轴对称图形与平移图形
《轴对称图形》旋转平移和轴对称
定义
平移变换是指将一个图形沿某 一方向移动一定的距离，而图 形的形状和大小保持不变。
特性
平移变换后的图形与原图形的 对应线段平行且相等，对应角 相等，对应点之间的距离相等
。
应用
平移变换在几何学中有着广泛 的应用，如证明平行线、矩形 、正方形等几何形状的性质等
。
轴对称图形与缩放变换
定义
缩放变换是指将一个图形的所有边按照同一比例 放大或缩小，而图形的形状和大小保持不变。
旋转对称图形的性质3
旋转对称图形的旋转角度必须是整数倍的360°，否则不能构成旋 转对称图形。
旋转对称图形的应用
01
旋转对称图形的应用1
在几何学中，旋转对称图形是研究空间几何关系的重要工具之一，可
以用来证明和解决一些几何问题。
02 03
旋转对称图形的应用2
在自然界中，许多物体都具有旋转对称性，如行星、卫星、恒星等天 体。这些物体的形状和大小可以通过其自转和公转的运动规律来描述 。
分类2
根据轴对称图形的对称轴数量，可以分为一维对称图形（如 线段）、二维对称图形（如圆形）、三维对称图形（如立方 体）等。
02
旋转对称图形
旋转对称图形的定义
旋转对称图形定义
如果一个图形绕某一点旋转一定角度后，能够与自身重合，那么 这个图形就叫做旋转对称图形，这个旋转中心称为旋转对称中心 。
旋转对称图形的旋转中心
定义
如果一个图形围绕某一点旋转 一定角度后，能够与原来的图 形重合，那么这个图形被称为
旋转对称图形。
特性
旋转对称图形的旋转中心是其对 称中心，任何旋转对称图形都有 一个旋转中心，并且所有围绕该 中心旋转的图形都会重合。
应用
《轴对称再认识(一)》轴对称和平移
对称变换在经济学中 的应用
在对称经济学中，对称原则被用来建 立经济模型，从而对经济现象进行分 析和研究。此外，在对称金融学中， 对称变换也被广泛应用于金融衍生品 定价和风险管理等领域。
对称变换的未来展望
随着科学技术的发展，对称变换将在 更多领域得到应用和发展。例如，在 人工智能领域，通过对称变换可以研 究深度学习和神经网络等算法的本质 和结构；在数据科学领域，通过对称 变换可以挖掘数据中的模式和规律； 在生物医学领域，通过对称变换可以 研究分子结构和生物大分子的性质等 。
对称变换在现代数学中的应用
01 02
对称变换在几何学中的应用
对称变换被广泛应用于几何学中，例如在平面几何、立体几何和解析 几何中，通过对称变换可以解决许多问题，如证明定理、求解方程等 。
对称变换在代数中的应用
对称变换也被广泛应用于代数中，例如在矩阵变换、群论和李代数中 ，通过对称变换可以研究问题的本质和结构。
平移和轴对称的关系
平移和轴对称都是图形的基本变换，它们之间存在密切 的关系。例如，可以通过平移将两个图形重合，也可以 通过轴对称将两个图形重合。
04
轴对称的实例
生活中的轴对称实例
建筑物
许多建筑物，如中国的故宫、 美国的自由女神像，都利用了 轴对称的设计，使建筑在视觉
上更具美感。
植物
自然界中许多植物也呈现出轴对 称的特点，如向日葵、睡莲等。
轴对称图形的特点
轴对称图形是左右或上下对称的，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等 。
轴对称的判断，通过折叠或比较对应 部分来判断是否为轴对称图形。
常见的轴对称图形
正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、圆形、菱形等 。
轴对称的应用
轴对称和平移
1、选择题
1．如图所示的标志中，是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、下列图形中一定是轴对称图形的是（）
A、梯形B、直角三角形C、角D、平行四边形
3、下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）
4、下列英文字母中，是轴对称图形的是（）
A、S B、H C、P D、Q
5、下列各种图形中，不是轴对称图形的是（）
（3）图3向（）移动了（）格.
9、画一画，填一填：
（1）图3向（）平移了（）格.
（2）请画出图2向左平移10格后的图形.
（3）请画出图1的另一半，使它成为一个轴对称图形.
10、画出下列图形的对称轴.
课后练习
画出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填下表格中．
正多边形的边数
3
4
5
6
7
8
对称轴的条数
学生
课后自我评价
听课及知识掌握情况反馈
____________________________________________________。
家长督导意见
教学督导签字
班主任签字：教学主管签字：
老师
课后
赏识
评价
老师最欣赏的地方：
老师的建议：
程
轴对称和平移
知识梳理
1、轴对称
1.定义:一个（两个）平面图形沿某条直线对折能够完全重合.
2.特征:对应角相等，对应边相等.
3.判断方法:沿着某条直线对折看是否重合.
4.画法:(1)找关键点
(2)过每个关键点做对称轴的垂线截取与之相等的距离，标出对应点
(3)连接对应点.
5.重要结论:(1)线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线.
第一轮复习图形的位置变换(平移、旋转、轴对称)
(1, 3) ． 则点 C′的坐标是_______
典型习题
五、变换作图 如图， 在平面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点都在格 点上，点 A 的坐标为(2,4)，请解答下列问题： (1)画出△ABC 关于 x 轴对称的 △A1B1C1，并写出点 A1 的坐标； (2)画出△A1B1C1 绕原点 O 旋转 180° 后得到的△A2B2C2，并写出 点 A2 的坐标．
达标检测
8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形 的是( C )
达标检测
9．线段 MN 在直角坐标系中的位置如图所示，若线段 M′N′与 MN 关于 y 轴对称， 则点 M 的对应点 M′的坐标 为( D ) A．(4,2) B．(－4,2) C．(－4，－2) D．(4，－2)
达标检测
典型习题
解：(1)△A1B1C1 如图所示，A1(2，－4)． (2)△A2B2C2 如图所示，A2(－2,4)．
达标检测
1． 如图， 点 A， B， C， D 都在方格纸的格点上， 若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转的 角度为( C ) A．30° B．45° C．90° D．135°
典型习题
二、旋转的性质 如图，在直角△OAB 中，∠AOB＝30° ，将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转 100° 得到△OA1B1，则∠A1OB 的
70° ． 度数为_______
典型习题
三、识别轴对称图形与中心对称图形
下图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( Ｂ )
典型习题
四、轴对称的性质 如图，在平面直角坐标系中△ABC 的两个顶点 A，B 的 坐标分别为(－2,0)，(－1,0)，BC⊥x 轴．将△ABC 以 y 轴为对称轴对称变换，得到△A′B′C′(A 和 A′，B 和 B′， C 和 C′分别是对应顶点)． 直线 y＝x＋b 经过点 A， C′，
五年级数学上册第二单元 轴对称和平移 知识点+练习
第二单元轴对称和平移轴对称：1.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，那条直线就叫做对称轴。
两图形重合时互相重合的点叫做对应点，也叫对称点。
2.轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。
3.轴对称图形具有对称性。
4轴对称图形的法：（1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。
平移：1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2.平移的基本性质：（1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。
3.平移图形的画法：（1）确定平移的方向与距离。
（2）将关键点按所需方向平移所需距离。
（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点。
4、平移几格并不是指原图形和平移后的新图形之间的空格数，而是指原图形的关键点平移的格数。
设计图案的基本方法：平移、对称1.运用平移设计图案的方法：（1）选好基本图案；（2）根据所选的基本图案确定平移的格数和方向；（3）平移，描出对应点；（4）按顺序连接对应点。
2.运用对称设计图案的方法：（1）先选好基本图案；（2）依据基本图案的特点定好对称轴；（3）选好关键点，并描出关键点的对应点；（4）按顺序连接对应点，画出基本图形的对称图形。
北师大版小学五年级上册数学第2单元《轴对称和平移》1、把图形向右平移7格后得到的图形涂上颜色。
（1）向左平移2格2、把图形向左平移5格后得到的图形涂上颜色。
（2）向右平移5格3、把图形向右平移4格后得到的图形涂上颜色。
4、画出小船向右平移6格后的图形。
5、画出向右平移6格后的图形6、（1）小汽车向（）平移了（）格。
专题16 图形变换之平移与对称(解析版)
专题16图形变换之平移与对称考纲要求:1．理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移的概念. 2．运用图形的轴对称、平移进行图案设计.3．利用平移、对称的图形变换性质解决有关问题.基础知识回顾:知识点一：图形变换1.图形的轴对称（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. （2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.2.图形的平移（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．3.图形的中心对称（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．（2）①关于中心对称的两个图形全等；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.知识点二：网格作图坐标与图形的位置及运动图形的平移变换在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．图形关于坐标轴成对称变换在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．图形关于原点成中心对称在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．应用举例:招数一、变换图形的形状问题【例1】下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是A． B． C． D．【答案】C【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形.故选C.招数二、平面坐标系中的图形变换问题【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）请写出A1.A2的坐标．【答案】（1）△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）．【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标．招数三、函数中的图形变换问题【例3】已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．＜﹣3．【答案】（1）﹣m﹣3;（2）y＝﹣x﹣2（x＞1）;（3）﹣4＜yP【解析】（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3.（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3，顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3），∴抛物线G1∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3，∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2.即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2，∵m＞0，m＝x﹣1，∴x﹣1＞0，∴x＞1，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）.（3）如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4，∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4），∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3，∴抛物线G恒过点A（2，﹣3），由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB ＜yP＜yA，∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3，招数四、三角形、四边形中图形变换问题【例4】将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）A．B．﹣1 C．D．【答案】A【解析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，∴正方形EFGH的边长GF＝＝[∴HF＝GF＝∴MF＝PH＝＝a∴＝a÷＝故选：A．【例5】如图，在中，，，，点M为边AC的中点，点N为边BC 上任意一点，若点C关于直线MN的对称点恰好落在的中位线上，则CN的长为______．【答案】或【解析】取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点落在MH上时，设，由题意可知：，，，，在中，，，解得；如图2中，当点落在GH上时，设，在中，，，，∽，∴，，；综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．招数五、图案设计方案问题【例6】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）【答案】见解析．【解析】如图所示方法、规律归纳:1．识别某图形是轴对称图形还是中心对称图形的关键在于对定义的准确把握，抓住轴对称图形、中心对称图形的特征，看能否找出其对称轴或对称中心，再作出判断.2．在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为(x＋a，y)〔或(x－a，y)〕；将点P(x，y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y＋b)〔或(x，y－b)〕．3．要画出一个图形的平移、对称后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距离、对称不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、对称中最常用的方法．4．利用平移、对称的性质解题时，要抓住平移规律及对称中不变的特点来解决问题.实战演练:1.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10 B．6 C．3 D．2【答案】C【解答】如图所示，n的最小值为3，2. 如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．无法计算【答案】A【解析】如下图所示，∵抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，∴两个顶点的连线平行x轴，∴图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的，∴图中阴影部分等于红色部分的面积，而红色部分的是一个矩形，长、宽分别为2，1，∴图中阴影部分的面积S=2．故选A．3. 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2 【答案】D【解析】y＝x2－6x＋5＝ (x－3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y＝ (x－3－1) 2－4＋2，即y＝(x－4)2－2．4.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B．5. 如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 .【答案】.【解析】试题解析：如图１，当点P为BC的中点时，MN最短．此时E、F分别为AB、AC的中点，∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．此时G（H）为AB（AC）的中点，∴CG=2（BH=2），CM=4（BN=4）．故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4．6. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由．【解析】DE⊥FG．理由：由题知：Rt△ABC≌Rt△BDE≌Rt△FEG∴∠A=∠BDE=∠GFE∵∠BDE＋∠BED=90°∴∠GFE＋∠BED=90°，即DE⊥FG．7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B 的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n ＞0，求m ，n 的值．【答案】（1）26x -；（2）72，1．【解析】（1）令0y =，则212602x x -++=，解得，12x =-，26x =，(2,0)A ∴-，(6,0)B ， 由函数图象得，当0y 时，26x -；（2）由题意得，1(6,)B n m -，2(,)B n m -， 函数图象的对称轴为直线2622x -+==， 点1B ，2B 在二次函数图象上且纵坐标相同， ∴6()22n n -+-=，1n ∴=， ∴217(1)2(1)622m =-⨯-+⨯-+=， m ∴，n 的值分别为72，1． 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0）．得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A 、B 的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标．由B 到B ′，可得方程组：⎩⎨⎧=+⨯=+2023n a m a ，解得：a =12，m =12，n =2． 设F 点的坐标为（x ，y ），点F ′点F 重合得到方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y x x 2212121 ，解得：⎩⎨⎧==41y x ，即F（1，4）．9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．点B 的坐标为（8，4），将该长方形沿OB 翻折，点A 的对应点为点D ，OD 与BC 交于点E ． （I ）证明：EO=EB ；（Ⅱ）点P 是直线OB 上的任意一点，且△OPC 是等腰三角形，求满足条件的点P 的坐标； （Ⅲ）点M 是OB 上任意一点，点N 是OA 上任意一点，若存在这样的点M 、N ，使得AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）P 的坐标为（4，2）或（，）或P （﹣，﹣）或（，）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，∴∠DOB=∠AOB，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB，∴∠OBC=∠DOB，∴EO=EB；（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），∴直线OB解析式为y=x，∵点P是直线OB上的任意一点，∴设P（a，a）．∵O（0，0），C（0，4），∴OC=4，PO2=a2+（a）2=a2，PC2=a2+（4-a）2．当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：①如果PO=PC，那么PO2=PC2，则a2=a2+（4-a）2，解得a=4，即P（4，2）；②如果PO=OC，那么PO2=OC2，则a2=16，解得a=±，即P（，）或P（-，-）；③如果PC=OC时，那么PC2=OC2，则a2+（4-a）2=16，解得a=0（舍），或a=，即P（，）；故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（，）或P（-，-）或（，）；（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．由（1）有，EO=EB，∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），设OE=x，则DE=8-x，在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，∴16+（8-x）2=x2，∴x=5，∴BE=5，∴CE=3，∴DE=3，BE=5，BD=4，∵S△BDE=DE×BD=BE×DG，∴DG=，由题意有，GN=OC=4，∴DN=DG+GN=+4=．即：AM+MN的最小值为．10. 如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2、y=x相交于点P．（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t ＞0）．①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．【答案】（1）直线l1的表达式为y=﹣x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为或；②当t=时，△PMN的面积等于18.【解析】（1）设直线l1的表达式为y=kx+b，∵直线l1过点F（0，10），E（20，0），∴，解得：，直线l1的表达式为y=﹣x+10，解方程组得，∴点P坐标为（8，6）；（2）①如图，当点D在直线上l2时，∵AD=9∴点D与点A的横坐标之差为9，∴将直线l1与直线l2的解析式变形为x=20﹣2y，x=y，∴y﹣（20﹣2y）=9，解得：y=，∴x=20﹣2y=，则点A的坐标为：（，），则AF=，∵点A速度为每秒个单位，∴t=；如图，当点B在l2直线上时，∵AB=6，∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，∴直线l1的解析式减去直线l2的解析式得，﹣x+10﹣x=6，解得x=，y=﹣x+10=，则点A坐标为（，）则AF=，∵点A速度为每秒个单位，∴t=，故t值为或；②如图，设直线AB交l2于点H，设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，由①中方法可知：MN=，此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1，∵△PMN的面积等于18，∴=18，解得a1=-1，a2=﹣-1（舍去），∴AF=6﹣，则此时t为，当t=时，△PMN的面积等于18.。
二年级下册数学图形的运动---轴对称、平移、旋转
创意性图案1
将正方形进行轴对称和平移，可以设计出 具有对称性的连续方形图案。
创意性图案2
将三角形进行旋转和平移，可以设计出具 有旋转对称性的复杂图案。
创意性图案3
将圆形进行平移和旋转，可以设计出具有 流动感的圆形图案。
欣赏经典数学图案作品
ห้องสมุดไป่ตู้经典作品1
经典作品3
埃舍尔的《相对性》利用轴对称和平 移等变换，展示了视觉上的错觉和数 学的魅力。
• 平移的要素：平移的方向和距离。
关键知识点总结回顾
旋转的定义
在平面内，将一个图形绕一个定 点沿某个方向转动一个角度，这
样的图形运动称为旋转。
旋转的性质
旋转不改变图形的形状和大小，只 改变图形的位置和方向。
旋转的要素
旋转中心、旋转方向和旋转角度。
学生自我评价报告
知识掌握情况
我已经掌握了轴对称、平移和旋转的基本概念和性质，能够识别和判断这些图形运 动。
选择基本图形
选择一个简单的图形，如正方形、三角形 或圆形，作为设计的基础。
应用轴对称
通过轴对称，可以创建出镜像效果，使得 图形具有对称美感。
应用平移
通过平移，可以将基本图形在平面上移动 到不同位置，形成连续的图案。
应用旋转
通过旋转，可以将基本图形绕某一点旋转 一定角度，创造出更丰富的图案效果。
创意性图案设计展示
绘制轴对称图形步骤
01
确定对称轴的位置和方向。
02
在对称轴的一侧绘制图形的一部 分。
03
根据轴对称的性质，在对称轴的 另一侧绘制出与已绘制部分完全 相同的图形。
04
检查绘制的图形是否满足轴对称 的定义，即沿对称轴折叠后两侧 是否能够完全重合。
平移、轴对称图形
A
B
A'
C点是旋转中心点。
C
图形的旋转
B'
特点：对称轴两侧的图形完全重合，对称点到对称轴的距离 相等
A
三角形ABC=三角形ADC 线段BD=线段DC
B
D
C
轴对称图形
旋转——在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个 角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心， 转动的角度叫做旋转角。
特点：图中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、 对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
平移——是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做
相同距
离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，
简称平移。
特点：1、不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等
形)。
2、图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线
段相等。
图形的平移
轴对称图形——如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧 的图 形能够完全重合，这个图形就是轴对称 图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
第二单元 轴对称和平移
第二单元轴对称和平移轴对称：1.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，那条直线就叫做对称轴。
两图形重合时互相重合的点叫做对应点，也叫对称点。
2.轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。
3.轴对称图形具有对称性。
4轴对称图形的法：（1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。
平移：1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2.平移的基本性质：（1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。
3.平移图形的画法：（1）确定平移的方向与距离。
（2）将关键点按所需方向平移所需距离。
（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点并标上相应字母。
设计图案的基本方法：平移、对称、旋转。
1.运用旋转设计图案的方法：（1）选好基本图案；（2）根据所选的基本图案确定旋转点；（3）确定旋转度数；（4）依次沿每次旋转后的基本图形的边缘画图。
2.运用对称设计图案的方法：（1）先选好基本图案；（2）依据基本图案的特点定好对称轴；（3）画出基本图形的对称图形活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。
”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。
听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。
图形的平移与轴对称
图形的平移与轴对称一、平移把一个图形整体沿着某一条直线方向上移动，会得到一个新的图形，图形的这种变化叫做平移。
特征：图形平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行且相等。
平移后，对应角相等，且对应角的两边分别平行，方向相同，平移前后的图形全等。
二、轴对称1. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，把这条直线叫做对称轴，这个时候，我们说这个图形关于这条直线成轴对称。
2. 轴对称图形的性质（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等，对称点所连线段被对称轴垂直平分。
（2）轴对称变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
（3）成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或者延长线相交，则交点一定在对称轴上。
三、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两端点的距离相等判定：与一条线段两端点距离相等的点，在这条直线的垂直平分线上。
四、经典练习题A．坐标的平移如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）B、轴对称C.轴对称图形D、线段垂直平分线的应用E、利用平移求图形的面积五、总结1.在解答图形平移的问题中，找准平移的方向和平移的距离是最重要的，在平面直角坐标系中求图形平移后的点的坐标，一般遵循“上加下减、左减右加”的原则，这个千万不要跟二次函数的图像平移相混淆，二次函数图象平移的原则是“上加下减，左加右减”。
2.在解答轴对称类的问题时，一般要运用轴对称图形的对应线段相等，对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分等性质，尤其要特别注意，折叠是一种轴对称，折叠前后图形全等。
3.图形成轴对称和轴对称图形是两个不同的概念，链各个概念之间也有很密切的关系，图形成轴对称是一种关系，轴对称图形是“图形”。
我们通常会说某两个图形关于某直线对称，或某两个图形成对称轴，又会说某一个图形是轴对称图形。
初中数学 轴对称图形和平移有什么关系
初中数学轴对称图形和平移有什么关系
轴对称图形和平移在数学中有密切的关系。
平移是指通过沿着某个方向移动图形，而不改变图形的形状、大小和方向。
下面是轴对称图形和平移之间的关系：
1. 平移保持轴对称图形的对称性质：平移操作不改变图形的形状、大小和方向，因此它也不会改变轴对称图形的对称性质。
如果一个图形是轴对称的，那么它的平移后仍然是轴对称的。
这意味着，如果我们对一个轴对称图形进行平移操作，它的对称轴会跟随平移一起移动。
2. 平移改变轴对称图形的位置：平移操作将轴对称图形从一个位置移动到另一个位置，但图形本身保持不变。
通过平移，我们可以在平面上移动轴对称图形，从而改变它的位置和相对关系。
3. 平移构造新的轴对称图形：通过平移操作，我们可以构造出新的轴对称图形。
例如，如果一个图形是轴对称的，那么对它进行平移操作后，平移后的图形也是轴对称的，但它的对称轴位置发生了变化。
通过不同的平移操作，我们可以得到各种不同位置的轴对称图形。
4. 平移可以帮助解决轴对称图形的问题：在解决与轴对称图形相关的问题时，我们经常使用平移操作来帮助我们更好地理解和解决问题。
通过平移，我们可以将轴对称图形移动到更方便研究和分析的位置，从而更好地理解和解决问题。
总之，轴对称图形和平移之间有密切的关系。
平移操作不改变轴对称图形的形状、大小和方向，但可以改变图形的位置和相对关系。
通过平移操作，我们可以构造新的轴对称图形，并且可以利用平移操作帮助解决轴对称图形的问题。
希望以上内容能够帮助你理解轴对称图形和平移之间的关系。
如果你还有其他问题，请随时提问。
坐标平面内图形的轴对称和平移
第21课 坐标平面内的图形的轴对称和平移学习目标1.感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化.2.了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系.3.会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标.4.利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形.知识点01 坐标平面内图形的轴对称在直角坐标系中，点(a,b )关于x 轴的对称点的坐标为(a,-b ),关于y 轴的对称点的坐标为(-a,b).1. 关于x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数2.关于y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变知识点02 坐标平面内图形的平移平移：上加下减，右加左减考点01 坐标平面内图形的轴对称【典例1】已知点A （a +2b ，﹣2）和点B （﹣1，a +1）关于y 轴对称，那么a +b ＝ ﹣1 ．【思路点拨】关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a ，b 的值．【解析】解：∵点A （a +2b ，﹣2）和点B （﹣1，a +1）关于y 轴对称，∴，解得，∴a +b ＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．【即学即练1】平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （3，4），C （3，﹣1）．（1）试在平面直角坐标系中，标出A 、B 、C 三点；（2）求△ABC 的面积．（3）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于x 轴对称，写出A 1、B 1、C 1的坐标．【思路点拨】（1）根据点A 、B 、C 的坐标及坐标的概念描点即可；（2）根据三角形的面积公式求解可得；（3）根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解析】解：（1）如图所示，点A 、B 、C即为所求；能力拓展（2）△ABC的面积为：＝5；（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）．【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出对应点．考点02 坐标平面内图形的平移【典例2】用（﹣2，4）表示一只蚂蚁的位置，若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位，然后又竖直向下爬行2个单位，则此时这只蚂蚁的位置是（ ）A．（1，6）B．（﹣5，2）C．（1，2）D．（2，1）【思路点拨】根据平移规律解答即可．【解析】解：自点（﹣2，4）先水平向右爬行3个单位，然后又竖直向下爬行2个单位，此时这只蚂蚁的位置是（﹣2+3，4﹣2），即（1，2），故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．【即学即练2】三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）分别写出下列各点的坐标：A （1，3） ，A′ （﹣3，1） ；（2）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标 （x﹣4，y﹣2） ．（3）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？【思路点拨】（1）根据点的位置写出坐标即可；（2）利用平移变换的规律解决问题即可；（3）根据平移变换的性质解决问题．【解析】解：（1）A （1，3），A ′（﹣3，1）．故答案为：（1，3），（﹣3，1）；（2）∵△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A ′B ′C ′，∴P （x ，y ）的对应点P ′（x ﹣4，y ﹣2），故答案为：（x ﹣4，y ﹣2）；（3）△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A ′B ′C ′．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．题组A 基础过关练1．在平面直角坐标系中，点A （3，2）与点B （3，﹣2）的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．没有对称关系【思路点拨】直接利用关于关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．【解析】解：∵点A （3，2）与点B （3，﹣2），横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点A （3，2）与点B （3，﹣2）的位置关系是关于x 轴对称．故选：A．分层提分【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．2．在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．（﹣6，3）B．（6，﹣3）C．（6，3）D．（﹣6，﹣3）【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．【解析】解：在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（6，3）．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．3．若点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，则a+b的值是（ ）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【思路点拨】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可得a＝﹣2，b＝﹣3，再代入计算即可．【解析】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：C．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．4．若点M（2a，﹣1）与点N（4，﹣b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．【解析】解：∵点M（2a，﹣1）与点N（4，﹣b）关于x轴对称，∴2a＝4，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1，则a+b＝2﹣1＝1．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握对称点坐标特点是解题关键．5．把点A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，点B的坐标是（ ）A．（﹣5，3）B．（1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣5，﹣1）【思路点拨】根据平移的基本性质，向上平移a，纵坐标加a，向右平移a，横坐标加a；【解析】解：∵A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，∴1+2＝3，﹣2﹣3＝﹣5；点B的坐标是（﹣5，3）．故选：A．【点睛】本题考查了平移的性质，①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y），①向左平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y），①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b），①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）．6．在平面直角坐标系中，若点P（a，﹣5）与点Q（4，3）所在直线PQ∥y轴，则a的值等于（ ）A．﹣5B．3C．﹣4D．4【思路点拨】根据直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等，即可求解．【解析】解：∵直线PQ∥y轴，∴P，Q横坐标相等，∴a＝4，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等是解题的关键．7．如图，将线段AB向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）A．（0，2）B．（1，2）C．（0，﹣1）D．（﹣1，﹣2）【思路点拨】利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点A′，B′即可．【解析】解：如图，观察图象可知点A′的坐标是（1，2），故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．8．在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且MN∥y轴．（1）m＝ ﹣2 ；（2）点M关于y轴对称的点的坐标为 （3，﹣3） ．【思路点拨】（1）根据MN∥y轴得出点M与点N的横坐标相等，建立等式可求出m的值，由此即可得；（2）根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【解析】解：（1）∵点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且MN∥y轴，∴点M与点N的横坐标相等，即m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）由（1）可得点M的坐标为（﹣3，﹣1），所以点M关于y轴对称的点的坐标为（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键．9．△ABC的三个顶点坐标分别是A（a，5），B（7，b），C（4，9），将△ABC平移后得到△A1B1C1，其中A1（3，8），B1（6，3），则点C1的坐标是 （3，12） ．【思路点拨】由题意△ABC向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，由此可得结论．【解析】解：由题意△ABC向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，∴C1（3，12）．故答案为：（3，12）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．已知点A（a﹣3，a2﹣4），求分别满足下列条件的a的值及点A的坐标．（1）点A在x轴上；（2）已知点B（2，5），且AB∥x轴．【思路点拨】（1）根据x轴上的点的坐标特征可得a2﹣4＝0，求出a的值，进一步可得点A的坐标；（2）根据AB∥x轴，可得a2﹣4＝5，求出a的值，进一步可得点A的坐标．【解析】解：（1）∵点A在x轴上，∴a2﹣4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）；（2）∵AB∥x轴，∴a2﹣4＝5，∴a＝3或a＝﹣3，∴点A坐标为（0，5）或（﹣6，5）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系内坐标轴上的点和平行于坐标轴的点的坐标特征是解题的关键．11．如图在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）（每个小正方形的边长均为1）．（1）若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为 （2，2） ．（2）将点B向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到点C，则点C的坐标为 （2，0） ．（3）请在图中表示出D、C两点，顺次连接ABCD，并求出A、B、C、D组成的四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（3）利用四边形ABCD所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．【解析】解：（1）如图所示：D（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：C（2，0）；故答案为：（2，0）；（3）如图所示：四边形ABCD的面积为：4×5﹣×1×4﹣×5×2＝13．【点睛】此题主要考查了四边形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．题组B 能力提升练12．若点A（6，6），AB∥x轴，且AB＝2，则B点坐标为（ ）A．（4，6）B．（6，4）或（6，8）C．（8，6）D．（4，6）或（8，6）【思路点拨】根据AB∥x轴，得到点A，B的纵坐标相等，点B的纵坐标为6，根据AB＝2分两种情况求点B的坐标即可．【解析】解：∵AB∥x轴，∴点A，B的纵坐标相等，∴点B的纵坐标为6，∵AB＝2，∴当点B在点A左侧时，B（4，6）；当点B在点A右侧时，B（8，6）；故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，体现了分类讨论的思想，根据AB∥x轴，得到点A，B的纵坐标相等是解题的关键．13．在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣2），那么点B的对应点B′的坐标是（ ）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，2）D．（2，1）【思路点拨】利用平移变换的性质，画出图形可得结论．【解析】解：如图，观察图像可知，B′（1，1）．故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，正确画出图形解决问题．14．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称的点B'的坐标为（ ）A．（﹣3，2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）【思路点拨】首先根据纵坐标上移加，下移减可得B点坐标，然后再根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解析】解：将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度得到点B的坐标为（2，﹣1+4），即（2，3），则点B关于y轴的对称点B′的坐标是：（﹣2，3）．故选：D．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．15．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）A．a＞B．a＜C．a＜﹣1D．﹣1＜a＜【思路点拨】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利用第二象限点的坐标特点进而得出答案．【解析】解：点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点为（a+1，﹣2a+3）在第二象限，故，解得a＜﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．16．在平面直角坐标系中有A（m，3），B（4，n）两点，若直线AB平行于y轴，且AB＝4，则m+n＝ 3或11 ．【思路点拨】先根据直线AB平行于y轴可得出m＝4，再由AB＝4可得出n的值．【解析】解：∵点A（m，3），B（4，n），直线AB平行于y轴，∴m＝4．∵AB＝4，∴|3﹣n|＝4，解得n＝﹣1或7．∴m+n＝4﹣1＝3，或4+7＝11故答案为：3或11．【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的横坐标相等是解答此题的关键．17．已知点M（3，﹣2）与点M'（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M'到y轴的距离等于4，那么点M'的坐标是 （4，﹣2）或（﹣4，﹣2） ．【思路点拨】由点M和M′在同一条平行于x轴的直线上，可得点M′的纵坐标；由“M′到y轴的距离等于4”可得，M′的横坐标为4或﹣4，即可确定M′的坐标．【解析】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴M′的纵坐标y＝﹣2，∵“M′到y轴的距离等于4”，∴M′的横坐标为4或﹣4．所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．【点睛】本题考查了点的坐标的确定，注意：由于没具体说出M′所在的象限，所以其坐标有两解，注意不要漏解．18．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 0 ．【思路点拨】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解析】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得（舍去），，∴4a+b＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1是解题的关键．题组C 培优拔尖练19．在平面直角坐标系中，将点A（m，n+2）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A'位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（ ）A．m＜0，n＞0B．m＜3，n＞﹣4C．m＜0，n＜﹣2D．m＜﹣3，n＜﹣4【思路点拨】根据第二象限点的特征，根据不等式组解决问题即可．【解析】解：平移后的坐标为（m﹣3，n+4），由题意，，解得，故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），则线段AB上任意一点的坐标可表示为（ ）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【思路点拨】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解析】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等．22．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【思路点拨】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．【解析】解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，∴，解得，∴点M（m，n）即（﹣2，﹣1）在第三象限．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出m，n的值是解题关键．23．在平面直角坐标系中，下列说法：①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）A．①④B．②③C．①③④D．①②④【思路点拨】①坐标轴上的点的特征是横坐标为0或纵坐标为0，由此可判断；②由m2≥0，可得点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上；③到点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则点P在四个象限内都有符合条件的点；④由题可知MN在直线y＝3上，由此可判断．【解析】解：①∵点A（a，b）在坐标轴上，∴a＝0或b＝0，∴ab＝0，故①符合题意；②∵m2≥0，∴点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上，故②不符合题意；③点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，∴P点坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），∴P点共有4个，故③不正确；④∵点M（2，3），点N（﹣2，3），∴M、N两点在y＝3的直线上，∴MN∥x轴，故④符合题意；故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．25．如图，正△ABO的边长为4，O为坐标原点，A在x轴上，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，翻滚2022次后AB中点M坐标为 （8085，） ．【思路点拨】作出把△ABO经3次翻滚后的图形，作B3E⊥x轴于点E，由勾股定理可得B3E的长，从而可知点B3的纵坐标，再根据等边三角形的边长为4及等腰三角形的三线合一性质，可得OE的长，从而可知点B3的坐标；由图象可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚2022次后AB中点M的坐标．【解析】解：如图所示，把△ABO经3次翻滚后，点B落到点B3处，点M经过点N、点H落到点M’处，点A落到点K处，作B3E⊥x轴于点E，则∠B3KE＝60°，B3K＝2，∴KE＝B3K＝2，B3E＝B3K＝2，∴OE＝3×4﹣2＝10，∴K（8，0），B3（10，2）．∴M′（9，）．由图象可知，翻滚三次为一个循环，∵2022＝3×674，∴翻滚2022次后AB 中点M 的纵坐标与点M ′的纵坐标相同，横坐标为2022×4﹣3＝8085，∴翻滚2022次后AB 中点M 的坐标为（8085，）．故答案为：（8085，）．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质等知识，找到旋转规律是解题的关键．26．如图①，在平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （b ，0），点C （0，2），且|a +2b |+＝0．（1）求点A ，B 的坐标；（2）将三角形ABC 平移，平移后点C 的对应点的坐标为（7，6），点B 的对应点为点D ，如图②．求三角形ACD 的面积；（3）P （m ，3）是一动点，若三角形PCO 的面积等于三角形AOC 的面积，求出点P 的坐标．【思路点拨】（1）由|a +2b |+＝0，根据非负数的性质可得出a 和b 的值，即可确定点A 和B 的坐标；（2）连接OD ，根据S 三角形ACD ＝S 三角形OCD +S 三角形OAD ﹣S 三角形AOC 计算即可求解；（3）根据三角形PCO 的面积等于三角形AOC 的面积，列出方程计算即可求解．【解析】解：（1）∵|a +2b |+＝0，∴，解得．故点A （4，0），点B （﹣2，0）；（2）∵将三角形ABC 平移，平移后点C （0，2）的对应点的坐标为（7，6），∴三角形ABC 是向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，∴三角形ABC 平移后点B （﹣2，0）的对应点D 的坐标为（5，4），连接OD ，∴S 三角形ACD ＝S 三角形OCD +S 三角形OAD ﹣S 三角形AOC＝×4×4+×2×5﹣×4×2＝9；（3）依题意有：×2|m|＝×4×2，解得m＝±4，故点P的坐标为（﹣4，3）或（4，3）．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，关键是能根据|a+2b|+＝0的非负性确定a和b的值，求出点A，B的坐标．27．在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′．（1）如果点A，B，A′的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（1，﹣3），A′（2，3），直接写出点B′的坐标 （5，﹣1） ；（2）已知点A，B，A'，B'的坐标分别为A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），m 和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；（3）已知点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），求点A，B的坐标．【思路点拨】（1）根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意列方程组，解方程组，即可得到结论．【解析】解：（1）∵A（﹣2，1）平移后得到点A′的坐标为（2，3），∴向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，∴B（1，﹣3）的对应点B'的坐标为（1+4，﹣3+2），即（5，﹣1）．故答案为：（5，﹣1）；（2）m＝2n，理由：∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），∴3m﹣m＝6n﹣2n，∴m＝2n；（3）∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），∴2n﹣5﹣m＝2m+3﹣（n﹣1），2m+3﹣（n+1）＝（n+3）﹣（n﹣2），解得m＝6，n＝9，∴点A的坐标为（6，10），点B的坐标为（8，7）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键．28．我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点P k成为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”．（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是P k（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．【思路点拨】（1）构建方程组求解即可；（2）构建不等式组解决问题即可；（3）根据不等式组，求出整数k，可得结论．【解析】解：（1）由题意，解得，，∴P（﹣1，2）；（2）由题意，，解得，t＞﹣；（3）由题意，，解得，，∵x＜y＜2x，∴＜＜，解得，＜k＜5，∵k是正整数，∴K＝2或3或4，∴或或，∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（，）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解一元一次方程，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题．。
中考总复习29——图形的轴对称、平移和旋转
中考复习29——图形的轴对称、平移和旋转考点复习1.轴对称、轴对称图形(1)轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称.两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点.(2)轴对称图形:如果一个图形沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线.(3)轴对称图形变换的特征:不改变图形的和,只改变图形的.新旧图形具有对称性.2.中心对称、中心对称图形(1)中心对称:把一个图形绕着某一点旋转,如果它能与另一个图形,那么这两个图形成中心对称,该点叫做对称中心.(2)中心对称图形:一个图形绕着某一点旋转后能与自身,这个图形叫做中心对称图形,该点叫做对称中心.3.图形的平移(1)定义:在平面内,将某个图形沿某个移动一定的,这样的图形运动称为平移.(2)特征:①平移后,对应线段相等且平行,对应点所连的线段且.②平移后,对应角且对应角的两边分别平行,方向相同.③平移不改变图形的和,只改变图形的位置,平移后新旧两图形全等.4.图形的旋转(1)定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.(2)特征:图形旋转过程中,图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度;注意每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角,旋转角都;对应点到旋转中心的距离.图形的对称1.(2020呼和浩特)下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案,其中不是轴对称图形的是( )2.(2020天津)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( )3.(2020湘潭)下列图形中,不是中心对称图形的是( )4.(2020遂宁)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形5.(2020绥化)下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )6.(2020烟台)如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为( )A.12B.920C.25D.13图形的平移7.(2020泸州)在平面直角坐标系中,将点A(-2,3)向右平移4个单位长度,得到的对应点A'的坐标为( )A.(2,7)B.(-6,3)C.(2,3)D.(-2,-1)8.(2020台州)如图,把△ABC先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到△DEF,则顶点C(0,-1)对应点的坐标为( )A.(0,0)B.(1,2)C.(1,3)D.(3,1)9.(2020青海)如图,将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位长度,得到△DEF,则四边形ABFD的周长为_______.图形的旋转10.(2020南通)以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°,得到的点Q所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.(2020天津)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点B的对应点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,则下列结论一定正确的是( )A.AC=DEB.BC=EFC.∠AEF=∠DD.AB⊥DF12.(2020潮州模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△ADE,点B,C的对应点分别是D,E.当点E恰好在AB上时,则∠BDE的度数为___________ .13.(2020孝感)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则CE的长为( )A.54B.154C.4D.92广东中考14.(2018广东)下列图形中,不是轴对称图形的是( )15.(2015广东)在下列交通标志中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )16.(2016广东)下列所述图形中,是中心对称图形的是( )A.直角三角形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形17.(2017广东)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.等边三角形B.平行四边形C.正五边形D.圆18.(2018广东)下列所述图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形19.(2019广东)下列四个银行标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )20.(2016广州)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12 cm,点D在AC上,DC=4 cm.将线段DC沿着CB 的方向平移7 cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上,则△EBF的周长为______cm.21.(2018广东)如图,将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°,点E到了点E'位置,则四边形ACE'E的形状是________ .22.(2014广东)如图,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A'B'C',若∠BAC=90°,AB=AC=√2,则图中阴影部分的面积等于.23.(2016广东)如图,在矩形ABCD中,对角线AC=2√3,E为BC边上一点,BC=3BE,将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠,B点恰好落在对角线AC上的B'处,则AB=.24.(2017广州)如图,E,F分别是▱ABCD的边AD,BC上的点,EF=6,∠DEF=60°,将四边形EFCD 沿EF翻折,得到EFC'D',ED'交BC于点G,则△GEF的周长为( )A.6B.12C.18D.2425.(2017广东)如图①,在矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,先按图②操作:将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在边AB上的点E处,折痕为AF;再按图③操作,沿过点F的直线折叠,使点C落在EF上的点H处,折痕为FG,则A,H两点间的距离为.26.(2020广东)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为( )A.1B.√2C.√3D.227.(2020广州)如图,在正方形ABCD中,△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C',AB',AC'分别交对角线BD于点E,F,若AE=4,则EF·ED的值为____________ .。
图形的轴对称、平移与旋转
图形的轴对称、平移与旋转主讲：黄冈中学优秀数学教师余燕考点回顾：考点一：轴对称与轴对称图形1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点．2、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴．3、轴对称与轴对称图形的区别与联系（1）轴对称是指两个特定图形之间的位置关系，轴对称图形是描述一个图形的形状特征；（2）轴对称只有一条对称轴，而轴对称图形不一定只有一条对称轴．4、轴对称两点在平面直角坐标系中的坐标关系（1）关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．（3）点A（a，b）关于直线y＝x对称的点的坐标为（b，a），点A（a，b）关于直线y＝－x对称的点的坐标为（－b，－a）．考点二：轴对称和轴对称图形的性质1、关于某条直线成轴对称的两个图形是全等的，对应线段相等，对应角相等．2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线．3、两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．4、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．考点三：中心对称与中心对称图形1、中心对称：把一个图形绕着某一定点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形关于这个定点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．2、中心对称图形：在平面内，一个图形绕某一定点旋转180°，能够和原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心．3、中心对称与中心对称图形的区别与联系（1）中心对称是指两个特定图形之间的位置关系，中心对称图形是描述一个图形的形状特征；（2）将成中心对称的两个图形看做一个整体时，这个整体图形就是中心对称图形．考点四：中心对称的性质1、对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分；2、对应线段相等、平行或共线；3、对应角相等；4、点A（a，b）关于原点对称的点的坐标为（－a，－b）；5、点A（a，b）关于点（m，n）对称的点的坐标为（2m－a，2n－b）．考点五：图形的平移将某一基本的图形沿着一定的方向移动一定的距离，这种图形的平行运动称为图形的平移，简称平移．平移由移动的方向和距离所决定．考点六：图形平移的性质1、平移后的图形与原来图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等．2、平移后的图形与原来图形的对应角相等，且对应角的两边分别平行，方向一致．3、平移后的图形与原来的图形的对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等．4、平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置．考点七：图形的旋转1、旋转的概念在平面中，将一个图形绕一个定点沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．2、旋转对称图形（1）概念：如果一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，其中的定点叫做旋转对称图形的旋转中心．（2）旋转对称图形的识别判断一个图形是不是旋转对称图形的方法是根据旋转对称图形的定义，判断图形能否绕一定点旋转一定的角度后与自身完全重合．考点八：图形旋转的性质1、图形旋转时，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角的度数都等于旋转角的度数；3、对应点到旋转中心的距离相等；4、对应线段相等，对应角相等；5、图形的形状与大小都没有发生变化．考点精讲精练：例1、如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个？解析：C 由轴对称的性质可知，C项正确．变式练习1、将一个矩形纸片依次按图1、图2的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，最后将图4的纸再展开铺平，所得到的图案是（）答案：A例2、在平面直角坐标系xOy中，如果有点P（－2，1）与点Q（2，－1），那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在的图象上．前面的四种描述正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④答案：D变式练习2、如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（－1，4）．将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标是__________；若△ABC与△A2B2C2关于原点O对称，则点A的对应点A2的坐标是__________．答案：（3，1）；（1，－4）例3、如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有__________种．答案：5变式练习3、如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为____________________．答案：（－1，1），（－2，－2），（0，2），（－2，－3）例4、如图，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF＝（）A．110°B．115°C．120°D．130°答案：B解析：由折叠，可知∠BFE＝∠B′FE＝65°，由AE∥BF，知∠AEF＝115°．变式练习4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将△ABC 折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_________cm．解析：C△ABE＝AB＋BE＋AE＝ AB＋BE＋CE＝AB＋BC＝3＋4＝7cm．答案：7例5、如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB ＝15°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°解析：由题意知∠AOA′＝∠BOB′＝45°，所以∠AOB′＝∠BOB′－∠AOB＝45°－15°＝30°．故选B．答案：B变式练习5、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．解析：由题意，得∠B′＝∠B，所以．答案：B例6、如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD 绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为__________．解析：由旋转的性质可知，△ABD≌△ACE，所以BD＝CE．在等边三角形ABC中，AB＝6，则BC＝6，由BC＝3BD，可知BD＝2，所以CE＝2．答案：2变式练习6、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于__________．解析：△AEE′为等腰直角三角形，．答案：例7、如图，边长为a的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°得到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．解析：阴影部分面积＝正方形面积－两个正方形重叠的面积答案：C变式练习7、如图（左），点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．解析：将△APC绕点A逆时针旋转60°后，得到△AFB，连接FP（如图（右）），则FB＝PC＝10，FA＝PA＝6，∠FAP＝60°，∴△FAP是正三角形，∴FP＝PA＝6．在△PBF中，PB2＋PF2＝82＋62＝102＝BF2，∴∠BPF＝90°，∴∠APB＝∠APF ＋∠FPB＝60°＋90°＝150°．- 返回 -备考模拟一、选择题1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．菱形2、下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）3、如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点Ｏ按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD．则旋转的角度是（）A．150° B．120°C．90°D．60°4、在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（4，－1）、B（1，1）．将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（－2，2），则点B′的坐标为（）A．（－5，4）B．（4，3）C．（－1，2）D．（－2，－1）5、在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的□ABCD，点A的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，－1）处，则此平移可以是（）A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位二、填空题6、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为__________；（2）点A1的坐标为__________．7、如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积等于__________cm2．8、如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________．隐藏答案答案：6、（1）（－3，－2）；（2）（－2，3）7、8、（0，1）三、综合题9、如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B 与B1，C与C1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．隐藏答案解析：（1）如下图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形．（2）由上图可知四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1＝4，CC1＝2，高是4，10、如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（－1，3），B（－3，－1），C（－3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是__________，旋转角是__________度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；（3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．隐藏答案解：（1）旋转中心坐标是O（0，0），旋转角是90°．（2）画出的图形如图所示：（3）由旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．-END-。
苏教版四年级下册数学《图形的平移》平移旋转和轴对称PPT教学课件
小船图先向（ ）平移了（
）
格，再向（
）平移了（
）格。
电灯图先向（ ）平移了（
）格，
再向（
）平移了（
）格。
平行四边形先向右平移5格，再向上平移4格。
5格
平行四边形先向右平移5格，再向上平移4格。
5格
平行四边形先向右平移5格，再向上平移4格。
4格 5格
把蓝色和绿色正方形都向右平移8格，分别涂上颜色； 把红色正方形向左平移4倍，涂上颜色。
课堂习题
5．在图中把三角形向上平移2格后再向右平移4格。
【解析】先确定三角形的关键点——三个顶点，然后平移这三个顶点到相应的位置，最后连 接这3个点。
课后习题
1.长方形有（ 2 ）条对称轴，正方形有（ 4 ）条对称轴，等腰三 角形形有（ 1 ）条对称轴，等边三角形有（ 3 ）条对称轴，圆有 （无数）条对称轴。
【结论】相同点：小船图和金鱼图都是向右平移；不同点：小船图平移的距离比金鱼图远一些。
教学新知
例题1：（2）先数一数小船图向右平移了几格，再和同学说说你 是怎样数的。
方法1：看帆船上的一条线段，这 条线段向右平移了9格，小 船就向右平移了9格。
方法2：看船头的一个点，这个点 向右平移了9格，小船就向 右平移了9格。
课堂练习
4.如下图所示： （1）号图形向（ 上 ）平移了（ 2 ）格。 （2）号图形向（ 左 ）平移了（ 4 ）格。 （3）号图形向（ 右 ）平移了（ 6 ）格。
【解析】在判断一个图形向某个方向平移 了几格时，不能数原来的图形和平移后的 图形之间的格子，而是要通过数对应点平 移了几格，才是图形平移了几格
本节课我们来学习图形的平 移，同学们要能够按照要求 将一个图形进行上下左右的 平移，能够判断一个图形是 经过怎么样的平移得到的。
图形的轴对称、平移与旋转讲义
图形的轴对称、平移与旋转一、基础知识1、图形的轴对称(1)轴对称：把一个图形沿某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫轴对称。
两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。
对称轴一定为直线。
(2)轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
(3)轴对称的性质①关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形。
对应线段相等，对应角相等，对称点的连线被对称轴垂直平分。
②轴对称变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
新旧图形具有对称性。
③成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上。
3、中心对称(1)中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，该点叫做对称中心。
(2)中心对称图形：一个图形绕着某点旋转180°后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，该点叫做对称中心。
(3)中心对称的性质①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。
4、图形的平移(1)定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
(2)特征：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等。
②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行，方向相同。
③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
平移后新旧两图形全等。
5、图形的旋转(1)定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。
(2)特征：①图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度； ②每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角都相等； ③对应点道旋转中心的距离相等。
《平移》轴对称和平移
平移和轴对称是几何学中非常重要的两种变 换，它们在解决几何问题、设计几何图案等 方面有着广泛的应用。通过平移和轴对称， 可以将一个图形变成另一个图形，从而方便 解决一些几何问题。
平移和轴对称在其他学科 中的应用
除了在几何学中有广泛的应用，平移和轴对 称在其他学科中也有广泛的；在工程学中，平移和轴对称被用来设 计建筑结构、机械部件等；在计算机科学中 ，平移和轴对称被用来进行图像处理、计算
在几何学中，平移被广泛应用于图 形的变换和构造。
在物理学中，平移被用于描述物体 的运动和力的传递。
在日常生活中，平移也经常被用来 进行物体的移动和搬运。
在计算机图形学中，平移被用于实 现图形的位移和动画效果。
02
轴对称的定义和性质
轴对称的定义
轴对称是指一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称在物理学中的应用
轴对称在物理学中也有广泛的应用，如晶体结构、电磁场、光学等。晶体结构中的对称性可以描述晶 体的空间排列，电磁场中的对称性可以描述电磁波的传播特性，光学中的对称性可以描述光的反射和 折射等。
平移和轴对称在艺术和设计中的应用
平移在艺术和设计中的应用
在艺术和设计中，平移也被广泛应用于各种场景，如建筑设计、平面设计、服装设计等。建筑设计中的平移可 以描述建筑物的空间排列，平面设计中的平移可以描述图形的排列和组合，服装设计中的平移可以描述服装的 花纹和图案。
轴对称的意义
轴对称是指将一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分 能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫 做对称轴。轴对称是一种常见的几何变换，也是图形的基本 性质之一。
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轴对称与平移
请画出来下列各图的所有对称轴，并填在（）里填上适当的数．
（3）画轴对称图形
方法：①描出关键点的对称点；②用线段按顺序连接各关键点
例：画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。
同类型题
画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。
二、平移图形
（1）平移图形的性质：①图形的位置发生改变；②图形的形状大小不变 例：仔细观察，填一填
同类型题
小鱼先向（
）平移了（ ）格，再向（ ）平移了（ ）格，又向（ ）平移了（ ）格，最后向（ ）平移了（ ）格。
（2）画平移图形
方法：①按平移方向和平移格数描出各个关键点；②用线段按顺序连接各点 例：先画出向右平移8格的图形，再画出原图向上平移4格的图形。
(1)长方形向( )平移了( )格。
(2)六边形向( )平移了( )格。
(3)五角星向( )平移了( )格。
同类型题
1.画一画。
房子向右平移5格，小船向下平移4格
2.在方格里画出先向下平移3格，再向右平移4格后的图形。