控制系统的根轨迹法
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
控制系统校正的根轨迹方法
控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。
根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。
应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。
在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。
等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。
在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。
等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。
根轨迹超前校正计算步骤如下。
(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。
(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。
为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。
(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：11++=sTp sTz KcGc (2)例题：已知系统开环传递函数： 试设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。
解： 由6.4)(*)(0*lim 0==→s Gc s G s Kv s 得kc=2计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1])); G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold onstep(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);0 2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)G =impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的');为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kcs G S Gc 111)(0)(0011=++=-，式中，M 0是校正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
第四章控制系统的根轨迹分析法
− p4
− p3
∠s + z 2
∠s + p2
− p2
共轭复根 相; ∠s + p2 = 2π 在 s 左边的零、极点其相角均为0
∠s + z1 + ∠s + z2 = 2π 在 s 右边的零、极点其相角均为π
n m 0 出射角公式： 出射角公式： θ pc =180 + ∑θzj − ∑θ pi j =1 i=1
ζ = 0.707
s’ s’
-2 0
K −1
Re
-1
根轨迹法的分析基本思路: 根轨迹法的分析基本思路 目的: 目的
①解决高阶系统求解特征根比较困难 的实现; 寻找到一种方便、 的实现 ②寻找到一种方便、有效的描述 系统的根轨迹的方法。 系统的根轨迹的方法。
方法: 方法
① 根据开环零极点的分布绘制出系统 的根轨迹图； 的根轨迹图；②利用根轨迹法来分析和设 计系统. 计系统
S1
0 -1 -1+j -1+j∞
∞ ↑ K
S2
-2 -1 -1-j -1-j∞ jω
1 S1 0 σ -1
闭环特征方程式 S2+2S+K= 0
S2 -2
特征方程的根 S1.2 = -1± 1-K ±
K变化时,闭环特征根 变化时,
在S平面上的轨迹图形
-1 K ∞ ↑
系统特征方程为 求得两个极点： 求得两个极点：
jω
z1 p3 -2 p2 -1 z2 1 p
1 0
-1
3、实轴上的根轨迹 、
实轴上某区间存在根轨迹， 实轴上某区间存在根轨迹，则 该区间右边的开环零、 该区间右边的开环零、极点数之和 必为奇数。 必为奇数。
第四章控制系统的根轨迹法
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
控制工程基础第4章 根轨迹法
n 3, m 0, 故三条根轨迹趋向处。
渐进线与实轴交点的坐标为
[S]
a
0
1
3
2
0
1
渐进线与实轴正向的夹角为
a -2 -1 0
a
2k
1180
3
60 , 180
六、根轨迹的起始角与终止角
起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点 处的切线与水平线正方向的夹角。
终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点 处的切线与水平线正方向的夹角。
s4
2
1
s3 -2 s20 s1
s3 180 , s3 2 180 s4 1, s4 2 2
若s4位于根轨迹上，则必满足
幅角条件，即1 2 180，
N
s4一定在 2，0的中垂线MN上。
利用幅值条件可算出各根轨迹上的 K 值。
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
终止于 zb 的根轨迹在终点处
的切线与水平正方向的夹角
j 1
i 1
ib
其它零点到 zb 的向量夹角
七、分离点的坐标
几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开的点， 称为根轨迹的分离点（或会合点）。
分离点坐标的求法：
1 d (G(s)H (s)) 0
ds
2 由根轨迹方程
令：dK 0 解出s ds
n
1 180 p1 z p1 p2
180 116.57 90
206.57
由于对称性
2 206.57
会合点 -3
206.57
p1
[S]
z116.57
2.12
-2 -1 0
自动控制原理根轨迹法
自动控制原理根轨迹法自动控制原理是现代工程技术中的重要分支，它涉及到机械、电子、计算机等多个领域。
而根轨迹法则是自动控制原理中的一种重要方法，它可以用来分析和设计控制系统，提高系统的稳定性和性能。
本文将从根轨迹法的基本原理、应用场景和优缺点三个方面进行介绍。
一、基本原理根轨迹法是一种基于极点和零点的控制系统分析方法。
在根轨迹图中，系统的极点和零点被表示为一条曲线，称为根轨迹。
根轨迹图可以用来分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能指标。
根轨迹法的基本原理是通过改变系统的参数，使得根轨迹图在复平面上移动，从而实现对系统性能的优化。
二、应用场景根轨迹法可以应用于各种控制系统的设计和分析中。
例如，在电机控制系统中，根轨迹法可以用来分析电机的转速响应和负载扰动对系统的影响。
在飞行控制系统中，根轨迹法可以用来设计飞机的自动驾驶系统，提高飞机的稳定性和飞行性能。
在机器人控制系统中，根轨迹法可以用来设计机器人的运动控制系统，实现机器人的精确控制和运动规划。
三、优缺点根轨迹法的优点是可以直观地表示系统的稳定性和性能指标，便于工程师进行控制系统的设计和分析。
此外，根轨迹法还可以用来分析系统的鲁棒性和鲁棒稳定性，提高系统的抗干扰能力和鲁棒性。
但是，根轨迹法也存在一些缺点，例如对于高阶系统，根轨迹法的计算复杂度较高，需要使用计算机进行计算。
此外，根轨迹法也无法处理非线性系统和时变系统，需要使用其他方法进行分析和设计。
总之，根轨迹法是自动控制原理中的一种重要方法，可以用来分析和设计各种控制系统。
在实际工程中，工程师需要根据具体的应用场景和系统要求，选择合适的控制方法和算法，实现对系统的优化和控制。
第四章 控制系统根轨迹分析法
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
根轨迹法(自动控制原理)
i1
l 1
nm
规则4：实轴上的根轨迹
➢ 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中任一段，如果其右
边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。
❖ 该规则用相角条件可以证明，设实轴上有一试验点s0。 ➢ 任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的相角（如θ2，θ3）
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制典型根轨迹 4.3 特殊根轨迹图 4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 4.5 控制系统的根轨迹分析
内容提要
➢ 根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零 极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的 特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进 行定性分析和定量计算。
规则3：渐近线
❖ 当n>m时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远；当n<m时，根轨迹一定有m－n支 来自无穷远。可以证明：
➢ 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：
所有渐近线交于k实轴上(2的k一n点1，)m1其8坐00标,为 k 0,1,2,,| n m | 1
n
m
pi zl
之和均为360°，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相 角条件。
➢ 对于在试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ4，φ3） 均为0。
➢ 而试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ1，φ1，φ2） 均为180°。
所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。
❖ 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不 直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环 特征根。
孙炳达版 《自动控制原理》第4章 控制系统的根轨迹分析法-5
R(s)
s 1
k s 2 (s 2)
Y(s)
j
j
σ
-1/τ
σ
4.5 系统性能的根轨迹分析
系统开环传递函数：
Gk ( s) Kg s( s 2)(s 3)
Þ ¿ Î ª » ·Á ã µ ã
j¦ Ø 2 -3 -2 -1 0 ¦ Ò -2
增加零点-z
Gk ( s) K g (s z) s( s 2)(s 3)
4.5 系统性能的根轨迹分析
例 系统的结构图如下，
R(s)
K
s 2 2 s 5 ( s 2 )( s 0.5 )
Y(s)
要求： １）用根轨迹法确定使系统稳定的Ｋ的取值范围； ２）用根轨迹法确定系统的阶跃响应不出现超调 量的Ｋ的最大值。
4.5 系统性能的根轨迹分析
解 由已知条件画出根轨迹如图， 其中根轨迹与虚轴的交点 分别为0和1.254j，对应的开环 增益Ｋ分别为0.2和0.75。 分离点为d=-0.409。 所以，系统稳定Ｋ的取值范围为：0.2<K<0.75 不出现超调量的Ｋ最大值出现在分离点处d=-0.409 处。将d代入 D( s ) ( s 2)(s 0.5)
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s1, 2 b jn n j 1 2 n 0.35 j 0.61
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点：
Kg OA CA DA 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极 点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大，故取 Kg=2.3可满足要求。
4.5 系统性能的根轨迹分析
将零点z1<-10，系统根轨迹为 系统根轨迹仍有两条始 终位于S平面右半部， 系统仍无法稳定。
自动控制原理根轨迹法知识点总结
自动控制原理根轨迹法知识点总结自动控制原理中的根轨迹法是一种常用的分析和设计控制系统的方法。
它通过在复平面上绘制系统的根轨迹，并结合数学分析的方法，可以帮助我们了解系统的稳定性及动态特性，并设计出合适的控制器来实现所需的性能要求。
本文将对根轨迹法的原理和关键知识点进行总结。
一、根轨迹法的基本原理根轨迹法是通过分析系统的开环传递函数来确定系统的极点和零点在复平面上的分布情况。
根轨迹是由系统的特征方程的解所决定的，即特征方程的根随参数的变化而移动，形成了一条曲线，这条曲线即为根轨迹。
根轨迹的形状和分布反映了系统的稳定性、动态响应及频率特性。
根轨迹法的基本步骤如下：1. 给定系统的开环传递函数：G(s)H(s)，其中G(s)为系统的传递函数，H(s)为控制器的传递函数。
2. 将开环传递函数表示为极点-零点的形式：G(s)H(s) = K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)，其中K为传递函数的增益，zi和pi为传递函数的零点和极点。
3. 根据传递函数的特征方程：1+G(s)H(s)=0，得到特征方程：1+K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm) = 0。
4. 以复平面为基准，根据特征方程的根（极点和零点），画出根轨迹。
5. 根据根轨迹的形状和分布，分析系统的稳定性和动态响应，设计合适的控制器参数。
二、根轨迹法的关键知识点1. 极点和零点：极点和零点是传递函数的根，它们对系统的稳定性和动态响应有着重要影响。
极点是使得特征方程为零的点，零点是使得传递函数的分子为零的点。
2. 稳定性判据：系统的稳定性和根轨迹的位置有直接关系。
当系统的极点全部位于左半平面时，系统是稳定的；若存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
3. 根轨迹与动态响应：根轨迹的形状和分布反映了系统的动态响应。
根轨迹与阻尼比、自然频率等参数有关，可以通过观察根轨迹的形状来判断系统的超调量、振荡频率等动态性能指标。
控制系统的根轨迹
规则一 根轨迹在[s]平面上的分支数等于控制系统特 征方程式的阶次，即等于闭环极点或开环极点数目。
4.2.2 根轨迹的连续性与对称性 规则二 根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。
根轨迹的幅值和相角条件
4.2.3 根轨迹的起点和终点
1 p 1
s
1
1 p 2
s
1
1 pn
s
1
m
z
j
式中，
K k
j 1 n
为系统的开环放大系数。
pi
i 1
无开环零点时，取
m
zj
1
j 1
现以根轨迹增益 k为可变参数量讨论根轨迹的绘制。
4.2.1 根轨迹的分支数 由（1）、（2）式，有：
s p1s p2 s pn ks z1s z2 s zm 0 n m
m
k* (s zi )
i 1 n
1
(s pj )
j 1
n
s pj
k*
j 1 m
s zi
i 1
m
n
相角条件：
GsH s (s zi ) (s p j )
i 1
j 1
(2k 1) k 0,1,2,
满足相角条件的任意点，一定可找到对应的可变参数 的值，使幅值条件成立，所以相角条件也是根轨迹的 充要条件。
起点：k 0 时特征根在[s]平面上的位置。
终点：k 时特征根在[s]平面上的位置。
s p1s p2 s pn ks z1s z2 s zm 0 n m
k 0 时, s p1s p2 s pn 0， s pi i 1,2, , n k 时, s z1s z2 s zm 0， s z j j 1,2, , m
自动控制原理 4根轨迹法
σa − 45o 0
n −m = 3
n −m = 4
5.根轨迹的分离点 5.根轨迹的分离点
分离点 :L条根轨迹分支在s平面上相遇后又立即 条根轨迹分支在s 分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点) 分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点)，用d 表示。 为特征方程重根的值。 表示。d为特征方程重根的值。 分离点计算公式： 分离点计算公式： n m 1 1 ∑d − p = ∑d − z i=1 i=1 i i 若系统无开环零点，则 若系统无开环零点， n 1 ∑d − p = 0 i=1 i
2.根轨迹的分支数和对称性 2.根轨迹的分支数和对称性 分支数=特征方程阶数； 分支数=特征方程阶数； 根轨迹对称于实轴。 根轨迹对称于实轴。 3.根轨迹在实轴上的分布情况 3.根轨迹在实轴上的分布情况 实轴上某一区域右边的开环零、极点总数 实轴上某一区域右边的开环零、 为奇数时，则该区域是根轨迹。 为奇数时，则该区域是根轨迹。
二、闭环零极点与开环零极点的关系
R(s) G(S) C(s)
H(S)
开环传递函数 闭环传递函数
G(s)H(s)
G(s) φ(s) = 1+ G(s)H(s)
一般情况下， 一般情况下，前向通路传递函数
G(s) =
* KG
* KG∏(s − zi ) i=1
a
∏(s − p )
i i=1
b
前向通路根轨迹增益 Zi为前向通路的零点;Pi为前向通路的极点 为前向通路的零点;P
根轨迹的分离点或出现在实轴上, 根轨迹的分离点或出现在实轴上,或共轭成对地出 现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。 现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。 实轴上的分离点： 实轴上的分离点： 1）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹， 若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹， 则这两极点之间至少存在一个分离点。 则这两极点之间至少存在一个分离点。 2）若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹， 若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹， 则这两零点之间至少存在一个分离点（ 则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个 零点可以是无限零点）。 零点可以是无限零点）。 注意：由分离点公式求出d 一定要进行检查， 注意：由分离点公式求出d后，一定要进行检查， 应舍弃不在根轨迹上的点d 应舍弃不在根轨迹上的点d。
孙炳达版《自动控制原理》第4章控制系统的根轨迹分析法-2
1 1 2 3 180 (2k 1)
L1 L2 L3 再按幅值条件求得该 Kg0 点的根轨迹传递系数： l1
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
例 已知系统的开环传递函数
2K GK ( s) ( s 2) 2
试证明复平面上点 s1 2 j 4, s2 2 j 4 是该系统的闭环极点。 证明 该系统的开环极点 p1 2, p2 2 若系统闭环极点为s1，s2，则它们应满足 相角条件。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
以s1为试验点，由图可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 90 90 180(2k 1) (k 1)
以s2为试验点，由图可得
(s2 p1 ) (s2 p2 ) 90 90 180(2k 1) (k 0)
可见， s1和s2均满足相角条件， 均为闭环极点。 证毕。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
4 G ( s ) K /( s 1 ) 例 已知系统的开环传递函数 K
当 K 0 变化时其根轨迹如图所示， 求根轨迹上点 s1 0.5 j 0.5 所对应的K值。 解 根据幅值条件
自动控制原理
第四章 控制系统的根轨迹分析法
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
一、根轨迹的幅值条件和相角条件 一般的闭环系统结构框 图如图所示，其特征方程为：
1 G( s ) H ( s ) 0
其开环传递函数： Gk (s) G(s) H (s) 1 由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得：
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
5 实轴上的根轨迹
控制系统根轨迹法
控制系统根轨迹法控制系统的设计和分析是现代工程领域中的重要任务。
为了实现系统的稳定性和性能要求，控制系统工程师采用了多种方法和技术。
其中，根轨迹法是一种常用且有效的方法，用于评估和改进系统的动态响应。
1. 系统根轨迹方法概述控制系统根轨迹方法是基于系统的传递函数，通过分析系统在复平面上的极点和零点位置来评估系统的稳定性和动态性能。
在根轨迹图中，系统的极点和零点以及传递函数的增益可以直观地展示出来，从而帮助工程师定量地了解系统的响应特性。
2. 根轨迹图的构造根轨迹图通常由两个主要的部分组成：实部为-1的轴线和虚部为0的轴线。
系统的传递函数通常表示为连续时间的形式，并且可以表示为一个或多个一阶和二阶传递函数的乘积。
根轨迹图的构造基于这些传递函数的极点和零点。
极点和零点对应于根轨迹图上的曲线，其中极点表示系统的稳定性，而零点则表示系统的过渡性能。
3. 根轨迹与稳定性根轨迹图提供了系统稳定性的重要信息。
通过观察根轨迹图，可以确定系统的稳定性。
如果根轨迹图上的所有的极点都位于左半平面，那么系统是稳定的。
相反，如果存在极点位于右半平面，系统是不稳定的。
通过调整参数或者设计控制器，可以将系统的极点移动到左半平面，从而提高系统的稳定性。
4. 根轨迹与动态响应除了稳定性，根轨迹图还提供了关于系统动态响应的信息。
通过观察根轨迹图上的曲线形状，可以了解系统的过渡特性。
例如，当根轨迹密集且靠近虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应非常快。
相反，当根轨迹离散且远离虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应比较慢。
通过分析根轨迹图，工程师可以调整系统参数来改善系统的动态响应性能。
5. 根轨迹的应用根轨迹方法是控制系统分析和设计中常用的工具之一。
它可以用于多个方面，包括控制器的设计、系统的稳定性分析和性能优化。
使用根轨迹方法，工程师可以确定合适的控制器增益、相位补偿器和频率补偿器来满足系统的设计要求。
6. 根轨迹法的局限性尽管根轨迹法在控制系统领域中被广泛应用，但它也有一些局限性。
第四章 根轨迹法(1)
an1 p1 p2
n
pn p j , j 1
n
a0 p1 • p2 • • pn p j j 1
闭环系统的特征方程为：F (s) 1 Gk (s) 0 ，即： (1)
设闭环系统的极点为： s1, s2 ,... sn ，则
(2)
系统闭环特征方程为：
F (s) sn an1sn1 ... a0 Kg (sm bm1sm1 ... b0 )
倾角：设根轨迹在无限远处有一点 sk ，则s平面上所有的 开环有限零点和极点到 sk 的相角都相等，即为渐近线的倾
角 。代入根轨迹的相角条件得：
m
n
(s zi ) (s p j ) m n (2k 1)
i 1
j 1
规定：相角逆时针为正，顺时针为负。
渐近线与实轴的交点
[例]系统开环传递函数为：Gk (s)
（2）实轴上相邻开环零点（包括无穷远零点）之间是根轨迹， 则这段根轨迹上必有会合点；
（3） 实轴上根轨迹在一个开环零点与开环极点之间， 则存在两种情况，既有 分离点也有会合点，既无分离点 也无会合点；
[分离点和会合点的求法]：
代数重根法：
m
Go (s) Kg
(s zj )
j 1
n
(s pi )
根轨迹法的优点有哪些：
1、从已知的开环零、极点的位置及某一变化参数来求 取闭环极点的分布，即解决闭环特征式的求根问题。
2、根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部 信息，而且可以指明系统参数应该怎样变化才能满足给定 闭环系统的性能指标要求。
2
4.1根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的定义
例4-1 某随动系统如图所示
p3
控制系统的根轨迹法分析
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
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m
∏ (s + p )
l l =1
i =1 n
=
1 K0
当K0 → ∞时,则有
∏ (s + z )
i K 0 →∞
m
lim
∏ (s + p )
l l =1
i =1 n
= lim
1 =0 K 0 →∞ K 0
m个开环极点 → m个开环有限零点 n条根轨迹分支 (n − m )个开环极点 → (n − m )个开环 无 限零点
假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
G (s )H (s ) = 1 − − − 根轨迹幅值条件
G (s )H (s ) =
2011-4-24
K (s + z1 )(s + z 2 )L (s + z m ) ,n ≥ m (s + p1 )(s + p 2 )L(s + p n )
第5章 根轨迹法 4
2011-4-24 第5章 根轨迹法 10
自动控制理论 因为n≥m，所以根轨迹分支共计为n条； 根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0=0时有：
∏ (s + p ) = 0
l l =1
n
根轨迹的始点为开环传 递函数的极点
根轨迹终点就是当
K0 → ∞
m l i =1
时根的位置；
i
1 K0
∏ (s + p ) + ∏ (s + z ) = 0
ζ = 0.707 由于 β = arccos ζ = 45o ，在图4-2上过坐标原点
作与负实轴夹角为45°和射线，它与根轨迹的 交点S= -05±j0.5，这就是所求的希望闭环极点。
图4-2 系统的根轨迹
2011-4-24 第5章 根轨迹法 3
自动控制理论
根轨迹的幅值条件与相角条件
特征方程：
由上式可知，凡是满足方程 G (s )H (s ) = −1 的s值，就是该方程的根，或是根轨迹上的 一个点。由于s 是复数，故有：
规则3 规则3：根轨迹在实轴上的分布
2011-4-24 第5章 根轨迹法 12
自动控制理论
图4-7 实轴上根轨迹的确定
实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点 与零点数之和的数是否为奇数。
S i 右方实轴上开环极点数
arg[G (s )H (s )] s = si = (mr + nr )π = ±(2k + 1)π , k = 0,1,2,L
s(s + 4) s 2 + 4s + 20 + K 0 = 0 K 0 = − s(s + 4) s 2 + 4 s + 20 = − s 4 + 8s 3 + 36s 2 + 80s
(
(
)
dK 0 = − s 4 + 8s 3 + 36s 2 ds 解之得s1 = −2, s 2,3 = −2 ± j 2.45
自动控制理论
− − 式中K > 0; z1 ,− z 2 L − z m为开环零点,在s平面用“o”表示, p1 ,− p2 L − pn 为开环极点,在s平面用“x”表示。
令s + zi = pi e jφi , i = 1,2,L m s + pl = rl e
则上式改写为：
jφ l
, l = 1,2,L n
自动控制理论
图4-6 用试探法确定根轨迹
2011-4-24 第5章 根轨迹法 8
自动控制理论
第二节
G (s )H (s ) = 或 G (s )H (s ) = K
0 n
根轨迹的基本规则
K
开环传递函数有如下两种表示：
∏ (τ
i =1 n l =1 l
m
i
s + 1)
∏ (T
m
s + 1)
,n ≥ m
2011-4-24 第5章 根轨迹法
图4-11 根轨迹的复数分离点
17
自动控制理论 例4-3 求图4-8所示系统的分离点 求图4 解：特征方程
s(s + 1)(s + 2 ) + K = 0 K = − s 3 + 3s 2 + 2 s dK = − 3s 2 + 6 s + 2 = 0, ds s1 = −0.423, s 2 = −1.577(不含稳定 ) K0 G (s )H (s ) = 例4-4 已知 s (s + 4 ) s 2 + 4 s + 20 图4-12 求根的分离点 解： 1）有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0，-4，-2±j4
K0
=
1 + W (s ) = 0,有(n − m )条根轨迹分支,它们是由实轴上s = − A点出发的射线, σ 且与实轴的夹角
s n−m
θ=
± (2k + 1)π , k = 0,1,2, L n−m
n m l =1 i =1
若令(n − m )σ A = ∏ pl − ∏ z i
则：
σA =
∏ p −∏ z
l =1
n
当K 0 → ∞时,则有
∏ (s + z ) = 0
i i =1
m
由此式可知, 支的终点
开环传递函数的零点
− z i (i = 1,2, L ,m )是m条根轨迹分
当n＞m时,余下(n − m )条根轨迹分支的终点位置需确定
2011-4-24 第5章 根轨迹法 11
自动控制理论
∏ (s + z )
(
) ( + 80s ) = 0
)
规则6：出射角与入射角 规则6 根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向 的夹角称根轨迹的出射角，根轨迹进入开环复数 零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角
图4-13 根轨迹出射角的确定
设一系统的开环零, 极点的图如4 - 13所示,令试验点清s i十分靠近 开环复数极点 − p 4 .如果s i在根轨迹上, 则有 :
2011-4-24
n−m
K0
m n + ∏ pl − ∏ z i s n − m −1 + L i =1 l =1
第5章
根轨迹法
14
自动控制理论
当s → ∞时,
令某系统的开环传递函数为W (s ) =
(s + σ A )n − m
K0 + (n − m )σ A s n −m −1 + L
(
(
) )
(
)
例4-4的根轨迹
2） 渐近线与正实轴的夹角
θ=
(2k + 1)π
4 4 4 4 渐近线与实轴的交点为 -σ A =
=
π 3π 5π
, ,
,
7π , k = 0,1,2,3 4
2011-4-24
−4−2−2 = −2 4 第5章 根轨迹法
18
自动控制理论 3） 实轴上的0至-4间的线段是根轨迹 实轴上的0 4） 求分离点，系统的特征方程为
l =1 l
n
m
n−m
i =1
i
2011-4-24
第5章
根轨迹法
15
自动控制理论 例4-2 绘制图4 绘制图4-8所示系统的根轨迹
解：1） 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2） 2） 三条根轨迹分支的终点均在无限远 3） 渐近线与正实轴的夹角
θ=
3 3 3 渐近线与实轴的交点为
1 + G (s )H(s ) = 0
G (s )H (s ) e j{arg[G ( s )H ( s )]} = 1e ± j (2 k +1)π , k = 0,1,2,L
于是得：
图4-3 控制系统的框图
arg[G (s )H (s )] = ±(2k + 1)π , k = 0,1,2, L 根轨迹相角条件
第5章 根轨迹法 5
自动控制理论 设一控制系统的框图如图4-4所示，由根轨迹 的幅值条件得：
即
4K =1 s+3 4 1 = s+3 K
图4-4 一阶系统
（4-10）
令 s = σ + jω , 则式(4 − 10)可化为
(σ + 3) 2 + ω 2 = (4 K ) 2
（4-11）
式（4-11）表明，系统的等增益轨迹是一簇 同心圆，如图4-5所示。
j
G (s )H (s ) = K
于是得：
∏ρ ∏r
l =1 i n l
m
i
e
∑ ∑ e
ϕi −
i =1 l =1
m
n
G (s )H (s ) = K
∏ρ ∏r
l =1 i =1 n l
m
i
∑ ϕ −∑ ϕ
2011-4-24
i =1 i l =1
m
n
l
= ±(2k + 1)π , k = 0,1,2,L
求解根轨迹的分离点和会合点
图4-10 根轨迹的分离点和会合点
令
G (s )H (s ) =
KB (s ) A(s )
方程出现重根的条件是 S 必须同时满足下列方程 D (s ) = A(s ) + KB (s ) = 0 D ′(s ) = A ′(s ) + K B ′(s ) = 0 由上述两式导出确定分 离点和会合点的方程 A(s )B ′(s ) − A ′(s )B (s ) = 0 dK =0 或 ds