函数的简单性质
函数的简单性质-单调性
求最值
求函数最大值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最大值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最小值。
求函数最小值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最小值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最大值。
对于函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$，其导数为$f'(x) = 3x^{2} - 6x$。要使$f(x)$在区间$( - infty,a)$上是 增函数，需要满足$f'(x) > 0$，即$3x^{2} - 6x > 0$， 解得$x < 0$或$x > 2$。因此，当$a < 0$或$a > 2$ 时，函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$在区间$( infty,a)$上是增函数。
反例应用
在研究经济发展时，需要考虑到各种因素对经济的影响，包括政策、技术、人口等。通过 找到单调性的反例，可以更全面地了解经济发展的实际情况，为政策制定提供更有针对性 的建议。
06 习题与解答
习题
判断函数$f(x) = x^{2} - 2x$在 区间$( - infty,a)$上是减函数的
条件是什么？
单调性与奇偶性的关系
总结词
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，而单调性是指函数值随自变量变化的 趋势。虽然奇偶性和单调性是函数的两种不同性质，但它们之间也存在一定的关系。例 如，奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，因此奇函数在对称轴两侧的单调性是一致
的。
详细描述
对于奇函数，如果它在某个区间内单调递增，那么它在该区间内关于原点对称的区间内 也单调递增；同样地，如果奇函数在某个区间内单调递减，那么它在该区间内关于原点 对称的区间内也单调递减。而对于偶函数，由于其图像关于y轴对称，因此偶函数在任
常用函数的象和性质
常用函数的象和性质函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域中。
在数学中，我们常常需要通过函数的象来研究函数的性质。
本文将介绍几种常用函数的象和性质，帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，形式为f(x) = ax + b，其中a、b为常数，且a不等于0。
线性函数的象是全部实数集R，即f(x)的取值范围是全体实数。
线性函数的性质如下：1. 斜率：线性函数的斜率为常数a，表示函数图像的倾斜程度。
斜率为正时，函数图像向上倾斜；斜率为负时，函数图像向下倾斜。
2. 截距：线性函数的截距为常数b，表示函数图像与y轴的交点。
截距为正时，函数图像在y轴上方；截距为负时，函数图像在y轴下方。
3. 单调性：线性函数的单调性与斜率的正负有关。
当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
二、二次函数二次函数是一类常见的函数，形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的象取决于a的取值。
1. 当a>0时，函数图像开口向上，象是一条抛物线的上半部分。
函数的最小值为c，即f(x) >= c，c为二次函数的顶点坐标。
2. 当a<0时，函数图像开口向下，象是一条抛物线的下半部分。
函数的最大值为c，即f(x) <= c，c为二次函数的顶点坐标。
3. 对称性：二次函数的图像关于顶点对称。
即若点(x,y)在图像上，则点(2a-x,y)也在图像上。
三、指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a>0且a≠1。
指数函数的象和性质取决于底数a的取值。
1. 当0<a<1时，函数图像递减，趋近于x轴上的正半轴。
函数的象是(0,正无穷)，即正数的全体。
2. 当a>1时，函数图像递增，趋近于x轴上的负半轴。
函数的象是(负无穷,正无穷)，即实数集R。
3. 性质：指数函数有如下重要性质：- a^0 = 1，即任何数的0次幂等于1。
常用函数的性质和应用
常用函数的性质和应用函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在数学中，函数是从一个集合到另一个集合的映射关系，它将每一个输入值映射到唯一的输出值。
常用函数具有一些特定的性质和应用，下面将对几个常用函数的性质和应用进行探讨。
一、线性函数线性函数是函数中最简单且最基础的一种类型。
它的定义可以表达为f(x) = ax + b，其中a和b是给定的常数。
线性函数的性质有以下几点：1. 一次函数: 线性函数也称为一次函数，因为它的最高次项的指数为1。
2. 直线特征: 线性函数的图像是一条直线，具有线性关系。
通过两个不同的点，就可以唯一确定一条直线。
3. 恒定斜率: 不同的线性函数可能具有不同的斜率，但在函数的定义域中，斜率是一个常数。
线性函数的应用非常广泛，比如在经济学中，用于描述供求关系、成本函数等；在物理学中，用于描述直线运动的速度、时间关系；在工程学中，用于建立线性电路的分析模型等。
二、指数函数指数函数是以一个正实数a为底数的函数，表达式为f(x) = a^x。
指数函数的性质如下：1. 多样增长趋势: 指数函数的图像可以呈指数增长或指数衰减的趋势。
2. 渐进性: 当x趋向正无穷时，指数函数趋于正无穷；反之，当x趋向负无穷时，指数函数趋于0。
3. 递增或递减性: 当底数a大于1时，指数函数递增；当底数a小于1时，指数函数递减。
指数函数在自然科学、经济学等领域中有广泛的应用。
比如在生物学中，用于描述生物群体的增长模型；在金融学中，用于计算复利的增长；在物理学中，用于描述一些衰变过程等。
三、对数函数对数函数是指数函数的反函数，对数函数可以表示为f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数。
对数函数的性质如下：1. 反函数关系: 对数函数和指数函数互为反函数，即logₐ(a^x) = x。
2. 变化的增长速度: 对数函数的增长速度随x的增大而减小，也就是说，对数函数的斜率随着自变量的增加而逐渐减小。
3. 特殊底数的用途: 常用的底数是10和e(自然对数的底数)，对数函数能够方便地将复杂的指数运算转化为简单的乘法和加法运算。
小学数学知识归纳认识简单的函数和函数的性质
小学数学知识归纳认识简单的函数和函数的性质小学数学知识归纳：认识简单的函数和函数的性质函数是数学中的重要概念，它在解决实际问题和数学推理中具有重要作用。
在小学数学中，我们开始认识简单的函数和函数的性质。
本文将简要介绍小学阶段数学中与函数相关的知识点，以帮助学生对函数的理解和运用。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素对应起来。
在数学表示中，可以用两个小括号表示函数，例如：f(x)。
其中，f代表函数名，x代表自变量，f(x)代表因变量。
二、函数的性质函数具有以下重要的性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量取值的范围，即函数能接受哪些输入；值域是函数的所有可能输出值的范围。
通过定义和观察函数的定义域和值域，可以帮助我们理解函数的特点和运用。
2. 单调性：函数的单调性指函数的增减趋势。
当函数随着自变量的增大而增大时，我们称之为递增函数；当函数随着自变量的增大而减小时，我们称之为递减函数。
通过观察函数的单调性，我们可以推断函数的图像和性质。
3. 奇偶性：函数的奇偶性可以根据函数关系式的对称性来确定。
当函数关系式中只包含偶次幂项（如x²）时，函数是偶函数；当函数关系式中只包含奇次幂项（如x³）时，函数是奇函数。
了解函数的奇偶性有助于简化计算和推算。
4. 对称性：函数的对称性指函数图像关于某条直线或某个点的对称性。
常见的对称包括x轴对称、y轴对称和原点对称。
通过观察函数的对称性，我们可以推断出函数的性质并简化计算。
5. 零点和极值：函数的零点是使得函数值为零的自变量取值，也就是函数图像与x轴相交的点。
函数的极值指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
通过求解函数的零点和极值，可以帮助我们揭示函数的特点和应用。
三、函数的实际运用函数作为一种数学工具，在实际生活和其他学科中具有广泛的应用。
以下是小学阶段常见的函数的实际运用：1. 函数图像的解读：通过观察函数图像，我们可以了解到函数的单调性、奇偶性、对称性等性质，进而推断函数的特点和应用。
函数的所有性质
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3xy =在)1,1[-上不是奇函数常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且① 总有则称在区间M 上单调递增② 总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二） 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
高中数学第二章函数-函数及其性质(竞赛精讲)
第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。
（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。
若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。
（3） 若函数满足()(2)f x f ax =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。
（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。
2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。
判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。
3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。
若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。
（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。
（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。
（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。
函数的概念和性质
函数的概念和性质函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学的各个领域都有广泛的应用。
作为一位初中数学特级教师，我将在本文中详细介绍函数的概念和性质，并举例说明其在实际生活中的应用。
1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
简单来说，函数就是一种对应关系，它将自变量的取值映射到因变量的取值上。
例如，我们可以定义一个函数f(x)，表示一个人在不同时间下的体重变化。
这里，x表示时间，f(x)表示对应时间下的体重。
函数f(x)将时间映射到体重上，每个时间对应一个唯一的体重值。
2. 函数的性质函数有一些重要的性质，我们需要了解并掌握它们。
2.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
在函数中，自变量的取值必须属于定义域，而函数的值则属于值域。
举个例子，如果我们定义一个函数f(x)，表示一个人的年龄与身高的关系。
那么定义域就是人的年龄范围，而值域则是人的身高范围。
2.2 单调性函数的单调性描述了函数图像的变化趋势。
一个函数可以是递增的、递减的或者既递增又递减的。
例如，我们可以定义一个函数g(x)，表示一个人在不同年龄下的学习成绩。
如果学习成绩随着年龄的增长而增加，那么函数g(x)就是递增的。
2.3 奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像的对称性。
一个函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
举个例子，我们可以定义一个函数h(x)，表示一个人的收入与工作时间的关系。
如果收入随着工作时间的增加而增加，并且关于原点对称，那么函数h(x)就是偶函数。
3. 函数在实际生活中的应用函数在实际生活中有着广泛的应用，我们可以通过一些例子来说明。
3.1 距离与时间的关系假设一个人以固定的速度行走，我们可以定义一个函数d(t)，表示行走的距离与时间的关系。
这个函数是一个线性函数，斜率表示行走的速度。
通过这个函数，我们可以计算出不同时间下的行走距离，从而帮助我们规划行程或者估算到达目的地所需的时间。
函数概念及性质简单总结
函数概念及性质简单总结
函数的简单定义是一种特殊的等式，它满足一定的关系，可以将其中
一种输入值（自变量）映射到另一种输出值（因变量）。
通俗的讲，就是
一种把输入值转换成另一种输出值的函数关系，它的性质包括：（1）函数的定义域：它定义函数的自变量所取值的范围；
（2）函数的值域：是函数的因变量取值的范围；
（3）函数的可行性：当自变量属于函数的定义域内时，函数是可行的；
（4）函数的单调性：函数值是否随着自变量的变化呈单调增加或单
调减少的性质；
（5）函数的奇偶性：函数图形是否是对称的性质；
（6）函数的凹凸性：函数在其中一点的取值是否有最大值或最小值；
（7）函数的极值：函数的值可能取到的最大值或最小值；
（8）函数的有界性：函数的值是否趋向于一些有界的值；
（9）函数的微分性：函数在其中一点是否有可微分的性质；
（10）函数的紧致性：函数的值是否紧致，即函数的值是否不断变化，但不可能跳变；
（11）函数的可逆性：函数的值是否可以由自变量值反推得出的性质；
（12）函数的可组合性：函数是否可以把多个函数组合成一个函数；
（13）函数的可继承性：函数的值是否可以继承另一个函数的值；。
函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法
函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法1．函数：⑴函数：一般地，设,A B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么，这样的对应叫做A B 到的一个函数，通常记为：(),y f x x A =∈其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域。
⑵值域：若()A y f x =是函数的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对立，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域。
⑶列表法、解析法、图象法是函数的常用方法：用列表法表示函数关系，不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少；用解析法表示函数关系，便于用解析式研究数的性质；而用图象法表示函数关系，可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况。
2．函数的简单性质：⑴单调性：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ＜那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜，都有12()()f x f x ＞那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间。
⑵最大值及最小值：一般地，设()y f x =的定义域为A ，如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有 0()()f x f x ≤那么称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有0()()f x f x ≥那么称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =⑶奇偶性：①对于函数2()f x x =，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等。
函数的定义和性质有哪些
函数的定义和性质有哪些函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f。
数学的函数的性质定义是学考情况的基础考点。
下面是小编给大家带来的数学函数的定义和性质，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!初中数学知识点：函数定义和性质1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
2.1.3_函数的简单性质(2)
情境问题：
复述函数单调性的定义．
1、对于函数f(x)的定义域I内某个区间
上的任意两个自变量的值x1 , x2
⑴若当x1 < x2 时，都有 ⑵若当x1< x2 时，都有
f (x1) < f (x2)
,
则说f(x)在这个区间上是增函数；
f (x1) > f ( x2)
,
则说f(x)在这个区间上是减函数.
a
O c b x
数学应用：
变式：已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a， c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b] 时，f(x)是单调增函数．试 证明：f(x)在x＝c时取得最小值． y c a O
b
x
数学应用：
1．函数y＝ x＋ 1 (x∈[0，3])的值域为__________．
天气温的变化范围是什么呢？
/℃ 10
6 2 O 2 10
24 20
t/h
最高气温为9℃，在14时取得；最低气温为－2℃，在4时取得； 该天气温的变化范围为[－2，9]．
数学建构：
一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在定值x0∈A，使得对任意 x∈A， f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为y ＝ f(x)的最大值，记为ymax＝ f(x0)．
1 (2) g(x) ＝ ，x[1，3]． x
二次函数的最值； 求f(x)＝－x2＋2x在[0，10]上的最大值和最小值． 不间断函数y＝f(x)在闭区间上必有最大值与最小值．
数学应用：
如图，已知函数y＝f(x)的定义域为[－4，7]，根据图象，说出它的最 大值与最小值． y 5 4 3 －1 －4 O －1 3 －2 5 7 x
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
函数的概念与性质
函数的概念与性质函数是数学中一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将就函数的概念、性质以及其在不同数学分支中的应用进行探讨。
一、函数的概念函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个数集之间的关系。
一般来说，我们将函数定义为一个变量集合到另一个变量集合的映射。
具体地说，如果对于每一个自变量的取值，都能够唯一地确定一个因变量的取值，那么我们就可以说这是一个函数。
函数通常用f(x)的形式来表示，其中x代表自变量，f(x)代表函数对应的因变量。
例如，我们可以定义一个简单的函数f(x)，使得f(x)等于x的平方。
在这个例子中，x是自变量，而f(x)是因变量。
二、函数的性质函数具有许多重要的性质，这些性质能够帮助我们更好地理解和应用函数。
1. 定义域与值域：函数的定义域是所有可能作为自变量的取值的集合，而值域则是所有可能作为因变量的取值的集合。
函数的定义域和值域可以帮助我们确定函数的范围和特性。
2. 单调性：函数可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
如果对于定义域中的任意两个不同的自变量x₁和x₂，有f(x₁) ≤ f(x₂)成立，那么我们就可以说函数是单调递增的；如果对于定义域中的任意两个不同的自变量x₁和x₂，有f(x₁) ≥ f(x₂)成立，那么我们就可以说函数是单调递减的。
3. 奇偶性：函数可以是奇函数或者偶函数。
如果对于任何自变量x，有f(-x) = -f(x)成立，那么我们就可以说函数是奇函数；如果对于任何自变量x，有f(-x) = f(x)成立，那么我们就可以说函数是偶函数。
4. 极值与最值：函数可以有极大值和极小值，我们将极大值和极小值统称为极值。
最大值和最小值则是函数在定义域内的最大和最小的因变量值。
三、函数的应用函数在数学的各个领域中具有广泛的应用。
1. 微积分：函数在微积分中扮演着重要的角色，通过对函数的求导和积分，我们可以进行函数曲线的研究，得到函数的斜率、最值等重要信息。
简单函数的性质与应用
简单函数的性质与应用函数是数学中的基本概念之一，它描述了两个集合之间的映射关系。
在数学中，函数有很多种类，有些函数具有特殊的性质和应用。
本文将介绍一些常见的简单函数的性质和应用。
1. 定义函数函数的定义是数学中最基本的概念之一。
一个函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则。
函数通常用符号表示，如f(x)或y= f(x)。
在函数定义中，自变量和因变量可以是任何集合中的元素，如实数集、整数集、复数集等。
函数可以有不同的定义域和值域，其中定义域是自变量可以取值的集合，值域是函数的结果可以取值的集合。
2. 奇偶函数奇函数和偶函数是具有特殊性质的函数。
奇函数的性质是f(-x) = -f(x)，即函数图像关于y轴对称。
例如，f(x) = x^3是一个奇函数。
偶函数的性质是f(-x) = f(x)，即函数图像关于原点对称。
例如，f(x) = x^2是一个偶函数。
奇函数和偶函数可以通过对称性质简化计算，并在某些数学问题中起到重要的作用。
3. 单调性单调性描述了函数在定义域内的变化趋势。
一个函数在某个区间内是单调递增的，如果当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)。
类似地，一个函数在某个区间内是单调递减的，如果当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)。
例如，f(x) = x^2是在非负实数集上的单调递增函数，而f(x) = -x^2是在实数集上的单调递减函数。
单调性在优化问题和不等式求解中有广泛应用。
4. 周期性周期性是函数具有重复性质的一种特殊性质。
一个函数f(x)是周期函数，如果存在正数T满足对于所有x，有f(x+T) = f(x)。
周期函数中最常见的是三角函数，如正弦函数和余弦函数。
例如，f(x) = sin(x)和g(x) = cos(x)都是以2π为周期的函数。
周期函数在振动问题、波动问题等领域中有着广泛应用。
5. 反函数反函数是函数中的重要概念之一。
2.1.3函数的简单性质(1)
2.1.3函数的简单性质(1)---单调性一、教学目标1、会用函数图象判断函数是递增还是递减。
2、理解函数单调性，能判别或证明一些简单函数的单调性3、注意单调性是在函数定义域内或其子集内讨论的二、学习过程第一部分：阅读教材，完成下列问题1、一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆⑴如果对于区间I 内的______两个值1x 、2x ，当21x x <时，都有___________，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调递增函数，I 称为)(x f y =的_____________. ⑵如果对于区间I 内的_____两个值1x 、2x ，当21x x <时，都有____________，那么就说)(x f y =在区间I上是单调递增函数，I 称为)(x f y =的_____________. 2、如果函数)(x f y =在区间I 上是单调递增函数或单调递减函数，那么就称)(x f y =在区间I 上具有___________。
函数的单调递增区间函和单调递减区间统称为__________________。
第二部分：例题自学例1、画出下列函数图像，并指出单调区间：⑴、22+-=x y ； ⑵11+=x y ⑶12-=x y例2、⑴求证：函数111--=x y 在区间()1,∞-是单调减函数； ⑵求证：函数x x y +-=2在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,是单调增函数；总结：证明函数的单调性的步骤是什么？第三部分：练习1、函数b x k k x f ++-=)23()(2在R 上是减函数，则k 的取值范围___________; 2、函数122-+=x x y 的单调递减区间____________________3、函数⎩⎨⎧<>=)0.....()0.....(2x x x x y ，则函数单调递减区间____________________,单调递增区间_____________________;4、画函数图像，指出单调区间⑴、22-=x y ⑵x x y 1+=5、32)(2+-=mx x x f 在[)∞+-，2上是增函数，在(]2-∞-，上是减函数，是比较)1(-f 与)1(f 的大小7、求证：函数)0(,3<+=a b ax y 在R 上为减函数8、求函数13+--=x x y 的单调减区间.。
函数的简单性质-课件
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(2)当0＜a＜4时，当且仅当x ＝a时，f (x)取得最小值， f (x)min＝ f (a)＝－a2．
(3)当a≥4时，f (x)在区间[0，4]上单调递减， f (x)min＝ f (4)＝ 16－8a ．
记f (x)在区间[0，4]上的最小值为g (a) ，则
0， a≤0， g (a)＝ －a2， 0＜a＜4，
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 7:51:33 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
f(x)在x＝c时取得最大值．
y
a
O
c
b
x
数学应用：
例2．已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c] 时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b] 时，f(x)是单调减函数．试证明：
f(x)在x＝c时取得最大值．
y
a
O
c
b
x
数学应用：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D )
栏 目 链 接
6．一般地，设函数 y＝ f(x)的定义域为 A.如果对于任意的
f(－x)＝f(x) ，那么称函数 y＝f(x)是偶函数； x∈A， 都有___________________ f(－x)＝－f(x) ，那么称函数 y 如果对于任意的 x∈A，都有 ________________
栏 目 链 接
减性；当外层函数 f(t)在[m，n]上为减函数时，复合函数 y＝f[g(x)] 与内层函数 g(x)在[a，b]上有相反的增减性． 即复合函数的单调性具有同增异减的规律．
三、求函数最值的常用方法
函数的最值是指在定义域 A(给定区间 I)上， 函数的最大值 和最小值．求函数最大(小)值的常用方法有： (1)值域法．求出函数 f(x)的值域，即可求其最值(注意必须 确保存在函数值为其最值)． (2)单调性法．通过研究函数的单调性来求函数的最值． (3)特殊函数法．利用特殊函数 (如一次函数、二次函数、 a 反比例函数、函数 y＝x＋x(a＞0)等)的单调性及最值情况来求 其最值．
栏 目 链 接
变式 训练
1．设偶函数 f(x)满足 f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－ 2)>0}＝( )
栏 目 链 接
A．{x|x<－2 或 x>4} B．{x|x<0 或 x>4} C．{x|x<0 或 x>6} D．{x|x<－2 或 x>2}
栏 目 链 接
栏 目 链 接
二、判断函数单调性的方法
判断函数单调性是函数部分常见的问题，通常使用如下方法： (1)定义法． ①利用基本函数的单调性：如一次函数、二次函数、反比例函 数等的单调性，都可用于其他的函数． ②利用函数的基本性质：如 A.y＝f(x)和 y＝－f(x)的单调性相 反；B.当 f(x)恒为正或恒为负时， y＝ 1 和 y＝f(x)的单调性相反； f(x)
＝f(x)是奇函数． 7．如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数 f(x)具有
栏 目 链 接
y轴 奇偶性．偶函数的图象关于 _________________ 对称，奇函数的
原点 图象关于_________________ 对称．
8．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x4； (2)f(x)＝x3； 1 (3)f(x)＝x＋ x.
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1．一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A.如果对于区
f(x1)＜f(x2) ，那么 间 I 内的任意两个值 x1，x2，当 x1＜x2 时，都有_____________
就说 y＝f(x)在区间 I 上是单调增函数， I 称为 y＝f(x)的单调增区间． 当
5 x 2
2
5 49 ＋ ，函数在－∞，2上单调递增，∴函 4
数在(－∞，0)上单调递增．
栏 目 链 接
变式 训练
3．证明函数 f(x)＝－x3＋1(x∈R)为减函数．
栏 目 链 接
变式 训练
解析：在 R 上任取两个变量 x1，x2，且 x1＜x2， 1 3 x2－x1＞0，而 x2＋ x1 与 x1 不同时为零， 2 2 否则 x1＝x2＝0.
栏 目 链 接
当 a＜0 时，f(x2)＞f(x1)，所以 f(x)为增函数． 当 a＞0 时，f(x2)＜f(x1)，所以 f(x)为减函数．
点评： 函数的单调性是函数的重要性质之一， 是 函数在整个定义域或它的子集上的性质， 同一函数在 不同的区间可能有不同的单调性． 在判定函数的单调 性时，要注意 x1，x2 的任意性及范围；在判定 f(x2) －f(x1)的符号时， 要注意把差式化简整理为因式之积 或者是完全平方和等易判断符号的式子为止； 含参数 时，要注意讨论．
答案：(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数
栏 目 链 接
9.观察如图所示的图象，判断相应函数的奇偶性．
栏 目 链 接
答案：(1)奇函数
(2)偶函数
(3)非奇非偶函数 (4)偶函数
栏 目 链 接
一、关于函数单调性的理解
栏 目 链 接
五、判定函数奇偶方法： (1)定义法．若函数的定义域不是关于原点对称的区域， 则立即可判定该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的 定义域是关于原点对称的区域，再判断 f(－x)是否等于± f(x)， f(x) 或判断 f(x)± f(－x)是否等于零， 或判断 是否等于± 1 等等． f(－x)
分析：利用增函数的定义． 证明：设 x1，x2 是(2，＋∞)上的任意两个数，且 x1＜x2，
4 4 则 f(x1)－f(x2)＝ x1＋x － x2＋x 1 2 4 4 － ＝(x1－x2)＋ x x 1 2
栏 目 链 接
4(x2－x1) ＝(x1－x2)＋ x1x2
D )
栏 目 链 接
D．y＝|－x|
3 4．已知函数 f(x)＝x，则下面区间不是递减区间的是 ( A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C )
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
栏 目 链 接
5．设函数 f(x)＝(2a－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有( 1 A．a≥ 2 1 B．a≤ 2 1 C．a＞－ 2 1 D．a＜ 2
栏 目 链 接
(4)若函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A、B 上都是增(减)函 数，一般不能简单认为 f(x)在 A∪B 上是增(减)函数．如认为 f(x) 1 ＝x在 (－∞， 0)∪(0，＋∞)上是减函数，事实上，取 x1＝－ 1＜ 1 ＝x2，有 f(－1)＝－1＜1＝f(1)，不符合减函数定义． (5)函数增减性(单调性)的几何意义，反映在图象上是：若 f(x) 是区间 I 上的增(减)函数， 则图象在 I 上的部分是从左到右上升(下 降)的，如图所示．
栏 目 链 接
(3)x1， x2 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的 x1，x2 有三个特征，三者缺一不可：一是任意性，即“任意取 x1， x2”中的“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两 个特殊值替换；二是 x1 与 x2 之间有大小关系，通常规定 x1＜x2； 三是 x1 和 x2 同属一个单调区间．
栏 目 链 接
ax 例 2 当 a≠0 时，讨论函数 f(x)＝ 2 (－1＜ x －1 x＜1)的单调性．
分析：要判断 f(x)在(－1,1)上的单调性，在(－1,1)上任意取两个 栏 目 自变量 x1，x2，且 x1＜x2，判定 f(x1)与 f(x2)的大小即可．注意 x1， x2 的任意性，切不可选两个特殊值观察取代证明．
(1)函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的．有些函数在 整个定义域内是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是 增函数，而在另一部分区间上是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调
1，x∈Q， 的，如常数函数 y＝c，又如函数 y＝ 0，x∈∁RQ.
栏 目 链 接
栏 目 链 接
C.在公共区间内：增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增 函数等．
(2)图象法． (3)复合函数单调性的判定方法． 设 y＝f(t)，t＝g(x)，x∈[a，b]，t∈[m，n]都是单调函数，则 y ＝f[g(x)]也是单调函数，并且当外层函数 f(t)在[m，n]上为增函数 时，复合函数 y＝ 与内层函数 g(x)在[a，b]上有相同的增
栏 目 链 接
F2(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数．
(4)若 f(x)是偶函数，则 f(x)＝f(|x|)；若 f(x)是奇函数， 且 x＝0 时有意义，则必有 f(0)＝0.
栏 目 链 接
题型一
判定函数的单调性
例1
4 证明函数 f(x)＝x＋x在(2，＋∞)上是增函数．
f(x1)＞f(x2) ，那么就说 y＝f(x)在区间 I 上是单 栏 x1＜x2 时，都有_______________ 目
调减函数，I 称为 y＝f(x)的单调减区间．
链 接
2．一般地，设 y＝f(x)的定义域为 A.如果存在 x0∈A，使得对于
最大值 ， 任意的 x∈A， 都有 f(x)≤f(x0)， 那么称 f(x0)为 y＝f(x)的____________
第2章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2．1 函数的概念和图象 2.1.3 函数的简单性质
栏 目 链 接
1.理解函数的单调性，最大(小)值及其几何意义，能判断 或证明一些简单函数的单调性. 2.了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能证明一 些简单函数的奇偶性. 3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，领会数形 结合和分类讨论的数学思想.
4 ＝(x1－x2)1－x x 1 2
x1x2－4 ＝(x1－x2) ， x1x2 ∵2＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)． 4 ∴函数 f(x)＝x＋x在(2，＋∞)上是增函数． 点评：证明函数单调性严格按(取值—作差—变形—定号)步骤进 行．
栏 目 链 接
四、奇函数、偶函数的概念与图象特征
函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，利用奇 (偶)函数 的对称性， 在函数的两个对称区间上的问题可以转化到一个区 间上处理，根据奇(偶)函数的定义，由函数在原点一侧的解析 式能求得另一侧的解析式；可以根据奇 (偶)函数图象的对称性 作图，奇偶函数的定义域必关于原点对称．
记为 ymax ＝ f(x0) ；如果存在 x0∈A ，使得对于任意的 x∈A ，都有 栏