资料分析,错位相减法

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2018考错位加减法在资料分析中的应用2018考错位加减法在资料分析中的应用2018年考即将拉开帷幕，同学们在紧张的复习中一定要注意劳逸结合、有计划有重点的复习。

小编特别整理了错位加减法在资料分析中的应用，请大家ctrl+d,收藏此页，或是关注黑龙江中公教育官网。

在历来国家公务员考试和省公务员考试当中，资料分析这一板块占据了很大的分值和题量，所以我们应该加以重视，并且多做练习。

今天我要跟大家分享的是错位加减法在资料分析中的应用，大家都知道错位加减最大的应用是在做求值类型的题，其实它在比较类型的题中应用也很广泛。

一、错位加减法：错相同位，加减相同倍二、原理：分子分母以相同的增长率在在变化，整个分式的值不变。

三、应用：1.求值【分析】B。

分子取三位为114，将114变成137需要加23，相当于114+112+11，则分母43213+43002+4001，最终结果为52213选较为接近的B。

【分析】答案为B。

将136变成155，需要加19=131+16，则5234+5201+56=6054，则60547513=0.8xx，选B。

2.比较【分析】将两个分式利用错位加减法通分，104变成121需要加17=102-13，则1153+112+13=1403，分子进行比较1403大于1234，则。

【分析】将两个分式利用错位加减法通分，分母取三位分别是234和284，234变成284需要加50，50=232+22，则8324+8302+802=10144，比较分子10144大于9327，则。

通过上述几道题，大家这类问题有所了解，请回去多做一些此类的题目，进行熟练掌握，同时还要想一想，这些方法还有在什么情况下可以应用。

错位相减法万能公式

错位相减法万能公式错位相减法是一种数学计算方法，通过巧妙地调整数位顺序，使得相减的计算过程更加简化。

这种方法适用于多种计算场景，包括但不限于整数相减、小数相减、分数相减等。

本文将介绍错位相减法的基本原理和运用技巧。

一、错位相减法简介错位相减法是一种快速计算相减的方法，它可以帮助我们避免繁琐的借位运算或补零操作。

通过将被减数和减数按位错位排列，然后相减得到的结果即为原题目的答案。

这种方法非常适合处理数字位数较多、计算过程较复杂的情况。

二、整数相减的错位相减法对于整数相减的计算，错位相减法可以简化计算过程。

以减数为基准，从个位开始按位减去被减数对应位的数值，得到的差即为该位的计算结果。

当被减数位数不足时，可以在高位补零。

下面通过一个例子来说明整数相减的错位相减法。

例：计算98减去17步骤1：个位相减 8-7=1步骤2：十位相减 9-1=8因此，98减去17等于81。

三、小数相减的错位相减法对于小数相减的计算，错位相减法同样适用。

我们可以将小数部分框出来，按位相减，然后按照小数点位置将差值放回原位置。

下面通过一个例子来说明小数相减的错位相减法。

例：计算8.7减去3.25步骤1：百分位相减 0-2（补零）=-2步骤2：十分位相减 7-5=2步骤3：个分位相减 8-3=5因此，8.7减去3.25等于5.45。

四、分数相减的错位相减法对于分数相减的计算，错位相减法同样适用。

我们将被减数和减数的分子对齐，然后按位相减得到差值，并保持分母不变。

下面通过一个例子来说明分数相减的错位相减法。

例：计算4/5减去1/3步骤1：将4/5转化为12/15步骤2：十分位相减 12-5=7步骤3：个分位相减 15-3=12因此，4/5减去1/3等于7/12。

五、错位相减法的应用范围错位相减法不仅适用于整数、小数和分数的相减计算，还可以应用于其他数学问题的解决。

它在解决实际问题时具有较强的普适性和实用性，能够极大地简化计算过程，提高计算效率。

探索错位相减法解题策略

探索错位相减法解题策略相减法是解决数学问题时常用的一种策略。

在相减法中，错位相减法被广泛应用，它以错位的方式进行相减运算，帮助我们更直观地理解和解决问题。

本文将探索错位相减法的解题策略，并通过例子详细说明其应用方法和计算步骤。

一、错位相减法的定义和基本原理错位相减法是指在相减运算中，将两个数的各位数字错位对齐相减。

其基本原理是通过错位对齐，使得计算过程更加简单和容易理解。

例如，对于两个两位数285和167的相减运算，按照错位相减法进行计算如下：```2 8 5- 1 6 7-------------1 1 8```在上述例子中，我们可以观察到，通过错位将各位数字对齐，使得相减的运算更清晰。

错位相减法不仅可以应用于两位数的相减运算，也适用于更复杂的数学问题。

二、错位相减法的应用方法为了更好地应用错位相减法，以下是一些具体的步骤和方法：1.确定计算的起始位置：根据问题的要求，确定从哪一位开始进行错位相减的运算。

2.对齐错位：将需要相减的数的各位数字错位对齐。

3.相减运算：从左到右逐位相减，并将结果写在下方。

4.检查计算结果：对于较复杂的计算，例如多位数减法，需要进行进位或借位的运算，以确保计算结果的准确性。

通过以上步骤，我们可以更好地应用错位相减法解决各种数学问题。

三、示例分析为了更好地理解错位相减法的应用，下面将通过两个实际例子进行分析。

例子一：计算3012与189的差首先，我们确定从个位开始进行错位相减，按照错位相减法的步骤，计算如下：```3 0 1 2- 1 8 9-------------1 12 3```所以3012与189的差为1123。

例子二：计算54326与246的差同样地，我们先确定从个位开始进行错位相减，按照错位相减法的步骤，计算如下：```5 4 3 2 6- 2 4 6-----------------------------5 4 0 8 0```所以54326与246的差为54080。

行测资料分析备考辅导：错位加减法助你简化计算

行测资料分析备考辅导：错位加减法助你简化计算很多考生面对复杂的计算问题时会出现错误，今天为大家提供行测资料分析备考辅导：错位加减法助你简化计算，一起来学习一下吧！行测资料分析备考辅导：错位加减法助你简化计算对于考生来说，行测的资料分析相对来说难度较低，大部分考生经过系统的学习之后很容易就能斩获高分。

但在实际考试中，还是有很多同学在面对复杂的计算问题时会出现错误，这种分数的丢失十分可惜。

在此给同学们介绍一种计算方法——错位加减法，错位加减法应用的十分广泛，无论是两数相除还是两数相乘，或是复杂的四则运算，都可以用这种计算方法解决。

错位加减法原理对于一个分数而言，分子、分母同时扩大或缩小同样的幅度，分数的大小不变(当分母扩大分母的百分之十时，分子需要扩大分子的百分之十，以保证分数大小不变)。

我们可以看到这样的一个规律，当分母减少其前两位的一倍时，分子也减少其前两位的一倍。

当分母减少其第一位的一倍时，分子也减少其第一位的一倍。

2倍呢?3倍呢?是否依然成立?大家可以稍作思考。

我们可以把分母和分子比喻成相亲相爱的双胞胎兄弟。

弟弟崇拜哥哥，哥哥伸出哥哥左手时，弟弟也伸出弟弟自己的左手，哥哥踢右腿时，弟弟也踢弟弟自己的右腿。

简而言之，分子模仿分母。

分母增加或减少其前两位或第一位的n倍时，分子做同样变化。

(以前两位为准，第一位前面的系数越小越精确，为了方便掌握，同学们在使用错位加减法时可以先保留3位有效数字) 错位加减法具体应用错位加减法用途十分广泛，今天先简单介绍到这里，同学们可以自己多列一些式子，反复练习，熟练掌握错位加减法，提高资料分析计算得正确率以及效率。

行测答题技巧：神通广大的十字交叉法一、十字交叉法解决的题型——“比值的混合问题”2、三组计算关系：(1)、左三列具备交叉作差的关系，大数减小数;(2)、右三列最简比相等;(3)、第1列的差=第3列的和;3、实际量之比等于部分比值的分母之比。

三、十字交叉法在数量中的应用1、十字交叉法在平均分中的应用【例1】某公司面试员工，其中五分之二的应聘者获得了职位。

高中数学常用方法总结——如何将错位相减法所得结论的公式化

高中数学常用方法总结——如何将错位相减法所得结论的公式化第一篇：高中数学常用方法总结——如何将错位相减法所得结论的公式化错位相减法的简洁结论----公式化错位相减法是推导等比数列前n项和公式的最简洁的方法之一,错位相减法还可以推广到求数列{an⋅bn}的前项和,其中{an}是等差数列,公差为不为0,{bn}是等比数列,公比不为1.例:数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn,求数列{nan}的前n项和Tn.分析:当n>1时,由an+1=2Sn得an=2Sn-1,两式相减得an+1=3an,所以数列{an}从第二项开始成等比,又a2=2S1=2a1=2,所以an=2⋅3n-2,因为a1=1不满足此式,所以nan=⎨⎧1,n=1⎩2n⋅3n-2,n>1.Tn=1+4⋅30+6⋅31+8⋅32+ΛΛ+2(n-2)⋅3n-4 +2(n-1)⋅3n-3+2n⋅3n-23Tn=3+4⋅31+6⋅32+8⋅33+ΛΛΛΛΛ+2(n-2)⋅3n-3+2(n-1)⋅3n-2+2n⋅3n-1两式相减: -2Tn=2+2(31+32+33+Λ+3n-3+3n-2)-2n⋅3n-13-3n+1=2+2⋅-2n⋅3n-1=(-2n+1)⋅3n-1-11-3所以: Tn=(n-)⋅3n-1+.又因为T1=a1=1也满足上式,所以: Tn=(n-)⋅3n-1+,n∈N*错位相减法程序化的步骤让学生容易掌握和理解,但因计算量较大,学生常会因为计算的原因导致出错.如果错位相减法可以简化为一种形式简单的结论,我们又何乐而不为呢? 笔者在教学过程中发现,通项形如an=(xn+y)⋅qn,(q≠1,q≠0,x≠0)的数列,其前n项和必定形如Sn=(An+B)⋅qn+1+C,这个结论可以由错位相减法证明,就留给读者去证了,我简单从另外一个方法求得A,B, 因为: Sn-Sn-1=[(An+B)⋅qn+1+C]-[(An-A+B)⋅qn+C]12121212=[A(q-1)n+B(q-1)+A]⋅qn=(xn+y)⋅qn对比系数得: A=xy-A,B=,此时C可以由S1=a1求得.q-1q-1上例中,设bn=nan,则当n=1时,b1=1,当n>1时,bn=2n⋅3n-2.根据公式有:A=20-111=1,B==-,所以Tn=(n-)⋅3n-1+C, 3-13-1221212又因为: T1=+C=b1=1⇒C=所以:Tn=(n-)⋅3n-1+,n∈N*解题思路和过程固然是重要的,但简洁的结论也很重要,它可以使我们少走弯路,少做重复的工作.单方面去强调过程或结论都是不可取的,在教学中,应让学生掌握好错位相减法的思想精髓上,再引出这个结论,才不会顾此失彼.从例题中可以看出,即使所求数列的首项不满足(xn+y)⋅qn,也不会影响使用公式求和,但若所求数列前k项不满足(xn+y)⋅qn,则求和结果必须加上条件n≥k,此时公式中的C值该由前k项和求出,当n<k时,前n1212项和须看具体情形而定.第二篇：错位相减法毕业论文素材导语：错位相减法是一种常用的数列求和方法。

行测资料分析速算技巧

资料分析速算技巧资料分析模块，大家存在的普遍问题是，如何在保证正确率的前提下提高解题速度。

若不控制时间，大部分人正确率能达到80%以上，可一旦按照考试要求掐时间做（30分钟以内），正确率就大幅度下降，陷入欲速则不达的窘境。

可见，资料分析速算技巧尤为重要。

若想提升速度，需要从两方面同时发力，一是找数据的速度，二是算数据的速度。

下边我主要从算数据方面给大家分享技巧方法第一节加减乘除运算技巧加减乘除的应试技巧既简单又实用，是提升资料分析计算环节速度的基础。

一、加减法技巧1、错位叠加法：每一个加数，从高位起，按照对应的位数分别累加，累加结果不足两位时前边需补0，然后把所有累加结果从高位起往后错开一位叠加（像楼梯凳一样）例题：62355+23056+34267+4123=？计算过程：加万位6+2+3=11，加千位2+3+4+4=13，加百位3+0+2+1=06，加十位5+5+6+2=18，加个位5+6+7+3=21，然后错开一位叠加，如下图所示：2、临近相减法：一般求几个数的和与另外几个数的和之差的时候，形如（A+B+C）-（a+b+c），我们可以找数值相近的先做差，再求和。

材料：题目：2016～2018年，全国茶叶产量之和比2013～2015年产量之和增加了：A.100～150万吨之间B.不到100万吨C.超过200万吨D.150～200万吨之间参考答案：A解题过程：根据题意，需计算（231.3+246+261.6）-（188.7+204.9+227.7），显然较麻烦，可先找临近的做减法，一般可以口算，再求和。

如先算231.3-227.7=3.6，再算246-204.9=41，再算261.6-188.7=80略小，根据选项，3.6+41+80只能选A3、尾数法：通过直接运算结果的末位数字来确定选项的方法，因为资料分析中，加减法通常为准确值，因此在合差计算中我们可以采用此方法来进行答案的秒杀。

材料：题目：“十二五”期间华为销售收入总计达到________百万元。

资料分析,错位相减法

问题：与上年同期相比，2007年全国共签
技术开发合同约增长了多少项？
A.8206 C 8721
B.8605 D.8856
73320 0.135 7332.0 1.35
1.135
1.14
下面请进入第二部分
123 ? 12312.3
222
222 22.2
123 (110%) 222 (110%)
一、原理介绍
一、原理介绍
二、方法精讲
103 542 51
54321 .4021
23 122 11
二、方法精讲
2814 1314
二、方法精讲
5371 0.137 1.137
23256 1.15 123.4 1.04
二、方法精讲
三、例题精讲
例题1.某省2013年玉米产量为18623万吨，小麦为1021万吨。问：2013年该省玉米是小麦的多少倍？
A.20.7 C 18.2
B.17.6 D.15.8
三、例题精讲
例 2.2007 年全国共签订技术开发合同 73320项，成交金额876亿元，分别比上年增长13.5%、22.2%。
111 53 2 51
537.11.37 648.1 1.14
23 112 11
二、方法精讲
2628 0.123 1.123
262.8 1.23 1.12
二、方法精讲
60 481 43
48231 1.31 101525 1.17
54231 101525
14 11113
二、方法精讲
一原理介绍二方法精讲三例题精讲1234554321231004544021分子分母同时放大或者缩小相同的倍数分数值保持不变

数列中的错位相减法

数列中的错位相减法
错位相减法是一种求解数学问题的方法，它在求解等比数列（geometric sequence）中尤为重要。

简单来说，错位相减法就是将相邻两项取出，其中一项以比较大的量级移动一个位置，然后进行相减，以求得不同项的公因数。

比如，给定一个等比数列 3，6，12，24，我们要求得它的公比 q。

首先我们可以取出相邻的两项：3 和 6，注意到 3 比 6 小，那么将它移动一个位置，变成 6 和3 的错位相减：6 - 3 = 3。

这里得到的结果3，就是等比数列的公比 q。

而想要确定其他相邻数列中的 q，我们也可以使用类似的办法。

另外，错位相减法还可以应用在其他有关等比数列求解的情况中。

例如，在给定数列中求解等比数列的前 n 项和S_n，可以使用前 n-1 项的和 S_{n-1} 和第 n 项a_n 的值，进行错位相减法运算：S_n = S_{n-1} + a_n。

这里我们求出的 S_n 就是等比数列的前 n 项的和。

总而言之，错位相减法在求解等比数列中显得非常重要，它使我们能够简单有效地确定数列的公比，以及前 n 项的和。

正是由于它的易用性，错位相减法成为了求解等比数列的常用方法。

2020国考资料分析：错位加减原理巧解行测资料分析比较问题

2020国考资料分析：错位加减原理巧解行测资料分析比较问题在行测资料分析当中，需要我们比较若干个式子的大小关系从而进行选择的考法几乎每套题都会涉及到，其中最常见的三种考法有：1.通过比较四个选项求最大最小值的问题。

2.四五个量按大小进行排序后求排序正确的选项。

3.最后一题是某个选项需要判断大小关系是否正确。

对于这种涉及多个数连比的情况，如果不按一定规则和方法操作的话其实是挺浪费时间的，而且容易出错，下面中公教育就通过两个例子介绍一种解决多个数连比的思想:利用错位加减原理先变简单再比较。

以上就是利用错位加减法原理解决比较类题目的思路，对于大部分观察起来很接近的式子比较大小都适用，中公教育专家希望大家可以多加练习，多一个方法多一重保障。

以下是2020国考行测资料分析答题技巧：尾数法巧解计算题行测资料分析考试中，我们通常会被计算弄得心烦意乱。

确实，资料分析的材料往往来自于统计局的官网，而相关数据不仅大而且复杂，所以我们通常会被计算问题弄的手足无措。

那么今天中公教育就来教教大家如何利用选项，精准的进行加减运算。

其实很多考生都会有一个误解，加减运算这不是小学时候学习的吗?这我难道还不会吗?其实加减法计算对于大家来说可能真没有问题，但是如何快速而且精算计算出结果，就有问题了，比如看下面这道题：379+265+344=?A、976B、877C、988D、989【中公解析】相信这道题真让大家选出答案来也没问题，但是能不能快速而且口算就得出结果呢?相信还是有难度的，其实在这里啊，可以去观察选项，大家有没有发现，选项的末一位都是不相同的，在这里我们就可以利用这个不同去解决这个问题。

我们都知道加减法运算都是从尾数开始计算的，所以我们只需要根据选项的尾数不同去计算就可以了。

这道题，三个数的尾数：9+5+4=X8.答案直接就可以选择C选项了。

这种方法是不是既精确又快速呀，当然尾数法也是需要注意以下几个问题的：第一、选项尾几位不同计算加减几位。

公务员考试错位加减原理巧解行测资料分析比较问题

公务员考试错位加减原理巧解行测资料分析比较问题
公务员考试行政职业能力测验主要测查与公务员职业密切相关的、适合通过客观化纸笔测验方式进行考查的基本素质和能力要素，包括言语理解与表达、数量关系、判断推理、资料分析和常识判断等部分。行政职业能力测验涉及多种题目类型，试题将根据考试目的、报考群体情况，在题型、数量、难度等方面进行组合。了解公务员成绩计算方法，可以让你做到心中有数，认真备考。
以上就是利用错位加减法原理解决比较类题目的思路，对于大部分观察起来很接近的式子比较大小都适用，中公教育专家希望大家可以多加练习，多一个方法多一重Байду номын сангаас障。
在行测资料分析当中，需要我们比较若干个式子的大小关系从而进行选择的考法几乎每套题都会涉及到，其中最常见的三种考法有：1.通过比较四个选项求最大最小值的问题。2.四五个量按大小进行排序后求排序正确的选项。3.最后一题是某个选项需要判断大小关系是否正确。对于这种涉及多个数连比的情况，如果不按一定规则和方法操作的话其实是挺浪费时间的，而且容易出错，下面中公教育就通过两个例子介绍一种解决多个数连比的思想:利用错位加减原理先变简单再比较。

2020国考行测资料分析：错位加减法巧解基期和差

2020国考行测资料分析：错位加减法巧解基期和差国家公务员考试行测资料分析考试中，基期值的考查是我们每年的一个重要考点，对于一个基期值的求解大多数同学都没有问题，但是如果求解两个基期值的和或者差的话直接计算就会比较复杂，往往会让很多同学失分，究其原因还是没有掌握正确的解题方法。

红河中公教育专家认为，利用错位加减法可以帮助我们快速求解此类题目。

一、知识回顾
1、基本公式
例2. 2012年我国全年以上规模工业企业实现利润55578亿元，比上年增长5.3%，其中国有及国有控股企业14163亿元，下降5.1%;集体企业819亿元，增长7.5%;股份制企业32867亿元，增长7.2%;外商及港澳台投资企业12688亿元，下降4.1%;私营企业18172亿元，增长20.0%。

问：2011年股份制企业实现利润比国有及国有控股企业多多少亿元?()
A.15751
B.16382
C.18704
D.19275
【答案】A。

2017下半年重庆公务员考试行测：浅谈行测资料分析之错位加减法

2017下半年重庆公务员考试行测：浅谈行测资料分析之错位加减法重庆公务员考试行政职业能力测验主要测查与公务员职业密切相关的、适合通过客观化纸笔测验方式进行考查的基本素质和能力要素，包括言语理解与表达、数量关系、判断推理、资料分析和常识判断等部分。

比如言语理解与表达，它主要测查报考者运用语言文字进行思考和交流、迅速准确地理解和把握文字材料内涵的能力，包括根据材料查找主要信息及重要细节;正确理解阅读材料中指定词语、语句的含义;概括归纳阅读材料的中心、主旨;判断新组成的语句与阅读材料原意是否一致;根据上下文内容合理推断阅读材料中的隐含信息;判断作者的态度、意图、倾向、目的;准确、得体地遣词用字等。

而我们常见的题型有：阅读理解、逻辑填空、语句表达等。

2017下半年重庆公务员考试公告预计发布时间【8月中旬】，报名时间为【8月中下旬】，笔试时间为【9月中下旬】，笔试科目为行测+申论，为帮助广大考生更好的备战重庆公务员笔试，重庆中公教育为大家准备了免费的笔试辅导资料，希望考生们及时关注。

重庆公务员考试网祝你考试成功。

资料分析一直是公务员考试行测试卷中非常重要的一部分，其特点是考点内容坚持经典模式，但材料题材贴近社会热点，关注社会的“现状”和“问题”。

资料分析主要考察考生三方面的能力，分别是阅读材料提取信息的能力，理解相应概念快速列式的能力和较强的计算能力。

众所周知想要赢得行测就要做到有准又快，对于资料分析而言，计算是最浪费时间的环节，所以快速的计算能力一直都是广大考生所向往的，中公教育在本文中浅谈如何用错位加减法解决资料分析计算中多次乘除的问题。

一、错位加减法使用环境：适用于计算多次乘除，例如求增长量、上一年比重、上一年进出口总额等。

以增长量为例：三个量中如果能约掉两个量，则另外一个就是答案了。

二、错位加减法基本原理：分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的数值保持不变。

(1)当分母加1234.5，相当于加了原数的10%，那么分子对应加5432.1，才能保证分数值大小不变;(2)当分母加123.41，相当于加了原数的1%，则分子对应加543.21。

高考数学数列求和错位相减裂项相消(解析版)

数列求和-错位相减、裂项相消◆错位相减法错位相减法是求解由等差数列a n 和等比数列b n 对应项之积组成的数列c n (即c n =a n b n )的前n 项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项b n 其实可以看成等差数列通项a n a n =1 与等比数列通项b n 的积.公式秒杀:S n =(A ⋅n +B )q n -B (错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数A 与B ,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)【经典例题1】设数列a n 的前n 项和为S n ，若a 1=1,S n =a n +1-1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =na n +1，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =2n -1n ∈N ∗ ； (2)T n =2-n +22n.【解析】(1)因为a 1=1,S n =a n +1-1．所以S 1=a 2-1，解得a 2=2．当n ≥2时，S n -1=a n -1，所以a n =S n -S n -1=a n +1-a n ，所以2a n =a n +1，即a n +1a n=2．因为a 2a 1=2也满足上式，所以a n 是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n -1n ∈N ∗ ．(2)由(1)知a n +1=2n ，所以b n =n2n ，所以T n =1×12+2×12 2+3×12 3+⋯+n ×12 n⋯①12T n =1×12 2+2×12 3+⋯+(n -1)×12 n +n ×12n +1⋯②①-②得12T n =12+12 2+12 3+⋯+12 n -n ×12 n +1=121-12 n1-12-n ×12 n +1=1-1+n 2 12 n ，所以T n =2-n +22n．【经典例题2】已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，数列b n 为等比数列，且a 1=b 1=1，S 3=3b 2=12．(1)求数列a n ，b n 的通项公式；(2)若c n =a n b n +1，求数列c n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n -2，b n =4n -1(2)T n =4+n -1 4n +1【解析】(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，由题意得：3a 1+3d =12，解得：d =3，所以a n =1+3n -1 =3n -2，由3b 2=12得：b 2=4，所以q =a2a 1=4，所以b n =4n -1(2)c n =a n b n +1=3n -2 ⋅4n ，则T n =4+4×42+7×43+⋯+3n -2 4n ①，4T n =42+4×43+7×44+⋯+3n -2 4n +1②，两式相减得：-3T n =4+3×42+3×43+3×44+⋯+3×4n -3n -2 4n +1=4+3×16-4n +11-4-3n -2 4n +1=-12+3-3n 4n +1，所以T n =4+n -1 4n +1【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 3=14．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =2n -1a n，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =2n n ∈N * (2)T n =3-2n +32n 【解析】(1)设等比数列a n 的公比为q ，当q =1时，S n =na 1，所以S 2=2a 1=6，S 3=3a 1=14，无解．当q ≠1时，S n =a 11-q n 1-q ，所以S 2=a 11-q 21-q =6,S 3=a 11-q 31-q=14.解得a 1=2，q =2或a 1=18，q =-23(舍)．所以a n =2×2n -1=2n n ∈N * ．(2)b n =2n -1a n =2n -12n ．所以T n =12+322+523+⋯+2n -32n -1+2n -12n ①，则12T n=122+323+524+⋯+2n -32n+2n -12n +1②，①-②得，12T n =12+222+223+224+⋯+22n -2n -12n +1=12+2122+123+124+⋯+12n -2n -12n +1=12+2×141-12n -1 1-12-2n -12n +1=32-2n +32n +1．所以T n =3-2n +32n．【练习1】已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +1n ∈N ∗ .(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列n a n +1 的前n 项和S n .【答案】(1)a n =2n -1(2)S n =n -1 ⋅2n +1+2【解析】(1)由a n +1=2a n +1得：a n +1+1=2a n +1 ，又a 1+1=2，∴数列a n +1 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ，∴a n =2n -1.(2)由(1)得：n a n +1 =n ⋅2n ；∴S n =1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅+n -1 ⋅2n -1+n ⋅2n ，2S n =1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅+n -1 ⋅2n +n ⋅2n +1，∴-S n =2+22+23++2n-n ⋅2n +1=21-2n1-2-n ⋅2n +1=1-n ⋅2n +1-2，∴S n =n -1 ⋅2n +1+2.【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =na n ，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =2n -1(2)T n =(n -1)⋅2n +1【解析】(1)令n =1得S 1=a 1=2a 1-1，∴a 1=1，当n ≥2时，S n -1=2a n -1-1，则a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1，整理得a n =2a n -1，∴an a n -1=2，∴数列a n 是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n =2n -1；(2)由(1)得b n =na n =n ⋅2n -1，则T n =1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋅⋅⋅+n ⋅2n -1，2T n =1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋅⋅⋅+n ⋅2n ，两式相减得-T n =20+21+22+23+⋅⋅⋅+2n -1-n ⋅2n =1-2n1-2-n ⋅2n ，化简得T n =1-2n +n ⋅2n =(n -1)⋅2n +1．【练习3】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且3S n =4a n -2．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =a n +1⋅log 2a n ，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =22n -1(2)T n =409+6n -59×22n +3【解析】(1)当n =1时，3S 1=4a 1-2=3a 1，解得a 1=2．当n ≥2时，3a n =3S n -3S n -1=4a n -2-4a n -1-2 ，整理得a n =4a n -1，所以a n 是以2为首项，4为公比的等比数列，故a n =2×4n -1=22n -1．(2)由(1)可知，b n =a n +1⋅log 2a n =2n -1 ×22n +1，则T n =1×23+3×25+⋯+2n -1 ×22n +1，4T n =1×25+3×27+⋯+2n -1 ×22n +3，则-3T n =23+26+28+⋯+22n +2-2n -1 ×22n +3=23+26-22n +41-4-2n -1 ×22n +3=-403-6n -53×22n +3．故T n =409+6n -59×22n +3．【练习4】已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2n +1a na n +2n(n ∈N +).(1)求证数列2n a n 为等差数列；(2)设b n =n n +1 a n ，求数列b n 的前n 项和S n .【答案】(1)证明见解析 (2)S n =n -1 ⋅2n +1+2【解析】(1)由已知可得a n +12n +1=a n a n +2n ，即2n +1a n +1=2n a n +1，即2n +1a n +1-2n a n =1，∴2n a n 是等差数列.(2)由(1)知，2n a n =2a 1+n -1 ×1=n +1，∴a n =2nn +1，∴b n =n ⋅2nS n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋅⋅⋅+n ⋅2n2S n =1⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+n -1 ⋅2n +n ⋅2n +1相减得，-S n=2+22+23+⋅⋅⋅+2n-n⋅2n+1=21-2n1-2-n⋅2n+1=2n+1-2-n⋅2n+1∴S n=n-1⋅2n+1+2◆裂项相消法把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项.常见的裂项形式:(1)1n(n+k)=1k1n-1n+k;(2)1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1;(3)1n+k+n=1k(n+k-n);(4)2n+1n2(n+1)2=1n2-1(n+1)2;(5)2n2n-12n+1-1=12n-1-12n+1-1;(6)2n(4n-1)n(n+1)=2n+1n+1-2nn;(7)n+1(2n-1)(2n+1)2n =1(2n-1)2n+1-1(2n+1)2n+2;(8)(-1)n(n+1)(2n+1)(2n+3)=14(-1)n2n+1-(-1)n+12n+3(9)(-1)nn-n-1=(-1)n(n+n-1)=(-1)n n-(-1)n-1n-1(10)1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2).(11)n⋅n!=n+1!-n!(12)kk+1!=1k!-1k+1!【经典例题1】已知正项数列a n中，a1=1，a2n+1-a2n=1，则数列1a n+1+a n的前99项和为( )A.4950B.10C.9D.14950【答案】C【解析】因为a2n+1-a2n=1且a21=1，所以，数列a2n是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，a2n=1+n-1=n，因为数列a n为正项数列，则a n=n，则1a n+1+a n=1n+1+n=n+1-nn+1+nn+1-n=-n+n+1，所以，数列1a n+1+a n的前99项和为-1+2-2+3-⋯-99+100=10-1=9.故选：C.【经典例题2】数列a n 的通项公式为a n =2n +1n 2n +12n ∈N *，该数列的前8项和为__________．【答案】8081【解析】因为a n =2n +1n 2n +12=1n 2-1(n +1)2，所以S 8=1-122+122-132 +⋯+182-192 =1-181=8081．故答案为：8081．【经典例题3】已知数列a n 的前n 项和为S n =n 2，若b n =1a n a n +1，则数列{b n }的前n 项和为________．【答案】n 2n +1【解析】当n =1时，a 1=S 1=12=1，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2-n -1 2=2n -1，且当n =1时，2n -1=1=a 1，故数列a n 的通项公式为a n =2n -1，b n =1a n a n +1=1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 ，则数列{b n }的前n 项和为：121-13 +13-15 +15-17 +⋯+12n -1-12n +1 =121-12n +1 =n 2n +1.故答案为：n2n +1【练习1】数列12n +1+2n -1的前2022项和为( )A.4043-12B.4045-12C.4043-1D.4045-1【答案】B 【解析】解：12n +1+2n -1=2n +1-2n -12n +1+2n -1 2n +1-2n -1=2n +1-2n -12记12n +1+2n -1 的前n 项和为T n ，则T 2022=123-1+5-3+7-5+⋯+4045-4043=124045-1 ；故选：B 【练习2】数列a n 的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，总有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，又记b n =1a 2n +1⋅a 2n +3，数列b n 的前n 项和T n =______．【答案】n6n +9【解析】由对于任意的n ∈N *，总有a n ，S n ，a 2n 成等差数列可得：2S n =a 2n +a n ，当n ≥2时可得2S n -1=a 2n -1+a n -1，所以2a n =2S n -2S n -1=a 2n +a n -a 2n -1-a n -1，所以a 2n -a n -a 2n -1-a n -1=0，所以(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0，由数列a n 的各项均为正数，所以a n -a n -1=1，又n =1时a 2n -a n =0，所以a 1=1，所以a n =n ，b n =1a 2n +1⋅a 2n +3=1(2n +1)(2n +3)=1212n +1-12n +3 ，T n =1213-15+15-17+⋯12n +1-12n +3 =1213-12n +3 =n 6n +9.故答案为：n6n +9.【练习3】12!+23!+34!+⋅⋅⋅+nn +1 !=_______.【答案】1-1n +1 !【解析】∵k k +1 !=k +1-1k +1 !=1k !-1k +1 !，∴12!+23!+34!+⋅⋅⋅+n n +1 !=1-12!+12!-13!+13!-14!+⋅⋅⋅+1n -1 !-1n !+1n !-1n +1 !=1-1n +1 !.故答案为：1-1n +1 !.【练习4】设数列a n 满足a 1+4a 2+⋯+(3n -2)a n =3n .(1)求a n 的通项公式；(2)求数列a n3n +1 的前n 项和T n .【答案】(1)a n =33n -2(2)T n =3n3n +1【解析】(1)解：数列a n 满足a 1+4a 2+⋯+(3n -2)a n =3n ，当n =1时，得a 1=3，n ≥2时，a 1+4a 2+⋯+(3n -5)a n -1=3(n -1)，两式相减得：(3n -2)a n =3，∴a n =33n -2，当n =1时，a 1=3，上式也成立.∴a n =33n -2；(2)因为a n 3n +1=3(3n -2)(3n +1)，=13n -2-13n +1，∴T n =11-14+14-17+⋯+13n -2-13n +1，=1-13n +1=3n3n +1.【练习5】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n =1-a n n ∈N ∗ .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =log 13a n ，C n =n +1-nb n b n +1，求数列C n 的前n 项和T n【答案】(1)a n =13n (2)T n =1-1n +1【解析】(1)当n =1时，2a 1=2S 1=1-a 1，解得：a 1=13；当n ≥2时，2a n =2S n -2S n -1=1-a n -1+a n -1，即a n =13a n -1，∴数列a n 是以13为首项，13为公比的等比数列，∴a n =13 n =13n .(2)由(1)得：b n =log 1313 n =n ，∴C n =n +1-n n n +1=1n -1n +1，∴T n =1-12+12-13+13-14+⋅⋅⋅+1n -1-1n +1n -1n +1=1-1n +1.【练习6】已知数列a n 中，2n a 1+2n -1a 2+⋯+2a n =n ⋅2n ．(1)证明：a n 为等比数列，并求a n 的通项公式；(2)设b n =(n -1)a nn (n +1)，求数列b n 的前n 项和S n ．【答案】(1)证明见解析；a n =2n -1n ∈N *(2)2n n +1-1【解析】(1)解：2n a 1+2n -1a 2+⋯+2a n =n ⋅2n ，即为a 1+a 22+⋯+a n2n -1=n ·······①，又a 1+a 22+⋯+a n -12n -2=n -1，········②，①-②得a n2n -1=1，即a n =2n -1(n ≥2)，又当n =1时，a 1=1=21-1，故a n =2n -1n ∈N * ；从而a n +1a n =2n2n -1=2n ∈N * ，所以a n 是首项为1，公比为2的等比数列；(2)由(1)得b n =(n -1)2n -1n (n +1)=2n n +1-2n -1n ，所以S n =212-201 +223-212 +⋯+2n n +1-2n -1n =2nn +1-1.【练习7】记S n 是公差不为零的等差数列a n 的前n 项和，若S 3=6，a 3是a 1和a 9的等比中项.(1)求数列a n 的通项公式；(2)记b n =1a n ⋅a n +1⋅a n +2，求数列b n 的前20项和.【答案】(1)a n =n ，n ∈N *(2)115462【解析】(1)由题意知a 23=a 1⋅a 9，设等差数列a n 的公差为d ，则a 1a 1+8d =a 1+2d 2，因为d ≠0，解得a 1=d又S 3=3a 1+3d =6，可得a 1=d =1，所以数列a n 是以1为首项和公差为1的等差数列，所以a n =a 1+n -1 d =n ，n ∈N *(2)由(1)可知b n =1n n +1 n +2 =121n n +1 -1n +1 n +2，设数列b n 的前n 和为T n ，则T n =1211×2-12×3+12×3-13×4+⋅⋅⋅+1n n +1 -1n +1 n +2=1212-1n +1 n +2，所以T 20=12×12-121×22 =115462所以数列b n 的前20和为115462【练习8】已知等差数列a n 满足a 3=7，a 5+a 7=26，b n =1a 2n -1(n ∈N +)．(1)求数列a n ，b n 的通项公式；(2)数列b n 的前n 项和为S n ，求S n ．【答案】(1)a n =2n +1，b n =14n n +1(2)S n =n 4n +1【解析】(1)由题意，可设等差数列a n 的公差为d ，则a 1+2d =72a 1+10d =26，解得a 1=3，d =2，∴a n =3+2n -1 =2n +1；∴b n =1a 2n -1=12n +1 2-1=14n 2+4n =14n n +1 ；(2)∵b n =14n n +1=141n -1n +1 ，S n =141-12+12-13+⋯+1n -1n +1 =141-1n +1 =n 4n +1．【练习9】已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且4、a n +1、S n 成等比数列，其中n ∈N ∗．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =4S na n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =2n -1(2)T n =n +n2n +1【解析】(1)解：对任意的n ∈N ∗，a n >0，由题意可得4S n =a n +1 2=a 2n +2a n +1.当n =1时，则4a 1=4S 1=a 21+2a 1+1，解得a 1=1，当n ≥2时，由4S n =a 2n +2a n +1可得4S n -1=a 2n -1+2a n -1+1，上述两个等式作差得4a n =a 2n -a 2n -1+2a n -2a n -1，即a n +a n -1 a n -a n -1-2 =0，因为a n +a n -1>0，所以，a n -a n -1=2，所以，数列a n 为等差数列，且首项为1，公差为2，则a n =1+2n -1 =2n -1.(2)解：S n =n 1+2n -12=n 2，则b n =4S n a n a n +1=4n 22n -1 2n +1 =4n 2-1+12n -1 2n +1 =1+12n -1 2n +1=1+1212n -1-12n +1，因此，T n =n +121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =n +n2n +1.【练习10】已知S n 是数列a n 的前n 项和，a 1=1，___________.①∀n ∈N ∗，a n +a n +1=4n ；②数列S n n 为等差数列，且S nn 的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求a n ；(2)设b n =a n +a n +1a n ⋅a n +1 2，求数列b n 的前n 项和T n .【答案】(1)条件选择见解析，a n =2n -1(2)T n =2n n +12n +12【解析】(1)解：选条件①：∀n ∈N ∗，a n +a n +1=4n ，得a n +1+a n +2=4n +1 ，所以，a n +2-a n =4n +1 -4n =4，即数列a 2k -1 、a 2k k ∈N ∗ 均为公差为4的等差数列，于是a 2k -1=a 1+4k -1 =4k -3=22k -1 -1，又a 1+a 2=4，a 2=3，a 2k =a 2+4k -1 =4k -1=2⋅2k -1，所以a n =2n -1；选条件②：因为数列S n n 为等差数列，且S nn 的前3项和为6，得S 11+S 22+S 33=3×S 22=6，所以S 22=2，所以S n n 的公差为d=S 22-S 11=2-1=1，得到Sn n =1+n -1 =n ，则S n =n 2，当n ≥2，a n =S n -S n -1=n 2-n -1 2=2n -1.又a 1=1满足a n =2n -1，所以，对任意的n ∈N ∗，a n =2n -1.(2)解：因为b n =a n +a n +1a n ⋅a n +1 2=4n 2n -1 22n +1 2=1212n -1 2-12n +1 2，所以T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =12112-132+132-152+⋅⋅⋅+12n -1 2-12n +1 2 =121-12n +1 2 =2n n +1 2n +12.【过关检测】一、单选题1.S n=12+24+38+⋯+n2n=( )A.2n-n2n B.2n+1-n-22nC.2n-n+12n+1D.2n+1-n+22n【答案】B 【解析】由S n=12+24+38+⋯+n2n，得12S n=1×122+2×123+3×124+⋯+n⋅12n+1，两式相减得12S n=12+122+123+124+⋯+12n-n⋅12n+1=121-12n1-12-n12 n+1=1-12n-n⋅12 n+1=2n+1-n-22n+1.所以S n=2n+1-n-22n.故选：B.2.数列n⋅2n的前n项和等于( )．A.n⋅2n-2n+2B.n⋅2n+1-2n+1+2C.n⋅2n+1-2nD.n⋅2n+1-2n+1【答案】B【解析】解：设n⋅2n的前n项和为S n，则S n=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n， ①所以2S n=1×22+2×23+⋯+n-1⋅2n+n⋅2n+1， ②①-②，得-S n=2+22+23+⋯+2n-n⋅2n+1=21-2n1-2-n⋅2n+1，所以S n=n⋅2n+1-2n+1+2．故选:B．3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为( )A.-3+(n+1)×2nB.3+(n+1)×2nC.1+(n+1)×2nD.1+(n-1)×2n【答案】D【解析】设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，所以由题设得S3=a11-q31-q=7S6=a11-q61-q=63 ，两式相除得1+q3=9，解得q=2，进而可得a1=1，所以an=a1qn-1=2n-1，所以nan=n×2n-1.设数列{nan }的前n 项和为Tn ，则Tn =1×20+2×21+3×22+⋯+n ×2n -1，2Tn =1×21+2×22+3×23+⋯+n ×2n ，两式作差得-Tn =1+2+22+⋯+2n -1-n ×2n =1-2n1-2-n ×2n =-1+(1-n )×2n ，故Tn =1+(n -1)×2n .故选：D .4.已知等差数列a n ，a 2=3，a 5=6，则数列1a n a n +1的前8项和为( )．A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】由a 2=3，a 5=6可得公差d =a 5-a 23=1 ，所以a n =a 2+n -2 d =n +1，因此1a n a n +1=1n +1 n +2 =1n +1-1n +2 ，所以前8项和为12-13 +13-14 +⋯+19-110 =12-110=25故选：B 5.已知数列a n 的前n 项和为S n ，S n +4=a n +n +1 2．记b n =8a n +1a n +2，数列的前n 项和为T n ，则T n 的取值范围为( )A.863,47 B.19,17C.47,+∞D.19,17【答案】A 【解析】因为数列a n 中，S n +4=a n +(n +1)2，所以S n +1+4=a n +1+n +2 2，所以S n +1+4-S n +4 =a n +1-a n +2n +3，所以a n =2n +3．因为b n =8a n +1a n +2，所以b n =82n +5 2n +7=412n +5-12n +7 ，所以T n =417-19+19-111+⋅⋅⋅+12n +5-12n +7=417-12n +7 ．因为数列T n 是递增数列，当n =1时，T n =863，当n →+∞时，12n +7→0，T n →47，所以863≤T n <47，所以T n 的取值范围为863,47 ．故选：A ．6.已知数列满足a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n 2，设b n =na n ，则数列1b n b n +1的前2022项和为( )A.40424043B.20214043C.40444045D.20224045【答案】D【解析】因为a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n 2①，当n =1时，a 1=1；当n ≥2时，a 1+2a 2+3a 3+⋯+n -1 a n -1=(n -1)2②，①-②化简得a n =2n -1n ，当n =1时：a 1=2×1-11=1=1，也满足a n =2n -1n，所以a n =2n -1n ，b n =na n =2n -1，1b n b n +1=1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 所以1b n b n +1的前2022项和121-13+13-15+⋯+12×2022-1-12×2022+1 =121-12×2022+1 =20224045.故选:D .7.已知数列a n 满足a 1=1，且a n =1+a n a n +1，n ∈N *，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯⋯+a 2020a 2021=( )A.2021 B.20202021C.122021D.22021【答案】B 【解析】∵a n =1+a n a n +1，即a n +1=a n 1+a n ，则1a n +1=1+a n a n =1a n +1∴数列1a n是以首项1a 1=1，公差d =1的等差数列则1a n =1+n -1=n ，即a n =1n∴a n a n +1=1n n +1=1n -1n +1则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯⋯+a 2020a 2021=1-12+12-13+...+12020-12021=20202021故选：B ．8.等差数列a n 中，a 3=5,a 7=9，设b n =1a n +1+a n，则数列b n 的前61项和为( )A.7-3B.7C.8-3D.8【答案】C 【解析】解：因为等差数列满足a 3=5,a 7=9，所以d =a 7-a 37-3=1，所以a n =a 3+n -3 d =n +2，所以b n =1n +3+n +2=n +3-n +2，令数列b n 的前n 项和为S n ，所以数列b n 的前n 项和S n =4-3+5-4+⋯+n +3-n +2=n +3-3，所以S 61=8-3．故选：C ．9.设数列n 22n -1 2n +1的前n 项和为S n ，则( )A.25<S 100<25.5B.25.5<S 100<26C.26<S 100<27D.27<S 100<27.5【答案】A 【解析】由n 2(2n -1)(2n +1)=14⋅4n 24n 2-1=141+14n 2-1 =141+121(2n -1)(2n +1)=14+1812n -1-12n +1，∴S n =n 4+181-13+13-15+⋅⋅⋅+12n -1-12n +1 =n 4+181-12n +1 =n (n +1)2(2n +1)，∴S 100=100×1012(2×100+1)≈25.12，故选：A ．10.已知数列a n 满足a n =1+2+4+⋯+2n -1，则数列2n a n a n +1 的前5项和为( )A.131B.163C.3031D.6263【答案】D 【解析】因为a n =1+2+4+⋯+2n -1=2n -1,a n +1=2n +1-1，所以2n a n a n +1=2n 2n -1 2n +1-1 =2n +1-1 -2n-1 2n -1 2n +1-1=12n -1-12n +1-1.所以2n a n a n +1 前5项和为121-1-122-1 +122-1-123-1 +⋯+125-1-126-1 =121-1-126-1=1-163=6263故选：D 11.已知数列a n 的首项a 1=1，且满足a n +1-a n =2n n ∈N * ，记数列a n +1a n +2 a n +1+2的前n 项和为T n ，若对于任意n ∈N *，不等式λ>T n 恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.12,+∞ B.12,+∞C.13,+∞D.13,+∞【答案】C 【解析】解：因为a n +1-a n =2n n ∈N * ，所以a 2-a 1=21，a 3-a 2=22，a 4-a 3=23，⋯⋯，a n -a n -1=2n -1，所以a n -a 1=21+22+⋯+2n -1=21-2n -1 1-2=2n -2，n ≥2 ，又a 1=1，即a n =2n -1，所以a n +1=2n ，所以a n +1a n +2 a n +1+2 =2n 2n +1 2n +1+1=12n +1-12n +1+1，所以T n =121+1-122+1+122+1-123+1+⋯+12n +1-12n +1+1=13-12n +1+1<13所以λ的取值范围是13,+∞ .故选：C 12.在数列a n 中，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n =n a n +12 ，若对任意n ∈N +总有14S 1-1+14S 2-1+⋯+14S n -1≤λ恒成立，则实数λ的最小值为( )A.1B.23C.12D.13【答案】C 【解析】当n ≥2时，2S n =na n +n ，2S n -1=n -1 a n -1+n -1 ，两式相减，整理得n -2 a n =(n -1)a n -1-1①，又当n ≥3时，n -3 a n -1=n -2 a n -2-1②，①-②，整理得n -2 a n +a n -2 =2n -4 a n -1，又因n -2≠0，得a n +a n -2=2a n -1，从而数列a n 为等差数列，当n =1时，S 1=a 1+12即a 1=a 1+12，解得a 1=1，所以公差d =a 2-a 1=2，则a n =2n -1，S n =na 1+n (n -1)2d =n 2，故当n ≥2时，14S 1-1+14S 2-1+⋯+14S n -1=122-1+142-1+⋯+12n 2-1=11×3+13×5+⋯+12n -1 2n +1=121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =121-12n +1 ，易见121-12n +1 随n 的增大而增大，从而121-12n +1 <12恒成立，所以λ≥12，故λ的最小值为12，故选：C ．二、填空题13.已知正项数列{an }满足a 1=2且an +12-2an 2-anan +1=0，令bn =(n +2)an ，则数列{bn }的前8项的和等于__．【答案】4094【解析】由a 2n +1-2a 2n -a n a n +1=0，得(an +1+an )(an +1-2an )=0，又an >0，所以an +1+an >0，所以an +1-2an =0，所以an +1a n=2，所以数列{an }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2×2n -1=2n ，所以b n =n +2 a n =n +2 ⋅2n ，令数列{bn }的前n 项的和为Tn ，T 8=3×21+4×22+⋯+9×28，则2T 8=3×22+4×23+⋯+9×29，-T 8=6+22+23+⋯+28 -9×29=6+221-271-2-9×29=2-8×29=-4094，则T 8=4094，故答案为：4094．14.已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且Sn =2an -2，则数列n a n的前n 项和Tn =__．【答案】2-n +22n.【解析】解：∵Sn =2an -2，∴Sn -1=2an -1-2(n ≥2)，设公比为q ，两式相减得：an =2an -2an -1，即an =2an -1，n ≥2，又当n =1时，有S 1=2a 1-2，解得：a 1=2，∴数列{an }是首项、公比均为2的等比数列，∴an =2n ，n a n =n2n ，又Tn =121+222+323+⋯+n2n ，12Tn =122+223+⋯+n -12n +n 2n +1，两式相减得：12Tn =12+122+123+⋯+12n -n 2n +1=121-12n1-12-n2n +1，整理得：Tn =2-n +22n．故答案为：Tn =2-n +22n ．15.将1+x n (n ∈Ν+)的展开式中x 2的系数记为a n ，则1a 2+1a 3+⋅⋅⋅+1a 2015=__________．【答案】40282015【解析】1+xn的展开式的通项公式为T k +1=C k n x k ，令k =2可得a n =C 2n =n n -12；1a n =2n n -1=21n -1-1n ；所以1a 2+1a 3+⋅⋅⋅+1a 2015=21-12 +212-13 +⋯+212014-12015=21-12015 =40282015.故答案为：40282015.16.数列a n 的前项n 和为S n ，满足a 1=-12，且a n +a n +1=2n 2+2nn ∈N * ，则S 2n =______．【答案】2n 2n +1【解析】由题意，数列{a n }满足a n +a n +1=2n 2+2n，可得a 2n -1+a 2n =2(2n -1)2+2(2n -1)=2(2n -1)(2n +1)=12n -1-12n +1，所以S 2n =11-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1=1-12n +1=2n2n +1，故答案为：2n2n +1三、解答题17.已知数列a n 满足a 1=1，2a n +1a n +a n +1-a n =0.(1)求证：数列1a n 为等差数列；(2)求数列a n a n +1 的前n 项和S n .【答案】(1)证明见解析；(2)S n =n2n +1.【解析】(1)令b n =1a n ，因为b n +1-b n =1a n +1-1a n =a n -a n +1a n ⋅a n +1=2，所以数列b n 为等差数列，首项为1，公差为2；(2)由(1)知：b n =2n -1；故a n =12n -1；所以a n a n +1=12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 ；所以S n =a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n +1=11×3+13×5+⋯+12n -1 2n +1=121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =n 2n +1；18.已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，a n +1-a n =3n ∈N * ，且S 3=18.(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =1a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .【答案】(1)a n =3n (2)T n =n9n +9【解析】(1)∵a n +1-a n =3，∴数列a n 是以公差为3的等差数列.又S 3=18，∴3a 1+9=18，a 1=3，∴a n =3n .(2)由(1)知b n =13n ×3n +1=19×1n -1n +1 ，于是T n =b 1+b 2+b 3+⋅⋅⋅+b n =191-12 +12-13 +13-14 +⋅⋅⋅+1n -1n +1 =191-1n +1 =n 9n +919.已知数列a n 的首项为3，且a n -a n +1=a n +1-2 a n -2 ．(1)证明数列1a n -2 是等差数列，并求a n 的通项公式；(2)若b n =-1 n an n +1，求数列b n 的前n 项和S n ．【答案】(1)证明见解析；a n =1n+2(2)-1+-1 n1n +1【解析】(1)因为a n -a n +1=a n +1-2 a n -2 ，所a n -2 -a n +1-2 =a n +1-2 a n -2 ，则1a n +1-2-1a n -2=1，所以数列1a n -2 是以13-2=1 为首项，公差等于1的等差数列，∴1a n -2=1+n -1 =n ，即a n =1n+2；(2)b n =-1 n a n n +1=-1 n 1n n +1+2n +1 =-1 n 1n +1n +1 ，则S n =-1+12 +12+13 -13+14 +⋅⋅⋅+-1 n 1n +1n +1 =-1+-1 n 1n +1；综上，a n =1n +2，S n =-1+-1 n 1n +1 .20.已知数列a n 中，a 1=-1，且满足a n +1=2a n -1.(1)求证：数列a n -1 是等比数列，并求a n 的通项公式；(2)若b n =n +11-a n +1，求数列b n 的前n 项和为T n .【答案】(1)证明见解析，a n=-2n+1(2)T n=32-n+32n+1【解析】(1)解：对任意的n∈N∗，a n+1=2a n-1，所以a n+1-1=2a n-1，且a1-1=-2，所以数列a n-1是以-2为首项，2为公比的等比数列．所以a n-1=-2n，所以a n=-2n+1．(2)解：由已知可得b n=n+11-a n+1=n+12n+1，则T n=222+323+424+⋯+n+12n+1，所以，12T n=223+324+⋯+n 2n+1+n+12n+2，两式相减得12T n=222+123+⋯+12n+1-n+12n+2=12+181-12n-11-12-n+12n+2=34-1 2n+1-n+12n+2=34-n+32n+2，因此，T n=32-n+32n+1.21.已知等比数列a n，a1=2，a5=32.(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列a n为正项数列(各项均为正)，求数列(2n+1)⋅a n的前n项和T n.【答案】(1)a n=2n或a n=2·-2n-1；(2)T n=2+(2n-1)⋅2n+1.【解析】(1)等比数列a n的公比为q，a1=2，a5=32，则q4=a5a1=16，解得q=±2，所以当q=2时，a n=2n，当q=-2时，a n=2⋅(-2)n-1.(2)由(1)知，a n=2n，则有(2n+1)⋅a n=(2n+1)⋅2n，则T n=3×21+5×22+7×23+⋯+(2n+1)⋅2n，于是得2T n=3×22+5×23+⋯+(2n-1)⋅2n+(2n+1)⋅2n+1，两式相减，得-T n=6+2×(22+23+⋯+2n)-(2n+1)⋅2n+1=6+2×22×(1-2n-1)1-2-(2n+1)⋅2n+1=-2-(2n-1)⋅2n+1，所以T n=2+(2n-1)⋅2n+1.22.已知等差数列a n满足a1=1，a2⋅a3=a1⋅a8，数列b n的前n项和为S n，且S n=32b n.(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)求数列a n b n的前n项和T n.【答案】(1)a n=1或a n=2n-1；b n=3n；(2)若a n=1，则T n=33n-13；若a n=2n-1，则T n=n-13n+1+3.【解析】(1)设等差数列a n的公差为d，∵a1=1，a2⋅a3=a1⋅a8，∴1+d1+2d=1+7d，化简得2d2-4d=0，解得：d=0或d=2，若d=0，则a n=1；若d=2，则a n=2n-1；由数列b n的前n项和为S n=32b n-32①，当n=1时，得b1=3，当n≥2时，有S n-1=32b n-1-32②；①-②有b n=32b n-32b n-1，即b nb n-1=3，n≥2，所以数列b n是首项为3，公比为3的等比数列，所以b n=3n，综上所述：a n=1或a n=2n-1；b n=3n；(2)若a n=1，则a n b n=b n=3n，则T n=3+32+⋯+3n=31-3n1-3=33n-12，若a n=2n-1，则a n b n=2n-13n，则T n=1×3+3×32+⋯+2n-1×3n③；③×3得3T n=1×32+3×33+⋯+2n-1×3n+1④；③-④得：-2T n=3+2×32+2×33+⋯+2×3n-2n-1×3n+1=3+2×32(1-3n-1)1-3-(2n-1)×3n+1整理化简得：T n=n-13n+1+3，综上所述：若a n=1，则T n=33n-13；若a n=2n-1，则T n=n-13n+1+3.。

资料分析解题技巧：错位加减法解乘法计算

资料分析解题技巧：错位加减法解乘法计算【导读】
中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来资料分析解题技巧：错位加减法解乘法计算。

希望可以帮助各位考生顺利备考！
考试中，资料分析的计算一直是广大考生头疼的地方，数字大，计算繁琐，易出错，所以方法使用尤为重要，我们前面讲了资料分析中非常好用的计算方法--错位加减法，并且讲解了错位加减法中几种常见的应用，那我们今天继续学习下一个应用——乘法计算。

2020国家公务员考试行测资料分析备考：错位加减法助你简化计算

2020国家公务员考试行测资料分析备考：错位加减法助你简化计算
公务员考试行政职业能力测验主要测查与公务员职业密切相关的、适合通过客观化纸笔测验方式进行考查的基本素质和能力要素，包括言语理解与表达、数量关系、判断推理、资料分析和常识判断等部分。行政职业能力测验涉及多种题目类型，试题将根据考试目的、报考群体情况数，认真备考。
我们可以把分母和分子比喻成相亲相爱的双胞胎兄弟。弟弟崇拜哥哥，哥哥伸出哥哥左手时，弟弟也伸出弟弟自己的左手，哥哥踢右腿时，弟弟也踢弟弟自己的右腿。简而言之，分子模仿分母。分母增加或减少其前两位或第一位的n倍时，分子做同样变化。(以前两位为准，第一位前面的系数越小越精确，为了方便掌握，同学们在使用错位加减法时可以先保留3位有效数字)
对于考生来说，行测的资料分析相对来说难度较低，大部分考生经过系统的学习之后很容易就能斩获高分。但在实际考试中，还是有很多同学在面对复杂的计算问题时会出现错误，这种分数的丢失十分可惜。中公教育专家在此给同学们介绍一种计算方法——错位加减法，错位加减法应用的十分广泛，无论是两数相除还是两数相乘，或是复杂的四则运算，都可以用这种计算方法解决。
错位加减法原理
对于一个分数而言，分子、分母同时扩大或缩小同样的幅度，分数的大小不变(当分母扩大分母的百分之十时，分子需要扩大分子的百分之十，以保证分数大小不变)。
我们可以看到这样的一个规律，当分母减少其前两位的一倍时，分子也减少其前两位的一倍。当分母减少其第一位的一倍时，分子也减少其第一位的一倍。2倍呢?3倍呢?是否依然成立?大家可以稍作思考。
错位加减法具体应用
错位加减法用途十分广泛，今天先简单介绍到这里，同学们可以自己多列一些式子，反复练习，熟练掌握错位加减法，提高资料分析计算得正确率以及效率。

014重庆下半年公务员考试行测资料分析：用错位加减法加速计算

辽宁中公教育：公考咨询交流、公考资讯早知道、公考资料获取，尽在中公网资料分析一直是公务员考试行测试卷中非常重要的一部分，其特点是考点内容坚持经典模式，但材料题材贴近社会热点，关注社会的“现状”和“问题”。

资料分析主要考察考生三方面的能力，分别是阅读材料提取信息的能力、理解相应概念快速列式的能力和较强的计算能力。

众所周知，想要赢得行测就要做到又准又快，对于资料分析而言，计算是最浪费时间的环节，所以快速的计算能力一直都是广大考生所向往的，中公教育专家在此浅谈如何用错位加减法解决资料分析计算中多次乘除的问题。

一、错位加减法使用环境适用于计算多次乘除，例如求增长量、上一年比重、上一年进出口总额等。

以增长量为例：三个量中如果能约掉两个量，则另外一个就是答案了。

二、错位加减法基本原理分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的数值保持不变。

(1)当分母加1234.5，相当于加了原数的10%，那么分子对应加5432.1，才能保证分数值大小不变;(2)当分母加123.41，相当于加了原数的1%，则分子对应加543.21。

画一条竖线只考虑前三位数字，观察特征。

当分母加两位数时，看两位12开头加12，12与123的前两位数字(12)是1倍关系，因此分子54开头加54，都恰好也是一倍;当分母加1位数，则看第一位，分母1开头加1，1与123的第1位数字(1)是1倍关系，因此分子5开头加5，也是加1倍关系。

【例题1】利用错位加减法求上一年比重问题辽宁中公教育：公考咨询交流、公考资讯早知道、公考资料获取，尽在中公网想到利用错位加减法把1.132除以1.246约掉，则剩下的式子运用一步除法即可。

【例题2】利用错位加减法求上一年进出口总额问题。

利用错位加减法将1.132与1.273通分，通分后的式子运用一步除法即可。

中公教育专家认为，错位加减法是解决多次乘除的一种非常实用的方法，各位考生要在理解原理的基础上多做练习把它应用好。