第五章第1讲数列的概念与简单表示法

第1讲 数列的概念与简单表示法 , [学生用书P95])1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类如果数列{a n }的第n 项与序n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)1．辨明两个易误点(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序．2．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N *或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．3．a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.1.教材习题改编 数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝±1nB ．a n ＝(－1)n ·1nC ．a n ＝(－1)n ＋11n D ．a n ＝1n[答案] B2.教材习题改编 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A ．32B ．53C ．85D ．23D [解析] a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1－1a 2＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1－1a 4＝23.3.教材习题改编 下列图形的点数构成数列{a n }，则a 8等于( )A ．17B ．22C ．25D ．28B [解析] 法一：由题图知，a 1＝1，a 2＝4，a 3＝7，从第2个图开始，每一图的点数比它的上一图多3，则有a 8＝a 7＋3＝a 6＋3＋3＝a 5＋3＋3＋3＝a 4＋3＋3＋3＋3＝a 3＋3＋3＋3＋3＋3＝7＋5×3＝22.法二：由a 1＝1，a 2＝4，a 3＝7，…，知{a n }的一个通项公式为a n ＝3n －2，所以a 8＝3×8－2＝22，故选B.4.教材习题改编 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2 017＝__________，|a n ＋a n ＋1|＝__________(n >1)．[解析] 由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1，a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n >1时，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0，所以a 2 017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1.[答案] －1 15．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________．[解析] 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，所以当n ≥2时，a n ＝－2a n －1.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1.[答案] (－2)n －1由a n 与S n 的关系求通项公式a n (高频考点)[学生用书P96]a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．高考对a n 与S n 关系的考查主要有以下两个命题角度： (1)利用a n 与S n 的关系求通项公式a n ； (2)利用a n 与S n 的关系求S n .[典例引领](1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．⎝⎛⎭⎫32n －1C ．⎝⎛⎭⎫23n －1D ．12n －1(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为________．【解析】 (1)由已知S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1，a 1不适合此等式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.【答案】 (1)B (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1(n ≥2)替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[题点通关]角度一 利用a n 与S n 的关系求通项公式a n1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3 B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2C [解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为C.角度二 利用a n 与S n 的关系求S n 2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________．[解析] 因为 a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以 S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.因为 S n ≠0，所以 1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，所以 {1S n}是首项为－1，公差为－1的等差数列． 所以 1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以 S n ＝－1n.[答案] －1n由数列的递推关系求通项公式[学生用书P97][典例引领]分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2. (2)当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为a n ＝n .[通关练习]1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），求a n .[解] a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n. 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求a n .[解] 由于a n ＋1a n＝2n，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2.数列的性质[学生用书P97][典例引领]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？【解】 (1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0.若a 1＝0，则S n ＝0，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0， 所以a n ＝0.若a 1≠0，则a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ， 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而数列{a n }是等比数列，所以a n ＝a 1·2n －1＝2λ·2n －1＝2n λ.综上，当a 1＝0时，a n ＝0；当a 1≠0时，a n ＝2nλ.(2)当a 1>0且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n，由(1)知b n ＝lg 1002n ＝2－n lg 2.所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)．b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg 1＝0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项的和最大．(1)判断数列单调性的两种方法①作差比较法：a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．②作商比较法：〈1〉当a n >0时，a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列． 〈2〉当a n <0时，a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列． (2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．[通关练习]1．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )A ．163B ．133C ．4D ．0D [解析] a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选D. 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3（x ≤7），a x －6（x >7），数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫94，3B ．⎣⎡⎭⎫94，3C ．(1，3)D ．(2，3)D [解析] 因为数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)．所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f （8）>f （7）⇒2<a <3.3．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．[解析] 因为a n ＋1＝11－a n，所以a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. 所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝11－a 1，所以a 1＝12.[答案] 12, [学生用书P98])——数列问题中的函数思想已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】 法一：(定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二：(函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f (n )为增函数，故只需满足f (1)＜f (2)，即λ＞－3.【答案】 (－3，＋∞) 已知数列的单调性求参数的取值范围，一般有两种方法：(1)利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；(2)利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n 的取值范围．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列各图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )A [解析] 由a n ＋1＝f (a n )，a n ＋1>a n 知f (a n )>a n ， 可以知道x ∈(0，1)时f (x )>x ，即f (x )的图象在y ＝x 图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A 符合条件．, [学生用书P263(独立成册)])1．已知n ∈N *，给出四个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋（－1）n 2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④A [解析] 检验知①②③都是所给数列的通项公式．2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n （n ＋2）(n ∈N *)，则1120是这个数列的( )A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第12项C [解析] 由题意知1120＝1n （n ＋2），n ∈N *，解得n ＝10，即1120是这个数列的第10项．3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．64 B ．32 C ．16 D ．8B [解析] 因为a n ＋1a n ＝2n ，所以a n ＋2a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，所以a 2＝2.法一：a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25＝32.法二：数列{a 2n }是首项为2，公比为2的等比数列， 所以a 10＝2×24＝32.4．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A ．6116B ．259C ．2516D ．3115A [解析] 法一：令n ＝2，3，4，5分别求出a 3＝94，a 5＝2516，所以a 3＋a 5＝6116.法二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2.当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝⎛⎭⎫n n －12，所以a 3＝94，a 5＝2516，所以a 3＋a 5＝6116.5．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024C [解析] 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.6．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 017＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2D [解析] 由题意得：a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 017＝a 335×6＋7＝a 7＝2.7．(2017·杭州模拟)数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎨⎧1＋a n 2，n 为偶数，1an －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n 的值为________．[解析] 因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.[答案] 98．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．[解析] 从题图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个，n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…，所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.[答案] a n ＝n （n ＋1）29．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，其中S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 016＝________．[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，整理得1S n －1S n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列，又1S 1＝1a 1＝1， 所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝12n －1，所以S 2 016＝12×2 016－1＝14 031.[答案]14 03110．(2017·长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n＝________．[解析] 由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，有a n ＝2n （n ＋1）， 当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n （n ＋1）.[答案] 2n （n ＋1）11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n . 因为a 1也适合此等式， 所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋2n ＋1＝3·2n .12．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则该数列的前2 017项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 017＝________．[解析] 因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1.所以数列{a n }的周期T ＝5－1＝4. 而a 2 017＝a 504×4＋1＝a 1＝2.a 1a 2a 3a 4＝2×(－3)×⎝⎛⎭⎫－12×13＝1， 所以a 1·a 2·a 3·…·a 2 016·a 2 017＝1504·a 2 017＝2. [答案] 213．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．[解] (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是 a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2.显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)若对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2，3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．。