九种类型二次函数

类型一：最值

如图所示，抛物线y=-1

2

x2-

3

2

x+2和直线y=

1

2

x+2相交于A、C两点，抛物线与

x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△PAC 的面积最大，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。

再乘以二分之一来求。

1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．

（1）求抛物线的解析式

（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．

（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值．

2. 如图抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．（1）求A、B、C的坐标；

（2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC 的最大面积。

类型二轴对称

如图所示，抛物线y=-1

2

x2-

3

2

x+2和直线y=

1

2

x+2相交于A、C两点，抛物线与

x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC的周长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。

个定点距离之和最小的点。

1. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A 的抛物线y=ax 2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时，求出点P坐标，及PB+PO的最小值

类型三直角三角形

如图所示，抛物线y=-1

2

x2-

3

2

x+2和直线y=

1

2

x+2相交于A、C两点，抛物线与

x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC为直角三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。

分三种情况进行讨论，其中要应用勾股定理等知识。

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+3与x轴交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？

（3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

类型四等腰三角形

如图所示，抛物线y=-1

2

x2-

3

2

x+2和直线y=

1

2

x+2相交于A、C两点，抛物线与

x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC为等

腰三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。

其中要应用两点之间的距离公式等知识。

1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x 2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），与y 轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）经过点D（2，2）直线与抛物线交于M，N两点，若线段MN正好被直线BC平分，求直线MN的解析式；

（3）直线x=a上存在点P，使得△PBC为等腰三角形？若这样的点P有且只有三个，请直接写出符合条件的a值及其取值范围

，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12x+2相交于A 、C 两点，抛物线与

x 轴的另一个交点为B ，点P 在抛物线上，在y 轴上有一个动点Q,是否存在点P 、Q,使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请求出P

点坐标，如果不存在，请说明理由。此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用

线段的中点坐标公式等。

类型五：平行四边形的分类讨论：

如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12

x+2相交于A 、C 两点，抛物线与

x 轴的另一个交点为B ，点

P 在抛物线上，在y 轴上有一个动点Q,是否存在点P 、Q,使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请求出P 点坐标，如果不存在，请说明理由。线段的中点坐标公式等。

，抛物线y=-12x 2-3

2x+2和直线y=12x+2相交于A 、C 两点，抛物线与x 轴的另一个交点为B ，点P 是y 轴上一个动点，,是否存在以点P 、O 、A 为顶点的三角形与△OBC 相似，如果存在请求出所有满足条件的P 点坐标，如果不存在，请说明理由。

此类问题首先找出一对相等的角，即对应角，再把夹这个角的两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。类型六：相似三角形的分类讨论：

如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12x+2相交于A 、C 两点，抛物线与

x 轴的另一个交点为B ，点P 是y 轴上一个动点，,是否存在以点P 、O 、A 为顶点的三角形与△OBC 相似，如果存在请求出所有满足条件的P 点坐标，如果不存在，请说明理由。两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。