控制系统的根轨迹分析法讲解
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
自动控制原理--控制系统的根轨迹分析及特殊根轨迹
j1
s0
j1
jk
s sk
j1
jk
单位阶跃响应为
n
y(t) A0 Akeskt k 1
m
m
Ks zi Kzi
A0
i1 n
s sj
i1 n
GB(0)
sj
j1
s0
j1
m
m
K s zi
Ak
i1 n
s sj
1 s
K sk zi
i1 n
sk sk sj
jk
1
s2
100 8s 100
4 3
os1
1.5
1.7
可求得 0.4, ，n 10
s3
所以 % e 1 2 100% 25%，ts (s3.)5 n 3.5 4 0.9
j
0
利用根轨迹分析控制系统的性能
例11 分析K的变化对系统稳定性的影响
K (s 3) G(s)H (s) s(s 5)(s 6)(s2 2s 2)
增加开环极点的影响 增加极点对根轨迹形状的影响
增加开环零点的影响 增加零点对根轨迹形状的影响
例9 已知某系统闭环传递函数
GB (s) 0.67s 1
1 0.01s2
0.08s 1
试计算在单位阶跃输入时的系统输出超调量 % 和调节时间t。s
解：该闭环系统有三个极点，s1 1.5, s2,3 零4 、j9.2极点 分布如右图。
系统稳定的K的范围为: 0<K<35
例12 分析K的变化对系统的影响。设负反馈系统的开环传递函数为
K s z G(s)H(s) ss p
z p
求系统闭环根轨迹，并分析 p 2, 时z系 统4 的动态性能。
第四章 控制系统根轨迹分析法
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
控制系统根轨迹分析
控制系统根轨迹分析控制系统的根轨迹分析是一种常用的工程方法，用于分析系统的稳定性和性能。
在控制系统设计中，了解根轨迹的特性对于确保系统的稳定性和满足性能要求至关重要。
本文将介绍根轨迹分析的基本原理，以及如何应用根轨迹分析来评估和改进控制系统。
1. 根轨迹分析的基本原理根轨迹分析是利用系统的传递函数来描述系统在复平面上的特征。
系统的传递函数可以通过拉普拉斯变换和频域分析获得。
根轨迹是描述系统传递函数极点随控制参数变化所形成的轨迹，它反映了系统的稳定性和性能。
2. 根轨迹的特性根轨迹具有以下几个重要特性：- 根轨迹始于系统的零点，终止于系统的极点。
- 根轨迹通过传递函数的极点数目与零点数目的差值确定的角度。
当角度为奇数时，根轨迹会靠近负实轴；当角度为偶数时，根轨迹会靠近负无穷大。
- 根轨迹与实轴之间的交点表示系统的振荡频率。
3. 根轨迹分析的步骤下面是进行根轨迹分析的基本步骤：1) 将系统的传递函数表示为标准型。
2) 根据系统传递函数的分母和分子系数，确定系统的极点和零点。
3) 绘制根轨迹图，根据极点和零点的位置画出根轨迹的轨迹。
4) 分析根轨迹图，判断系统的稳定性和性能。
4. 根轨迹分析的应用根轨迹分析在控制系统设计中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：- 稳定性分析：通过观察根轨迹图，可以判断系统是否稳定。
如果根轨迹位于左半平面，即实部小于零，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。
- 性能评估：根轨迹的形状和位置可以提供有关系统响应速度、振荡频率和阻尼比等性能指标的信息。
例如，当根轨迹与虚轴相交时，系统存在振荡。
- 控制器设计：通过根轨迹分析，可以确定合适的控制器增益，以实现所需的系统性能要求。
- 稳定裕度分析：通过改变根轨迹的形状和位置，可以评估系统对参数扰动的敏感性，并提供稳定性裕度的指导。
根轨迹分析作为控制系统设计和分析的重要工具，为工程师提供了直观、可视化的方式来理解和改进系统的性能。
通过合理运用根轨迹分析，可以帮助我们设计出更稳定、高性能的控制系统。
第4章 控制系统的根轨迹分析方法
k 0, 1, 2, …
(4-6)
其中，（4-5）式称为幅值条件，（4-6）式称为相角条件。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
1.根轨迹的起点和终点 4.2 根轨迹绘制的基本规则 根轨迹起点是指根轨迹增益 K g 0 的根轨迹点，当 K g 0 时，（4-5）式的等号右边为∞，左边仅当 si pi 时为∞，因 此根轨迹起始于开环极点。而终点则是指 K g 的根轨迹点， 当 K g 时，（4-5）式的等号右边为0，左边仅当 s j z j时 为0，因此根轨迹终止于开环零点。 2. 根轨迹的分支数 当 K g 变化时，由起点移至终点的一条根轨迹称为一个 分支。根轨迹的分支数等于系统开环传递函数的极点数n （n≥m时），也等于系统开环传递函数的阶次。
5 3
3
图4-4 【例4-1】根轨迹的渐近线
6.根轨迹上的分离点 两条或两条以上根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点， a 叫 做根轨迹的分离点或会合点，分离 点用 d 表示。大部分的分离点与会 合点出现在实轴上，并将根轨迹离 开实轴进入 s 平面的点称为分离点； 根轨迹离开 s 平面进入实轴的点称 为会合点。
3 ）系统为Ⅰ型系统，故根轨迹上的 K 值是静态速度误 差系数。这样，如果给定稳态误差，则由根轨迹可确定闭环 极点容许的范围。 以上分析表明，根轨迹和系统的性能之间有着密切的 关系。然而，对于高阶系统，用解析法逐点绘制系统的根轨 迹图是不现实的。根轨迹法是根据反馈系统开环传递函数和 闭环传递函数之间的关系，由开环传递函数直接绘制闭环根 轨迹的总体规律的图解分析法。
1948年，伊万斯首次提出了根轨迹分析法——直接由 开环传递函数求取闭环特征根的图解法。根轨迹法简单、实 用，已成为经典控制理论的基本分析方法之一，在工程实践 中也获得了广泛的应用。
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
控制系统的根轨迹分析方法 自控原理 教学PPT课件
P3×
分别起始于p1, p2, p3,4，
P2
终止于无穷远。
×
-2
Im(s)
× 0 P1
Re(s)
根据规则四、实轴上存在
根轨迹是从-2到0之间。
P4×
例4-2-6
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
根据规则五、n-m=4条渐近线
与实轴交点： 渐近线相角分别为：
P3×
Im(s)
P2 ×
j5.66
×
-j5.66
例4-2-5 作
的根轨迹。
该系统 n=3 ，m=1。
有三个开环极点：
一个零点：
根据规则一、二、三： 该根轨迹有三个分支,
分别起始于p = 0(两条)和p = -12处，
有一个分支终止于z = -1,
另两个分支趋于无穷远。
× -12 -6 -4
根据规则四：
实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。
s1是分离点，s2是会合点。 ×
-12 -6
作完业整：的A绘-4-出7，根A轨-4-迹11，如图4-9所示。
看书p130，表4-1常规根轨迹。
●× -4 -2
图4-9
例4-2-6
分析：n=4，m=0。
根据规则一、二、三、有四个极点：
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
该根轨迹共有四个分支，
例如系统的开环零、极点分布如图。
要判断 和 之间的线段是否存
在根轨迹，取实验点
开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。 。
×
● ● × ××
﹣5
﹣2 ﹣1 0
处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度 × 均为零， 相角条件由其右边的零极点决定。
自动控制原理根轨迹法知识点总结
自动控制原理根轨迹法知识点总结自动控制原理中的根轨迹法是一种常用的分析和设计控制系统的方法。
它通过在复平面上绘制系统的根轨迹，并结合数学分析的方法，可以帮助我们了解系统的稳定性及动态特性，并设计出合适的控制器来实现所需的性能要求。
本文将对根轨迹法的原理和关键知识点进行总结。
一、根轨迹法的基本原理根轨迹法是通过分析系统的开环传递函数来确定系统的极点和零点在复平面上的分布情况。
根轨迹是由系统的特征方程的解所决定的，即特征方程的根随参数的变化而移动，形成了一条曲线，这条曲线即为根轨迹。
根轨迹的形状和分布反映了系统的稳定性、动态响应及频率特性。
根轨迹法的基本步骤如下：1. 给定系统的开环传递函数：G(s)H(s)，其中G(s)为系统的传递函数，H(s)为控制器的传递函数。
2. 将开环传递函数表示为极点-零点的形式：G(s)H(s) = K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)，其中K为传递函数的增益，zi和pi为传递函数的零点和极点。
3. 根据传递函数的特征方程：1+G(s)H(s)=0，得到特征方程：1+K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm) = 0。
4. 以复平面为基准，根据特征方程的根（极点和零点），画出根轨迹。
5. 根据根轨迹的形状和分布，分析系统的稳定性和动态响应，设计合适的控制器参数。
二、根轨迹法的关键知识点1. 极点和零点：极点和零点是传递函数的根，它们对系统的稳定性和动态响应有着重要影响。
极点是使得特征方程为零的点，零点是使得传递函数的分子为零的点。
2. 稳定性判据：系统的稳定性和根轨迹的位置有直接关系。
当系统的极点全部位于左半平面时，系统是稳定的；若存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
3. 根轨迹与动态响应：根轨迹的形状和分布反映了系统的动态响应。
根轨迹与阻尼比、自然频率等参数有关，可以通过观察根轨迹的形状来判断系统的超调量、振荡频率等动态性能指标。
自动控制原理(上)第4章控制系统的根轨迹分析法精品文档85页
17
一.绘制根轨迹图的基本法则
3. 根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于系统的开环极点，终止于系统的开环零点（
m条根轨迹终止于m个开环零点，有n-m条根轨迹终止于无
穷远处 ）。
m
当K*=0时，由
j1 n
(s (s
zj) pi )
得 sK=1 pi 。
i1
m
当K*=∞时，由 lim 1
第4章 控制系统的根轨迹分析法
1 4.1 引言 2 4.2 根轨迹法的基本概念 3 4.3 根轨迹的绘制 4 4.4 广义根轨迹的绘制 5 4.5 利用根轨迹图分析控制系统性能 6 4.6 用MATLAB进行控制系统的根轨迹分析
1
4.1 引言
一.根轨迹 二.根轨迹与系统性能
2
一. 根轨迹
根轨迹就是指当系统的开环传递函数的某个参数（如开环增益K ）从零变到无穷时，闭环极点，即特征方程的根在复平面上变化 的轨迹。
G(s)
k1
b
k1
b
s (Tks1)
(s pk )
k1
1) KH (szl )
H(s)
l1 d
l1
d
(Tls1)
(spl )
l1
l1
7
一.根轨迹方程
则系统开环传递函数为
a
c
m
KG *gKH (szk) (szl) K (szj)
G(s)H(s)
k1 b
l1 d
10
二.系统闭环零点、极点和开环零点、极点的关系
4）系统的开环根轨迹增益与系统的开环增益之间只相差一个 系数，如下式所示
a
c
a
c
KGgKH k l kl
控制系统根轨迹分析
控制系统根轨迹分析简介控制系统根轨迹分析是一种经典的控制系统稳定性分析方法。
通过分析系统的特征根轨迹，可以评估系统的稳定性、阻尼比、过渡时间等性能指标，从而设计合适的控制器来实现系统的稳定和性能要求。
根轨迹的定义控制系统的根轨迹是由系统的特征根在复平面上随参数变化所形成的轨迹。
特征根是系统传递函数的零点，它们决定了系统的动态特性。
根轨迹对应于特征根的运动轨迹，可以直观地反映系统的稳定性和相应的频率响应。
根轨迹的绘制方法步骤一：计算系统的传递函数首先，需要获得系统的传递函数。
传递函数通常是通过将系统的微分方程进行拉氏变换得到的。
传递函数是 Laplace 域中的函数，它描述了输入和输出之间的关系。
步骤二：确定系统的开环极点和零点根轨迹是由系统的特征根构成的，而特征根由系统的开环极点和零点决定。
开环极点指的是系统传递函数的分母多项式的根，而开环零点指的是系统传递函数的分子多项式的根。
通过确定系统的极点和零点，可以得到系统的特征根。
步骤三：绘制根轨迹根轨迹的绘制可以通过手工计算或数值模拟方法实现。
手工计算方法需要根据系统的传递函数进行复杂的计算，而数值模拟方法可以借助计算机软件进行自动计算和绘制。
绘制根轨迹时，需要遵循以下基本规则： - 根轨迹始于系统的零点。
如果系统有多个零点，那么根轨迹将从每个零点开始。
- 根轨迹与实轴交点的个数等于零点的个数减去极点的个数，这一性质被称为根轨迹的零点和极点计数法则。
- 根轨迹在系统的极点位置是不连续的，并且与极点的关联程度取决于极点的幅度和阶数。
根轨迹的稳定性分析通过观察根轨迹图形，可以评估控制系统的稳定性。
根轨迹的稳定性分析方法主要有以下几种：1. 判据法判据法是判断根轨迹稳定性的基本方法之一。
根轨迹的稳定性与根轨迹图形与实轴的关系有关。
如果根轨迹图形位于实轴的左侧，则系统是稳定的；如果根轨迹图形经过实轴，则系统是不稳定的。
2. Astrom法Astrom法是一种根据根轨迹图形的形态特征进行稳定性判断的方法。
控制系统的根轨迹分析
控制系统的根轨迹分析引言控制系统是现代工程领域中应用广泛的一个重要概念，它用于调节和控制系统的输出，以使其达到预期的目标。
在控制系统设计中，根轨迹分析是一种重要的工具，用于评估系统的稳定性和性能。
本文将介绍控制系统的根轨迹分析方法，包括其基本原理、应用范围以及如何使用根轨迹分析改进控制系统的性能。
根轨迹分析原理根轨迹分析是一种基于系统传递函数的频域分析方法，它用于研究系统在不同参数情况下的稳定性和性能。
根轨迹是系统传递函数极点随参数变化而形成的轨迹图，通过观察根轨迹可以得到系统的稳定性、阻尼比、过渡过程和稳态误差等性能指标。
根轨迹分析基于以下原理： - 控制系统的稳定性取决于系统传递函数极点的位置，当极点全在左半平面时，系统是稳定的。
- 控制系统的阻尼比可以通过观察根轨迹的形状来判断，当根轨迹越接近实轴，阻尼比越小，系统的过渡过程越激烈。
- 控制系统的稳态误差可以通过观察根轨迹的最后一段来判断，当根轨迹趋于无穷远时，稳态误差为零。
根轨迹分析步骤根轨迹分析一般需要经历以下几个步骤： 1. 给定系统的传递函数，通常是一个比例控制器和一个被控对象的组合。
2. 将传递函数的分子和分母分别表示为多项式的形式。
3. 根据系统传递函数的阶数，求解其特征方程的根。
这些根即为根轨迹的起始点。
4. 在复平面上绘制出根轨迹的起始点以及随参数变化而形成的轨迹。
5. 根据根轨迹的形状和位置，判断系统的稳定性、阻尼比和稳态误差等性能指标。
根轨迹分析的应用根轨迹分析在控制系统设计中有广泛的应用，主要有以下几个方面： 1. 系统稳定性评估：通过观察根轨迹的位置，可以判断系统是否稳定。
如果根轨迹全在左半平面，则系统是稳定的。
2. 控制器设计：根轨迹分析可以帮助工程师选择合适的控制器参数，以实现系统的稳定性和性能要求。
3. 系统性能优化：通过分析根轨迹的形状，可以判断系统的过渡过程、阻尼比和稳态误差等性能指标，从而优化系统的性能。
控制系统根轨迹分析法课件
根轨迹的概念与分类
根轨迹定义
根轨迹是控制系统中的一种图示方法，用来表示系统的极点 与零点随系统参数变化的关系。根轨迹可以用来分析系统的 稳定性、响应速度和阻尼特性等。
根轨迹分类
根据根轨迹的性质和应用，可以将其分为常规根轨迹和广义 根轨迹。常规根轨迹通常用于分析线性时不变系统的稳定性 ，而广义根轨迹则可以用来分析更复杂的非线性、时变和离 散系统。
优化目标
通过优化控制系统的参数，使得 系统的根轨迹具有更好的分布， 从而提高系统的稳定性和性能。
优化方法
采用遗传算法、粒子群算法等优化 算法对控制系统的参数进行优化。
应用
用于优化控制系统的设计，提高控 制系统的性能和鲁棒性。
05
CHAPTER
控制系统根轨迹分析法的软 件实现
使用MATLAB进行控制系统根轨迹分析
系统的稳定性
稳定性定义
如果一个系统受到外部干扰后能够自我调节并恢复到原始状态，那么这个系统 被认为是稳定的。在控制系统中，稳定性是保证系统正常运行的重要条件。
稳定性判别方法
判断控制系统稳定性的方法有多种，包括劳斯判据、赫尔维茨判据、奈奎斯特 判据等。这些方法可以用来判断系统的稳定性，并指导设计者进行系统参数的 调整。
MATLAB软件介绍
MATLAB是一种科学计算软件，广泛应用于控制系统的设计和分析。
MATLAB在控制系统根轨迹分析中的应用
使用MATLAB的Control System Toolbox可以进行控制系统的根轨迹分析，通过调用相 关函数，可以方便地绘制根轨迹图并进行系统性能的分析。
MATLAB根轨迹分析实例
使用Simulink的Control Design Toolbox可以进行控制系统的根轨迹分析，通过搭建系统模型并设置相应的参数， 可以方便地进行根轨迹分析和系统优化。
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
控制系统根轨迹法
控制系统根轨迹法控制系统的设计和分析是现代工程领域中的重要任务。
为了实现系统的稳定性和性能要求，控制系统工程师采用了多种方法和技术。
其中，根轨迹法是一种常用且有效的方法，用于评估和改进系统的动态响应。
1. 系统根轨迹方法概述控制系统根轨迹方法是基于系统的传递函数，通过分析系统在复平面上的极点和零点位置来评估系统的稳定性和动态性能。
在根轨迹图中，系统的极点和零点以及传递函数的增益可以直观地展示出来，从而帮助工程师定量地了解系统的响应特性。
2. 根轨迹图的构造根轨迹图通常由两个主要的部分组成：实部为-1的轴线和虚部为0的轴线。
系统的传递函数通常表示为连续时间的形式，并且可以表示为一个或多个一阶和二阶传递函数的乘积。
根轨迹图的构造基于这些传递函数的极点和零点。
极点和零点对应于根轨迹图上的曲线，其中极点表示系统的稳定性，而零点则表示系统的过渡性能。
3. 根轨迹与稳定性根轨迹图提供了系统稳定性的重要信息。
通过观察根轨迹图，可以确定系统的稳定性。
如果根轨迹图上的所有的极点都位于左半平面，那么系统是稳定的。
相反，如果存在极点位于右半平面，系统是不稳定的。
通过调整参数或者设计控制器，可以将系统的极点移动到左半平面，从而提高系统的稳定性。
4. 根轨迹与动态响应除了稳定性，根轨迹图还提供了关于系统动态响应的信息。
通过观察根轨迹图上的曲线形状，可以了解系统的过渡特性。
例如，当根轨迹密集且靠近虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应非常快。
相反，当根轨迹离散且远离虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应比较慢。
通过分析根轨迹图，工程师可以调整系统参数来改善系统的动态响应性能。
5. 根轨迹的应用根轨迹方法是控制系统分析和设计中常用的工具之一。
它可以用于多个方面，包括控制器的设计、系统的稳定性分析和性能优化。
使用根轨迹方法，工程师可以确定合适的控制器增益、相位补偿器和频率补偿器来满足系统的设计要求。
6. 根轨迹法的局限性尽管根轨迹法在控制系统领域中被广泛应用，但它也有一些局限性。
控制系统的根轨迹法分析
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
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计算对应的根轨迹增益。由幅值条件：
kg
1
s(s 4)(s 6) s1.2 j2.08 m
解得：kg 44
k(is 1)
开环传递函数以Gk (s)
i 1 n
的形式表示时，k称为开环放
大系数。
(Tjs 1)
j 1
显然 k与kg 的关系为：k kg
zi ，式中 p j不计0极点。 pj
算。
下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：
% ectg1 100%, 当 % 18%时解得： 60
在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 60的直线，与根轨 迹交与A、B两点。 则A、B两点就是闭环共轭主导极点， 这时系统的超调量为18%。通过求A、B两点的坐标，可以 确定这时的根轨迹增益kg ，进而求得开环放大系数k。
kgd 0
1.628 3
5.971 8.80 9.375 7.457 3.949
kgd 的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。
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4
➢ 入射角：2 103 ➢ 与虚轴的交点（略）。这时的增益值：kgp 14,64,195
由图可知：当 0 kg 14 和 64 kg 195 时，系统
第五节 控制系统的根轨迹分析法
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1
利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正 ❖ 由给定参数确定闭环系统的零、极点的位置； ❖ 分析参数变化对系统稳定性的影响； ❖ 分析系统的瞬态和稳态性能； ❖ 根据性能要求确定系统的参数； ❖ 对系统进行校正。
闭环特征方程为：s2 s 2 kg 0 ，当s=0时，kgp 2 ，所以，系 统稳定的条件是：kg 2
Tuesday, September 22, 确定
利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系
统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
是稳定的（为什？）；
kg 195
kg 64 kg 14
当kg 195和14 kg 64 时， 系统是不稳定的。
kg 14 kg 64
kg 195
左图是用Matlab工具绘 制的。
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5
条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。
➢ 渐进线：与实轴的交点：
pi zi 4 6 1.4 2 3.13
nm
3
倾角： (2k 1) ,
nm
3
➢ 实轴上根轨迹区间：(,6),[4,0]
6 4
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0
3
➢
分离角（点）：
d
2
N (s) s2 2s 4, N ' (s) 2s 2
的区域中，有：
% ectg 和ts
3
0
0
30 60 90
β
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9
上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：
[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：Gk
(s)
s(s
kg 4)( s
6)
若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 % 18% ，试确定 开环放大系数。
D(s) s5 11.4s4 39s3 43.6s2 24s
D' (s) 5s4 45.6s3 117 s2 87.2s 24
N '(s)D(s) N(s)D'(s) 0
由： k gd
D' (s) N '(s)
|s d
可以求得分离点。
近似求法：分离点在[-4，0]之间。
s0
-0.5 -1 -1.5 -2.0 -2.5 -3 -3.5 -4
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2
一、 条件稳定系统的分析
[例4-11]：设开环系统传递函数为：Gk
(s)
s(s
kg (s2 2s 4)(s 6)(s2
4) 1.4s
1)
试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 k g的取值范围。
[解]根据绘制根轨迹的步骤，可得：
➢ 开环极点：0，-4，-6， 0.7 j0.714 ，零点：1 j1.732
以二阶系统为例：开环传递函数为Gk
闭环传递函数为(s)
s2
n2 2 n s
n2
(s)
n2 s(s 2
)
共轭极点为：s1,2 n j 1 2n
j 1 2n
在s平面上的分布如右图： 闭环极点的张角 为：
n
cos ( 1 2n )2 ( n )2 , cos1 n
所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。
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8
我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整
时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：
% e 1 2 100% ectg 100%
ts
3
n
3
(为极点实部 )
n
j 1 2n
%和 的关系如下图
100
80
60 δ%
40
20
若闭环极点落在下图中红线包围
A j
3 2
1
6
4
0
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设A点坐标为： j ，则：
tg60 3
（1）
相角条件为：1 2 3
120 tg1 tg1
4
6
（2）
11
由(1)，(2)式解得： 1.2, 2.08共轭主导极点： s1,2 1.2 j2.。08
[解]：首先画出根 轨迹如右。由图 可以看出：根轨 迹与虚轴的交点 为+j5,-j5，这时的 临界增益 kgp 240 当 kg 240 时， 闭环系统不稳定。
A B
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10
这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着kg 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计
下面的系统就是条件稳定系统的例子：
❖ 开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s 的右半平面； ❖ 具有正反馈的环节。
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6
[例]非最小相位系统：Gk 稳定时的增益值。
(s)
(s
kg 1)( s
2)
，试确定使系统
[解]：根轨迹如右：
有闭环极点在右 半平面，系统是 不稳定的。显然 稳定临界点在原 点。该点的增益 临界值为 kgp 。