图的连通性和性质
连通性
P u Q w P' v
u
P x P' Q w v u
P Q x w
P' v
(1)P’与P∪Q不相交，P’及P+(w,v)即为所求。 (2)P’与P∪Q相交，x是距v点最近的P’与P∪Q的交点，x在P 上。于是连接u,v有两条不相交通路，一条是P上的(u,x)一节 及P’上的(x,v)一节组成，一条是Q+(w,v)
练习
设G是一个2-连通图，又设X和Y是V(G)的不相 交子集，而且每个子集至少含有两个顶点。 证明：G含有不相交的通路P和Q使得： (1)P和Q起点均属于X； (2)P和Q的终点均属于Y； (3)P和Q的内部顶点不属于X∪Y。
证：由G加上一点x，仅和X中一切点相连，再加上一点y， 仅和Y和一切点相连，所得之图记为G*。由假设|X|≥2， |Y|≥2，故易直接验证G*仍为2-连通图。对x,y在G*中应 用定理3.5，我们得到两条起点为x、终点为y、内部不相 交的路P*、Q*。由x出发沿P*走向y的过程中，P*中最 后一个属于X的顶点记为x1，然后再由x1继续沿P*前进， 到达第一个属于Y的顶点记为y1，令P*中一段(x1, y1)-路 记为P。 类似地在Q*中可以找到一条(x2, y2)-路Q，其中x2∈X， y2∈Y。由P*、Q*的内部不相交，推知P、Q不相交。故 P、Q路即为所求。
κ(G) ≤λ(G) ≤δ(G)常严格成立，例如下图
练习
试作出一个连通图G，使之满足等式κ(G) =λ(G) =δ(G) 任何长度大于3的圈，都有κ(G) =λ(G) =δ(G)=2 完全图Kn中，有κ(G) =λ(G) =δ(G)=n-1
引理3.2 若δ(G)≥[n/2]，则G连通。 证 若G不连通，因为δ(G)≥[n/2]，所以每个 连通分支至少有[n/2]+1个顶点，即[(n+2)/2]个 顶点，但[(n+2)/2]≥(n+1)/2，于是G至少有 (n+1)个顶点，矛盾。
有向图的连通性
定义1L5
设G二＜V, E＞是有向图，巧,Vj V如果从H到Vj存在一条有向路径,则称vt到Vj 可达，记为 Vj T V"
规定：Vi/e K 匕t Vj.
单侧连通:在有向图G=＜V, E〉中，若对于任意结点偶对，至少有一个结点到另一 个结点Fra bibliotek是可达的。
强连通:在有向图G二＜V, E＞中，若对于任意结点偶对都是相互可达的。
定理11.4
一个有向图是强连通的，当且仅当G中存在经过每个顶点至少一次的回路。
证： 先证充分性，再证必要性。 （1） 充分性：如果图中有一条回路，它至少包含每个结点一次，则G中任意两个结点都 是 互相可达的，故G是强连通的。 （2） 必要性：若有向图G是强连通的，则任意两个结点都是可达的,故必可作一回路经过 图 中 是的 互所 相有 可各达点，。与若强不连然通则的必条有件一矛回盾路。不包含某一结点v，而且，v与回路上的各结点不 证毕。
定理11.5
在有向图G = <V, E〉中，它的每一个结点位于且仅位于一个强分图内。
e 证：（1 ）设v V，令S是G中所有与v相互可达的结点的集合，当然S也包括v,而S 与顶
点在S中的边集构成的G'是G中的一个强分图，因此G中的每一个结点必位于-个强分图 中。 （2）设v位于两个不同的强分图Gi和G2中，因为Gi中的每一个结点与v可达，而v 与G2中的每一个结点也相互可达，Gi中的每一个结点与G2中的每一个结点通过v都 相 互可达，这与题设Gi为强分图矛盾，故G的每一个结点只能位于一个强分图中。
-小结
图 回路 路径 存在路
无向图
有向图
可±
扩大路径法
k(G)公(G)
图的连通性
图的连通性一、求一个图的连通分支1 设图G=（V，E）是一个无向图，G的一个连通分支是一个最大的连通子图，即一个连通分支是不包含在任何更大的连通子图中。
2 对DFS稍作改变，就可用来求无向图的连通分支。
从任意一点出发，作DFS，则就可找出在同一个分支中的其它顶点和边。
3 算法3.4：DFS（深度优先搜索）G=（V，E）是一个图或有向图，v∈V。
从顶点v开始搜索，其中S是一个栈，初始为空，栈顶用top来表示。
算法：访问，标志并让v进栈while S 非空do〖while有一个邻接于top而未作标记的顶点 w do【访问，标记以及w进栈;】出栈S〗4“有一个邻接于top而未作标记的顶点 w”可用链接表来实现，而且每次寻找邻接于top而未作标记的顶点 w时，无必要从头开始寻找，只要记住上次寻找时的位置便可，故链表中每一个单元只被访问过一次。
故算法在最坏情况下复杂性最多也只是θ(n+e)。
算法3.6 CONNECTED COMPONETNTS（连通分支）输入：G=（V，E）是一个用连接表表示的图。
假设V为{1，2，…，n}。
输出：MARK个连通分支中的边表，而且对每个顶点加上编号来指明顶点是在哪一个分支中。
注：一个MARK数组用于对顶点编号，PTR是一个数组（有个项），使PTR指向的邻接表中下一个顶点，而搜索将从开始，下一次力图从分叉出去。
算法：for v←1 to n do【MARK(v)←0; PTR(v) ←ADJLIST(v);】j←1 [j用于对一个分支中顶点编号]for v←1 to n do〖if MARK(v)=0 then do【output 第j个分支的标题;DFS(v,j);j←j+1;】〗DFS(v,j)算法：MARK(v)←j;v进栈;while S 非空do〖while PTR(top)≠∧ do【w←VTX(PTR(top));OUTPUT(top,w); []PTR(top) ←LINK(PTR(top));If MARK(w)=0 then do〖MARK(w) ←jw进栈；〗】出栈S〗最坏情况下复杂性可能是θ(n+m)二、深度优先生成森林1概念树边：对一个有向图进行深度优先搜索，在这个过程中，如果某条边所到达的顶点是未被访问过的，则称这条边为树边。
数据结构-图的连通性
③数据结构的动态分析 (closedge[5].adjvex，G.vexs[5])
∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 6 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4
i
1
v2 5
3
5 v4
2
v3
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6 3
∞ ∞ 4 2 6 ∞ 4 5
3
6
4
2
4 v 5
6
v6
5
G.vexs:
一、最小生成树
2.实例：V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}
①任取u0=v1, 则：U={v1}, V-U={v2,v3,v4,v5,v6}
v2 6
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 5 v4
v5
6
v6
一、最小生成树
2.实例：V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}
①任取u0=v1, 则：U={v1}, V-U={v2,v3,v4,v5,v6} ②取边(v1,v3),则：U={v1,v3} V-U={v2,v4,v5,v6}
一、最小生成树
3.算法的实现：
③数据结构的动态分析 G.arcs如下：
0 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6
0
v1 5 1
1
v2 5
3
5 v4
2
v3
∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 6 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4
i
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6 3
∞ ∞ 4 2 6 ∞ 4 5
v2 6
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 5 v4
v5
6
v6
④取边(v6,v4),则：U={v1,v3, v6,v4} V-U={v2,v5} ⑤取边(v3,v2),则：U={v1,v3, v6,v4,v2} ⑥取边(v2,v5),则：U={v1,v3, v6,v4,v2,v5}
图论教学大纲
图论教学大纲图论教学大纲引言：图论是离散数学的一个重要分支，它研究的是由节点和边组成的图结构。
图论在计算机科学、电信网络、社交网络等领域都有广泛的应用。
为了提高学生的图论理解和应用能力，制定一份完善的图论教学大纲是必要的。
一、基础概念与术语1. 图的定义与基本术语：节点、边、度、路径等。
2. 有向图与无向图的区别与应用场景。
3. 连通性与连通图的性质。
4. 子图与超图的概念及应用。
二、图的表示与存储1. 邻接矩阵与邻接表的比较与选择。
2. 图的存储结构的选择与实现。
3. 图的遍历算法：深度优先搜索与广度优先搜索。
三、图的性质与算法1. 图的同构与同构判定算法。
2. 图的连通性与连通分量的计算。
3. 图的割点与割边的定义与算法。
4. 最短路径算法：Dijkstra算法与Floyd-Warshall算法。
5. 最小生成树算法：Prim算法与Kruskal算法。
四、应用案例分析1. 电信网络规划与优化中的图论应用。
2. 社交网络中的图论算法与分析。
3. 交通网络与路径规划中的图论应用。
4. 电力系统与供应链管理中的图论应用。
五、拓展与深入研究1. 图的扩展应用领域与前沿研究方向。
2. 图论在人工智能与机器学习中的应用。
3. 图论与其他学科的交叉研究与合作。
结语：通过本教学大纲的学习，学生将能够掌握图论的基本概念与术语，理解图的表示与存储方法，掌握图的性质与算法，以及应用图论解决实际问题的能力。
同时，拓展与深入研究的内容将为学生提供更广阔的学术发展空间。
图论作为一门重要的学科，将为学生的学习和未来的职业发展带来巨大的价值。
中科大离散数学图论基础
增加运输量； 反方向的边（V3，V2）的运输量为1；
4
2
4 8 1 3
产地 1
4 2 1 1
2 2 2 2
4
7 4 3 5 3
3 4
6
销地
22
如果将反向边（V3，V2）的运量调到正向边（V2，V4）上 去完成，这样有向路P6（V1，V3，V2，V4，V6）的运量可增 加1。 4 2
27
例：一个网络流图：
a
源点
容量
4
s
2 3 3 b 1
3 2
汇点
t 4
4
2
d
c 2
中间点 中间点
28
对一个流网络G=(V,E,c)，每条边(u,v)上给定一个实数 f(u,v)，满足：0≤f(u,v) ≤ c(u,v)，则f(u,v)称为边(u,v)上的 流量。其中满足f(u,v)=c(u,v)的边称为饱和边。 如果有一组流量满足条件：
就需要定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。
9
连通度
定义：连通度为 (G) min{|V || V 是G的顶点割集}
完全图的连通度定义为 ( Kn ) n 1，空图的连通度定义为0； 使得 | V | (G) 的顶点割集V’就是G的最小点割集； 若 (G) k ，则称G为k连通的； 所有非平凡连通图都是1-连通的； 就是一个图G最少要去掉 多少个点会变成非连通图。 若G不连通，则 (G) 0 ； 若G是平凡图，则 (G) 0 。
连通度分别是多少？
10
割边
图论课件第三章图的连通性
Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
THANKS
感谢观看
Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐 步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵，然 后通过一系列的转移操作，逐步更新距离矩阵，直到找到所 有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且经过图中的每条边且仅经过 一次的路径，并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，它不仅满足欧拉路径的所有条件，而且 起点和终点是同一点，形成一个闭合的路径。在图论中，欧拉回路具有重要的 应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题，目前没有已知的多项式时间复 杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。
图-连通的概念
三、连通性3.1 连通性和Whitmey定理定义V’真包含于V(G)，G[V(G)-V’]不连通，而G是连通图，则称V’是G的顶剖分集。
最小顶剖分集中顶的个数，记成κ(G)，叫做G的连通度；规定κ(Kv)=υ-1；κ(不连通图)= κ(平凡图)=0。
由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。
没有割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做G的块。
定义E’包含于E(G)，G为连通图，而G-E’(从G中删除E’中的边)不连通，则称E’为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E″，使得|E″|<|E’|,则称|E’|为G的边连通度，记成κ’(G)。
|E’|=1时，E’中的边叫做桥。
规定κ’(不连通图)=0，κ’(Kv)= υ-1。
定义κ(G)>=k时，G叫做k连通图；κ’(G)>=k时，G称为k边连通图。
k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。
k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。
上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。
定理1 κ(G)=<κ’(G)=<δ(可以复习一下第一章的1.2：δ=min{d(v i)})证：设d(v)=δ，则删除与v边关联的δ条边后，G变不连通图，所以这δ条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过δ，即κ’(G)=<δ。
下证κ=<κ’。
分情形讨论之。
若G中无桥，则有κ’>=2条边，移去它们之后，G变成不连通图。
于是删除这κ’条中的κ’-1条后，G变成有桥的图。
设此桥为e=uv，我们对于上述κ’-1条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过κ’-1个)端点，若G变得不边能，则κ=<κ’-1；若仍连通，则再删去u或v，即可使G变得不连通，于是κ=<κ’。
证毕。
这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种“友好”的面目出现。
下面就是Whitmey定理定理2(Whitney,1932) υ>=3的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一个圈上)。
有向图的连通性
第十一章图的连通性11.3有向图的连通性定义11.5例图：上图给出了含3个结点的强连通图、单侧连通图、弱连通图。
定义11.6在简单有向图G中，具有强连通性质的极大子图G′称为G的强分图（或强连通分量）；具有单侧连通性质的极大子图G”称为G的单侧分图（或单侧连通分量）；具有弱连通性质的极大子图G’’’称为G的弱分图（或弱连通分量）。
定理11.4一个有向图是强连通的，当且仅当G中存在经过每个顶点至少一次的回路。
证：先证充分性，再证必要性。
（1）充分性：如果图中有一条回路，它至少包含每个结点一次，则G中任意两个结点都是互相可达的，故G是强连通的。
（2）必要性：若有向图G是强连通的，则任意两个结点都是可达的,故必可作一回路经过图中的所有各点。
若不然则必有一回路不包含某一结点v，而且，v与回路上的各结点不是互相可达，与强连通的条件矛盾。
证毕。
定理11.5在有向图G=<V, E>中，它的每一个结点位于且仅位于一个强分图内。
证：（1）设v V，令S是G中所有与v相互可达的结点的集合，当然S也包括v，而S 与顶点在S中的边集构成的G’是G中的一个强分图，因此G中的每一个结点必位于一个强分图中。
（2）设v位于两个不同的强分图G1和G2中，因为G1中的每一个结点与v可达，而v 与G2中的每一个结点也相互可达，G1中的每一个结点与G2中的每一个结点通过v都相互可达，这与题设G1为强分图矛盾，故G的每一个结点只能位于一个强分图中。
推论11.2有向图G是单侧连通图当且仅当G中存在经过每个顶点至少一次的通路。
推论11.3简单有向图中的每个结点和每条边恰好位于一个弱分图中。
理解有向图的连通性、单侧连通、强连通和弱连通及它们的性质。
关于有向图的连通性的思维形式注记图如下图所示。
有向图可达单侧连通强连通无向图弱连通至少有一个结点到另一个结点任意结点略去方向连通充要条件图始点终点连通无向图有向图无向连通图有向连通图割点点割集割边边割集点连通度、边连通度弱分图弱连通强分图强连通回路路径存在路连通分支可达扩大路径法k(G)≤λ(G)单侧连通单侧分图。
图论+第3章+图的连通性
直观上看，右边的比左边的图连通“程度”
要好。
(点)连通度
图的(点)连通度我们常常省略“点”字称连
通度。 树是具有最小连通度的图。 若κ (G ) ≥ k ，则称G是k-连通的。 若G是平凡图或非连通图，则κ (G ) = 0 。 所有非平凡连通图都是1连通的。
边连通度
边连通度λ (G )=min{ S | S是G的边割集} 完全图的边连通度定义为 λ ( K v ) = v − 1。 空图的边连通度定义为0。 边连通度λ (G ) 有时又记作 κ ′(G ) 。
2-连通图的性质
定理 3.2.4：若G是 p ≥ 3的2-连通图，则G的
任意两条边都在同一个圈上。
证明：(板书)
2-连通图的性质
对于一个无环且无孤立点的图G，下面的条
件是等价的：
(1)图是不可分的； (2)图是2-连通的； (3)过任意两个顶点总有一个圈； (4)过任意两条边总有一个圈。
不可分图
没有割点的非平凡的连通图称为不可分图 (non separable graph)。
定理3.1.5 不可分图的任一边至少在一个圈中。 证明：设e是不可分图G的任意边，e=(x,y)，x和y都 不是割点，所以图G-e是连通的，故G-e必有一条(x,y) 道路P。于是P+e就是构成G中的一个圈。
e相连接。于是u和v在G-e中成为连通的。故矛盾。
(2)假设e=(x,y)不是割边，那么G-e和G的分支数
相同。由于G中存在一条(x,y)道路，所以x和y均 在G的同一分支。于是x和y在G-e的同一分支中， 故在G-e中存在一条(x,y)道路P，这样边e就在G的 圈P+e中。
割点定理(1)
定理3.1.2 当且仅当在G中存在与顶点v 不同
图的连通性_离散数学─图论初步
则称v是割
割点
(注意：只需考虑割点所在的连通分支，以下讨论不妨只 考虑连通图)
关于割点的三个等价命题
• 对于连通图，以下三个命题等价：
(1) v是割点。 (2) 存在V-{v}的划分{V1, V2}, 使 u∈V1, w∈V2, uw-通路均包含v。 (3) 存在顶点u,w(u≠v, w≠v)，使得任意的uw-通路均包含v。 – 证明： (1) (2): ∵v是割点，G-v至少存在两个连通分支，设其中一个的
假设这样的公共点中距离v最近的
是x(不妨假设它在P上)，则Q+wv 边以及P上的ux-段+P’上的xv-段是u
u,v之间两条中间点不相交的通路。
P
x
v
w Q
连通性的一般性质
• Menger定理（Whitney定理的推广）
– 图G是k-连通图 当且仅当 G中任意两点被至少k条除端
点外顶点不相交关联
的顶点（集合）分隔v与G-C，κ(G)≤|F|。
连通度的上限（续）
dG(v) ≤
|F|
连通度的上限（续）
• 若G中的各顶点均和F中的某条边关联。对任意顶点 v,令C是G-F中包含v的连通分支。考虑v的任一邻居 w。若w在C中，则w必定和F中的某条边关联；若 w在G-C中，则边vw属于F。因此，|N(v)| ≤ |F|, 即dG(v) ≤ |F|.
图的连通性
离散数学─图论初步
内容提要
• 通路与回路 • 通路与同构 • 无向图的连通性
– 连通度 – 2-连通图
• 有向图的连通性
– 无向图的定向
通路的定义
• 定义：图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n条
边e1,…, en的序列，满足下列性质
图的基本概念(连通性)汇总
V=vertex E=edge
有向图： 图G中的每条边都是有方向的； 无向图： 图G中的每条边都是无方向的；
若 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 称为无向完全图 若 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 称为有向完全图
例：判断下列4种图形各属什么类型？
无向完全图
无向图(树)
有向图
图的基本概念遍历以及拓扑排序算法
2009年7月15日
什么是图？
什么是图?可用一句话概括，即：图是用点 和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以 某种方式相联系的数学模型.因为它显得太 抽象，不便于理解，所以有必要给出另外的 回答.
1 图的基本术语
图：记为 G＝( V, E ) 其中：V 是G的顶点集合，是有穷非空集； E 是G的边集合，是有穷集。
路径： 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一
连通图：
在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称 顶点v1与v2是连通的。如果图中任意一对顶点 都是连通的, 则称此图是连通图。 非连通图的极大连通子图叫做连通分量。
强连通图： 在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存在一条从
0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0
1 2 3 4 5
例2 ：有向图的邻接矩阵
v1 v2 v4
A
v3
顶点表： 邻 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 v1 v2 v3 v4
A.Edge =
注：在有向图的邻接矩阵中， 第i行含义：以结点vi为起点的边(即出边）； 第i列含义：以结点vi为终点的弧(即入边）。
特别讨论 ：网（即有权图）的邻接矩阵
第十四章 图的基本概念
(5）（4，4，3，3，2，2）
v4 v1
v3 v2 v1
v6
v2 v3
v6
v5
v4
v5
在画图时，由于顶点位置的不同，边的直、 曲不同，同一个图可能画出不同的形状。 像这种形状不同，但本质上是同一个图的现 象称为图同构。 定 义 1 4 . 5 设 两 个 无 向 图 G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2， 使得对于任意的e=（vi，vj）E1当且仅当e’=（ f(vi)，f(vj)）E2，并且e与e’的重数相同，则称 G1和G2是同构的，记作G1≌G2。 对于有向图可类似定义。
d (vi ) 2m且 d (vi ) d (vi ) m
i 1 i 1 i 1 n n n
推论 任何图（无向的或有向的）中，奇度顶 点的个数是偶数。
定义 设G=<V,E>是n阶无向图,V={v1，v2，… ，vn},称d(v1),d(v2),…,d(vn)为G的度数列.对于顶点 标定的无向图,它的度数列是唯一的. 同样可定义有向图的度数列、出度列和入度列。 图G的度数列为 4，4，2，1，3 图D的度数列为 5，3，3，3 出度列为4，0，2，1 入度列为1，3，1，2
定义14.1（无向图） 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>， 记作G，即G=<V，E>，其中 ⑴ V={v1，v2，…，vn}是非空集合，称为G 的顶点集,V中元素称为顶点或结点； ⑵ E={e1，e2，…，en}是无序积V&V的一个 多重子集，称为的边集,E中的元素称为无向边 ，简称边。 由定义知，图G中的边ek是V的两个元素vi， vj的无序对（vi ,vj），称vi，vj是ek的端点. 当vi=vj时，称ek为环（loop）.
图形的拓扑性质
应用：在几何学中 ，距离和直径是描 述图形的基本度量 性质，对于研究图 形的形状、大小和 结构具有重要意义 。
拓扑性质：在拓扑 学中，图形可以变 形而不改变其距离 和直径等度量性质 。
图的周长与面积
定义：图的周长 是指图形边界上 所有边的长度之 和，面积是指图 形内部所占的平 面区域大小。
性质：对于平面 上的简单图形， 其周长和面积是 有限的，并且可 以通过特定的公 式进行计算。
子图在几何学中的应用：研 究图形的形状和大小
子图在物理学中的应用：用子的结构和性质
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连通：图形中任意两个顶点 之间是否存在路径相连
连通性的分类
连通性定义：图形 中任意两点之间存 在至少一条路径的 属性
连通性分类：强连 通、弱连通、单向 连通、双向连通
强连通：任意两点 之间存在双向路径
弱连通：任意两点 之间存在单向或无 向路径
分离与连通
连通性质：图形中任意两点 间存在至少一个路径
子图是原图的一 个子集
子图具有与原图 相同的拓扑性质
子图可以是连通 的或非连通的
子图可以由原图 的边或顶点组成
子图的判定
子图是原图的一个子集
子图保持了原图的拓扑性质
子图可以由原图的顶点和边删 除或添加得到
子图可以由原图的顶点或边收 缩得到
子图的应用
子图在计算机图形学中的应 用：用于图像处理和计算机 视觉
连通性分类：根 据连通性的不同， 可以将图形分为 连通和非连通两 类。
连通性判定：通 过检查图形的边 和顶点，可以判 断一个图形是否 具有连通性。
连通性应用：在 计算机科学、电 子工程、交通运 输等领域有广泛 应用。
04 图形的分离性
离散数学的连通性基础知识
离散数学的连通性基础知识离散数学是研究离散对象及其性质、结构、关系和操作的数学分支。
而离散数学中连通性是一个重要的概念，用于描述图论、算法、网络等领域中对象之间的联通性质。
本文将介绍离散数学中连通性的基础知识，包括连通图、连通关系、路径等概念及相关性质。
一、连通图在图论中，一个图G被称为连通图，当且仅当任意两个顶点之间都存在一条路径。
具体而言，对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合，若对于任意两个顶点v和u，存在一条路径连接它们，则称图G是连通的。
连通图可以进一步分为强连通图和无向连通图。
强连通图是指有向图中，任意两个顶点之间都存在一条有向路径，即无论从哪一个顶点出发都可以到达其他任意一个顶点。
无向连通图是指无向图中，任意两个顶点之间都存在一条无向路径，即无论选择哪一条边或者路径，都可以从一个顶点到达另一个顶点。
一个具有n个顶点的完全图K_n是一个连通图，其中任意两个顶点之间都存在一条边。
二、连通关系在集合论中，连通关系是用来描述集合中元素之间的连通性质。
给定一个集合S和一个关系R，如果对于集合S中的任意两个元素x和y，存在一个元素序列x_1, x_2, ..., x_k，使得x=x_1, y=x_k，并且对于序列中的任意相邻元素x_i和x_{i+1}，(x_i, x_{i+1})\in R，则称关系R是S上的连通关系。
连通关系可以用来描述图中顶点之间的连通性质。
对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合。
我们可以定义一个关系R，使得对于任意两个顶点v和u，(v, u)\in R当且仅当v和u之间存在一条路径。
这样我们就可以利用连通关系R来刻画图G中顶点之间的连通性。
三、路径路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的一条经过的边的序列。
如果存在一条路径从顶点v到顶点u，我们可以称v是u的先驱，u是v的后继。
路径的长度是指路径上所经过的边的数量。
最短路径是指在图中两个顶点之间路径长度最短的路径。
图论讲义第2章-连通性
第二章 图的连通性在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。
对于连通图，其连通的程度也有高有低。
例如，下列三个图都是连通图。
对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。
本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。
通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。
§2.1 割点和割边定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >−，则称v 为G 的一个割点。
（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。
例如，下图中u , v 两点是其割点。
定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。
证明留作习题。
推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G −不连通。
定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。
证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。
若0)(=v d ，则1K T ≅，显然v 不是割点。
若1)(=v d ，则v T −是有1)(−−v T ν条边的无圈图，故是树。
从而)(1)(T w v T w ==−。
因此v 不是割点。
以上均与条件矛盾。
充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。
路uvw 是T 中一条),(w u 路。
因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>−。
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1
主要内容 图的连通性刻画 一、割边、割点和块 二、图的连通度与敏格尔定理 三、图的宽直径简介
教学时数
安排6学时讲授本章内容
2
本次课主要内容
割边、割点和块 (一)、割边及其性质 (二)、割点及其性质 (三)、块及其性质
3
研究图的连通性的意义
研究图的连通性，主要研究图的连通程度的刻画， 其意义是：
证明：可以假设G连通。 “必要性” 若不然。设 e 在图G的某圈 C 中，且令e = u v.
考虑P = C- e,则P是一条u v路。下面证明G-e连通。
对任意 x, y V(G-e) 由于G连通，所以存在x ---y路
有e，则可选 择路：x ---u P v --- y,说明x与y在G-e里也连通。所以,若 边e在G的某圈中，则G-e连通。
但这与e是G的割边矛盾！
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“充分性”
如果e不是G的割边，则G-e连通，于是在G-e中存在 一条u --- v 路，显然：该路并上边e得到G中一个包含边 e的圈，矛盾。
推论1 e为连通图G的一条边，如果e含于G的某圈中， 则G-e连通。
证明：若不然，G-e不连通，于是e是割边。由定理1， e不在G的任意圈中，矛盾！
“充分性” 由割点定义结论显然。 定理7 v是树T的顶点，则v是割点，当且仅当v是树的 分支点。 证明：“必要性”
若不然，有deg(v)=1,即v是树叶，显然不能是割点。 “充分性”
设v是分支点，则deg(v)>1.于是设x与y是v的邻点，由 树的性质，只有唯一路连接x与y，所以G-v分离x与y .即 v为割点。
概率性参数主要考虑网络中处理器与信关以随机的、 彼此独立的按某种确定性概率损坏的情况下，网络的可 靠性度量，常称为网络拓扑的“可靠性度量”。
(一)、割边及其性质
定义1 边e为图G的一条割边，如果 (G e) (G) 。
红色边为该图的割边
5
注：割边又称为图的“桥”。
图的割边有如下性质：
定理1 边 e 是图G的割边当且仅当 e 不在G的任何圈中。
13
定理8 设v是无环连通图G的一个顶点，则v是G的割 点，当且仅当V(G-v)可以划分为两个非空子集V1与V2,使 得对任意x ∈V1, y ∈V2, 点v在每一条x y路上。
证明：“必要性”
v是无环连通图G的割点，由定理6，G-v至少有两个 连通分支。设其中一个连通分支顶点集合为V1,另外连通 分支顶点集合为V2,即V1与V2构成V的划分。
假若G1的两个顶点子集包含的顶点数分别为m与n， 并且包含m个顶点的顶点子集包含度为k-1的那个点，那 么有：k m-1= k n。但是因k≧2，所以等式不能成立！
注：该题可以直接证明G中任何一条边均在某一圈中， 由定理1得出结论。
边割集简介
边割集跟回路、树等概念一样，是图论中重要概念。 在应用上，它是电路网络图论的基本概念之一。所以， 下面作简单介绍。
对于任意的x ∈V1, y ∈V2，如果点v不在某一条xy路 上，那么，该路也是连接G-v中的x与y的路，这与x,y处 于G-v的不同分支矛盾。
“充分性”
若v不是图G的割点，那么G-v连通，因此在G-v中存在 x,y路，当然也是G中一条没有经过点v的x,y路。矛盾。
网络可靠性， 是用可靠性参数来描述的。参数主要 分确定性参数与概率性参数。
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确定性参数主要考虑网络在最坏情况下的可靠性度 量，常称为网络拓扑的“容错性度量”，通常用图论概 念给出，其中，本章将介绍的图的连通度就是网路确定 性参数之一。近年来，人们又提出了“坚韧度”、“核 度”、“整度”等描述网络容错性的参数。
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定义2 一个具有n个顶点的连通图G,定义n-1为该连通 图的秩；具有p个分支的图的秩定义为n-p。记为R(G)。
定义3 设S是连通图G的一个边子集，如果： (1) R (G-S) = n-2;
(2) 对S的任一真子集S1,有R(G-S1)=n-2。 称S为G的一个边割集，简称G的一个边割。 例2 边子集：S1=｛a, c, e｝, S2=｛a, b, ｝,S3=｛f｝是 否是下图G的边割？
(G v) (G)
证明：“必要性”
设v是G的割点。则E(G)可划分为两个非空边子集E1 与E2,使G[E1],G[E2]恰好以v为公共点。由于G没有环， 所
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以，G[E1],G[E2]分别至少包含异于v的G的点，这样，Gv的分支数比G的分支数至少多1，所以：
(G v) (G)
e
a c
fg
i
b
d
h
图G 9
定义6 设G是连通图，T是G的一棵生成树。如果G的 一个割集S恰好包含T的一条树枝，称S是G的对于T的一 个基本割集。
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例如：在图G中
f a
bc
e
d
图G
G的相对于T的基本割集为： ｛a , e｝, ｛f , c｝, ｛f, b , e｝, ｛d｝.
(二)、割点及其性质
图论意义：图的连通程度的高低，是图结构性质的重 要表征，图的许多性质都与其相关，例如：连通图中任 意两点间不相交路的条数就与图的连通程度有关。
实际意义：图的连通程度的高低，在与之对应的通信 网络中，对应于网络“可靠性程度”的高低。
网络可靠性，是指网络运作的好坏程度，即指如计算 机网络、通信网络等对某个组成部分崩溃的容忍程度。
例1 求证: (1) 若G的每个顶点的度数均为偶数，则G 没有割边; (2) 若G为k正则二部图(k≧2)，则G无割边。
证明: (1)若不然，设e=uv 为G的割边。则G-e的含有 顶点u的那个分支中点u的度数为奇，而其余点的度数为 偶数，与握手定理推论相矛盾！
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(2)若不然，设e=uv 为G的割边。取G-e的其中一个分 支G1, 显然，G1中只有一个顶点的度数是k-1,其余点的度 数为k。并且G1仍然为偶图。
定义7 在G中，如果E(G)可以划分为两个非空子集E1 与E2,使G[E1]和G[E2]以点v为公共顶点，称v为G的一个 割点。
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e1 v1
v1
e3
e2
v3
v3
e4
v2
v2
v5
e5
e6
v4
图G1
v4 图G2
在图G1中，点v1,v2均是割点；在G2中，v5是割点。 定理6 G无环且非平凡，则v是G的割点，当且仅当