【推荐K12】2018年秋高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第2课时函数的

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(完整版)高中数学各章节内容

第一章集合与函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数与方程3．2函数模型及其应用【必修二】第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1圆的方程4．2直线、圆的位置关系4．3空间直角坐标系第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量间的相关关系第三章概率3．1随机事件的概率3．2古典概型3．3几何概型【必修四】第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象和性质1．5函数的图象1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换【必修五】第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列的概念与简单表示法2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1-1命题及其关系1-2充分条件与必要条件1-3简单的逻辑联结词1-4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2-1曲线与方程2-2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2-3双曲线探究与发现2-4抛物线探究与发现阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3-2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-2导数的计算1-3导数在研究函数中的应用1-4生活中的优化问题举例1-5定积分的概念1-6微积分基本定理1-7定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2-1合情推理与演绎推理2-2直接证明与间接证明2-3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3-1数系的扩充和复数的概念3-2复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1-2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1-3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列2-2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2-3离散型随机变量的均值与方差2-4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3-1回归分析的基本思想及其初步应用3-2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题。

推荐K12高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大小值教学设计新人教A版必修1

1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时整体设计教学目标1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．教学方法教师启发讲授，学生探究学习．教学手段计算机、投影仪．教学过程创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．图1引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，y ＝x 2，y ＝1x的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？图2预案：(1)函数y ＝x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y ＝－x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而减小．(2)函数y ＝x 2在[0，＋∞)上y 随x 的增大而增大，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小．(3)函数y ＝1x在(0，＋∞)上y 随x 的增大而减小，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小．引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f (x )在该区间上为增函数；如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f (x )在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数y ＝x ＋2x(x ＞0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图3学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12＜22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(3)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，因为x 12－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＜0，即x 12＜x 22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1，x 2.【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫．3．抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念判断题：①已知f (x )＝1x，因为f (－1)＜f (2)，所以函数f (x )是增函数． ②若函数f (x )满足f (2)＜f (3)，则函数f (x )在区间[2,3]上为增函数．③若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．④因为函数f (x )＝1x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ，B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增(或减)函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识．掌握证法，适当延展【例】证明函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数． 1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，设元f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 2求差＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－2x 2 ＝(x 1－x 2)＋2(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－2x 1x 2，变形 ∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞2，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，断号∴函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数．定论 2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．问题：要证明函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞0可以吗？引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本习题1.3 A 组第1,2,3题．课后探究：(1)证明：函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数当且仅当对任意的x ，x ＋h ∈(a ，b )，且h ≠0有f (x ＋h )－f (x )h＞0. (2)研究函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图．设计说明1．教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．2．教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．3．教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．4．教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．(3)可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．第2课时作者：方诚心整体设计教学目标1．知识与技能(1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用．(2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题．2．过程与方法(1)通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．(2)探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确．3．情感、态度与价值观理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象．重点难点教学重点：函数最大(小)值的定义和求法．教学难点：如何求一个具体函数的最值．教学过程导入新课思路1．某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10 000 m 2的矩形新厂址，新厂址的长为x m ，则宽为10 000xm ，所建围墙y m ，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y 最短？学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ＞0的最小值．引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的．那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题．用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题．思路2．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①f (x )＝－x ＋3；②f (x )＝－x ＋3，x ∈[－1,2]；③f (x )＝x 2＋2x ＋1；④f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]．学生回答后，教师引出课题：函数的最值．推进新课新知探究提出问题(1)如图4所示是函数y ＝－x 2－2x 、y ＝－2x ＋1，x ∈[－1，＋∞)、y ＝f (x )的图象．观察这三个图象的共同特征．图4(2)函数图象上任意点P(x，y)的坐标与函数有什么关系？(3)你是怎样理解函数图象最高点的？(4)问题(1)中，在函数y＝f(x)的图象上任取一点A(x，y)，如图5所示，设点C的坐标为(x0，y0)，谁能用数学符号解释：函数y＝f(x)的图象有最高点C?图5(5)在数学中，形如问题(1)中函数y＝f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y＝f(x)的最大值．谁能给出函数最大值的定义？(6)函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y＝f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？(7)函数最大值的几何意义是什么？(8)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)有最大值吗？为什么？(9)点(－1,3)是不是函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高点？(10)由问题(9)你发现了什么值得注意的地方？讨论结果：(1)函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C.也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．(2)函数图象上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．(4)由于点C是函数y＝f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y＝f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立．(5)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．．．．．(6)f(x)≤M反映了函数y＝f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.(7)函数图象上最高点的纵坐标．(8)函数y ＝－2x ＋1，x ∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数y ＝－2x ＋1，x ∈(－1，＋∞)的图象没有最高点．(9)不是，因为该函数的定义域中没有－1.(10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．提出问题(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.(2)类比上面问题(9)，你认为讨论函数最小值应注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义．最高点类比最低点，不等号“≤”类比不等号“≥”．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．讨论结果：(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．．．．．函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．应用示例例1 求函数y ＝2x －1在区间[2,6]上的最大值和最小值．活动：先思考或讨论，再到黑板上书写．当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值．根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值．利用变换法画出函数y ＝2x －1的图象，只取在区间[2,6]上的部分．观察可得函数的图象是上升的．解：设2≤x 1＜x 2≤6，则有 f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). ∵2≤x 1＜x 2≤6， ∴x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，即函数y ＝2x －1在区间[2,6]上是减函数．∴当x ＝2时，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上取得最大值f (2)＝2；当x ＝6时，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上取得最小值f (6)＝25.图6由图象得，函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m) 活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错．并对学生的板书及时评价．将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值．“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18取得最大值；“这时距地面的高度是多少(精确到1 m)”就是函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值；转化为求函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值及此时自变量t的值．解：作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象，如图7所示，图7显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有：当t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9)≈29.即烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29 m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解课本本节练习5. 【补充练习】某厂2013年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与去年促销费m (万元)(m ≥0)满足x ＝3－2m ＋1.已知2013年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费m (万元)的函数； (2)求2013年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？分析：(1)年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；(2)利用单调法求函数的最大值．解：(1)每件产品的成本为8＋16xx元，故2013年的利润为y ＝1.5×8＋16xx×x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m (万元)(m ≥0)．(2)可以证明当0≤m ≤3时，函数y ＝28－16m ＋1－m 是增函数，当m ＞3时，函数y ＝28－16m ＋1－m 是减函数，所以当m ＝3时，函数y ＝28－16m ＋1－m 取最大值21万元．拓展提升问题：求函数y ＝1x ＋x ＋1的最大值．解：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图8所示，故图象最高点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，43.图8则函数y ＝1x 2＋x ＋1的最大值是43.(方法二)函数的定义域是R ，可以证明当x ＜－12时，函数y ＝1x 2＋x ＋1是增函数；当x ≥－12时，函数y ＝1x 2＋x ＋1是减函数．则当x ＝－12时，函数y ＝1x 2＋x ＋1取最大值43，即函数y ＝1x 2＋x ＋1的最大值是43.(方法三)函数的定义域是R ，由y ＝1x 2＋x ＋1，得yx 2＋yx ＋y －1＝0.∵x ∈R ，∴关于x 的方程yx 2＋yx ＋y －1＝0必有实数根．当y ＝0时，关于x 的方程yx 2＋yx ＋y －1＝0无实数根，即y ＝0不属于函数的值域．当y ≠0时，则关于x 的方程yx 2＋yx ＋y －1＝0是一元二次方程，则有Δ＝(－y )2－4×y (y －1)≥0.∴0＜y ≤43.∴函数y ＝1x 2＋x ＋1的最大值是43.点评：方法三称为判别式法，形如函数y 2R (此时e 2－4df ＜0)为关于x 的方程的形式mx 2＋nx ＋k ＝0m ≠0时，关于x 的方程mx 2＋nx ＋k ＝0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，n 2－4mk ≥0，得关于y 的不等式，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n 2－4mk ≥0，m ≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．课堂小结本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域．作业课本习题1.3A 组 5,6.设计感想为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下措施：1．在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．2．在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤．备课资料基本初等函数的最值1．正比例函数：y ＝kx (k ≠0)在定义域R 上不存在最值．在闭区间[a ，b ]上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝kx 的最大值为f (b )＝kb ，最小值为f (a )＝ka ；当k ＜0时，函数y ＝kx 的最大值为f (a )＝ka ，最小值为f (b )＝kb .2．反比例函数：y ＝k x(k ≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值．在闭区间[a ，b ](ab ＞0)上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝k x 的最大值为f (a )＝k a ，最小值为f (b )＝k b；当k ＜0时，函数y ＝k x 的最大值为f (b )＝k b ，最小值为f (a )＝k a.3．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)在定义域R 上不存在最值．在闭区间[m ，n ]上存在最值，当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (n )＝kn ＋b ，最小值为f (m )＝km ＋b ；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的最大值为f (m )＝km ＋b ，最小值为f (n )＝kn ＋b .4．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在定义域R 上有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝－b 2＋4ac 4a ，无最大值；当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在定义域R 上有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝－b 2＋4ac 4a ，无最小值．二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值可能出现以下三种情况：(1)若－b2a ＜p ，则f (x )在区间[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．(2)若p ≤－b2a ≤q ，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，此时f (x )的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：①当p ≤－b 2a ＜p ＋q2时，则f (x )max ＝f (q )；②当p ＋q 2＝－b 2a 时，则f (x )max ＝f (p )＝f (q )； ③当p ＋q2＜－b2a＜q 时，则f (x )max ＝f (p )． (3)若－b2a ≥q ，则f (x )在区间[p ，q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )．由此可见，当－b2a ∈[p ，q ]时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最大值是f (p )和f (q )中的最大值，最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ；当－b2a ∉[p ，q ]时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最大值是f (p )和f (q )中的最大值，最小值是f (p )和f (q )中的最小值．。

高一数学必修课本目录

【高中数学课本】高中数学必修1~5目录高中数学必修一：第一章. 集合与函数概念1.1. 集合1.2. 函数及其表示1.3. 函数的基本性质第二章. 基本初等函数（I）2.1. 指数函数2.2. 对数函数2.3. 幂函数第三章. 函数的应用3.1. 函数与方程3.2. 函数模型及其应用高中数学必修二：第一章. 空间几何体1.1. 空间几何体的结构1.2. 空间几何体的三视图和直观图1.3. 空间几何体的表面积与体积第二章. 点、直线、平面之间的位置关系2.1. 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.3. 直线、平面垂直的判定及其性质第三章. 直线与方程3.1. 直线的倾斜角与斜率3.2. 直线的方程3.3. 直线的交点坐标与距离公式第四章. 圆与方程4.1. 圆的方程4.2. 直线、圆的位置关系4.3. 空间直角坐标系高中数学必修三：第一章. 算法初步1.1. 算法与程序框图1.2. 基本算法语句1.3. 算法案例第二章. 统计2.1. 随机抽样2.2. 用样本估计总体2.3. 变量间的相关关系第三章. 概率3.1. 随机事件的概率3.2. 古典概型3.3. 几何概型高中数学必修四：第一章. 三角函数1.1. 任意角和弧度制1.2. 任意角的三角函数1.3. 三角函数的诱导公式1.4. 三角函数的图像与性质1.5. 函数y=Asin（ωx+φ）的图像1.6. 三角函数模型的简单应用第二章. 平面向量2.1. 平面向量的实际背景及基本概念2.2. 平面向量的线性运算2.3. 平面向量的基本定理及坐标表示2.4. 平面向量的数量级2.5. 平面向量应用举例第三章. 三角恒等变换3.1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2. 简单的三角恒等变换高中数学必修五：第一章. 解三角形1.1. 正弦定理和余弦定理1.2. 应用举例1.3. 实习作业第二章. 数列2.1. 数列的概念与简单表示法2.2. 等差数列2.3. 等差数列的前n项和2.4. 等比数列2.5. 等比数列的前n项和第三章. 不等式3.1. 不等关系与不等式3.2. 一元二次不等式及其解法3.3. 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.4. 基本不等式。

高中数学第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 第1课时函数的单调性讲义教

学习资料1。

3 函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小)值第1课时函数的单调性学习目标核心素养1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．（重点、难点）2．会用函数单调性的定义判断（或证明)一些函数的单调性．（难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点）1．借助单调性的证明,培养逻辑推理素养．2．利用求单调区间及应用单调性解题，提升直观想象和数学运算素养。

1．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1)＜f(x2）都有f(x1)＞f(x2)结论那么就说函数f（x）在区间D上是增函数那么就说函数f(x）在区间D上是减函数图示12提示：定义中的x1,x2有以下3个特征（1）任意性,即“任意取x1,x2"中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；（2)有大小，通常规定x1〈x2;（3）属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间,如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x)的单调区间．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？提示:不是．y＝1x在(－∞，0）上递减，在（0，＋∞)上也递减，但不能说y＝错误!在（－∞,0）∪（0,＋∞）上递减．1．若函数f(x）在［a，b］上是增函数，则对任意的x1,x2∈[a，b］(x1≠x2）,下列结论不正确的是（)A．错误!＞0B．（x1－x2)[f(x1）－f(x2）］＞0C．f(a)＜f(x1）＜f(x2）＜f（b)D．错误!＞0C［由单调性定义知A、B、D正确，故选C.]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是（)A．y＝－错误!B．y＝xC．y＝x2D．y＝1－xD［函数y＝1－x在区间（0,＋∞)上是减函数，其余函数在（0,＋∞)上均为增函数，故选D.]3．函数f(x）＝x2－2x＋3的单调减区间是________．(－∞,1］[因为f(x）＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x）的单调减区间是（－∞，1]．］求函数的单调区间（1）f（x）＝－错误!；（2)f(x）＝错误!（3）f（x)＝－x2＋2｜x｜＋3.[解]（1）函数f(x)＝－错误!的单调区间为(－∞，0），(0，＋∞），其在（－∞，0）,（0，＋∞）上都是增函数．（2）当x≥1时，f（x)是增函数，当x〈1时，f(x)是减函数，所以f（x)的单调区间为（－∞,1)，［1，＋∞），并且函数f(x）在(－∞，1)上是减函数,在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f（x)＝－x2＋2｜x|＋3＝错误!根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知，函数f(x）的单调区间为(－∞，－1]，（－1,0），[0,1），［1，＋∞）．f（x）在（－∞，－1］,［0,1)上是增函数,在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．求函数单调区间的方法(1）利用基本初等函数的单调性，如本例(1）和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;(2)利用函数的图象,如本例（3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，"隔开，如本例(3）．错误!1。

2018-2019学年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1第2课时函数的最大小

∵2≤x1＜x2≤5， ∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0. ∴f(x2)＜f(x1)． ∴f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是单调减函数． ∴f(x)max＝f(2)＝2－2 1＝2， f(x)min＝f(5)＝5－5 1＝45.
函数最值的实际应用
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c) 上是增函数，那么函数y＝f(x)，x∈(a，c)，在x＝b处有最小值 f(b)；
(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，那么在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
2．求函数 f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最值．解：任取 2≤x1＜x2≤5，则 f(x1)＝x1x－1 1，f(x2)＝x2x－2 1， f(x2)－f(x1)＝x2x－2 1－x1x－1 1 ＝x2－x11－xx12－1，
第一章集合与函数概念
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值
学习目标
1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点) 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)
函数的最大值、最小值
最值
最大值
最小值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
试画出函数 f(x) ＝ x ＋ |x － 1| 的图
思路点拨：去绝对值符号 ―→ 画分段函数图象 ―→
得最值情况
解：f(x)＝x＋|x－1|＝21xx－＜11x.≥1，图象如图所示．由图象可知，f(x)的最小值为 1，没有最大值．
1．利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出的函数求最值较常用．

1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)

必修3 选修2-1 数学全集
必修4 选修2-2
必修5 选修2-3
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f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
2. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)
定义域
x≠0
3. f(x)为奇函数，且f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0
f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
5. 根据函数奇偶性的特征，可以简化函数图象的画法.
偶函数图象关于 y轴对称. 奇函数图象关于原点对称.
例3、已知函数 y=f(x) 是偶函数，它在 y 轴右边的图象如下图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
例3、已知函数 y=f(x) 是奇函数，它在 y 轴右边的图象如下图，画出在 y 轴左边的图象.
即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以，函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
练习1 证明：函数 f ( x ) = x2+3 在（0,+∞）上是单调增函数.
练习2 证明函数 y 1 在（0,+∞）上是单调性. x
证明：设x1, x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间

高中数学第一章集合与函数的概念1.3函数的基本性质1.3.1第一课时函数的单调性aa高一数学

第二页，共二十六页。
自主(zìzhǔ)学习——新知建构·自我整合
【情境(qíngjìng)导学】
导入一函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果了解了函数的变化规律, 那么也就把握(bǎwò)了相应事物的变化规律.因此研究函数的性质是非常重要的.日常生活中,我们有过这样的体验:从阶梯教室前向后走,逐步上升,从阶梯教室后向前走,逐步下降.很多函数也具有类似性质,这就是我们要研究的函数的基本性质——函数的单调性.
第十五页，共二十六页。
【备用(bèiyòng)例1】证明函数f(x)=x3+x在R上是增函数.
证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=( x13 +x1)-( x23 +x2)=( x13 - x23 )+(x1-x2)
=(x1-x2)(
x12
+x1x2+
x22
+1)=(x1-x2)[(x1+
即时训练
2-1:作出函数
f(x)=
x 3, x 1,
x 22 3, x
1
的图象,
并指出函数的单调区间.
解:f(x)=
x 3, x 1,
x 22 3, x
1
的图象如图所示.
由图象可知,函数的单调减区间为(-∞,1],(1,2];单调递增区间为(2,+∞).
12/12/2021
第二十页，共二十六页。
题型三函数(hánshù)单调性的应用
【例3】已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3.
(1)函数f(x)在区间(qū jiān)(-∞,3]上是增函数,则实数a的取值范围是

高一数学第一章知识点总结

2.最大（小）值当一个函数f(x)的图像上有最高（低）点时，我们就说函数有最大（小）值。
A
高一（3）王明康赵一凡
A⊇B
A（B） A=B=∅
B
A
A⊃B
A=B
2.真子集:若集合Ａ⊇Ｂ，存在元素x∈A且，x∉B则称集合B是A 的真子集。
B
A ⊇
空集为任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
பைடு நூலகம்
1.1.3 集合的基本运算 1.并集一般的，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与 B的并集。 A
2.交集一般地，由属于集合A，且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集。 A A A∩B B
数学总结
第一章集合与函数的概念
1.1 集合
1.2 函数及其表示
1.3 函数的基本性质
1.1
集合
1.1.1 集合的含义与表示
1.含义
一些能够确定的不同集合所构成的整体叫做集合。构成集合的每个对象，叫做这个集合的元素。
2.集合中元素的性质 (1)确定性：对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的，依赖主观感觉的判读不能构成集合。 (2)互异性：一个给定集合中的元素是彼此不同的。 (3)无序性：集合中的元素不考虑顺序
A∩B={x丨x∈A，且x∈B}
3.补集与全集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U。补集：对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。 A
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
3.区间 a，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． A

2018-2019学年度高中数学第一章集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1

第二课时函数的最大(小)值【选题明细表】1.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是( C )(A)-1,3 (B)0,2 (C)-1,2 (D)3,2解析:当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)=-1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C.2.函数f(x)=-x2+4x-6,x∈[0,5]的值域为( B )(A)[-6,-2] (B)[-11,-2](C)[-11,-6] (D)[-11,-1]解析:函数f(x)=-x2+4x-6=-(x-2)2-2,又x∈[0,5],所以当x=2时,f(x)取得最大值为-(2-2)2-2=-2;当x=5时,f(x)取得最小值为-(5-2)2-2=-11;所以函数f(x)的值域是[-11,-2].故选B.3.函数f(x)=-x+在[-2,-]上的最大值是( A )(A) (B)- (C)-2 (D)2解析:因为f(x)=-x+在[-2,-]上为减函数,所以当x=-2时取得最大值,且为2-=.故选A.4.函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是( D )(A)2 (B)3 (C)-1 (D)1解析:因为函数f(x)=2-在区间[1,3]上为增函数,所以f(x)max=f(3)=2-1=1.故选D.5.已知函数f(x)=,x∈[-8,-4),则下列说法正确的是( A )(A)f(x)有最大值,无最小值(B)f(x)有最大值,最小值(C)f(x)有最大值,无最小值(D)f(x)有最大值2,最小值解析:f(x)==2+,它在[-8,-4)上单调递减,因此有最大值f(-8)=,无最小值.故选A.6.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则a的取值范围是( A )(A)(-∞,1) (B)(-∞,1](C)(1,+∞) (D)[1,+∞)解析:由题意,f(x)=(x-a)2-a2+a,所以函数的对称轴为x=a.若a≥1,则函数在区间(-∞,1)上是减函数,因为是开区间,所以没有最小值所以a<1,此时当x=a时取得最小值,故选A.7.已知函数f(x)=2x-3,其中x∈{x∈N|1≤x≤},则函数的最大值为.解析:函数f(x)=2x-3为增函数,且x∈{1,2,3},函数自变量x的最大值为3,所以函数的最大值为f(3)=3.答案:38.若函数f(x)=x2-2x+m,在x∈[0,3]上的最大值为1,则实数m的值为.解析:函数f(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,其对称轴为x=1,则f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增,则当x=3时,函数有最大值,即为9-6+m=1,解得m=-2.答案:-29.f(x)=2x4-3x2+1在[,2]上的最大值、最小值分别是( A )(A)21,-(B)1,-(C)21,0 (D)0,-解析:由f(x)=2x4-3x2+1,x∈[,2],可设t=x2,t∈[,4],所以f(x)=g(t)=2t2-3t+1,对称轴t=,g()=-,g(4)=21,g()=,所以最大值为21,最小值为-.故选A.10.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( A )(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,因为x∈[0,1],所以函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=a=-2,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3+a=3-2=1.故选A.11.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是.解析:在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.答案:612.已知函数f(x)=,x∈[3,5].(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;(2)求该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在[3,5]上是增函数,证明:设任意x1,x2,满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)-f(x2)=-==,因为3≤x1<x2≤5,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)=在[3,5]上是增函数.(2)由(1)知f(x)min=f(3)==,f(x)max=f(5)==.13.已知函数f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围. 解:因为f(x)=(x-a)2+2-a2,所以此二次函数图象的对称轴为x=a.①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得a≥-3,即-3≤a<-1.②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2-a2≥a, 解得-2≤a≤1,即-1≤a≤1.综上所述,实数a的取值范围为[-3,1].。

高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1第1课时函数的单调性aa高一数学

[自主梳理] 一、定义域为 I 的函数 f(x)的增减性
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二、函数单调性与单调区间如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或是减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫作 y＝f(x)的单调区间．
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解析：由题设可知 m－1<2m－1，即 m>0. 答案：m>0 4．已知 f(x)＝－3ax－＋11，x＋x≥4a1，x<1，是定义在 R 上的减函数，那么 a 的取值范围
是________．解析：33aa－－11<0＋4a≥－1＋1 得17≤a＜13. 1答2/9/案2021：17≤a＜13
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(－∞，－3]，[－1,1]． 12/9/2021
答案：(1)B
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探究二函数单调性的证明或判断 [典例 2] 证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
[证明] 任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 4.
性质．难点：1.用概念判断函数的单调性．
3.能够熟练应用定义判断与证明函数在 2.求函数的单调区间.
某区间上的单调性.
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01 课前自主(zìzhǔ)梳理 02 课堂合作(hézuò)探究
03 课后巩固(gǒnggù)提升课时作业
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因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，

【精编】高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性课件新人教A版必修1-精心整理

判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： ①判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数 f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步． ②验证．f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)． ③下结论．若 f(－x)＝－f(x)，则 f(x)为奇函数；若 f(－x)＝f(x)，则 f(x)为偶函数；若 f(－x)≠－f(x)，且 f(－x)≠f(x)，则 f(x)为非奇非偶函数．
利用函数的奇偶性求参数
[例 2] (1)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则 a＝________，b＝________；
(2)已知函数 f(x)＝ax2＋2x 是奇函数，则实数 a＝________.
[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当 x＞0 时，－x＜0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当 x＜0 时，－x＞0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f(－x)＝f(x)， f(x)为偶函数．
当 x＜0 时，f(x)的解析式．解：当 x＜0 时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于 f(x)是偶函数，故 f(x)＝f(－x)，所以 f(x)＝x2＋2x＋3，即当 x＜0 时，f(x)＝x2＋2x＋3.
利用函数奇偶性求函数解析式 3 个步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．

2018人教A版高中数学必修一课件：第一章集合与函数概念 13 精品

12．(5 分)当 0≤x≤2 时，a<－x2＋2x 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 13．(15 分)已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，x∈[1，＋∞)． (1)当 a＝21时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
13．解：(1)当 a＝12时， f(x)＝x2＋2xx＋12＝x＋21x＋2. 任取 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·(1 －2x11x2)<0. 所以 f(x1)<f(x2)，即函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以函数 f(x)在[1，＋∞)上的最小值为 f(1)＝1＋21＋2＝27.
(2)依题意 f(x)＝x2＋2xx＋a>0 在[1，＋∞)上恒成立，即 x2 ＋2x＋a>0 在[1，＋∞)上恒成立．
记 y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，由 y＝(x＋1)2＋a－1 在[1，＋∞)上单调递增知，当 x＝1 时，y 取得最小值 3＋a.
所以当 3＋a>0，即 a>－3 时，f(x)>0 恒成立．于是实数 a 的取值范围为(－3，＋∞)．
5．C 依题意，当 a>0 时，2a＋1－(a＋1)＝2，即 a＝2；当 a<0 时，a＋1－(2a＋1)＝2，即 a＝－2.故选 C.
6．B ∵函数 f(x)＝x2＋2ax＋1 开口向上，对称轴为 x＝－ a<0，∴当 x＝5 时，f(x)有最大值，f(5)＝26＋10a，故选 B.
7．f(－2) f(6) 解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知 f(x)min＝f(－ 2)，f(x)max＝f(6)．