控制系统的根轨迹法分析
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
根轨迹法与频率响应法
根轨迹法与频率响应法根轨迹法和频率响应法是控制系统理论中常用的分析和设计方法。
本文将从定义、应用领域和分析步骤等方面介绍这两种方法，并比较它们的优劣之处。
一、根轨迹法根轨迹法是一种基于系统极点和零点的图形分析工具。
通过绘制极点和零点随参数变化时系统特征根的轨迹，可以直观地分析系统的稳定性、阻尼比、超调量和静态误差等性能指标。
根轨迹法适用于线性时不变系统的分析和设计。
根轨迹法的分析步骤如下：1. 绘制系统的极点和零点图；2. 根据系统的传输函数，确定所有参数变化时系统的特征根；3. 根据特征根的性质，绘制根轨迹图；4. 根据根轨迹图，分析系统的稳定性、阻尼比、超调量和静态误差等性能指标。
根轨迹法的优点是直观、简单易懂，可以用于初步分析系统的性能指标。
然而，由于它只能描述系统在参数变化时特征根轨迹的变化，不能给出系统在不同频率下的精确响应信息。
二、频率响应法频率响应法是一种基于输入输出频率特性分析的方法。
通过对系统的输入信号进行频率扫描，观察输出信号的幅值和相位随频率变化的规律，可以得出系统的频率响应曲线，进而分析系统的稳定性、幅频特性、相频特性和带宽等性能指标。
频率响应法适用于线性时不变系统的分析和设计。
频率响应法的分析步骤如下：1. 对系统输入信号进行频率扫描，获取输出信号的幅值和相位信息；2. 根据频率扫描结果，绘制系统的幅频特性曲线和相频特性曲线；3. 分析幅频特性曲线和相频特性曲线，得出系统的稳定性、幅值裕度、相位裕度和带宽等性能指标。
频率响应法的优点是可以直接观察系统在不同频率下的响应特性，并定量分析各种性能指标。
但是，频率响应法需要对系统进行频率扫描，对于复杂系统来说，计算复杂度较高。
三、根轨迹法与频率响应法的比较根轨迹法和频率响应法都是常用的控制系统分析和设计方法，各有优劣之处，适用于不同的应用场景。
根轨迹法适用于初步分析系统的性能指标，特别是稳定性、阻尼比、超调量和静态误差等方面。
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
控制系统的根轨迹分析
实验四 控制系统的根轨迹分析一. 实验目的:1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二. 实验内容:1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。
3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。
4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。
观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。
（实验方法参考实验二）5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三. 实验原理:根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。
假定某闭环系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。
b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。
p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。
[k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应的增益K 和其它三个根。
K=22.5031， poles= -1.5229+2.7454i -1.5229-2.7454i0.0229+1.5108i 0.0229-1.5108i再令p=1.5108i ，可得到下面结果:k=22.6464， poles=-1.5189+2.7382i -1.5189-2.7382i0.0189+1.5197i 0.0189-1.5197i再以此根的虚部为新的根，重复上述步骤，几步后可得到下面的结果： k=23.316， poles=-1.5000+2.7040i -1.5000-2.7040i0.0000+1.5616i 0.0000-1.5616i这就是根轨迹由右半平面穿过虚轴时的增益及四个根。
控制系统的根轨迹分析与校正
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
在线交流，有问必答
13.1 控制系统的根轨迹法分析
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
在线交流，有问必答
13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述
以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解 法是获得系统根轨迹是很实用的工程方 法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的 信息：
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s p j )
j 1
系统的闭环传递函数为
(s)
G(s)
1 G(s)H (s)
系统的闭环特征方程为1 G(s)H (s) 0
在线交流，有问必答
13.1.2 MATLAB根轨迹分析的相关函数
MATLAB中提供了 rlocus()函数， 可以直接用于系统的根轨迹绘制。 还允许用户交互式地选取根轨迹上 的值。其用法见表13.1。更详细的 用法可见帮助文档
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
在线交流，有问必答
临界稳定时的开环增益；闭环特征
根进入复平面时的临界增益；选定
开环增益后，系统闭环特征根在根
平面上的分布情况；参数变化时，
系统闭环特征根在根平面上的变化 趋势等。
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
在线交流，有问必答
例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
自动控制原理根轨迹法
自动控制原理根轨迹法自动控制原理是现代工程技术中的重要分支，它涉及到机械、电子、计算机等多个领域。
而根轨迹法则是自动控制原理中的一种重要方法，它可以用来分析和设计控制系统，提高系统的稳定性和性能。
本文将从根轨迹法的基本原理、应用场景和优缺点三个方面进行介绍。
一、基本原理根轨迹法是一种基于极点和零点的控制系统分析方法。
在根轨迹图中，系统的极点和零点被表示为一条曲线，称为根轨迹。
根轨迹图可以用来分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能指标。
根轨迹法的基本原理是通过改变系统的参数，使得根轨迹图在复平面上移动，从而实现对系统性能的优化。
二、应用场景根轨迹法可以应用于各种控制系统的设计和分析中。
例如，在电机控制系统中，根轨迹法可以用来分析电机的转速响应和负载扰动对系统的影响。
在飞行控制系统中，根轨迹法可以用来设计飞机的自动驾驶系统，提高飞机的稳定性和飞行性能。
在机器人控制系统中，根轨迹法可以用来设计机器人的运动控制系统，实现机器人的精确控制和运动规划。
三、优缺点根轨迹法的优点是可以直观地表示系统的稳定性和性能指标，便于工程师进行控制系统的设计和分析。
此外，根轨迹法还可以用来分析系统的鲁棒性和鲁棒稳定性，提高系统的抗干扰能力和鲁棒性。
但是，根轨迹法也存在一些缺点，例如对于高阶系统，根轨迹法的计算复杂度较高，需要使用计算机进行计算。
此外，根轨迹法也无法处理非线性系统和时变系统，需要使用其他方法进行分析和设计。
总之，根轨迹法是自动控制原理中的一种重要方法，可以用来分析和设计各种控制系统。
在实际工程中，工程师需要根据具体的应用场景和系统要求，选择合适的控制方法和算法，实现对系统的优化和控制。
控制系统的根轨迹分析实验报告
一、实验目的1. 熟悉控制系统根轨迹的基本概念和绘制方法。
2. 掌握利用MATLAB软件绘制和分析控制系统根轨迹的方法。
3. 通过根轨迹分析，了解系统参数变化对系统性能的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理根轨迹是指当系统的某一参数（如开环增益K）从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面上的变化轨迹。
通过分析根轨迹，可以了解系统在参数变化时的稳定性、瞬态响应和稳态误差等性能。
三、实验设备1. 计算机2. MATLAB软件3. 控制系统实验箱四、实验内容1. 绘制控制系统根轨迹（1）首先，根据实验要求，搭建控制系统的数学模型。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 绘制控制系统根轨迹（1）根据实验要求，搭建控制系统的数学模型，得到开环传递函数。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
孙炳达版 《自动控制原理》第4章 控制系统的根轨迹分析法-5
R(s)
s 1
k s 2 (s 2)
Y(s)
j
j
σ
-1/τ
σ
4.5 系统性能的根轨迹分析
系统开环传递函数：
Gk ( s) Kg s( s 2)(s 3)
Þ ¿ Î ª » ·Á ã µ ã
j¦ Ø 2 -3 -2 -1 0 ¦ Ò -2
增加零点-z
Gk ( s) K g (s z) s( s 2)(s 3)
4.5 系统性能的根轨迹分析
例 系统的结构图如下，
R(s)
K
s 2 2 s 5 ( s 2 )( s 0.5 )
Y(s)
要求： １）用根轨迹法确定使系统稳定的Ｋ的取值范围； ２）用根轨迹法确定系统的阶跃响应不出现超调 量的Ｋ的最大值。
4.5 系统性能的根轨迹分析
解 由已知条件画出根轨迹如图， 其中根轨迹与虚轴的交点 分别为0和1.254j，对应的开环 增益Ｋ分别为0.2和0.75。 分离点为d=-0.409。 所以，系统稳定Ｋ的取值范围为：0.2<K<0.75 不出现超调量的Ｋ最大值出现在分离点处d=-0.409 处。将d代入 D( s ) ( s 2)(s 0.5)
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s1, 2 b jn n j 1 2 n 0.35 j 0.61
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点：
Kg OA CA DA 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极 点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大，故取 Kg=2.3可满足要求。
4.5 系统性能的根轨迹分析
将零点z1<-10，系统根轨迹为 系统根轨迹仍有两条始 终位于S平面右半部， 系统仍无法稳定。
实验二控制系统的根轨迹分析与频域分析
实验二 控制系统的根轨迹分析与频域分析 一、实验目的 1、掌握如何运用计算机的MA TLAB 软件进行根轨迹分析 1、 掌握如何用计算机MA TLAB 软件工具进行系统或环节的频率特性的测试。 二、实验类型 综合性 三、实验设备 计算机 四、实验原理 频率特性函数是静态下正弦输出信号与正弦输入信号的复数符号之比。从频率特性图象上可以很方便的得到关于系统稳定性和 动态特性的一些信息。因此，它是研究控制系统的一个重要工具。 五、实验内容和要求 （一）内容 1、 已知开环传递函数为s sssk s H 803616)(234+++=绘出闭环系统的根轨迹，并找出根轨迹与虚轴交点处的增益k 值。 2、 已知开环传递函数为)45)(23() 3()(22+++++= s s s s s k s H 绘出闭环系统的根轨迹。并分析系统 的稳定性。 3、 编程实现惯性环节005.0,11 )(=+=T Ts s G 的频率特性，编程实现幅相频率特性，对数幅频和对数相频特性，绘制奈奎斯特图和伯德图。 4、 编程实现振荡环节的频率特性。 8.0,4.0,2.0,002.0,121 )(22==++=ζζT Ts s T s G ，用MA TLAB 软件编程仿真出振荡环节的幅相频率特性，对数幅频和对数相频特性，绘制奈奎斯特图和波德图，增益相位裕度的伯德 图。并在同一极坐标图和伯德图中绘制不同ζ下的响应曲线。（要获得谐振峰值、谐振频率等关键点的值。） （二）要求 1、预习根轨迹的绘制的方法，编制相应实现的MA TLAB 程序。 2、在理论上画出实验中惯性环节、振荡环节相应的幅相频率特性，对数幅频和对数相频特性，绘制奈奎斯特图和伯德图；并 预先编制实现的MA TLAB 程序。 3、写出实验报告，对于内容（一）写出实现的MA TLAB 程序；给出给定系统)(s H 的根轨迹图，并分析系统的稳定性；进行 实验总结；对于内容（二）给出出惯性环节、振荡环节的实现程序及各实验曲线；将实验结果同理论估计的结果相比较，若不 同分析其原因；根据实验曲线能得到哪些结论（稳定性、增益方面的）。 六、注意事项 命令调用的格式不能随意改写 七、思考题 如何利用Bode 图来分析系统的增益裕度、相位裕度、及其稳定性？
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
第四章根轨迹分析法
j=1
i=1 ≠b
例 设系统开环传递函数零、极点的分布如图4-9所
示，试确定根轨迹离开复数共极点- p1 、- p2的出
射角。
解 按公式（4-28），由作图结果得
øb= +180°（2k+1) + - p1+ z1- - p1+ p2-
jw
- p1+ p3- - p1+ p4
S平面
= +180°（2k+1) +45° -90°-135°-26.6°
根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现 纯虚根。故可在闭环特征方程中令s=jw，然后令 其实部和虚部分别等于0，从中求得交点的坐标 值及其相应的Kg值。 例 设系统的开环传递函数为
Gk（s）=s（s+1K）g（s+2）
试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界根轨迹增 益Kgp。
解 闭环系统的特征方程为 s（s+1）（s+2）+Kg=0
确定根轨迹上某点对应的K*值
例：开环传函 G(s)H(s)= K ，求根轨迹
(s+1)(s+2)
解 1、确定极点、零点
开环 –p1= -1, –p2= -2
无零点
1、相角条件
∠(s+zi)- ∠(s+pj) = 0-[∠(s+1)+ ∠(s+2)] =±180o(2k+1)
试差法 s= -1.5
∠θ1+ ∠θ2=180 o
故 D’(s)=3s2+6s+2
N’(s)=0
解得 s1=-0.423 s2=-1.577
由于s2不在根轨迹上，因而分离点是s1 。
自动控制理论第五章
kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线 上。 （5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞， 此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 ：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
控制系统的稳定性分析方法
控制系统的稳定性分析方法控制系统的稳定性是指在不同输入情况下，系统输出是否会趋于稳定状态。
稳定性分析在控制系统设计和优化中起着重要的作用。
本文将介绍几种常用的控制系统稳定性分析方法。
一、传递函数法传递函数法是一种常用的控制系统稳定性分析方法。
传递函数是控制系统输入与输出之间的关系表示，通过对传递函数进行分析，可以得到系统的特性以及稳定性。
传递函数法的具体步骤如下：1. 将系统表示为传递函数的形式，传递函数通常表示为H(s)，其中s为复变量。
2. 利用传递函数的特性，计算系统的极点和零点。
极点是传递函数的分母为零的根，零点是传递函数的分子为零的根。
3. 分析系统的极点位置以及极点的实部和虚部。
根据极点的位置可以判断系统的稳定性。
二、根轨迹法根轨迹法是一种图形法，通过绘制传递函数的根轨迹图来分析系统的稳定性。
根轨迹图是传递函数极点随参数变化过程中的轨迹。
根轨迹法的具体步骤如下：1. 将传递函数表示为参数的函数形式。
2. 寻找参数的变化范围，通常选择参数的范围使得系统保持稳定。
3. 计算传递函数的极点随参数变化的轨迹，将其画在复平面上。
4. 根据根轨迹图的形状和位置判断系统的稳定性。
三、Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据是通过分析控制系统的传递函数在Nyquist轨迹上的特性来判断系统的稳定性。
具体步骤如下：1. 绘制传递函数的Nyquist轨迹。
2. 通过Nyquist轨迹上的幅角和极点位置判断系统的稳定性。
如果幅角为负且极点位于原点右侧，则系统稳定。
四、Bode图法Bode图法是一种常用的频域分析方法，通过绘制传递函数的幅频特性图和相频特性图来分析系统的稳定性。
具体步骤如下：1. 将传递函数表示为分子和分母的形式。
2. 计算传递函数在频域上的幅频特性和相频特性。
3. 根据幅频特性和相频特性的特征判断系统的稳定性。
以上是几种常用的控制系统稳定性分析方法。
在实际应用中，根据系统的特点和需求，选择合适的方法进行稳定性分析。
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
控制系统根轨迹法
控制系统根轨迹法控制系统的设计和分析是现代工程领域中的重要任务。
为了实现系统的稳定性和性能要求，控制系统工程师采用了多种方法和技术。
其中，根轨迹法是一种常用且有效的方法，用于评估和改进系统的动态响应。
1. 系统根轨迹方法概述控制系统根轨迹方法是基于系统的传递函数，通过分析系统在复平面上的极点和零点位置来评估系统的稳定性和动态性能。
在根轨迹图中，系统的极点和零点以及传递函数的增益可以直观地展示出来，从而帮助工程师定量地了解系统的响应特性。
2. 根轨迹图的构造根轨迹图通常由两个主要的部分组成：实部为-1的轴线和虚部为0的轴线。
系统的传递函数通常表示为连续时间的形式，并且可以表示为一个或多个一阶和二阶传递函数的乘积。
根轨迹图的构造基于这些传递函数的极点和零点。
极点和零点对应于根轨迹图上的曲线，其中极点表示系统的稳定性，而零点则表示系统的过渡性能。
3. 根轨迹与稳定性根轨迹图提供了系统稳定性的重要信息。
通过观察根轨迹图，可以确定系统的稳定性。
如果根轨迹图上的所有的极点都位于左半平面，那么系统是稳定的。
相反，如果存在极点位于右半平面，系统是不稳定的。
通过调整参数或者设计控制器，可以将系统的极点移动到左半平面，从而提高系统的稳定性。
4. 根轨迹与动态响应除了稳定性，根轨迹图还提供了关于系统动态响应的信息。
通过观察根轨迹图上的曲线形状，可以了解系统的过渡特性。
例如，当根轨迹密集且靠近虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应非常快。
相反，当根轨迹离散且远离虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应比较慢。
通过分析根轨迹图，工程师可以调整系统参数来改善系统的动态响应性能。
5. 根轨迹的应用根轨迹方法是控制系统分析和设计中常用的工具之一。
它可以用于多个方面，包括控制器的设计、系统的稳定性分析和性能优化。
使用根轨迹方法，工程师可以确定合适的控制器增益、相位补偿器和频率补偿器来满足系统的设计要求。
6. 根轨迹法的局限性尽管根轨迹法在控制系统领域中被广泛应用，但它也有一些局限性。
控制系统的根轨迹分析实验报告
控制系统的根轨迹分析实验报告控制系统的根轨迹分析实验报告引言：控制系统是现代工程中非常重要的一部分，它可以帮助我们实现对各种物理过程的自动控制。
而根轨迹分析作为一种重要的分析方法，可以帮助我们了解系统的稳定性和动态响应特性。
本实验旨在通过根轨迹分析方法，对一个控制系统进行分析，并得出相应的结论。
实验目的：1. 学习根轨迹分析方法的基本原理和步骤；2. 通过实验分析，了解控制系统的稳定性和动态响应特性；3. 掌握如何根据根轨迹分析结果进行控制系统设计和优化。
实验步骤：1. 实验准备：a. 搭建好控制系统实验平台，包括传感器、执行器和控制器等；b. 确定实验所需的输入信号和采样频率。
2. 数据采集：a. 将输入信号输入到系统中，并采集输出信号；b. 通过数据采集设备将输出信号转换为数字信号。
3. 数据处理和分析：a. 使用MATLAB等软件，将采集到的数据导入，并进行根轨迹分析；b. 根据根轨迹图，分析系统的稳定性和动态响应特性。
实验结果与讨论：通过根轨迹分析，我们得到了系统的根轨迹图。
根轨迹图是描述系统极点随控制参数变化而轨迹的图形，可以直观地反映系统的稳定性和动态特性。
根据根轨迹图，我们可以得出以下结论：1. 系统的稳定性：根轨迹图上的点都位于左半平面，则系统是稳定的；若存在点位于右半平面，则系统是不稳定的。
2. 系统的阻尼比：根轨迹图上的曲线越靠近实轴，则系统的阻尼比越小；曲线越远离实轴，则系统的阻尼比越大。
3. 系统的自然频率：根轨迹图上的曲线越接近原点，则系统的自然频率越小；曲线越远离原点，则系统的自然频率越大。
根据以上分析，我们可以得出对控制系统的一些优化建议：1. 若系统不稳定，在根轨迹图上找到导致不稳定的点，并调整控制参数，使其移动到左半平面，从而提高系统的稳定性。
2. 若系统的阻尼比过小，可能导致系统的动态响应过度振荡，可以通过调整控制参数来增加阻尼比，从而减小振荡幅度。
3. 若系统的自然频率过大，可能导致系统响应过快，可能引起过冲或不稳定，可以通过调整控制参数来减小自然频率，从而改善系统的响应特性。
控制系统的根轨迹法分析
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由图可见，当0＜K*＜14及64＜K*＜195时，闭环系统是稳定的，而当14≤K*≤64 及K*≥195
2019年5月8日
感谢你的观看
2
把参数在一定范围内取值才能稳定的系统叫条件稳定系统。如前面所举的例子中 的系统就是条件稳定系统。对于条件稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参
条件稳定系统的工作性能不十分可靠，实际工作中，应尽量通过参数的选择或
2019年5月8日
感谢你的观看
5
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
它将不会使系统超调量增大， 故取K ＝1.85可满足要求。
2019年5月8日
感谢你的观看
7
三、 开环零点对系统根轨迹的影响
增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，
因而影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能， 下面以三阶系统为例来说明。
设系统的开环传递函数为
GK (s)
Kk s(T1s 1)(T2s 1)
即
G1 ( s)
s2
10s 2s 10
s2 2s 10
利用根轨迹绘制法则，可以绘出当τ从零变化到无穷大时等效系统的根轨迹。
（1）起点： s1 ＝-1+j3，s2 ＝ -1-j3。 （2）终点： s1 ＝ 0，s2 ＝-∞ （3）实轴上的根轨迹存在区间(－∞，0
（4）分离点与会合点：据公式 N′(s) D(s) － N(s)D′(s) ＝ 0可解得 s 10
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
②渐近线的交点：根据公式计算得
n
m
p j
zi
σ20α19年5j月18日n
i 1
m
[0 (感2谢你的j观2 看3) (2 j2 3
3)] 0
4
19
3
（6）根轨迹与虚轴的交点。
闭环系统特征方程 s(s2 4s 16) K * 0
3 16 0
把s=jω代入上式并分别令实部和虚部为零得
4 2
K*
0
解得 4, K * 64
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
2019年5月8日
感谢你的观看
4
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
3 t
s n
可得到系统工作在该点的暂态性能。反过来，我们也可以根据系统暂态指标的
在此情况下，闭环复数极点距离轴较远，而实数极点 却距离轴较近，这说明系统将有较低的瞬态响应速度。
2019年5月8日
感谢你的观看
10
从以上三种情况来看，一般第二种情况比较理想，这 时系统具有一对共轭复数主导极点，其瞬态响应性能指 标也比较满意。
可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并 在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控 制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善。 在随动系统中串联超前网络校正，在过程控制系统中引 入比例微分调节，即属于此种情况。
画根轨迹其它问题略。 根轨迹的分离点和会合点为：根据公式
N′(s) D(s)－ N(s)D′(s) ＝ 0
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为
2019年5月8日
， 9感0谢你的根观轨看迹为圆，如下图所示。
2019年5月8日
感谢你的观看
3
二、控制系统的暂态性能分析
利用根轨迹法可清楚地看到开环根轨迹增益或其它开环系统参数改变时，闭环 系统极点位置及其暂态性能的变化情况。
例：典型二阶系统开环传函为
2
Байду номын сангаас
G (s)
n
K
s(s 2 )
n
当ζ变化时，作出系统的根轨迹如图所示。
闭环系统的极点为
s 2 1
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
一、控制系统的稳定性分析
稳定的系统，其闭环特征根必须全部位于s平面左半侧，而且在s平面左半侧 距虚轴距离越远，其相对稳定性越好。
根轨迹正好直观地反映了系统闭环特征根在s平面上随参数变化的情况，因此， 由根轨迹很容易了解参数变化对系统稳定性的影响，确定使系统稳定的参数变化 范围。
2019年5月8日
感谢你的观看
11
四、开环极点对系统根轨迹的影响
设系统的开环传递函数
GK
(s)
Kg s(s p1)
其对应的系统根轨迹如图 a）所示。
( p1 0)
若系统增加开环极点，开环传递函数变为
GK
(s)
s(s
Kg p1)(s
p2 )
( p2 p1)
其相应的根轨迹如图 b）所示。
例:设某负反馈系统的开环传递函数为 K (s 2 2s 4)
Gk (s) s(s 4)(s 6)(s 2 1.4s 1) 试绘制根轨迹图，并讨论使闭环系统稳定的K*取值范围。
2019年5月8日
感谢你的观看
1
解：利用根轨迹的绘制法则(过程从略)可绘出K*从0变化到∞ 时系统的根轨迹如
s 1.2 j2.1 1, 2
2019年5月8日
感谢你的观看
6
由根轨迹方程的幅值条件，可求得相应于 A，B 点的 K*值为
K OA CA DA 43.8 44
再计算出系统的开环增益为
K 1.83
根据闭环极点之和等于常数的性质，可求得系统另一闭环实极点为
s 7.6 3
2019年5月8日
感谢你的观看
13
如下图所示，设在开环系统中增加一对极点比零点更接近原点的实数极、零点－
pc和－zc(称为偶极子)，这一对实数极、零点对离原点较远的A，B点附近根轨迹形状 及A，B点的K*值影响很小，但却使开环增益增加D倍，D＝ zc /pc ，从而使系统稳态性 能得到提高。
2019年5月8日
根据以上分析计算结果，可绘制出系统的根轨迹如下图所示。
j
2 1
-2 -1 0
-1
-2
2019年5月8日
感谢你的观看
20
（P103－4－16）
解：系统的闭环传递函数为 (s) 10(1s)
s(s 2) 10(1s)
系统特征方程为 s2 (2 10τ)s 10 0 也，可写成 τ 10s 1
由于增加一个开环零点，根轨迹相应发生变化。
从根轨迹形状变化看，系统性能的改善不显著，当系统 增益超过临界值时，系统仍将变得不稳定，但临界开环放大 系数和临界频率都有所提高。
2. p2 z p1 ，设z 1.6 ，相应的根轨迹如图c）所示
此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定。闭环系 统有三个极点，如设计得合适，系统将有两个共轭复数极点 和一个实数极点，并且共轭复数极点距虚轴较近，即为共轭 复数主导极点。在这种情况下，系统可近似看成一个二阶欠 阻尼比系统来进行分析。 3. p2 p1 z ，设 z 0.6 ，相应系统根轨迹如图 d）所示。
感谢你的观看
14
小结
• 根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹 增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。
根据系统开环零.极点在s平面上的分布，按照表所列出
的规则，就能方便的画出根轨迹的大致形状。 • 根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性
能的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼 比相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭 环零点，就能计算出 系统的输出响应及其性能指标， 从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。
弦就是系统的最小阻尼比，由（1）可知，此时系统的闭环极点为
。
2019年5月8日
感谢你5的观看j5
18
习题与作业
1：已知系统的开环传递函数如下，绘制系统的根轨迹。
（P102－4－13）
GK
(s)
s(s2
K 4s
16)
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
s(s
Kg p1)(s
p2 )
( p2 p1)
如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环 传递函数变为
GK
(s)
s(s
Kg (s p1)(s
z) p2 )
2019年5月8日
感谢你的观看
8
下面来研究开环零点在下列三种情况下系统的根轨迹。
2019年5月8日
感谢你的观看
9
1. z p2 p1 ，设 z 3.6 ，则相应系统的根轨迹如图b)所示。