高中数学 二次函数九种类型

把图形面积用二次函数表达式表示出来，然后
利用函数表达式求最值补充知识：平面直角坐
标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽
再乘以二分之一来求。
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△ PAC
此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用 线类段型 的中五点：坐平标行公四式边等。形的分类讨论：
1 3 1 此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用 如图所线示段，的抛中点物坐线标y公=式- 等x。2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
类型五：平行四边形的分类讨论： xP轴、的Q,另使如 xP轴、一得图的Q所个以,另使示交一A得，个、以点抛交AB物 为、点、线BB为Py、，B=2、P-，点12、Qx点2QP-2为P32为在在x顶顶+抛抛2点和点物物的直线的四线线上四边y上，=形边12在，x是+y形2轴2在平相是上行y交有轴四平于一边上行A个形、有四动，C一两点边如点Q果个形,，是存动，抛否在点物如存请线在求 Q果与点出,是存否在存请在求点出
1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x 2+bx+c经过点 A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求这条抛物线的解析式； （2）经过点D（2，2）直线与抛物线交于M，N两点， 若线段MN正好被直线BC平分，求直线MN的解析式； （3）直线x=a上存在点P，使得△PBC为等腰三角形？ 若这样的点P有且只有三个，请直接写出符合条件的a 值及其取值范围
此类问题分别以三角形的三条边为斜边(或三个顶点为直角顶点） 分三种情况进行讨论，其中要应用勾股定理等知识。
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如图所示，抛物线y=-2x2-2x+2和直线y=2x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为直角
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三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
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如图所示，抛物线y=-2x2-2x+2和直线y=2x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，将抛物线绕着x轴翻折所得新抛物线与直线交于点D，
求三角形ABD的面积。
类型九：抛物线的几何变换（旋转）：
此类问题要注意旋转中心在哪里，旋转之后哪些点可以构成平行四边形。
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如图所示，抛物线y=- x2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个定点，
先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称点和
另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到两
个定点距离之和最小的点。
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如图所示，抛物线y=- x2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，将抛物线沿着x轴平移，使得平移后的抛物线的顶点
落在直线AC上，求平移后的抛物线的表达式。
类型八：抛物线的几何变换（轴对称）：
此类问题要注意到沿着x轴翻折抛物线，由于开口大小没变， 只是开口方向改变，所以a值变为原来的相反数。
P、Q,使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请求出
P点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题首先找出一对相等的角，即对应角，再把夹这个角的
两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。
类型六：相似三角形的分类讨论：
如图所此两示类边问分，题两首种抛先情物找况出对线一应y对，=相同-等时12 的还x2角有- 注，32 x意即+到对2位应和置角直的，情再线况把夹。y=这12个x角+的2相交于A、C两点，抛物线与 x轴的另一个交点为1B，3 点P是y轴1 上一个动点，,是否存在以点P、O、A为
类另个一定型个点二定距点离之，将和与军最已小知饮的直马点线。有问个题交点，这个交点就是使得这个动点到两
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型二：将军饮马问题： 如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与 x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC的周
AA O
O
F
BB x
x
针对练习
1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐 标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）． （1）求抛物线的解析式 （2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交 抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存 在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由． （3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M， 判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值 或最小值．
类分型三种三情况直进角行三讨论角，形其分中要类应用勾股定理等知识。
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为直角
三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
型三：直角三角形的分类讨论：
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如图所示，抛物线y=-2x2-2x+2和直线y=2x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，点P是y轴上一个动点，,是否存在以点P、O、A为
顶点的三角形与△ OBC相似，如果存在请求出所有满足条件的P点坐标，
如果不存在，请说明理由。
类型七：抛物线的几何变换（平移）：
此类问题要注意到平移抛物线a值大小不变，对于一般式 只是b、c值发生改变，对于顶点式只是顶点坐标发生改变。
P点坐标P点，坐如标果，如不果存不在存在，，请请说说明明理理由由。。
此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用 线段的中点坐标公式等。
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如图所示，抛物线y=-2x2-2x+2和直线y=2x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，点P在抛物线上，在y轴上有一个动点Q,是否存在点
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x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC的周
长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
针对训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax 2+bx与直线 y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时， 求出点P坐标，及PB+PO的最小值
类型六：相似三角形的分类讨论： 顶点的如三图所角示，形抛与物线△y=O-2Bx2-C2x相+2和似直，线y如=2x果+2相存交在于A请、C求两点出，所抛物有线满与 足条件的P点坐标，
如果不x轴存的另在一，个交请点说为B明，点理P是由y轴。上一个动点，,是否存在以点P、O、A为
此类问顶如题点果首的不三存先角在找，形出与请△说一O明对B理C相由相。似等，的如角果存，在即请对求出应所角有，满足再条把件夹的P这点坐个标角，的 两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。
此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论， 其中要应用两点之间的距离公式等知识。
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y=2 x+2相交于A、C两点，抛
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PB
腰三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
的面积最大，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
针对练习
1. 如图抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C
点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．
（1）求A、B、C的坐标； yy （2）若动点D在第一
DD
象限的抛物线上，求
C
△BDC面积最大时
D点的坐标，并
求出△BDC的 最大面积。
标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽
再类乘型以二一分之利一用来求二。次函数表达式求最大值得问题
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如图所示，抛物线y=- 2 x2- 2 x+2和直线y= 2 x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△ PAC
：利的面用积二最大次，函如果数存表在请达求式出P求点坐最标大，如值果的不存问在题，请说明理由。
此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论，
其类中要型应用四两点等之间腰的距三离公角式形等知分识。类讨论
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如图所示，抛物线y=- x2- x+2和直线y= x+2相交于A、C两点，抛物线与
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x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ PBC为等
类腰型三四角形：，如等果腰存在三请求角出P形点坐的标，分如类果不讨存在论，：请说明理由。
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+3与x轴 交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，与y轴交于点C，点D
是第三象限的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S求出S与m的 函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多
少？ （3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得 ∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在， 请说明理由．
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x轴的另一个交点为B，点Q是x轴上一个动点，将抛物线绕点Q旋转180°得
到新抛物线，设原抛物线顶点为M，旋转后的抛物线顶点为N，与x轴交点
中右边的交点为D，若四边形AMDN为矩形，求Q的坐标。