参数估计精讲及经典案例

第21讲 参数估计习题课

教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。 教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。 教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。 教学时数：2学时。 教学过程：

一、知识要点回顾

1. 矩估计

用各阶样本原点矩n k

i i 1

1x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2,k = 。若有参

数2g(,(),,)k E X E X E X θ= （）（），则参数θ的矩估计为

n n n 2i=1i=1i=1

111ˆ(,,,)k

i i i X X X n n n θ=∑∑∑ 。

2. 最大似然估计

似然函数1()(;)n

i i L f x θθ==∏，取对数ln[()]L θ，从

ln()

d d θθ

=0中解得θ的最大似然估计θˆ。

3. 无偏性,有效性

当θθ=ˆE 时，称θˆ为θ的无偏估计。 当21ˆD ˆD θθ<时，称估计量1ˆθ比2

ˆθ有效。

5. 两个正态总体均差值的区间估计

当21σ和2

2σ已知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为

当21σ和22σ未知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为

二 、典型例题解析

1．设,0()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩

，求θ的矩估计。

解 ,0

dx xe EX x ⎰+∞

-=θθ设du dx u x x u θ

θ

θ1

,1

,=

=

=

则0

0011

1()0()u u

u EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞

--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢

⎥⎣⎦⎰⎰=θ

1

故1EX

θ=

，所以x 1ˆ=θ

。 2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。

解 由均匀分布的数学期望和方差知

1

()()2

E X a b =+ （1）

21()()12

D X b a =- （2） 由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=，

整理得2)(3

1

a EX DX -=，解得

()()a E X b E X ⎧=⎪⎨

=⎪⎩ 故得b a ,的矩估计为

ˆˆa x b x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩

其中∑=-=n

i i x x n 1

22

)(1ˆσ

。 3．设总体X 的密度函数为(;)!

x e f x x θ

θθ-=

，求θ的最大似然估计。

解 设)!)...(!)(!(),()(2111n

n x n

i i x x x e x f L n

i i

θ

θ

θθ-=∑===∏，则

1

1

ln ()()ln ln(!)n n

i i i i L x n x θθθ===--∑∑

11

ln ()11ˆ0, n n

i i i i d L x n x x d n θθθθ===-===∑∑

4．设总体X 的密度函数1(,)()(a

a x f x a x e a θθθ--=已知），求参数θ的最大似然估计。 解 1

1121()(,)(...)n

a

i i n

x n n a i n i L f x a x x x e

θ

θθθ=--=∑==∏

1

1

ln ()ln ln (1)ln n n

a i i i i L n n a a x x θθθ===++--∑∑

1

ln ()0n a

i i d L n x d θθθ==-=∑ 解得 ∑==n i a

i x n 1

1θ。

5. 设1ˆθ和2ˆθ为参数θ的两个独立的无偏估计量，且假定2

1ˆ2ˆθθD D =，求常数c 和d ，使2

1ˆˆˆθθθd c +=为θ的无偏估计，并使方差θˆD 最小。 解 由于θθθθθθ)(ˆˆ)ˆˆ(ˆ2

121d c dE cE d c E E +=+=+=,且知θθ=ˆE ，故得c+d=1。 又由于

2

222222221221ˆ)2(ˆˆ2ˆˆ)ˆˆ(ˆθθθθθθθθD d c D d D c D d D c d c D D +=+=+=+= 并使其最小，即使222d c f +=，满足条件c+d=1的最小值。 令d=1-c ，代入得22)1(2c c f -+=，'42(1)0, 620c f c c c =--=-=

解得3

2

1,31=-==c d c 。

6．对方差2σ为已知的正态总体来说，问需取容量n 为多大的样本，才能使总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间的长度不大于L ？

解 由于μ的置信区间为),(2

2

αασ

σ

u n

x u n

x +

-

，故μ的置信区间长度为

L u n

≤2

2

ασ

。所以，有202ασu L n ≥

，即22

0)2(ασ

u L n ≥。 7. 设某电子元件的寿命服从正态分布),(2σμN ，抽样检查10个元件，得样本均值)(1200h x =，样本标准差)(14h s =。求