控制系统的根轨迹法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2、渐进线与实轴交点
m m m m −1 K 0 s + ∏ zi s + L ∏ z i i =1 i =1 G (s )H (s ) = n n s n + ∏ pl s n −1 + L∏ pl l =1 l =1
3、用分子除以分母得
G (s )H (s ) = s
2011-4-24 第5章 根轨迹法 10
自动控制理论 因为n≥m,所以根轨迹分支共计为n条; 根轨迹起点就是k0=0时根的位置,当k0=0时有:
∏ (s + p ) = 0
l l =1
n
根轨迹的始点为开环传 递函数的极点
根轨迹终点就是当
K0 → ∞
m l i =1
时根的位置;
i
1 K0
∏ (s + p ) + ∏ (s + z ) = 0
(4 - 12 )
∏ (s +
i =1
zi )
∏ (s +
l =1
pl
)
,n ≥ m
(4 - 13 )
其中,K为系统的开环增益;K0为系统的根轨迹增益它们之间的 关系为:
2011-4-24 第5章 根轨迹法 9
自动控制理论
K= K 0 ∏ zi
i =1 m
∏p
l =1
n
,n ≥ m
(4 - 14)
l =1 l
n
m
n−m
i =1
i
2011-4-24
第5章
根轨迹法
15
自动控制理论 例4-2 绘制图4 绘制图4-8所示系统的根轨迹
解:1) 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2) 2) 三条根轨迹分支的终点均在无限远 3) 渐近线与正实轴的夹角
θ=
3 3 3 渐近线与实轴的交点为
ζ = 0.707 由于 β = arccos ζ = 45o ,在图4-2上过坐标原点
作与负实轴夹角为45°和射线,它与根轨迹的 交点S= -05±j0.5,这就是所求的希望闭环极点。
图4-2 系统的根轨迹
2011-4-24 第5章 根轨迹法 3
自动控制理论
根轨迹的幅值条件与相角条件
特征方程:
由上式可知,凡是满足方程 G (s )H (s ) = −1 的s值,就是该方程的根,或是根轨迹上的 一个点。由于s 是复数,故有:
2011-4-24
n−m
K0
m n + ∏ pl − ∏ z i s n − m −1 + L i =1 l =1
第5章
根轨迹法
14
自动控制理论
当s → ∞时,
令某系统的开环传递函数为W (s ) =
(s + σ A )n − m
K0 + (n − m )σ A s n −m −1 + L
自动控制理论
− − 式中K > 0; z1 ,− z 2 L − z m为开环零点,在s平面用“o”表示, p1 ,− p2 L − pn 为开环极点,在s平面用“x”表示。
令s + zi = pi e jφi , i = 1,2,L m s + pl = rl e
则上式改写为:
jφ l
, l = 1,2,L n
K0
=
1 + W (s ) = 0,有(n − m )条根轨迹分支,它们是由实轴上s = − A点出发的射线, σ 且与实轴的夹角
s n−m
θ=
± (2k + 1)π , k = 0,1,2, L n−m
n m l =1 i =1
若令(n − m )σ A = ∏ pl − ∏ z i
则:
σA =
∏ p −∏ z
1 + G (s )H(s ) = 0
G (s )H (s ) e j{arg[G ( s )H ( s )]} = 1e ± j (2 k +1)π , k = 0,1,2,L
于是得:
图4-3 控制系统的框图
arg[G (s )H (s )] = ±(2k + 1)π , k = 0,1,2, L 根轨迹相角条件
根轨迹法
自动控制理论 对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态: 1) 0≤K<¼, s1、 s1为两相异的实数根(过阻尼状态) 2) K=¼, s1、 s1为两相等实根,s1 = s2 =-0.5,(临界阻尼) 3) ¼<K<∞, s1 、s2为一对共轭复根(欠阻尼) 如要求系统在阶跃信号的作用下,超调量为49%。 由式(3-26)求得
(
(
) )
(
)
例4-4的根轨迹
2) 渐近线与正实轴的夹角
θ=
(2k + 1)π
4 4 4 4 渐近线与实轴的交点为 -σ A =
=
π 3π 5π
, ,
,
7π , k = 0,1,2,3 4
2011-4-24
−4−2−2 = −2 4 第5章 根轨迹法
18
自动控制理论 3) 实轴上的0至-4间的线段是根轨迹 实轴上的0 4) 求分离点,系统的特征方程为
假设系统开环传递函数用零、极点形式表示:
G (s )H (s ) = 1 − − − 根轨迹幅值条件
G (s )H (s ) =
2011-4-24
K (s + z1 )(s + z 2 )L (s + z m ) ,n ≥ m (s + p1 )(s + p 2 )L(s + p n )
第5章 根轨迹法 4
自动控制原理
第5章
控制系统的根轨迹法
作者: 张燕红
2011-4-24 第5章 根轨迹法 1
自动控制理论
第一节
什么是根轨迹法
闭环特性方程式
根轨迹法的基本概念
s2 + s + K = 0
方程式(4-1)的根为
(4-1)
s1, 2
1 1 = ± 1 − 4K 2 2
表4-1 根与K的关系
图4-1 二阶系统
j
G (s )H (s ) = K
于是得:
∏ρ ∏r
l =1 i n l
m
i
e
∑ ∑ϕ e
ϕi −
i =1 l =1
m
n
G (s )H (s ) = K
∏ρ ∏r
l =1 i =1 n l
m
i
∑ ϕ −∑ ϕ
2011-4-24
i =1 i l =1
m
n
l
= ±(2k + 1)π , k = 0,1,2,L
第5章 根轨迹法 5
自动控制理论 设一控制系统的框图如图4-4所示,由根轨迹 的幅值条件得:
即
4K =1 s+3 4 1 = s+3 K
图4-4 一阶系统
(4-10)
令 s = σ + jω , 则式(4 − 10)可化为
(σ + 3) 2 + ω 2 = (4 K ) 2
(4-11)
式(4-11)表明,系统的等增益轨迹是一簇 同心圆,如图4-5所示。
mr 和nr 分别为点si 右方实轴上的开环零 极点结论。 、
mr + nr = 奇数, 点si 满足相角条件 。
2011-4-24 第5章 根轨迹法 13
自动控制理论 规则4 规则4:根轨迹的渐近线 1、渐近线的倾角
− (n − m )θ = ±(2k + 1)π m (2k + 1)π , k = 0,1,2, L θ= n−m
s(s + 4) s 2 + 4s + 20 + K 0 = 0 K 0 = − s(s + 4) s 2 + 4 s + 20 = − s 4 + 8s 3 + 36s 2 + 80s
(
(
)
dK 0 = − s 4 + 8s 3 + 36s 2 ds 解之得s1 = −2, s 2,3 = −2 ± j 2.45
l =1
n
当K 0 → ∞时,则有
∏ (s + z ) = 0
i i =1
m
由此式可知, 支的终点
开环传递函数的零点
− z i (i = 1,2, L ,m )是m条根轨迹分
当n>m时,余下(n − m )条根轨迹分支的终点位置需确定
2011-4-24 第5章 根轨迹法 11
自动控制理论
∏ (s + z )
2011-4-24 第5章 根轨迹法 19
图4-5 图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹
2011-4-24 第5章 根轨迹法 6
自动控制理论
结论: 结论:
根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹 的基础,因而绘制根轨迹的一般步骤是: 找出s 平面上满足相角条件的点,并把它们连成曲线 根据实际需要,用幅值条件确定相关点对应的K值 例4-1 求图4-1所示系统的根轨迹 解: 1)用相角条件绘制根轨迹
自动控制理论
图4-6 用试探法确定根轨迹
2011-4-24 第5章 根轨迹法 8
自动控制理论
第二节
G (s )H (s ) = 或 G (s )H (s ) = K
0 n
根轨迹的基本规则
K
开环传递函数有如下两种表示:
∏ (τ
i =1 n l =1 l
m
i
s + 1)
∏ (T
m
s + 1)
,n ≥ m
2011-4-24 第5章 根轨迹法
图4-11 根轨迹的复数分离点
17
自动控制理论 例4-3 求图4-8所示系统的分离点 求图4 解:特征方程
s(s + 1)(s + 2 ) + K = 0 K = − s 3 + 3s 2 + 2 s dK = − 3s 2 + 6 s + 2 = 0, ds s1 = −0.423, s 2 = −1.577(不含稳定 ) K0 G (s )H (s ) = 例4-4 已知 s (s + 4 ) s 2 + 4 s + 20 图4-12 求根的分离点 解: 1)有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0,-4,-2±j4
当K由0→∞变化,特征根s1和s2相应的变化关系如表4-1所示。 K s1 s2
2011-4-24
0 0 -1
0.25 -0.5 -0.5
0.5 -0.5+j0.5 -0.5-j0.5 0.5第5章
1 -0.5+j0.87 -0.5-j0.87 0.5-
… … …
∞ 0.5+j∞ -0.5-j∞ 0.52
求解根轨迹的分离点和会合点
图4-10 根轨迹的分离点和会合点
令
G (s )H (s ) =
KB (s ) A(s )
方程出现重根的条件是 S 必须同时满足下列方程 D (s ) = A(s ) + KB (s ) = 0 D ′(s ) = A ′(s ) + K B ′(s ) = 0 由上述两式导出确定分 离点和会合点的方程 A(s )B ′(s ) − A ′(s )B (s ) = 0 dK =0 或 ds
(
) ( + 80s ) = 0
)
规则6:出射角与入射角 规则6 根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向 的夹角称根轨迹的出射角,根轨迹进入开环复数 零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角
图4-13 根轨迹出射角的确定
设一系统的开环零, 极点的图如4 - 13所示,令试验点清s i十分靠近 开环复数极点 − p 4 .如果s i在根轨迹上, 则有 :
l
绘制根轨迹的基本规则
规则1:根轨迹的对称性 规则1 由于系统特征方程式的系数均为实数,因而特征根或为实数,或为共轭复 数.根轨迹必然对称于S平面的实轴 规则2 规则2:根轨迹的分支数及其起点和终点 闭环特征方程:
∏ (s +
l =1
nΒιβλιοθήκη Baidu
pl )+ K
0
∏ (s +
i =1
m
zi ) = 0
当k由 0 → ∞ 变化时,方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称 为根轨迹的一条分支;
规则3 规则3:根轨迹在实轴上的分布
2011-4-24 第5章 根轨迹法 12
自动控制理论
图4-7 实轴上根轨迹的确定
实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点 与零点数之和的数是否为奇数。
S i 右方实轴上开环极点数
arg[G (s )H (s )] s = si = (mr + nr )π = ±(2k + 1)π , k = 0,1,2,L
i
m
∏ (s + p )
l l =1
i =1 n
=
1 K0
当K0 → ∞时,则有
∏ (s + z )
i K 0 →∞
m
lim
∏ (s + p )
l l =1
i =1 n
= lim
1 =0 K 0 →∞ K 0
m个开环极点 → m个开环有限零点 n条根轨迹分支 (n − m )个开环极点 → (n − m )个开环 无 限零点
K s(s + 1) − [arg s + arg(s + 1)] = ±(2k + 1)π , k = 0,1,2, L
2)用幅值条件确定增益K
G (s ) =
K = s s +1
例如图4 - 6d中的重根s1,2 = −0.5,其对应的K值为
K = − 0.5 0.5 = 0.25
2011-4-24 第5章 根轨迹法 7
(2k + 1)π = π , π , 5π ,
σA =
−1− 2 = −1 3
k = 0,1,2
图4-8 控制系统方框图
4)实轴上的0至-1和-2至-∞间的线段为根轨迹
2011-4-24
第5章
根轨迹法
16
自动控制理论 规则5 规则5:分离点与会合点 当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面,此交 点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复平面走向 实轴时,它们在实轴上的交点称为会合点
m m m m −1 K 0 s + ∏ zi s + L ∏ z i i =1 i =1 G (s )H (s ) = n n s n + ∏ pl s n −1 + L∏ pl l =1 l =1
3、用分子除以分母得
G (s )H (s ) = s
2011-4-24 第5章 根轨迹法 10
自动控制理论 因为n≥m,所以根轨迹分支共计为n条; 根轨迹起点就是k0=0时根的位置,当k0=0时有:
∏ (s + p ) = 0
l l =1
n
根轨迹的始点为开环传 递函数的极点
根轨迹终点就是当
K0 → ∞
m l i =1
时根的位置;
i
1 K0
∏ (s + p ) + ∏ (s + z ) = 0
(4 - 12 )
∏ (s +
i =1
zi )
∏ (s +
l =1
pl
)
,n ≥ m
(4 - 13 )
其中,K为系统的开环增益;K0为系统的根轨迹增益它们之间的 关系为:
2011-4-24 第5章 根轨迹法 9
自动控制理论
K= K 0 ∏ zi
i =1 m
∏p
l =1
n
,n ≥ m
(4 - 14)
l =1 l
n
m
n−m
i =1
i
2011-4-24
第5章
根轨迹法
15
自动控制理论 例4-2 绘制图4 绘制图4-8所示系统的根轨迹
解:1) 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2) 2) 三条根轨迹分支的终点均在无限远 3) 渐近线与正实轴的夹角
θ=
3 3 3 渐近线与实轴的交点为
ζ = 0.707 由于 β = arccos ζ = 45o ,在图4-2上过坐标原点
作与负实轴夹角为45°和射线,它与根轨迹的 交点S= -05±j0.5,这就是所求的希望闭环极点。
图4-2 系统的根轨迹
2011-4-24 第5章 根轨迹法 3
自动控制理论
根轨迹的幅值条件与相角条件
特征方程:
由上式可知,凡是满足方程 G (s )H (s ) = −1 的s值,就是该方程的根,或是根轨迹上的 一个点。由于s 是复数,故有:
2011-4-24
n−m
K0
m n + ∏ pl − ∏ z i s n − m −1 + L i =1 l =1
第5章
根轨迹法
14
自动控制理论
当s → ∞时,
令某系统的开环传递函数为W (s ) =
(s + σ A )n − m
K0 + (n − m )σ A s n −m −1 + L
自动控制理论
− − 式中K > 0; z1 ,− z 2 L − z m为开环零点,在s平面用“o”表示, p1 ,− p2 L − pn 为开环极点,在s平面用“x”表示。
令s + zi = pi e jφi , i = 1,2,L m s + pl = rl e
则上式改写为:
jφ l
, l = 1,2,L n
K0
=
1 + W (s ) = 0,有(n − m )条根轨迹分支,它们是由实轴上s = − A点出发的射线, σ 且与实轴的夹角
s n−m
θ=
± (2k + 1)π , k = 0,1,2, L n−m
n m l =1 i =1
若令(n − m )σ A = ∏ pl − ∏ z i
则:
σA =
∏ p −∏ z
1 + G (s )H(s ) = 0
G (s )H (s ) e j{arg[G ( s )H ( s )]} = 1e ± j (2 k +1)π , k = 0,1,2,L
于是得:
图4-3 控制系统的框图
arg[G (s )H (s )] = ±(2k + 1)π , k = 0,1,2, L 根轨迹相角条件
根轨迹法
自动控制理论 对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态: 1) 0≤K<¼, s1、 s1为两相异的实数根(过阻尼状态) 2) K=¼, s1、 s1为两相等实根,s1 = s2 =-0.5,(临界阻尼) 3) ¼<K<∞, s1 、s2为一对共轭复根(欠阻尼) 如要求系统在阶跃信号的作用下,超调量为49%。 由式(3-26)求得
(
(
) )
(
)
例4-4的根轨迹
2) 渐近线与正实轴的夹角
θ=
(2k + 1)π
4 4 4 4 渐近线与实轴的交点为 -σ A =
=
π 3π 5π
, ,
,
7π , k = 0,1,2,3 4
2011-4-24
−4−2−2 = −2 4 第5章 根轨迹法
18
自动控制理论 3) 实轴上的0至-4间的线段是根轨迹 实轴上的0 4) 求分离点,系统的特征方程为
假设系统开环传递函数用零、极点形式表示:
G (s )H (s ) = 1 − − − 根轨迹幅值条件
G (s )H (s ) =
2011-4-24
K (s + z1 )(s + z 2 )L (s + z m ) ,n ≥ m (s + p1 )(s + p 2 )L(s + p n )
第5章 根轨迹法 4
自动控制原理
第5章
控制系统的根轨迹法
作者: 张燕红
2011-4-24 第5章 根轨迹法 1
自动控制理论
第一节
什么是根轨迹法
闭环特性方程式
根轨迹法的基本概念
s2 + s + K = 0
方程式(4-1)的根为
(4-1)
s1, 2
1 1 = ± 1 − 4K 2 2
表4-1 根与K的关系
图4-1 二阶系统
j
G (s )H (s ) = K
于是得:
∏ρ ∏r
l =1 i n l
m
i
e
∑ ∑ϕ e
ϕi −
i =1 l =1
m
n
G (s )H (s ) = K
∏ρ ∏r
l =1 i =1 n l
m
i
∑ ϕ −∑ ϕ
2011-4-24
i =1 i l =1
m
n
l
= ±(2k + 1)π , k = 0,1,2,L
第5章 根轨迹法 5
自动控制理论 设一控制系统的框图如图4-4所示,由根轨迹 的幅值条件得:
即
4K =1 s+3 4 1 = s+3 K
图4-4 一阶系统
(4-10)
令 s = σ + jω , 则式(4 − 10)可化为
(σ + 3) 2 + ω 2 = (4 K ) 2
(4-11)
式(4-11)表明,系统的等增益轨迹是一簇 同心圆,如图4-5所示。
mr 和nr 分别为点si 右方实轴上的开环零 极点结论。 、
mr + nr = 奇数, 点si 满足相角条件 。
2011-4-24 第5章 根轨迹法 13
自动控制理论 规则4 规则4:根轨迹的渐近线 1、渐近线的倾角
− (n − m )θ = ±(2k + 1)π m (2k + 1)π , k = 0,1,2, L θ= n−m
s(s + 4) s 2 + 4s + 20 + K 0 = 0 K 0 = − s(s + 4) s 2 + 4 s + 20 = − s 4 + 8s 3 + 36s 2 + 80s
(
(
)
dK 0 = − s 4 + 8s 3 + 36s 2 ds 解之得s1 = −2, s 2,3 = −2 ± j 2.45
l =1
n
当K 0 → ∞时,则有
∏ (s + z ) = 0
i i =1
m
由此式可知, 支的终点
开环传递函数的零点
− z i (i = 1,2, L ,m )是m条根轨迹分
当n>m时,余下(n − m )条根轨迹分支的终点位置需确定
2011-4-24 第5章 根轨迹法 11
自动控制理论
∏ (s + z )
2011-4-24 第5章 根轨迹法 19
图4-5 图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹
2011-4-24 第5章 根轨迹法 6
自动控制理论
结论: 结论:
根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹 的基础,因而绘制根轨迹的一般步骤是: 找出s 平面上满足相角条件的点,并把它们连成曲线 根据实际需要,用幅值条件确定相关点对应的K值 例4-1 求图4-1所示系统的根轨迹 解: 1)用相角条件绘制根轨迹
自动控制理论
图4-6 用试探法确定根轨迹
2011-4-24 第5章 根轨迹法 8
自动控制理论
第二节
G (s )H (s ) = 或 G (s )H (s ) = K
0 n
根轨迹的基本规则
K
开环传递函数有如下两种表示:
∏ (τ
i =1 n l =1 l
m
i
s + 1)
∏ (T
m
s + 1)
,n ≥ m
2011-4-24 第5章 根轨迹法
图4-11 根轨迹的复数分离点
17
自动控制理论 例4-3 求图4-8所示系统的分离点 求图4 解:特征方程
s(s + 1)(s + 2 ) + K = 0 K = − s 3 + 3s 2 + 2 s dK = − 3s 2 + 6 s + 2 = 0, ds s1 = −0.423, s 2 = −1.577(不含稳定 ) K0 G (s )H (s ) = 例4-4 已知 s (s + 4 ) s 2 + 4 s + 20 图4-12 求根的分离点 解: 1)有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0,-4,-2±j4
当K由0→∞变化,特征根s1和s2相应的变化关系如表4-1所示。 K s1 s2
2011-4-24
0 0 -1
0.25 -0.5 -0.5
0.5 -0.5+j0.5 -0.5-j0.5 0.5第5章
1 -0.5+j0.87 -0.5-j0.87 0.5-
… … …
∞ 0.5+j∞ -0.5-j∞ 0.52
求解根轨迹的分离点和会合点
图4-10 根轨迹的分离点和会合点
令
G (s )H (s ) =
KB (s ) A(s )
方程出现重根的条件是 S 必须同时满足下列方程 D (s ) = A(s ) + KB (s ) = 0 D ′(s ) = A ′(s ) + K B ′(s ) = 0 由上述两式导出确定分 离点和会合点的方程 A(s )B ′(s ) − A ′(s )B (s ) = 0 dK =0 或 ds
(
) ( + 80s ) = 0
)
规则6:出射角与入射角 规则6 根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向 的夹角称根轨迹的出射角,根轨迹进入开环复数 零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角
图4-13 根轨迹出射角的确定
设一系统的开环零, 极点的图如4 - 13所示,令试验点清s i十分靠近 开环复数极点 − p 4 .如果s i在根轨迹上, 则有 :
l
绘制根轨迹的基本规则
规则1:根轨迹的对称性 规则1 由于系统特征方程式的系数均为实数,因而特征根或为实数,或为共轭复 数.根轨迹必然对称于S平面的实轴 规则2 规则2:根轨迹的分支数及其起点和终点 闭环特征方程:
∏ (s +
l =1
nΒιβλιοθήκη Baidu
pl )+ K
0
∏ (s +
i =1
m
zi ) = 0
当k由 0 → ∞ 变化时,方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称 为根轨迹的一条分支;
规则3 规则3:根轨迹在实轴上的分布
2011-4-24 第5章 根轨迹法 12
自动控制理论
图4-7 实轴上根轨迹的确定
实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点 与零点数之和的数是否为奇数。
S i 右方实轴上开环极点数
arg[G (s )H (s )] s = si = (mr + nr )π = ±(2k + 1)π , k = 0,1,2,L
i
m
∏ (s + p )
l l =1
i =1 n
=
1 K0
当K0 → ∞时,则有
∏ (s + z )
i K 0 →∞
m
lim
∏ (s + p )
l l =1
i =1 n
= lim
1 =0 K 0 →∞ K 0
m个开环极点 → m个开环有限零点 n条根轨迹分支 (n − m )个开环极点 → (n − m )个开环 无 限零点
K s(s + 1) − [arg s + arg(s + 1)] = ±(2k + 1)π , k = 0,1,2, L
2)用幅值条件确定增益K
G (s ) =
K = s s +1
例如图4 - 6d中的重根s1,2 = −0.5,其对应的K值为
K = − 0.5 0.5 = 0.25
2011-4-24 第5章 根轨迹法 7
(2k + 1)π = π , π , 5π ,
σA =
−1− 2 = −1 3
k = 0,1,2
图4-8 控制系统方框图
4)实轴上的0至-1和-2至-∞间的线段为根轨迹
2011-4-24
第5章
根轨迹法
16
自动控制理论 规则5 规则5:分离点与会合点 当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面,此交 点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复平面走向 实轴时,它们在实轴上的交点称为会合点