高等数学 第四章 第三节 分部积分法
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高等数学课件4-3分部积分法
经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
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高等数学课件4-3分部积分法
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
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积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景
高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt
(2) “代公式”:得 到 一 个 新 积 分abvdu;
(3)
“微出来”:abvdu
du微 出
来 bv a
udx;
(4) 计算积分: abv udx.
例1.
计算
4 0
x
cos
2 xdx.
abudv [uv ]ba abudv
解:
原式
4
0
xd(
1 2
sin
2x)
[1 2
x sin 2 x]04
π
π
I0
2 dx 0
; 2
(2) 若 n 为 奇 数,则 最 后推 到I1 ,
π
I1
2 0
sin
xdx
1.
2 sinn dx 0
n 1 n 3 3 1 π , n为偶数,
n n2
422
n 1 n 3 4 2 1, n为奇数.
n n2
53
例如:
2 0
sin7
xdx
6 7
第五章
第三节(2) 定积分的分部积分法
回顾 不定积分的分部积分法:
(uv) uv uv
uv uvdx uvdx
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
分部积分公式
定积分的分部积分法:
设函数u( x),v( x)在区间[a,b]上具有连续导数,则
(uv) uv uv
2(e [et ]10 )
2[e (e 1)] 2 证明定积分公式:
In
π 2
s
inn
xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
n n
1
n n
3 2
第3节 分部积分法
1 所以 sec xdx (sec xtanx ln sec x tanx ) C . 2
3
34
高等数学
●
戴本忠
17
1 例10 求 I n 2 2 n dx , 其中 n 为正整数 . (x a ) 解 当 n 1 时, 根据分部积分法 1 ( x 2 a 2 ) n 1 dx
高等数学
●
戴本忠
例9 解
求 sec 3 xdx .
3 sec xdx sec xdtan x
(tan x)sec2x (sec x)secxtanx
sec xtanx sec xtan 2 xdx sec xtanx sec x (sec 2 x 1)dx sec xtanx sec 3 xdx sec xdx sec xtanx ln sec x tanx sec 3 xdx .
●
戴本忠
10
例2
解
求 xe x dx .
令 u x, dv e dx,
x
那么 du dx, v e x .
x x x x x x x e d x x e e d x x e e C e ( x 1) C .
例3 解
求 x 2e x d x .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d(arctan x )
1 x arctan x
2
34
1 1 x 2 dx 1 x
2
高等数学
●
戴本忠
21
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t
§4-3__分部积分法
u
x
e sinx ( e cos x e d cos x )
x x
u dv
e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
ex e x sin xdx (sin x cos x ) C 2
12
分部积分法
e kx sin(ax b)dx ,
例
arctan e x e x dx
令 u ex
解一:先换元再分部
arctan u 1 arctan e x du dx x e u u 1 arctan ud ( ) u 1 1 1 arctan u 2 du u u 1 u
23
1 1 u arctan u [ 2 ]du u u 1 u 1 1 arctan u ln u ln(1 u2 ) C u 2 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2
11
x sin xdx . 例 求 e 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选 取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况) e x sin xdx sin xde x 解 u u dv e x sinx e x d(sin x )
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
4
分部积分法
udv uv vdu
分部积分公式
恰当选取u和dv是一个关键, 选取u和dv的一般原则是: (1) v要易求;
(2)
vdu 比 udv 易求.
5
二、例 题
例 求 x cos xdx .
x
e sinx ( e cos x e d cos x )
x x
u dv
e x (sin x cos x ) e x sin xdx 注意循环形式
ex e x sin xdx (sin x cos x ) C 2
12
分部积分法
e kx sin(ax b)dx ,
例
arctan e x e x dx
令 u ex
解一:先换元再分部
arctan u 1 arctan e x du dx x e u u 1 arctan ud ( ) u 1 1 1 arctan u 2 du u u 1 u
23
1 1 u arctan u [ 2 ]du u u 1 u 1 1 arctan u ln u ln(1 u2 ) C u 2 1 x x e arctan e x ln(1 e 2 x ) C 2
11
x sin xdx . 例 求 e 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选 取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况) e x sin xdx sin xde x 解 u u dv e x sinx e x d(sin x )
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
4
分部积分法
udv uv vdu
分部积分公式
恰当选取u和dv是一个关键, 选取u和dv的一般原则是: (1) v要易求;
(2)
vdu 比 udv 易求.
5
二、例 题
例 求 x cos xdx .
高等数学第四章第三节分部积分法课件.ppt
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例7. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
则 u 1 , v 1 x2
x
2
原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
2
2
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
例3. 求 x arctan x dx.
解: 令 u arctan x, v x
则
u
1
1 x
2
,
v 1 x2 2
∴ 原式 1 x2 arctan x 1
2
2
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
再令 u cos x , v ex , 则 u sin x , v ex
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
高等数学课件 分部积分法
tan x ⋅ lncos x + ∫ tan2 xdx 原式 = = tan x ⋅ lncos x + ∫ (sec2 x −1) dx
= tan x ⋅ lncos x +tan x − x + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例7 求 解 令 x= t , 则 x = t 2 , dx = 2t d t 原式 = 2∫ t e d t
− xsin x − cos x x2
说明: 说明 此题若先求出
− cos x + 2sin x + 2cos x d x ∫ x f ′(x) dx = ∫ 2 x x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例12 求 I = ∫
e
arctan x
2 32 (1+ x )
t
令 u = t , v′ = et
= 2( te − ∫ e dt )
t
t
= 2(t et − et ) + C
= 2e x ( x −1) + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例8 求 解 令 u = x2 + a2 , v′ =1, 则 x u′ = 2 2 , v = x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例3 求 ∫ x arctan x dx. 解 令 u = arctanx, v′ = x 1 1 2 ′= 则 u , v= x 2 2 1+ x 1 2 1 x2 ∴ 原式 = x arctan x − ∫ dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 1 = x arctan x − ∫ (1− ) dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 = x arctan x − (x − arctan x) + C 2 2
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
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（再次使用分部积分法）u x , e x dx dv
x e 2( xe e ) C .
2 x x x
结论
若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx . 2 x dv 解 令 u arctan x , xdx d
微分部分
积分部分
+
x
2
cos x
sin x
cos x
sin x
2x
2
结束
0
+
2 2 x cos xdx x sinx 2 x cos x 2 sinx C
例13 求积分 x e dx .
微分部分
2
x
竖式算法
选 u x 2 , v' e x
积分部分
+
x
2
e
x
2x
sec x tan x tan x sec xdx
2
sec x tan x (sec 2 x 1) sec xdx
这是一个 sec x tan x (sec 3 x tan x )dx 循环积分
sec x tan x I ln cos x
1 解出I即可 I (se cx tan x lncos x ) C 2
2 x e e
2 x2
x2
C.
例9
解：原式 x ln(1 x ) xd ln(1 x )
2 2
求 ln( x 1)dx
2
2x x ln( 1 x ) x dx 2 1 x
2
( x 1) 1 x ln( 1 x ) 2 dx 2 1 x 1 2 x ln( 1 x ) 2 dx 2 dx 2 1 x
x sin(ln x )dx [sin(ln x ) cos(ln x )] C . 2
例6 求积分
e
x
sin xdx .
解
e x sin x e x d (sin x )
x x e sin xdx sin xde
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e x d cos x ) e (sin x cos x ) e sin xdx
结论
例5 求积分 sin(ln x )dx . 解 sin(ln x )dx x sin(ln x ) xd[sin(ln x )]
1 x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x
x sin(ln x ) x cos(ln x ) xd[cos(ln x )] x[sin(ln x ) cos(ln x )] sin(ln x )dx
2x 1 x2
1
x
1
-
2x 1 x2
2( x arctanx )
2
调整线Biblioteka 结束02 2 ln( x 1 ) dx x ln( x 1) 2( x arctanx) C
例16
x arctan x 1 x
2
dx 竖式算法 选 u arctanx, v'
ln(sec t tan t ) C ln( x 1 x 2 ) C
x arctan x dx 2 1 x
1 x 2 arctan x ln( x 1 x 2 ) C .
例8 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e 解
x2
, 求 xf ( x )dx .
以及一些特殊类型 如
6
sec
3
xdx
x arcsin x 1 x2
dx
其中P( x ), Q( x )均为x的多项式
2、应用分部积分法计算不定积分的 过程可分为四个步骤：
1 选择u与dv, 把被积函数中的一部分 看成u, 另一部分
视为dv（或另一部分与 dx的乘积）使待积式
f ( x)dx 转化为 u( x)dv( x)
x cos xdx .
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
例2 求积分 解
2
2 x
u x ,
x e dx.
2 x
x
e dx de dv,
x
2 x x x e dx x e 2 xe dx
3、选择u和dv的一般原则
dv使 之 求 得 v（ 这 实 际 上 也 是 一 个 分 积 1 先选择 过程 .因此选取 dv可用凑微分法，这样便 于求v )
2 要使 vdu 比原来的不定积分 udv 容易计算
4、由于在实际应用中，将被积表达式 f ( x)dx 转化为Udv的方式一般不是唯一的。
2 x x 2e x x e xe x dx xdex x2 x2
x e 例10 求 ( x 2) 2 dx
2
x
x 2e x xe x e x C x2
例11 求I sec xdx 解 I sec 3 xdx
3
分部
secxd tan x secx tan x tan xd secx
f ( x)dx f ( x), f ( x )dx e
f ( x ) 2 xe
xf ( x )dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx ,
x2
C,
两边同时对 x求导, 得
x2
,
xf ( x )dx xf ( x ) f ( x )dx
2 代公式 即 u ( x)dv ( x) u ( x)v( x) v( x)du ( x) 3 求微分 du udx 3 4 计算积分 把 vu dx积分出来 指导思想
分部积分法的作用是解 除难点，变较难的函数
uv积分为较易的函数 vu的积分，因此此法的
关键在于如何分配 u和dv
并注意积累经验，而且 有时往往多种选择方案 都能
得到最终结果，在这种 情况下，就自然应争取 选择较
简 单 ， 明 快 的 方 案 ，何 如选 择 u与dv的 问 题 还 是 有 规 律 可 循 的 ， 为 了于 便记 忆 ， 有 人 把 它 简为 称
LIATE
法。其中
L 对 数 函数
I 反三角函数
第三节
分部积分法
基本内容 小结
一、基本内容
问题
xe
x
dx ?
解决思路
利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x ) 和v v ( x )具有连续导数, uv u v uv , uv uv uv ,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
‘容易计算’ ，开始试探时含有相当 的‘ vdu 比 udv
主观愿望’ 和经验的成分，并不一 定可靠，弄得不
好，还有可能越转化越 困难，因此，往往要通 过一个
建立在经验、视察、估 计基础上的试探性的选 择
过 程 ， 有 了 把 握 后 ，正 再式 确 定 u与dv的 选 择 并 进行计算。
如何选择 u与dv并无一定之规，要具体 问题具体分析
1 ( x arctanx ) 2
调整线
结束
0
1 2 1 x arctan dx x arctanx ( x arctanx ) C 2 2
例15 求 ln( x 2 1)dx 竖式算法 选 u ln(x 2 1), v' 1
微分部分 积分部分
+
ln(x 2 1)
x x
x
e e sin xdx (sin x cos x ) C . 2
x
注意循环形式
x arctan x 例7 求积分 dx . 2 1 x x 2 解 1 x , 2 1 x x arctan x 2 arctan xd 1 x dx 2 1 x
2
0
+
e
x x
e x e
结束
2 x 2 x x x x e dx x e 2 xe 2 e C
例14 求积分 x arctan xdx 竖式算法
微分部分
选 u arctanx, v' x
积分部分
+
arctan x
1 1 x2
x
1 2 x 2
1
-
x2 2(1 x 2 )
例12
解
求I x e
5 x 3 1
dx
直接用分部积分，计算过程比较复杂，作变换
x e
5
x 3 1
dx e x 3 e x 3 d ( x 3 ) 3
y x3
e e y y y ye dy ( ye e ) C 3 3
e 3 x3 x3 ( x e e ) C 3
例4 求积分 x 3 ln xdx . 4 x 3 解 u ln x , x dx d dv ,
4 1 4 1 3 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16