=1. 答案 C6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目,则P (A |B )的值为( ) A.14B.34C.29D.59解析 ∵P (B )=3344,P (AB )=A 3344, 由条件概率P (A |B )=P (AB )P (B )=A 3333=29.答案 C7.在如图所示的△ABC 中,点D ,E 分别在边AB ,CD 上,AB =3,AC =2,∠BAC =60°,BD =2AD ,CE =2ED ,则向量BE →·AB→=( )A.9B.4C.-3D.-6解析 根据题意,AB =3,BD =2AD ,则AD =1, 在△ADC 中,又由AC =2,∠BAC =60°, 则DC 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos ∠BAC =3, 即DC =3,所以AC 2=AD 2+DC 2, 则CD ⊥AB ,故BE →·AB →=(BD →+DE →)·AB →=BD →·AB →+DE →·AB →=BD →·AB →=3×2×cos 180°=-6. 答案 D8.设定义在R 上的偶函数f (x )满足:f (x )=f (4-x ),且当x ∈[0,2]时,f (x )=x -e x +1,若a =f (2 022),b =f (2 019),c =f (2 020),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.c <a <bD.b <a <c解析 因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x )=f (4-x ),则f (x )的周期为4,则a =f (2 022)=f (2),b =f (2 019)=f (3)=f (4-3)=f (1),c =f (2 020)=f (0). 又当x ∈[0,2]时,f (x )=x -e x +1,知f ′(x )=1-e x <0. ∴f (x )在区间[0,2]上单调递减, 因此f (2)<f (1)<f (0),即a <b <c . 答案 B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020·聊城模拟)已知双曲线C 过点(3,2)且渐近线为y =±33x ,则下列结论正确的是( )A.C 的方程为x 23-y 2=1 B.C 的离心率为 3C.曲线y =e x -2-1经过C 的一个焦点D.直线x -2y -1=0与C 有两个公共点解析 ∵双曲线的渐近线为y =±33x ,∴设双曲线C 的方程为x 23-y 2=λ(λ≠0).又双曲线C 过点(3,2),∴323-(2)2=λ,解得λ=1,故A 正确.此时C 的离心率为3+13=233,故B 错误.双曲线C 的焦点为(-2,0),(2,0),曲线y =e x -2-1经过点(2,0),故C 正确.把直线方程代入双曲线C 的方程并整理,得x 2-6x +9=0,所以Δ=0,故直线x -2y -1=0与双曲线C 只有一个公共点,所以D 错误.故选AC. 答案 AC10.(2020·青岛质检)已知函数f (x )=sin 2x +23sin x cos x -cos 2x ,x ∈R ,则( ) A.-2≤f (x )≤2B.f (x )在区间(0,π)上只有1个零点C.f (x )的最小正周期为πD.直线x =π3为函数f (x )图象的一条对称轴解析 已知函数f (x )=sin 2x +23sin x cos x -cos 2x =3sin 2x -cos 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6,x ∈R ,则-2≤f (x )≤2,A 正确;令2x -π6=k π,k ∈Z ,则x =k π2+π12,k ∈Z ,则f (x )在区间(0,π)上有2个零点,B 错误;f (x )的最小正周期为π,C 正确;当x =π3时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=2sin(2×π3-π6)=2,所以直线x =π3为函数f (x )图象的一条对称轴,D正确.故选ACD.答案ACD11.在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的竞赛成绩(单位:分)统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,则下列说法中正确的是()A.成绩在[70,80)的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5D.考生竞赛成绩的中位数约为75解析由频率分布直方图可知,成绩在[70,80)的考生人数最多,所以A正确.不及格的人数为4 000×(0.01+0.015)×10=1 000,所以B正确.考生竞赛成绩的平均数约为(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5,所以C正确.设考生竞赛成绩的中位数约为x0,因为(0.01+0.015+0.02)×10=0.45<0.5,(0.01+0.015+0.02+0.03)×10=0.75>0.5,所以0.45+(x0-70)×0.03=0.5,解得x0≈71.7,D错误.故选ABC.答案ABC12.下列结论正确的是()A.若a>b>0,c<d<0,则一定有b c> a dB.若x>y>0,且xy=1,则x+1y>y2x>log2(x+y)C.设{a n}是等差数列,若a2>a1>0,则a2>a1a3D.若x∈[0,+∞),则ln(1+x)≥x-1 8x2解析对于A,由c<d<0,可得-c>-d>0,则-1d>-1c>0,又a>b>0,所以-ad>-bc,则bc>ad,故A正确.对于B,取x=2,y=12,则x+1y=4,y2x=18,log2(x+y)=log 252>1,故B 不正确.对于C ,由题意得a 1+a 3=2a 2且a 1≠a 3,所以a 2=12(a 1+a 3)>12×2a 1a 3=a 1a 3,故C 正确.对于D ,设h (x )=ln(1+x )-x +18x 2,则h ′(x )=11+x -1+x 4=x (x -3)4(x +1),当0<x <3时,h ′(x )<0,则h (x )单调递减,h (x )<h (0)=0,故D不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.已知圆C :(x -2)2+y 2=r 2(r >0)与双曲线E :x 2-y 2=1的渐近线相切,则r =________.解析 ∵双曲线x 2-y 2=1的渐近线为x ±y =0.依题意,得r =21+1=1. 答案 114.已知等差数列{a n },其前n 项和为S n .若a 2+a 5=24,S 3=S 9,则a 6=________,S n 的最大值为________.(本小题第一空2分,第二空3分)解析 由S 3=S 9,得a 4+a 5+…+a 9=0,则a 6+a 7=0.又a 2+a 5=24,所以设等差数列{a n }的公差为d ,可得⎩⎨⎧a 1+5d +a 1+6d =0,a 1+d +a 1+4d =24,解得⎩⎨⎧a 1=22,d =-4,所以a 6=a 1+5d =2,S n =-2n 2+24n =-2(n -6)2+72,故当n =6时,S n 取得最大值72. 答案 2 7215.若(x +a )(1+2x )5的展开式中x 3的系数为20,则a =________. 解析 由已知得C 25·22+a ·C 35·23=20,解得a =-14. 答案 -1416.(2020·河南百校大联考)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示),刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若“牟合方盖”的体积为163,则正方体的外接球的表面积为________.解析因为“牟合方盖”的体积为163,又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4,所以正方体的内切球的体积V球=π4×163=43π.则内切球的半径r=1,正方体的棱长为2.所以正方体的体对角线d=23,因此正方体外接球的直径2R=d=23,则半径R= 3.所以正方体的外接球的表面积为S=4πR2=4π(3)2=12π.答案12π限时练(二)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位,复数z=1-3i1+i在复平面内对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=-1-2i,∴复数z在复平面内对应的点(-1,-2)在第三象限.答案 B2.若集合A={x|x(x-2)>0},B={x|x-1≤0},则A∩(∁R B)=()A.{x|x>1或x<0}B.{x|1<x<2}C.{x|x>2}D.{x|x>1}解析易知A={x|x>2或x<0},∁R B={x|x>1},∴A∩(∁R B)={x|x>2}.答案 C3.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表:根据上表可得到回归直线方程y ^=0.75x +a ^,据此估计,该公司7月份这种型号产品的销售额为( ) A.19.5万元 B.19.25万元 C.19.15万元D.19.05万元解析 易知x -=4,y -=16.8.∵回归直线y ^=0.75x +a ^过点(4,16.8),∴a ^=16.8-4×0.75=13.8,则y ^=0.75x +13.8.故7月份的销售额y ^=0.75×7+13.8=19.05(万元). 答案 D4.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2-x 43的展开式中的常数项为( ) A.-3 2B.3 2C.6D.-6解析 通项T r +1=C r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 23-r(-x 4)r=C r 3(2)3-r(-1)r x -6+6r , 当-6+6r =0,即r =1时为常数项,T 2=-6. 答案 D5.已知等比数列{a n }中,a 1=2,数列{b n }满足b n =log 2a n ,且b 2+b 3+b 4=9,则a 5=( ) A.8B.16C.32D.64解析 由{a n }是等比数列,且b n =log 2a n , ∴{b n }是等差数列,又b 2+b 3+b 4=9,所以b 3=3.由b 1=log 2a 1=1,知公差d =1,从而b n =n , 因此a n =2n ,于是a 5=25=32. 答案 C6.(2020·青岛质检)某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为45,且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率是( ) A.112125B.80125C.113125D.124125解析 某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答.某位参赛者答对每道题的概率均为45,且各次答对与否相应独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率:P =⎝ ⎛⎭⎪⎫453+C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫15=112125. 答案 A7.函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x cos x (-π≤x ≤π,且x ≠0)的图象可能为( )解析 由f (-x )=-f (x )及-π≤x ≤π,且x ≠0判定函数f (x )为奇函数,其图象关于原点对称,排除A ,B 选项;当x >0且x →0时,-1x →-∞,cos x →1,此时f (x )→-∞,排除C 选项,故选D. 答案 D8.在△ABC 中,AB =3,AC =2,∠BAC =120°,点D 为BC 边上的一点,且BD →=2DC →,则AB →·AD →=( ) A.13B.23C.1D.2解析 以A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,如图所示.则A (0,0),B (3,0),C (-1,3),∵BD→=2DC →,∴BD →=23BC →=23(-4,3)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-83,233,则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,233,∴AD→=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,233,AB →=(3,0), 所以AB →·AD→=3×13+0×233=1. 答案 C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020·淄博模拟)甲、乙、丙三家企业的产品成本(万元)分别为10 000,12 000,15 000,其成本构成比例如图,则下列关于这三家企业的说法正确的是( )A.成本最大的企业是丙B.其他费用支出最高的企业是丙C.支付工资最少的企业是乙D.材料成本最高的企业是丙解析 由扇形统计图可知,甲企业的材料成本为10 000×60%=6 000(万元),支付工资10 000×35%=3 500(万元),其他费用支出为10 000×5%=500(万元); 乙企业的材料成本为12 000×53%=6 360(万元),支付工资为12 000×30%= 3 600(万元),其他费用支出为12 000×17%=2 040(万元);丙企业的材料成本为15 000×60%=9 000(万元),支付工资为15 000×25%= 3 750(万元),其他费用支出为15 000×15%=2 250(万元).所以成本最大的企业是丙,其他费用支出最高的企业是丙,支付工资最少的企业是甲,材料成本最高的企业是丙.故选ABD.答案 ABD10.(2020·海南模拟)将函数f (x )=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的图象,则下列说法正确的是( )A.φ=π6B.函数f (x )的最小正周期为πC.函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0成中心对称D.函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,5π12解析 由题意可知函数f (x )的最小正周期T =2π2=π,B 正确;将函数f (x )=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的图象,所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4+φ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π2+φ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,所以-π2+φ=π6,所以φ=2π3∈(0,π),A 错误;f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +2π3,令2x +2π3=k π,k ∈Z ,则x =k π2-π3,k ∈Z ,C 错误;令2k π+π2≤2x +2π3≤2k π+3π2,k ∈Z ,解得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z ,所以函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,5π12,D 正确.故选BD.答案 BD11.已知实数a >b >0,则下列不等关系正确的是( ) A.b a <b +4a +4B.lga +b 2>lg a +lg b2C.a +1b <b +1aD.a -b >a -b解析 对于A ,因为b a -b +4a +4=b (a +4)-a (b +4)a (a +4)=4(b -a )a (a +4),又a >b >0,所以b a <b +4a +4,故A 正确;因为lg a +lgb 2=lg ab ,又a +b 2≥ab ,当且仅当a =b 时等号成立,由a >b >0,得a +b 2>ab ,所以lg a +b 2>lg ab ,即lg a +b 2>lg a +lg b2,故B 正确;因为a +1b -⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1a =(a -b )+⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1a =(a -b )+a -b ab =(a -b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1ab ,又a >b >0,所以a +1b -⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1a >0,即a +1b >b +1a ,故C 错误;因为a >b >0,所以a-b >0,则(a -b )2=a +b -2ab ,而(a -b )2=a -b ,即(a -b )2-(a -b )2=2b -2ab =2(b -ab ),又a >b >0,所以b -ab <0,所以(a -b )2<(a -b )2,即a -b <a -b ,故D 错误.故选AB. 答案 AB12.(2020·临沂模拟)已知点P 在双曲线C :x 216-y 29=1上,点F 1,F 2是双曲线C 的左、右焦点.若△PF 1F 2的面积为20,则下列说法正确的是( ) A.点P 到x 轴的距离为203 B.|PF 1|+|PF 2|=503 C.△PF 1F 2为钝角三角形 D.∠F 1PF 2=π3解析 由双曲线C :x 216-y 29=1可得,a =4,b =3,c =5,不妨设P (x P ,y P ),由△PF 1F 2的面积为20,可得12|F 1F 2||y P |=c |y P |=5|y p |=20,所以|y P |=4,选项A 错误.将|y P |=4代入双曲线C 的方程x 216-y 29=1中,得x 2P16-429=1,解得|x P |=203.由双曲线的对称性,不妨设点P 在第一象限,则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫203,4,可知|PF 2|=⎝ ⎛⎭⎪⎫203-52+(4-0)2=133.由双曲线的定义可知|PF 1|=|PF 2|+2a =133+8=373,所以|PF 1|+|PF 2|=373+133=503,选项B 正确.在△PF 1F 2中,|PF 1|=373>2c =10>|PF 2|=133,且cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|=-513<0,则∠PF 2F 1为钝角,所以△PF 1F 2为钝角三角形,选项C 正确.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=319481≠12,所以∠F 1PF 2≠π3,选项D 错误.故选BC. 答案 BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.某年级有1 000名学生,一次数学考试成绩服从正态分布X ~N (105,102),P (95≤X ≤105)=0.34,则该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为________.解析 ∵数学考试成绩服从正态分布X ~N (105,102),∴考试成绩关于X =105对称.∵P (95≤X ≤105)=0.34,∴P (X >115)=12×(1-0.68)=0.16,∴该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为0.16×1 000=160. 答案 160 14.曲线y =1-2x +2在点(-1,-1)处的切线方程为________. 解析 ∵y =1-2x +2=x x +2,∴y ′=x +2-x (x +2)2=2(x +2)2,∴y ′|x =-1=2,∴曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为2,∴所求切线方程为y +1=2(x +1),即2x -y +1=0.答案 2x -y +1=015.已知集合A ={x |x =2n -1,n ∈N *},B ={x |x =2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为________,此时S n =________.(本小题第一空3分,第二空2分)解析 所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n },在数列{a n }中,25前面有16个正奇数,即a 21=25,a 38=26.当n =1时,S 1=1<12a 2=24,不符合题意;当n =2时,S 2=3<12a 3=36,不符合题意;当n =3时,S 3=6<12a 4=48,不符合题意;当n =4时,S 4=10<12a 5=60,不符合题意;……;当n =26时,S 26=21×(1+41)2+2×(1-25)1-2=441+62=503<12a 27=516,不符合题意;当n =27时,S 27=22×(1+43)2+2×(1-25)1-2=484+62=546>12a 28=540,符合题意.故使得S n >12a n +1成立的n 的最小值为27. 答案 27 54616.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 在线段BC 1上运动,有下列判断:①平面PB 1D ⊥平面ACD 1; ②A 1P ∥平面ACD 1;③异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π3;④三棱锥D 1-APC 的体积不变.其中,正确的是________(把所有正确判断的序号都填上). 解析 在正方体中,B 1D ⊥平面ACD 1,B 1D ⊂平面PB 1D ,所以平面PB 1D ⊥平面ACD 1,所以①正确.连接A 1B ,A 1C 1,如图,容易证明平面A 1BC 1∥平面ACD 1,又A 1P ⊂平面A 1BC 1,所以A 1P ∥平面ACD 1,所以②正确.因为BC 1∥AD 1,所以异面直线A 1P 与AD 1所成的角就是直线A 1P 与BC 1所成的角,在△A 1BC 1中,易知所求角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2,所以③错误.VD 1-APC =VC -AD 1P ,因为点C 到平面AD 1P 的距离不变,且△AD 1P 的面积不变,所以三棱锥D 1-APC 的体积不变,所以④正确. 答案 ①②④限时练(三)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020·河南联检)已知集合A ={x ∈N |x 2<8x },B ={2,3,6},C ={2,3,7},则B ∪(∁A C )=( ) A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6} C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,4,5,6,7}解析 因为A ={x ∈N |0<x <8}={1,2,3,4,5,6,7},所以∁A C ={1,4,5,6},所以B∪(∁A C)={1,2,3,4,5,6}.故选C.答案 C2.若z=(3-i)(a+2i)(a∈R)为纯虚数,则z=()A.163i B.6i C.203i D.20解析因为z=3a+2+(6-a)i为纯虚数,所以3a+2=0,解得a=-23,所以z=203i.故选C.答案 C3.(2020·潍坊模拟)甲、乙、丙、丁四位同学各自对变量x,y的线性相关性进行试验,并分别用回归分析法求得相关系数r,如下表:哪位同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性?()A.甲B.乙C.丙D.丁解析由于丁同学求得的相关系数r的绝对值最接近于1,因此丁同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性.故选D.答案 D4.设a=ln 12,b=-5-12,c=log132,则()A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c解析由题意易知-a=ln 2,-b=5-12,-c=log32.因为12=log33<log32<ln 2<1,0<5-12<4-12=12,所以-b<-c<-a,所以a<c<b.故选B.答案 B5.(2020·青岛质检)已知某市居民在2019年用手机支付的个人消费额ξ(元)服从正态分布N(2 000,1002),则该市某居民在2019年用手机支付的消费额在(1 900,2 200]内的概率为()附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.A.0.975 9B.0.84C.0.818 6D.0.477 2解析 ∵ξ服从正态分布N (2 000,1002),∴μ=2 000,σ=100,则P (1 900<ξ≤ 2 200)=P (μ-σ<ξ≤μ+σ)+12[P (μ-2σ<ξ≤μ+2σ)-P (μ-σ<ξ≤μ+σ)]≈0.682 7+12(0.954 5-0.682 7)=0.818 6.故选C. 答案 C6.设抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,斜率为k 的直线过F 交C 于点A ,B ,且AF →=2FB →,则直线AB 的斜率为( ) A.2 2 B.2 3 C.±2 2D.±2 3解析 由题意知k ≠0,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,则直线AB 的方程为y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -p 2,代入抛物线方程消去x ,得y 2-2p k y -p 2=0.不妨设A (x 1,y 1)(x 1>0,y 1>0),B (x 2,y 2).因为AF →=2FB →,所以y 1=-2y 2.又y 1y 2=-p 2.所以y 2=-22p ,x 2=p 4,所以k AB=-22p -0p 4-p 2=2 2.根据对称性,直线AB 的斜率为±2 2. 答案 C7.已知点A (1,0),B (1,3),点C 在第二象限,且∠AOC =150°,OC →=-4OA →+λOB →,则λ=( ) A.12B.1C.2D.3解析 设|OC→|=r ,则OC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32r ,12r ,由已知,得OA →=(1,0),OB →=(1,3),又OC→=-4OA →+λOB →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-32r ,12r =-4(1,0)+λ(1,3)=(-4+λ,3λ),∴⎩⎪⎨⎪⎧-32r =-4+λ,12r =3λ,解得λ=1.答案 B8.在△ABC中,AB=AC,D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,AD=3BD,将△ADE 沿DE折起,连接AB,AC,当四棱锥A-BCED体积最大时,二面角A-BC-D 的大小为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析因为AB=AC,所以△ABC为等腰三角形,过A作BC的垂线AH,垂足为H,交DE于O,∴当△ADE⊥平面BCED时,四棱锥A-BCED体积最大.由DE⊥AO,DE⊥OH,AO∩OH=O,可得DE⊥平面AOH,又BC∥DE,则BC⊥平面AOH,∴∠AHO为二面角A-BC-D的平面角,在Rt△AOH中,由AOOH=ADDB=3,∴tan∠AHO=AOOH=3,则二面角A-BC-D的大小为π3.答案 C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020·济宁模拟)“悦跑圈”是一款社交型的跑步应用,用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2019年1月至2019年11月每月跑步的里程(十公里)的数据绘制了下面的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是()A.月跑步里程数逐月增加B.月跑步里程数的最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程数相于6月至11月波动性更小,变化比较平稳 解析 根据折线图可知,2月跑步里程数比1月小,7月跑步里程数比6月小,10月跑步里程数比9月小,A 错误.根据折线图可知,9月的跑步里程数最大,B 正确.一共11个月份,将月跑步里程数从小到大排列,根据折线图可知,跑步里程的中位数为8月份对应的里程数,C 正确.根据折线图可知D 正确.故选BCD. 答案 BCD10.下列各式中,值为12的是( ) A.sin 15°cos 15°B.cos 2π6-sin 2π6C.1+cos π62D.tan 22.5°1-tan 222.5°解析 sin 15°cos 15°=sin 30°2=14,排除A ;cos 2π6-sin 2π6=cos π3=12,B 正确;1+cos π62=1+322=2+32,排除C ;tan 45°=2tan 22.5°1-tan 222.5°,得tan 22.5°1-tan 222.5°=12,D 正确.故选BD.答案 BD11.已知{a n }是等比数列,若a 6=8a 3=8a 22,则( )A.a n =2n -1B.a n =2nC.S n =2n -1D.S n =2n +1-2解析 设数列{a n }的公比为q ,由a 6=8a 3,得a 3·q 3=8a 3,则q 3=8,所以q =2.又8a 3=8a 22,则a 2·q =a 22,又a 2≠0,所以a 2=2,即a n =a 2q n -2=2n -1,所以a 1=1,S n =a 1(1-q n )1-q =2n -1,故选AC.答案 AC12.数列{F n }:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n项和为S n,则下列结论正确的是()A.F n=F n-1+F n-2(n≥3)B.S4=F6-1C.S2 019=F2 020-1D.S2 019=F2 021-1解析根据题意有F n=F n-1+F n-2(n≥3),所以S3=F1+F2+F3=1+F1+F2+F3-1=F3+F2+F3-1=F4+F3-1=F5-1,S4=F4+S3=F4+F5-1=F6-1,S5=F5+S4=F5+F6-1=F7-1,…,所以S2 019=F2 021-1.答案ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设a=210+1211+1,b=212+1213+1,则a,b的大小关系为________.解析法一由题意知,a-b=210+1211+1-212+1213+1=(210+1)(213+1)-(212+1)(211+1)(211+1)(213+1)=3×210(211+1)(213+1)>0,故a>b.法二可考虑用函数的单调性解题.令f(x)=2x+12x+1+1=12⎝⎛⎭⎪⎫1+12x+1+1,则f(x)在定义域内单调递减,所以a=f(10)>b=f(12).答案a>b14.(2020·深圳统测)很多网站利用验证码来防止恶意登录,以提升网络安全.某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0,1,2,…,9中的四个数字随机组成,将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123).已知某人收到了一个“递增型验证码”,则该验证码的首位数字是1的概率为________.解析由0,1,2,…,9中的四个数字随机组成的“递增型验证码”共有C410个,而首位数字是1的“递增型验证码”有C38个.因此某人收到的“递增型验证码”的首位数字是1的概率p=C38C410=415.答案4 1515.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,直线4x-3y+20=0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P,O为原点,|OP|=|OF|,则双曲线C的右焦点的坐标为________,离心率为________.(本小题第一空2分,第二空3分)解析如图,∵直线4x-3y+20=0过点F,∴F(-5,0),半焦距c=5,则右焦点为F2(5,0).连接PF2.设点A为PF的中点,连接OA,则OA∥PF2.∵|OP|=|OF|,∴OA⊥PF,∴PF2⊥PF.由点到直线的距离公式可得|OA|=205=4,∴|PF2|=2|OA|=8.由勾股定理,得|FP|=|FF2|2-|PF2|2=6.由双曲线的定义,得|PF2|-|PF|=2a=2,∴a=1,∴离心率e=ca=5.答案(5,0) 516.(2020·厦门质检)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点N是棱A1B1的中点,点T是棱CC1上靠近点C的三等分点,动点Q在侧面D1DAA1(包含边界)内运动,且QB∥平面D1NT,则动点Q所形成的轨迹的长度为________.解析因为QB∥平面D1NT,所以点Q在过点B且与平面D1NT平行的平面内,如图,取DC的中点E1,取A1G=1,则平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1,交AD 的延长线于点E,连接EG,交DD1于点I.显然,平面BGE∩平面D1DAA1=GI,所以点Q的轨迹是线段GI.∵DE1綊12AB,∴DE1为△EAB的中位线,∴D为AE的中点.又DI∥AG,∴DI=12AG=1,∴GI=(2-1)2+32=10.答案10限时练(四)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|y=log2(x-2)},B={x|x2≥9},则A∩(∁R B)=()A.[2,3)B.(2,3)C.(3,+∞)D.(2,+∞)解析A={x|y=log2(x-2)}=(2,+∞),∵B={x|x2≥9}=(-∞,-3]∪[3,+∞),∴∁R B=(-3,3),则A∩(∁R B)=(2,3).答案 B2.设x,y∈R,i为虚数单位,且3+4iz=1+2i,则z=x+y i的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z=3+4i1+2i=(3+4i)(1-2i)5=115-25i,则z-=115+25i,z-对应点⎝⎛⎭⎪⎫115,25在第一象限.答案 A3.(2020·福建漳州适应性测试)如图是某地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{a n},{a n}的前n项和为S n,则下列说法中正确的是()A.数列{a n}是递增数列B.数列{S n}是递增数列C.数列{a n}的最大项是a11D.数列{S n}的最大项是S11解析因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数,即a7>a8,所以{a n }不是递增数列,所以A 错误;因为2月23日新增确诊病例数为0,所以S 33=S 34,所以数列{S n }不是递增数列,所以B 错误;因为1月31日新增病例数最多,从1月21日算起,1月31日是第11天,所以数列{a n }的最大项是a 11,所以C 正确;由a n ≥0,知S n +1≥S n ,故数列{S n }的最大项是最后一项,所以D 错误.故选C. 答案 C4.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教,若每个村小学至少分配1名大学生,则小明恰好分配到甲村小学的概率为( ) A.112B.12C.13D.16解析 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教,每个村小学至少分配1名大学生,基本事件总个数n =C 24A 33=36,小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m =A 33+C 23A 22=12,所以小明恰好分配到甲村小学的概率p =m n =1236=13. 答案 C5.(2020·荆门模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12+12x 7的展开式中,有理项的项数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 该二项展开式的通项为T r +1=C r 7x7-r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r=C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x 7-3r 2,r =0,1,2,…,7.当r =1,3,5,7时,T r +1为有理项,共有4项.故选D. 答案 D6.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AC =AA 1=2,BC =2,点D 为BC 的中点,则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析 以A 为原点,AB ,AC ,AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),B (2,0,0),C (0,2,0),∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22,22,0,∴AD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫22,22,0,A 1C →=(0,2,-2), ∴cos 〈AD →,A 1C →〉=AD →·A 1C →|AD →||A 1C →|=12,∴〈AD →,A 1C →〉=π3. 答案 B7.已知A ,B 是圆O :x 2+y 2=4上的两个动点,|AB→|=2,OC →=13OA →+23OB →,若M是线段AB 的中点,则OC →·OM →的值为( )A. 3B.2 3C.2D.3解析 由OC→=13OA →+23OB →,又OM →=12(OA →+OB →), 所以OC →·OM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →+23OB →·12(OA →+OB →)=16(OA →2+2OB →2+3OA →·OB →), 又△OAB 为等边三角形,所以OA →·OB →=2×2cos 60°=2,OA →2=4,OB →2=4,所以OC →·OM →=3. 答案 D8.(2020·天津适应性测试)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x ,x ≤0,2x -4x ,x >0.若函数F (x )=f (x )-|kx -1|有且只有3个零点,则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,916 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫916,+∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-116,0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0,916解析 当k =12时,|kx -1|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x -1=⎩⎪⎨⎪⎧12x -1,x ≥2,1-12x ,x <2.作出函数y =f (x )与y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x -1的图象,如图.此时两函数的图象有且只有3个交点,此时F (x )有且只有3个零点,排除B ,C.当k =-120时,|kx -1|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-120x -1=⎩⎪⎨⎪⎧-120x -1,x ≤-20,1+120x ,x >-20,作出函数y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪-120x -1的图象,如图.由图可得函数y =f (x )的图象与y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪-120x -1的图象有且只有3个交点,此时F (x )有且只有3个零点,排除A.故选D. 答案 D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知0<c <1,1>a >b >0,则下列不等式成立的是( )A.c a <c bB.a a +c <b b +cC.ba c >ab cD.log a c >log b c解析 构造函数y =c x ,因为0<c <1,所以函数y =c x 是减函数,而a >b >0,根据指数函数的单调性得c a<c b,故A 正确;由题意得a +c a =1+c a ,b +c b =1+cb ,因为0<c <1,1>a >b >0,所以0<c a <c b ,即0<a +c b <b +c b ,取倒数得a a +c >b b +c ,故B 错误;由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c <a b ,整理得ba c <ab c ,故C 错误;由已知得log a c >0,log b c >0,又0<log c a <log c b ,所以1log c a >1log c b ,则log a c >log b c ,故D 正确.故选AD.答案 AD10.已知f (x )=A sin(ωx +φ)+B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,则函数f (x )的对称中心可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,1 解析 由图象知A =3+12=2,B =3-12=1,又T =2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12-π12=π,所以ω=2.由2×π12+φ=π2+2k π(k ∈Z )且|φ|<π2,得φ=π3,故f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3+1.令2x +π3=k π(k ∈Z ),得x =-π6+k π2(k ∈Z ),取k =0,有x =-π6;k =1,x =π3. 答案 CD11.对于函数f (x )=ln xx ,下列说法正确的是( )A.f (x )在x =e 处取得极大值1eB.f (x )有两个不同的零点C.f (4)<f (π)<f (3)D.π4<4π解析 f (x )的定义域为(0,+∞),且f ′(x )=1-ln xx 2.令f ′(x )=0,得x =e.∴f (x )在(0,e)上单调递增,在(e ,+∞)上单调递减,因此f (x )在x =e 处取得极大值f (e)=1e ,A 正确.令f (x )=0,解得x =1,故函数f (x )有且仅有一个零点,B 错误.由f (x )在(e ,+∞)上单调递减,得f (4)<f (π)<f (3),则C 正确.因为f (4)<f (π),即ln 44<ln ππ,所以ln 4π<ln π4,则4π<π4,D 错误.综上知,正确的为AC. 答案 AC12.(2020·烟台诊断)已知P 是双曲线C :x 23-y 2m =1(m >0)上任意一点,A ,B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点.设直线P A ,PB 的斜率分别为k 1,k 2(k 1k 2≠0),若|k 1|+|k 2|≥t 恒成立,且实数t 的最大值为233,则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的方程为x 23-y 2=1 B.双曲线C 的离心率为2C.函数y =log a (x -1)(a >0,a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点D.直线2x -3y =0与双曲线C 有两个交点解析 设A (x 1,y 1),P (x 2,y 2).由A ,B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点,得B (-x 1,-y 1),则x 213-y 21m =1,x 223-y 22m =1.两式相减,得x 21-x 223=y 21-y 22m ,所以y 21-y 22x 21-x 22=m 3.又直线P A ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,所以k 1k 2=y 1-y 2x 1-x 2×-y 1-y 2-x 1-x 2=y 21-y 22x 21-x 22=m3.所以|k 1|+|k 2|≥2|k 1||k 2|=2m3,当且仅当|k 1|=|k 2|时取等号.又|k 1|+|k 2|≥t 恒成立,且实数t 的最大值为233,所以2m 3=233,解得m =1.因此双曲线C 的方程为x 23-y 2=1,则A 项正确.因为a =3,b =1,所以c =a 2+b 2=2,所以双曲线C 的离心率e =c a =23=233,则B 项不正确.双曲线C 的左、右焦点分别为(-2,0),(2,0),而当x =2时,y =log a (2-1)=log a 1=0,所以函数y =log a (x -1)(a >0,a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点(2,0),则C 项正确.由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y =0,x 23-y 2=1消去y ,得x 2=-9,此方程无实数解,所以直线2x -3y =0与双曲线C 没有交点,则D 项不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设{a n }是公差不为零的等差数列,S n 为其前n 项和.已知S 1,S 2,S 4成等比数列,且a 3=5,则数列{a n }的通项公式为________.解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),则由S 1,S 2,S 4成等比数列,得S 22=S 1S 4,即(2a 3-3d )2=(a 3-2d )·(4a 3-2d ).又a 3=5,所以(10-3d )2=(5-2d )(20-2d ),解得d =2.所以数列{a n }的通项公式为a n =a 3+(n -3)d =2n -1. 答案 a n =2n -114.已知点E 在y 轴上,点F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,直线EF 与抛物线交于M ,N 两点,若点M 为线段EF 的中点,且|NF |=12,则p =________. 解析 由题意知,直线EF 的斜率存在且不为0,故设直线EF 的方程为y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -p 2,与抛物线方程y 2=2px 联立,得k 2x 2-p (k 2+2)x +p 2k 24=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1x 2=p 24.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,点M 为线段EF 的中点,得x 1=p 22=p 4.由|NF |=x 2+p 2=12,得x 2=12-p2.由x 1x 2=p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12-p 2=p 24,得p =8或p =0(舍去).答案 815.(2020·长郡中学适应性考试)如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N ,E 分别为棱AA 1,AB ,AD 的中点,以A 为圆心,1为半径,分别在面ABB 1A 1和面ABCD 内作弧MN 和NE ,并将两弧各五等分,分点依次为M ,P 1,P 2,P 3,P 4,N 以及N ,Q 1,Q 2,Q 3,Q 4,E .一只蚂蚁欲从点P 1出发,沿正方体的表面爬行至点Q 4,则其爬行的最短距离为________.(参考数据:cos 9°≈0.987 7,cos 18°≈0.951 1,cos 27°≈0.891 0)解析 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N ,E 分别为棱AA 1,AB ,AD 的中点,以A 为圆心,1为半径,分别在平面ABB 1A 1和平面ABCD 内作弧MN 和NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面ABB 1A 1共面的位置,如图(1),则∠P 1AQ 4=180°10×8=144°,所以P 1Q 4=2sin 72°.将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置,将ABB 1A 1绕AA 1旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置,如图(2),则∠P 1AQ 4=90°5×2+90°=126°,所以P 1Q 4=2sin 63°.因为sin 63°<sin 72°,且由诱导公式可得sin 63°=cos 27°,所以最短距离为|P 1Q 4|=2sin 63°≈2×0.891 0=1.782 0.图(1)图(2)答案 1.782 016.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x +2,x <a ,x 2,x ≥a ,若函数f (x )在R 上是单调的,则实数a 的取值范围是________;若对任意的实数x 1<a ,总存在实数x 2≥a ,使得f (x 1)+f (x 2)=0,则实数a 的取值范围是________(本小题第一空2分,第二空3分).解析 令x +2=x 2,得x =-1或x =2.作出函数y =f (x )的图象如图所示,若函数f (x )在R 上单调,只需a ≥2.若对任意的实数x 1<a ,总存在实数x 2≥a ,使得f (x 1)+f (x 2)=0,可得x 1+2+x 22=0,即-x 22=x 1+2,即有a +2≤0,解得a ≤-2.答案 [2,+∞) (-∞,-2]限时练(五)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数z =i1+i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.12B.-12C.12iD.-12i解析 z =i 1+i =i (1-i )(1+i )(1-i )=i 2+12,∴z 的虚部为12.答案 A 2.已知集合A ={-1,0,1,2,3},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x -2x +1≥0,则A ∩B 中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由x -2x +1≥0,得x ≥2或x <-1,则B ={x |x ≥2,或x <-1},∴A ∩B ={2,3},A ∩B 中有2个元素.答案 B3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx +π6,x ≤0,2x +1,x >0,则f (-2)+f (1)=( )A.6+32B.6-32C.72D.52解析 f (-2)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2π+π6=12,f (1)=21+1=3.∴f (-2)+f (1)=3+12=72. 答案 C4.在某项检测中,测量结果服从正态分布N (2,1),若P (X <1)=P (X >1+λ),则λ=( ) A.0B.2C.3D.5解析 依题意,正态曲线关于x =2对称,又P (X <1)=P (X >1+λ),因此1+λ=3,∴λ=2. 答案 B5.(2020·天津适应性测试)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为36,E 为棱CC 1上的点,且CE =2EC 1,则三棱锥E -BCD 的体积是( )A.3B.4C.6D.12解析 ∵CE =2EC 1,∴V E -BCD =13×12×23×V ABCD -A 1B 1C 1D 1=19×36=4.故选B. 答案 B6.函数f (x )=x 2-2ln|x |的图象大致是( )。

2021年高考数学二轮复习滚动训练(I)

2021年高考数学二轮复习滚动训练(I)

2021年高考数学二轮复习滚动训练(I)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={x |log 2(x 2-x )<1},B =(-1,2),则( ) A .A =B B .A ∩∁R B =∅ C .A ∪∁R B =RD .A ∩B =∅解析:选B.A ={x |log 2(x 2-x )<1}={x |0<x 2-x <2}={x |-1<x <0或1<x <2},所以A 是B 的真子集,所以A ∩∁R B =∅,故选B.2.复数z 满足z (1+i)=3-i(i 为虚数单位),则z 的共轭复数的虚部为( ) A .2 B .-2 C .2iD .-2i 解析:选A.因为z =3-i1+i =3-i1-i2=2-4i2=1-2i ,所以z =1+2i ,所以z 的虚部为2,故选A.3.已知过点(-1,2)的直线l 与直线4x -2y -1=0平行,则直线l 在x 轴上的截距为( ) A .2 B .4 C .-2D .3解析:选C.由已知可得所求直线的斜率为2,所以所求直线方程为y =2x +4,令y =0,得x =-2,即直线l 在x 轴上的截距为-2.故选C.4.下列函数中,与函数y =x 3的奇偶性、单调性均相同的是( ) A .y =e xB .y =2x-12xC .y =ln|x |D .y =tan x解析:选B.因为y =x 3为奇函数,在R 上单调递增,y =2x-12x 也是奇函数,在R 上单调递增,所以只有B 正确.y =e x为非奇非偶函数,y =ln|x |为偶函数,y =tan x 为奇函数,但定义域不为R .故选B.5.如图所示的程序框图,若输入a =2,则输出的i 的值为( )A.2 B.3C.4 D.5解析:选C.a=2,i=1得,m=2,2<18;i=2,得m=5,5<18;i=3,得m=8+log23,8+log23<18;i=4,得m=18,输出i=4.故选C.6.下列命题中的假命题是( )A.∀x∈R,21-x>0B.∀x∈(0,+∞),2x>xC.∃a∈R,函数y=x a的图象经过第四象限D.∃α∈R,使函数y=xα的图象关于y轴对称解析:选C.对于A,B,由指数函数性质可知是真命题.对C,当x>0时,y=x a>0恒成立,从而图象不过第四象限,所以为假命题.对D,当a=2时,y=x2的图象关于y轴对称.7.函数f(x)=-cos x lg|x|的部分图象是( )解析:选A.函数f(x)=-cos x lg|x|为偶函数,所以图象关于y轴对称,所以排除B,D;当x→0时,f(x)>0,排除C,故选A.8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为7,则a等于( )A .2 B.32 C .1D.12解析:选B.由三视图知几何体是正方体削去一个角,如图: ∴几何体体积V =23-13×12×a ×2×2=8-2a 3=7,解得a =32.9.抛物线y 2=2px (p >0)上一点M (1,m )(m >0)到焦点的距离为5,双曲线x 2a-y 2=1的左顶点为A ,若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行,则实数a 等于( ) A .9 B .3 C.13D.19解析:选D.因为抛物线y 2=2px (p >0)上一点M (1,m )(m >0)到焦点的距离为5,所以1+p2=5,所以p =8,所以抛物线方程为y 2=16x ,所以m 2=16,所以m =4,所以M (1,4).因为双曲线x 2a -y 2=1的左顶点为A (-a ,0),所以直线AM 的斜率为41+a ,所以41+a =1a,所以a =13,所以a =19,故选D.10.已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,若椭圆C 2:x 24+y 2m=1的右焦点到双曲线C 1的渐近线的距离是32,则椭圆C 2的方程是( )A.x 24+y 27=1B.x 24+y 23=1C.x 24+y 22=1 D.x 24+y 2=1 解析:选D.因为双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,所以b 2a 2=c 2-a 2a 2=e 2-1=3,所以双曲线的渐近线为y =±b a x =±3x .设椭圆C 2:x 24+y 2m=1的右焦点为(c,0),所以|3×c |3+1=3c 2=32,所以c =3,则4-m =3,所以m =1,所以椭圆C 2的方程是x 24+y 2=1.故选D.11.已知f (x )=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4.若a =f (lg 5),b =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15,则( )A .a +b =0B .a -b =0C .a +b =1D .a -b =1解析:选C.f (x )=sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x +π4=1-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2x 2=1+sin 2x 2, a =f (lg 5)=12+12sin(2lg 5),b =f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 15=f (-lg 5)=12+12sin(-2lg 5)=12-12sin(2lg 5),∴a +b =1.故选C.12.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2≥0,8x -y -4≤0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z =abx +y 的最大值为8,其中a ,b 均大于0,则a +b 的最小值为( )A .8B .6C .4D .2解析:选C.由z =abx +y 得y =-abx +z ,所以直线的斜率为-ab <0,作出可行域如图阴影部分所示,由图象可知当目标函数经过点B 时,直线的截距最大,此时z =abx +y =8.由⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2=0,8x -y -4=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =4,即B (1,4),代入z =abx +y =8,得ab =4,所以a +b ≥2ab =4,当且仅当a =b =2时取等号,所以a +b 的最小值为4.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 1=6,a 5=12a 3,则S n 的最大值为________.解析:设等差数列的公差为d ,因为a 5=12a 3,所以a 1+4d =12(a 1+2d ),所以d =-1,所以a n =6+(n -1)(-1)=-n +7,由a n ≥0得n ≤7.所以S n 的最大值为S 6=S 7=6a 1+6×52d =6×6+6×52×(-1)=21.答案:2114.已知函数f (x )=mx +1+1(m >0,m ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在圆(x -a +1)2+(y+b -2)2=25的内部(含边界),则a +b 的最大值是________. 解析:由函数f (x )=mx +1+1(m >0,m ≠1)的图象恒过定点A ,知A 点坐标为(-1,2),又点A 在圆(x -a +1)2+(y +b -2)2=25的内部(含边界),所以a 2+b 2≤25,又因为a +b22≤a2+b 2,所以(a +b )2≤50,即a +b 的最大值是52,当且仅当a =b =522时取等号.15.若等边△ABC 的边长为23,平面内一点M 满足CM →=16CB →+23CA →,则MA →·MB →=________.解析:∵等边三角形的边长为23, ∴如图,建立直角坐标系,∴CB →=(3,-3),CA →=(-3,-3), ∴CM →=16CB →+23CA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-52.∴OM →=OC →+CM → =(0,3)+⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-52=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12,MA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-12,MB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫332,-12,∴MA →·MB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-12·⎝ ⎛⎭⎪⎫332,-12=-2.答案:-216.设函数y =f (x ),x ∈R 的导函数为f ′(x ),且f (x )=f (-x ),f ′(x )<f (x ).则下列三个数:e f (2),f (3),e 2f (-1)从小到大依次排列为________.(e 为自然对数的底数) 解析:构造函数g (x )=f xex,g ′(x )=[f ′x -f x ]e xe2x<0,所以g (x )在R 上为减函数,所以g(1)>g(2)>g(3),即f1e>f2e2>f3e3,得e2f(1)>e f(2) >f(3),又f(-1)=f(1),所以f(3)<e f(2)<e2f(-1).答案:f(3)<e f(2)<e2f(-1)39723 9B2B 鬫 C{ *~^LEjOz4。

2022版《卓越学案》高考数学(文科通用版)二轮复习练习:附:2021高考全国卷 Word版含答案

2022版《卓越学案》高考数学(文科通用版)二轮复习练习:附:2021高考全国卷 Word版含答案

附2021年一般高等学校招生全国统一考试 全 国 卷 Ⅰ(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N},B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A .5 B .4 C .3 D .22.已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →=(-4,-3),则向量BC →=( )A .(-7,-4)B .(7,4)C .(-1,4)D .(1,4) 3.已知复数z 满足(z -1)i =1+i ,则z =( ) A .-2-i B .-2+i C .2-i D .2+i4.假如3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.1205.已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x 的焦点重合,A ,B 是C的准线与E 的两个交点,则|AB |=( )A .3B .6C .9D .126.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A .14斛B .22斛C .36斛D .66斛7.已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和,若S 8=4S 4,则a 10=( ) A.172B.192C .10D .128.函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π-14,k π+34,k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π-14,2k π+34,k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k -14,k +34,k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z第8题图9.执行如图的程序框图,假如输入的t =0.01,则输出的n =( )第9题图A .5B .6C .7D .810.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( )A .-74B .-54C .-34D .-1411.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r =( )A .1B .2C .4D .812.设函数y =f (x )的图象与y =2x +a 的图象关于直线y =-x 对称,且f (-2)+f (-4)=1,则a =( ) A .-1 B .1 C .2 D .4 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n =________. 14.已知函数f (x )=ax 3+x +1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a =________.15.若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z =3x +y 的最大值为________.16.已知F 是双曲线C :x 2-y 28=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,66).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________.三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B =2sin A sin C . (1)若a =b ,求cos B ;(2)设B =90°,且a =2,求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD . (1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;(2)若∠ABC =120°,AE ⊥EC ,三棱锥E -ACD 的体积为63,求该三棱锥的侧面积. 19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费,需了解年宣扬费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣扬费x i 和年销售量y i (i =1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i =x i ,w =18i =18w i. (1)依据散点图推断,y =a +bx 与y =c +d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣扬费x 的回归方程类型?(给出推断即可,不必说明理由)(2)依据(1)的推断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程.(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z =0.2y -x .依据(2)的结果回答下列问题: ①年宣扬费x =49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣扬费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估量分别为12.设函数y =f (x )的图象与y =2x +a的图象关于直线y =-x 对称,且f (-2)+f (-4)=1,则a =( ) A .-1 B .1 C .2 D .4 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n =________. 14.已知函数f (x )=ax 3+x +1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a =________. 15.若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z =3x +y 的最大值为________.16.已知F 是双曲线C :x 2-y 28=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,66).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________.三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B =2sin A sin C . (1)若a =b ,求cos B ;(2)设B =90°,且a =2,求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD . (1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;(2)若∠ABC =120°,AE ⊥EC ,三棱锥E -ACD 的体积为63,求该三棱锥的侧面积.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点E . (1)若D 为AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线;(2)若OA =3CE ,求∠ACB 的大小. 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |,a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 2021年一般高等学校招生全国统一考试 全 国 卷 Ⅱ(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <3},则A ∪B =( ) A .(-1,3) B .(-1,0) C .(0,2) D .(2,3)2.若a 为实数,且2+a i1+i=3+i ,则a =( )A .-4B .-3C .3D .43.依据下面给出的2004年至2021年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A .逐年比较,2008年削减二氧化硫排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C .2006年以来我国二氧化硫年排放量呈削减趋势D .2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.向量a =(1,-1),b =(-1,2),则(2a +b )·a =( ) A .-1 B .0 C .1 D .25.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ) A .5 B .7 C .9 D.116.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16 D.157.已知三点A (1,0),B (0,3),C (2,3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213C.253D.438.下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a =()A .0B .2C .4D .149.已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( )A .2B .1 C.12D.1810.已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A .36πB .64πC .144πD .256π 11.如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP =x ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y =f (x )的图象大致为( )12.设函数f (x )=ln(1+|x |)-11+x 2,则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13,1B.⎝⎛⎭⎫-∞,13∪(1,+∞) C.⎝⎛⎭⎫-13,13 D.⎝⎛⎭⎫-∞,-13∪⎝⎛⎭⎫13,+∞ 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知函数f (x )=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),则a =________.14.若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -5≤0,2x -y -1≥0,x -2y +1≤0,则z =2x +y 的最大值为________.15.已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y =±12x ,则该双曲线的标准方程为________.16.已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . (1)求sin B sin C;(2)若∠BAC =60°,求∠B . 18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满足度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,依据用户对产品的满足度评分,得到A 地区用户满足度评分的频率分布直方图和B 地区用户满足度评分的频数分布表.图①B 地区用户满足度评分的频数分布表满足度评 分分组 [50,60)[60,70)[70,80) [80,90) [90,100]频数2814106值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).图②(2)依据用户满足度评分,将用户的满足度分为三个等级:满足度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满足度等级不满足满足格外满足估量哪个地区用户的满足度等级为不满足的概率大?说明理由. 19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =16,BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2(2),点(2,2)在C 上.(1)求C 的方程;(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)争辩f (x )的单调性;(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,O 为等腰三角形ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高AD 交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.(1)证明:EF ∥BC ;(2)若AG 等于⊙O 的半径,且AE =MN =23,求四边形EBCF 的面积. 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =t sin α(t 为参数,t ≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值. 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设a ,b ,c ,d 均为正数,且a +b =c +d .证明: (1)若ab >cd ,则a +b >c +d ;(2)a +b >c +d 是|a -b |<|c -d |的充要条件.。

人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练1 常考小题点过关检测(word版含解析)

人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练1 常考小题点过关检测(word版含解析)

专题突破练1 常考小题点过关检测一、单项选择题1.(2021·山东潍坊一模)已知集合A={-2,0},B={x|x 2-2x=0},则下列结论正确的是( ) A.A=B B.A ∩B={0} C.A ∪B=A D.A ⊆B2.(2021·广东广州二模)已知集合P={x|-3≤x ≤1},Q={y|y=x 2+2x },则P ∪(∁R Q )=( )A.[-3,-1)B.[-1,1]C.(-∞,-1]D.(-∞,1]3.(2021·河北保定一模)设a ,b ∈R ,则“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2021·福建福州一中模拟)在复平面内,复数z=a+b i(a ∈R ,b ∈R )对应向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),设|OZ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ,以x 轴的非负半轴为始边,射线OZ 为终边的角为θ,则z=r (cos θ+isin θ).法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z n =[r (cos θ+isin θ)]n =r n (cos n θ+isin n θ),则(-1+√3i)10=( ) A.1 024-104√3i B.-1 024+1 024√3i C.512-512√3iD.-512+512√3i5.(2021·东北三校第一次联考)土楼有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.某大学建筑系学生对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.在制定调查顺序时,要求将圆形排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有( )种不同的排法. A.480B.240C.384D.1 4406.(2021·河北唐山一模)记(x +12x)4展开式的偶数项之和为P ,则P 的最小值为( )A.1B.2C.3D.47.(2021·江苏南京三模)在正方形ABCD 中,O 为两条对角线的交点,E 为BC 边上的动点.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),则2λ+1μ的最小值为( ) A.2B.5C.92D.1438.(2021·山东日照一中月考)已知f (x )=x 2+4x+1+a ,且对任意x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.[√5-12,+∞) B.[2,+∞) C.[-1,+∞)D.[3,+∞)二、多项选择题9.(2021·河北张家口一模)如果平面向量a =(2,-4),b =(-6,12),那么下列结论正确的是( ) A.|b |=3|a |B.a ∥bC.a 与b 的夹角为30°D.a ·b =-6010.(2021·河北唐山二模)已知a>b>0,且ab=4,则 ( )A.2a-b >1B.log 2a-log 2b>1C.2a +2b >8D.log 2a ·log 2b<111.(2021·山东临沂模拟)在下列四个条件中,能成为x>y 的充分不必要条件的是( ) A.xc 2>yc 2 B.1x<1y<0 C.|x|>|y| D.ln x>ln y12.(2021·广东茂名模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图,设圆柱的体积与球的体积之比为m ,圆柱的表面积与球的表面积之比为n ,若f (x )=(mn x 3-1x )8,则( ) A.f (x )的展开式中的常数项是56 B.f (x )的展开式中的各项系数之和为0 C.f (x )的展开式中的二项式系数最大值是70 D.f (i)=-16,其中i 为虚数单位三、填空题13.(2021·福建厦门双十中学月考)设复数z 满足z=4i 1+i,则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第象限.14.(2021·上海嘉定二模)将(x √x)7的二项展开式的各项重新随机排列,则有理项互不相邻的概率为 .15.(2021·浙江嘉兴二模)为满足某度假区游客绿色出行需求,某电力公司在该度假区停车楼建设了集中式智慧有序充电站,充电站共建设901个充电桩,其中包括861个新型交流有序充电桩、37个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩.现有A ,B ,C ,D ,E ,F 六辆新能源大巴,需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电,每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电.若要求A ,B 两大巴不能同时在上午充电,而C 大巴只能在下午充电,且F 大巴不能在甲充电桩充电,则不同的充电方案一共有 种.(用数字作答) 16.(2021·辽宁葫芦岛一模)在边长为2的正三角形ABC 中,D 是BC 边的中点,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE 交AD 于点F.若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y= ;BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .专题突破练1 常考小题点过关检测1.B 解析: 由题设得B={0,2},所以A ≠B ,A ∩B={0},A ∪B ≠A ,A 不是B 的子集.2.D 解析: 因为Q={y|y=x 2+2x }={y|y=(x+1)2-1}={y|y ≥-1},所以∁R Q={y|y<-1}, 又P={x|-3≤x ≤1},所以P ∪(∁R Q )={x|x ≤1}.3.B 解析: ∵|a+b i |=|1+i |,∴√a 2+b 2=√12+12,即a 2+b 2=2. ∵a 2+b 2=2a=b=1,而a=b=1⇒a 2+b 2=2,∴“a 2+b 2=2”是“a=b=1”的必要不充分条件,即“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的必要不充分条件.4.D 解析: 由题意,得(-1+√3i)10=210cos (10×2π3)+isin 10×2π3=1 024cos 20π3+isin 20π3=1 024(-12+√32i)=-512+512√3i .5.A 解析: 当圆形排在第一个时,有A 55A 22=240种不同的排法.同理,当圆形排在最后一个时,有A 55A 22=240种不同的排法.综上,圆形要排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有480种不同的排法.6.B 解析: 由已知得x ≠0,则x 2>0,所以P=C 41x 3·12x+C 43x·(12x )3=2x 2+12x 2≥2√1=2,当且仅当2x 2=12x 2即x=±√22时等号成立. 7.C 解析: 如图所示,以A 为原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系. 设正方形的边长为1,则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),于是可得O (12,12).设点E 的坐标为(1,m )(0≤m ≤1),则由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),可得(1,m )=λ(1,1)+μ(12,-12)(λ>0,μ>0),所以1=λ+12μ(λ>0,μ>0),则2λ+1μ=(2λ+1μ)(λ+12μ)=2+12+μλ+λμ≥52+2√μλ·λμ=92,当且仅当{ λμ=μλ,1=λ+12μ,λ>0,μ>0,即λ=μ=23时取等号,此时2λ+1μ的最小值为92.经检验,此时m=13∈[0,1]符合题意.8.B解析: 由题意,函数f(x)=x2+4x+1+a,令t=f(x),则t=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+a≥a-3,又对任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,即f(t)≥0对任意t≥a-3恒成立,当a-3≤-2时,即a≤1时,f(t)min=f(-2)=a-3≥0,解得a≥3,此时无解;当a-3>-2时,即a>1时,f(t)min=f(a-3)=a2-a-2≥0,解得a≥2或a≤-1,所以a≥2.综上可得,实数a的取值范围为[2,+∞).9.ABD解析: 因为a=(2,-4),b=(-6,12),所以b=-3a.所以|b|=3|a|,a∥b,a与b的夹角为180°,a·b=2×(-6)+(-4)×12=-60,故选项A,B,D正确,选项C错误.10.ACD解析: 因为a>b>0,且ab=4,对A,a-b>0,所以2a-b>20=1,故A正确;对B,取a=83,b=32,则log2a-log2b=log2ab=log2169<log22=1,故B错误;对C,2a+2b≥2√2a·2b=2√2a+b,当且仅当a=b时取等号,又因为a+b≥2√ab=4,当且仅当a=b=2时取等号,所以2a+2b≥2√2a+b≥2√24=8,当且仅当a=b=2时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故C正确;对D,当a>1>b>0时,log2a>0,log2b<0,所以log2a·log2b<1;当a>b>1时,log2a>0,log2b>0,所以log2a·log2b≤(log2a+log2b)24=[log2(ab)]24=1,当且仅当a=b时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故D正确.11.ABD解析: 对于A选项:若xc2>yc2,则c2≠0,于是x>y,而当x>y,c=0时xc2=yc2,所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件,故A符合题意;对于B选项:由1x<1y<0可得y<x<0,即能推出x>y;但x>y不能推出1x<1y<0(因为x,y的正负不确定),所以“1x<1y<0”是“x>y”的充分不必要条件,故B符合题意;对于C选项:由|x|>|y|可得x2>y2,则(x+y)(x-y)>0,不能推出x>y;由x>y也不能推出|x|>|y|(如x=1,y=-2),所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故C不符合题意; 对于D选项:若ln x>ln y,则x>y,而由x>y不能推出ln x>ln y,所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件.故选项D符合题意.12.BC解析: 设内切球的半径为r(r>0),则圆柱的高为2r.于是m=πr2·2r43πr3=32,n=2πr2+2πr·2r4πr2=32,所以mn=1,所以f(x)=(x3-1x)8.对于A,f(x)展开式通项为T r+1=C8r x24-3r·(-1x )r=(-1)r C8r x24-4r,令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)展开式中的常数项为(-1)6C86=28,A错误;对于B,f(1)=0,即f(x)展开式的各项系数之和为0,B正确; 对于C,f(x)展开式中二项式系数最大值为C84=70,C正确;对于D,f (i)=(i 3-1i )8=(-i +i)8=0,D 错误. 13.四 解析: 因为z=4i1+i =4i (1-i )(1+i )(1-i )=4i (1-i )2=2i(1-i)=2i -2i 2=2+2i,所以z =2-2i,所以共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.14.114解析: (x +1√x )7的展开式的通项为T r+1=C 7r x 7-r ·x -12r =C 7r x 7-32r ,当r=0,2,4,6时,对应的项为有理项,一共4项,当r=1,3,5,7时,对应的项为无理项,一共4项,要使得有理项互不相邻,采用插空法,先把无理项排好,再把有理项插到无理项的5个空档中,共有A 44A 54=2 880种情况,全部的情况有A 88=40 320种,故所求概率P=A 44A 54A 88=2 88040 320=114.15.168 解析: 先排F 大巴,第一种方案,F 大巴在上午充电,有C 21种可能情况,此时再排C大巴,C 大巴在下午充电,有C 31种可能情况,再排A ,B 大巴,又分A ,B 大巴同在下午和一个上午、一个下午两种情况,有(A 22+C 21C 21C 21)种可能情况;第二种方案,F 大巴在下午充电,有C 21种可能情况,此时再排C 大巴,C 大巴在下午充电,有C 21种可能情况,再排A ,B 大巴,只能一个上午、一个下午,有C 21C 31种可能情况.最后再排剩下的两辆大巴,有A 22种可能情况,故共有[C 21C 31(A 22+C 21C 21C 21)+C 21C 21C 21C 31]A 22=168种不同的充电方案. 16.35 -715解析: 如图,过点E 作EM ∥AD 交BC 于点M ,由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得EM=13AD ,BM=13BD ,MD=23BD ,又D 是BC 边的中点,得DC=35MC ,∴FD=35EM ,故FD=15AD ,即AF=45AD ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =45(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=45(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −45BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故x+y=35.易知DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 由已知得BA=BC=2,<BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 60°=2.所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(15BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=115BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+130BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =115×4-15×4+130×2=-715.。

2021高考数学二轮专题训练阶段滚动过关练一课件

2021高考数学二轮专题训练阶段滚动过关练一课件

【解析】选D.根据T=4×( 7 = )π,
12 3
所以ω= 2 =2,由于函数的图象过 ( 7 ,, 1 )
12
所以2× 7 +φ=2kπ+ 3 ,k∈Z,
12
2
由于|φ|< ,解得φ= ,
2
3
故f(x)=sin ( 2 x , )
3
先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的6倍,纵坐标不变,再将所得函数
2
因为b<c,所以B<C,所以角B为锐角,
所以cos B= 1sin2B,12=3 a2+ ( -23×)2 a× × ,解3 得a=31或a=2.
2
2
当a=1时,△ABC的面积
S= 1 acsin B= 1 ×1×
2
2
×3
= 1;
2
3 4
当a=2时,△ABC的面积S=1
2
acsin B= 1 ×2×
则当x≤0时,函数f(x)的最小值为f(0)=a2,
要使f(0)是f(x)的最小值,则f(0)=a2≤2,即0≤a≤ ,即2 实数a的取值范围是
[0, ]2 . 答案:(1) 1
4
(2)[0, ] 2
四、解答题(每小题10分,共30分)
13.已知f(x)=
3
sin ( x
) 3
-cos
x.
(1)写出f(x)的最小正周期,并求f(x)的最小值;
2
10.(2020·中卫二模)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东
45°,与观测站A距离20 2 海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测 得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cos θ= 4 ,已知A,C两

导数与函数的单调性、极值、最值问题(分层训练)2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练(原卷版)

导数与函数的单调性、极值、最值问题(分层训练)2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练(原卷版)

解密15 导数与函数的单调性、极值、最值问题A 组 考点专练一、选择题1.函数f (x )=ln x -ax 在x =2处的切线与直线ax -y -1=0平行,则实数a =( )A.-1B.14C.12D.12.函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象如图所示,则函数y =f (x )的图象可能是( )3.已知函数f (x )=2e f ′(e)ln x -x e,则f (x )的极大值点为( ) A.1e B.1 C.e D.2e4.已知函数f (x )=13x 3+mx 2+nx +2,其导函数f ′(x )为偶函数,f (1)=-23,则函数g (x )=f ′(x )e x 在区间[0,2]上的最小值为( )A.-3eB.-2eC.eD.2e5.(多选题)已知定义在⎣⎡⎭⎫0,π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x ),且f (0)=0,f ′(x )cos x +f (x )sin x <0,则下列判断中正确的是( )A.f ⎝⎛⎭⎫π6<62f ⎝⎛⎭⎫π4B.f ⎝⎛⎭⎫ln π3>0C.f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3 D.f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3二、填空题6.若曲线y =e x 在x =0处的切线也是曲线y =ln x +b 的切线,则b =________.7.已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x ),满足f ′(x )<f (x ),且f (0)=12,则不等式f (x )-12e x <0的解集为________.8.若函数f (x )与g (x )满足:存在实数t ,使得f (t )=g ′(t ),则称函数g (x )为f (x )的“友导”函数.已知函数g (x )=12kx 2-x +3为函数f (x )=x 2ln x +x 的“友导”函数,则k 的取值范围是________. 三、解答题9.已知函数f (x )=(x -1)ln x -x -1.证明:(1)f (x )存在唯一的极值点;(2)f (x )=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.10.已知函数f (x )=ax -1-ln x (a ∈R ).(1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数;(2)若函数f (x )在x =1处取得极值,∀x ∈(0,+∞),f (x )≥bx -2恒成立,求实数b 的最大值.B组专题综合练11.(多选题)已知函数f(x)=e x+a ln x,其中正确的结论是()A.当a=0时,函数f(x)有最大值B.对于任意的a<0,函数f(x)一定存在最小值C.对于任意的a>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增D.对于任意的a>0,都有函数f(x)>012.已知函数f(x)=ln x-x e x+ax,其中a∈R.(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若a=1,求f(x)的最大值.。

2020版江苏省高考文科数学三轮复习练习:小题分层练(一) 本科闯关练(1)

2020版江苏省高考文科数学三轮复习练习:小题分层练(一) 本科闯关练(1)

小题分层练(一) 本科闯关练(1)(建议用时:50分钟)1.已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <3},则A ∪B =________.2.设i 是虚数单位,复数i 3+2i 1+i=________. 3.(2019·徐州调研)高三(3)班共有学生56人,座号分别为1,2,3,…,56,现根据座号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本.已知3号、17号、45号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的座号是________.4.在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β=________. 5.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于________.6.曲线y =-5e x +3在点(0,-2)处的切线方程为________.7.阅读如下流程图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为________.8.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,则下列说法正确的序号是________. ①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ;②若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n ;③若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α;④若m ∥α,m ⊥n ,则n ⊥α.9.已知函数f ()x =⎩⎨⎧-x 2+2x ()x ≤0,ln ()x +1(x >0),若||f ()x ≥ax 恒成立,则a 的取值范围为__________. 10.已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,且a 2+b 2=c 2+ab ,4sin A sinB =3,则tan A 2+tan B 2+tanC 2=________. 11.已知圆C :(x -a )2+(y -b )2=1,平面区域Ω:⎩⎪⎨⎪⎧x +y -7≤0,x -y +3≥0,y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C与x 轴相切,则a 2+b 2的最大值为________.12.已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为23的正三角形,该三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球,则该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为________.13.已知公比不为1的等比数列{a n }的前5项积为243,且2a 3为3a 2和a 4的等差中项.若数列{b n }满足b n =b n -1·log 3a n +2(n ≥2且n ∈N *),且b 1=1,则b n =________.14.若f (x )=x 3-3x +m 有且只有一个零点,则实数m 的取值范围是________.小题分层练(一)1.详细分析:根据并集的概念可知A ∪B ={x |-1<x <2}∪{x |0<x <3}={x |-1<x <3}=(-1,3).答案:(-1,3)2.详细分析:i 3+2i 1+i=-i +2i (1-i )2=1. 答案:13.详细分析:抽取容量为4的样本,则要将总体分为4组,每组有14人,由题意可知抽取的座号分别为3,17,31,45.答案:314.详细分析:当角α的终边在第一象限时,取角α终边上一点P 1(22,1),其关于y 轴的对称点(-22,1)在角β的终边上,此时sin β=13;当角α的终边在第二象限时,取角α终边上一点P 2(-22,1),其关于y 轴的对称点(22,1)在角β的终边上,此时sin β=13.综合可得sin β=13. 答案:135.详细分析:掷两颗均匀的骰子,一共有36种情况,点数之和为5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种,所以点数之和为5的概率为436=19. 答案:196.详细分析:因为y ′|x =0=-5e 0=-5,所以曲线在点(0,-2)处的切线方程为y -(-2)=-5(x -0),即5x +y +2=0.答案:5x +y +2=07.详细分析:初始值,S =0,i =1,接下来按如下运算进行:第一次循环,S =lg 13>-1,再次进入循环,此时i =3; 第二次循环,S =lg 13+lg 35=lg 15>-1,再次进入循环,此时i =5; 第三次循环,S =lg 15+lg 57=lg 17>-1,再次进入循环,此时i =7; 第四次循环,S =lg 17+lg 79=lg 19>-1,再次进入循环,此时i =9; 第五次循环,S =lg 19+lg 911=lg 111<-1,退出循环,此时i =9.答案:98.详细分析:由题可知,若m ∥α,n ∥α,则m 与n 可能平行、相交或异面,所以①错误;若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n ,故②正确;若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊂α,故③错误;若m ∥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊂α或n 与α相交,故④错误.答案:②9.详细分析:由题意可作出函数y =||f ()x 的图象和函数y =ax 的图象,由图象可知,函数y =ax 的图象为过原点的直线,直线l 为曲线的切线,当直线介于l 和x 轴之间时符合题意,且此时函数y =||f ()x 在第二象限的部分解+析式为y =x 2-2x ,求其导数可得y ′=2x -2,因为x =0,故y ′=-2,故直线l 的斜率为-2,故只需直线y =ax 的斜率a 介于-2与0之间即可,即a ∈[]-2,0,故答案为[]-2,0.答案:[-2,0]10.详细分析:由余弦定理得a 2+b 2-c 2=2ab cos C ,又a 2+b 2=c 2+ab ,则2ab cos C =ab ,cos C =12,sin C =32,又4sin A ·sin B =3,因此sin A sin B =sin 2C ,ab =c 2,a 2+b 2-ab =ab ,a =b =c ,A =B =C =60°,故tan A 2+tan B 2+tan C 2= 3. 答案: 311.详细分析:作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -7≤0,x -y +3≥0,y ≥0表示的平面区域Ω(如图阴影部分所示,含边界),圆C :(x -a )2+(y -b )2=1的圆心为(a ,b ),半径为1.由圆C 与x 轴相切,得b =1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -7=0,y =1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =1,即直线x +y -7=0与直线y =1的交点坐标为(6,1),设此点为P .又点C ∈Ω,则当点C 与P 重合时,a 取得最大值,所以,a 2+b 2的最大值为62+12=37.答案:3712.详细分析:由题意知,三棱柱的内切球的半径r 等于底面内切圆的半径,即r =36×23=1,此时三棱柱的高为2r =2,底面外接圆的半径为23×33=2,所以三棱柱的外接球的半径R =22+12= 5.所以该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为R r=5∶1.答案:5∶113.详细分析:由前5项积为243得a3=3.设等比数列{a n}的公比为q(q≠1),由2a3为3a2和a4的等差中项,得3×3q+3q=4×3,由公比不为1,解得q=3,所以a n=3n-2.由bn=b n-1·log3a n+2=b n-1·n(n≥2),得b n=b nb n-1·b n-1b n-2·…·b2b1·b1=n×(n-1)×…×2×1=n!(n≥2),n=1时也满足,则b n=n!.答案:n!14.详细分析:记g(x)=x3-3x,则g′(x)=3x2-3=3(x+1)·(x-1),当x<-1或x>1时,g′(x)>0;当-1<x<1时,g′(x)<0.因此函数g(x)=x3-3x在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,且g(-1)=2,g(1)=-2,所以当x→-∞时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)→+∞.在坐标平面内画出直线y=-m与函数g(x)=x3-3x的大致图象(图略),结合图象可知,当且仅当-m<-2或-m>2,即m>2或m<-2时,直线y=-m与函数g(x)=x3-3x的图象有唯一公共点.因此,当函数f(x)有且只有一个零点时,实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)。

江苏省高考文科数学三轮复习练习:小题分层练二 本科闯关练 含解析

江苏省高考文科数学三轮复习练习:小题分层练二 本科闯关练 含解析

小题分层练(二) 本科闯关练(2)(建议用时:50分钟)1.若集合A ={x |-5<x <2},B ={x |-3<x <3},则A ∩B =________. 2.若复数z =1+2i ,其中i 是虚数单位,则⎝⎛⎭⎫z +1z ·z =________. 3.执行如图所示的流程图,输出的S 值为________.4.100名学生某次数学测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则测试成绩落在[60,80)中的学生人数是________.5.(2019·盐城模拟)在平面四边形ABCD 中,若AB =1,BC =2,∠B =60°,∠C =45°,∠D =120°,则AD =________.6.在各项均为正数的等比数列{a n }中,已知a 2a 4=16,a 6=32,记b n =a n +a n +1,则数列{b n }的前5项和S 5为________.7.(2019·武汉调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 则正确的结论是________.8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x -3,x <0,x 2,x ≥0,若a >0>b ,且f (a )=f (b ),则f (a +b )的取值范围是________.9.已知函数f (x )=cos(ωx +φ)(ω>0,0≤φ<π),满足f ⎝⎛⎭⎪⎫3π2ω=1,且函数y =f (x )图象上相邻两个对称中心间的距离为π,则函数f (x )的解析式为________.10.(2019·泰州调研)由命题“存在x ∈R ,使x 2+2x +m ≤0”是假命题,求得m 的取值范围是(a ,+∞),则实数a 的值是__________.11.(2019·淮安调研)已知α,β均为锐角,且tan α=2t ,tan β=t 15,当10tan α+3tanβ取得最小值时,α+β的值为________.12.(2019·重庆模拟)若f (x )为R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f (-3)=0,则x ·f (x )<0的解集为________.13.(2019·无锡调研)如图,设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴为AB ,短轴为CD ,E 是椭圆弧BD 上的一点,AE 交CD 于K ,CE 交AB 于L ,则⎝⎛⎭⎫EK AK 2+⎝⎛⎭⎫EL CL 2的值为________.14.已知函数f (x )=x 2-x +1x -1,g (x )=ln xx ,若函数y =f (g (x ))+a 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3(其中x 1<x 2<x 3),则2g (x 1)+g (x 2)+g (x 3)的取值范围为________.小题分层练(二)1.解析:A ∩B ={x |-5<x <2}∩{x |-3<x <3}={x |-3<x <2}. 答案:{x |-3<x <2}2.解析:⎝⎛⎭⎫z +1z ·z =|z |2+1=5+1=6. 答案:63.解析:S =20+21+22=7. 答案:74.解析:根据频率分布直方图中各组频率之和为1,得10(2a +3a +7a +6a +2a )=1,解得a =1200,所以测试成绩落在[60,80)中的频率是10(3a +7a )=100a =100×1200=12,故对应的学生人数为100×12=50.答案:505.解析:连接AC .在△ABC 中,AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos 60°=3,所以AC =3,又AC 2+BA 2=4=BC 2,所以∠BAC =90°.在四边形ABCD 中,∠BAD =360°-(60°+45°+120°)=135°,因此∠CAD =∠BAD -∠BAC =45°,∠ACD =180°-∠CAD -∠D =15°.在△ACD 中,AD sin ∠ACD =AC sin D ,即AD sin 15°=3sin 120°,AD =3sin 15°sin 120°=3×(6-2)4÷32=6-22. 答案:6-226.解析:设数列{a n }的公比为q ,由a 23=a 2a 4=16得,a 3=4,即a 1q 2=4,又a 6=a 1q 5=32,解得a 1=1,q =2,所以a n =a 1q n -1=2n -1,b n =a n +a n +1=2n -1+2n =3·2n -1,所以数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列,S 5=3(1-25)1-2=93.答案:937.解析:显然①④正确;对于②,在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,也可以异面或相交;对于③,在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行,也可以相交.答案:①④8.解析:设f (a )=f (b )=t , 作出f (x )的图象, 由图象知,t ≥0, 由f (a )=a 2=t ,得a =t , 由f (b )=-2b -3=t ,得b =-3-t2, 则a +b =t +-3-t 2=-12t +t -32=-12(t -2t )-32=-12(t -1)2-1,因为t ≥0,所以t ≥0,则m =-12(t -1)2-1≤-1,即m =a +b ≤-1,此时f (a +b )=f (m )=-2m -3≥2-3=-1, 即f (a +b )的取值范围是[-1,+∞), 故答案为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞) 9.解析:因为f ⎝⎛⎭⎪⎫3π2ω=1,所以cos ⎝⎛⎭⎫3π2+φ=1,即sin φ=1,又0≤φ<π,所以φ=π2.因为函数y =f (x )图象上相邻两个对称中心间的距离为π. 所以12·2πω=π,ω=1,则f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x +π2=-sin x .答案:f (x )=-sin x10.解析:因为“存在x ∈R ,使x 2+2x +m ≤0”是假命题,所以“任意x ∈R ,使x 2+2x +m >0”是真命题,所以Δ=4-4m <0,解得m >1,故a 的值是1.答案:111.解析:因为α,β为锐角,所以t >0,故10tan α+3tan β=20t +t5≥24=4,当且仅当t =10时取等号,此时tan α=15,tan β=23,tan(α+β)=15+231-215=1,又α,β为锐角,所以α+β=π4.答案:π412.解析:依题意,结合函数y =f (x )的性质,不妨设函数y =f (x )的大致图象如图,不等式xf (x )<0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x <0f (x )>0或②⎩⎪⎨⎪⎧x >0f (x )<0.结合图象,解不等式组①得-3<x <0;解不等式组②得0<x <3.因此,不等式xf (x )<0的解集是{x |-3<x <0或0<x <3}.答案:(-3,0)∪(0,3)13.解析:如图所示,设点E (x 0,y 0),过点E 分别向x 、y 轴引垂线,垂足分别为N 、M ,由△MKE ∽△OKA ,故EK AK =ME AO =|x 0|a,同理EL CL =|y 0|b ,则⎝⎛⎭⎫EK AK 2+⎝⎛⎭⎫EL CL 2=x 20a 2+y 20b2,又点E (x 0,y 0)在椭圆上,故有x 20a 2+y 20b2=1,即⎝⎛⎭⎫EK AK 2+⎝⎛⎭⎫EL CL 2=1. 答案:114.解析:因为g (x )=ln xx ,所以g ′(x )=1-ln x x 2.当0<x <e 时,g ′(x )>0,g (x )单调递增;当x >e 时,g ′(x )<0,g (x )单调递减.作出函数g (x )的大致图象如图所示,令g (x )=t ,由f (t )+a =t 2-t +1t -1+a =0,得关于t 的一元二次方程t 2+(a -1)t +1-a =0,又f (g (x ))+a =0有三个根x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,所以结合g (x )的图象可知关于t 的一元二次方程有两个不等实根,不妨设为t 1,t 2,且t 1<t 2,则0<t 1<1e ,t 2=1e 或t 1<0<t 2<1e ,t 1+t 2=1-a ,由Δ=(a -1)2-4(1-a )>0,得1-a <0或1-a >4,当0<t 1<1e ,t 2=1e 时,0<t 1+t 2<4,不符合题意,舍去,所以t 1<0<t 2<1e,所以g (x 1)=t 1,g (x 2)=g (x 3)=t 2,所以2g (x 1)+g (x 2)+g (x 3)=2t 1+2t 2=2(t 1+t 2)=2(1-a ). 令λ=1-a ,φ(t )=t 2+(a -1)t +1-a =t 2-λt +λ, 由t 1<0<t 2<1e可知,⎩⎪⎨⎪⎧φ(0)<0,φ⎝⎛⎭⎫1e >0,即⎩⎪⎨⎪⎧λ<0,1e 2-λ×1e +λ>0, 解得1e -e 2<λ<0.综上,2g (x 1)+g (x 2)+g (x 3)的取值范围为⎝⎛⎭⎫2e -e 2,0.答案:⎝⎛⎭⎫2e -e 2,0。

2021年高三数学(文科)第二轮高考总复习阶段测试卷(第34周) 含答案

2021年高三数学(文科)第二轮高考总复习阶段测试卷(第34周)  含答案

2021年高三数学(文科)第二轮高考总复习阶段测试卷(第34周) 含答案第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.的值是( ) A .B .C .D .2.已知集合}121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 且,若则( ) A .B .C .D .3.已知则等于( )A . B. C. D.4. 已知等差数列{}241071510S n a a a ==中,,,则前项和=( )A.420B.380C.210D.1405. 已知a>0,b>0,则的最小值为( )A .2 B. C. 4 D.6. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=那么的值是( )A .B .-C .D .-7. 设,则以下不等式中不恒成立的是( ) A . B . C .D .8.凸多边形各内角依次成等差数列,其中最小角为120°,公差为5°,则边数等于( ) A .B .C .16或9D .129.已知函数(a 为常数)的定义域为,的最大值为6,则a 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .610. 已知向量,若向量∥,则x=( )A.B.D. -2 D. 211.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A .B.C .D .12. 已知,点C 在的边AC 上,设,则等于( )A. B. 3 C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.) 13.已知,且满足,则的最小值为 . 14 已知,,与的夹角为,要使与垂直,则=15. 已知是坐标原点,点.若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是__________. 16. 已知函数,若函数有三个零点,则实数 的取值范围是 。

统考版2021届高考数学二轮专题闯关导练一客观题专练立体几何11文含解析

统考版2021届高考数学二轮专题闯关导练一客观题专练立体几何11文含解析

立体几何(11)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列三视图所对应的直观图是( )2.[2020·福州市第一学期抽测]如图,为一圆柱切削后的几何体及其正视图,则相应的侧视图可以是( )3.[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )ABCD4.[2020·合肥市高三第一次教学质量检测]已知正方体ABCD­A1B1C1D1,过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E,交棱CC1于点F,则:①平面α分正方体所得两部分的体积相等②四边形BFD1E一定是平行四边形③平面α与平面DBB1不可能垂直④四边形BFD1E的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为( )A.①④ B.②③C.①②④ D.①②③④5.[2020·太原市高三年级模拟]古人采用“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示,则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A .63πB .72πC .79πD .99π6.[2020·惠州市高三第二次调研考试试卷]设l ,m ,n 为三条不同的直线,α为一个平面,则下列命题中正确的个数是( )①若l ⊥α,则l 与α相交 ②若m ⊂α,n ⊂α,l ⊥m ,l ⊥n ,则l ⊥α ③若l ∥m ,m ∥n ,l ⊥α,则n ⊥α ④若l ∥m ,m ⊥α,n ⊥α,则l ∥n .A .1B .2C .3D .4 7.如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =AB ,∠BCD =45°,∠BAD =90°,将△ADB 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,构成三棱锥A ­ BCD .则在三棱锥A ­ BCD 中,下列命题正确的是( )A .平面ABD ⊥平面ABCB .平面ADC ⊥平面BDC C .平面ABC ⊥平面BDCD .平面ADC ⊥平面ABC8.[2020·开封市高三第一次模拟考试]已知正方体的棱长为1,平面α过正方体的一个顶点,且与正方体每条棱所在直线所成的角都相等,则该正方体在平面α上的正投影面积是( )A.332B. 3C. 2D.3349.[2020·湖北荆州中学模拟]如图,L ,M ,N 分别为正方体棱的中点,则平面LMN 与平面PQR 的位置关系是( )A .垂直B .相交但不垂直C .平行D .重合10.[2018·全国卷Ⅱ]在长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =1,AA 1=3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.2211.[2020·湖北省部分重点中学高三起点考试]如图,在四棱锥P­ABCD中,顶点P 在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心,且AB=2,设点M,N分别为线段PD,PO上的动点,已知当AN+MN取最小值时,动点M恰为PD的中点,则该四棱锥的外接球的表面积为( )A.9π2B.16π3C.25π4D.64π912.[2020·福建质量检测]如图,AB是圆锥SO的底面圆O的直径,D是圆O上异于A,B 的任意一点,以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C,P为SD的中点.现给出以下结论:①△SAC为直角三角形②平面SAD⊥平面SBD③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行其中正确结论的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.[2020·安徽省示范高中名校高三联考]某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为________.14.[2020·海南中学模拟]设α,β,γ为三个不同的平面,a,b为直线,给出下列条件:①a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α②α∥γ,β∥γ③α⊥γ,β⊥γ④a⊥α,b⊥β,a∥b.其中能推出α∥β的条件是________.(填上所有正确的序号)15.[2020·广东广州质检]如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点.在这个正四面体中:①GH 与EF 平行②BD 与MN 为异面直线 ③GH 与MN 成60°角 ④DE 与MN 垂直以上四个命题中,正确命题的序号是________.16.[2020·惠州市高三第一次调研考试试题]已知球的直径DC =4,A ,B 是该球面上的两点,∠ADC =∠BDC =π6,则三棱锥A ­ BCD 体积的最大值是________.立体几何(11)1.答案:C解析:由三视图知,几何体的直观图下部是长方体,上部是圆柱,并且高相等,所以C 选项符合题意.2.答案:B解析:由题意,根据切削后的几何体及其正视图,可得相应的侧视图的切口为椭圆,故选B.3.答案:A解析:由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.4.答案:C解析:平面α分正方体所得两部分,经过翻转能够完全重合,所以体积相等,①正确;由题意知FB∥D1E,EB∥D1F,所以四边形BFD1E一定是平行四边形,②正确;当E,F分别为棱AA1,CC1的中点时,平面DBB1⊥平面α,③错误;当E,F分别为棱AA1,CC1的中点时,四边形BFD1E的面积有最大值,④正确.故选C.5.答案:A解析:由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体,其中圆柱的高为5,底面圆的半径为3,半球的半径为3,所以组合体的体积为π×32×5+12×43π×33=63π.6.答案:C解析:对于①,若l⊥α,则l与α不可能平行,l也不可能在α内,所以l与α相交,①正确;对于②,若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则有可能是l⊂α,故②错误;对于③,若l∥m,m∥n,则l∥n,又l⊥α,所以n⊥α,故③正确;对于④,因为m⊥α,n⊥α,所以m∥n,又l∥m,所以l∥n,故④正确,故选C.7.答案:D解析:∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,∴AB⊥平面ADC,又AB⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC,故选D.8.答案:B解析:记正方体为ABCD­A1B1C1D1,如图1,由题意及正方体的性质知,正方体ABCD­A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等,因此不妨令平面AB1D1为平面α.连接A1C1,与B1D1交于点O′,连接AO′,A1C,设交点为O,易证A1O⊥平面AB1D1,则点A1,C在平面AB1D1上的正投影均为O,再找出点B,D,C1在平面AB1D1上的正投影,即可确定正方体ABCD ­A1B1C1D1在平面AB1D1上的正投影.由于A1,C1关于B1D1对称,故点C1在平面AB1D1上的正投影与点O关于B1D1对称,如图2,作O关于B1D1的对称点C′1,则C′1为点C1在平面AB1D1上的正投影.同理,作O关于AB1的对称点B′,则B′为点B在平面AB1D1上的正投影,作O关于AD1的对称点D′,则D′为点D在平面AB1D1上的正投影,连接AB′,B′B1,B1C′1,C′1D1,D1D′,D′A,得正六边形AB′B1C′1D1D′,即正方体ABCD­A1B1C1D1在平面α上的正投影,易求得其面积为 3.故选B.9.答案:C解析:如图,分别取正方体另三条棱的中点为A,B,C,将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,易知PQ∥AL,PR∥AM,且PQ与PR相交,AL与AM相交,所以平面PQR∥平面AMBNCL,即平面LMN∥平面PQR.故选C.10.答案:C解析: 如图,在长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA ­ A 1′B 1′B 1A 1.连接B 1B ′,由长方体性质可知,B 1B ′∥AD 1,所以∠DB 1B ′为异面直线AD 1与DB 1所成的角(或其补角).连接DB ′,由题意,得DB ′=12+1+12=5,B ′B 1=12+32=2,DB 1=12+12+32= 5.在△DB ′B 1中,由余弦定理,得DB ′2=B ′B 21+DB 21-2B ′B 1·DB 1·cos ∠DB 1B ′,即5=4+5-2×25cos ∠DB 1B ′,∴ cos ∠DB 1B ′=55.故选C. 11.答案:B解析:如图,在PC 上取点M ′,使得PM =PM ′,连接NM ′,则MN =M ′N ,AN +MN =AN +M ′N ,则当A ,N ,M ′三点共线时,AN +M ′N 最小,为AM ′,当AM ′⊥PC 时,AM ′取得最小值,即AN +M ′N 的最小值.因为此时M 恰为PD 的中点,所以M ′为PC 的中点,连接AC ,所以PA =AC =2,因此PO =PA 2-AO 2= 3.易知外接球的球心在四棱锥内部,设外接球的半径为r ,则r 2=(3-r )2+1,解得r =233,因此外接球的表面积S =4πr 2=16π3.故选B.12.答案:C解析:如图,连接OC ,∵AO 为圆的直径,∴AC ⊥OC .∵SO 垂直于底面圆O ,AC ⊂底面圆O ,∴AC ⊥SO .∵SO ∩OC =O ,∴AC ⊥平面SOC .又SC ⊂平面SOC ,∴AC ⊥SC ,∴△SAC 为直角三角形,故①正确.由于点D 是圆O 上的动点,∴平面SAD 不能总垂直于平面SBD ,故②错误.连接DO 并延长交圆O 于E ,连接SE ,PO ,∵P 为SD 的中点,O 为DE 的中点,∴OP ∥SE .又OP ⊂平面PAB ,SE ⊄平面PAB ,∴SE ∥平面PAB ,故③正确.故选C.13.答案:2 3解析:由三视图可知,该四棱锥的直观图如图中S ­ ABCD 所示,其中底面ABCD 是边长为3的正方形,顶点S 在底面ABCD 的射影O 在线段BD 上,并且DO OB =12,SO =2,过点O 分别作AD ,AB 的平行线,交AB ,BC 于E ,F ,由三视图可知AE =1,EB =2,BF =2,CF =1,则AO =CO =5,所以SA =SC =3.DO =2,OB =22,所以SD =6,SB =2 3.综上可知,该四棱锥的最长棱的长度为2 3.14.答案:②④解析:在条件①或条件③中,α还可能与β相交; 由α∥γ,β∥γ⇒α∥β,条件②满足;在④中,a ⊥α,a ∥b ⇒b ⊥α,又b ⊥β,从而α∥β,④满足. 综上,能推出α∥β的条件是②④. 15.答案:②③④解析:把正四面体的平面展开图还原,如图所示,由正四面体的性质易知GH 与EF 为异面直线,BD 与MN 为异面直线,GH 与MN 成60°角,DE ⊥MN .故正确命题的序号是②③④.16.答案:2解析:因为球的直径DC =4,且∠ADC =∠BDC =π6,所以AC =BC =2,AD =BD =23,所以S △BCD =12×BC ×BD =12×2×23=23,设h 为点A 到平面BCD 的距离,则V 三棱锥A ­ BCD =13×S△BCD×h =233h ,故当h 最大时,三棱锥A ­ BCD 的体积最大.易知当平面ADC ⊥平面BCD 时,h 最大,此时12×4h =12×2×23,得h =3,V 三棱锥A ­BCD=233h =2,即三棱锥A ­ BCD 体积的最大值为2.。

2021届新高考数学二轮专题闯关导练(山东专用):方法技巧专练(一) Word版含解析

2021届新高考数学二轮专题闯关导练(山东专用):方法技巧专练(一) Word版含解析

三 方法技巧专练专练(一)技法1 直接法1.[2020·山东高考第一次大联考]已知a +b i(a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数,则a +b =( )A .-1B .-12 C.12D .12.[2020·山东省实验中学、淄博实验中学、烟台一中、莱芜一中四校联考]已知正实数a ,b ,c 满足log 2a =log 3b =log 6c ,则( )A .a =bcB .b 2=acC .c =abD .c 2=ab3.[2020·山东烟台、菏泽联考]若sin α+cos α=24,则sin 2α的值为________.4.[2020·山东青岛检测]在⎝⎛⎭⎫x -2x n 的二项展开式中,仅第8项的二项式系数最大,则在该二项展开式中x 4项的系数为________.技法2 排除法5.[2020·山东师大附中模拟]函数y =2x 2-e |x |在[-2,2]的图象大致为( )6.已知椭圆C :x 24+y 2b=1(b >0),直线l :y =mx +1,若对任意的m ∈R ,直线l 与椭圆C恒有公共点,则实数b 的取值范围是( )A .[1,4)B .[1,+∞)C .[1,4)∪(4,+∞)D .(4,+∞)7.[2020·山东东营胜利一中模拟]已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递减,则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12,54B.⎣⎡⎦⎤12,34C.⎝⎛⎦⎤0,12 D .(0,2]8.若直线x -my +m =0与圆(x -1)2+y 2=1有两个交点,且两个交点分别位于坐标平面上两个不同的象限内,则m 的取值范围是( )A .(0,1)B .(0,2)C .(-1,0)D .(-2,0)技法3 特值法9.[2020·山东济南历城二中模拟]已知a >0>b ,则下列不等式一定成立的是( ) A .a 2<-ab B .|a |<|b |C. 1a >1bD.⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫12b 10.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列等式中一定成立的是( ) A .S n +S 2n =S 3n B .S 22n =S n S 3n C .S 22n =S n +S 2n -S 3nD .S 2n +S 22n =S n (S 2n +S 3n) 11.[2020·山东聊城模拟]已知E 为△ABC 的重心,AD 为BC 边上的中线,令AB →=a ,AC→=b ,若过点E 的直线分别交AB ,AC 于P ,Q 两点,且AP →=m a ,AQ →=n b ,则1m +1n=( )A .3B .4C .5 D.1312.过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ,Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是p ,q ,则1p +1q=________.技法4 图解法13.(多选题)[2019·全国卷Ⅰ改编]关于函数f (x )=sin |x |+|sin x |有下列四个结论,其中正确的是( )A .f (x )是偶函数B .f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2,π单调递增 C .f (x )在[-π,π]有4个零点 D .f (x )的最大值为214.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,x ≤0,-x +2,x >0,则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A .[-1,1]B .[-2,2]C .[-2,1]D .[-1,2]15.[2020·山东济宁质量检测]已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,实轴长为4,渐近线方程为y =±12x ,|MF 1|-|MF 2|=4,点N 在圆x 2+y 2-4y =0上,则|MN |+|MF 1|的最小值为( )A .2+7B .5C .6D .716.[2020·山东潍坊模拟]已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e|x -1|,x >0,-x 2-2x +1,x ≤0,若关于x 的方程f 2(x )-3f (x )+a =0(a ∈R )有8个不等的实数根,则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0,14B.⎝⎛⎭⎫13,3 C .(1,2) D.⎝⎛⎭⎫2,94三 方法技巧专练专练(一)技法1 直接法1.★答案★:D解析:1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i 2=-i =a -b i ,所以a =0,b =1,所以a +b =1.2.★答案★:C解析:∵正实数a ,b ,c 满足log 2a =log 3b =log 6c ,∴设log 2a =log 3b =log 6c =k ,则a =2k ,b =3k ,c =6k ,∴c =ab .故选C.3.★答案★:-78解析:∵sin α+cos α=24,两边平方得1+sin 2α=18所以sin 2α=-78.4.★答案★:364解析:因⎝⎛⎭⎫x -2x n 的二项展开式中,仅第8项的二项式系数最大,所以n =14,⎝⎛⎭⎫x -2x n 的展开式中第r +1项为T r +1=C r 14(-2)r 37-r 2x ,令7-32r =4,解得r =2,则x 4项的系数为C 214(-2)2=364.技法2 排除法5.★答案★:D解析:令f (x )=2x 2-e |x |(-2≤x ≤2),则f (-x )=f (x ),即f (x )是偶函数,又f (2)=8-e 2∈(0,1),故排除A ,B ;当x >0时,令g (x )=2x 2-e x ,则g ′(x )=4x -e x ,又g ′(0)<0,g ′(2)>0,所以g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点,故f (x )=2x 2-e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.6.★答案★:C 解析:注意到直线l 恒过定点(0,1),所以当b =1时,直线l 与椭圆C 恒有公共点,排除D ;若b =4,则方程x 24+y2b=1不表示椭圆,排除B ;若b >4,则显然点(0,1)恒在椭圆内部,满足题意,排除A.故选C.7.★答案★:A解析:当ω=2,x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,ωx +π4∈⎝⎛⎭⎫5π4,9π4,函数f (x )不单调递减,不符合题意,∴排除D.当ω=1,x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,ωx +π4∈⎝⎛⎭⎫3π4,5π4,函数f (x )单调递减,符合题意,∴排除B ,C.故选A.8.★答案★:D解析:由题知当m =0时不符合题意.直线x -my +m =0恒过点(0,1),斜率为1m,在同一坐标系中画出直线与圆,如图所示.由直线与圆有两个交点,可得直线的斜率一定为负数,排除A ,B.当直线的斜率为-1时,符合题意.排除C.故选D.技法3 特值法9.★答案★:C解析:当a =1,b =-1时,满足a >0>b ,此时a 2=-ab ,|a |=|b |,⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b,∴A ,B ,D 不一定成立.∵a >0>b ,∴b -a <0,ab <0,∴1a -1b =b -a ab >0,∴1a >1b一定成立,故选C.10.★答案★:D解析:设等比数列{a n }的前三项分别为a 1=1,a 2=2,a 3=4,则S 1=1,S 2=3,S 3=7,显然选项A ,B ,C 均不成立,D 成立,故选D.11.★答案★:A解析:由于题中直线PQ 的条件是过点E ,所以该直线是一条“动”直线,所以最后的结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.图1 图2 方法一:如图1,PQ ∥BC ,则=23,=23,此时m =n =23,故1m +1n=3.故选A.方法二:如图2,取直线BE 作为直线PQ ,显然,此时=,=12,故m =1,n =12,所以1m+1n=3.故选A. 12.★答案★:4a解析:设直线斜率为0,因抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0,14a ,把直线方程y =14a代入抛物线方程解得x =±12a ,∴|PF |=|FQ |=12a ,从而1p +1q=4a .技法4 图解法13.★答案★:AD解析:易知函数f (x )为偶函数,所以只需画出f (x )在区间[0,π]上的图象,由图象判断A 、D 正确.14.★答案★:A解析:分别作出f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,x ≤0,-x +2,x >0和y =x 2的图象如图所示.由图可知,f (x )≥x 2的解集为[-1,1]. 15.★答案★:B解析:因为双曲线的实轴长2a =4,所以a =2,又因为渐近线方程为y =±12x ,且焦点在x轴上,所以b a =12,即b =1,所以双曲线的方程为x24-y 2=1.因为M 点满足|MF 1|-|MF 2|=4=2a ,所以点M 在双曲线的右支上.依题意作图,|MN |+|MF 1|=|MN |+|MF 2|+2a =|MN |+|MF 2|+4,由图可知|MN |+|MF 2|的最小值为圆心(0,2)到F 2(5,0)的距离减去圆的半径,即(5-0)2+(0-2)2-2=1,于是(|MN |+|MF 1|)min =1+4=5,故选B.16.★答案★:D解析:函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e|x -1|,x >0,-x 2-2x +1,x ≤0的图象如图,关于x 的方程f 2(x )-3f (x )+a =0有8个不等的实数根, f (x )必须有4个不相等的实数根, 由函数f (x )图象可知f (x )∈(1,2),令t =f (x ),方程f 2(x )-3f (x )+a =0化为 a =-t 2+3t ,t ∈(1,2),a =-t 2+3t ,开口向下,对称轴为t =32,可知a 的最大值为-⎝⎛⎭⎫322+3×32=94, 经检验,当a =94时,f (x )有两个相等的实数根,不符合题意.a 的最小值为2(取不到),所以a ∈⎝⎛⎭⎫2,94.故选D.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

小题分层练
小题分层练(一) 本科闯关练(1)
(建议用时:50分钟)
1.若z =1-2i i
(i 为虚数单位),则z 的共轭复数是( ) A .-2-i B .2-i C .2+i D .-2+i
2.已知集合M ={x |x 2-2x -3<0},N ={x |x >a },若M ⊆N ,则实数a 的取值范围是( )
A .(-∞,-1]
B .(-∞,-1)
C .[3,+∞)
D .(3,+∞)
3.(2015·郑州市第一次质量预测)命题p :“a =-2”是命题q :“直线ax +3y -1=0与直线6x +4y -3=0垂直”成立的( )
A .充要条件
B .充分非必要条件
C .必要非充分条件
D .既非充分也非必要条件
4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.则正确的结论是( )
A .①②
B .②③
C .③④
D .①④
5.执行如图所示的程序框图,输出的k 值为( )
A .7
B .9
C .11
D .13
6.某餐厅的原料费支出x 与销售额y (单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数
据,用最小二乘法得出y ^m 的值为( )
x 2 4 5 6 8
y 25 35 m 55 75
A.50 B .55 C .60 D 7.已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2-a 27+2a 12=0,
数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则b 3b 11等于( )
A .16
B .8
C .4
D .2
8.(2015·长沙模拟)若函数y =sin ωx +3cos ωx 的图象关于直线x =-π6
对称,则ω的最小正值为( )
A .3
B .4
C .5
D .6
9.一个棱锥的三视图如图(单位:cm),则该棱锥的体积是
( )
A.43
cm 3 B.23
cm 3 C .2 cm 3
D .4 cm 3
10.已知函数f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠1},对定义域中任意的x ,都有f (2-x )=f (x ),且当x <1时,f (x )=2x 2-x .那么当x >1时,f (x )的递增区间是( )
A.⎣⎡⎭⎫54, +∞
B.⎝⎛⎦
⎤1,54 C.⎣⎡⎭⎫74,+∞ D.⎝⎛⎭
⎫1,74 11.已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的两个焦点,以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点是P ,且△F 1PF 2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( )
A. 2
B. 3
C .2
D .5
12.已知点M (x ,y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,
y ≥0,x -y +1≥0,2x +y -4≤0
内的动点,则(x +1)2+(y +1)2的最大值是( ) A .10
B.495
C.13 D .13
13.(2015·商丘模拟)100名学生某次数学测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则测试成绩落在[60,80)中的学生人数是________.
14.函数f (x )=1-(lg x )2+3lg x -2的定义域是________. 15.(2015·郑州模拟)某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为π3
的扇形,则该几何体的体积为________.
16.设a ,b ,c 是单位向量,且a ·b =0,则(a +c )·(b +c )的最大值为________.
小题分层练
小题分层练(一) 本科闯关练(1)
1.解析:选D.z =1-2i i
=-2-i ,故z -=-2+i. 2.解析:选A.M ={x |x 2-2x -3<0}={x |-1<x <3},又M ⊆N ,故a ≤-1.
3.解析:选A.直线ax +3y -1=0与直线6x +4y -3=0垂直的充要条件是6a +12=0,即a =-2,因此选A.
4.解析:选D.显然①④正确;对于②,在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,也可以异面或相交;对于③,在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行,也可以相交.
5.解析:选C.程序运行的过程:S =0,k =1,
不满足条件S <-1,S =lg 13
,k =3; 不满足条件S <-1,S =lg 13+lg 35=lg 15
,k =5; 不满足条件S <-1,S =lg 15+lg 57=lg 17
,k =7; 不满足条件S <-1,S =lg 17+lg 79=lg 19
,k =9; 不满足条件S <-1,S =lg 19+lg 911=lg 111
,k =11; 满足条件S <-1,退出循环,输出k 的值为11.
6.解析:选C.由给定的表格可知x -=2+4+5+6+85=5,y -=25+35+m +55+755=38+m 5
;又回归直线y ^=8.5x +7.5过点(x -,y -),故38+m 5
=8.5×5+7.5,所以m =60. 7.解析:选A.因为2a 2-a 27+2a 12=0,且a 2+a 12=2a 7,a n ≠0,所以a 7=4,所以b 7=4.
故b 3b 11=b 27
=16. 8.解析:选C.由题意得y =sin ωx +3cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3,由sin ⎝⎛⎭⎫-π6
ω+π3=±1知,-π6ω+π3=k π+π2
(k ∈Z ),解得ω=-6k -1,当k =-1时ω的最小正值为5.故选C.
9.解析:选A.根据三视图分析可知,此几何体为三棱锥,
所以该棱锥的体积V =13Sh =13×12×2×2×2=43
(cm 3). 10.解析:选C.由f (2-x )=f (x ),得函数图象关于直线x =1对称,当x <1时,递减区间是⎝
⎛⎦⎤-∞,14,由对称性得C. 11.解析:选D.不妨设点P 在靠近F 2的一支上,则|PF 2|,|PF 1|,|F 1F 2|成等差数列,设|PF 2|
=n ,|PF 1|=m ,则⎩⎪⎨⎪⎧2m =n +2c ,①m 2+n 2=4c 2,②m -n =2a ,③
由①③可得⎩⎪⎨⎪⎧m =2(c -a ),n =2(c -2a ),
将其代入②可得5a 2-6ac +c 2=0,即e 2-6e +5=0,得e =5. 12.解析:选D.不等式组对应的平面区域是四边形区域,(x +1)2+(y +1)2的几何意义是点(x ,y )到点(-1,-1)的距离的平方,由图可知,当点(x ,y )为点(1,2)时,(x +1)2+(y +1)2取得最大值13,故选D.
13.解析:根据频率分布直方图中各组频率之和为1,得10(2a
+3a +7a +6a +2a )=1,解得a =1200
,所以测试成绩落在[60,80)中的频率是10(3a +7a )=100a =100×1200=12
,故对应的学生人数为100×12
=50. 答案:50
14.解析:要使函数有意义需满足-(lg x )2+3lg x -2>0,即(lg x )2-3lg x +2<0,解得1<lg x <2,故10<x <100,因此函数的定义域为(10,100).
答案:(10,100)
15.解析:由三视图知,几何体为圆柱的一部分,且圆柱的高为3,底面圆的半径为2,底
面扇形的中心角为π3,所以几何体的体积V =16
π×22×3=2π. 答案:2π
16.解析:(a +c )·(b +c )=a ·b +a ·c +b ·c +c 2=(a +b )·c +1=|a +b |·|c |cos θ+1=2cos θ+1,其中θ为向量a +b 与c 的夹角,易知当cos θ=1时,(a +c )·(b +c )取得最大值1+ 2. 答案:1+ 2。

相关文档
最新文档