高中数学 二次函数九种类型
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
它是指一个形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
在二次函数中，x的平方是最高次幂，这也是其与一次函数的主要区别之一。
一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式可以写为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别对应二次、一次和常数项。
如果a>0，那么二次项的系数为正，此时函数的图像开口向上；如果a<0，那么二次项的系数为负，函数的图像开口向下。
二、二次函数的图像特征1. 零点：二次函数的零点即为函数图像与x轴的交点，可以通过解方程ax^2+bx+c=0来求得。
零点有可能是一个，两个或者零个，具体取决于方程的判别式。
2. 导数与凹凸性：二次函数的导数为2ax+b，可以用来研究函数的凹凸性。
当a>0时，导数为正，说明函数是单调递增的；当a<0时，导数为负，函数单调递减。
此外，二次函数的凹凸性由二次项的系数a决定，当a>0时，函数图像是向上凹的；当a<0时，函数图像是向下凹的。
3. 对称轴和顶点：二次函数的对称轴是x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a)，f(-b/(2a))。
对称轴是函数图像的一条轴线，将图像分为两个对称的部分。
顶点则是函数的最低点（对于a>0）或最高点（对于a<0）。
三、二次函数在现实生活中的应用二次函数的应用非常广泛，在各个领域中都有重要作用。
以下为几个常见的应用示例：1. 弹射物的抛物线轨迹：物体在空中受到重力的作用，其运动轨迹可以用二次函数描述。
例如，一个抛出的物体在空中的运动轨迹就是一个抛物线。
2. 路面设计中的起伏：为了确保道路排水畅通，路面设计中通常会有一定的起伏。
这些起伏可以用二次函数来描述，以确保水沿着特定的方向流动。
3. 经济模型中的成本和收益：在经济学中，二次函数也有广泛的应用。
例如，利润函数可以用二次函数来刻画，通过求导可以找到最大利润的产量。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数的基本形式
二次函数的基本形式二次函数是一种常见的数学函数，它的表达式形式为：y = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
本文将介绍二次函数的基本形式，以及相关的性质和应用。
一、基本形式二次函数的基本形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠ 0。
这个形式中，x是自变量，y是对应的函数值。
二、图像特点二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。
其开口方向取决于a的正负性。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, -D/4a)，其中D为抛物线的判别式，即D = b^2 - 4ac。
三、轴对称和顶点二次函数的图像关于x = -b/2a这条直线对称。
这条直线称为二次函数的轴线。
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, -D/4a)。
四、判别式和根的情况对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断根的情况。
1. 当D > 0时，二次函数有两个不相等的实数根。
此时，抛物线与x轴相交于两个点。
2. 当D = 0时，二次函数有且仅有一个实数根。
此时，抛物线与x轴相切于一个点。
3. 当D < 0时，二次函数没有实数根。
此时，抛物线与x轴不相交。
五、导数和凸性二次函数的导数是一次函数，导数表达式为y' = 2ax + b。
根据导数的正负性可以判断二次函数的凸性。
1. 当a > 0时，二次函数在顶点的左侧凹，右侧凸。
2. 当a < 0时，二次函数在顶点的左侧凸，右侧凹。
六、应用示例二次函数的应用非常广泛，以下是一些具体的应用示例。
1. 物体抛射问题：当物体在重力作用下抛射时，其运动轨迹可以用二次函数来描述。
2. 经济学模型：在经济学中，二次函数常被用来建模分析供给、需求、成本等方面的关系。
3. 工程问题：在建筑设计、桥梁设计等工程中，二次函数常用于描述和分析结构物的变形和荷载。
二次函数的三种形式
二次函数的三种形式
二次函数是一类函数，它的定义域为实数集，形式为y=ax^2+bx+c（a≠0）。
二次函数的三种形式分别为：
原式形式：这是最常见的二次函数形式，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）。
在这种形式下，可以直接通过求解二次方程来求解函数的零点。
平移形式：这种形式通常是在原式形式的基础上进行平移得到的。
例如，二次函数y=x^2-2x+1可以通过平移得到y=(x-1)^2。
在平移形式中，函数的零点位置会发生变化。
顶点形式：这种形式的函数一般是通过将原式形式转化为y=a(x-h)^2+k的形式得到的。
在顶点形式中，函数的零点位置也会发生变化，同时会出现一个新的特征点——顶点。
顶点位置由(h,k)表示，表示函数图像的最高或最低点。
在使用二次函数时，我们通常会使用原式形式或顶点形式，因为这两种形式可以直接求出函数的零点或顶点。
但是，在某些情况下，平移形式也是有用的。
例如，在绘制函数图像时，可以使用平移形式来调整函数的位置，使得图像更美观。
总之，二次函数有三种形式，每种形式都有其特定的用途。
在使用二次函数时，我们要根据具体情况选择合适的形式，从而达到我们想要的结果。
高中数学二次函数分类讨论经典例题
高中数学二次函数分类讨论经典例题一、二次函数的定义和基本性质二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，其开口方向取决于a的正负性。
下面将讨论二次函数的分类及其相关的经典例题。
二、二次函数的分类讨论1. a>0的情况：抛物线开口向上当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线。
此时，函数的最值为最小值，且最小值点的横坐标为-b/2b。
例如，考虑函数y=x²+2x+1，其图像为一条开口向上的抛物线，最小值点为(-1,0)。
2. a<0的情况：抛物线开口向下当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线。
此时，函数的最值为最大值，且最大值点的横坐标为-b/2b。
例如，考虑函数y=-x²+2x+1，其图像为一条开口向下的抛物线，最大值点为(1,0)。
3. a=0的情况：一次函数当a=0时，二次函数变为一次函数，即y=bx+c。
此时，函数的图像是一条直线，且不会有最值点。
例如，考虑函数y=2x+1，其图像为一条斜率为2的直线。
三、经典例题1. 求解二次函数的最值例如，求解函数y=x²-4x+3的最值。
首先，可以将该二次函数写成标准形式y=(x-2)²-1，从中可以得知最小值点为(2,-1)。
2. 求解二次函数与坐标轴的交点例如，求解函数y=2x²-5x+2与x轴和y轴的交点。
首先，将y=0代入函数方程得到2x²-5x+2=0，然后可以通过因式分解或者求解一元二次方程的方法求解得到x的值。
进而可以求得函数与x轴的交点。
类似地，可以将x=0代入函数方程得到y的值，从而求得函数与y轴的交点。
3. 求解二次函数的对称轴例如，求解函数y=-x²+4x-3的对称轴。
对称轴是过抛物线最高点（或最低点）的一条直线，其方程可以通过x=-b/2b得到。
对于该函数，对称轴方程为x=-2。
九种类型二次函数
九种类型二次函数二次函数是一种经常出现在数学问题中的函数形式，具有以下一般形式：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是常数，a不能为0，x为自变量，f(x)为因变量。
在此基础上，根据a的正负和二次函数的开口方式，我们可以将二次函数分为以下九种类型，分别是：顶点在上方，开口向上；顶点在上方，开口向下；顶点在下方，开口向上；顶点在下方，开口向下；从坐标原点出发，开口向上；从坐标原点出发，开口向下；两个相等的根；无根；两个不相等的根。
下面将对这九种类型进行详细解析。
类型一：顶点在上方，开口向上这种情况下，a的值为正，表示抛物线开口向上，形状类似于一个U 形。
顶点是函数的最低点，可以通过计算顶点的坐标来确认抛物线的位置。
类型二：顶点在上方，开口向下这种情况下，a的值仍然为正，表示抛物线开口向下，形状仍然类似于一个U形。
顶点是函数的最高点。
类型三：顶点在下方，开口向上这种情况下，a的值为负，表示抛物线开口向上，形状类似于一个倒过来的U形。
顶点是函数的最低点。
类型四：顶点在下方，开口向下这种情况下，a的值仍然为负，表示抛物线开口向下，形状类似于一个倒过来的U形。
顶点是函数的最高点。
类型五：从坐标原点出发，开口向上这种情况下，a的值为正，表示抛物线开口向上，形状类似于一个V 形。
抛物线通过坐标原点。
类型六：从坐标原点出发，开口向下这种情况下，a的值仍然为正，表示抛物线开口向下，形状类似于一个V形。
抛物线也通过坐标原点。
类型七：两个相等的根这种情况下，二次函数图像与x轴有一个交点，也就是只有一个解。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来找到这个相等的根。
类型八：无根这种情况下，二次函数图像与x轴没有交点，也就是没有实根。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来确认是否有实根。
类型九：两个不相等的根这种情况下，二次函数图像与x轴有两个交点，也就是有两个不相等的实根。
完整版)二次函数公式汇总
完整版)二次函数公式汇总文章中存在的格式错误已被删除，以下是改写后的文章：求解二次函数的顶点、对称轴、解析式和与x轴的交点等问题，是二次函数的基本内容。
下面将对这些问题进行讲解。
1.求解抛物线的顶点和对称轴：抛物线的顶点是（h，k），对称轴是直线x=h。
其中，对称轴在y轴左侧。
2.用待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式有三种形式：一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a(x-h)2+k和交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
这三种形式可以互相转化。
但只有当抛物线与x轴有交点时，解析式才可以用交点式表示。
3.求解二次函数的解析式：已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式y=ax2+bx+c；已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式y=a(x-h)2+k；已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
4.求解抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x1,0)和B(x2,0)，则AB的长度为| x1-x2 |=| (x1+x2)/2 |。
5.求解点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离：点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离为√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]。
6.求解直线的斜率：直线的斜率为k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)。
7.求解点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离：点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离为d=|ax0+by0+c|/√(a2+b2)。
8.平移口诀：对于二次函数的平移，上加下减，左加右减。
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达。
其中，关于x轴对称的解析式为y=-ax2-bx-c或y=-a(x-h)2-k，关于y轴对称的解析式为y=ax2-bx+c或y=a(x+h)2-k，关于原点对称的解析式为y=ax2+bx或y=a(x-h)2.当抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称时，解析式变为y=ax2-bx+c。
二次函数知识点整理
二次函数知识点整理二次函数是数学中常见的一种函数形式，其表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
它是二次方程y=ax²+bx+c=0的图形表达方式，也是代数中的一项重要内容。
下面将对二次函数的相关知识点进行整理。
一、基本形式与图像特点：1. 基本形式：二次函数的基本形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0，a代表抛物线的开口方向和开口的大小。
2.图像特点：(1) 方程y=ax²+bx+c=0的解法能够反映出二次函数图像的开口方向；(2)当a>0时，抛物线开口向上，极值点为最小值；(3)当a<0时，抛物线开口向下，极值点为最大值；(4)当a>0时，二次函数图像在x轴的右侧递增，在x轴的左侧递减；(5)当a<0时，二次函数图像在x轴的右侧递减，在x轴的左侧递增。
二、求解特点：1. 解的求解：二次函数的解是通过求解二次方程y=ax²+bx+c=0来得到的，可以使用求根公式、配方法等。
(1) 求根公式：当二次方程为完全平方时，即b²-4ac=0，可以使用求根公式x₁=(-b+√(b²-4ac))/(2a)和x₂=(-b-√(b²-4ac))/(2a)求解；(2) 配方法：当二次方程为非完全平方时，即b²-4ac≠0，可以使用配方法将二次方程进行化简后再求解。
二次函数的解可以分为以下三种情况：(1) 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；(2) 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；(3) 当b²-4ac<0时，方程无实数根，在复数范围内存在两个共轭复数根。
2. 极值点：对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，其图像的极值点的x坐标为-x₀/2a，y坐标为代入此x坐标求得的值。
(1)当a>0时，极小值点存在；(2)当a<0时，极大值点存在。
二次函数五种解析式
二次函数五种解析式1. 二次函数的标准形式二次函数是数学中常见的一种函数形式，其解析式可以写成标准形式：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
这种形式的二次函数通常表示为一条抛物线，其开口方向与a的正负有关。
在标准形式中，a决定了二次函数的开口方向和抛物线的开口程度。
当 a > 0时，抛物线开口向上；当 a < 0时，抛物线开口向下。
b 决定了抛物线的位置，当b > 0时，抛物线向左平移；当b < 0时，抛物线向右平移。
c则决定了抛物线与y轴的交点。
2. 顶点形式的二次函数除了标准形式外，二次函数还可以表示为顶点形式的解析式：y = a(x - h)^2 + k。
其中，(h, k)表示抛物线的顶点坐标。
顶点形式的二次函数更直观地描述了抛物线的位置和形状。
顶点坐标(h, k)决定了抛物线的顶点位置，其中h表示横坐标的平移，k 表示纵坐标的平移。
参数a决定了抛物线的开口方向和开口程度，与标准形式类似。
3. 平移与缩放通过对二次函数进行平移和缩放，我们可以改变其位置和形状。
平移是指将整个抛物线沿横轴或纵轴平行移动，平移的量由参数b和c决定。
缩放是指改变抛物线的开口程度，缩放的量由参数a决定。
平移和缩放可以通过调整解析式中的参数来实现。
例如，将二次函数y = x^2向右平移3个单位，可以将解析式改为y = (x - 3)^2；将二次函数y = x^2扩大2倍，可以将解析式改为y = 2x^2。
4. 求解二次函数的零点求解二次函数的零点是求解方程y = ax^2 + bx + c = 0的解。
二次函数的零点也称为其根或解。
对于一般的二次函数，可以使用求根公式来求解零点。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根的个数和性质取决于判别式Δ = b^2 - 4ac的值。
当Δ > 0时，函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，函数有两个相等的实根；当Δ < 0时，函数没有实根，但有两个共轭复根。
完整版)二次函数公式汇总
完整版)二次函数公式汇总二次函数是高中数学中的重要章节，它涉及到函数、方程、图像等多个概念。
本文将从二次函数公式的定义、性质、图像和应用等方面进行详细介绍。
一、二次函数公式的定义二次函数是指由一元二次方程所表示的函数。
一元二次方程的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c其中a、b、c为常数，且a≠0。
二、二次函数公式的性质1.首先，二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.二次函数的对称轴与y轴平行，对称轴的方程为x=-b/2a。
3.二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，即对称轴上的点。
4.二次函数的值域依赖于抛物线的开口方向。
当a>0时，值域为(-∞,f(-b/2a)]；当a<0时，值域为[f(-b/2a),+∞)。
三、二次函数的图像二次函数的图像是一个平面上的曲线，也就是抛物线。
根据二次函数的性质，我们可以通过以下步骤来画出二次函数的图像：1.确定抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.找出对称轴的方程x=-b/2a，并绘制出对称轴。
3.找出顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))，并绘制出顶点。
4.求出两个非顶点的点，可以选择求解方程f(x)=0，或者求出x=-b/2a的两侧点，然后根据二次函数的性质绘制出这两个点。
5.通过连接各点，得到完整的二次函数图像。
四、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.抛物线轨道模型：比如炮弹抛射、物体抛掷等问题，可以通过二次函数来描述物体的轨迹。
2.行程时间模型：比如汽车行驶、火车行驶等问题，可以通过二次函数来描述行驶的距离与时间的关系。
3.成本收益模型：比如生产成本、销售收益等问题，可以通过二次函数来描述成本与收益的关系，从而找到最大利润或最小成本的情况。
二次函数的七种形式
二次函数的七种形式所谓二次函数，是指函数中自变量最高次指数为2的函数，其标准形式为：y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数）.二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。
如果令y值等于零，则可得一个二次方程。
该方程的解称为方程的根或函数的零点。
如果说函数的表达形式共有7种，有开放型，一般式，平移型，定义型，顶点式，两格式，翻折式（对称式）。
01开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以答案不唯一。
例2：经过点A（0，3）的抛物线的解析式可能是。
解：设该抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线的函数图象经过点A（0，3），∴c=3，且a≠0，∴函数解析式可能为y=x2+x+3。
（注：答案不唯一，只需满足a≠0，c=3即可）02一般式当题目给出函数图象上的三个点时，设为一般式，代入三个点的坐标，将问题转化成求三元一次方程组，以求得a，b，c的值。
例4：已知函数图象经过点（1，-4），（-1，0），（-2，5），求该二次函数的解析式。
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得图片解得图片∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3。
03 平移型将一个二次函数的图象经过上下左右的平移得到一个新的抛物线。
要解此类题目，应先将已知函数的解析式写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图象向左（右）平移n个单位长度时，在x–h上加上（减去）n；当图象向上（下）平移m个单位长度时，在k上加上（减去）m．其平移的规律是：左加右减（对x而言）；上加下减。
由于经过平移的函数图象形状、大小和开口方向都没有改变，所以a的值不变。
例3：二次函数y=x2+6x+5的图象是由y=x2的图象先向平移个单位长度，再向平移个单位长度得到的。
二次函数九大题型
二次函数九大题型二次函数是高中数学中的重要内容，它是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b和c是实数且a≠0。
在学习二次函数的过程中，我们会遇到许多不同类型的题目。
本文将详细介绍二次函数九大题型，包括函数的定义、用途和工作方式等。
1. 函数图像的平移定义：平移是指将原来的函数图像沿着坐标轴进行水平或垂直方向上的移动。
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，平移后的函数可以表示为g(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)是平移后图像上任意一点的坐标。
用途：平移可以帮助我们研究二次函数图像在坐标系中的位置和性质。
通过改变平移量(ℎ,k)的值，我们可以观察到图像在坐标系中的左右、上下移动。
工作方式：1.水平平移：改变参数ℎ的值来实现水平方向上的平移。
当ℎ>0时，图像向左移动；当ℎ<0时，图像向右移动。
2.垂直平移：改变参数k的值来实现垂直方向上的平移。
当k>0时，图像向上移动；当k<0时，图像向下移动。
2. 函数图像的翻折定义：翻折是指将原来的函数图像沿着坐标轴进行对称操作。
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，翻折后的函数可以表示为g(x)=−ax2−bx−c。
用途：翻折可以帮助我们研究二次函数图像在坐标系中的对称性和性质。
通过改变参数a、b和c的值，我们可以观察到图像在坐标系中的左右、上下对称。
工作方式：1.关于 x 轴翻折：将二次函数中的每个 y 值取相反数，即可实现关于 x 轴的翻折。
2.关于 y 轴翻折：将二次函数中的每个 x 值取相反数，即可实现关于 y 轴的翻折。
3.关于原点翻折：先关于 x 轴翻折，再关于 y 轴翻折，即可实现关于原点的翻折。
3. 函数图像的缩放定义：缩放是指将原来的函数图像沿着坐标轴进行拉伸或压缩。
对于二次函数f(x)= ax2+bx+c，缩放后的函数可以表示为g(x)=a(mx)2+b(mx)+c，其中m是缩放因子。
用途：缩放可以帮助我们研究二次函数图像在坐标系中的大小和形状。
二次函数的基本性质有哪些
二次函数的基本性质有哪些二次函数，又称为二次多项式函数，是指具有以下形式的函数：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数是高中数学中重要的函数之一，它具有如下的基本性质：性质一：抛物线的开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负来确定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
性质二：顶点坐标二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出。
顶点的横坐标为 x = -b/(2a)，纵坐标为 f(x) = -(b^2-4ac)/(4a)。
性质三：对称轴二次函数的对称轴是通过顶点的纵坐标所确定的一条直线。
对称轴的方程为 x = -b/(2a)。
性质四：与x轴交点二次函数与x轴的交点（即零点或根）可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。
对于一般的二次方程，可以使用配方法、因式分解或求根公式进行求解。
性质五：函数的增减性当二次函数的二次项系数a>0时，函数的增减性与x轴的交点有关。
若二次函数的根为x1和x2，且x1 < x2，则当 x < x1 或 x > x2 时，函数是递增的；当 x1 < x < x2 时，函数是递减的。
当二次函数的二次项系数a<0时，函数的增减性与顶点有关。
若函数的顶点坐标为（h，k），则当x < h 时，函数是递减的；当 x > h 时，函数是递增的。
性质六：最值二次函数的最值可以通过他的凹凸性来判断。
当二次函数的二次项系数a>0时，函数有最小值，最小值即为顶点的纵坐标k；当二次函数的二次项系数a<0时，函数有最大值，最大值即为顶点的纵坐标k。
性质七：对称性由于二次函数是关于对称轴对称的，所以函数值在对称轴两侧是相等的。
即对于对称轴上的一点(x, f(x))，与之关于对称轴对称的点为(-x,f(-x))，它们的函数值相等。
性质八：图像特点二次函数的图像是一条抛物线，其整体形状由二次项系数a的绝对值大小来决定。
二次函数的几种表达式
o
x
y
x
o
y
o
x
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：
y
1、当x=1 时，
y=a+b+c
2、当x=-1时，
y=a-b+c
x -2 -1 o 1 2
3、当x=2时，
4、当x=-2时，
……………
y=4a+2b+c y=4a-2b+c
……………
用心试一试!
1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
2
（
，2
试一试：看谁说的既对又快！
二次函数 y=3x2 y=-2x² +1 y = 2(x-1)² y = -3(x-2)2 - 6 开口方向 向上 向下 向上 向下 对称轴 直线x=0 直线x=0 直线x=1 直线x=2 顶点坐标 ( 0, 0 ) (0,1) ( 1 , 0) ( 2 , -6 )
2 (a≠0) y=a(x-h) y y=2(x+1)2 2 y=2(x-1)2 y=2x y=2(x+2)2
-2 -1 o 1 2
y=2(x-2)2
x
y
y=2(x-1)2+2
y=2x2
2 1
o
y=2(x-1)2
1
2
x
-1 -2
y=2(x-1)2 +2的图象可看作是由y=2x2 的图象经 过怎样平移得到的？
专题复习： 二次函数的几种表达式
介休市第八中学
张海涛
y
(3,5)
2
O
x
2m
A
6m
一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，当 水面宽AB＝6m时，测得涵洞顶点与水面的距离 为2m. (1)建立适当的平面直角坐标系? (2)求出抛物线的函数解析式?B相信自，推荐自我!y y O x
二次函数九种类型
二次函数九种类型
二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、 b、c是实数且a ≠ 0。
下面将介绍九种常见的二次函数类型。
1.普通二次函数：
f(x) = ax^2 + bx + c，a、 b、 c是实数且a ≠ 0。
2.单调递增二次函数：
当a>0时，二次函数开口向上，且图像为单调递增曲线。
3.单调递减二次函数：
当a<0时，二次函数开口向下，且图像为单调递减曲线。
4.对称轴与x轴平行的二次函数：
当c=0时，二次函数的图像与x轴平行，也称为抛物线。
5.对称轴垂直于x轴的二次函数：
当b=0时，二次函数的对称轴为y轴，图像左右对称。
6.对称轴为y=k的二次函数：
当对称轴为y=k时，二次函数的图像关于直线y=k对称。
7.最值与顶点：
当a>0时，二次函数的最小值为顶点，当a<0时，二次函数的最大值
为顶点。
8.关于x轴对称的二次函数：
当对称轴为x轴时，二次函数与x轴关于原点对称。
9.关于y轴对称的二次函数：
当对称轴为y轴时，二次函数与y轴关于原点对称。
这些是常见的二次函数类型，每种类型都有独特的特点和性质。
通过研究这些类型，可以更好地理解和分析二次函数的图像和特性。
在实际应用中，二次函数常用于描述抛物线运动、曲线拟合以及经济学、物理学等领域中的问题。
二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结y=ax^2+bx+c，则最值为-(b^2-4ac)/(4a)）二次函数是高中数学中非常重要的一种函数类型，它的解析式通常是y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c都是常数，且a不等于0.二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向、顶点坐标、对称轴位置等性质与a的正负有关。
当a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。
除了一般式的解析式，二次函数还有其他形式的解析式，如y=a(x-h)^2+k和y=ax^2+c。
它们的图像与一般式的图像类似，但顶点坐标和对称轴位置的计算方式略有不同。
对于y=a(x-h)^2+k，顶点坐标为(h。
k)，对称轴为x=h；对于y=ax^2+c，顶点坐标为(0.c)，对称轴为x=0.在解二次函数的题目时，需要注意函数的基本形式，根据题目条件进行变形，求出顶点坐标、对称轴位置和最值等信息。
同时，也要注意解方程的方法，如配方法、公式法、因式分解法等。
掌握了二次函数的基本概念和解题方法，就能够更好地应对相关的考试题目。
4ac-b2=4a(c-a*b2/a)，是求解二次方程ax2+bx+c的判别式，可以用来判断二次方程的根的情况，如果4ac-b2>0，则有两个不相等的实数根；如果4ac-b2=0，则有两个相等的实数根；如果4ac-b2<0，则有两个共轭复数根。
1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点，则m的值为-2.2.抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则b=2，c=2.3.抛物线y=x2+3x的顶点在第三象限。
4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为2.5.若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c开口向上，对称轴是y轴。
二次函数解析式的三种形式
二次函数解析式的三种形式
二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y 轴的抛物线。
本文整理了相关知识点，一起来看看吧！
二次函数解析式形式
1.一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a)
2.顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k(a,h,k为常数，a≠0)
3.交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)（又叫两点式，两根式等）二次函数一般式的画法
描点法，步骤如下：
①把y=ax+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)+k的形式；
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。
平移法，步骤如下：
①把y=ax+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)+k的形式，确定其顶点（h,k)；
②作出函数y=ax的图像；
③将函数y=ax的图像平移，使其顶点平移到（h,k)。
二次函数的最值问题
二次函数的一般式是y＝ax2+bx+c，当a大于0时开口向上,函数有最小值；当a小于0时开口向下,则函数有最大值。
顶点坐标就是（b/-2a,(4ac-b2）/4a)这个就是把a、b、c分别代入进去，求得顶点的坐标。
(4ac-b2）/4a就是最值。
二次函数的几种形式
二次函数的几种形式
一、本节学习指导
二次函数这一章虽然比较难，但如果我们抓住几个关键部分的话，学起来还是比较轻松的。
不管什么形式的二次函数顶点、对称轴、开口方向都是被关注的主要对象。
本节中我们重点放在观察不同形式二次函数的性质特征上并理解加以记忆。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
一、二次函数概念：
1、二次函数的概念：一般地，形如
的函数，叫做二次函数。
注意：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0,而b,c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
定义域即x的取值范围，全体实数就是说二次函数中x可以取任和值。
2. 二次函数的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、二次函数
的基本形式
1、二次函数基本形式：
的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
注意：a>0时，开口向上，所以顶点时最低点，这时有最小值。
a<0时，开口向下，所以顶点时最高点，这时有最大值。
二次函数常见的表达形式有
二次函数常见的表达形式有：（1）一般式：y ax bx c a=++≠20()；（2）顶点式：y a x m h=-+()2，其中点（m,h）为该二次函数的顶点；（3）交点式：y a x x x x=--()()12，其中点(,)()x x1200，，为该二次函数与x轴的交点。
1）二次函数关系式设为：y=ax2+bx+c（a≠0）复习1．抛物线)0(2≠++=acbxaxy，对称轴为直线x＝2，且过点P（3，0），则cba++= ；2．函数baxy +=与cbxaxy++=2的图象如图所示，则ab 0，c 0（填“＜”或“＞”）3．已知抛物线cbxxy++=2的部分图象如图所示，若y<0,则x的取值范围是；4．已知抛物线y=3(x-1)2+k上有三点A(2,y1),B(2,y2),C(-5,y3),则y1,y2,y3的大小关系为；5．已知二次函数,2cbxaxy++=且0,0>+-<cbaa，则一定有b2-4ac 0；例1. （南通市）已知抛物线y ax bx c=++2经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图1所示。
求抛物线的解析式，写出顶点坐标。
解：设所求抛物线的解析式为y ax bx c=++2（a≠0）。
由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。
∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪ca b ca b c216402553,,，解之，得abc=-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222825)23(212)3(2122+--=+--=x x x ∴该抛物线的顶点坐标为()32258，。
例2 （江西省）一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，。
求这条抛物线的解析式。
1. （2006年长春市）二次函数y x bx c =++2的图象经过点M （1，-2），N （-1，6）。
求二次函数y x bx c =++2的关系式。
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22
2
x轴的另一个交点为B，点Q是x轴上一个动点，将抛物线绕点Q旋转180°得
到新抛物线，设原抛物线顶点为M，旋转后的抛物线顶点为N，与x轴交点
中右边的交点为D，若四边形AMDN为矩形，求Q的坐标。
此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论， 其中要应用两点之间的距离公式等知识。
13
1
如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y=2 x+2相交于A、C两点，抛
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PB
腰三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
P点坐标P点，坐如标果，如不果存不在存在，，请请说说明明理理由由。。
此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用 线段的中点坐标公式等。
13
1
如图所示，抛物线y=-2x2-2x+2和直线y=2x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，点P在抛物线上，在y轴上有一个动点Q,是否存在点
类分型三种三情况直进角行三讨论角，形其分中要类应用勾股定理等知识。
13
1
如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为直角
三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
型三：直角三角形的分类讨论：
1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x 2+bx+c经过点 A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求这条抛物线的解析式； （2）经过点D（2，2）直线与抛物线交于M，N两点， 若线段MN正好被直线BC平分，求直线MN的解析式； （3）直线x=a上存在点P，使得△PBC为等腰三角形？ 若这样的点P有且只有三个，请直接写出符合条件的a 值及其取值范围
P、Q,使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形Байду номын сангаас如果存在请求出
P点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题首先找出一对相等的角，即对应角，再把夹这个角的
两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。
类型六：相似三角形的分类讨论：
如图所此两示类边问分，题两首种抛先情物找况出对线一应y对，=相同-等时12 的还x2角有- 注，32 x意即+到对2位应和置角直的，情再线况把夹。y=这12个x角+的2相交于A、C两点，抛物线与 x轴的另一个交点为1B，3 点P是y轴1 上一个动点，,是否存在以点P、O、A为
13
1
如图所示，抛物线y=-2x2-2x+2和直线y=2x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，将抛物线绕着x轴翻折所得新抛物线与直线交于点D，
求三角形ABD的面积。
类型九：抛物线的几何变换（旋转）：
此类问题要注意旋转中心在哪里，旋转之后哪些点可以构成平行四边形。
13
1
如图所示，抛物线y=- x2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个定点，
先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称点和
另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到两
个定点距离之和最小的点。
13
1
如图所示，抛物线y=- x2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
此类问题分别以三角形的三条边为斜边(或三个顶点为直角顶点） 分三种情况进行讨论，其中要应用勾股定理等知识。
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1
如图所示，抛物线y=-2x2-2x+2和直线y=2x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为直角
三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
AA O
O
F
BB x
x
针对练习
1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐 标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）． （1）求抛物线的解析式 （2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交 抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存 在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由． （3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M， 判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值 或最小值．
的面积最大，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
针对练习
1. 如图抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C
点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．
（1）求A、B、C的坐标； yy （2）若动点D在第一
DD
象限的抛物线上，求
C
△BDC面积最大时
D点的坐标，并
求出△BDC的 最大面积。
类另个一定型个点二定距点离之，将和与军最已小知饮的直马点线。有问个题交点，这个交点就是使得这个动点到两
13
1
型二：将军饮马问题： 如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与 x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC的周
22
2
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC的周
长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
针对训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax 2+bx与直线 y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时， 求出点P坐标，及PB+PO的最小值
此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论，
其类中要型应用四两点等之间腰的距三离公角式形等知分识。类讨论
13
1
如图所示，抛物线y=- x2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
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x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为等
类腰型三四角形：，如等果腰存在三请求角出P形点坐的标，分如类果不讨存在论，：请说明理由。
把图形面积用二次函数表达式表示出来，然后
利用函数表达式求最值补充知识：平面直角坐
标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽
再乘以二分之一来求。
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△ PAC
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，将抛物线沿着x轴平移，使得平移后的抛物线的顶点
落在直线AC上，求平移后的抛物线的表达式。
类型八：抛物线的几何变换（轴对称）：
此类问题要注意到沿着x轴翻折抛物线，由于开口大小没变， 只是开口方向改变，所以a值变为原来的相反数。
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+3与x轴 交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，与y轴交于点C，点D
是第三象限的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S求出S与m的 函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多
少？ （3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得 ∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在， 请说明理由．
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如图所示，抛物线y=-2x2-2x+2和直线y=2x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，点P是y轴上一个动点，,是否存在以点P、O、A为
顶点的三角形与△ OBC相似，如果存在请求出所有满足条件的P点坐标，
如果不存在，请说明理由。
类型七：抛物线的几何变换（平移）：
此类问题要注意到平移抛物线a值大小不变，对于一般式 只是b、c值发生改变，对于顶点式只是顶点坐标发生改变。
类型六：相似三角形的分类讨论： 顶点的如三图所角示，形抛与物线△y=O-2Bx2-C2x相+2和似直，线y如=2x果+2相存交在于A请、C求两点出，所抛物有线满与 足条件的P点坐标，
如果不x轴存的另在一，个交请点说为B明，点理P是由y轴。上一个动点，,是否存在以点P、O、A为
此类问顶如题点果首的不三存先角在找，形出与请△说一O明对B理C相由相。似等，的如角果存，在即请对求出应所角有，满足再条把件夹的P这点坐个标角，的 两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。
此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用 线类段型 的中五点：坐平标行公四式边等。形的分类讨论：
1 3 1 此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用 如图所线示段，的抛中点物坐线标y公=式- 等x。2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
类型五：平行四边形的分类讨论： xP轴、的Q,另使如 xP轴、一得图的Q所个以,另使示交一A得，个、以点抛交AB物 为、点、线BB为Py、，B=2、P-，点12、Qx点2QP-2为P32为在在x顶顶+抛抛2点和点物物的直线的四线线上四边y上，=形边12在，x是+y形2轴2在平相是上行y交有轴四平于一边上行A个形、有四动，C一两点边如点Q果个形,，是存动，抛否在点物如存请线在求 Q果与点出,是存否在存请在求点出