阿贝尔和伽罗瓦的比较
阿贝尔和伽罗瓦的比较(精制甲类)
阿贝尔和伽罗瓦的比较今天我要向大家介绍两位朋友――阿贝尔和伽罗瓦1 阿贝尔与伽罗瓦的不同点1．1 两人的个人基本情况比较1．2 数学研究的成就不同阿贝尔证明对一般的四次以上的方程没有代数解．伽罗瓦解决了什么样的方程有代数解，即方程有根式解的充要条件．1．3 运气不同“阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他．继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在‘克雷勒杂志‘上发表了．这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他业已成为众所瞩目的优秀数学家之一．遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知．”但是伽罗瓦的重大创作在生前始终没有机会发表．1．4 成果的广泛性不同阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．即除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．所以说阿贝尔是多产的．但是伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论．即伽罗瓦的成果重在代数方程论．1．5 成就的影响不同“阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．”“伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论．正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程．正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具―群论．它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始．”1．6 心理状况不同阿贝尔――“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿。
阿贝尔和伽罗瓦的比较
阿贝尔和伽罗瓦的比较今天我要向大家介绍两位朋友――阿贝尔和伽罗瓦1 阿贝尔与伽罗瓦的不同点1．1 两人的个人基本情况比较1．2 数学研究的成就不同阿贝尔证明对一般的四次以上的方程没有代数解．伽罗瓦解决了什么样的方程有代数解，即方程有根式解的充要条件．1．3 运气不同“阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他．继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在‘克雷勒杂志‘上发表了．这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他业已成为众所瞩目的优秀数学家之一．遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知．”但是伽罗瓦的重大创作在生前始终没有机会发表．1．4 成果的广泛性不同阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．即除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．所以说阿贝尔是多产的．但是伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论．即伽罗瓦的成果重在代数方程论．1．5 成就的影响不同“阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．”“伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论．正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程．正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具―群论．它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始．”1．6 心理状况不同阿贝尔――“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．他寄居的那家房东又特别吝啬刻薄，每天只供给他两顿饭，却收取昂贵的租金．一天，他感到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交瘁了．阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”伽罗瓦――“对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗瓦．虽然他的论文一再被丢失，得不到应有的支持，但他并没有灰心，他坚信他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播出去，还进一步向更广的领域探索．”2 阿贝尔与伽罗瓦的相同点与联系2．1 都遇到了好老师，受到好老师的指导帮助“15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师B．M．霍尔姆博(Holmboё)．后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才．良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣．”“但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．”“1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，‘只宜在数学的尖端领域中工作’．”2．2 都大量阅读了大师的著作“16 岁那年，他遇了一个能赏识其才能的老师霍姆伯（Holmboe）介绍他阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作．大师们不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地．后来他感慨地在笔记中写下这样的话：‘要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作．’”“他很快地学完了通常规定的课程，并求教于当时的数学大师．他如饥似渴地阅读了A?M?勒让德的著作《几何原理》和T.L.拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》．接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．由于他刻苦学习，能着重领会和掌握其中的数学思维方法，因此，这些功课的学习，使他思路开阔，科学创造的思维能力得到了训练和提高．他的中学数学专业班的老师里查德说‘伽罗瓦只宜在数学的尖端领域工作’．”2．3 都是很早就显示数学方面的才华“幼时，他（阿贝尔）就显露出数学上的才能．”“在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格．”2．4 同样是坎坷的人生．开始他们的观点都不为人所理解重视“阿贝尔终于在1825年8月获得公费，开始其历时两年的大陆之行．踌躇满志的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文，把它作为自己晋谒大陆大数学家们，特别是高斯的科学护照．他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见．但看来高斯并未重视这篇论文，因为人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开．柏林是阿贝尔旅行的第一站．他在那里滞留了将近一年时间．虽然等候高斯召见的期望终于落空，这一年却是他一生中最幸运、成果最丰硕的时期．1826年7月，阿贝尔抵达巴黎．他见到了那里所有出名的数学家，他们全都彬彬有礼地接待他，然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作．在这些社会名流的高贵天平上，这个外表腼腆、衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多少分量呢？他通过正常渠道将论文提交法国科学院．科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后委托勒让得和柯西负责审查．柯西把稿件带回家中，究竟放在什么地方，竟记不起来了．直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年之久．从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．”“1829年，伽罗瓦在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人．在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗瓦的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会．他在一封信中写道：‘今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗瓦的工作报告……但因病在家，我很遗憾未能出席今天的会议，希望你安排我参加下次会议，讨论已指明的议题．’然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗瓦的著作，这是一个非常微妙的‘事故’．1830年2月，伽罗瓦将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖．论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗瓦的手稿．就这样，伽罗瓦递交的两次数学论文都被遗失了．1831年1月，伽罗瓦在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院．这篇论文是伽罗瓦关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁．传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是‘完全不能理解’．尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗瓦所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它．”本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文2．5 都犯了同样的错误，就是他最初都以为自己解出了一般的五次方程，可是后来发现了错误，但他们都能很快意识到了这一点，并重新研究“接着他研究一般五次方程问题．开始，他曾错误地认为自己得到了一个解．霍姆伯建议他寄给丹麦的一位著名数学家审阅，幸亏审阅者在打算认真检查以前，要求提供进一步的细节，这使阿贝尔有可能自己来发现并修正错误．这次失败给了他非常有益的启发，他开始怀疑，一般五次方程究竟是否可解？问题的转换开拓了新的探索方向，他终于成功地证明了要像较低次方程那样用根式解一般五次方程是不可能的．”“据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．”2．6 都能在不为人重视的情况下，坚信自己努力让人理解参看第4点的材料．2．7 在新观点的论述中都犯了一个错误：论述过于简洁刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思：过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因．人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做．事实上，当你试图引寻读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡儿说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰．”“1824年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式．该证明写进了“论代数方程――证明一般五次方程的不可解性”的著名论文中，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图．他深知其结果的重要性，决定先以小册子形式自费出版它．为了节省经费，他把小册子压缩到6页，叙述很简洁，以致许多学者难以读懂．“数学王子”高斯也不相信一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解决的难题．”2．8 重视爱的人“阿贝尔已自知将不久于人世，这时，他唯一牵挂的是他女友凯姆普的前途，为此，他写信给最亲近的朋友基尔豪(Kiel-hau)，要求基尔豪在他死后娶凯姆普为妻．尽管基尔豪与凯姆普以前从未觌面，为了让阿贝尔能死而瞑目，他们照他的遗愿做了．临终的几天，凯姆普坚持只要自己一个人照看阿贝尔，她要‘独占这最后的时刻’”“1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗．伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．”2．9 他们都是近世代数的开创者2．10 寿命很短，贡献很大3 从我们的这两位数学家的遭遇中，我们可以得到的启示3．1 关于生命、身体健康的思考“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年．一天，他感到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确已心力交瘁了．阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”“1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个舞女，卷入了一场他所谓的‘爱情与荣誉’的决斗．伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿．”从这两段话，我们可以关于生命的一点思考：珍惜生命，关爱自己．工作固然重要，但是身体健康也很重要．阿贝尔因为工作而“心力交瘁”，弄得身体“病弱”，我认为这是不对的．身体是自己的，工作再忙也要好好照顾自己！而伽罗瓦“为了一个舞女”，即使知道“自己难以摆脱死亡的命运”还是“卷入了一场他所谓的‘爱情与荣誉’的决斗”．我不知道他是怎样看待生命的？失去了生命，又谈何爱情呢？失去了一份爱，我们有没有必要为此不要了自己的生命？3．2 多读书，尤其是读大师的著作从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们都读了很多书，尤其是数学大师的著作．所以我想，一个人都是想在某领域上取得成功必须看很多该领域的书，学习很多该领域的东西，尤其是读该领域大师的著作．3．3 坚定自己的信念，相信自己的能力从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们的观点开始时都不为人理解，但是他们都坚定自己的信念，相信自己的能力．这给我们的启发是在走向成功的道路上，即使别人不相信不理解你时，你都要坚定自己的信念，相信自己的能力．这样才能成功．3．4 关于教师的影响、教育、课程的思考从阿贝尔与伽罗瓦的经历中，我们可以看到他们的老师对他们产生了很大的影响，尤其是在数学学习的兴趣上的影响很大．这让我想到了，在教育中教师的作用是很大的．教师应该在儿童教学中担任起启发者、引导者等角色．“他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书”这让我想起了英国的数学教育之柯克克洛夫特（W.H.Cockcroft）报告中一些内容：“即必须针对中学生的各种能力水平设计不同的数学课程．”“在每一教学阶段，学生都可以在其能力许可的范围内扩充与加深自己的数学知识．在中学学习一开始就要特别注意有天赋的学生的教育，要给他们提供足够的数学内容，否则这部分学生就会对数学失去兴趣并在以后很难恢复．”“报告”还提倡高年级学生阅读数学专业文献，培养独立研究数学的能力．“考试的结果不应对学生学习数学的信心有所伤害．”这就是要求我们的数学要有为不同的学生设计不同的课程，不能损害学生学习数学的兴趣，还要提倡学生阅读数学大师的著作．3．5 写书语言的思考刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思：过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因．人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做．事实上，当你试图引寻读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡儿说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰．”所以我们在向别人表达自己的观点时，不能过分地追求简洁，要尽可能用详细的别人容易理解的话来说明．3．6 心态的调整阿贝尔“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望”，“只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国．”这给我们一点启示就是对待挫折，我们要保持积极乐观的心态，要及时调整心态．3．7 建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的通过阿贝尔的遭遇，我们认识到，建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的．科学界不仅担负着探索自然奥秘的任务，也担负着发现从事这种探索的人才的任务．科学是人的事业，问题是要靠人去解决的．科学评价中的权威主义倾向却往往有害于发现和栽培科学人才．科学家有权威意味着他在科学的某一领域里曾做过些先进工作，他可能是科学发现方面踌躇满志的权威，却不一定是评价、发现、培养科学人才的权威，尤其当科学新分支不断涌现，所要评价的对象是天于连权威都陌生的新领域的工作时，情况更是如此．“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文”本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文。
被柯西坑了的两个天才数学家——阿贝尔和伽罗瓦
被柯西坑了的两个天才数学家——阿贝尔和伽罗瓦书接上回大魔王拉格朗日的故事及拉格朗日中值定理，大魔王拉格朗日有个徒弟柯西“苦瓜”数学家柯西的故事及柯西中值定理，上次我们说了柯西的伟大成就，但是大家也有黑历史，这次我们就来挖一挖坑人的柯西先生。
阿贝尔和伽罗瓦是数学界让人最惋惜的两颗绚烂流星。
他们出生在同一个时代，各自都解开了困扰无数数学家250年的四次以上方程式的解法。
阿贝尔（左）和伽罗瓦（右）阿贝尔13岁就展露数学才华，他学习如牛顿、欧拉等数学大家的理论，甚至能从中找出他们的小漏洞。
他自己研究出五次方程式的解法，前人五百多页的解题思路都不能完全解决的问题，他只用六页就足以解释一切。
而伽罗瓦更是年少有成，他在19岁时就提出了著名的群论，完美的解决了五次以上的方程式求解问题。
群论研究名为群的代数结构。
群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。
群论的逻辑线他们都是不出世的天才，如果没有被这一个人坑的话，他们必然能成为极伟大的数学家。
这个人就是大数学家柯西，“柯西不等式”的柯西。
为纪念柯西这位伟大数学家出的纪念邮票他曾任职多个教授职衔，一生写了789篇论文，许多公式以柯西名字称呼。
但拉格朗日对柯西性格的担心也不是毫无道理。
他作为久负盛名的科学泰斗，却时常忽视青年学者的创造。
因为柯西的不靠谱，群论晚问世了半个世纪之久。
故事要从阿贝尔开始说起，十九世纪挪威最伟大的数学家出生在一个穷困的牧师家庭本身就是一种悲哀。
阿贝尔的父亲在他18岁那年去世，还在读大学的阿贝尔突然就要担起照顾全家的重担。
所幸他在读的奥斯陆大学的老师们都没放弃这位天才，他们一起资助了阿贝尔。
阿贝尔勤奋自学，一边还花大量时间作研究，研究方向就包括了四次以上方程的求解。
一元四次方程求解公式，可以窥见五次的难度当时意大利的数学家鲁菲尼以五百多页的证明对一元五次方程求解做了论述，并在柯西的推动下发展出了最初的置换群思想。
什么是群、什么是阿贝尔群(abel群、阿贝尔群也称为交换群或可交换群)、群论入门
什么是群、什么是阿贝尔群（abel群、阿贝尔群也称为交换群或可交换群）、群论入门一、什么是群伽罗瓦理论之美参考URL:中文名：群外文名：group含义：数学概念在数学中，群表示具有满足闭包、结合律、单位元和逆元的二元运算的代数结构，包括Abel群、同态和共轭类。
伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。
在伽罗瓦看来，“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。
（1）群：给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”（这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足：<1> 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内；<2> 结合律：这个“乘法”满足(a b)c=a(b c)；<3> 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有e a=a e=a，e被称为单位元；<4> 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素 a − 1 a^{-1} a−1 ，使得 a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e a*a^{-1} =a^{-1}*a=e a∗a−1=a−1∗a=e ，a与 a − 1 a^{-1} a−1 互为逆元。
此时，这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。
“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。
容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。
其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。
伽罗瓦
家庭背景1811年10月25日，伽罗瓦出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内.他的父亲尼古拉·加布里埃尔·伽罗瓦,参与政界活动,属自由党人，是拿破仑的积极支持者.主持过供少年就学的学校，任该校校长.又担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴. 他的母亲玛利亚·阿代累达·伽罗瓦, 是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师,为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础.数学天赋1823年l0月,年满12岁伽罗瓦，考入了有名的路易·勒·格兰皇家中学. 他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助.在一些老师的眼里，尽管伽罗瓦具有“杰出的才干”，但这位体格柔弱的少年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”.他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望.他在后来的一封信中曾大为感慨地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”十五岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教.著名数学家勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美.学习拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨.接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信：“我能够做到的，决不会比大师们少！”.论文第一次被丢失1828年，17岁的伽罗瓦开始研究方程论，创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的数学问题.伽罗瓦最重要的成就，是提出了“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌.1829年5月，伽罗瓦在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院. 负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和波松.柯西是当时法国首屈一指的数学家,他一向是很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失.伽罗瓦向科学院送交论文时，他未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了.论文第二次被丢失1829年7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了,这给了伽罗华很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义.1829年10月25日,伽罗瓦听从里夏尔老师的劝告,作为预备生进入师范大学学习. 进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利的一年，伽罗瓦写了几篇大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学特奖.主持审查论文的是当时数学界权威人士、科学院院士——傅立叶,然而很不凑巧，傅立叶在举行例会的前几天病世了.人们在傅立叶的遗物中找不到伽罗瓦的数学论文,就这样，伽罗瓦的论文第二次被丢失了.论文被否定伽罗瓦没有灰心，又继续研究自己所得的新成果.第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》.1831年，法兰西科学院第三次审查伽罗瓦的论文，主持这次审查的是科学院院士波松,总算幸运，这一次论文没有丢失.但论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像波松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，结果，最后一次得到波松草率的评语“不可理解”而被否定了。
悲情天才伽罗瓦，17岁解决世纪难题，21岁死于一场愚蠢的决斗
悲情天才伽罗瓦，17岁解决世纪难题，21岁死于一场愚蠢的决斗1832年的一个深夜，在巴黎郊外的一个小屋子里漏出一丝光亮，一个瘦弱的年轻人正在昏暗的灯下奋笔疾书，边写还边痛心疾首地哭道：“哦，我为何要死在如此琐碎的小事上？我没时间了，我没时间了！”天刚蒙蒙亮的时候，他还是应邀参加了那场愚蠢的决斗，在那个雾气迷蒙的清晨，他举起了枪，瞄向目标。
两边的枪声同时响起，年轻人的腹部中枪，痛苦地倒在地上。
几个小时，年轻人被一个农民送到医院，他的弟弟也赶来了，他流着眼泪安慰弟弟说：“不要哭，我需要鼓起全部的勇气在20岁死去。
”第二天，年轻人在医院去世，他被埋葬于一个壕沟里。
如今，那里成为一片荒地，他的坟墓已无处可寻，他不朽的纪念碑是他的著作，共60页的手稿。
打开凤凰新闻，查看更多高清图片一、高次方程这名年轻人就是法国著名的天才数学家伽罗瓦，他因证明一元五次方程：ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0无根式解而闻名于世。
在开始他的故事前，先简单介绍一下一元高次方程求解的历程。
关于一元二次方程：aX²+bX+c=0，早在古巴伦伦时期，人们就已经解决。
而一元三次方程的根式解，两千多年过去了，一直没有进展。
直到16世纪，在意大利的一场数学竞赛中，三次方程的问题才算彻底解决。
1535年，来自意大利的结巴数学家塔塔利亚宣称掌握了一种特殊的方法，可以解决三次方程的根式解，引发数学界的轩然大波。
塔塔利亚塔塔利亚的成就引起了另一位数学家弗里奥的不满，他宣称自己早于塔塔利亚之前，就已经撑握三次方程的求解方法。
于是，二人决定通过一场数学竞赛来解决争端。
比赛的结果是塔塔利亚赢了，他成功地解答了弗里奥出的三十个题目，而弗里奥只答对了六个。
三次方程被解决后，一个叫费拉里的数学家借鉴前人的方法，采取降幂法，成功获得了四次方程的根式解。
然而，就在人们认为五次方程的解法会接踵而至时，在此后的三百多年里，无数数学家为此而前仆后继、殚精竭虑，却成果寥寥，连高斯、欧拉、拉格朗日等数学大师在五次方程面前也是一筹莫展。
中山大学-线性代数-矩阵的概念及基本运算
§1.2 矩阵的基本运算 主要内容 线 性 一、矩阵的相等 二、矩阵的和 三、矩阵的数乘 四、矩阵的乘法
代
数
五、单位矩阵与0矩阵
六、方阵的幂及方阵的多项式
七、矩阵的转置
一、矩阵的相等
定义 设 A=[aij]m×n 与 B=[bij]p×q 是两个矩阵，若
线 性
它们满足 (1)m = p 且n = q； (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。 则称A与B相等，记为A=B。
如： 3 Ａ＝ 2 6 0 4 8 0 0 0
（即对角线以下的矩阵元不等于０）
６、标量矩阵： 指的是aij=0（i≠j），aiｉ=ajｊ=δ（常 量）的ｎ阶对角阵。
线 性
即：
δ ０ Ａ＝diag(δ , δ ,…, δ )= ０ δ ┇ ０ ┇ ０
… ０ … ０ ┇ … δ
代
数
7、单位矩阵： 指的是δ＝１的标量矩阵，记为Ｉ或Ｅ。
子的年龄分别为多少岁？
解：显然根据题意只有一个已知数字条件，故通过常规的方程组
线 性
无法求解，而必须借助题中说话者话语间的逻辑进行推理。故首先 是对36进行分解，并列出所有可能的三个数相乘情况，于是就可以
得到一个列数为3的矩阵（不妨假设按儿子大小的顺序排列）：
代
数
大 36 18 12 9 9 6 6 4
代
数
三、实际问题的矩阵表达
例1
某县有三个乡镇,县里决定建立一个有线电视网。
通过勘察测算，获得一组有关建设费用的预算数据：
线 性
代
数
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阿贝尔和伽罗华
阿贝尔和伽罗华三、四次方程的一般解法找到之后，对一般的五次方程求解的研究迟迟没有得到解决。
大约三百年之后，在1825年，年仅22岁的挪威大学生阿贝尔(AbelN.H.,1802.8.5~1829.4.6)终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程的根不可能由方程的系数组成的根式来表示。
这是一个划时代的结论，它宣告了寻找方程求根公式时代的结束。
阿贝尔的证明是：对于一般的高于四次的代数方程来说，如果用由方程的系数通过加、减、乘、除和开方运算构成的表达式代替方程的未知数，使方程成为恒等式是不可能的。
在阿贝尔证明了上述结论四年以后，在1829年，比阿贝尔更为年轻的法国大学生伽罗华（Galois E.,1811.10.26~1832.5.31）,在研究了拉格朗日（Lagrangej.L.,1736.1.25~1813.4.10）《关于代数方程解法的思考》及柯西（CauchyA.L.B,1789.8.21~1857.5.23）、阿贝尔等人成果的基础上，创立了伽罗华理论，彻底解决了代数方程的可解条件问题。
伽罗华使用的方法不同于阿贝尔的方法。
伽罗华使用的是一种深刻的现代化的方法--群论方法。
尽管在伽罗华之前有人提出过"群"，但使"群"成为数学的一种深刻的现代化方法的是伽罗华。
伽罗华理论是一种普遍性的理论，用这种理论能够推出阿贝尔曾经得到过的五次及五次以上一般的代数方程不可根式解的结论，而且能指出一些特殊方程可解的条件，这是一种比阿贝尔前进得远得多的代数理论。
由于伽罗华的创造性的成绩，有人说：如果要在数学史上列举20位贡献最大的数学家的话，伽罗华必为其中之一。
遗憾的是，创立了如此伟大理论的伽罗华，年仅20岁就死于了涉及恋爱纠纷的一场决斗。
2。
《青年数学家阿贝尔和伽罗瓦》课件1-优质公开课-人教B版选修3-1精品
1827年5月底，阿贝尔回到了克里斯蒂安 尼亚。那时他不仅身无分文，还欠了朋友一些 钱。他的弟弟无所事事，用他的名字借了一些
钱，他必须还清。于是，阿贝尔靠给一些小学
生和中学生补习初级数学、德语和法语赚点儿
钱。没多久，阿贝尔很幸运地被推荐到军事学
院教授力学和理论天文学，薪水虽不是很多，
却已经可以让他安心继续从事椭圆函数的工作
随便翻翻丢在一个角落里去了。
阿贝尔的那篇论文《关于非常广泛的一 类超越函数的一般性质的论文》是数学史上 重要的工作，他长久的等待着消息，可是一 点音讯也没有，最后只好失望回到柏林。在 那里他病倒了，他不知道自己已患上了肺结 核病，以为是法国的孤寂生活使他身体衰弱 。他只剩下大约七元钱。他写了一封急信， 延误了一些时间,从霍姆伯厄那里借来了一笔 钱。阿贝尔从1827年3月到5月，靠霍姆伯厄 的大约六十元借款生活和从事研究。最后， 当他所有的来源都枯竭时，只好掉头回国。
位比阿贝尔大七岁的年青的教师霍姆伯厄代替
。霍姆伯厄本身在数学上没有什么成就，是一
个称职但决不是很有才气的数学家。他在科学 上的贡献，就是发掘了阿贝尔的数学才能，而 且成为他的忠诚朋友，给他许多帮助。阿贝尔 死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。
霍姆伯厄很快就发现了十六岁的阿贝尔惊 人的数学天赋，私下开始给他教授高等数学， 还介绍他阅读泊松、高斯以及拉格朗日的著作 。在他的热心指点下，阿贝尔很快掌握了经典 著作中最难懂的部分。在中学的最后一年，阿 贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次 方程问题，不久便认为得到了答案。霍姆伯厄 将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数 学家达根。
能他觉得这个大数学家难以接近，也难以帮助
他，因为他以前的作品寄给他却得不到回音。
伽罗瓦理论
伽罗瓦理论伽罗瓦图册经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。
19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程 (p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。
他还发现一类能用根式求解的特殊方程。
这类方程现在称为阿贝尔方程。
阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。
伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。
到1832年他完全解决了这个问题。
在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。
1846年他的手稿才公开发表。
伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。
伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。
[1]思想建立/伽罗瓦理论编辑在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。
伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。
戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。
随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。
1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。
人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。
这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。
[2]内容介绍/伽罗瓦理论编辑1、域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。
伽罗瓦：令无数天才称赞的天才，解决三百年难题，最终死在21岁
伽罗瓦：令无数天才称赞的天才，解决三百年难题，最终死在21岁要说数学界历史上最天才的人，那么非伽罗瓦莫属，他短短21年的人生就是一个传奇。
伽罗瓦出生于一个高知分子家庭，当时的妈妈认为法国的小学教育太差，从而12岁之前伽罗瓦没有上学，一切教育都是由他妈妈负责。
从12岁开始伽罗瓦进入路易皇家中学，每一门成绩都非常优秀。
在16岁的时候伽罗瓦开始正式学习数学，这一年伽罗瓦上高一，正好是初等数学，当时的教材不讲推理方法，只教你技巧，伽罗瓦认为这样的教科书根本不值一看。
于是16岁的伽罗瓦下了一个重大的决定，他决定不跟随教科书，他选择了自学。
在一年的时间里，伽罗瓦自学了法国著名数学家勒让德尔的《几何原理》、末拉克朗日的《解析函数论》、《函数演算讲义》，以及接触了著名数学家高斯、雅可比等人的著作。
在这一年的时间里，并没有老师教他，连他的高知父母对于这些深奥的数学也不是很懂，可就是全靠自学，伽罗瓦不止将这些深奥的数学著作研究通透，还在法国专业性极强的数学杂志《数学年鉴》上发表数学文章，这是《数学年鉴》自创刊最年轻的文章发表者。
伽罗瓦在数学领域是个天才，而十七八岁正好是叛逆期，伽罗瓦认为学校的数学老师教学潦草，只讲技巧不讲推论方法，从而拒绝去听课，结果被他数学老师大骂神经病。
这个数学老师认为高中生只要懂技巧，会做题就可以，理论太繁琐，不值得现在的高中生去探究。
所以这位数学老师将其留级。
当然，尽管被数学老师以粗暴的方式对待，可是却没有让伽罗瓦对数学的热情消失。
从迷上数学之后，他对方程的求根公式充满了兴趣，比如一元一次方程、一元二次方程是曾经我们课堂上的必备。
基本上对于现在的学生而言，不算特别难！可在十六世纪的数学世界里，这已经能算世界级的超级难题了。
而高次方程的根式解则更是难上加难。
当时的世界有很多数学家终其一生都在尝试，比如数学分析的开拓者拉格朗日研究了一生，也没有取得实质性的突破。
最后拉格朗日在笔记中写到：高次方程的根式解，是不可能被解决的天方夜谭。
阿贝尔和伽罗瓦
英年早逝的天才们（一）DOUBLE KILL ！上一期提到了一个伟大的数学家——柯西。
最后说到柯西这个人除了在数学上有很大的造诣之外，还有很强的杀气，历史上至少有两位伟大数学家的过早去世与柯西有关。
这两位数学家分别是：阿贝尔、伽罗瓦。
如果我问你科学的最高奖项是什么，你一定会回答：诺贝尔奖；如果我问你数学的最高奖项是什么，你可能会百度一下：菲尔兹奖；如果我问你奖金最多的数学奖是什么，你可能已经猜到了：阿贝尔奖。
阿贝尔，一个神一样的年轻人，究竟是什么让所有人都为他的死而惋惜，又是什么让他英年早逝？尼耳斯·亨利克·阿贝尔（N.H.Abel ，1802－1829）1802年8月出生于挪威西南城市斯塔万格附近的芬岛的一个农村。
年轻的时候就表现出了极高的数学天赋。
比如他大胆地断言： 五次方程式是木有二次方程那样的求根公式滴我们都学过二次方程求解，也知道求根公式的概念。
不知道大家想没想过三次、四次、五次方程乃至更高次的方程是否有求根公式呢？阿贝尔想过这个问题，并且给出了一个震撼的解答，三次、四次就是想用我们一般的带根号的运算来表达五次方程的求根公式是不可能的。
想尝试的同学可以试一试呦！不该省钱的地方千万别省钱话说阿贝尔解决的这个问题可以说是一个划时代的理论，不过拥有这么大成就的阿贝尔居然连教授都不是。
事情是这样的：阿贝尔是一个普通家庭的孩子，家里不是很有钱，而且挪威这个地方的数学水平不是特别高，阿贝尔的成果不被人重视，所以阿贝尔必须到数学比较发达的国家去找大师。
阿贝尔就各种筹钱，把自己的成果打印成册。
不过由于阿贝尔没什么钱，所以册子是高度缩印的，据说只有六页。
这其实是阿贝尔悲剧的重要原因。
被高斯、柯西同时错过，也许这是命运的安排54320ax bx cx dx ex f +++++=阿贝尔第一站去了德国，原因是德国当时有伟大数学家高斯。
阿贝尔把自己的成果通过高斯的助手交给高斯。
高斯看到标题第一反应：嗯？这东西好牛啊，这个课题我都不会；第二反应：这么牛的东西，这么一个破册子就能说明白？我才不信呢。
数学史话之夭折的天才阿贝尔和伽罗瓦
数学史话之夭折的天才阿贝尔和伽罗瓦我们每个人都知道，诺贝尔奖每年都有，颁给了很多在各自领域做出了突出贡献的科学家，但唯独没有给数学家的奖项，而数学界的诺贝尔奖则一直由一个叫做菲尔兹的奖项独占。
然而菲尔兹奖相对于诺贝尔奖来说，不但少（四年一届），而且条件苛刻（只颁给40岁以下的数学家）。
可能是觉得数学家在40岁以后基本已经告别开拓和创新了吧，不过也的确如此，世界范围内的数学家都是在十分年轻的时候就做出了惊人的成就。
而这个世界对于数学家，特别是青年数学家来说，又实在太残酷了。
很多时候，他们需要的不止是才华，还有时代、方向、领域，甚至运气。
比如科普君今天要说的这两位，都是在生命之花刚开始绽放的时候就凋谢了，如同划过天边的流星一样，闪亮而短暂。
他们用极其短暂的一生奉献给人类的却是'够科学家忙500年'的成果。
他们就是阿贝尔和伽罗瓦。
阿贝尔和伽罗瓦尼尔斯·亨利克·阿贝尔于1802年出生在挪威的一个小村庄芬德，他的父亲是个牧师。
当时整个挪威都十分贫穷，阿贝尔从小就处在饥饿之中。
他13岁的时候开始入学读书，这时候它的数学才华开始显现。
在他老师的引导下，16岁的阿贝尔开始阅读牛顿、欧拉和拉格朗日的著作，并且很快就领会了它们，然后他开始挑战高斯的《算术研究》，也非常快地掌握了这本'七封印之书'的最深奥难懂的部分。
若干年后，有人问阿贝尔如何才能快速地进入一流的行列，阿贝尔回答说：要学习大师们，而不是他们的学生。
阿贝尔在学习的过程中发现了前辈们认为已经证明了的，但是实际上并没有被严格证明的很多东西，特别是欧拉的关于无穷级数和拉格朗日的关于分析学的一些内容。
阿贝尔决心依靠自己的努力来弥补这些不足，他很快就证明了一般二项式定理，但这只是阿贝尔为了澄清无穷级数理论和应用的极具野心的庞大计划的一小部分。
二项式定理然而，到了1820年，阿贝尔的父亲去世了，养活全家（阿贝尔有6个弟妹）的重担压到了18岁的阿贝尔肩上。
伽罗瓦理论到底有多伟大？千年数学难题直接沦为简单推论
伽罗⽡理论到底有多伟⼤？千年数学难题直接沦为简单推论历史回顾⼀元⼆次⽅程的解法是我们再熟悉不过的数学知识，但⼀元三次⽅程的解法似乎并不⼴为⼈知，⽽了解四次⽅程解法的就更少了。
当然，解三次和四次⽅程都是有判断法则和求根公式的，这和⼆次⽅程是类似的。
那么⼀个⾃然的问题是次数⾼于四次的⼀般代数⽅程有没有求根公式呢？也就是能不能利⽤系数把解表⽰出来呢？对于⼗六世纪的代数学⽽⾔，解三次和四次⽅程就是最⼤的难题，这⼀问题最终由意⼤利数学家塔尔塔利亚和卡尔达诺所解决。
他们解四次⽅程的思想是通过变量替换获得⼀个三次⽅程，通过解这个三次⽅程就能获得原四次⽅程的解，于是很多数学家都想通过模仿这⼀⽅法来获得⾼次⽅程的根式解。
欧拉，⾼斯，拉格朗⽇这样当时最伟⼤的数学家都做过尝试，但最终都失败了。
拉格朗⽇甚⾄发表了长篇⼤论，详细分析了三四次⽅程的解法，指出这种⽅法不可能适⽤于⾼次⽅程，最后拉格朗⽇惊叹：“⾼次⽅程的根式解是不可能解决的数学问题之⼀，这是在向⼈类的智慧挑战！”在拉格朗⽇之后，意⼤利数学家鲁菲尼开始猜测⾼次⽅程没有根式解，但他终其⼀⽣也没能取得突破，只是得到了猜测：如果⽅程有根式解，那么这⼀根式必定是⽅程的根和单位根的有理多项式。
阿贝尔第⼀个真正取得突破的数学家是来⾃挪威的年轻⼈阿贝尔（1802~1829），他发展了拉格朗⽇关于“根的置换”的数学思想，并且提出了“域”和“不可约多项式”的概念。
利⽤⾃⼰的理论，阿贝尔修正了鲁菲尼的猜测，并最终严格证明了：如果⼀个⽅程有根式解，则这个表达式中的每⼀个根式都是⽅程的根和某些单位根的有理函数。
利⽤这个重要的结论，阿贝尔最终证明了⾼于四次的⼀般⽅程没有根式解！不仅如此，阿贝尔还成功构造出了任意次数的代数可解的特殊⽅程，但他还是遗留了⼀个问题，那就是如何判断⼀个给定的⽅程是否根式可解，例如⾼斯曾经证明过⽅程X^p－1=0有根式解，其中p为素数。
但天妒英才，阿贝尔在仅仅27岁之时，便因贫困交加⽽抱憾离世。
“折翼天使”阿贝尔：黎曼与伽罗瓦的先导，数学史超天才
“折翼天使”阿贝尔：黎曼与伽罗瓦的先导，数学史超天才阿贝尔众所周知，现代数学有两个最重要的源头，一个是伽罗华群论，一个是黎曼复分析，十九世纪以来，几乎所有数学都是群论抽象代数，流形拓扑两者的独立又融合的一个进程，从今天统治数学的朗兰兹纲领和现代代数几何来看，无不体现这一点，朗兰兹纲领和现代代数几何是抽象代数和流形群论融合至今的巅峰，大一统各个数学领域，还在加深着，迄今未被超越。
严格追溯起来，黎曼，伽罗华都是现代数学创世的两个大神。
但是，再往前呢？再往前是谁？我们可以惊讶的看到，黎曼和伽罗华两尊大神开创现代数学的最重要的成就，竟然都可以同时往前追溯到阿贝尔这里。
在群论方面，阿贝尔比伽罗华更早解决五次方程，也更早得出群论的雏形，伽罗华也是在阿贝尔工作基础上更进一步才得出群论的初始定义与初步的构造。
在复分析方面，伟大的黎曼正是通过直接研究阿贝尔函数，通过研究椭圆超椭圆积分，进而开创了黎曼面，进而开创了整个现代数学的全新盛世。
阿贝尔可以说是黎曼复分析最重要的奠基人。
阿贝尔去世时才26岁。
我们想象一下，假如阿贝尔再多活二十年：在代数群论上，阿贝尔再往前多走一步，总结五次以上方程无正整数解充要条件，得出群的初始定义以及构造，干了伽罗华的工作；在分析上，阿贝尔再往前多走两步，第一步将他的工作从实分析范畴拓展到当时已经萌芽出现的复分析领域，第二步，构造出黎曼面(如果可能，就叫阿贝尔曲面了)，一次性解决积不出积分的问题，并研究'阿贝尔曲面'上的函数论；哈哈哈，这画面太美，不敢想象。
如果阿贝尔再多活二十年，把他手头这两项工作再往前推进一两步，如果真的能够实现，那么现在数学史上GOAT也就没有任何争议了。
阿基米德，牛顿，欧拉，高斯，庞加莱，希尔伯特，诺特，格罗滕迪克，莱布尼茨，欧几里得，全部都得靠边站了。
即使伟大的黎曼，如果仅剩下黎曼几何和解析数论，失去了复分析的伟大功绩，也只能当阿贝尔的配角了。
可惜，天不假年。
湘教版高中数学选修3-1：近世代数的双子星座——阿贝尔和伽罗瓦
三、阿贝尔的简介
尼尔斯·亨利克·阿贝尔 (1802年8月5日-1829年4月6日)， 挪威数学家，在很多数学领域做 出了开创性的工作。他最著名的 一个结果是首次完整给出了高于 四次的一般代数方程没有一般形 式的代数解的证明。
• 这个问题是他那时最著名的未解决问题之一， 悬疑达250多年。他也是椭圆函数领域的开拓 者，阿贝尔函数的发现者。尽管阿贝尔成就
谢谢！
• 伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可 解性，整套想法现称为伽罗瓦理论，是当 代代数与数论的基本支柱之一。它直接推 论的结果十分丰富:它系统化地阐释了为何 五次以上之方程式没有公式解，而四次以 下有公式解；他漂亮地证明高斯的论断:若 用尺规作图能作出正p边形，p为质数(所以 正十七边形可做图)；他解决了古代三大作 图问题中的两个:“不能任意三等分角”， “倍立方不可能”。
• 法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在 1832年运用「群」的思想彻底解决了
用根式求解多项式方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学
家科学转变为 研究代数运算结构的科学，即把代数学由初
等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
近世代数的双子座——阿贝尔 和伽罗瓦
一、新课导入
近世代数的双子座指的是？
二、伽罗瓦的简介
埃瓦里斯特·伽罗瓦(Évariste Galois，1811年10月25日-1832年5月31日， 法语发音evaʀist galwa)，法国数学家， 与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创 始人。在一次几近自杀的决斗中英年早 逝，引起种种揣测。
极高，却在生前没有得到认可，他的生活非 常贫困，死时只有27岁。
四、近世代数
近世代数即抽象代数。代数是数学的其 中一门分支，当中可大致分为初等代数学和 抽象代数学两部分。初等代数学是指19世纪 上半叶以前发展的代数方程理论，主要研究 某一代数方程(组)是否可解，如何求出代数 方程所有的根〔包括近似根〕，以及代数方 程的根有何性质等问题。
“数学三大奖”之一的阿贝尔奖：荣誉的背后为何有争议？
“数学三大奖”之一的阿贝尔奖：荣誉的背后为何有争议？在前几年的一项关于各大数学奖声望的调查中，排在榜首的既非我们公认的最高奖菲尔兹奖，也不是类似于终身成就奖一般的沃尔夫数学奖，而是从2003年才开始颁发的阿贝尔奖。
由于对获奖者的要求极高，阿贝尔奖自诞生起，就成为了最重要的数学奖项之一，常常与菲尔兹奖和沃尔夫数学奖并称为“数学三大奖”，它们也恰好组成声望排行的前三。
但近年来，阿贝尔奖却不断地受到一些争议，阿贝尔奖到底怎么了呢？阿贝尔和阿贝尔奖阿贝尔（1802~1827，挪威数学家）是数学史上非常罕见的天才,他在如同白驹过隙一般短暂的生命里，留下了许多突破性的数学贡献，其中最重大的莫过于他证明了三百年悬而不决的难题：高于四次的一般代数方程没有根式解！阿贝尔创立了“域论”，他的这一套理论后来由同样的天才伽罗瓦所继续发展，并且伽罗瓦发展了强有力的“群论”。
综合这些伟大的数学思想，最终形成了关于方程的强大的伽罗瓦理论，这样的理论对今后的代数学发展起了决定性的影响。
除此之外，阿贝尔也是椭圆函数论的创始人之一，为这一领域带来了奠基性的贡献。
然而阿贝尔这些超越时代的伟大数学思想在他生前却没有得到应有的重视和荣誉，长期的贫困交加最终无情地夺去了他年轻的生命。
著名的法国数学家埃尔米特曾感叹道：“阿贝尔留下的思想可供数学家们工作150年”，而伟大的德国数学家魏尔斯特拉斯也说：“阿贝尔做出了真正永恒不朽的数学，他的思想将永远深刻影响数学的发展”。
阿贝尔的过早离世给这个世界留下了太大的遗憾，为了纪念阿贝尔这位伟大却又不幸的数学家，挪威政府在2001年决定出资约2200万美元设立阿贝尔基金，并将基金收益主要于颁发阿贝尔奖，同时也资助一些其他数学活动，例如数学教育。
设立阿贝尔奖的初衷是纪念阿贝尔，同时也为了弥补诺贝尔奖不设数学奖的缺憾，因此阿贝尔奖从一开始就定位于世界级的重要奖项。
获奖数学家阿贝尔奖每年颁发一次，原则上不设年龄限制，只看重数学贡献。
两颗过早陨落的数学巨星——谁之过？
两颗过早陨落的数学巨星——谁之过？发布时间：2021-03-01T15:15:33.513Z 来源：《课程教材教法》2021年2月作者：张六军[导读] 在璀璨的数学星空之中不得不提两颗在夜空中明亮而耀眼的流星，虽然一闪而过，但光光芒万丈！一位是挪威数学家阿贝尔另一位是法国数学家伽罗瓦，他们几乎是同时代人，在数学上都是划时代的人物。
但就是这两位数学家却过早的凋零了,如果生命再能延续几年或几十年定能造就更加辉煌的数学成果。
河南省焦作市武陟县第一中学张六军 454950在璀璨的数学星空之中不得不提两颗在夜空中明亮而耀眼的流星，虽然一闪而过，但光光芒万丈！一位是挪威数学家阿贝尔另一位是法国数学家伽罗瓦，他们几乎是同时代人，在数学上都是划时代的人物。
但就是这两位数学家却过早的凋零了,如果生命再能延续几年或几十年定能造就更加辉煌的数学成果。
一元一次方程约公元前1600年的古埃及时期人们就已经研究，并且能够给出精确的求解方法，古希腊的欧几里得（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解一元二次方程，也就是普通的一元二次方程的求根公式，既然普通的一元二次方程有求根公式，那么普通的一元三次方程有没有求根公式？为此数学家们经过1500年左右的摸索和探求，终于在公元1530年左右一位意大利数学家塔塔格里亚推算出了普通的一元三次方程的求解公式，由于种种原因这个公式叫卡丹公式，普通的一元三次方程求根公式出来以后，普通的一元四次方程只用大约10年时间就出来了，普通的一元三次方程求根公式和普通的一元四次方程求根公式都是专业的数学家或者数学爱好者通过不断的摸索得到的，接着数学家们开始探索普通的一元五次方程的求根公式，又经过近二百年，我们这里的主人公阿贝尔和伽罗瓦都各自独立的证明了“普通的一元五次方程和五次以上方程无求根公式”！一个困扰千年的问题终于尘埃落定。
为了证明一元五次及以上普通方程没有求根公式他们都各自的提出了一系列新的全新的理论，他们两个是近世代数的真正创立者，是划时代的人物。
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的最 大贡献 也 正 是 发 现并 培 养 了这 位 数学 天 才．
良师耐心 细致 的教 诲 ， 唤起 了他 学习数 学 的愿望 ， 使 他对数 学产生 了兴趣 ． ”
相 信高斯 将能认 识他 工作 的价 值而 超 出 常规地 接
见． 看来高 斯并 未重 视这 篇论 文 ， 但 因为 人们在 高
时 间 阿贝尔 Ａ ｅ ｂｌ 伽 罗 瓦 Ｇ ｌｉ ａｏｓ １９ ８ ２～ １ ２ ８９年 １ １ ～ １３ ８１ ８２年 国籍 挪 威 法 国
１ ５ 成 就 的影 响 不 同 ．
“ 阿贝尔 的 一 系 列 工作 为 后 人 留下 丰 厚 的 数 学遗 产 ， 为群 论 、 域论 和 椭 圆函数 论 的研 究 开拓 了
阿贝 尔 — — “ 从满 怀希 望 到 渐 生 疑 虑 终 至完
论文 ， 都在 ‘ 雷勒 杂 志 ‘ 发表 了． 些论 文将 阿 克 上 这
贝尔 的名 字传 遍 欧 洲 所 有 重 要 的 数 学 中心 ， 业 他
已成 为众所 瞩 目的优 秀数 学 家之 一． 遗憾 的是 ， 他
全 失望 ， 阿贝 尔在 巴黎 空 等 了将 近一 年． 寄居 的 他
发 表． １４ 成 果 的广 泛性 不 同 ．
但 实情 是他 确 已心 力 交 瘁 了． 阿贝 尔 只 好 拖着 病 弱 的身 体 ， 着 一 颗 饱 尝 冷 遇 而 孤 寂 的 心告 别 巴 怀
黎 回 国． ”
伽 罗瓦 —— “ 事 业 必 胜 的 信 念 激励 着 年 轻 对
的伽 罗 瓦’ 然他 的论 文一 再被 丢失 ， ． 虽 得不 到应 有
数 学工具 一 群论 ． 对 数 学 分 析 、 何 学 的发 展 它 几
１ ２ 数 学研 究的成 就 不 同 ． 阿贝 尔证 明对 一般 的 四次 以上 的 方程 没 有代 数 解． ．
伽 罗 瓦解 决 了什 么 样 的 方 程 有代 数 解 ， 即方
程 有根 式解 的充 要条 件．
斯死后 的遗物 中发现 阿贝 尔 寄给他 的小册 子还 没 有裁 开．柏 林 是 阿 贝尔 旅 行 的 第 一 站． 在 那 里 他
“ 但在 第三 年 （８ ６ ， １ ２ ） 伽罗瓦 对 修辞 学没 有下
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备课参考
学教 师 Ｂ． 霍 尔姆博 （ ｌ ｏ） 后 者在数 学上 Ｍ． Ｈｏｍｂ￣ ． 历 时两年 的大陆 之行 ．踌躇 满 志 的 阿贝 尔 自费 印 刷 了证 明五次 方程 不 可 解 的论 文 ， 它 作 为 自 己 把 晋 谒大 陆大数 学家 们 ， 别 是高斯 的科学 护照． 特 他
１ ３ 运 气 不 同 ．
’
有很 大 影 响 ， 标 志 着 数 学 发 展 现 代 阶 段 的 开 并
始． ”
１ ６ 心 理 状 况 不 同 ．
“ 阿贝尔 最终 毕 竟 还是 幸运 的 ， 回挪 威后 一 他 年 里 ， 洲大 陆 的数 学 界渐 渐 了解 了他 ． 失踪 的 欧 继 那 篇主要 论 文之 后 ， 贝 尔 又 写 过 若 干 篇 类 似 的 阿
道 路． 的数 学 思想 至今 深 刻 地 影 响 着 其 他数 学 他
分 支． ． 尔米 特 （ ｒ ｔ）曾这 样 评价 阿 贝尔 ｃ埃 Ｈｅｍｉ ｅ
的功绩 ： 阿贝 尔 留下 的一些 思 想 ， 可供 数 学成就 是 提 出 了群的 概念 ， 伽 并
维普资讯
阿 贝尔 和伽 罗瓦 的 比较
（ 州市 华南 师范 大学数 学科 学 学院 ２ ０ 广 ０ ４级 ４班 ５ ０ ３ ） 曾春 燕 １ ６ １
今 天我 要 向大 家 介 绍两 位 朋 友 — — 阿 贝 尔
和伽 罗瓦 ｌ 阿 贝尔与伽 罗瓦 的不 同点 １ １ 两人 的个人基 本 情况 比较 ．
阿贝 尔 在数 学上 的贡 献 ， 要表 现 在方 程 论 、 主
无穷 级数 和椭 圆 函数 等 方 面． 即除 了代 数 方 程 论 之外 ， 贝尔 还从 事 分 析方 面 的研究 ． 以说 阿贝 阿 所
尔是 多产 的． ．
的支 持 ， 他 并 没 有 灰 心 ， 坚 信 他 的科 研 成 果 ， 但 他 不仅 一次 又一 次 地 想 办 法 传 播 出去 ， 进 一 步 向 还
更 广 的领 域探索 ． ”
２ 阿 贝尔 与伽 罗瓦 的相 同点 与联 系
ｔ
但 是伽 罗 瓦 最 主 要 的 成 就 是 提 出 了 群 的 概
念， 并用 群论 彻 底 解 决 了 根式 求解 代 数 方 程 的 问
题， 而且 由此发 展 了一 整套 关 于群 和 域的 理论 ． 即 伽罗瓦 的成果 重 在代数 方 程论 ． ２ １ 都遇 到 了好 老 师 ， ． 受到 好 老师 的指 导帮助 “ ５岁 （８ ７ １ １ １ ）时 ， 幸运 地 遇 到 一位 优 秀数 他
用 群论 彻底 解决 了根 式 求 解 代 数 方 程 的 问题 ， 而
且 由此发 展 了一 整 套 关 于群 和 域 的 理论 ， 了纪 为 念 他 ， 们 称之 为伽 罗 瓦理论 ． 是这 套理 论创 立 人 正 了抽 象代 数学 ， 代 数 学 的研 究 推 向 了一 个 新 的 把 里 程． 是这 套 理 论 为 数 学 研 究 工 作 提 供 了新 的 正
那 家房 东 又特 别吝 啬刻 薄 ， 天 只供 给 他两 顿饭 ， 每
却 收取 昂 贵 的 租金 ． 天 ， 感 到身 体 很 不舒 畅 ， 一 他
经 医生 检 查 ， 断 为肺 病 ， 管 他顽 强 地不 相 信 ， 诊 尽
处 境 闭塞 ， 孤陋 寡 闻 ， 此情 况竞无 所 知． 对 ” 但是 伽 罗 瓦的重 大 创作 在 生前 始 终没 有 机会