第12届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届全国大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题统计分析
第24卷第3期2021年5月高等数学研究STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICSVol24,No.3May2021doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2021.03.022历届全国大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题统计分析刘烁—，马丽娜2,吴克坚—，徐清华—，王瑞星—，赵清波1$•空军军医大学基础医学院数学物理教研室，陕西西安,710032*2.陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安,710062)摘要本文对历届全+大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题及答案进行了统计分析，剖析了竞赛试题的命题理念与结构特点，并提出竞赛准备的几点建议•关键词大学生数学竞赛；统计分析中图分类号O13文献标识码A文章编号1008-1399(2021)03-0077-03Statistical Analyses of the Chinese Mathematics Competitionsfor Non-Mathematical ProfessionalsLIU Shuo1,MA Lina2,WU Kejian1,XU Qinghua1,WANG Ruixing,and ZHAO Qingbo1 (18TeachingandResearchLaboratoryofMathematicsandPhysics!SchoolofBasic Medical!AirForce MedicalUniversity!Xian710032,PRC；28Co l ege of Mathematics and Information Science!Shaanxi Normal University!Xi'an710062!PRC)Abstract With al the past test questions of the Chinese Mathematics Competitions for Non-Mathematical Professionals,this paper presents the statistics of the questions'proposition idea and structural character-iDticD!andputDforwardDomeDuggeDtionD.Keywords TheChineDe MathematicDCompetitionD!DtatiDticalanalyDiD为激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才,自2009年起，中国数学会每年举办一次全国大学生数学竞赛(The Chinese Mathematics Competitions(简称CMC)).竞赛的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生，分为数学专业类和非数学专业类两组，数学专业类竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，非数学专业类竞赛内容为大收稿日期：2020-05-28修改日期：2020-09-01作者简介：刘烁(1979—),男，湖南安乡人，硕士，副教授,主要从事生物数学传染病动力学模型研究,Email：liushuo912@.通讯作者：赵清波(1966—),女，河南洛阳人，硕士，教授，主要从事卫生统计学研究，Email：zhaoqbo@.学本科理科高等数学课程的教学内8竞赛分为初赛和决赛进行,试题均由全国大学生数学竞赛委员会统一组织专家命制.分区初赛由各省(市、区、军队院校)数学会负责组织选拔，使用全国统一试题，在同一时间内进行考试;决赛由全国大学生数学竞赛工作小组和承办单位负责组织实施.作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，全国大学生数学竞赛为青年学子提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台，为高校发现和选拔优秀数学人才并进一步促进数学课程建设的改革和发展积累了调研素材.竞赛试题在所考查的知识内容、题量分布与命题理念方面有何特点，在解题方法上应该怎样准备，是许多大学数学老师和学生十78高等数学研究2021年5月分关心的问题，有鉴于此，笔者对历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛的试题进行了全面的统计分析，希望能有助于大家进一步明确全国大学生数学竞赛的试题特点与复习教学目标，从而更好地加强教学及备考的针对性.一、历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛试题统计分析1.试题来源及整体情况试题来源于全国大学生数学竞赛资源网，网址：.选取2009年至2019年共11届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛试题，共101题，总分值1100分.2.题将11届试题的每一道题按题型、分值、所考查的知识点、用到的解题方法进行整理，利用python 统计题型分布，知识点及解题方法出现的频次.（1）题量除2011年9道,2009年和2012年11道外，其余均为10道题.（2）型题型主要有填空、计算、证明、综合（既有证明又有计算）四类。
第12~18届北京市大学生数学竞赛全部试题解答
∫ f (tx)dt = f ( x) + x sin x, f (0) = 0 且有一阶导数，则当 x ≠ 0 时， f ′( x) =
0
.
10 ． 设 C 是 从 球 面 x + y + z = a 上 任 一 点 到 球 面 x + y + z = b 上 任 一 点 的 任 一 条 光 滑 曲 线
1 1 1 n ，则 lim < xn < (n + 2) sin xk = ∑ n →∞ n + 1 n +1 n +1 k =1
x →0
.
8．设 f ( x ) 在点 x = 0 可导，且 lim
1
cos x − 1 = 1 ，则 f ′(0) = e f ( x) − 1
.
9． 设 f ( x ) 满足
∑ na ( x − 3)
n=0 n
n
的收敛区间为
.
5． tdt e
0 t
∫ ∫
1 ( )2 x
dx =
.
6．设 y = 1, y = e x , y = 2e x , y = e x + 程为 .
1
π
都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方
7．设数列 { xn } 满足： n sin
五、从已知 ABC 的内部的点 P 向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点 P 的位置. 六、求
(−1) n n3 n x 的收敛区间及和函数. ∑ n = 0 ( n + 1)!
∞
七、设 f ( x ) 是 [0,1] 上的连续函数，证明： e f ( x ) dx e − f ( y ) dy ≥ 1 .
2020年第十二届全国大学生数学竞赛--初赛《数学类A卷》试题(含参考答案)
(2) 求点 A1, B1,C1 三点的坐标； (3) 给定点A(1, 1, 0), B(1, 1, 0),C(1, 1, 0) ，求四面体 NA1B1C1 的体积. 【参考解答】：(1) 由直线的两点式方程，直接可得过 N, A 两点的直线方程为
(2) 直线 NA 的参数方程为
x y z 1
.
a1 a2 1
1 k
趋于
0，故
lim
n
yn
1
yn
0.
所以
bn an yn yn1 0, n
从而可知 an , bn 的极限相等，从而 yn 收敛. 最后，由 的连续性可得 xn 收
敛.
六、（20
分）对于有界区间
a,
b
的划分
P : a x0 x1 xn1 b
其范数定义为||
P
||
max xk1
1
0
2021
1
代入极限式得I
.
2021
【思路二】 由 Stolz 公式，得
lim 1 12020 22020 n2020
n n 2021
lim
n 2020
1
n n2021 (n 1)2021 2021
12020 22020 n 2020
1
故 ln
有界. 故I .
n 2021
x a1t, y a2t, z 1 t
将其代入球面方程，得
2
a1t
2
a2t
(1 t)2
1
2
解得参数值为t
a12
a22
或t 1
0.
从容可得 A1 的坐标为
A1
a12
2a1 a22
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解 令，则，，（*） 令，则，，，，2．设是连续函数，且满足, 则____________.解 令，则，,解得。
因此。
3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu u t-=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-⎰+--=0142d )21(2(*)t t t ⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t )(x f ⎰--=222d )(3)(x x f x x f =)(x f ⎰=2d )(x x f A23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰34=A 3103)(2-=x x f 2222-+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-2222-+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面 的切平面方程是。
历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算()ln(1)d d 1Dyx y x x y x y++=--⎰⎰____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =____________.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A xx f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=L，且neu n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.八、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（3）设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰L .（4）设函数()f t 有二阶连续导数，221,(,)r x y g x y f r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂.（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <.证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根. 三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.四、（15分）设10,nn n k k a S a =>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c ++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0L xy x x yx yϕ+=+⎰Ñ的值为常数. （1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx yϕ+=+⎰Ñ； （2）求函数()x ϕ；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d Cxy x x yx yϕ++⎰Ñ. 2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）（1）求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；（2）.求111lim (12)n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d yx.二、（本题10分）求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h →++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦.计算： （1）()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；（2）()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限21lim(!)n n n →∞. （2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-. （3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂.确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. （4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L x y u x x u u y +++⎰在右半平面与路径无关，求(,)u x y .（5）求极限13sin lim d cos x x x tx t t t+→+∞+⎰. 二、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、（本题10分）求方程21sin 2501x x x=-的近似解，精确到0.001.四、（本题12分）设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、（本题12分）求最小实数C ，使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x 都有10()f x dx C ≤⎰.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >.区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分.定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛； （2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散. 2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤） 1.求极限()2lim 1sin 14nn n π→∞++.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.4.过曲线3(0)y x x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标.二、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()0lim 0x f x x →=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、（满分14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、（满分14分）设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和. 2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L .则与L 平行的S 的切平面方程是.3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y xt x t π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定.求d d x y x ==.4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1x x f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则=→20)(lim x x f x . 二、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤.证明：对任意]1,0[∈x ，有22|)('|B A x f +≤. 四、（本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R .证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、（本题15分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=ban nn dx x f a b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、（本题15分）设2222212n n n nA n n n n =++++++L ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π. 2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭L . （2）设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z zx y xy∂∂+=∂∂.（3）曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是. （4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是.（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()20xt u x e dt +∞-=⎰，则()u x 的初等函数表达式是.二、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.三、（12分）设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内无穷次可导. 四、（14分）求幂级数()()30211!n n n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰.试证：（1）[]00,1x ∃∈使()04f x >；（2）[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤.若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y Mf x y dxdy π+≤≤⎰⎰.2016年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，满分30分）1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪⎪⎝⎭__________. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若zz x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2x f x e x =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()230d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx f n n →∞=⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()10d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()()23f x f x f x =+=+.用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、1.已知可导函数f (x )满足⎰+=+x x tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x =_________.2．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3.设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数.则21xx yy w w c -=_________. 4.设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →=____.5.不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰=________. 6.记曲面222z x y =+和224z x y =--围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰=___________.二、（本题满分14分)设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度α，定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>.证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值. 三、(本题满分14分)设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段.求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(本题满分15分)设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰，则,()a b a b ∀<，2()2bab a f x dx -+≤⎰. 五、(本题满分15分)设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。
全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷
(*) 2 0 (1 2t 2 t 4 )dt 1
2
1 0
(1 2t 2
t 4 )dt
2t
2 t3 3
1 5
t
5
1 0
16 15
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2
2
f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________.
0
解 令 A 2 f (x)dx ，则 f (x) 3x2 A 2 ， 0
n
x0
n
故
A lim ex e2x enx n e
x0
n
x
e lim ex e2x enx n
x0
nx
e lim ex 2e2x nenx e 1 2 n n 1 e
x0
n
n
2
因此
lim ( ex
e2x
e
nx
)
e x
eA
n1e
e 2
x0
n
解法 2 因
(x0 , y0 ) 处 的 法 向 量 为 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) ， 故 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) 与
(2,2,1) 平行，因此，由 zx x ， z y 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 z y (x0 , y0 ) 2 y0 ，
y(1
f ( y))
因此
—4—
y
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
二、（5
分）求极限 lim ( ex
e2x
e nx
e
)x
全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知xx e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类).
1
1 2 4 2 3 1 5 16
2 (12t t )dt 2 t t t
令t 1u ，则u 1t2 ，du 2tdt ，u2 12t2 t4 ，u(1u) t2 (1t)(1t) ，
0
(*) 2 (12t2 t4 )dt
1
2
d y
则 2 ________________.
dx
f (y ) y
x
解方程xe e ln 29 的两边对 求导，得
y
(x y ) ln(1 ) u ln u u ln v
1x y
坐标轴所围成三角形区域.
0 1
解令 ，则 ， ，
x y u,x v x v,y u v dxdy det dudv dudv
1 1
2 ．设f (x) 是连续函数，且满足f (x) 3x 2 f (x)dx 2 , 则f (x) ____________.
0
处的切平面方程是2(x 2) 2(y 1) (z 5) 0 ，即曲面z y 2 平行平面
2
2x 2y z 0 的切平面方程是2x 2y z 1 0 。
4 ．设函数y y (x) 由方程 f (y ) y 确定，其中 具有二阶导数，且 ，
xe e ln 29 f f 1
处的法向量为(z (x , y ), z (x , y ),1) ，故(z (x , y ), z (x , y ),1) 与(2,2,1) 平行，
x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0
D x dxdy D dudv
1x y 1u
1 u ln u u u u
4 2 10
解得A 。因此f (x) 3x 。
历届全国大学生数学竞赛预赛历年考试
全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算()ln(1)d d 1Dyx y x x y x y++=--⎰⎰____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =____________.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 地切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定地正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A xx f x =→)(l i m 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处地连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 地正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.五、（10分）已知xxe xe y 21+=，xxexe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程地三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形地面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成地旋转体地体积V 最小.b5E2R 。
第12届数学竞赛预赛试卷(非数学)-答案
0
m
m
cos kt
k =1
=
cos
m+ 2
1
t
sin mt 2
sin t
，
2
极值学院
4
极值学院
有
m 0
cos
2πn[ x m
+
1]dx
=
co（s
m+ 2
1
2 n m
)
sin( m 2πn 2m
sin 2πn
)
=0
，因此得证.
2m
…………… 5 分
= (n +1) + (n +1)n + (n +1)n 1 ， an−1
……………… 4 分
如此递推，得
1 an+1
=
(n +1)!
n k =1
1+ k!
1 a1
=
n
(n +1)!
k =0
1， k!
……………… 3 分
极值学院
2
极值学院
2 4
−
1 F(x)2
2
+ 0
=
2 4
−
1 2
2
2
=
2 8
.
【5】 设 f (x) ，g(x) 在 x = 0 的某一邻域U 内有定义，对任意 x U ，f (x) g(x) ，
且 lim f (x) = lim g(x) = a 0 ，则 lim [ f (x)]g(x) −[g(x)]g(x) =
所以
f
(n) (−1)
=
n!
.
陕西省第12届数学竞赛预赛试卷(非数学)-答案
故
f
( y)
=
a3b 3
1 (3y2
−
y3 6
)
+
C1 y
+
C2
.
……………… 4 分
五、(本题满分 12 分) 计算 I =
3y
−
x
dx
−
5zdz
，曲线
:
x2
x2
+ +
y2 y2
+ z2 = = 2z
8
，从
z
轴
正向往坐标原点看去取逆时针方向.
【解】
曲线
也可表示为
z x
= 2， 2 + y2
+ sin x dx
0x
x sin u du . 0u
令 F(x) = x sin u du ，则 F(x) = sin x ， lim F(x) = ，所以
0u
x
x→+
2
2
I= − 4
+ 0
F ( x) F ( x)dx
=
2 4
−
1 F(x)2
2
+ 0
=
2 4
−
1 2
2
2
=
2 8
.
【5】 设 f (x) ，g(x) 在 x = 0 的某一邻域U 内有定义，对任意 x U ，f (x) g(x) ，
y2
2
1
+
x y
=
x + yy x2 + y2
，即 (x + y)y =
y−x，
所以 f (1) = 0 ，曲线 y = f (x) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y =1.
全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，xx exe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足22()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy.二、（5分）求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(xf 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且ne u n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.八、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （3）设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰L .（4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g gx y∂∂+∂∂. （5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离.二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+， 其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.四、（15分）设10,nn n k k a S a =>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n na S α+∞=∑发散.五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c ++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转.（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值. 六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0Lxy x x yx y ϕ+=+⎰Ñ的值为常数.（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx yϕ+=+⎰Ñ； （2）求函数()x ϕ；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x yx y ϕ++⎰Ñ.2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）（1）求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d yx.二、（本题10分）求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解. 三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h →++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值. 五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算： （1）()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；（2）()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限21lim(!)n n n →∞. （2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-. （3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂.（4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L x y u x x u u y +++⎰在右半平面与路径无关，求(,)u x y .（5）求极限1lim x x x t +. 二、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、（本题10分）求方程21sin 2501x x x=-的近似解，精确到0.001.四、（本题12分）设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.五、（本题12分）求最小实数C ，使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x都有10f dx C ≤⎰.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛； （2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散.2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值. 4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标.二、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()lim 0x f x x→=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m ≤⎰.五、（满分14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I xx y z y y z x z z x y∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、（满分14分）设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞. 七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和.2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 .2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y xt x tπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定.求d d x y x== .4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim . 5.已知13()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则=→20)(lim x x f x . 二、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ，有22|)('|BA x f +≤. 四、（本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、（本题15分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、（本题15分）设2222212n n n n A n n n n =++++++L ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭L . （2）设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y yx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z z x y xy∂∂+=∂∂ .（3）曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 . （4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 .（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()20xt u x e dt +∞-=⎰，则()u x 的初等函数表达式是 .二、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、（12分）设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内无穷次可导. 四、（14分）求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证：（1）[]00,1x ∃∈使()04f x >； （2）[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤. 若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2016年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，满分30分） 1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若z z x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2xf x ex =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()2300d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M xy z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx f n n →∞=⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()10d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.用级数理论证明()f x 为常数.2017年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、1. 已知可导函数满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x .2． 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c为非零常数. 则21xx yy w w c-. 4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰. 6. 记曲面222z x y =+和224z x y =--围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰.二、（本题满分14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α，定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值.三、(本题满分14分) 设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(本题满分15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x ef x dx +∞---∞≤⎰，则,()a b a b ∀<，2()2ba b a f x dx -+≤⎰. 五、(本题满分15分) 设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。
2021年历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛初赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛同窗最核心是好好复习高等数学知识，适当看某些辅导书及有关题目，核心是某些各大高校试题。
）第一届全国大学生数学竞赛初赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 和两坐标轴所围成三角形区域.解：令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是持续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f ，则=)(x f ____________.解：令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 切平面方程是__________. 解：因平面022=-+z y x 法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 和)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 切平面方程是0122=--+z y x 。
全国大学生数学竞赛大纲(非数学专业组)
中国大学生数学竞赛竞赛大纲(初稿)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler )方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
第十二届全国大学生数学竞赛非数类试题
,1 = .y2 4第十二届全国大学生数学竞赛试题(非数学类)2020 年 11 月 28 号 9:00 - 11:30(模板制作者：八一与酸奶)考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分一、填空题 ( 本题满分 30 分，每题 6 分)1. 极限 lim x →0 (x − sin x ) e −x 22. 设函数 f (x ) = (x + 1)n e −x 2，则 f (n )(−1) =.3. 设 y = f (x ) 是由方程 arctan x = ln ,x 2 + y 2 − 1 ln 2 +v 确定的隐函数，且满足 f (1) = 1，则曲线 y = f (x ) 在点 (1; 1) 处的切线方程为 .注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效．2. 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记．3. 如答题空白不够, 可写在当页背面, 并标明题号．省市：学校：姓名：准考证号：装订线 内 不要答题∈ = :∫ d4. 已知+∞sin x x = v ，则∫ +∞ ∫ +∞ sin x s in (x + y ) d d y =x 2 0 0x (x + y ) 5. 设 f (x ); g (x ) 在 x = 0 的某一邻域 U 内有定义, 对任意 x U; f (x ) g (x )，且 lim f (x ) =x →0lim g (x ) = a > 0; 则x →0lim [f (x )]g (x ) − [g (x )]g (x )x →0 f (x ) − g (x )二、解答题 ( 本题满分 10 分)设数列 {a } 满足：a = 1，且 a=a n; n > 1: 求极限 lim n !ann +1(n + 1) (a n + 1)n →∞n x三、解答题( 本题满分8 分)设f(x)在[0;1]连续，f(x)在(0;1)内可导，且f(0)=0;f(1)=1，证明：(1) 存在x0∈ (0; 1)，使得f (x0) = 3 −x0;(2) 存在‡; y ∈ (0; 1)，且‡ y，使得[1 + f ′(‡)][1 + f ′(y)] = 4.. y已知 z = xf y x 四、解答题 (本题满分 12 分)Σ+ 2y ' . x Σ，其中 f ; ' 均为二次可微函数，则求(1) 求 @z ;@x @2z ; @x @y@2z 当 f = '，且@x @y|x =a = −by 2，求 f (y ).(2)计算x 2 + y 2 + z 2 = 8I =Γ.,3y − x . d x − 5z d z曲线 Γ :x 2 + y 2 = 2z，从 z 轴正向从坐标原点看去取逆时针方向.省市：学校： 姓名： 准考证号：装 订 线 内 不 要 答题I∑证明f (n ) =n m =1m cos2v n [x + 1] d xm等于 n 的所有因子 (包括 1 和 n 本身) 之和，其中 [x + 1] 表示不超过 x + 1 的最大整数，并计算 f (2021).∫∫ t∑− n →∞n =1 n pn设u n =1d n (n > 1) 0(1 + t 4)(1) 证明数列 {u n } 收敛，并求极限 lim u n ;(2) 证明级数 ∞ ( 1)n u n 条件收敛；n =1(3) 证明当 p > 1 时，级数∑∞u n收敛，并求级数∑∞u n 的和.n =1。
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1. 极限 lim (x − sin x) e−x2 =
.
x→0 1 − x3 − 1
2. 设函数 f (x) = (x + 1)ne−x2，则 f (n)(−1) =
.
3. 设 y = f (x) 是由方程 arctan x = ln x2 + y2 − 1 ln 2 + 确定的隐函数，且满足 f (1) = 1，
y
2
4
则曲线 y = f (x) 在点 (1; 1) 处的切线方程为
.
不
姓名：
内
线
订
学校：
装
省市：
参考解答 第 1 页 (共 7 页)
4. 已知 ∫ +∞ sin x dx = ，则 ∫ +∞ ∫ +∞ sin x sin (x + y) dxdy =
0
x
2
0
0
x (x + y)
5. 设 f (x); g(x) 在 x = 0 的某一邻域 U 内有定义, 对任意 x ∈ U; f (x) g(x)，且 lim f (x) =
证明
f
(n)
=
∑n
∫
m
cos
2
n [x + 1] dx
m=1 0
m
等于 n 的所有因子 (包括 1 和 n 本身) 之和，其中 [x + 1] 表示不超过 x + 1 的最大整数，并 计算 f (2021).
参考解答 第 6 页 (共 7 页)
得分 评卷人 复核人 七、解答题 ( 本题满分 14 分)
题
准考证号：
答
要
绝密 F 启用前
微信公众号：八一考研数学竞赛
第十二届全国大学生数学竞赛试题 (非数学类)
2020 年 11 月 28 号 9:00 - 11:30 (模板制作者：八一与酸奶)
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
满分
24
8
14
12
14
14
n→∞
n!an
参考解答 第 2 页 (共 7 页)
得分 评卷人 复核人 三、解答题 ( 本题满分 8 分) 设 f (x) 在 [0; 1] 连续，f (x) 在 (0; 1) 内可导，且 f (0) = 0; f (1) = 1，证明：
(1) 存在 x0 ∈ (0; 1)，使得 f (x0) = 3 − x0; (2) 存在 ; Á ∈ (0; 1)，且 Á，使得 [1 + f ′( )][1 + f ′(Á)] = 4.
得分 评卷人 复核人 五、解答题 ( 本题满分 12 分)
计算
I = 3y − x dx − 5zdz
Γ
x2 +y2 +z2 = 8
曲线 Γ :
，从 z 轴正向从坐标原点看去取逆时针方向.
x2 + y2 = 2z
题
准考证号：
答
要
不
姓名：
内
线
订
学校：
装
省市：
参考解答 第 5 页 (共 7 页)
得分 评卷人 复核人 六、解答题 ( 本题满分 14 分)
14
100
得分
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效． 2. 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记． 3. 如答题空白不够, 可写在当页背面, 并标明题号．
得分 评卷人 复核人 一、填空题 ( 本题满分 30 分，每题 6 分)
参考解答 第 3 页 (共 7 页)
得分 评卷人 复核人 四、解答题 (本题满分 12 分)
已知 z = xf y + 2y' x ，其中 f; ' 均为二次可微函数，则求
x
y
(1)
求
@z ;
@2z
;
@x @x@y
(2)
当
f
= '，且
@2z @x@y
|x=a= −by2，求
f (y).
参考解答 第 4 页 (共 7 页)
x→0
lim g(x) = a > 0; 则
x→0
lim [f (x)]g(x) − [g(x)]g(x) =
:
x→0
Байду номын сангаас
f (x) − g(x)
得分 评卷人 复核人 二、解答题 ( 本题满分 10 分)
设数列
{an}
满足：a1
=
1，且
an+1
=
an (n + 1) (an
;n + 1)
>
1:
求极限
lim
设 ∫ 1 dt
un = 0 (1 + t 4)n (n > 1)
(1)
证明数列
{un}
收敛，并求极限
lim
n→∞
un;
∑ ∞ (2) 证明级数 (−1)n un 条件收敛；
n=1
(3)
证明当
p
>
1
时，级数
∑ ∞
n=1
un np
收敛，并求级数
∑ ∞ un n=1 n
的和.
参考解答 第 7 页 (共 7 页)