坐标平面内图形的轴对称和平移(基础) 知识讲解

坐标平面内图形的轴对称和平移（基础）

【学习目标】

1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.

2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.

【要点梳理】

要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征

1.关于坐标轴对称的点的坐标特征

P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；

P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；

P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．

2.象限的角平分线上点坐标的特征

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；

第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．

3.平行于坐标轴的直线上的点

平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；

平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.

要点二、用坐标表示平移

1.点的平移：

在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．

要点诠释：

（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；

（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；

（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

要点诠释：

（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．

（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.

【典型例题】

类型一、用坐标表示轴对称

1．已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则b a的值为_______. 【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b

＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出b a的值．

【答案】25

【解析】

解：∵点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），

∴a＋b＝－3，1－b＝－1，

解得：b＝2，a＝－5，

b

a＝25，

【总结升华】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：

【变式】点（3，2）关于x轴的对称点为（）

A．（3，－2）B．（－3，2）C．（－3，－2）D．（2，－3）

【答案】A．

2.已知点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．

【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】

解：如图，

∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，

∴点B与点A的横坐标相同，

∴ x＝－3．

∵点B到x轴的距离为3，

∴ y＝3或y＝－3．

∴点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．

【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．

举一反三：

【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.

A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）

C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）

【答案】B.

【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：

（1）点P1（a ,－b)在第象限；

（2）点P2（－a ,b)在第象限；

（3）点P3（－a ,－b)在第象限；

（4）点P4（ b ,a )在第象限.

【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.

类型二、用坐标表示平移

3.（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．

【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．

【答案】（0，﹣3）．

【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．

故答案为：（0，﹣3）．

【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

举一反三：

【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），

(1)线段AB的中点C坐标是；

(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．

(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2

点的坐标是．

【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).

【变式2】点P（－2，5）向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，变为P′（0，1）．

【答案】2、4．

4.（2016春•江西期末）如图中，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），

（1）求△ABO的面积．

（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′，求△O′A′B′的3个顶点的坐标．