圆的面积公式推导课件
圆的面积讲义
知识目标:1 •理解圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积的计算公式。
2. 能正确地应用圆面积的计算公式进行圆面积的计算并能解答有关圆面积 的实际问题。
知识整理：1、 圆的面积：圆所占平面的大小叫做 圆的面积。
用字母S 表示。
2、 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做 扇形＜ 顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、 圆面积公式的推导：(1) 用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未 知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
(2) 把一个圆等分(偶数份)成德扇形份数越多，拼成的图像越接近长方 形。
(3) 拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽，圆的周长的一半 二长方形的长. 因为：长方形的面积=长乂宽所以：圆的面积=圆周长的一半x 半径圆的面积公式：S 二二r 2 —• r 2 = S -二例：(1)下面是一个圆平均分成若干份后拼成的一个近似长方形，求出该 圆的面积。
(单位：厘米)(2) 将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周 比原来圆周长长10厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径是 R,内圆的半径是r 0( R=r+环的宽度)S =恵R 2 _二 r 2或 S m (R 2 _r 2).例：(1)在一个圆形喷水池的周长是 62.8米，绕着这个水池修一条宽 2 米的水泥路。
求路面的面积。
(2) 环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积。
(3) 公园里有一个圆形花坛，直径是16米，在它的周围修建一条2米宽的环形 便道。
(圆周率取值为3)①这条便道的面积是多少？②沿着环形便道的外边缘每隔5米装一盏地灯，一共要安装多少盏灯？5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而 面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
圆的面积12. 56例：（1）在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径扩大（）倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。
圆的面积课件ppt
进行单位换算时，应遵循正确的换算 关系。例如，1米等于100厘米，而不 是10厘米或1000厘米。
误区二：混淆直径与半径概念
概念不清
应明确半径是圆的任意一点到圆心的距离，而直径是通过圆心且两端都在圆上的线段。半径是直径的一半。
应用错误
在计算圆的面积时，应使用半径而不是直径。若题目给出的是直径，应将其除以2得到半径后再进行计算。
多边形内切圆与外接圆面积关系推导
正多边形情况
对于正多边形，其内切圆半径r与外接圆半径R之比为r:R=1:2，进而可推导出正多边形 内切圆面积与外接圆面积之比为πr²:πR²=1:4。
一般多边形情况
对于一般多边形，由于其各边长度和角度不均等，内切圆半径r与外接圆半径R之比不具 有固定值。但可以通过计算多边形各顶点到内切圆圆心的距离平均值来估算内切圆半径
圆的面积计算公式推导
• 推导过程：假设圆的半径为r，将圆划分为无数个小的扇形，每个扇形的面积近似于一个三角形。三角形的底为圆的周长（ 2πr），高为半径（r）。因此，圆的面积可以表示为无数个三角形面积之和，即S=πr²。
CHAPTER 02
圆的面积计算方法详解
直接法计算圆的面积
01
02
03
公式推导
求解组合图形的面积
当需要求解由圆和其他图形组合而成的复杂图形的面积时，可以通过圆的面积 公式来求解。
圆的面积在物理学中的应用
计算物体的转动惯量
在物理学中，转动惯量是一个物体对于旋转运动的惯性大小 的度量，而圆的面积公式可以用于计算某些形状物体的转动 惯量。
计算电磁场的能量
在电磁学中，电磁场的能量密度与场的分布有关，而场的分 布又与某些几何形状的面积有关，因此圆的面积公式也被用 于计算电磁场的能量。
用多种方法证明圆的面积公式
用三种方法推导求出圆的面积?
1、用长方形面积推导：将圆n等分,然后将小扇形拼成长方形,长方形的长等于圆周长的一半,即πr,长方形的宽等于圆的半径r,因为长方形的面积＝长×宽,所以圆的面积＝πr×r =πr².
2、用三角形面积推导：将圆n等分,得到n个小扇形,将其近似于三角形,底边为2πr/n,高为r,小扇形面积Sn=πr²/n,将n个Sn=πr²/n加起来就得到圆的面积S=πr²∑1/n=πr²(n个1/n 加起来等于1）
3、用定积分推导：设圆心在原点,半径为r.用第一象限四分之一圆的面积乘4.y=√(r²-x²),则圆的面积S=4∫（0,r)ydx=4∫（0,r)√(r²-x²)dx=4[x√(r²-x²)/2+r²arcsin(x/r)/2](0,r) 用x=r代入上式减去x=0代入上式,即可得S=πr²。
圆的面积-ppt教学课件
求下图中涂色部分的面积。（单位：米）
80
100
10
10
填表：
r(米)
d(米) 4
C(米)
S(平方米)
10 18.84
9
恭喜你！ 顺利过关！
这是一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片。
r 2πr
三角形的面积= 底×高 2 π 2 所以圆的面积：S= ×r= π r2 2
谢 谢
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
圆面积的推导过程
圆面积的推导过程
将一个圆形平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，平均分成的份数越多，越近似一个长方形。
长方形的长是圆形周长的一半，长方形的宽是圆形的半径，圆周长的一半乘圆的半径就等于圆形的面积。
长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。
长方形的面积是ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）乘以二分之一周长C，
S=r*C/2=r*πr。
扩展资料：
与圆相关的公式：
1、圆面积：S=πr²，S=π(d/2)²。
（d为直径，r为半径）。
2、半圆的面积：S半圆=(πr^2)/2。
（r为半径）。
3、圆环面积：S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。
4、圆的周长：C=2πr或c=πd。
（d为直径，r为半径）。
5、半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。
（d为直径，r为半径）。
圆的性质
1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
3、垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
4、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
5、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
人教版六年级数学上册圆的面积公式的推导及应用课件
课堂小结
你学会了哪些知识？
1、把圆平均分成尽可能多的相等的小扇形，重新组合后可以拼成一个长 方形。 2、拼成的长方形的面积相当于圆的面积；长方形的宽相当于圆的半径； 长方形的长相当于圆的周长的一半。
3.14×22 = 3.14×4 = 12.56(m2)
O
3.14×
(
20
2
)
2
= 3.14×100
= 314（mm2）
20mm
巩固练习
3、王伯伯家的普通浇地上一个自动旋转喷灌装置的射程是8米。它能喷 灌的面积是多少？
3.14×82=200.96（平方米） 答：它能喷的面积是200.96平方米。
巩固练习
4.小谢量得一个圆形木板的周长是251.2厘米。这圆形木板的面积是多少？ 3.14×（251.2÷3.14÷2）2=5024（平方厘米） 答：它的面积是5024平方厘米。
巩固练习
5.求下面涂色部分的面积。
圆面积： 3.14×（40÷2）2
=3.14×400
=1256(平方厘米) 正方形面积： 40×40=1600(平方厘米) 涂色部分面积： 1600－1256=344（平方厘米）
合作交流
根据你所拼成的图形填一填。
从上图中可以看出圆的半径是r，长方形的长近似（ 圆的半径 ），
宽近似于（ 圆周长的一半）。 因为长方形的面积＝（ 长 ）×（ 宽）
所以圆面积＝（ πr ）×（ r ）＝（ πr² ） 如用S 表示圆的面积，则圆的面积计算公式是： S＝πr²
合作交流
圆形草坪的直径是20m，每平方米草皮8元，铺满草坪需要多少钱？
人教版六年级数学上册
温故知新
1 、 在一个长10厘米，宽5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个 圆的周长是多少分米？
圆的面积PPT课件
• 圆的面积
= ×r =πr × r =πr 2
圆面积公式的应用
例一 ：一个圆的直径是20米，它的面积是多少平方 米？
20÷2=10（米）
3.14×10² =3.14×100 =314（平方米）
答：它的面积是314平方米。
巩固练习 根据下面所给的条件，求圆的面积 ⒈ 半径3米
3.14×3²=3.14×9=28.26（平方米） ⒉ 直径10米
圆的面积
• 清凉寺小学
任秋香
回顾昨天
半径r
直径d
d=2r
2.已知圆的半径是2米，它的周长是多少？
解：C=2πr =2×3.14×2=12.56米
3.一个长方形的长是6米，宽是4米，它的面积是多少？
解：S=6 ×4=24平方米
圆的面积的含义
• 面积所指的是什么? 物体的表面所围成的平面图形的大小.
16151413 121110 9
仔细观察图形并回答 • 拼成的图形近似于什么图形? （长方形）
• 原来圆的面积与这个长方形的面积是否相等? （相等）
•长方形的长相当于圆的哪部分的长?（周长的一半） •长方形的宽是圆的哪部分长? (圆的半径)
•如果分的等份越多所拼成的图形就越接近长方形
圆的面积公式 • 长方形的面积= 长 × 宽
(如:长方形面积的含义是指长方形所围成的平面的大小 )
• 圆的面积是指什么?
圆所围成平面的大小.
圆的面积公式的推导
1.将圆分成若干等份 2.切割成两部分
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《圆的面积》ppt说课课件
设计一些综合性的题目，如结合圆的周长和面积的知识，或 者将圆的面积与其他数学知识（如比例、百分比等）结合起 来，让学生能够综合运用数学知识解决实际问题。
05 本课总结与回顾
本课知识点总结
圆的面积计算公式
S = πr²，其中S代表圆的面积，r代表圆的半径。
圆的面积与半径的关系
圆的面积随着半径的增大而增大，与半径的长度成正比。
解释圆面积与圆的半径和直径的关系，以及圆面积与圆 周长的关系。
回顾圆的性质和定义
圆的性质
回顾圆的性质，如圆心到圆上任 一点的距离相等、圆是中心对称 图形等。
圆的定义
强调圆的定义，即平面内到定点 （圆心）的距离等于定长（半径 ）的点的轨迹。
引出本课学习目标
掌握圆面积的计算公式
通过本课学习，学生应能熟练掌握圆 面积的计算公式，并能运用公式解决 实际问题。
解决实际问题
计算体育场、广场等圆形场地的面积
01
结合实际情况，将圆形场地近似为多个小矩形或小三角形，再
例如计算球体、圆柱体的表面积，可以利用圆的面积公式进行
估算。
解决与圆相关的组合图形问题
03
将圆与其他几何图形结合，例如圆与三角形、圆与正方形等，
利用圆的面积公式进行求解。
圆的面积与直径的关系
圆的面积与直径的平方成正比，即直径扩大或缩小若干倍，圆的面 积也扩大或缩小相同的倍数。
学习方法总结
01
02
03
动手操作
通过剪切、拼接等操作， 直观感受圆的面积与长方 形面积的关系，从而推导 出圆的面积计算公式。
观察与思考
观察圆的面积与半径的关 系，思考如何利用圆的半 径计算其面积。
总结词
圆的面积PPT课件
分割 上半圆
分割 下半圆
拼在一起
分成三十 二等份
分割 上半圆
分割 下半圆
拼在一起
对比一下，你 发现了什么？
越来越像长方形
长等于圆周长的一半 宽 等 于 圆 的 半 径
πr r
长方形的面积 = 长 × 宽 圆的面积 = πr × r S = πr2
例1
一个圆的半径是4厘米。它的面积是多少平方厘米？
第五单元 圆（三）
圆的面积
课件
学习目标
⒈使学生理解圆面积的含义，理解圆面积计算公式的推导过程， 掌握圆面积的计算公式。 ⒉培养学生动手操作、抽象概括的能力，运用所学知识解决简 单实际问题。 ⒊渗透转化的数学思想。
2022/3/4
学习重难点
【学习重点】 圆面积的含义。圆面积的推导过程。 【学习难点】 圆面积的推导过程。
2022/3/4
【答案】 √； × 【解析】 （1）根据圆的周长公式：C=2πr，可以得出两个圆周长相等， 则它们的半径就相等；再根据圆的面积公式：S=πr2，半径相 等则面积就相等。 （2）周长和面积无法比较。
3.一个圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是多少米？ 占地面积是多少平方米？
2022/3/4
（3）如果要给这条小路铺上地砖，每平方米需要80元，这样一共需要多 少元？
2022/3/4
【答案】 （1）50.24÷3.14÷2 =8（米） 3.14×82 =3.14×64 =200.96（平方米） 答：这个花坛的占地面积是200.96平方米 。 （2）50.24÷3.14÷2=8（米） 8+1=9（米） 3.14×（ 92 -82 ） =53.38（平方米）
【解析】 先根据正方形的周长公式：C=4a，求出正方形的周长，即圆的 周 长，用圆的周长除以3.14再除以2，即可求出这个圆的半径， 再利用圆的面积公式：S=πr2，即可解答。
六年级上册数学《圆的面积》课件
口答：
（1）半径2米的圆的面积 是多少平方米？
（12.56平方米） （2）直径2米的圆的面积 是多少平方米？
（3.14平方米）
应用题：如下图，绳长2.5米，问小 狗的活动面积有多大？
今天我学习了圆的面积。我知道了 把一个圆平均分成若干等分，然后拼在一 起，可以拼成一个（长方）形。长方形 的宽是圆的（半径）,长是圆的（ 周长）一, 半 求圆面积用公式表示（ S ＝ π）r 2。
32 = 9
52 = 25
72 =49 10 2 = 100
202 = 400
例题：求圆的面积
。r=10厘米
。d=40米
3.14×10 2
=3.14 ×100
=314（平方厘米）
答：这个圆的面积
是314平方厘米。
40÷2=20（米）
3.14×20 2 =3.14 ×400
=1256（平方米）
答：这个圆的面积 是1256平方米。
谢谢大家
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2021年4月 2021/4/22021/4/22021/4/24/2/2021
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/4/22021/4/2April 2, 2021
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/4/22021/4/22021/4/22021/4/2
1、你知你道小狗的活动范围是个什么图形吗？ 2、问小狗活动范围的大小，就是求什么？
目标： 1、掌握圆面积公式的推导。 2、用公式解简单的应用题。
复习圆的有关概念 do
复习圆的周长 1、圆周率室（圆的周长）与（圆的直径）的
比值，用字母（ ∏ ）表示，计算时一般取 两位小数是（ 3.14 ） 1、圆的直径为d,那么圆的周长为（ ∏d ）
北师大版数学六年级上册《圆的面积》PPT课件
近似梯形
近似三角形
三、以近似平行四边形为例：
等分的分数越多，其面积越接近圆的面积。
圆面8等分时：
圆面16等分时： 圆面32等分时：
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11 22 33 44 55 66 77 88 1234 5678 11661155 1144113311221111 1100 99 11661155 1144113311221111 1100 99
复习面积概念
长方形所占平面的大小叫做长方形的面积。
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
有关直边形面积的计算
S = a 2 S = ab
S = ah
S = ah÷2
S = (a+b)h÷2
圆面积公式的推导 一、将圆分成若干等分。
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二、用等分后的小块组成不同的形状 近似平行四边形
删掉哦，当然包括最后一页，最后祝 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓
言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的
一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
S=π r2
圆的表面积公式的推导
圆的表面积公式的推导
1. 圆的面积公式推导（将圆转化为近似长方形）
- 我们把一个圆平均分成若干个相等的小扇形。
- 当分的份数越多时，这些小扇形就越接近三角形。
然后把这些小扇形拼接起来，可以近似地拼成一个长方形。
- 这个长方形的长近似于圆周长的一半，因为圆的周长C = 2π r，那么圆周长的一半就是π r。
- 长方形的宽近似于圆的半径r。
- 根据长方形的面积公式S =长×宽，所以圆的面积S=π r× r=π r^2。
2. 圆柱的表面积公式推导。
- 圆柱由两个底面和一个侧面组成。
- 圆柱的底面是圆，根据前面推导的圆的面积公式S = π r^2，所以两个底面的面积为2π r^2。
- 圆柱的侧面展开图是一个长方形。
这个长方形的长等于圆柱底面的周长C = 2π r，宽等于圆柱的高h。
- 根据长方形面积公式S =长×宽，所以圆柱侧面的面积为2π rh。
- 那么圆柱的表面积S = 2π r^2+2π rh。
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圆的面积公式推导
5
10
31.4
78.5
4
8
25.12 50.24
圆的面积公式推导
草地上用绳子栓着一只羊，绳子长 6米，接头处忽略不计，这只羊能吃到 多大面积的草？
圆的面积公式推导
说一说
• 通过这节课的学习，咱们都学会了哪些知识？ • 现在，老师通过大屏幕把咱们推导圆的面积 计算公式的过程再给大家演示一下，哪位同 学愿意帮助老师来做一下解说？
3 .14 100
28 .26（分米 2） 314（厘米 圆的面积公式推导 2）
3 . 14 ( 4 2 ) 2 3 . 14 2 2 3 . 14 4 12 . 56（米 2）
•圆形草坪的直径是20米，它的 面积是多少平方米？
• 20÷2=10(m )
3.14× 102
＝3.14×100
圆的面积公式推导
圆的半径为r，你能 算出圆的面积吗？
宽 ＝ｒ
长＝∏r
因为：长方形的面积＝ 长
‖
‖
所以： 圆的面积 ＝ 圆的面积公式推导 πr
×宽 ‖
×r
圆的半径为r，你能 算出圆的面积吗？
宽 ＝ｒ
长＝∏r
因为：长方形的面积＝ 长
‖
‖
所以： 圆的面积 ＝ πr 圆的面积公式推导
×宽 ‖
×r
用S表示圆的面积，那么圆 的面积计算公式就是：
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
＝314 (㎡)
答：它的面积是314平方米。
圆的面积公式推导
练习
•一、填空：
•将一个圆分成若干等份，剪开
后，拼成一个近似的长方形，
这个长方形的长相当于圆的
（ 于圆的（
周长的一））半。，宽相当
半径
圆的面积公式推导
二、填表：
半径
直径
周长 面 积
（厘米） （厘米） （厘米） （厘米2）
3
6
18.84 28.26
圆的面积公式推导
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一、将圆分成若干等分。
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15
10
14 13 12 11
圆的面积公式推导
二、用等分后的小块拼成不同的形状
近似平行四边形
近似梯形
圆的面积公式推导
圆的面积推导（转化思想)
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
圆的面积公式推导
拼成的近似长方形的长和宽与圆的 周长、半径有什么关系？ 近似长方形的长相当于圆的周长的 一半（ πr），长方形的宽相当于圆 的半径（r）。
如下图：绳长2.17米，问小狗的活 动面积有多大？
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复习圆的有关概念
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圆的面积公式推导
授课：廖学敏
圆的面积公式推导
什么叫做面积？ 物体表面或平面图形的大
小，叫做它们的面积。
圆的面积公式推导
复习面积概念
长方形所占平面的大小叫做长方形的面积。
圆的面积公式推导
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
S＝πr×r ＝πr2
例1.一个圆的半径是4厘米,它的面积 是多少?
3.14× 42 ＝3.14×16 ＝50.24 ﹙平方厘米﹚
答:它的面积是50.24平方厘米.
圆的面积公式推导
算一算：
1.求出下列圆的面积：
r=3分米
r=10厘米
d=4米
3 .14 3 2
3 .14 10 2
3.14 9