向量在几何中的应用

唐山师范学院本科毕业论文题目向量在解析几何中的应用学生张红阳指导教师孟令江副教授年级10数本2班专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2014年5月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。

如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督。

特此郑重声明。

毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳2014 年 4 月 31 日目录标题 (1)中文摘要 (1)1引言 (1)2 预备知识 (1)2.1 向量的概念 (1)2.2 向量的运算 (1)2.2.1向量的加法 (1)2.2.2向量的减法 (1)2.2.3数量乘向量 (1)2.2.4两向量的数量积 (1)2.2.5两向量的向量积 (1)2.2.6三向量的混合积 (2)2.2.7法向量的有关概念 (2)2.2.8线性相关定义 (2)3 向量在立体几何中的应用 (2)3.1向量在立体几何中的证明 (2)3.1.1向量在立体几何中的简单证明 (2)3.1.2证明两直线平行 (3)3.1.3证明线面平行 (4)3.1.4证明面面平行 (6)3.1.5证明两直线垂直 (7)3.1.6证明线面垂直 (8)3.1.7证明面面垂直 (9)3.2向量在几何中的计算 (10)3.2.1距离 (10)3.2.1.1两点间的距离 (10)3.2.1.2点到直线的距离 (11)3.2.1.3点面距离 (11)3.2.1.4异面直线的距离 (12)3.2.2夹角 (12)3.2.2.1两异面直线的夹角 (12)3.2.2.2线面角 (13)3.2.2.3二面角 (14)3.2.3求面积 (16)3.2.4求体积 (17)参考文献： (18)致谢 (19)外文页 (20)向量在解析几何中的应用张红阳摘 要 本文研究向量在解析几何中的应用，其中有证明和计算。

通过用空间向量解决立体几何中的这些问题，揭示了向量在向量在解析几何中的重要作用，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，，使解题变得简单化、程序化。

关键字 向量 立体几何 平行 垂直1引言向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁。

它具有丰富的实际背景和广泛的应用。

特别对于它解决几何的有关问题时更能体现数学的简易美。

向量的引入给数学的解题注入了新的活力，尤其是空间向量的引入对立体几何的解题可谓是革命性的。

在空间直角坐标系中，立体几何里的线面平行、垂直论证、角度、距离的计算等问题的解决，都与向量有着密切的关系。

2 预备知识2.1 向量的概念定义1: 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢。

定义2: 空间或平面的有向线段叫做矢量或向量。

2.2 向量的运算2.2.1向量的加法设已知向量a ,b ,空间任意一点O 为十点接连作向量OA =a ,AB =b ,得一折线的端点O ，到另一端点B 的向量OB =c ,叫做两向量a 与b 的和，记作c =a +b 。

2.2.2向量的减法当向量b 与c 向量的和等于向量a ,即c =a -b ,由两向量a 与b 求它们的差a -b 的运算叫做向量减法。

2.2.3数量乘向量实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作a λ，它的模是λ=λ；a λ的方向，当0>λ时与a 的方向相同,当0<λ时与a 的方向相反。

我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。

2.2.4两向量的数量积两向量a 和b 的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量a 向量b 的数量积（也称内积），叫做b a ⋅或a b ，即)(b a b a ,cos ∠=⋅ 2.2.5 a 与b 的向量积（也称外积）是一个向量，记作a ⨯b 或者[a b ]，它的模是()b a ,sin ∠=⨯, 它的方向与a 和b 都垂直。

给定空间的三个向量a ，b ，c ，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量a ，b ，c 的混合积，记作()c b a ⋅⨯或()c b a ,,或()c b a 。

2.2.7法向量的有关概念如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量。

2.2.8线性相关定义对于n （n ≥1）个向量1a ，2a , ,n a ,如果存在不全为0的n 个数1λ，2λ， ，n λ使得1λ1a +2λ2a + +n λn a =0，那么n 个向量1a ，2a , ,n a 叫做线性相关。

3 向量在立体几何中的应用3.1向量在立体几何中的证明 3.1.1向量在立体几何中的简单证明例1 设互不共线的三向量a ,b 与c ,试证明顺次将它们的始点与终点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量。

证明：必要性 设三个向量a ,b ,c 可以构成三角形ABC ，即有AB =a ，BC =b ,CA =c ,(下图)， 那么AB +BC +CA =0，即a +b +c =0。

充分性 设a +b +c =0，作AB =a ，BC =b ，那么AC =a +b ,所以AC +c =0，从而c 是AC 的反向量，因此c =CA ，所以a ，b ，c 可构成一个三角形ABC 。

例2 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证明：设四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于O 点且互相平分（下图），从图可以看出： AB =AO +OB =OC +DO =+=OC DO DC ,因此，AB //DC 且|AB |=|DC |，即四边形ABCD 为平行四边形。

BAC3.1.2证明两直线平行两直线平行即两直线共线。

两向量共线的充要条件是它们线性相关。

例3 设()3,2,1==i r OP i i ，试证321,,P P P 三点共线的充要条件是存在不全为零的实数321,,λλλ 使0,0321332211=++=++λλλλλλ且r r r.131331211221r - 设321,,P P P 三点共线，即3121,P P P P 共线，所以存在不全为零的数n m ,使 03121=+P P n P P m ,即0)()(1321=-+-r r n r r m 。

由此得 0)(321=+--r n r m r n m因为n m ,不全为零，所以n m n m ,,--不全为零，且0)()()(=+-+-n m n m 令n m n m =-=-=321,,λλλ，且0321=++λλλ。

反过来，设有不全为零的数321,,λλλ，使 0,0321332211=++=++λλλλλλ且r r r 则)(321λλλ+-=因为0332211=++r r r λλλ， 即0)(3322132=+++-r r r λλλλ 整理得0)()(133122=-+-r r r r λλBD2P 3P1P即0313212=+P P P P λλ因为321,,λλλ不全为零，所以32,λλ必不全为零。

所以321,,P P P 三点共线。

例4 已知直线⊥OA 平面α，直线⊥BD 平面α，B O 、为垂足，求证：BD OA //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，i ，j ，k 为沿 x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设}{111,,z y x BD =，{}2,0,0z OA =∵α⊥BD ， ∴j BD i BD ⊥⊥,∴{}{}00,0,1,,1111==⋅=⋅x z y x i BD ， {}{}00,1,0,,1111==⋅=⋅y z y x j BD ， ∴{}1,0,0z BD =∴k z BD 1=，又k z OA 2=，且B O 、为两个不同的点， ∴OA BD //. 3.1.3证明线面平行1、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=。

2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量是n ，则若α//0a n a ⇒=⋅。

例 5 如下图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,Q P 、分别是对角线BF AC 、上的一点,且FQ AP =,求证BCE PQ 平面//.思路：把BC ,BE 作为平面α的一组基底，将PQ 用BC ,BE 线性表示。

证明：设AC AP λ=，∵FQ AP =，AC BF = ∴FB FQ λ=，法一： ∴FQ AF PA PQ ++= FB BE AC λλ++-=()()AB FA BE BA BC +++--=λλ ()()AB BE BE AB BC +-+++-=λλBE BC )1(λλ-+-= BCE PQ 平面//∴法二：以B 为原点，AC BA BE 、、所在直线分别为z y x 、、轴建立直角坐标系，设正方 形的边长为1,则()()()()0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,0λλλλ----Q P B A ，BCE AB BBE BC BCE BE BC BE AB BC AB 面且面⊥∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋂⊂⊥⊥,,{}{},1,0,1,0,1,0--=-=λλPQ AB()()()0100110=-⨯+⨯-+-⨯=⋅∴λλPQ AB PQ AB ⊥∴ 即BCE PQ 面//3.1.4证明面面平行（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得； （2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.例6 在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，在底面ABC 中ABC ∠=090,D 是BC 的中点，且1A B //面1AC D ，1D 为11BC 的中点，求证：面11A BD //面1AC D 证明：以B 点为原点，如图建立坐标系，设c BB b BC a AB ===1,2,，则),,0(),,2,0(),,0,0(),,0,(),0,,0(),0,2,0(),0,0,0(),0,0,(1111c b D c b C c B c a A b D b C B a A法一：{c b DC c b BD ,,0,,,011== D AC BD DC BD 1111//,//面∴∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋂⊂∴B B A BD BD A B A BD DAC B A D AC BD 1111111111,,////且面面面 D AC BD A 111//面面∴法二： {}{}{},,,0,0,,,,2,11c b DC b a AD c b a AC =-=-= 设面D AC 1的法向量{}111,,z y x m =，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅∴00011m DC m AD m AC ，即 ⎝⎛=+=++-=++-000021111111cz by by ax cz by ax ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=111111z z z b c y z a c x ，令11=z ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∴1,,b c a c m 设面11BD A 的法向量{}222,,z y x n =，{}{}{}c b BD b a D A c a B A ,,0,0,,,,0,1111=-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅∴0001111n BD n D A n B A ，即 ⎝⎛=+=++-=-+-00000222222cz by by ax cz ax ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=222222z z z b c y z a c x ，令12=z ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫--=∴1,,b c a c n ，m n =， ∴面11A BD //面1AC D 3.1.5证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0例7 如图，已知四棱锥ABCD P -的底面为等腰梯形，CD AB //,BD AC ⊥，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：BC PE ⊥证明：以H 为原点，HP HB HA ,, 分别为z y x ,,轴， 线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则()0,0,1A ，()0,1,0B ,设)0,0)(,0,0(),0,0,(><n m n P m C ,则)0,2,21(),0,,0(mE m D . 可得}{}0,1,,,2,21{-=-=m BC n mPE ，0022=+-=⋅mm BC PE ， ∴BC PE ⊥. 3.1.6证明线面垂直方法一：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为m ，则有αλ⊥⇒⋅=l m a . 方法二：直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”即可。