控制系统的根轨迹分析与校正

MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
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开环传递函数可表示为，
m
K * (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s p j )
j 1
系统的闭环传递函数为
(s)
G(s)
1 G(s)H (s)
系统的闭环特征方程为1 G(s)H (s) 0
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13.1.2 MATLAB根轨迹分析的相关函数
MATLAB中提供了 rlocus()函数， 可以直接用于系统的根轨迹绘制。 还允许用户交互式地选取根轨迹上 的值。其用法见表13.1。更详细的 用法可见帮助文档
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rlocus(num,den) %绘制根轨迹
axis([-8 8 -8 8])
figure(2)
r=rlocus(num,den); %返回根轨迹参数
plot(r,'-')
%绘制根轨迹
axis([-8 8 -8 8])
gtext('x')
gtext('x') gtext('x')
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例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
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极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。
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13.1 控制系统的根轨迹法分析
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13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述
以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解 法是获得系统根轨迹是很实用的工程方 法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的 信息：
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rlocus(G) rlocus(G1,G2,...) rlocus(G,k) [r,k] = rlocus(G) r = rlocus(G,k)
绘制指定系统的根轨迹
绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于同 一图上
绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益向 量
返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有 length(k)列，每列对应增益的闭环根
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临界稳定时的开环增益；闭环特征
根进入复平面时的临界增益；选定
开环增益后，系统闭环特征根在根
平面上的分布情况；参数变化时，
系统闭环特征根在根平面上的变化 趋势等。
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原理要点 控制系统的根轨迹分析 控制系统的根轨迹校正 MATLAB的图形化根轨迹法分析与校正
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原理要点
1. 根轨迹概念
是指当开环系统某一参数从零变到无穷 大时，闭环系统特征根(闭环极点)在复平 面上移动的轨迹。通常情况下根轨迹是 指增益K由零到正无穷大下的根的轨迹。
返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根位 置矩阵。r有length(k)列，每列对应增 益的闭环根
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[K,POLES] = rlocfind(G)
[K,POLES]= rlocfind(G,P)
sgrid
sgrid(z,wn)
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2. 根轨迹方程
闭环控制系统一般可用图13.1 所示的结构图来描述。
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R(s)
C(s)
G(s)
H(s)
图13.1 闭环控制系统结构图
m
K * (s zi )
即 G(s)H(s)
i 1 n
1
(s p j )
j 1
式（4-8）
显然，在s平面上凡是满足上式的点，都是根轨迹上的点。式
（4-8）称为根轨迹方程。式（4-8）可以用幅值条件和相角条 件来表示。
3. 幅值条件
m
(s zi )
G(s)H(s)
K*
i 1 n
1
(s p j )
j 1
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4. 相角条件
∠ G(s)H (s)=
m
n
(s zi ) (s p j )
i 1
j 1
m
n
i j (2k 1) k 0, 1, 2,
i 1
j 1
式中，i 、 j 分别代表所有开环零点、
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13.1.3 MATLAB根轨迹分析实 例
例1：若单位反馈控制系统的开环传
递函数为
Gk
(s)
s(s
kg 1)( s
5)
绘制系统的根轨迹。
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程序如下：
clf;
num=1;
den=conv([1 1 0],[1 5]);
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Imaginary Axis
Root Locus 8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
8
6
4
2
0
x
xx
-2
-4
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
(a) 直接绘制根轨迹
(b) 返回参数间接绘制根轨迹
图13.2 例1系统根轨迹
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交互式地选取根轨迹增益。产生一个十字光 标，用此光标在根轨迹上单击一个极点， 同时给出该增益所有对应极点值
返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应的全 部极点值
在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和等 自然振荡角频率线。阻尼线间隔为0.1， 范围从0到1，自然振荡角频率间隔1rad/s ，范围从0到10
在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和等 自然振荡角频率线。用户指定阻尼系数值 和自北M京然A航TL振空AB航与荡天控大角制学系频出统版仿率社真，值实2践00，9.8.