2008年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析

2008年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）（2008•上海）不等式|x﹣1|＜1的解集是（0，2）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．【点评】此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道基础题．2．（4分）（2008•上海）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=2．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】由题意A∩B={2}，得集合B中必定含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可．【解答】解：由A∩B={2}，则A，B只有一个公共元素2；可得a=2．故填2．【点评】本题考查了集合的确定性、交集运算，属于基础题．3．（4分）（2008•上海）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简出z，然后化简表达式为a+bi（a、b∈R）即可．【解答】解：由．故答案为：1+i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．4．（4分）（2008•上海）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=log2x，则f（x）=2x（x∈R）．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】本题即要求y=log2x的反函数，欲求原函数y=log2x的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：令∵y=log2x（x＞0），则y∈R且x=2y，∴f（x）=2x（x∈R）．故答案为：2x（x∈R）．【点评】本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．5．（4分）（2008•上海）若向量，满足且与的夹角为，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：【点评】本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．6．（4分）（2008•上海）若直线ax﹣y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点，则实数a=﹣1．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后代入即可求出a．【解答】解：直线ax﹣y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点F（1，0），则a+1=0∴a=﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题主要考查抛物线的性质．属基础题．7．（4分）（2008•上海）若z是实系数方程x2+2x+p=0的一个虚根，且|z|=2，则p=4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设出复数z，利用已知条件，结合韦达定理，及|z|=2，求得p．【解答】解：设z=a+bi，则方程的另一个根为z'=a﹣bi，且，由韦达定理直线z+z'=2a=﹣2，∴a=﹣1，∴，所以故答案为：4【点评】本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，复数的模，是中档题．8．（4分）（2008•上海）在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是从5个点取三个有C53种取法，要求三点能构成三角形不好判断，我们从它的对立事件来考虑，先观察出共线的点，用总事件数减去，最后用古典概型公式得到结果．【解答】解析：从5个点取三个有C53种取法，由已知：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2）得A、C、E三点都在直线y=x上即三点共线，B、C、D三点都在直线y=﹣x+2上即三点共线，∴五点中任选三点能构成三角形的概率为故答案为：．【点评】本题考查古典概型，要求理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率和其他知识点结合的计算问题．9．（4分）（2008•上海）若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（﹣∞，4]，则该函数的解析式f（x）=﹣2x2+4．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数；据函数是偶函数关于y轴对称及二次函数的对称轴公式得到方程求出a，b的值；将求出的值代入二次函数解析式求其值域验证值域是否是（﹣∞，4]．【解答】解：由于f（x）的定义域为R，值域为（﹣∞，4]，可知b≠0，∴f（x）为二次函数，f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2．∵f（x）为偶函数，∴其对称轴为x=0，∴﹣=0，∴2a+ab=0，∴a=0或b=﹣2．若a=0，则f（x）=bx2与值域是（﹣∞，4]矛盾，∴a≠0，若b=﹣2，又其最大值为4，∴=4，∴2a2=4，∴f（x）=﹣2x2+4．故答案为﹣2x2+4【点评】本题考查偶函数的图象特点、二次函数的对称轴公式、二次函数值域的求法．10．（4分）（2008•上海）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b 的取值分别是a=10.5，b=10.5．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（a﹣10）2+（b﹣10）2最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次函数，求出函数的最小值即可得到a和b的值．【解答】解：这10个数的中位数为=10.5．这10个数的平均数为10．要使总体方差最小，即（a﹣10）2+（b﹣10）2最小．又∵（a﹣10）2+（b﹣10）2=（21﹣b﹣10）2+（b﹣10）2=（11﹣b）2+（b﹣10）2=2b2﹣42b+221，∴当b=10.5时，（a﹣10）2+（b﹣10）2取得最小值．又∵a+b=21，∴a=10.5，b=10.5．故答案为：a=10.5，b=10.5【点评】考查学生掌握中位数及方差的求法，以及会利用函数的方法求最小值．此题是一道综合题．要求学生灵活运用二次函数的知识解决数学问题．11．（4分）（2008•上海）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当ω=xy取到最大值时，点P的坐标是．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出由点A（0，1），B（4，2），C的坐标分别为（2，6）围成的△ABC区域（含边界）再分析xy出现最值时，对应点的大位位置，再结合基本不等式，求出具体的点的坐标．【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．∴△ABC围成的区域（含边界）如下图示：由图可知：当ω=xy取到最大值时，点P在线段BC上，由线段BC上的点满足：y=﹣2x+10，x∈[2，4]，∴ω=xy=x（﹣2x+10），故当时，ω取到最大值．故答案为：【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）（2008•上海）设p是椭圆上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（）A．4 B．5 C．8 D．10【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a，进而求得答案．【解答】解：由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的性质，属基础题．13．（4分）（2008•上海）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要 B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由垂直的定义，我们易得“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题，反之，“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选C【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．（4分）（2008•上海）若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列．【专题】压轴题．【分析】由无穷等比数列{a n}各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可．【解答】解：由题意知a1=1，q=a﹣，且|q|＜1，∴S n==a，即，解得a=2．故选B．【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式与极限思想．15．（4分）（2008•上海）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】压轴题．【分析】P优于P′的几何意义是：过点P′分别作平行于两坐标轴的直线，则点P落在两直线构成的左上方区域内．【解答】解：依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域与点Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的集合才为所求．故选D．【点评】本题考查如何把代数语言翻译成几何语言，即数与形的结合．三、解答题（共6小题，满分90分）16．（12分）（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，得到∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可．【解答】解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．∵EF⊥BC，CC1⊥BC∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD，∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）由题意，得EF=．∵（8分）∵EF⊥DF，∴．（10分）故直线DE与平面ABCD所成角的大小是（12分）【点评】本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．17．（13分）（2008•上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C 沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）【考点】弧长公式．【专题】三角函数的求值．【分析】连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°=OC2即，解得（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2﹣2•CD•AD•cos120°=．∴AC=700（米）．．在直角△HAO中，AH=350（米），，∴（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长．18．（15分）（2008•上海）已知函数f（x）=sin2x，g（x）=cos，直线x=t（t∈R）．与函数f（x），g（x）的图象分别交于M、N两点．（1）当时，求|MN|的值；（2）求|MN|在时的最大值．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）先根据题意表示出|MN|进而利用诱导公式化简，利用余弦函数的性质求得答案．（2）表示出|MN|的表达式，利用两角和公式对表达式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．【解答】解：（1）将代入函数f（x）、g（x）中得到∵==（2）∵==∵，∴|MN|的最大值为．【点评】本题主要考查了两角和公式和诱导公式化简求值，三角函数的最值问题等．注重了对数学基础知识的考查和基本的推理能力，计算能力的运用．19．（16分）（2008•上海）已知函数．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3t f（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【专题】综合题．【分析】（1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；（2）由时，3t f（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．【解答】解（1）当x＜0时，f（x）=3x﹣3x=0，∴f（x）=2无解；当x＞0时，，，∴（3x）2﹣2•3x﹣1=0，∴．∵3x＞0，∴（舍）．∴，∴．（2）∵，∴，∴．∴，即时m＞﹣32t﹣1恒成立又﹣32t﹣1∈[﹣10，﹣4]，∴m＞﹣4．∴实数m的取值范围为（﹣4，+∞）．【点评】考查学生理解函数恒成立的条件，以及会根据条件求函数值的能力．20．（16分）（2008•上海）已知双曲线．（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记．求λ的取值范围；（3）已知点D，E，M的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）在双曲线，把1换成0，就得到它的渐近线方程．（2）设P的坐标为（x0，y0），则Q的坐标为（﹣x0，﹣y0），先求出，然后运用向量数量积的坐标运算能够求出λ的取值范围．（3）根据P为双曲线C上第一象限内的点，可知直线l的斜率再由题设条件根据k的不同取值范围试将s表示为直线l的斜率k的函数．【解答】解：（1）在双曲线，把1换成0，所求渐近线方程为（2）设P的坐标为（x0，y0），则Q的坐标为（﹣x0，﹣y0），=∵∴λ的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，则直线l的斜率由计算可得，当；当∴s表示为直线l的斜率k的函数是【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合问题，解题要熟练掌握双曲线的性质和解题技巧．21．（18分）（2008•上海）已知数列{a n}：a1=1，a2=2，a3=r，a n+3=a n+2（n是正整数），与数列{b n}：b1=1，b2=0，b3=﹣1，b4=0，b n+4=b n（n是正整数）．记T n=b1a1+b2a2+b3a3+…+b n a n．（1）若a1+a2+a3+…+a12=64，求r的值；（2）求证：当n是正整数时，T12n=﹣4n．【考点】数学归纳法；数列的应用．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是数列求和及数学归纳法证明．（1）由已知中a1=1，a2=2，a3=r，a n+3=a n+2，我们易给出a1+a2+a3+…+a12的表达式（含参数r），构造方程后，解方程即可进行求解．（2）要证明当n是正整数时，T12n=﹣4n，我们可以利用数学归纳法，对其进行论证．【解答】解：（1）a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+（r+2）+5+6+（r+4）+7+8+（r+6）=48+4r．∵48+4r=64，∴r=4．证明：（2）用数学归纳法证明：当n∈Z+时，T12n=﹣4n．①当n=1时，T12=a1﹣a3+a5﹣a7+a9﹣a11=﹣4，等式成立②假设n=k时等式成立，即T12k=﹣4k，那么当n=k+1时，T12（k+1）=T12k+a12k+1﹣a12k+3+a12k+5﹣a12k+7+a12k+9﹣a12k+11=﹣4k+（8k+1）﹣（8k+r）+（8k+4）﹣（8k+5）+（8k+r+4）﹣（8k+8）=﹣4k﹣4=﹣4（k+1），等式也成立．根据①和②可以断定：当n∈Z+时，T12n=﹣4n．【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．。