图的连通性和性质
离散数学图的连通性判定方法介绍
离散数学图的连通性判定方法介绍离散数学是一门研究离散结构以及这些结构中的对象、性质和关系的学科。其中，图论是离散数学中的一个重要分支，主要研究图的性质和关系。图是由节点和边组成的结构，可以用于表示各种实际问题以及计算机科学中的数据结构。在图的研究中，连通性是一个重要的概念，它描述了图中节点之间是否存在路径相连。
在实际应用中，判断图的连通性是一个常见的问题。下面将介绍几种常用的图的连通性判定方法。
1. 深度优先搜索（DFS）
深度优先搜索是一种常用的图遍历算法，它通过栈来实现。该算法从图的某个节点开始，首先访问该节点并将其标记为已访问，然后递归地访问它的邻居节点，直到所有可达的节点都被访问过。如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索（BFS）
广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法，它通过队列来实现。与深度优先搜索不同的是，广度优先搜索首先访问图中的某个节点，并将其标记为已访问。然后访问该节点的所有邻居节点，并将未访问的邻居节点加入队列。接下来，依次从队列中取出节点并访问其邻居节点，直到队列为空。如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。否则，图是不连通的。
3. 并查集
并查集是一种数据结构，用于管理元素之间的动态连通性。在图的连通性判定中，可以使用并查集来判断图中的节点是否连通。首先，将每个节点都初始化为一个独立的集合。然后，遍历图中的所有边，如果两个节点之间存在边，则将它们所在的集合合并为一个集合。最后，判断图中是否只存在一个集合，如果是，则图是连通的。否则，图是不连通的。
连通分支的定义
连通分支的定义
一、引言
连通分支是图论中的一个重要概念，用于描述图中的连通性。在图中连接在一起的节点构成一个连通分支。在本文中，我们将详细讨论连通分支的定义、性质以及如何在图中找到连通分支，旨在帮助读者更深入地了解和理解这一概念。
二、定义
连通分支是指图中的节点集合，其中的任意两个节点之间都存在一条路径。换句话说，对于连通分支中的任意两个节点，我们可以通过边来沿路径相互到达。连通分支是图中的一个最大连通子图，因为它包含了图中所有可以通过路径相互到达的节点。
三、性质
连通分支具有以下性质：
1. 最大性质
连通分支是一个最大连通子图，即它不包含在其他的连通分支中。换句话说，如果我们将连通分支中的任意一个节点添加到该分支外的节点中，将会破坏连通性。
2. 无向图中的连通分支
对于无向图而言，连通分支是无向图中的极大连通子图。一个无向图可以包含多个连通分支，每个连通分支都是一个独立的连通子图。
3. 有向图中的连通分支
对于有向图而言，连通分支是有向图中的极大强连通子图。强连通子图是指其中的所有节点之间互相可达，即对于连通分支中的任意两个节点，存在一条有向路径可以从一个节点到达另一个节点。
四、寻找连通分支的算法
在图中寻找连通分支的算法是一项基本的图算法，下面介绍两种常见的算法：广度优先搜索(BFS)和深度优先搜索(DFS)。
1. 广度优先搜索(BFS)
广度优先搜索是一种用于遍历或搜索图中节点的算法。它从一个起始节点开始，逐层地遍历其邻接节点，直到遍历完所有连通的节点。在遍历过程中，我们可以记录下每个连通分支的节点。
3图的连通性
e1 3 e3 e4
e2 4 e5 e6
6 7
e7
【例】在右图中, 在右图中,
1
5
{2},{3},{4,6}等都是点割集，其中 3是割点； 等都是点割集，其中2, 是割点 是割点； 等都是点割集 {e1,e3},{e2,e4},{e4,e5,e6},{e7}等都是边割集，其中 等都是边割集， 等都是边割集 悬挂边e 是桥。 悬挂边 7是桥。 {3,4}不是一个割集。 不是一个割集。 不是一个割集
通的且有一个桥，设该桥为 通的且有一个桥，设该桥为e=(u,v)。 。 对这λ 条边选取一个不同于u， 对这λ(G)–1条边选取一个不同于 ，也不同于 条边选取一个不同于 v的端点，把这些端点删除，则必至少删除了这 的端点， 的端点 把这些端点删除， 条边。 λ(G)–1条边。 条边 若这样产生的图是不连通的， 若这样产生的图是不连通的，则 κ(G)≤λ(G)–1≤λ(G)。 λ λ 。 若这样产生的图是连通的， 若这样产生的图是连通的，则 e=(u,v)仍是桥。 仍是桥。 仍是桥 此时再删除u或 ， 就必产生了一个不连通图， 此时再删除 或 v， 就必产生了一个不连通图 ， 故κ(G)≤λ(G)。 λ 。 由⑴和⑵得κ(G)≤λ(G)≤δ (G)。 λ δ 。
图的连通性 本节知识点： 本节知识点：
1.通路与回路 通路与回路 2.无向图的连通性 无向图的连通性 3.有向图的连通性 有向图的连通性
离散数学中的图的同构与同构不变性
离散数学中的图的同构与同构不变性
离散数学是数学的一个分支，研究离散的结构和对象。图论是离散数学的一个
重要分支，研究图的性质和结构。在图论中，同构和同构不变性是两个重要的概念。
一、同构的定义和性质
在图论中，如果两个图具有相同的结构，即它们的顶点集和边集相同，那么这
两个图就是同构的。具体来说，对于两个图G=(V, E)和G'=(V', E')，如果存在一个
双射函数f: V→V'，使得对于任意的u, v∈V，(u, v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，
那么图G和图G'就是同构的，记作G≅G'。
同构是图论中的一个重要概念，它可以帮助我们研究图的性质和结构。同构关
系具有以下性质：
1. 同构关系是等价关系。即对于任意的图G，它与自身是同构的；对于任意的
图G和图G'，如果G与G'是同构的，则G'与G也是同构的；对于任意的图G、G'
和图G''，如果G与G'是同构的，G'与G''是同构的，则G与G''也是同构的。
2. 同构关系保持图的基本性质。如果两个图是同构的，则它们具有相同的顶点
数和边数。
3. 同构关系与图的表示方式有关。同一个图可以有不同的表示方式，而不同的
表示方式可能导致不同的同构判断结果。
二、同构不变性
同构不变性是指图在同构变换下保持某些性质不变。具体来说，如果两个图是
同构的，那么它们在某些性质上是相同的。同构不变性在图论中有重要的应用，可以帮助我们简化问题的分析和求解。
在图的同构不变性中，有一些重要的性质是不变的，包括：
1. 度序列：图的度序列是指图中每个顶点的度按非递减顺序排列的序列。对于
图的连通性
图的连通性
图的连通性2010-07-23 21 ：02 图的连通性
第十三章图的基本概念
第三节图的连通性
一.连通性概念
图中两点的连通：如果在图G中u、v 两点有路相通，则称顶点u、v 在图G中连通。
连通图(connected graph) ：图G中任二顶点都连通。
图的连通分支(connected brch,component) ：若图G 的顶点集
V(G)可划分为若干非空子集V 1,V 2, ⋯,V w, 使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G 中连通，则称每个子图G为图G的一个连通分支(i=1,2, ⋯,w) 。
注：(1) 图G的连通分支是G的一个极大连通子图。
(2)图G连通当且仅当w=1。
例13.5 设有2n 个电话交换台，每个台与至少n 个台有直通线路，则该交换系统中任二台均可实现通话。
证明：构造图G如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线路。问题化为：已知图G有2n 个顶点，且
δ(G) ≥n，求证G连通。
事实上，假如G不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n–1。这与δ(G)≥n 矛盾。
证毕
例13.6 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。假如u与v 不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将每个分支看成一个图时，其中只有一个奇度顶点。这与推论13.1 矛盾。证毕
在连通图中，连通的程度也有高有低。
例如
后面将定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。
二.割点
定义13.2 设v∈V(G)，如果w(G–v)w(G) ，则称v 为G的一个割点。( 该定义与某些著作有所不同，主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别) 。
图论教学大纲
图论教学大纲
图论教学大纲
引言：
图论是离散数学的一个重要分支，它研究的是由节点和边组成的图结构。图论在计算机科学、电信网络、社交网络等领域都有广泛的应用。为了提高学生的图论理解和应用能力，制定一份完善的图论教学大纲是必要的。
一、基础概念与术语
1. 图的定义与基本术语：节点、边、度、路径等。
2. 有向图与无向图的区别与应用场景。
3. 连通性与连通图的性质。
4. 子图与超图的概念及应用。
二、图的表示与存储
1. 邻接矩阵与邻接表的比较与选择。
2. 图的存储结构的选择与实现。
3. 图的遍历算法：深度优先搜索与广度优先搜索。
三、图的性质与算法
1. 图的同构与同构判定算法。
2. 图的连通性与连通分量的计算。
3. 图的割点与割边的定义与算法。
4. 最短路径算法：Dijkstra算法与Floyd-Warshall算法。
5. 最小生成树算法：Prim算法与Kruskal算法。
四、应用案例分析
1. 电信网络规划与优化中的图论应用。
2. 社交网络中的图论算法与分析。
3. 交通网络与路径规划中的图论应用。
4. 电力系统与供应链管理中的图论应用。
五、拓展与深入研究
1. 图的扩展应用领域与前沿研究方向。
2. 图论在人工智能与机器学习中的应用。
3. 图论与其他学科的交叉研究与合作。
结语：
通过本教学大纲的学习，学生将能够掌握图论的基本概念与术语，理解图的表示与存储方法，掌握图的性质与算法，以及应用图论解决实际问题的能力。同时，拓展与深入研究的内容将为学生提供更广阔的学术发展空间。图论作为一门重要的学科，将为学生的学习和未来的职业发展带来巨大的价值。
图论课件第三章图的连通性
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表 示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节 点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。
THANKS
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Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到 其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确 处理。
割点
总结词
割点是图论中的一个概念，指的是将图分割成两个或多个子图的节点或边。
详细描述
割点是图论中一个重要的概念，它可以将一个图分割成两个或多个子图。如果去掉一个节点或者一条边后，图不 再连通，那么这个节点或边就是割点。在无向图中，割点可以是单个节点或者一条边；在有向图中，割点可以是 单个节点或者一条有向边。
Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路 径的动态规划算法。
图论+第3章+图的连通性
不可分图
没有割点的非平凡的连通图称为不可分图 (non separable graph)。
定理3.1.5 不可分图的任一边至少在一个圈中。 证明：设e是不可分图G的任意边，e=(x,y)，x和y都 不是割点，所以图G-e是连通的，故G-e必有一条(x,y) 道路P。于是P+e就是构成G中的一个圈。
2-连通图的性质
定理 3.2.4：若G是 p ≥ 3的2-连通图，则G的
任意两条边都在同一个圈上。
证明：(板书)
2-连通图的性质
对于一个无环且无孤立点的图G，下面的条
件是等价的：
(1)图是不可分的； (2)图是2-连通的； (3)过任意两个顶点总有一个圈； (4)过任意两条边总有一个圈。
的两个顶点 u 和 w ，使所有的(u, w)道路都通 v 才是割点。 过v 时，
即顶点 v 是连通图G的割点当且仅当 G − v不连通 证明：(1) 设v是G的割点，则G-v是至少有两个分
支的分离图。令U表示其中一个分支的顶点构成 的集合，W表示其余顶点构成的集合，从而(U,W) 构成V(G)-{v}的一个划分。则存在两个顶点u ∈ U 和w ∈ W各在G-v的不同分支中。因此G中每条道 路(u,w)都含有v。
割点
w(G − v) > w(G )， 则 定义：设 v ∈ V (G ) ，如果
称 v为 G 的一个割点(cut-vertex) 。
图的基本概念(连通性)汇总
二、邻接表（链式）表示法
对每个顶点vi 建立一个单链表，把与vi有关联的边（即度或出 度边）链接起来，表中每个结点都设为2个域；
V=vertex E=edge
有向图： 图G中的每条边都是有方向的； 无向图： 图G中的每条边都是无方向的；
若 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 称为无向完全图 若 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 称为有向完全图
例：判断下列4种图形各属什么类型？
无向完全图
无向图(树)
有向图
0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0
1 2 3 4 5
例2 ：有向图的邻接矩阵
v1 v2 v4
A
v3
顶点表： 邻接矩阵：
( v1 v2 v3 v4 ) 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 v1 v2 v3 v4
A.Edge =
注：在有向图的邻接矩阵中， 第i行含义：以结点vi为起点的边(即出边）； 第i列含义：以结点vi为终点的弧(即入边）。
和称为T的权，记做W（T），G的所有生成树中权值最小的生成树 称为最小生成树。
简单路径： 路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复。
回 路：
若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合， 则称这样的路径为回路或环。
图的连通性
LOW(U)值的计算步骤如下：
在算法执行中，对任何顶点U计算LOW(U)值是不断修改 的，只有当以U为根的dfs子树和后代的LOW值、dfn值产 生后才停止。
图中（7，1）应为（7，7）
wk.baidu.com
图的连通性
G1
G2
在无向图中，如果从顶点V到V’有路径，则称V和V’是连通的。 在有向图中，如果从顶点V到V’有路径，并且从V’到V有路径， 则称V和V’是强连通的。 如果对于图中任意两个顶点Vi,Vj,Vi和Vj都是连通的，则称连通图。
G3
G4
连通分量=无向图中的极大连通子图
G1的三个连通分量 G1
G1 K(G1)=0
G2 K(G2)=1
G3 K(G3)=3
G4 K(G4)=5-1=4
威廉王迷宫
前向边（实线部分） 后向边（虚线部分） Dfn(x):顶点x被首次访问的次序。 Dfn(x)=I表示x是第I个首次被访问的节点 称为深度优先搜索序数。
Dfs树
如U不是根，U成 为割顶当且仅当 存在U的某一个儿 子顶点S，从S或S 的后代点到U的祖 先点之间不存在 后向边
如r被选为根，则r 成为割顶当且仅当 它有不止一个儿子 点。
顶点U的标号函数LOW(U): LOW(U)=min{dfn(),LOW(s),dfn(W)} 其中：S是U的一个儿子，（U，W）是后向边
图论及应用参考答案
图论及应用参考答案
图论及应用参考答案
图论是数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。图由节点（顶点）和边组成，节点代表对象，边代表对象之间的关系。图论不仅在数学中有广泛的应用，也在计算机科学、物理学、生物学等领域中发挥着重要的作用。本文将介绍图论的基本概念和一些应用。
一、图论的基本概念
1. 图的类型
图分为有向图和无向图。有向图中的边有方向，表示节点之间的单向关系；无向图中的边没有方向，表示节点之间的双向关系。
2. 图的表示方法
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间是否有边相连；邻接表是一个链表数组，数组中的每个元素对应一个节点，链表中存储了该节点相邻的节点。
3. 图的性质
图的性质包括节点的度、连通性和路径等。节点的度是指与该节点相连的边的数量；连通性指的是图中任意两个节点之间是否存在路径；路径是指由边连接的节点序列。
二、图论在计算机科学中的应用
1. 最短路径算法
最短路径算法是图论中的经典问题之一，它用于计算图中两个节点之间的最短路径。著名的最短路径算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。这些算法在网
络路由、地图导航等领域中有广泛的应用。
2. 最小生成树算法
最小生成树算法用于找到一个连通图的最小生成树，即包含所有节点且边的权
重之和最小的子图。普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是常用的最小生成树算法。
这些算法在电力网络规划、通信网络设计等领域中有重要的应用。
3. 图的着色问题
图的着色问题是指给定一个图，将每个节点着上不同的颜色，使得相邻节点之
间的颜色不同。这个问题在地图着色、任务调度等方面有实际应用。
图论的名词解释
图论的名词解释
图论是数学中的一个重要分支，研究从图的角度描述和解决问题的理论和方法。图论的基本概念和名词非常重要，它们是理解和应用图论的关键。本文将从不同的角度解释图论中的一些重要名词。
1. 图（Graph）
图是图论的核心概念，它由节点和边组成。节点代表对象或事件，边代表节点
之间的联系或关系。图可以分为有向图和无向图。无向图的边没有方向，表示节点之间的无序关系；有向图的边有方向，表示节点之间的有序关系。图在各个领域都有广泛的应用，如社交网络分析、电路设计、交通规划等。
2. 节点（Vertex）
节点是图中的基本元素，也称为顶点。节点可以代表具体对象，如人物、城市、物品等，也可以代表抽象概念，如事件、状态、因素等。在图中，节点用符号来表示，通常是用数字、字母或图形等表示。
3. 边（Edge）
边是连接节点的线段或箭头，表示节点之间的关联关系。边可以有权重，用于
表示边的强度、距离或费用等。边的类型包括直接边和间接边。直接边直接连接两个节点，间接边通过其他节点连接两个节点。边的属性是图论中的重要概念，它可以用来分析网络的特征和性质。
4. 路径（Path）
路径是指从一个节点到另一个节点的一组边的序列。路径可以是有向图中的有
向路径，也可以是无向图中的无向路径。路径的长度用边的数量来表示，路径的权重用边的权重之和来表示。寻找最短路径和最优路径是图论中的重要问题，有助于解决一些实际的路径规划和优化问题。
5. 连通图（Connected Graph）
连通图是指无向图中任意两个节点之间都存在路径的图。连通图中不存在孤立
图论课件第三章 图的连通性
若v不是图G的割点，那么G-v连通，因此在G-v中存在 x,y路，当然也是G中一条没有经过点v的x,y路。矛盾。
19
第19页，本讲稿共29页
例5 求证：无环非平凡连通图至少有两个非割点。
证明： 由于G是无环非平凡连通图，所以存在非平 凡生成树，而非平凡生成树至少两片树叶，它不能为割 点，所以，它也不能为G的割点。
设当d (u, v) =k。
设P是一条最短(u, v)路，w是v前面一点，则d (u, v) =k-1
23
第23页，本讲稿共29页
由归纳假设，u与w在同一圈C =P1∪P2上。
u
P1
P2
P
w
v
考虑G-w. 由于G是块，所以G-w连通。设Q是一条在G-w 中的(u, v)路，并且设它与C的最后一个交点为x。
例1 求证: (1) 若G的每个顶点的度数均为偶数，则G 没有割边; (2) 若G为k正则二部图(k≧2)，则G无割边。
证明: (1)若不然，设e=uv 为G的割边。则G-e的含有顶 点u的那个分支中点u的度数为奇，而其余点的度数为偶 数，与握手定理推论相矛盾！
7
第7页，本讲稿共29页
(2)若不然，设e=uv 为G的割边。取G-e的其中一个分 支G1, 显然，G1中只有一个顶点的度数是k-1,其余点的度 数为k。并且G1仍然为偶图。
图的连通性
有关割边的四个等价命题
以下四个命题等价：
(1) e是割边。 (2) e不在G的任一简单回路上。(注意：割点没有相应结论) (3) 存在V的分划{V1, V2}, 使得u∈V1, w∈V2, uw-通路均
包含e。 (4) 存在顶点u,w，使得任意的uw-通路均包含e。
17
连通图“连接的牢固度”不一样
每个无向图是若干个互不相交的连通分支的并。
“顶点之间存在通路”是一个等价关系，任一等价类上的 导出子图即为一个连通分支。
若图G中存在从u到v的通路，则一定有从u到v的简 单通路。
证明：最短通路必是简单的，事实上，它没有重复顶点。
10
点的删除与连通分支数量的增减
p(G-v)(其中v是G中任意一个顶点)的情况比较复杂
图G1中删除任意一条边都不连通了。 图G2则至少删除两条边，或删除中间那个顶点，才不连通。 图G3删除任意一个点依然连通。 图G4至少要删除四条边才可能不连通，且不可能通过删除
顶点使其不连通。
G1
G2
G3
G4
18
图的(点)连通度
(注意：若G是顶点数不少于2的非完全图，删除足够数量的 点一定能使图变成不连通图或者平凡图。)
（注意：删除顶点意味着同时删除该点关联的边）
可能会……
减少 (删除孤立点)
（孤立点）
不变 (例如：删除悬挂点)
图论知识点总结笔记
图论知识点总结笔记
一、图的基本概念
1. 图的定义
图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。
2. 节点和边
节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。
3. 度
度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。
4. 路径
路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。
5. 连通性
图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。
6. 子图
子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。
二、图的表示
1. 邻接矩阵
邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。
图论讲义第2章-连通性
第二章 图的连通性
在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。对于连通图，其连通的程度也有高有低。例如，下列三个图都是连通图。对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。
本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。
§2.1 割点和割边
定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >−，则称v 为G 的一个割点。
（注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。
例如，下图中u , v 两点是其割点。
定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。
证明留作习题。
推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G −不连通。 定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。 证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。 若0)(=v d ，则1K T ≅，显然v 不是割点。
若1)(=v d ，则v T −是有1)(−−v T ν条边的无圈图，故是树。从而)(1)(T w v T w ==−。因此v 不是割点。
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定理8 设v是无环连通图G的一个顶点，则v是G的割 点，当且仅当V(G-v)可以划分为两个非空子集V1与V2,使 得对任意x ∈V1, y ∈V2, 点v在每一条x y路上。
证明：“必要性”
v是无环连通图G的割点，由定理6，G-v至少有两个 连通分支。设其中一个连通分支顶点集合为V1,另外连通 分支顶点集合为V2,即V1与V2构成V的划分。
但这与e是G的割边矛盾！
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“充分性”
如果e不是G的割边，则G-e连通，于是在G-e中存在 一条u --- v 路，显然：该路并上边e得到G中一个包含边 e的圈，矛盾。
推论1 e为连通图G的一条边，如果e含于G的某圈中， 则G-e连通。
证明：若不然，G-e不连通，于是e是割边。由定理1， e不在G的任意圈中，矛盾！
证明：可以假设G连通。 “必要性” 若不然。设 e 在图G的某圈 C 中，且令e = u v.
考虑P = C- e,则P是一条u v路。下面证明G-e连通。
对任意 x, y V(G-e) 由于G连通，所以存在x ---y路
Q.若Q不含e，则x与y在G-e里连通；若Q含有e，则可选 择路：x ---u P v --- y,说明x与y在G-e里也连通。所以,若 边e在G的某圈中，则G-e连通。
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定义2 一个具有n个顶点的连通图G,定义n-1为该连通 图的秩；具有p个分支的图的秩定义为n-p。记为R(G)。
定义3 设S是连通图G的一个边子集，如果： (1) R (G-S) = n-2;
(2) 对S的任一真子集S1,有R(G-S1)=n-2。 称S为G的一个边割集，简称G的一个边割。 例2 边子集：S1=｛a, c, e｝, S2=｛a, b, ｝,S3=｛f｝是 否是下图G的边割？
定义7 在G中，如果E(G)可以划分为两个非空子集E1 与E2,使G[E1]和G[E2]以点v为公共顶点，称v为G的一个 割点。
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e1 v1
v1
e3
e2
v3
v3
e4
v2
v2
v5
e5
e6
v4
图G1
v4 图G2
在图G1中，点v1,v2均是割点；在G2中，v5是割点。 定理6 G无环且非平凡，则v是G的割点，当且仅当
(G v) (G)
证明：“必要性”
设v是G的割点。则E(G)可划分为两个非空边子集E1 与E2,使G[E1],G[E2]恰好以v为公共点。由于G没有环， 所
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以，G[E1],G[E2]分别至少包含异于v的G的点，这样，Gv的分支数比G的分支数至少多1，所以：
(G v) (G)
假若G1的两个顶点子集包含的顶点数分别为m与n， 并且包含m个顶点的顶点子集包含度为k-1的那个点，那 么有：k m-1= k n。但是因k≧2，所以等式不能成立！
注：该题可以直接证明G中任何一条边均在某一圈中， 由定理1得出结论。
边割集简介
边割集跟回路、树等概念一样，是图论中重要概念。 在应用上，它是电路网络图论的基本概念之一。所以， 下面作简单介绍。
“充分性” 由割点定义结论显然。 定理7 v是树T的顶点，则v是割点，当且仅当v是树的 分支点。 证明：“必要性”
若不然，有deg(v)=1,即v是树叶，显然不能是割点。 “充分性”
设v是分支点，则deg(v)>1.于是设x与y是v的邻点，由 树的性质，只有唯一路连接x与y，所以G-v分离x与y .即 v为割点。
网络可靠性， 是用可靠性参数来描述的。参数主要 分确定性参数与概率性参数。
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确定性参数主要考虑网络在最坏情况下的可靠性度 量，常称为网络拓扑的“容错性度量”，通常用图论概 念给出，其中，本章将介绍的图的连通度就是网路确定 性参数之一。近年来，人们又提出了“坚韧度”、“核 度”、“整度”等描述网络容错性的参数。
例1 求证: (1) 若G的每个顶点的度数均为偶数，则G 没有割边; (2) 若G为k正则二部图(k≧2)，则G无割边。
证明: (1)若不然，设e=uv 为G的割边。则G-e的含有 顶点u的那个分支中点u的度数为奇，而其余点的度数为 偶数，与握手定理推论相矛盾！
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(2)若不然，设e=uv 为G的割边。取G-e的其中一个分 支G1, 显然，G1中只有一个顶点的度数是k-1,其余点的度 数为k。并且G1仍然为偶图。
图论意义：图的连通程度的高低，是图结构性质的重 要表征，图的许多性质都与其相关，例如：连通图中任 意两点间不相交路的条数就与图的连通程度有关。
实际意义：图的连通程度的高低，在与之对应的通信 网络中，对应于网络“可靠性程度”的高低。
网络可靠性，是指网络运作的好坏程度，即指如计算 机网络、通信网络等对某个组成部分崩溃的容忍程度。
对于任意的x ∈V1, y ∈V2，如果点v不在某一条xy路 上，那么，该路也是连接G-v中的x与y的路，这与x,y处 于G-v的不同分支矛盾。
“充分性”
若v不是图G的割点，那么G-v连通，因此在G-v中存在 x,y路，当然也是G中一条没有经过点v的x,y路。矛盾。
图的连通性和性质
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主要内容 图的连通性刻画 一、割边、割点和块 二、图的连通度与敏格尔定理 三、图的宽直径简介
教学时数
安排6学时讲授本章内容
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本次课主要内容
割边、割点和块 (一)、割边及其性质 (二)、割点及其性质 (三)、块及其性质
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研究图的连通性的意义
研究图的连通性，主要研究图的连通程度的刻画， 其意义是：
概率性参数主要考虑网络中处理器与信关以随机的、 彼此独立的按某种确定性概率损坏的情况下，网络的可 靠性度量，常称为网络拓扑的“可靠性度量”。
(一)、割边及其性质
定义1 边e为图G的一条割边，如果 (G e) (G) 。
红色边为该图的割边
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注：割边又称为图的“桥”。
图的割边有如下性质：
定理1 边 e 是图G的割边当且仅当 e 不在G的任何圈中。
e
a c
fg
i
bБайду номын сангаас
d
h
图G 9
定义6 设G是连通图，T是G的一棵生成树。如果G的 一个割集S恰好包含T的一条树枝，称S是G的对于T的一 个基本割集。
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例如：在图G中
f a
bc
e
d
图G
G的相对于T的基本割集为： ｛a , e｝, ｛f , c｝, ｛f, b , e｝, ｛d｝.
(二)、割点及其性质