八年级数学上册第十三章轴对称1轴对称13.1.2.1线段的垂直平分线的性质和判定9
八年级数学上册第13章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质(第1课时)教案新人教
湖南省益阳市资阳区迎丰桥镇八年级数学上册第13章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第1课时）教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖南省益阳市资阳区迎丰桥镇八年级数学上册第13章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第1课时）教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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线段垂直平分线的性质 章节名称13.1。
2（1） 线段垂直平分线的性质 编号 20课标 要求探索并证明线段垂直平分线上的点到两端的距离相等；教材分析本节课是在学习了图形的平移,轴对称图形、两个图形关于轴对称的概念及其性质基础上;继续学习线段垂直平分线的概念和性质。
把形象思维与抽象思维相结合，把静态、动态的观察、思维法相结合，不断提高平面逻辑思维、能力与想像、表达能力.为后续学习研究多边形的几何性质、函数图像性质打下坚实的基础。
学情分析1．上节课已经学习了中垂线（线段垂直平分线）,对中垂线的概念有所了解，这为探究线段的垂直平分线的性质做好了知识上的准备。
2。
学生已经有了一定的概括能力和推理能力，所以在教学时，可让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知。
3。
学生已经具备了一定的学习能力,所以本节课中，主要采用学生自主学习、合作学习的方式，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。
总之，本节课旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系，经历知识的形成过程,培养学生的应用意识。
最新人教版八年级数学上册第十三章轴对称 教案教学设计 共10课时,含教学反思
第十三章轴对称13.1 轴对称 (1)13.1.1 轴对称 (1)13.1.2 线段的垂直平分线的性质 (3)13.2 画轴对称图形 (8)第1课时作轴对称图形 (8)第2课时用坐标表示轴对称 (12)13.3 等腰三角形 (16)13.3.1 等腰三角形 (16)13.3.2 等边三角形 (25)13.4 课题学习最短路径问题 (33)章末复习 (35)13.1 轴对称13.1.1 轴对称【知识与技能】掌握轴对称图形和关于直线成轴对称等概念.【过程与方法】通过生活中的具体实例认识,培养观察、思维、操作、归纳能力.【情感态度】体验数学与生活的联系,发展审美观.【教学重点】准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称的实质.【教学难点】轴对称图形和关于直线成轴对称的区别与联系.一、情境导入，初步认识展示学生按要求收集的图片资料,教师指导并对所有图片进行分类:第一类是轴对称图形,第二类是关于一条直线对称的图形.学生观察,并以小组为单位,讨论下列问题:1.第一类图案有什么共同特征?2.第二类图案有什么共同特征?【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知1.轴对称图形在学生交流和说出两类图案的特征的基础上,教师提出第一类的图案称为轴对称图形.问题1 学生尝试说出轴对称图形的定义,教师适当纠正与补充.问题2 请学生再举一些日常生活中的轴对称图形的例子.问题3 请观察下列图案,看这些轴对称图形各有几条对称轴.2.两个图形关于某条直线对称教师提出第二类图案称为两个图形关于某条直线对称.问题4 鼓励学生说出两个图形关于某条直线对称的定义.问题5 举出生活中两个图形成轴对称的例子.如:提示：对称轴可能不止1条,也可能是水平的或倾斜的.教师再归纳总结轴对称图形和两个图形成轴对称间的区别与联系.三、运用新知，深化理解1.如图,在由小正方形组成的L形的图形中,用三种不同的方法添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.2.角是轴对称图形,它的对称轴是 .【教学说明】问题1中有两种方法比较容易,方法3鼓励学生交流讨论得到;问题2提醒学生不能说成角平分线.【答案】1.2.角平分线所在的直线.四、师生互动，课堂小结本节课你学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?1.布置作业：从教材“习题13.1”中选取.2.如图是一个圆形的纸片,请问:它是轴对称图形吗?如果是, 对称轴有多少条?请你找到它的圆心.3.完成练习册中本课时的练习.本课时教学应重视以下几点：1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.2.形成提炼概念的能力，注重从实物的形象思维向抽象思维转变.3.在对比中发现，认识知识，如“轴对称”与“轴对称图形”的区别与联系.13.1.2 线段的垂直平分线的性质【知识与技能】1.了解两个图形成轴对称的性质,了解轴对称图形的性质.2.探究线段垂直平分线的性质.【过程与方法】经历探索轴对称图形性质的过程,发展空间观察能力.【情感态度】体验数学与现实间的联系,发展审美感,激发兴趣.【教学重点】轴对称的性质,线段垂直平分线的性质.【教学难点】线段垂直平分线的性质.一、情境导入，初步认识问题1 下面图形中哪些是轴对称图形?如果是,请说出它的对称轴.问题2 如果两个图形成轴对称,那么这两个图形有什么关系?(如图2,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称)【教学说明】两个图形成轴对称,那么这两个图形就全等.由此提出线段垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.如图3,直线l是线段AB的垂直平分线.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知1.探究轴对称的性质(1)作两个成轴对称的三角形,如图.(2)将对称点分别用线段连接起来,观察它与对称轴的位置关系及数量关系,你能得到什么结论?是如何得到这个结论的?(3)轴对称图形是否也具备这样的性质呢?举例说明.2.探索线段垂直平分线的性质探究1 教材中的“探究”.学生先思考教科书上的问题，然后让学生以线段代替木条进行画图探究.任意画一条线段AB,画出它的垂直平分线MN,在MN上任取点P1,P2,P3,分别量一量点P1,P2,P3到点A，点B 的距离,你有什么发现?与同伴交流,说明理由.探究2 如图,PA=PB,取线段AB的中点O,连接PO,PO与AB有怎样的位置关系?指导学生运用三角形全等知识判定△PAO≌△PBO,从而推得PO是线段AB的垂直平分线.教师总结线段垂直平分线的性质与判定.例1 如图所示,有一块三角形田地,AB=AC=10m,作AB的垂直平分线ED交AC于D,交AB 于E,量得△BDC的周长为17m,请你替测量人员计算BC的长.解:∵ED是AB的垂直平分线,∴DA=DB.又∵△BDC的周长为17m,AB=AC=10m,∴BD+DC+BC=17(m).∴DA+DC+BC=17, 即AC+BC=17(m). ∴10+BC=17(m),BC=7(m). 3.作简单轴对称图形的对称轴.例2 如图所示，△ABC 与△A ′B ′C ′关于某条直线对称，请你作出这条直线.【分析】△ABC 与△A ′B ′C ′中的点A 与A ′，点B 与B ′，点C 与C ′是对应点，连接一对对应点，如连接BB ′，作线段BB ′的垂直平分线即可.解:（1）如图所示，连接BB ′，分别以点B ，B ′为圆心，以大于21BB ′的长为半径作弧，两弧相交于D 、E 两点；（2）作直线DE ，DE 即为所求的直线. 三、运用新知，深化理解1.如果△ABC 中,∠BAC=110°,P\,Q 在BC 上,若MP\,NQ 分别垂直平分AB\,AC,则∠PAQ 的度数是 .2.如图，正方形ABCD 的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为.3.如图所示，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ）A.6B.5C.4D.34.如图所示,OC是∠AOB的平分线,AC⊥AO,BC⊥BO,则OC与AB的关系是( ).A.AB垂直平分OCB.OC垂直平分ABC.OC只平分AB但不垂直D.OC只垂直AB但不平分5.如图,△ABC中，AB=AC，∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC.（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC的长.【教学说明】指导学生解答上述习题时，强调学生应：（1）注意成轴对称的两个图形的全等关系，由此可得到几组边、角的相等；（2）注意线段垂直平分线的性质的灵活运用.【答案】1.40° 2.8cm2 3.B 4.B5.(1)∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∴∠ECD=∠A=36°.(2)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°,∵∠ECD=36°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴BC=EC=5.四、师生互动，课堂小结问题：本节课学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?由学生表述,教师归纳总结.1.布置作业：从教材“习题13.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课教学力求充分体现内容的基础性，方法的灵活性、学生学习的主体性和教学的主导性，在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考、比较观察、动手交流和表述，并借助多媒体的手段辅助教学，增强直观性、激发学习兴趣.强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双边活动，激发学生学习兴趣，教师从中发现、搜集学生的学习情况，查漏补缺，适时调度，从而顺利达到教学的目的.13.2 画轴对称图形第1课时作轴对称图形【知识与技能】1.通过动手操作体验如何作轴对称图形.2.能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形.3.能利用轴对称变换设计一些简单的图案.【过程与方法】通过实际操作获取作轴对称图形的方法,并应用于简单的图案设计.【情感态度】通过图案设计等活动,培养学生的动手操作能力\,审美及数学兴趣,发展学生的空间观念.【教学重点】作一个图形经轴对称变换后的图形.【教学难点】通过动手操作总结轴对称变换的特征.一、情境导入，初步认识利用多媒体向学生展示剪纸图片,供学生欣赏,并请学生交流:如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?问题 1 请学生拿出画有一个简单风筝(如图形状)的半透明纸,把这张纸对折后描图,学生画好后打开对折的纸,观察并回答下列问题:(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?(2)两个图形成轴对称有什么特征?问题 2 如果改变对称轴的方向和位置,结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠,描图,打开纸.你发现了什么?【教学归纳】由学生画图、操作、观察后总结出:(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.(2)新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点,连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.问题除上面所用的描图法;还可用什么方法画出轴对称变换后的图形?请学生间交流探讨.例1(1)如图1,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形.(2)将△ABC的位置移至图2,图3,图4时,再作出关于直线l对称的图形.并验证画法.【归纳总结】一个平面图形都是由一些点组成,点动成线,故要画一个图形经轴对称后的图形,只要找到一些特殊点,作出这些特殊点的对称点即可.【教学说明】利用轴对称变换,可以设计出精美的图案.有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案.例2 操作并思考:如图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的三角形沿黑线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺开.(1)你会得到怎样的图案?先猜一猜,再做一做.(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试.(3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再去掉含90°角的部分展开后的结果又会怎样?为什么?解:(1)得到一个有2条对称轴的图形.(2)按照上面的做法，实际相当于折出了正方形的2条对称轴，因此图中得到的图案一定有2条对称轴.(3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴.【教学说明】教师参与,与学生一起操作,力求使图案与花边完美.三、运用新知，深化理解1.把下列图形补成关于直线l对称的图形.2.如图,利用轴对称变换画出花瓶的另一半.3.如图，左边的旗子经过几次轴对称变换,可以变成右边的旗子?你能设计一种变换方案吗?4.如果我们把台球桌做成等边三角形形状,那么从AC中点D处出发的球,能否依次经BC,AB两条边反射后回到D处?如果认为不能,请说明理由;如果认为能,请作出球运动的路线.【教学说明】指导学生解答上述习题时，要注意引导学生：（1）画轴对称图形时，要先画好关键的对应点；（2）在已知成轴对称的图形时，利用成轴对称的图形的性质，找出对称轴.【答案】4.能.运动路线如图的D→E→F→D四、师生互动，课堂小结教师请学生回忆本节内容,学生发言谈收获,最后引导总结.1.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.2.经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分.3.画一个图形经轴对称变换后的图形,关键是找到图形上的一些点,作出这些点的对称点.1.布置作业：从教材“习题13.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，重视学生的实际操作和观察发现与表述能力.教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系（如例2）调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.第2课时用坐标表示轴对称【知识与技能】1.能在直角坐标系中画出已知点关于坐标轴对称的点.2.能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标,求出已知点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标.【过程与方法】在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中,培养学生的语言表达能力、归纳能力.【情感态度】在找点,绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习乐趣,养成良好的科学研究方法.【教学重点】能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标.【教学难点】找对称点的坐标之间的关系,规律.一、情境导入，初步认识用多媒体展示北京城风光图片,及北京城形象地图.问题 1 老北京的地图(教材图13.2-3)中,西直门和东直门是关于中轴线对称的,如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,对应于如教材图13.2-3所示的东直门的坐标,你能找到西直门的位置和坐标吗?学生指出西直门的位置或坐标,由此指出用坐标表示轴对称,很方便确定一个地方的位置.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.问题2(1)在直角坐标系中画出下列已知点:A(2,-3);B(-1,2);C(-6,-5);D(3,5);E(4,0);F(0,-3).(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点,并填写表格.(3)请你仔细观察点的坐标,你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性,说说你是如何检验的.【归纳结论】点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等.二、典例精析，掌握新知例1 已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2012的值为( ).A.0B.-1C.1D.(-3)2012出示新问题:1.如图,分别作出△PQR关于直线x=1和直线y=1对称的图形.2.试找出它们对应点的坐标.3.猜想:如果作关于直线x=3和直线y=-4对称的图形,试找出它们对应点的坐标,并总结出一般性规律.点(x,y)关于直线x=m 对称点的坐标是(2m-x,y),即若两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于直线x=m 对称,则m=221x x +,y 1=y 2. 点(x,y)关于直线y=n 对称点的坐标是(x,2n-y),即若两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于直线y=n 对称,则x 1=x 2,n=221y y +. 例2 如图,梯形ABCD 关于y 轴对称,点A 的坐标为(-3,3),点B 的坐标为(-2,0),试写出点C 和点D 的坐标,并求出梯形ABCD 的面积.【分析】已知点D 与点A 关于y 轴对称,点B 和点C 关于y 轴对称,由此可推知点D,点C 的坐标.解：∵点D 与点A(-3,3)关于y 轴对称,∴点D 的坐标为(3,3).同理点C 的坐标为(2,0).故AD=|3-(-3)|=6,BC=|2-(-2)|=4,∴S 梯形=21 (AD+BC)·OE=21×(6+4)×3=15. 【教学说明】由以上例题,应让学生掌握:1.平行于x 轴的两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值.2.求规则图形的面积应选用平行于x 轴(或y 轴)的边为底边,求面积较方便.三、运用新知，深化理解1.说出下列各点关于x轴,y轴对称的点的坐标.(-2,6),(1,-2),(-1,3),(-4,-2),(1,0).2.四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形.3.在坐标系中描出点A(-1,3),B(5,-4),C(-3,-1),D(-1,1),E(-3,5),F(5,8),连接AB,BC,AC,DE,EF,DF,请你判断所得图形是轴对称图形吗?如果不是,请你说明理由;如果是,请说出对称轴.【教学说明】教师指导学生完成上述问题的解答,提示学生解题过程中注重画图找答案,体验数形结合的作用.同时,鼓励学生从实际解题中总结题中所隐含的规律.【答案】1.2.略3.图略.所得图形是轴对称图形，对称轴是y=2.四、师生互动，课堂小结教师引导学生总结本节课用坐标表示轴对称的主要解题方法和解题思路.1.已知点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段间关系来求.2.学生表述关于x轴,y轴对称的点的坐标规律.1.布置作业：从教材“习题13.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时采用探究、发现式的教学方法，通过找具有一定代表性的分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标，寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律，可培养学生观察、归纳、分析问题解决问题的能力，并通过研究线段之间关系发现对称点的坐标之间的关系，从中体验数形结合思想，教学中应让学生认识到寻找规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤.13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.3.观察等腰三角形的对称性、发展形象思维.【过程与方法】1.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入，初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知，深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°3.已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠C=38.5°第2组练习答案:1.C2.C3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动，课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.第2课时等腰三角形的判定【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的判定.2.运用等腰三角形判定进行证明和计算.【过程与方法】通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.【情感态度】引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受，并在这个过程中体验学习的乐趣.【教学重点】等腰三角形的判定定理.【教学难点】等腰三角形判定定理的证明.一、情境导入，初步认识先请学生回忆等腰三角形的性质,再向学生提出下列问题.问题1 如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素).引导学生作如下思考:(1)应该能同时赶到出事地点,因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A=∠B,也就是说如果∠A不等于∠B,那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.问题2 根据上述探究,考虑:“在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等”，并证明这个结论.1.指导学生表述结论并写出证明过程.2.指出表述要严谨,如不能说成：“如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形”.二、思考探究，获取新知例1 求证：如果一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.【教学说明】本题是文字叙述的证明题,先应将文字语言转化为相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.要证明这个问题,由特征结论联想“等角对等边”，而等角由已知的平行线和角平分线可推得.例2 如图,标杆AB高5m,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D,E两点拉两条绳子,使得D,B,E在一条直线上,量得DE=4m,绳子CD和CE要多长?【教学说明】这是一个与实际生活相关的问题,要解决这类问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题的实质是已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.解：如图(2),选取比例尺为1∶100.①作线段DE=4cm.②作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B.。
人教版数学八年级上册第十三章13.1.2线段的垂直平分线的性质
第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定学习目标：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．重点：线段的垂直平分线的性质和判定方法难点：运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题自主学习一、知识链接线段是轴对称图形吗？通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB与O.（1）点A的对称点是_______（2）量出AO与BO的长度，它们有什么关系？（3）AB与直线l在位置上有什么关系？经过线段________并且______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线.二、新知预习已知直线l垂直平分线段AB，交AB与O.点C是l上任意一点,连接AC,BC.（1）量出AC,BC的长度，它们有什么关系？（2）另在l上任找一点D，量出AD,DB的长度，它们有什么关系？（3）由（1），（2），你得到什么结论？要点归纳：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________.三、自学自测如图所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD 上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3四、我的疑惑___________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：线段垂直平分线的性质 证一证：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足为C ，AC =CB ，点P 在MN 上．求证：PA =PB ．典例精析 例1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为( ) A ．5cm B ．10cm C ．15cm D ．17.5cm方法总结:利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．例2： 已知:如图,在ΔABC 中,边AB ，BC 的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 实际应用：某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延课堂探究B ACM N M ' N ' PBAC长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.方法总结:证明线段相等的方法一般有：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.针对训练1.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）第1题图第2题图2.如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，则△BCD的周长为_________.3.如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB，交AB于D，求证：BE+DE=AC．探究点2：线段垂直平分线的判定1.做一做:用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去.图①图②（1）如图①要使CO垂直于AB，需要添加什么条件？为什么？点C在_____________上.（2）如图②，拉动C，到达D的位置，若AD=DB，那么点D在__________上.（3）由（1），（2），你得到什么猜想？要点归纳：DA BOOBAC与线段两个端点距离________的点在这条线段的______________上.2.证一证：已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．典例精析例4：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.针对训练1.三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是__________________________________________.3.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．二、课堂小结PA B线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.证明线段相1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ ACB2.在锐角三角形ABC 内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P 是△ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点3.已知线段AB ，在平面上找到三个点D 、E 、F ，使DA ＝DB ，EA ＝EB,FA ＝FB ，这样的点的组合共有_________种.4.下列说法：①若点P 、E 是线段AB 的垂直平分线上两点，则EA ＝EB ，PA ＝PB ； ②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA ＝PB ，则点P 必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA ＝EB ，则经过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的有_________（填序号）.5.如图，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于E,连接BE ，AB+BC=16cm,则△BCE 的周长是_________cm.6.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的位置关系．拓展提升7.如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O. (1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．当堂检测ABDC第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的有关作图学习目标：1.能用尺规作已知线段的垂直平分线．2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．重点：用尺规作已知线段的垂直平分线．难点：运用尺规作图的方法解决简单的作图问题温故知新1.按如下要求，用尺规作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．2.轴对称图形的性质是_______________________________________.3.线段垂直平分线的性质是_______________________________________.二、要点探究探究点1：线段垂直平分线的画法问题1：如何验证两个图形是轴对称的？不折叠图形，你能准确地作出图形的对称轴吗？图①图②问题2:如何作出线段的垂直平分线?[提示:由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质,只要作出到线段两端点距离相等的两点即可.]已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.作法:思考1:在上述作法中,为什么要以“大于AB的长”为半径作弧?思考2:根据上面作法中的步骤,请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.归纳总结：可以运用线段垂直平分线的尺规作图，确定线段的中点.典例精析例1：如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.例2：如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．方法总结:到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线段的垂直平分线上.课堂探究探究点2：作轴对称图形的对称轴问题：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？方法总结:对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.典例精析如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.方法总结:成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，交点必定在对称轴上.针对训练1.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？2.如图,小河边有两个村庄,要在河岸边建一自来水厂向A村与B村供水,若要使厂部到A,B 的距离相等,则应选在哪里?二、课堂小结ABCA′B′C′线段垂直平分线的有关作图用尺规作图作线段垂直平分线作轴对称图形的对称轴作对称轴的重要方法l1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线第1题图第2题图2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（）A．甲、乙都正确B．甲、乙都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？5.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.当堂检测A BC DCAB。
新人教版八年级数学上册第13章轴对称13.1轴对称《13.1.2 线段的垂直平分线的性质》优质课件
A C
B
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
探索并证明线段垂直平分线的判定
用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
P
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上．
A C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （第1课时）
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系．
P3
相等．
P2
你能用不同的方法验证
这一结论吗？
A
P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
布置作业 教科书习题13.1第6、9题．
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 （第2课时）
作线段的垂直平分线
轴对称的性质是什么？ 说一说 线段垂直平分线的性质． 如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
作线段的垂直平分线
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验 证呢？
不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称 轴吗？
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
P
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时学
第十三章 轴对称 13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质(第 1 课时)学习目标 1.理解线段垂直平分线的性质,会利用线段垂直平分线的性质进行推理. 2.自己动手探究发现线段垂直平分线的性质,培养观察、猜想、归纳能力. 3.通过应用线段垂直平分线的性质进行推理,培养几何推理的严密性.一、自主学习 活动 1:情景引入学习过程在 106 国道某段的同侧,有两个工厂 A,B,为了便于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修 建一所医院,使得两个工厂的工人都没意见,问医院的院址应选在何处?你会吗?带着这个问题,请进行下面的学习,学习完后你一定会解决这个问题! 二、深化探究 活动 2:探究性质 11.问题:如图,直线 l 垂直平分线段 AB,P1,P2,P3……是 l 上的点,分别量一量点 P1,P2,P3……到 点 A 与点 B 的距离,你有什么发现?发现: . 猜想: . 2.问题:如图,已知直线 l⊥AB,垂足为 C,AC=CB,点 P 在 l 上. 求证:PA=PB. 证明:结论:线段垂直平分线的性质 1 . 性质 1 用符号语言表示为: ∵ , ∴ . 活动 3:性质 1 的应用 【例 1】 如图,在△ABC 中,已知 AC=27,DE 垂直平分 AB,交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,△BCE 的周 长等于 50,求 BC 的长.(1)已知中“DE 垂直平分 AB”这个条件能想到哪个重要定理: (2)用上这个定理后能增加什么条件? (3)你会写出应用这个定理的步骤吗?活动 4:探究性质 2 把线段垂直平分线的性质 1 反过来,如果 PA=PB,那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢?3.问题:已知线段 AB,点 P 是平面内一点,且 PA=PB. 求证:P 点在线段 AB 的垂直平分线上. 证明:总结:线段垂直平分线的性质 2 . 用符号语言表示为: ∵ , ∴ . 从上面两个结论可以看出:在线段 AB 垂直平分线 l 上的点与 A,B 的距离相等;反过来,与两点 A,B 的距离相等的点都在直线 l 上,所以直线 l 可以看成与两点 A,B 的距离相等的所有点的集合. 活动 5:性质 2 的应用(8 分钟)【例 2】 如图,AB=AC,MB=MC.直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗?并说明理由.三、深化提高 解决问题(2 分钟)在 106 国道某段的同侧,有两个工厂 A,B,为了便于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修 建一所医院,使得两个工厂的工人都没意见,问医院的院址应选在何处?四、反思小结 活动 7:感想与收获 1.这节课你学到了哪些知识? 2.你觉得这些知识在具体的题目中如何运用? 3.你还有哪些困惑? 五、课堂检测 1.判断下列语句的对错. (1)如图①,直线 MN 垂直平分线段 AB,则 AE=AF. (2)如图②,线段 MN 被直线 AB 垂直平分,则 ME=NE. (3)如图③,PA=PB,则直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线.( )( ) ( )2.在锐角△ABC 内,一点 P 满足 PA=PB=PC,则 P 是△ABC( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 3.已知,D 是直角△ABC 斜边 AC 的中点,ED 垂直 AC 于点 D,交 BC 于点 E,∠EAB∶∠EAC=2∶3, 求∠ACB 的度数.参考答案 二、深化探究1.略 2.证明:∵l⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°. 在△PCA 和△PCB 中,{ AC = CB,∠PCA = ∠PCB, PC = PC,∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 线段垂直平分线的性质 1: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 性质 1 用符号语言表示为: ∵PC 垂直平分 AB(CA=CB,PC⊥AB), ∴PA=PB. 【例 1】 解:∵DE 垂直平分 AB, ∴AE=BE. ∵BE+EC+BC=50, ∴AE+EC+BC=50, 即 AC+BC=50. 又 AC=27,∴BC=23. 3.证明:过点 P 作 PC⊥AB 于点 C. 在 Rt△PAC 和 Rt△PBC 中,{ PA = PB,PC = PC(公共边),∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC. 故 P 点在 AB 的垂直平分线上. 总结:线段垂直平分线的性质 2 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 用符号语言表示为: ∵PA=PB, ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 【例 2】 解:是.证明如下: ∵AB=AC,∴点 A 在 BC 的垂直平分线上.∵MB=MC,∴点 M 在 BC 的垂直平分线上. ∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 三、深化提高 作点 A 关于直线 l 的对称点 A1,连接 BA1 交 l 于点 C,则 C 点就是医院的位置(或作 B 的对称点). 四、反思小结 略 五、课堂检测 1.(1)错 (2)对 (3)错 2.D 3.解:设∠CAE=3x,∠BAE=2x,因为 DE 垂直平分 AC,所以 EA=EC, 所以∠C=∠CAE=3x, 3x+2x+3x+90°=180°, x=11.25°, ∠C=33.75°.。
初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.1知识点总结含同步练习及答案
描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.1 轴对称一、学习任务1. 了解轴对称图形和图形成轴对称的意义，并会识别．2. 掌握线段垂直平分线的判定和性质．3. 会用尺规作图做出线段的垂直平分线．二、知识清单轴对称 垂直平分线的性质与判定 尺规作图三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有 个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形 ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和 ，可得 ，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、 为 为 、 上的两个顶点，请你在 边上找一点 ，使 周长最小？分析：由于 的周长 ，而 是定值，故只需在 上找一点，使 最小．如果设 关于 的对称点为 ，所以只要使 最小即可．作法：① 作 关于 的对称点 ；② 连接 交 于 点；③ 连接 ，则 周长最小， 为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：例题：描述：2.垂直平分线的性质与判定垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（perpendicularbisector ）．垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．3.尺规作图线段的画法（1）线段的画法．画一条线段等于已知线段，用圆规在射线 上截取 ，也可以测量长度的方法，再画一条等于这个长度的线段．（2）线段的和、差的画法，已知线段 ，（设）．如图，在 中，，， 边上的垂直平分线 交 、 分别于点 、，则 的周长等于（ ）A. B. C. D. 解：A．根据垂直平分线的性质，可知 ，所以 的周长等于 的值．△ABC AB =a AC =b BC DE BC BA D E △AEC a +b a −b 2a +b a +2bEC =BE △AEC AB +AC 如图，有 、、 三个居民小区的位置呈三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A. 在 ， 两边高线的交点处B. 在 ， 两边中线的交点处C. 在 ， 两边垂直平分线的交点处D. 在 ， 两内角平分线的交点处解：C．A B C AC BC AC BC AC BC ∠A ∠B AC AB =a a b a<b和 的和，记作段 就是线段 与 ③ 连接 ，则此时角 等于 ．③ 过 ， 两点作射线 AB BC AC =a BD AB ON ∠MON ∠AOB O C② 作出 的平分线．② 过 、 两点作直线 ∠DCE M N 已知线段 ，，作一条线段，使其长为 即线段 为所要画的线段．a bAB四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）分析：要找一点 ，使 ，则点 一定在线段 的垂直平分线上，又点 到 两边的距离相等，则点 也在 的平分线上，所以作线段 的垂直平分线和 的平分线，两线的交点即为点 ．解：分别作线段 的垂直平分线 和 的平分线 ， 与 相交于点 ，则点 即为所求．P P C =P D P CD P ∠AOB P ∠AOB CD ∠AOB P CD EF ∠AOB OM EF OM P P 答案：1. 下列图形中，为轴对称图形的是 A．B ．C ．D ．D()2. 如图，在 中 ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ．若 ，则 的周长为 ．△ABC AB AB BC D E AC AC BC F G BC =4△AEG()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
八年级数学上册听课记录：第十三章轴对称《轴对称：线段的垂直平分线的性质》
新2024秋季八年级数学上册听课记录：第十三章轴对称《轴对称：线段的垂直平分线的性质》教学目标（核心素养）1.1 知识与技能：学生能够理解线段垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线的性质，并能运用这些性质解决相关问题。
1.2 过程与方法：通过观察、操作、归纳等数学活动，培养学生的直观感知、逻辑推理和问题解决能力。
1.3 情感态度价值观：激发学生对轴对称图形的兴趣，培养严谨的数学态度和探索精神，感受数学之美。
导入教师行为•展示一组轴对称图形的图片，引导学生观察并讨论它们的共同特征。
•提出问题：“在轴对称图形中，连接两个对称点的线段有什么特殊性质？”引出线段垂直平分线的概念。
学生活动•学生认真观察图片，积极参与讨论，尝试用自己的语言描述轴对称图形的特征。
•思考教师提出的问题，提出猜想或疑问。
过程点评•通过直观的图形展示和问题引导，有效激发了学生的学习兴趣和好奇心，为新课的学习做了良好的铺垫。
教学过程教师行为•定义讲解：明确给出线段垂直平分线的定义，并结合图形进行解释说明。
•性质探究：•活动一：让学生在纸上画出任意一条线段，并尝试作出它的垂直平分线。
•活动二：引导学生观察并测量垂直平分线上的点到线段两个端点的距离，归纳出线段垂直平分线的性质。
•性质应用：通过例题讲解，展示如何利用线段垂直平分线的性质解决实际问题。
学生活动•活动一：学生动手操作，尝试作出线段的垂直平分线，并在小组内交流自己的作图方法。
•活动二：学生认真观察、测量，并小组讨论归纳出线段垂直平分线的性质。
•在教师讲解例题时，学生积极思考，尝试自己解决问题，并勇于提出自己的见解和疑问。
过程点评•通过动手操作和小组合作，学生亲身体验了知识的形成过程，增强了学习的主动性和参与度。
•性质归纳环节培养了学生的观察能力和归纳能力，为后续的应用打下了坚实的基础。
•例题讲解注重了知识的应用性和启发性，有效提升了学生的问题解决能力。
板书设计•标题：轴对称：线段的垂直平分线的性质•定义：线段垂直平分线的定义（图示辅助说明）•性质：•垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（图示+文字说明）•例题：•题目展示（简洁明了）•解题步骤（分步解析，突出关键步骤）•总结：线段垂直平分线性质的应用要点（简洁概括）作业布置1.完成课本上的相关习题，巩固线段垂直平分线的性质和应用。
八年级数学上册第13章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质第2课时教案新版新人教版
线段垂直平分线的性质课题：线段垂直平分线的性质一教学设计课标要求探索并证明线段垂直平分线上的点到两端的距离相等教材及学情分析本节课是在学习了图形的平移，轴对称图形、两个图形关于轴对称的概念及其性质基础上；继续学习线段垂直平分线的概念和性质。
把形象思维与抽象思维相结合，把静态、动态的观察、思维法相结合，不断提高平面逻辑思维、能力与想像、表达能力。
为后续学习研究多边形的几何性质、函数图像性质打下坚实的基础。
上节课已经学习了中垂线（线段垂直平分线对中垂线的概念有所了解，这为探究线段的垂直平分线的性质做好了知识上的准备。
学生已经有了一定的概括能力和推理能力，所以在教学时，可让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知。
学生已经具备了一定的学习能力，所以本节课中，主要采用学生自主学习、合作学习的方式，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。
总之，本节课旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系，经历知识的形成过程，培养学生的应用意识。
教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，体验到数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段与解决实际问题的重要工具。
课时教学目标1、理解并掌握线段的垂直平分线的性质。
2、经历探索垂直平分线性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察能力。
3、通过在教学中让学生动手操作，培养学生的动手能力。
重点探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质难点探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用性质解答简单的几何问题教法学法指导教具准备教学过程提要环节学生要解决的问题或完成的任务师生活动设计意图引入新课回顾旧知导入新课1、复习线段垂直平分线的概念，叫做这条线段的垂直平分线。
2.轴对称的性质倾听学生对上面问题的回答，揭示课题在106国道某段的同侧，有两个A、B，为了便于两的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？从回顾线段中垂线概念入手，引发学生思考问题的兴趣；激励自主学探索线段垂直平分线性质的问题.教学过程尺规作图猜想并证明线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质的运用探究新知画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
2021年秋季八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
1. 图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 垂直
平分线 ，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所 连线段的 垂直平分线 ．
2. 线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的 距离相等 ．反之，与线 段两个端点距离相等的点也在这条线段的 垂直平分线 上．
4. (2017·河北)如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α ＝ 56 °.
5. 如图，平面直角坐标系中，已知点 A(－2，2)，B(－ 3，－2)，AD∥BC∥x 轴，OA＝OD，OB＝OC，则 S 四边 形 ABCD＝ 20 ．
6. 如图，点 P 关于 OA，OB 的对称点分别为 C，D， 连接 CD，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N，若△ PMN 的周 长为 8 cm，则 CD 的长为 8 cm ．
知识点 线段垂直平分线的性质
1. 如图，直线 EF 垂直平分 BC，且 BD＝5，BF＝4，
则△ BCD 的周长为( C )
A．9
B．14
C．18
D．20
2. 如图所示，线段 AB，AC 的垂直平分线相交于点 P，则 PB 与 PC 的关系是( B )
A．PB＞PC C．PB＜PC
B．PB＝PC D．PB＝2PC
3. 如图，△ ABC 的周长为 30 cm，把△ ABC 的边 AC 对折，使点 C 和点 A 重合，折痕交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 E，连 AD，若 AE＝4 cm，则△ ABD 的周长是 ( A)
A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm
4. 如图所示，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，DE 垂直平分 AB，若 DE＝1 cm， BD＝2 cm，求 AC 的长．
【初中数学】八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2.1线段的垂直平分线的性质和判定教案新人教版
13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定◇教学目标◇【知识与技能】1.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用;2.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.【情感、态度与价值观】在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.◇教学重难点◇【教学重点】线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.【教学难点】线段的垂直平分线判定定理的证明.◇教学过程◇一、情境导入甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?二、合作探究探究点1线段垂直平分线的性质典例1如图所示,△ABC中,AC=5,AB=6,BC=9,AB的垂直平分线交BC于点D,则△ACD 的周长是()A.11B.14C.15D.20[解析]∵MN是AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴△ACD的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=14.[答案] B探究点2过一点作已知直线的垂线典例2已知直线上一点P,过点P作直线的垂线.[解析]如图,以点P为圆心,合适长为半径,画弧与直线交于两点,分别以这两点为圆心,同样长度为半径,画弧,交于点C,过点C,P做直线即可.探究点3垂直平分线的应用典例3如图,兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在()A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点[解析]猎狗到△ABC三个顶点的距离相等,则猎狗应蹲守在△ABC的三条垂直平分线的交点.[答案] A三、板书设计线段的垂直平分线垂直平分线◇教学反思◇本节是线段的垂直平分线的性质的教学,在教学中要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得出猜想性质以及判定,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学思想方法的强化和渗透,从集合的观点理解线段的垂直平分线.。
新版新人教版2020年八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质1
13．1.2 线段的垂直平分线的性质(1)1．理解线段垂直平分线的性质和判定，并会运用此性质解决问题．2．会用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线．重、难点：线段垂直平分线的性质和判定定理的理解与运用．一、自学指导自学1：自学课本P61页“探究”，理解线段垂直平分线的性质与判定定理，完成下列填空．(5分钟)1．如图，l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，则△PAC≌△PBC，PA＝PB.2．如图，PA＝PB，若PC⊥AB，垂足为C，则AC＝BC；若AC＝BC，则PC⊥AB．总结归纳：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(2)与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．(3)线段的垂直平分线是到线段两个端点的距离相等的点的集合．自学2：自学课本P62页“例1”，掌握经过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法．(5分钟)如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．解：①连接AB，AC，BC；②分别作AC，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置．点拨精讲：此题主要运用了作线段垂直平分线解决问题的方法．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P62页练习题1，2.2．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分AB小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，AB ＝AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，若△ADB 的周长为18，求DC 的长．解：∵DM 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，设CD 的长为x ，则AD ＝AC －CD ＝8－x ，∵C △ADB ＝AB ＋AD ＋BD ＝8＋(8－x)＋(8－x)＝18，∴x ＝3，即CD 的长为3 cm .点拨精讲：由线段垂直平分线的性质得AD ＝BD 进而求解．探究2 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE ⊥AB 于E ，DC ⊥AC 于C ，求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．证明：∵AD 平分∠BAC，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝CD ，∴点D 在CE 的垂直平分线上．在Rt △AED 与Rt △ACD 中，∵A D ＝AD ，DE ＝DC ，∴Rt △AED ≌Rt △ACD(HL )，∴AE ＝AC ，∴点A 在CE 的垂直平分线上，∴直线AD 是CE 的垂直平分线．点拨精讲：证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分线的方法2即线段垂直平分线的判定方法．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF ＝12，BF ＝3，则BC ＝15.2．如图，直线AD 是线段BC 的垂直平分线．求证：∠ABD＝∠ACD.证明：∵直线AD 是线段BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC ，DB ＝DC.在△ABD 与△ACD 中⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SSS )，∴∠ABD ＝∠ACD.3．在锐角△ABC 内一点P 满足PA ＝PB ＝PC ，则点P 是△ABC(D ) A ．三条角平分线的交点B ．三条中线的交点C ．三条高的交点D ．三边垂直平分线的交点(3分钟)线段的垂直平分线的性质和判定有时是交叉使用，线段垂直平分线的性质是证明线段相等的常用定理．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)1、在最软入的时候，你会想起谁。
八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分
八年级数学上册第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定练习2（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定练习2（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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AED C A B 13.1。
2 线段的垂直平分线的性质第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定1.选择题:⑴在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC （ )A.三条角平分线的交点B 。
三条中线的交点C 。
三条高的交点D 。
三边垂直平分线的交点⑵△ABC 中，AC ＞BC ，边AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，已知AC=5,BC=4,则△BCD 的周长是（ )A.9 B 。
8C.7 D 。
6⑶平面内到不在同一条直线的三个点A 、B 、C 的距离相等的点有( ）A 。
0个B 。
1个C 。
2个D 。
3个2.填空题：⑴如下图，△ABC 中，AB=AC=14cm,D 是AB 的中点，DE ⊥AB 于D 交AC 于E ，△EBC 的周长是24cm ，则BC=_________．行的两条线段AB 、B A ''关于直线l 对称,AB 和⑵互不平B A ''所在直线交于点P ，下面结论：①AB=B A ''；②点P在直线l 上；③若点A 、A '是对称点，则l 垂直平分线段A A '；④若点B 、B '是对称点，则PB=B P '，其中正确的有 （只填序号）.3。
八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质课件
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3.如果两个图形成轴对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段
的
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4.轴对垂称直图平形分的线对称轴是任何一组对称点所连线段
的
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垂直平分线
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学前温故
(wēn ɡù)
新课早知
快乐预习感知
5.在下列图形中,点A与点B,点P1与点P2是否(shì fǒu)关于直线l对称?
MN
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对称
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关闭
答答案案(dá
àn)
4.画出所给各图的对称轴.
1
2
3
4
5
6
轻松尝试应用
关闭
如图.
根据对称图形的性质可知,这几个图形的对称轴分别有 2 条、1关闭
条、3 条.
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解析解(j析iě xī) 答答案案(dá
àn)
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1
àn)
1
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轻松尝试应用
2.下列图形(túxíng)中,不一定是轴对称图形的是( ). A.直角 B.线段 C.直角三角形 D.圆
C
12/13/2021
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关闭
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轻松尝试应用
3.如图,如果AA',BB'都被MN垂直平分,那么(nàme)AB和A'B'关于直线
即DE+(BE+BD)=24,①
(AB+BC+AC)-(AE+DE+DC+AC)=12, 即(BE+BD)-DE=12,②
八年级数学上册 第13章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2《线段的垂直平分线的性质》课件
点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对
应点(yīnɡ diǎn)，作出对应点(yīnɡ diǎn)所连线段的垂直平分线， 就得到此图 形的对称轴．
第二十页，共三十页。
作轴对称图形(túxíng)的对称 轴
如图中的五角星，请作出它的一条(yī tiáo)对称轴.
垂直平分线上呢？
P 点P 在线段(xiànduàn)AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A C
B
第十页，共三十页。
探索并证明(zhèngmíng)线段垂直平分线的 判定
证明：过点P 作线段(xiànduàn)AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
对称轴是什么？
第二十七页，共三十页。
课堂练习
5 练习(liànxí) 如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？
画出它的对称轴．
A
B
C
D
第二十八页，共三十页。
课堂(kètáng) 小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？
（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？ （4）作线段的垂直平分线的依据是什么？举例说明
C
D
E
AK
B
F
大家(dàjiā)拿出圆规和直尺，按照教材中的作法一起来 做一做
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作线段(xiànduàn)的垂直平 分线
轴对称的性质(xìngzhì)是什么？ 说一说 线段垂直平分线的性质． 如何判断一条(yī tiáo)直线是否是线段的垂直平分线？
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13.1.2线段的垂直平分线的性质
第1课时线段的垂直平分线的性质和判定
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用;
2.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.
【过程与方法】
经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
【情感、态度与价值观】
在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.
【教学难点】
线段的垂直平分线判定定理的证明.
◇教学过程◇
一、情境导入
甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?
二、合作探究
探究点1线段垂直平分线的性质
典例1如图所示,△ABC中,AC=5,AB=6,BC=9,AB的垂直平分线交BC于点D,则△ACD 的周长是()
A.11
B.14
C.15
D.20
[解析]∵MN是AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴△ACD的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=14.
[答案] B
探究点2过一点作已知直线的垂线
典例2
已知直线上一点P,过点P作直线的垂线.
[解析]如图,以点P为圆心,合适长为半径,画弧与直线交于两点,分别以这两点为圆心,同样长度为半径,画弧,交于点C,过点C,P做直线即可.
探究点3垂直平分线的应用
典例3
如图,兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在()
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三个角的角平分线的交点
C.三角形三条高的交点
D.三角形三条中线的交点
[解析]猎狗到△ABC三个顶点的距离相等,则猎狗应蹲守在△ABC的三条垂直平分线的交点.
[答案] A
三、板书设计
线段的垂直平分线
垂直平分线
◇教学反思◇
本节是线段的垂直平分线的性质的教学,在教学中要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得出猜想性质以及判定,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学思想方法的强化和渗透,从集合的观点理解线段的垂直平分线.。