带电粒子在非均匀电磁场中的运动分析

题目：带电粒子在非均匀电磁场中的运动分析目录1.引言： (1)2.静带电粒子在均匀，恒定磁场中的运动 (1)3.带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动 (2)3.1带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动的分析 (2)3.2带电粒子在均匀电磁场中的运动微分方程 (2)4.带电粒子在非均匀，恒定磁场中的运动 (5)5.带电粒子在非均匀磁场中的几种漂移 (6)5.1梯度漂移 (6)5.2曲率漂移 (8)6．结论 (9)7．叁考文献： (10)8.致谢 (11)带点粒子在非均匀电磁场中的运动摘要：本文中论述带电粒子在均匀电磁场中的运动情况，并对带电粒子在非均匀电磁场中的运动进行较深刻的讨论，及推导带电粒子在非均匀磁场中运动时的漂移速度。

关键词：带电粒子;电场;磁场;漂移速度新疆师范大学2012届本科毕业论文1.引言：在很多等离子体的应用中, 都涉及到磁场对等离子体的作用. 因此, 研究带电粒子在非均匀磁场中的运动, 对于研究等离子体的应用是很有必要的. 大家知道带电粒子在均匀恒定磁场中的运动由两部分组成：一部分是沿磁感应线的(纵向)匀速直线运动; 另一部分是环绕磁感应线的( 横向)匀速圆周运动. 这两部分合起来就是使带电粒子沿磁感应线作螺旋运动. 在非均匀恒定磁场中,会发生洛伦磁力方向上的漂移，还会发生一种垂直于磁场方向的漂移。

2.静带电粒子在均匀，恒定磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动，受lorentz 力的作用，其运动方程： B v q a m ⨯= (1) 在磁场B 均匀，恒定条件下，垂直于B 的速度分量v ⊥受到与B 和v ⊥都垂直的恒力qv B ⊥的作用，使带点粒子在垂直于B 的平面内以v ⊥作匀速圆周运动，圆半径为 L r =mv qB⊥(2) L r 称为回旋半径或Larmor 半径，圆周运动的角速度为L ω=v r ⊥⊥= m qB （3）L ω称为回旋圆频率(Larmor 频率)。

平行于的速度分量//υ不受力，使带电粒子沿的方向即沿磁力以υ作匀速直线运动。

因此，带电粒子在均匀恒定磁场中的运动轨迹是以磁力线为轴的等距螺旋线，螺距为 h =//L v T =//2mv qBπ （4） L T =2Lπω=2Lr v π⊥（5）其中L T =2Lπω=2r v π⊥⊥称为回旋周期或Larmor 周期。

可以看带电粒子均匀磁场中的运动时，它的周期与轨道半径成正比，在恒定的周期内轨道半径与速度成正比，利用这个规律可以使电子加速。

3.带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动3.1带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动的简单解释如果除了均匀恒定磁场外，还存在着均匀恒定电场或其他非电磁力，或者，如果磁场给均匀，不恒定，则带电粒子运动的重要特征是出现漂移即引导中心除了沿磁力线的运动外，还有垂直磁力线的运动，或者称为漂移。

3.2带电粒子在均匀电磁场中的运动分析如图1所示,在三维直角坐标系o x y z 中,磁感应强度 k zB =B , 电场强度为k E j E E Z y+= 。

当 t=0 时，一质量为m ，电量为q 的带电粒子从坐标原点0经过，速度为k v j v i v v z y x0000++=。

在不考虑重力作用情况下，带电粒子在任意时刻t 所受到的合外力为k k v j v i v q k qE j qE v q E q F z z y x z yB ⨯++++=B ⨯+=)()(k qE j v E q i qv Z z x y z y+B -+B =)( 根据牛顿第二运动定律，粒子的运动微分方程为22y z q B d x dt mυ= （6）m v E q dt yd z x y )(22B -= (7) 图1m qE dt z d z =22 (8)初始条件为,00==t x00==t y 00t z ==00x t xv v == 00y t y v v == 00z t zv v ==求解微分方程根据式（6）得dtdv q m dt x d q m v xz z y B =B =22 (9)将式（9）两边对时间求一阶导数得22dt v d q m dt dv x z yB = (10)将式（10）代入式（7）得022222=B -⎪⎭⎫⎝⎛B +m E q v m q dt v d y z x z x0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B -⎪⎭⎫ ⎝⎛B +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B -z y x z z y x E v m q E v dt d 这是一个二阶常系数线性微分方程，方程的解为t mzq c t m q c E v z zy x B +B +B =cos sin21 (11) 再进行积分为t mq q m c t m q q m c c t E x z z z z x zy BB +B B -+B =sin cos 210 (12) 将式（11）代入式（7）得t mq c t m q c v z z y B-B =s i n c o s21 (13) t mq q m c t m q q m c c y z z z z y B B +B B +=cos sin 210 (14) 将初始条件 00==t x ，00==t y ，00x t xv v ==，00y t yv v ==代入式（12）~（14） 得zy x q mv c B =00， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B -B -=z y x zy E v q m c 00 ，01y v c =， zy x E v cB -=02t m q E v q mt m q q mv q mv t E x z z y x z z z y z y z y B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B -B +B B -B +B =sin cos 000 (15)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B -B -B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B -B +B B =z y x z z z y x zz zy E v q mt m q E v q mt m q q mv y 000cos sin(16)根据式（8）和初始条件0t z = = 0，00zz t v v ==得2012z z qE z v t t m=+ (17)式（15），（16）和（17）即为带电粒子在均匀电磁场中的运动方程。

根据以上分析得到的结果，在一般的情况下，带电粒子在均匀电磁场中的运动可以看成是3个运动的合运动。

其中在Z 轴上是一个匀加速直线运动；在 x y 平面上是一个匀速圆周运动和一个沿x 轴的匀速直线运动。

图2中所示的螺旋曲线是一般情况下带电粒子的运动轨迹。

图.2在一些特殊条件下，带电粒子可能只叁与以上3个运动中的一到两个运动，下面我们将分几种不同的情况进行讨论。

（1） 如果空间电场和磁场的方向互相平（0=y E ），且带电粒子在x y 平面上的分速度不为零，则粒子的运动可以看成是两个运动的合成，既在z 轴方向的匀加速直线运动和在x y 平面上的匀速圆周运动。

其运动轨迹如图3所示。

（2） 如果空间电场和磁场的方向互相平（0=y E ），且带电粒子在x y 平面上的分速度为零，则粒子只有一个运动，既 沿 z 轴方向的匀加速直线运动。

（3） 如果空间电场和磁场的方向互相垂直（0=z E ），带电粒子在z 轴上的分速度不为零，则粒子的运动仍然是3个运动的合成。

其中在z 轴 上的运动为一匀速直线运动；而在x y 平面上还是一 个匀速圆周运动和一个沿x 轴的匀速直线运动。

其运动轨迹如图4所示 图.3（4）如果空间电场和磁场的方向互相垂直（0=z E ），且带电粒子在z 轴上的分速度为零，则粒子的运动可以看成是两个运动的合成。

既在x 轴方向的匀速直线运动和而在x y 平面上的匀速圆周运动。

其运动轨迹如图5所示。

（5） 如果空间电场和磁场的方向互相垂直（0=z E ）， 图.4带电粒子在y 轴和z 轴上的分速度为零，且在 x 轴上的分速度为i E v zy x B =，则粒子只有一个运动。

既沿x 轴方向的匀速直线运动。

图.54.带电粒子在非均匀，恒定磁场中的运动以磁场中所考察的那一点作为坐标原点建立直角坐标系, 令 z 轴与原点上B 的方向重合, 于是()0x B = ()0y B = 0，()0z B =B由于磁场随空间缓慢地变化, 所以在原点附近除了有 B z 分量以外, 还将出现其它的分量. 每一个分量都 可随三个坐标 x , y , z 中的任一个而改变, 所以需要9 个偏导数才能完全确定磁场在一点的空间变化率; 换句话说, 为了描述磁场的不均匀性, 需要引入一个二阶张量磁场的空间梯度B ,把它写成矩阵形式就是:B ∇ = y x z y xz y x z B B B x x x B BB y y B B B zzz ∂⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦5.带电粒子在非均匀磁场中的几种漂移5.1梯度漂移令 z 轴平行于磁场, 设磁场随 x 而改变, 且xB∂∂ > 0. 在图6 中, 一个正粒子将沿顺时针方向绕磁感应线 旋转. 当它画上半部分轨道时, 总是由弱场地点向强场地点运动, 回旋半径会越来越小; 相反地, 在画下半部 分轨道时, 则由强场地点向弱场地点运动, 回旋半径会越来越大. 这样一来, 引导中心就会产生一个沿 y 轴向 上的漂移. 对于负粒子来说, 因为回旋方向与正粒子相反, 所以将沿着 y 轴向下漂移图 .6图.7现在来求磁场梯度引起的漂移速度 DEG v . 从粒子回旋轨道的对称性看到, 粒子每完成一个回旋时, 它在x 方向的力学状态(坐标、动量) 就恢复原状, 就是运动方程().()y xm v qv B q v B x =⨯=⨯ (18) 在一个回旋上, 例如图 6 的 1、2 两点之间, 积分将等于零, 即21x t v dt t ⎰ = ()21y t q v B x dt m t ⎰ = ()dy t t x B m q ⎰21= 0 (19) 这里 t 1 , t 2 是粒子经过1 、2两点的时间, y 1 , y 2 是两点的 y 坐标. 把B ( x) 对原点作泰勒展开, 略去高次项以后，有 ()x B = B +x xB∂∂ (20) 其中 B 是原点处的磁感强度. 以式(19) 代入式(20) , 整理后可得:2122111y y BB y y xdy r B xB xπ∂∂-=-=∂∂⎰ (21) 其中 21y y -表示在一个回旋周期c T = 2cπω内引导中心沿y 方向的位移. 计算上式右方时, 假设xBB ∂∂1是合缓变条件 | c r ·∇B | < < B 的小量, 粒子回旋轨道可近似看成圆, 因此积分∫⎰y y dy 21等于拉莫尔圆所围面积- πr 2c , 这里负号是因为正粒子拉莫尔圆所围面积按右手螺旋规则应为负值。