控制系统的根轨迹分析
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
控制系统的根轨迹分析
实验四 控制系统的根轨迹分析一. 实验目的:1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二. 实验内容:1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。
3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。
4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。
观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。
（实验方法参考实验二）5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三. 实验原理:根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。
假定某闭环系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。
b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。
p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。
[k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应的增益K 和其它三个根。
K=22.5031， poles= -1.5229+2.7454i -1.5229-2.7454i0.0229+1.5108i 0.0229-1.5108i再令p=1.5108i ，可得到下面结果:k=22.6464， poles=-1.5189+2.7382i -1.5189-2.7382i0.0189+1.5197i 0.0189-1.5197i再以此根的虚部为新的根，重复上述步骤，几步后可得到下面的结果： k=23.316， poles=-1.5000+2.7040i -1.5000-2.7040i0.0000+1.5616i 0.0000-1.5616i这就是根轨迹由右半平面穿过虚轴时的增益及四个根。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
第四章控制系统的根轨迹分析法
− p4
− p3
∠s + z 2
∠s + p2
− p2
共轭复根 相; ∠s + p2 = 2π 在 s 左边的零、极点其相角均为0
∠s + z1 + ∠s + z2 = 2π 在 s 右边的零、极点其相角均为π
n m 0 出射角公式： 出射角公式： θ pc =180 + ∑θzj − ∑θ pi j =1 i=1
ζ = 0.707
s’ s’
-2 0
K −1
Re
-1
根轨迹法的分析基本思路: 根轨迹法的分析基本思路 目的: 目的
①解决高阶系统求解特征根比较困难 的实现; 寻找到一种方便、 的实现 ②寻找到一种方便、有效的描述 系统的根轨迹的方法。 系统的根轨迹的方法。
方法: 方法
① 根据开环零极点的分布绘制出系统 的根轨迹图； 的根轨迹图；②利用根轨迹法来分析和设 计系统. 计系统
S1
0 -1 -1+j -1+j∞
∞ ↑ K
S2
-2 -1 -1-j -1-j∞ jω
1 S1 0 σ -1
闭环特征方程式 S2+2S+K= 0
S2 -2
特征方程的根 S1.2 = -1± 1-K ±
K变化时,闭环特征根 变化时,
在S平面上的轨迹图形
-1 K ∞ ↑
系统特征方程为 求得两个极点： 求得两个极点：
jω
z1 p3 -2 p2 -1 z2 1 p
1 0
-1
3、实轴上的根轨迹 、
实轴上某区间存在根轨迹， 实轴上某区间存在根轨迹，则 该区间右边的开环零、 该区间右边的开环零、极点数之和 必为奇数。 必为奇数。
第四章控制系统的根轨迹法
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
第四章 控制系统根轨迹分析法
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
控制系统的根轨迹分析实验报告
一、实验目的1. 熟悉控制系统根轨迹的基本概念和绘制方法。
2. 掌握利用MATLAB软件绘制和分析控制系统根轨迹的方法。
3. 通过根轨迹分析，了解系统参数变化对系统性能的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理根轨迹是指当系统的某一参数（如开环增益K）从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面上的变化轨迹。
通过分析根轨迹，可以了解系统在参数变化时的稳定性、瞬态响应和稳态误差等性能。
三、实验设备1. 计算机2. MATLAB软件3. 控制系统实验箱四、实验内容1. 绘制控制系统根轨迹（1）首先，根据实验要求，搭建控制系统的数学模型。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 绘制控制系统根轨迹（1）根据实验要求，搭建控制系统的数学模型，得到开环传递函数。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
控制系统中的根轨迹分析与设计
控制系统中的根轨迹分析与设计控制系统是现代工程中不可或缺的一部分，它涉及到各个领域的应用，从机械工程到化学工程，从航空航天到电力系统。
控制系统的设计和分析对于系统的稳定性和性能至关重要。
在控制系统中，根轨迹分析和设计是一种常用的方法，它能够帮助工程师评估和改进系统的性能。
根轨迹是一个闭环系统的极点随着控制器增益变化而形成的运动路径。
通过根轨迹分析，我们可以得到有关系统性能和稳定性的重要信息。
根轨迹分析可以帮助我们确定控制器的增益范围，以确保系统稳定。
此外，根轨迹还可以提供关于系统的阻尼比、峰值时间和超调量等性能指标的信息。
在根轨迹分析中，我们需要首先确定系统的传递函数。
传递函数是一个数学模型，它描述了输入和输出之间的关系。
常见的传递函数形式包括一阶系统、二阶系统和高阶系统。
一阶系统的传递函数形式为G(s) = K/(sT+1)，其中K表示系统的增益，T表示系统的时间常数。
对于二阶系统，传递函数形式为G(s) = K/(s^2+2ξω_ns+ω_n^2)，其中K 表示系统的增益，ξ表示系统的阻尼比，ω_n表示系统的自然频率。
在根轨迹分析中，我们还可以利用极点和零点的特性来确定系统的性能。
极点是传递函数的根，它们决定了系统的稳定性。
当极点位于左半平面时，系统是稳定的；当极点位于右半平面时，系统是不稳定的。
零点是传递函数的分子根，它们决定了系统的频率响应。
通过分析极点和零点的位置，我们可以确定系统的性能，并设计适当的控制器。
根轨迹分析的结果可以用于系统的设计和优化。
在设计控制系统时，我们可以根据根轨迹的形状和位置来调整控制器的增益和参数。
通过改变控制器的增益，我们可以移动根轨迹，使系统的稳定性和性能得到改善。
此外，根轨迹还可以用于确定合适的控制策略，例如比例控制、积分控制和微分控制。
除了根轨迹分析，我们还可以利用根轨迹设计方法来设计控制系统。
根轨迹设计方法是一种基于根轨迹分析的控制器设计方法。
通过在根轨迹上确定一个所期望的闭环系统极点的位置，我们可以确定控制器的增益和参数。
第13章 控制系统的根轨迹分析与校正
rlocus(G) rlocus(G1,G2,...) rlocus(G,k) [r,k] = rlocus(G) r = rlocus(G,k)
绘制指定系统的根轨迹 绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于同 一图上 绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益向 量 返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有 length(k)列，每列对应增益的闭环根 返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根位 置矩阵。r有length(k)列，每列对应增 益的闭环根 MATLAB与控制系统仿真实践，
*
(s z )
i i 1 j
m
(s p
j 1
n
)
系统的闭环传递函数为
G(s) ( s) 1 G( s) H ( s)
系统的闭环特征方程为 1 G( s) H ( s) 即 G( s) H ( s)
K * (s zi )
i 1 m
0
(s p
j 1
例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8. 在线交流，有问必答
num=[1 3]; den=conv([1 1],[1 2 0]); G=tf(num,den); rlocus(G) figure(2) %新开一个图形窗口 Kg=4; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0)
北京航空航天大学出版社，2009.8. 在线交流，有问必答
图13.6 例3系统时的阶跃响 应
例4:若单位反馈控制系统的开环传递函数为
Gk ( s)
Kg s( s 2)
控制系统根轨迹分析
控制系统根轨迹分析简介控制系统根轨迹分析是一种经典的控制系统稳定性分析方法。
通过分析系统的特征根轨迹，可以评估系统的稳定性、阻尼比、过渡时间等性能指标，从而设计合适的控制器来实现系统的稳定和性能要求。
根轨迹的定义控制系统的根轨迹是由系统的特征根在复平面上随参数变化所形成的轨迹。
特征根是系统传递函数的零点，它们决定了系统的动态特性。
根轨迹对应于特征根的运动轨迹，可以直观地反映系统的稳定性和相应的频率响应。
根轨迹的绘制方法步骤一：计算系统的传递函数首先，需要获得系统的传递函数。
传递函数通常是通过将系统的微分方程进行拉氏变换得到的。
传递函数是 Laplace 域中的函数，它描述了输入和输出之间的关系。
步骤二：确定系统的开环极点和零点根轨迹是由系统的特征根构成的，而特征根由系统的开环极点和零点决定。
开环极点指的是系统传递函数的分母多项式的根，而开环零点指的是系统传递函数的分子多项式的根。
通过确定系统的极点和零点，可以得到系统的特征根。
步骤三：绘制根轨迹根轨迹的绘制可以通过手工计算或数值模拟方法实现。
手工计算方法需要根据系统的传递函数进行复杂的计算，而数值模拟方法可以借助计算机软件进行自动计算和绘制。
绘制根轨迹时，需要遵循以下基本规则： - 根轨迹始于系统的零点。
如果系统有多个零点，那么根轨迹将从每个零点开始。
- 根轨迹与实轴交点的个数等于零点的个数减去极点的个数，这一性质被称为根轨迹的零点和极点计数法则。
- 根轨迹在系统的极点位置是不连续的，并且与极点的关联程度取决于极点的幅度和阶数。
根轨迹的稳定性分析通过观察根轨迹图形，可以评估控制系统的稳定性。
根轨迹的稳定性分析方法主要有以下几种：1. 判据法判据法是判断根轨迹稳定性的基本方法之一。
根轨迹的稳定性与根轨迹图形与实轴的关系有关。
如果根轨迹图形位于实轴的左侧，则系统是稳定的；如果根轨迹图形经过实轴，则系统是不稳定的。
2. Astrom法Astrom法是一种根据根轨迹图形的形态特征进行稳定性判断的方法。
第5章-控制系统根轨迹分析.
3.开环零点对根轨迹的影响
5.4 基于MATLAB的根轨迹分析
1.阶跃响应与开环增益的关系
例1：已知系统结构如下图，试画出K：0→∞
时闭环根轨迹，并分析K对系统动态过程的影响。
Rபைடு நூலகம் s )
K ( s 4) s ( s 2)
C (s)
5.4 基于MATLAB的根轨迹分析
2.开环极点对根轨迹的影响
3.系统系能指标的估算
例1：某系统的闭环传递函数为
0.59 1s 1 ( s ) (0.67 s 1)(0.01s 2 0.08s 1)
试近似计算系统的动态性能指标 %, ts .
5.4 基于MATLAB的根轨迹分析
1.阶跃响应与开环增益的关系 2.开环极点对根轨迹的影响
偶极子：一对靠得很近的闭环零极点
0.1
5.3 控制系统根轨迹分析
2.闭环零极点的分布与阶跃响应的定性分析
(1) 稳定性：闭环极点位于S左半平面 (2) 平稳性：最佳阻尼比 (3) 快速性：闭环极点远离虚轴 (4) 动态过程尽快消失：闭环极点之间间距大 零点与极点间间距小
5.3 控制系统根轨迹分析
例2：已知某系统开环传递函数为
K G(s) H (s) s( s 1)
增加一个开环极点：P=-2.
5.4 基于MATLAB的根轨迹分析
3.开环零点对根轨迹的影响
例2：已知某系统开环传递函数为
K G(s) H (s) s( s 1)
增加一个开环极点：Z=-2.
本章小结
定性分析 开环传 法则 闭环 简化 一、 T 递函数 二阶 根轨 , n 零极点 系统 迹 系统 性能 指标
5.3 控制系统根轨迹分析
控制系统根轨迹法
控制系统根轨迹法控制系统的设计和分析是现代工程领域中的重要任务。
为了实现系统的稳定性和性能要求，控制系统工程师采用了多种方法和技术。
其中，根轨迹法是一种常用且有效的方法，用于评估和改进系统的动态响应。
1. 系统根轨迹方法概述控制系统根轨迹方法是基于系统的传递函数，通过分析系统在复平面上的极点和零点位置来评估系统的稳定性和动态性能。
在根轨迹图中，系统的极点和零点以及传递函数的增益可以直观地展示出来，从而帮助工程师定量地了解系统的响应特性。
2. 根轨迹图的构造根轨迹图通常由两个主要的部分组成：实部为-1的轴线和虚部为0的轴线。
系统的传递函数通常表示为连续时间的形式，并且可以表示为一个或多个一阶和二阶传递函数的乘积。
根轨迹图的构造基于这些传递函数的极点和零点。
极点和零点对应于根轨迹图上的曲线，其中极点表示系统的稳定性，而零点则表示系统的过渡性能。
3. 根轨迹与稳定性根轨迹图提供了系统稳定性的重要信息。
通过观察根轨迹图，可以确定系统的稳定性。
如果根轨迹图上的所有的极点都位于左半平面，那么系统是稳定的。
相反，如果存在极点位于右半平面，系统是不稳定的。
通过调整参数或者设计控制器，可以将系统的极点移动到左半平面，从而提高系统的稳定性。
4. 根轨迹与动态响应除了稳定性，根轨迹图还提供了关于系统动态响应的信息。
通过观察根轨迹图上的曲线形状，可以了解系统的过渡特性。
例如，当根轨迹密集且靠近虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应非常快。
相反，当根轨迹离散且远离虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应比较慢。
通过分析根轨迹图，工程师可以调整系统参数来改善系统的动态响应性能。
5. 根轨迹的应用根轨迹方法是控制系统分析和设计中常用的工具之一。
它可以用于多个方面，包括控制器的设计、系统的稳定性分析和性能优化。
使用根轨迹方法，工程师可以确定合适的控制器增益、相位补偿器和频率补偿器来满足系统的设计要求。
6. 根轨迹法的局限性尽管根轨迹法在控制系统领域中被广泛应用，但它也有一些局限性。
控制系统的根轨迹分析(matlab)只是课件
13.1.3 MATLAB根轨迹分析实 例
例1：若单位反馈控制系统的开环传
递函数为
Gk
(s)
s(s
kg 1)(s
5)
绘制系统的根轨迹。
程序如下：
clf;
num=1;
den=conv([1 1 0],[1 5]);
振荡已经很大。
Amplitude Amplitude
Step Response 1.8
1.6 System: G0
Peak amplitude: 1.64
1.4
Overshoot (%): 64.4
At time (sec): 1.44
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
Time (sec)
95.5190 POLES =
-7.4965 -0.0107 + 3.6353i -0.0107 - 3.6353i -0.4821
[K,POLES]= rlocfind(G,P)
sgrid
sgrid(z,wn)
交互式地选取根轨迹增益。产生一个十字 光标，用此光标在根轨迹上单击一个极点 ，同时给出该增益所有对应极点值
返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应的 全部极点值
在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和 等自然振荡角频率线。阻尼线间隔为0.1 ，范围从0到1，自然振荡角频率间隔 1rad/s，范围从0到10
绘制指定系统的根轨迹
绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于 同一图上
绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益 向量
控制系统的根轨迹分析实验报告
控制系统的根轨迹分析实验报告控制系统的根轨迹分析实验报告引言：控制系统是现代工程中非常重要的一部分，它可以帮助我们实现对各种物理过程的自动控制。
而根轨迹分析作为一种重要的分析方法，可以帮助我们了解系统的稳定性和动态响应特性。
本实验旨在通过根轨迹分析方法，对一个控制系统进行分析，并得出相应的结论。
实验目的：1. 学习根轨迹分析方法的基本原理和步骤；2. 通过实验分析，了解控制系统的稳定性和动态响应特性；3. 掌握如何根据根轨迹分析结果进行控制系统设计和优化。
实验步骤：1. 实验准备：a. 搭建好控制系统实验平台，包括传感器、执行器和控制器等；b. 确定实验所需的输入信号和采样频率。
2. 数据采集：a. 将输入信号输入到系统中，并采集输出信号；b. 通过数据采集设备将输出信号转换为数字信号。
3. 数据处理和分析：a. 使用MATLAB等软件，将采集到的数据导入，并进行根轨迹分析；b. 根据根轨迹图，分析系统的稳定性和动态响应特性。
实验结果与讨论：通过根轨迹分析，我们得到了系统的根轨迹图。
根轨迹图是描述系统极点随控制参数变化而轨迹的图形，可以直观地反映系统的稳定性和动态特性。
根据根轨迹图，我们可以得出以下结论：1. 系统的稳定性：根轨迹图上的点都位于左半平面，则系统是稳定的；若存在点位于右半平面，则系统是不稳定的。
2. 系统的阻尼比：根轨迹图上的曲线越靠近实轴，则系统的阻尼比越小；曲线越远离实轴，则系统的阻尼比越大。
3. 系统的自然频率：根轨迹图上的曲线越接近原点，则系统的自然频率越小；曲线越远离原点，则系统的自然频率越大。
根据以上分析，我们可以得出对控制系统的一些优化建议：1. 若系统不稳定，在根轨迹图上找到导致不稳定的点，并调整控制参数，使其移动到左半平面，从而提高系统的稳定性。
2. 若系统的阻尼比过小，可能导致系统的动态响应过度振荡，可以通过调整控制参数来增加阻尼比，从而减小振荡幅度。
3. 若系统的自然频率过大，可能导致系统响应过快，可能引起过冲或不稳定，可以通过调整控制参数来减小自然频率，从而改善系统的响应特性。
控制系统的根轨迹法分析
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
控制系统的根轨迹分析(matlab)..
13.2图形化根轨迹法分析与设计
13.2.1 图形化根轨迹法分析 与设计工具rltool
MATLAB 图 形 化 根 轨 迹 法 分 析 与 设 计 工 具 rltool是对SISO系统进行分析设计的。既可以 分析系统根轨迹，又能对系统进行设计。其 方便性在于设计零极点过程中，能够不断观 察系统的响应曲线，看其是否满足控制性能 要求，以此来达到提高系统控制性能的目的。
Root Locus 10 8 6 4
System: G Gain: 4.02 Pole: -0.247 + 2.18i Damping: 0.113 Overshoot (%): 70 Frequency (rad/-4 -6 -8 -10 -3.5 System: G Gain: 45.1 Pole: -0.0575 - 6.84i Damping: 0.0084 Overshoot (%): 97.4 Frequency (rad/sec): 6.84
Root Locus 15
10
5
Imaginary Axis
0
-5
-10
-15 -16
-14
-12
-10
-8
-6 Real Axis
-4
-2
0
2
4
图13.5 例3系统根轨迹
Select a point in the graphics window selected_point = -0.0071 + 3.6335i K= 95.5190 POLES = -7.4965 -0.0107 + 3.6353i -0.0107 - 3.6353i -0.4821
3.增加极点。删掉前面所加零点，再为系统增加极点
7.3 控制系统根轨迹分析
2、绘制系统的根轨迹rlocus() 、绘制系统的根轨迹 调用的格式： 调用的格式： rlocus(num,den) %在图形窗口绘制 在图形窗口绘制SISO系统的根轨迹 在图形窗口绘制 系统的根轨迹 (num,den为系统开环传函的分子、分母多项式系数向量 为系统开环传函的分子、 为系统开环传函的分子 分母多项式系数向量) rlocus(sys) %在图形窗口绘制 在图形窗口绘制SISO系统 系统sys的根轨迹 在图形窗口绘制 系统 的根轨迹 (sys为系统的开环传函 为系统的开环传函) 为系统的开环传函 [r,k] = rlocus(sys) %得到系统的闭环极点r ,及所对应的 %得到系统的闭环极点 ,及所对应的 得到系统的闭环极点r 开环增益k 从 至 所对应的闭环极点 所对应的闭环极点) 开环增益 (k从0至∞所对应的闭环极点 rlocus(sys,k) %绘制指定开环增益 下系统的闭环极点 绘制指定开环增益k下系统的闭环极点 绘制指定开环增益 r = rlocus(sys,k) %求指定的开环增益 下系统闭环极点 求指定的开环增益k下系统闭环极点 求指定的开环增益 rlocus(sys1,sys2,...)
Matlab控制系统工具箱提供了有关根轨迹的函数 控制系统工具箱提供了有关根轨迹的函数 （p196表7-2） 表 ） 1、绘制系统的零极点图 、绘制系统的零极点图pzmap() 调用的格式： 调用的格式： pzmap(sys) %在图形窗口绘制系统 在图形窗口绘制系统sys的零极点图 的零极点图(SISO) 在图形窗口绘制系统 的零极点图 (对于 对于MIMO系统，绘制系统的极点和传递零点 系统， 对于 系统 绘制系统的极点和传递零点) pzmap(sys1,sys2,...,sysN) [p,z] = pzmap(sys) %得到零极点的列向量 得到零极点的列向量(SISO))(对于 得到零极点的列向量 对于 MIMO系统，得到极点的列向量和传递零点的列向量 系统， 系统 得到极点的列向量和传递零点的列向量)
控制系统的根轨迹分析
控制系统的根轨迹分析引言控制系统是现代工程领域中应用广泛的一个重要概念，它用于调节和控制系统的输出，以使其达到预期的目标。
在控制系统设计中，根轨迹分析是一种重要的工具，用于评估系统的稳定性和性能。
本文将介绍控制系统的根轨迹分析方法，包括其基本原理、应用范围以及如何使用根轨迹分析改进控制系统的性能。
根轨迹分析原理根轨迹分析是一种基于系统传递函数的频域分析方法，它用于研究系统在不同参数情况下的稳定性和性能。
根轨迹是系统传递函数极点随参数变化而形成的轨迹图，通过观察根轨迹可以得到系统的稳定性、阻尼比、过渡过程和稳态误差等性能指标。
根轨迹分析基于以下原理： - 控制系统的稳定性取决于系统传递函数极点的位置，当极点全在左半平面时，系统是稳定的。
- 控制系统的阻尼比可以通过观察根轨迹的形状来判断，当根轨迹越接近实轴，阻尼比越小，系统的过渡过程越激烈。
- 控制系统的稳态误差可以通过观察根轨迹的最后一段来判断，当根轨迹趋于无穷远时，稳态误差为零。
根轨迹分析步骤根轨迹分析一般需要经历以下几个步骤： 1. 给定系统的传递函数，通常是一个比例控制器和一个被控对象的组合。
2. 将传递函数的分子和分母分别表示为多项式的形式。
3. 根据系统传递函数的阶数，求解其特征方程的根。
这些根即为根轨迹的起始点。
4. 在复平面上绘制出根轨迹的起始点以及随参数变化而形成的轨迹。
5. 根据根轨迹的形状和位置，判断系统的稳定性、阻尼比和稳态误差等性能指标。
根轨迹分析的应用根轨迹分析在控制系统设计中有广泛的应用，主要有以下几个方面： 1. 系统稳定性评估：通过观察根轨迹的位置，可以判断系统是否稳定。
如果根轨迹全在左半平面，则系统是稳定的。
2. 控制器设计：根轨迹分析可以帮助工程师选择合适的控制器参数，以实现系统的稳定性和性能要求。
3. 系统性能优化：通过分析根轨迹的形状，可以判断系统的过渡过程、阻尼比和稳态误差等性能指标，从而优化系统的性能。
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实验报告
课程名称：____ 自动控制理论实验_____指导老师：_____________成绩：__________
实验名称：___控制系统的根轨迹分析___实验类型：___仿真实验___同组学生姓名：__无__ 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得
实验十一 控制系统的根轨迹分析
一、实验目的
1、用计算机辅助分析的办法，掌握系统的根轨迹分析方法。
2、熟练掌握 Simulink 仿真环境。
二、实验原理
1、根轨迹分析方法
所谓根轨迹，是指当开环系统的某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益 K ） 从零变到无穷大时，系统特征方程的根在 s 平面上的轨迹。
在无零极点对消时，闭环系统特
征方程的根就是闭环传递函数的极点。
根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。
利用它可 以对系统进行各种性能分析： (1) 稳定性
当开环增益 K 从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半 s 平面，因 此这个系统对所有的 K 值都是稳定的。
如果根轨迹越过虚轴进入右半 s 平面，则其交点的 K
值就是临界稳定开环增益。
(2) 稳态性能
开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的 K 值就是静态速度误差系数，如果 给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。
(3) 动态性能
当 0 < K < 0.5 时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周 期过程；当 K = 0.5 时，闭环两个极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周 期过程，但速度更快；当 K > 0.5 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，且超调量与 K 成正比。
同时，可通过修改系统的设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，即根轨迹对系 统设计也具有指导意义。
2、根轨迹分析函数
在 MA TLAB 中，绘制根轨迹的有关函数有 rlocus 、rlocfind 、pzmap 等。
(1) pzmap ：绘制线性系统的零极点图，极点用×表示，零点用 o 表示。
专业：_____________________
姓名：____________________ 学号：___________________ 日期：____________________ 地点：____________________
(2) rlocus：求系统根轨迹。
例如rlocus(a,b,c,d)、rlocus(num,den)或rlocus(a,b,c,d,k)、rlocus(num,den,k)，为根据开环系统的状态空间模型或传递函数模型，直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图，其中开环增益的值从零到无穷大变化或指定其变化范围。
(3) rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。
例如[k,p]=rlocfind(num,den)，其要求在屏
幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。
然后，此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。
命令执行结果：k 为对应选择点处根轨迹开环增益；p 为此点处的系统闭环特征根。
三、实验内容
一开环系统的传递函数为
绘制出此闭环系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。
四、实验要求
1、编制MATLAB 程序，画出实验所要求的根轨迹，求出系统的临界开环增益，并用
闭环系统的冲激响应证明之。
2、在Simulink 仿真环境中，组成系统的仿真框图，观察临界开环增益时系统的单位阶
跃响应曲线并记录之。
五、实验记录
1、MATLAB 的文件编程和仿真
(1) 实验程序
num=[1,2];
den=[conv([1,4,3],[1,4,3])];
rlocus(num,den) % 使用传递函数模型表征开环系统
[k,p]=rlocfind(num,den) % 在根轨迹图中使用光标获得相应的极点p与增益k
z=[-2];
p=[-1,-1,-3,-3];
k=32*sqrt(3); % k=55.4256为临界开环增益
[num,den]=zp2tf(z,p,k); % 使用零极点模型表征开环系统, 并转换为传递函数
[num1,den1]=cloop(num,den); % 闭环传递函数
subplot(211);
step(num1,den1);
xlim([0,20]);
grid; % 单位阶跃响应
subplot(212);
impulse(num1,den1);
xlim([0,20]);
grid; % 单位冲激响应
(2) 运行结果selected_point =
-0.8341 + 1.3665i
k =
6.9178
p =
-4.2173
-2.1390
-0.8218 + 1.3624i -0.8218 - 1.3624i
（根轨迹曲线）
（响应曲线）
2、MATLAB 的Simulink 仿真
(1) 系统框图
分析使用的系统为传递函数（Transfer Function）模型，在输入框赋予指定的一维向量。
(2) 仿真结果
七、结果分析
1、理论分析
对于开环传递函数为的控制系统，其特征方程为
(1) 根轨迹的起讫点与条数
系统具有二阶开环极点p i = -1, -3，开环零点z i = -2，即P = 4，Z = 1。
因此系统共有四条根轨迹分支，始于四个开环极点，其一终于开环零点，其余三条将沿渐近线趋向于s 平面的无穷远处。
(2) 实轴上的根轨迹
由判定规则易知，实轴上-2 至-3 和-3 至无穷小间的线段均为根轨迹（但其走向不同）。
(3) 根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的夹角与交点由下面二式确定
即渐近线过零点-2，且与实轴的夹角为60°。
(4) 分离点
由系统特征方程可得
因而分离点为-1，其出射角为90°。
(5)根轨迹与虚轴的交点
令特征方程中s=jw，可得
即
解之可得
由以上分析可绘制出完整的根轨迹图。
对比仿真所得的根轨迹图线可知，各特征量与实
际数值完全吻合，从理论上证明了由编程绘制得根轨迹的正确性。
2、开环临界增益
由时域仿真曲线可以看出，当系统取临界开环增益时，其输出响应是一个等幅振荡，表
明此时系统是稳定的。
因而验证了此临界开环增益值的正确性。
八、心得思考
1、本次试验中，我熟悉使用了matlab自带的Simulink 仿真工具，将理论知识和问题很直观的在计算机上演示了出来，十分方便。
matlab语言及其工具箱为根轨迹的绘制（图形绘制）与求解（数值计算）提供了很大的方便，在实际运用中可大大提高工作效率。
2、根轨迹是图解给定特定参数时闭环特征根，从而分析系统性能的一种方法，特别是对于高阶复杂系统，可以有效避免求解高阶特征方程的困难。
3、本实验通过对一个具体实例的运用和分析，从定性到定量地求解了根轨迹的性质和
系统的性能，以及根轨迹分析法在系统稳定性判别方面的应用，从而加深了对相关知识点的理解和巩固。